MODUL PEMBELAJARAN DI MASA PANDEMI

MODUL PEMBELAJARAN DI MASA PANDEMI

NamaSekolah : SMP NEGERI 3 GUNTUR

Mata Pelajaran : MATEMATIKA Kelas/Semester : 8 /2 ( Genap) Materi/Topik/Tema : LINGKARAN / Alokasiwaktu : 20 JP

A. KompetensiDasar

KD Pengetahuan KD Keterampilan

3.6 Mengidentifikasi unsur, keliling, dan luas dari lingkaran

3.7 Menentukan hubungan sudut pusat, panjang busur, dan luas juring 4.6 Menyelesaikan permasalahan nyata

yang terkait penerapan hubungan sudut pusat, panjang busur, dan luas juring

 Menghitung Nilai π, Keliling Dan Luas Lingkaran

 Menghitung i Luas Lingkaran

 Menghitung Keliling dan Luas Lingkaran

 Menghitung Luas dan Keliling Lingkaran Jika Jari-Jari Berubah

 Menghitung Sudut Pusat, Panjang Busur, Luas Juring, dan Luas Tembereng

 Menghitung Sudut Pusat Dengan Luas Juring Lingkaran

 Menghitung Luas Juring dengan Panjang Busur Lingkaran

 Menghitung Luas Tembereng Lingkaran

 Menyelesaikan Soal Persegi dan Lingkaran

 Menghitung besar Sudut Keliling yang Menghadap Diameter Lingkaran

B. TujuanPembelajaran

Mengidentifikasi unsur, keliling, dan luas dari lingkaran

Menentukan hubungan sudut pusat, panjang busur, dan luas juring

Menyelesaikan permasalahan nyata yang terkait penerapan hubungan sudut pusat, panjang busur, dan luas juring

C. Materi

 Pengertian Lingkaran

 Bagian-Bagian Lingkaran

 Nilai π, Keliling Dan Luas Lingkaran

 Rumus Cara Mencari Luas Lingkaran

 Hubungan Antara Keliling dan Luas Lingkaran

 Perubahan Luas dan Keliling Lingkaran Jika Jari-Jari Berubah

 Hubungan Sudut Pusat, Panjang Busur, Luas Juring, dan Luas Tembereng

 Hubungan Sudut Pusat Dengan Panjang Busur Lingkaran

 Hubungan Sudut Pusat Dengan Luas Juring Lingkaran

 Hubungan Luas Juring dengan Panjang Busur Lingkaran

 Cara Menghitung Luas Tembereng Lingkaran

 Contoh Soal Persegi dan Lingkaran

 Hubungan Sudut Pusat dan Sudut Keliling Lingkaran

 Besar Sudut Keliling yang Menghadap Diameter Lingkaran

 Sudut-Sudut Keliling yang Menghadap Busur yang Sama

Pengertian Lingkaran

Siapa yang tidak tahu ban mobil dan uang logam? Itu merupakan barang- barang yang mudah Anda temui dalam kehidupan sehari-hari.





Ban mobil dan uang logam merupakan contoh benda-benda yang memiliki bentuk dasar lingkaran. Secara geometris, benda-benda tersebut dapat digambarkan seperti pada Gambar (a).



 Perhatikan Gambar (b) dengan saksama. Misalkan A, B, C merupakan tiga titik sebarang pada lingkaran yang berpusat di O. Dapat dilihat bahwa ketiga titik tersebut memiliki jarak yang sama terhadap titik O. Dengan demikian, lingkaran adalah kumpulan titik-titik yang membentuk lengkungan tertutup, di mana titik- titik pada lengkungan tersebut berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Titik tertentu itu disebut sebagai titik pusat lingkaran. Pada Gambar (b) , jarak OA, OB, dan OC disebut jari-jari lingkaran.

Jadi dapat disimpulkan bahwa lingkaran adalah kurva tertutup sederhana yang

merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Jarak yang sama tersebut disebut jari-jari lingkaran dan titik tertentu disebut pusat lingkaran. Garis lengkung tersebut kedua ujungnya saling bertemu membentuk keliling lingkaran dan daerah lingkaran (luas lingkaran).

Unusur-Unsur/Bagian-Bagian Lingkaran

Setiap bangun datar memiliki unsur-unsur yang membangunnya, termasuk bangun datar yang berbentuk lingkaran. Ada beberapa bagian lingkaran yang termasuk dalam unsur-unsur sebuah lingkaran di antaranya titik pusat, jari-jari, diameter, busur, tali busur, tembereng, juring, apotema, sudut pusat, dan sudut lingkaran. Untuk melihat gambarnya silahkan lihat gambar di bawah ini.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan uraian berikut.

a. Titik Pusat

Titik pusat lingkaran adalah titik yang terletak tepat di tengah-tengah lingkaran. Pada Gambar di atas, titik O merupakan titik pusat lingkaran, dengan demikian, lingkaran tersebut dinamakan lingkaran O.

b. Jari-Jari (r)

Jari-jari lingkaran adalah garis dari titik pusat lingkaran ke lengkungan lingkaran (keliling lingkaran). Pada Gambar di atas, jari-jari lingkaran ditunjukkan oleh garis OA, OB, OC, dan OD.

c. Diameter (d)

Diameter adalah garis lurus yang menghubungkan dua titik pada lengkungan lingkaran (keliling lingkaran) dan melalui titik pusat. Garis AB dan CD pada lingkaran O

merupakan diameter lingkaran tersebut. Perhatikan bahwa AB = AO + OB. Dengan kata lain, nilai diameter lingkaran merupakan dua kali nilai jari-jari lingkaran, dapat ditulis secara matematis: d = 2r.

d. Busur

Busur lingkaran merupakan garis lengkung yang terletak pada lengkungan lingkaran (keliling lingkaran) dan menghubungkan dua titik sebarang di lengkungan tersebut.

Pada Gambar di atas, garis lengkung AC, garis lengkung CB, dan garis lengkung BD merupakan busur lingkaran O. Untuk memudahkan mengingatnya Anda dapat membayangkannya sebagai busur panah.

e. Tali Busur

Tali busur lingkaran adalah garis lurus dalam lingkaran yang menghubungkan dua titik pada lengkungan lingkaran dan tidak melalui pusat lingkaran. Tali busur yang melalui pusat lingkaran dinamakan dengan diameter lingkaran. Tali busur lingkaran tersebut ditunjukkan oleh garis lurus AD yang tidak melalui titik pusat seperti pada gambar di atas. Untuk memudahkan mengingatnya Anda dapat membayangkan seperti pada tali busur panah.

f. Tembereng

Tembereng adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh busur dan tali busur. Pada Gambar di atas, tembereng ditunjukkan oleh daerah yang diarsir dan dibatasi oleh busur AD dan tali busur AD. Jadi tembereng terbentuk dari gabungan antara busur lingkaran dengan tali busur lingkaran.

g. Juring

Juring lingkaran adalah luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh dua buah jari- jari lingkaran dan sebuah busur yang diapit oleh kedua jari-jari lingkaran tersebut.

Pada Gambar di atas, juring lingkaran ditunjukkan oleh daerah yang diarsir yang dibatasi oleh jari-jari OC dan OB serta busur BC, dinamakan juring BOC.

h. Apotema

Apotema lingkaran merupakan garis yang menghubungkan titik pusat lingkaran dengan tali busur lingkaran tersebut. Garis yang dibentuk bersifat tegak lurus dengan tali busur. Coba perhatikan Gambar di atas secara seksama. Garis OF merupakan

garis apotema pada lingkaran O.

g. Sudut Pusat

Coba perhatikan gambar di bawah dengan seksama!

Sudut pusat adalah sudut yang dibentuk oleh perpotongan antara dua buah jari-jari lingkaran di titik pusat. Pada gambar di atas Garis OA dan OB merupakan jari-jari lingkaran yang berpotongan di titik pusat O membentuk sudut pusat, yaitu ∠AOB.

g. Sudut Keliling

Coba perhatikan lagi gambar di bawah dengan seksama!

Sudut keliling merupakan sudut yang dibentuk oleh perpotongan antara dua buah tali busur di suatu titik pada keliling lingkaran. Pada gambar di atas garis AC dan BC merupakan tali busur yang berpotongan di titik C membentuk sudut keliling ∠ACB.

Menemukan Pendekatan Nilai π (phi), Keliling Dan Luas Lingkaran

Pernahkah kamu mengamati gerak sebuah roda sepeda? Untuk mengetahui pengertian keliling lingkaran, coba kamu ambil roda sebuah sepeda. Tandai pada bagian tepi lingkaran dengan huruf A. Kemudian, gelindingkan roda tersebut dimulai dari titik A kembali ke titik A lagi. Lintasan yang dilalui roda dari A sampai kembali ke A lagi disebut satu putaran penuh atau satu keliling lingkaran. Sebelum kita menghitung keliling lingkaran, kita akan mencoba menemukan nilai π (pi).

Menemukan Pendekatan Nilai π (pi)

Untuk menemukan pendekatan nilai π (pi), kita bisa lakukan percobaan sederhana berikut ini. Pertama, membuat lingkaran dengan jari- jari 1 cm, 1,5 cm, 2 cm, 2,5 cm, dan 3 cm. Kemudian mengur diameter masing-masing lingkaran dengan menggunakan penggaris. Kedua, mengkur keliling masing-masing lingkaran menggunakan bantuan benang dengan cara menempelkan benang pada bagian tepi lingkaran, dan kemudian panjang benang diukur menggunakan penggaris. Terakhir hitung nilai π (phi) dengan cara keliling lingkaran dibagi dengan diameter lingkaran, kemudian catat hasilnya.

Jika kegiatan tersebut kalian lakukan dengan cermat dan teliti maka nilai keliling dibagi diameter akan memberikan nilai yang mendekati 3,14. Untuk selanjutnya, nilai keliling per diameter disebut sebagai konstanta π (π dibaca: phi).

Coba tekan tombol π pada kalkulator. Apakah Anda dapatkan bilangan desimal tak berhingga dan tak berulang? Bentuk desimal yang tak berhingga dan tak berulang bukan bilangan pecahan. Oleh karena itu, π bukan bilangan pecahan, namun bilangan irasional, yaitu bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan biasa a/b.

Bilangan irasional berupa desimal tak berulang dan tak berhingga. Menurut penelitian yang cermat ternyata nilai π= 3,14159265358979324836 ... Jadi, nilai π hanyalah suatu pendekatan. Jika dalam suatu perhitungan hanya memerlukan ketelitian sampai dua tempat desimal, pendekatan untuk π adalah 3,14.

Coba bandingkan nilai π dengan pecahan 22/7. Bilangan pecahan 22/7 jika dinyatakan dalam pecahan desimal adalah 3,142857143. Jadi, bilangan 22/7 dapat dipakai sebagai pendekatan untuk nilai π.

Menghitung Keliling Lingkaran

Pada pembahasan di bagian depan diperoleh bahwa pada setiap lingkaran nilai perbandingan keliling (K) per diameter (d) menunjukkan bilangan yang sama atau tetap disebut π. Karena K/d=π, sehingga didapat K = π d. Karena panjang diameter adalah 2 x jari-jari atau d = 2r, maka:

K = 2πr

Jadi, didapat rumus keliling (K) lingkaran dengan diameter (d) atau jari-jari (r) adalah:

Contoh Soal Tentang Keliling Lingkaran

Hitunglah keliling lingkaran jika diketahui:

a. diameter 14 cm;

b. jari-jari 35 cm.

Penyelesaian:

a. d = 14 cm sehingga:

K = πd = 22/7 x 14 cm = 44 cm Jadi, keliling lingkaran adalah 44 cm.

b. r = 35 cm sehingga:

K = 2πr

K = 2(22/7) 35 cm K = 220 cm

Jadi, keliling lingkaran = 220 cm.

Menghitung Luas Lingkaran

Untuk menemukan rumus luas lingkaran, lakukan kegiatan dengan langkah- langkah berikut.

1. Buatlah lingkaran dengan jari-jari 10 cm.

2. Bagilah lingkaran tersebut menjadi dua bagian sama besar dan arsir satu bagian 3. Bagilah lingkaran tersebut menjadi 12 bagian sama besar dengan cara membuat 12

juring sama besar dengan sudut pusat 30° (Gambar (i)).

4. Bagilah salah satu juring yang tidak diarsir menjadi dua sama besar.

5. Gunting lingkaran beserta 12 juring tersebut.

6. Atur potongan-potongan juring dan susun setiap juring sehingga membentuk gambar mirip persegi panjang, seperti pada Gambar (ii) di atas.

Jika lingkaran dibagi menjadi juring-juring yang tak terhingga banyaknya, kemudian juring-juring tersebut dipotong dan disusun seperti Gambar (ii) maka hasilnya akan mendekati bangun persegi panjang. Perhatikan bahwa bangun yang mendekati persegi panjang tersebut panjangnya sama dengan setengah keliling lingkaran (3,14 x 10 cm = 31,4 cm) dan lebarnya sama dengan jari-jari lingkaran (10 cm). Jadi, luas lingkaran dengan panjang jari-jari 10 cm = luas persegi panjang dengan p = 31,4 cm dan l = 10 cm.

Luas lingkaran = p x l

luas lingkaran = 31,4 cm x 10 cm

luas lingkaran = 314 cm

Dengan demikian, dapat kita katakan bahwa luas lingkaran dengan jari-jari r sama dengan luas persegi panjang dengan panjang πr dan lebar r, sehingga diperoleh:

L = π rxr L = π r²

Karena r = ½d, maka L = π(½d)² L = π (½d)² L = ¼ π d²

Jadi, dapat diambil kesimpulan bahwa luas lingkaran L dengan jari-jari r atau diameter d adalah:

Contoh Soal Tentang Luas Lingkaran

Hitunglah luas lingkaran jika a. jari-jarinya 7 cm;

b. diameternya 20 cm.

Penyelesaian:

a. jari-jari = 7 cm, maka r = 7 L = πr²

L = 22/7 x 7² L = 154

Jadi, luas lingkaran = 154 cm².

b. diameter = 20 cm, maka d = 20 L = ¼ π d²

L = ¼ x 3,14 x 20² L = 314

Jadi, luas lingkaran = 314 cm².

Rumus Cara Mencari Luas Lingkaran

Rumus cara mencari luas lingkaran sangat penting untuk Anda pahami karena rumus ini merupakan konsep dasar untuk menguasai materi selanjutnya, misalnya untuk mencari volume tabung, luas permukaan tabung, volume kerucut, luas permukaan kerucut, dan luas juring lingkaran. Bagaimana rumus mencari luas lingkaran?

Rumus Mencari Luas Lingkaran Jika Jari-Jari Diketahui

Jika jari-jari lingkaran diketahui maka rumus untuk mencari luas lingkaran yakni:

L = πr² Di mana:

L = luas lingkaran π = 3,14 atau 22/7 r = jari-jari lingkaran

Perlu diketahui, jika jari-jari lingkaran yang diketahui merupakan kelipatan dari 7 maka gunakan π = 22/7, sedangkan jika jari-jari lingkaran yang diketahui merupakan bukan kelipatan dari 7 maka gunakan π = 3,14.

Contoh Soal 1

Ali akan membuat kolam ikan yang berbentuk lingkaran dengan jari-jari 7 m. Hitunglah luas kolam ikan yang akan dibuat oleh Ali.

Penyelesaian:

Karena yang diketahui hanya jari-jarinya dan panjang jari-jari lingkaran merupakan kelipatan 7 maka gunkan π = 22/7. Luas lingkaran dapat dihitung yakni:

L = πr²

L = (22/7).(7 m)² L = 154 m²

Jadi, luas kolam ikan yang akan dibuat oleh Ali adalah 154 m² Contoh Soal 2

Di pusat sebuah kota rencananya akan dibuat sebuah taman berbentuk lingkaran dengan jari-jari 10 m. Jika taman tersebut akan ditanami rumput dengan biaya Rp 6.000,00/m², hitunglah seluruh biaya yang harus dikeluarkan untuk menanam rumput tersebut.

Penyelesaian:

Karena yang diketahui hanya jari-jarinya dan panjang jari-jari lingkaran merupakan bukan kelipatan 7 maka gunkan π = 3,14. Luas taman dapat dihitung yakni:

L = πr²

L = 3,14.(10 m)² L = 314 m²

Jadi, luas taman yang akan ditanami rumput adalah 314 m²

Untuk menghitung biaya yang diperlukan dapat dilakukan dengan cara mengalikan biaya per m² dengan luas taman, maka:

Biaya = biaya per m² × luas Biaya = Rp 6.000,00/m² × 314 m² Biaya= Rp 1.884.000,00

Jadi, seluruh biaya yang harus dikeluarkan untuk menanam rumput tersebut adalah Rp 1.884.000,00,-

Rumus Mencari Luas Lingkaran Jika Diameter Diketahui

Kita ketahui bahwa diameter (garis tengah) lingkaran merupakan dua kali jari-jari lingkaran atau dapat ditulis:

d = 2r <=> r = ½d

Maka rumus mencari luas lingkaran jika diameter diketahui yakni:

L = πr² L = π(½d)² L = ¼πd²

Jadi rumus untuk mencari luas lingkaran jika diameter lingkaran diketahui yakni:

L = ¼πd² Di mana:

L = luas lingkaran π = 3,14 atau 22/7 d = diameter lingkaran

Contoh Soal 3

Lempar cakram adalah salah satu cabang olahraga atletik. Cakram yang dilempar memiliki diameter 220 mm. Tentukan luas cakram tersebut.

Penyelesaian:

Karena yang diketahui hanya diameternya dan panjang diameter cakram merupakan bukan kelipatan 7 maka gunkan π = 3,14. Luas cakram dapat dihitung yakni:

L = ¼πd²

L = ¼ . 3,14 . (220 mm)² L = 37.994 mm² = 379,94 cm²

Jadi, luas cakram adalah 379,94 cm²

Contoh Soal 4

Sebuah koin mainan berbentuk lingkaran dengan diameter 28 mm. Tentukan luas koin mainan tersebut.

Penyelesaian:

L = ¼πd²

L = ¼ . (22/7) . (28 mm)²

L = ¼ . (22/7) . (28 mm). (28 mm) L = 616 mm²

Jadi, luas koin mainan tersebut adalah 616 mm²

Rumus Mencari Luas Lingkaran Jika Keliling Diketahui

Untuk mencari rumus luas lingkaran jika keliling lingkaran diketahui dapat dilakukan dengan dua cara yakni dengan rumus tidak langsung dan langsung. Untuk rumus tidak langsung Anda harus mencari jari-jari atau diameter lingkaran tersebut kemudian cari luasnya dengan rumus:

L = πr² atau L = ¼πd²

Sedangkan untuk mencari rumus langsung perhatikan uraian ini. Sebelum itu Anda harus paham dengan rumus keliling lingkaran. Perlu Anda ketahui bahwa rumus keliling lingkaran yakni:

K = 2πr Dimana:

K = keliling lingkaran π = 22/7 atau 3,14 r = jari-jari lingkaran

maka:

r = ½K/π

Dengan mensubstitusi r = ½K/π ke rumus luas lingkaran L = πr², maka:

L = πr²

L = π(½K/π)² L = ¼ (K²/π)

Jadi rumus mencari luas lingkaran jika keliling lingkaran diketahui adalah:

L = ¼ (K²/π)

Contoh Soal 5

Sebuah taman berbentuk lingkaran yang dipagari dengan kawat dengan panjang kawat 44 m. Tentukan luas lingkaran tersebut.

Penyelesaian:

Cara Tidak Langsung:

K = 2πr

44 m = 2 . (22/7) . r 44 m = r . 44/7 r = 7 m

L = πr²

L = (22/7) . (7 m)²

L = (22/7) . (7 m) . (7 m) L = 154 m²

Cara Langsung:

L = ¼ (K²/π)

L = ¼ ((44 m)²/(22/7)) L = ¼ (44 m) . (44 m)/(22/7) L = 7 . (11 m) . 2 m

L = 154 m²

Jadi luas taman yang dipagari dengan kawat tersebut adalah 154 m².

Kesimpulan:

Berdasarkan pemaparan di atas maka dapat ditarik kesimpulan bahwa rumus mencari luas lingkaran yakni:

L = πr² L = ¼πd² L = ¼ (K²/π)

Hubungan Antara Keliling dan Luas Lingkaran

Untuk memahami hubungan antara keliling dengan luas lingkaran Anda harus paham dengan konsep keliling lingkaran dan luas lingkaran. Hubungan antara keliling dengan luas lingkaran cocok digunakan untuk menjawab soal-soal ulangan umum dan ujian nasional yang bentuk soalnya berupa pilihan ganda karena membutuhkan waktu yang singkat.

Jika Anda mampu menguasai materi tentang hubungan keliling lingkaran dengan luasnya, Anda tidak perlu mencari jari-jari atau diameternya jika yang diketahui keliling atau luasnya saja. Bagaimana caranya? Sekarang coba simak baik-baik pembahasan berikut ini.

Kita gunakan rumus keliling lingkaran dengan mencari jari-jarinya, misalkan keliling lingkaran K dan luasnya L, maka:

K = 2πr => r = K/2π

Sekarang substitusi persamaan jari-jari r ke rumus luas lingkaran, maka:

L = πr² L = π(K/2π)² L = π.K²/4π² L = K²/4π

Dari persamaan hubungan antara keliling lingkaran dengan luasnya juga bisa dicari hubungan kebalikannya yaitu hubungan antara luas lingkaran dengan kelilingnya, yakni:

L = K²/4π K² = 4πL K = √(4πL)

Sekarang coba perhatikan contoh soal berikut ini tentang hubungan keliling lingkaran dengan luasny atau sebaliknya.

Contoh Soal 1

Hitunglah luas lingkaran jika diketahui kelilingnya 44 cm?

Penyelesaian:

Cara 1 K = 2πr r = K/2π

r = 44 cm/2(22/7) r = 44 cm.7/44 r = 7 cm

L = πr²

L = (22/7)(7 cm)² L = (22/7).49 cm² L = 154 cm²

Cara 2 L = K²/4π

L = (44 cm)²/(4(22/7)) L = (44 cm)(44 cm)7/(4.22) L = (11 cm)(2 cm)7

L = 154 cm²

Contoh Soal 2

Hitunglah keliling lingkaran jika diketahui luasnya 616 cm²?

Penyelesaian:

Cara 1 L = πr² r = √(L/π)

r = √(616 cm²/(22/7)) r = √(616 cm².7/22) r = √(196 cm²) r = 14 cm

K = 2(22/7) 14 cm K = 88 cm

Cara 2 K = √(4πL)

K = √(4(22/7)(616 cm²)) K = √(88.88 cm²)

K = 88 cm

Menghitung Perubahan Luas dan Keliling Lingkaran Jika Jari-Jari Berubah

Rumus untuk menghitung luas (L) = πr² = ¼πd² dan rumus untuk menghitung keliling (K) = πd = 2πr. Apa yang terjadi jika nilai r atau d tersebut kita ubah? Tentunya maka besarnya keliling maupun luasnya juga mengalami perubahan. Bagaimana besar perubahan itu? Untuk mengetahui bagaimana besar perubahan tersebut coba perhatikan uraian berikut.

Misalkan sebuah lingkaran memiliki jari-jari r1, diperbesar sehingga jari-jarinya menjdi r2, dengan r2 > r1. Jika luas lingkaran semula adalah L1 dan luas lingkaran setelah mengalami perubahan jari-jari adalah L2 maka selisih luas kedua lingkaran adalah:

L2 - L1 = πr22 – πr12

L2 - L1 = π(r22 – r12

) L2 - L1 = π(r2 – r1) (r2+ r1)

Jika keliling lingkaran semula adalah K1 dan keliling setelah mengalami perubahan jari- jari adalah K2 maka selisih keliling kedua lingkaran adalah

K2 - K1 = 2πr2 - 2πr1

K2 - K1 = 2π(r2 - r1)

Kamu juga dapat menghitung perbandingan luas dan keliling lingkaran jika jari-jari berubah. Perbandingan luas kedua lingkaran sebagai berikut.

L2 : L1 = πr22 : πr12

L2 : L1 = r22

: r12

Adapun perbandingan kelilingnya adalah K2 : K1 = 2πr2 : 2πr1

K2 : K1 = r2 : r1

Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa lingkaran yang berjari-jari r1, setelah mengalami perubahan jari-jari menjadi r2 dengan r2 > r1, maka selisih serta perbandingan luas dan kelilingnya sebagai berikut.

L2 - L1 = π(r2 – r1) (r2+ r1) K2 - K1 = 2π(r2 - r1) L2 : L1 = r22

: r12

K2 : K1 = r2 : r1

Contoh Soal Tentang Menghitung Perubahan Luas dan Keliling Lingkaran Jika Jari-Jari Berubah

Contoh Soal 1

Hitunglah selisih serta perbandingan luas dan keliling lingkaran yang berjari-jari 2 cm dan 4 cm.

Penyelesaian:

Lingkaran berjari-jari 2 cm, maka r1 = 2.

Lingkaran berjari-jari 4 cm, maka r2 = 4.

Selisih luas = L2 - L1

Selisih luas = π(r2 – r1)(r2+ r1)

Selisih luas = π(4 cm – 2 cm)(4 cm+ 2 cm) Selisih luas = π x 2 cm x 6 cm

Selisih luas = 12π cm2

Selisih keliling = K2 - K1

Selisih keliling = 2π(r2 - r1) Selisih keliling = 2π(4 cm- 2 cm) Selisih keliling = 2π x 2 cm Selisih keliling = 4π cm

Perbandingan luas = L2 : L1

Perbandingan luas = r22

: r12

Perbandingan luas = (4 cm )² : (2 cm)² Perbandingan luas = 16 cm² : 4 cm² Perbandingan luas = 4: 1

Perbandingan keliling = K2 : K1

Perbandingan keliling = r2 : r1

Perbandingan keliling = 4 cm : 2 cm Perbandingan keliling = 2 : 1

Contoh Soal 2

Diketahui suatu lingkaran berjari-jari r cm. Hitung selisih serta perbandingan luas dan keliling lingkaran jika jari-jarinya diubah menjadi

a. dua kalinya;

b. (r + 2) cm.

Jawab:

a) Luas dan keliling lingkaran untuk jari-jari r adalah:

L1 = πr² cm² K1 = 2πr cm

Luas dan keliling lingkaran untuk jari-jari 2r adalah:

L2 = π(2r)²= 4πr² cm² K2 = 2π(2r) = 4πr cm

Selisih luas jika jari-jarinya diubah menjadi dua kalinya:

L2 - L1 = 4πr² - πr² L2 - L1 = 3πr² cm²

Selisih keliling jika jari-jarinya diubah menjadi dua kalinya:

K2 - K1= 4πr - 2πr K2 - K1= 2πr cm

Perbandingan luas lingkaran jika jari-jarinya diubah menjadi dua kalinya:

L2 : L1 = 4πr² cm² : πr² cm² L2 : L1 = 4 : 1

Perbandingan keliling lingkaran jika jari-jarinya diubah menjadi dua kalinya:

K2 : K1 = 4πr cm : 2πr cm K2 : K1 = 2 : 1

b) Luas dan keliling lingkaran untuk jari-jari r adalah:

L1 = πr² cm² K1 = 2πr cm

Luas dan keliling lingkaran untuk jari-jari (r + 2) cm adalah:

L2 = π((r + 2) cm)² L2 = π (r² + 4r + 4) cm² L2 = (πr² + 4πr + 4 π) cm²

K2 = 2π((r + 2) cm) K2 = (2πr + 4π)cm

Selisih luas jika jari-jarinya diubah menjadi (r + 2) cm:

L2 - L1 = (πr² + 4πr + 4 π) cm² - πr² cm² L2 - L1 = (4πr + 4 π) cm²

Selisih keliling jika jari-jarinya diubah menjadi (r + 2) cm:

K2 - K1= (2πr + 4π)cm - 2πr cm K2 - K1= 4π cm

Perbandingan luas lingkaran jika jari-jarinya diubah menjadi (r + 2) cm:

L2 : L1 = (πr² + 4πr + 4 π) cm² : πr² cm² L2 : L1 = (r² + 4r + 4) : r²

L2 : L1 = (1 + 4/r + 4 r2) : 1

Perbandingan keliling lingkaran jika jari-jarinya diubah menjadi (r + 2) cm:

K2 : K1= (2πr + 4π) cm : 2πr cm K2 : K1= (r + 2) : r

K2 : K1= (1 + 2/r) : 1

Contoh soal 3

Diketahui jari-jari suatu lingkaran semula 7 cm. Hitunglah selisih dan perbandingan luas dan keliling lingkaran setelah jari-jarinya

a. diperbesar tiga kalinya;

b. diperkecil 1/2 kalinya.

Jawab:

a) Luas dan keliling lingkaran untuk jari-jari 7 cm adalah:

L1 = πr²

L1 = π x (7 cm)² L1 = 22/7 x 49 cm² L1 = 154 cm²

K1 = 2πr

K1 = 2π x 7 cm K1 = 2x22/7x 7 cm K1 = 44 cm

Luas dan keliling lingkaran untuk jari-jari diperbesar tiga kali (jari-jarinya menjadi 3 x 7 cm = 21 cm) adalah:

L2 = π(21 cm)² L2 = 22/7 x 441 cm² L2 = 1.386 cm²

K2 = 2π(21 cm) K2 = 2x 22/7 x 21 cm K2 = 132 cm

Selisih luas untuk jari-jari diperbesar tiga kali adalah:

L2 - L1 = 1.386 cm² - 154 cm² L2 - L1 = 1.232 cm²

Selisih keliling untuk jari-jari diperbesar tiga kali adalah:

K2 - K1= 132 cm - 44 cm K2 - K1= 88 cm

Perbandingan luas lingkaran untuk jari-jari diperbesar tiga kali adalah:

L2 : L1 = 1.386 cm² : 154 cm² L2 : L1 = 9 : 1

Perbandingan keliling lingkaran untuk jari-jari diperbesar tiga kali adalah:

K2 : K1 = 132 cm : 44 cm K2 : K1 = 3 : 1

b) Luas dan keliling lingkaran untuk jari-jari 7 cm adalah:

L1 = πr²

L1 = π x (7 cm)² L1 = 22/7 x 49 cm² L1 = 154 cm²

K1 = 2πr

K1 = 2π x 7 cm K1 = 2x22/7x 7 cm K1 = 44 cm

Luas dan keliling lingkaran untuk jari-jari diperkecil 1/2 kali (jari-jarinya menjadi 7 cm/2

= 7/2 cm) adalah:

L2 = π(7/2 cm)² L2 = 22/7 x 12,25 cm² L2 = 38,5 cm²

K2 = 2π (7/2 cm) K2 = 2 x 22/7 x 7/2 cm K2 = 22 cm

Selisih luas untuk jari-jari diperkecil ½ kali adalah:

L1 – L2 = 154 cm2 – 38,5 cm² L1 – L2 = 115,5 cm²

Selisih keliling untuk jari-jari diperkecil ½ kali adalah:

K1 – K2= 44 cm - 22 cm K1 – K2= 22 cm

Perbandingan luas lingkaran untuk jari-jari diperkecil ½ kali adalah:

L2 : L1 = 38½ cm² : 154 cm² L2 : L1 = 77: 308

L2 : L1 = 1: 4

Perbandingan keliling lingkaran untuk jari-jari diperkecil ½ kali adalah:

K2 : K1 = 22 cm: 44 cm K2 : K1 = 1 : 2

Contoh Soal 4

Perbandingan luas dua buah lingkaran adalah 616 cm²: 2.464 cm². Hitunglah a. perbandingan keliling kedua lingkaran

b. selisih keliling kedua lingkaran;

c. perbandingan jari-jari kedua lingkaran;

d. selisih jari-jari kedua lingkaran.

Jawab:

Terlebih dahulu cari jari-jari untuk kedua lingkaran terebut. Untuk lingkaran yang pertama dengan luas 616 cm² adalah:

L1 = πr²

616 cm² = π x r12

616 cm² = 22/7 x r12

r12

= 196 cm² r1 = √(196 cm²) r1 = 14 cm

Untuk lingkaran yang pertama dengan luas 2.464 cm² adalah:

L2 = πr²

2.464 cm² = π x r22

2.464 cm2 = 22/7 x r22

r22

= 784 cm² r2 = √(784 cm²) r2 = 28 cm

a. untuk mencari perbandingan keliling kedua lingkaran, terelebih dahulu cari kedua keliling lingkaran tersebut. Untuk lingkaran pertama dengan jari-jari 14 cm adalah K1 = 2πr

K1 = 2π x 14 cm K1 = 2x22/7x 14 cm

K1 = 88 cm

Untuk lingkaran pertama dengan jari-jari 28 cm adalah:

K2 = 2πr

K2 = 2π x 28 cm K2 = 2 x 22/7 x 28 cm K2 = 176 cm

Maka perbandingan keliling kedua lingkaran adalah:

K1 : K2 = 88 cm : 176 cm K1 : K2 = 1 : 2

b) Selisih keliling kedua lingkaran adalah:

K2 – K1 = 176 cm - 88 cm K2 – K1 = 90 cm

c. perbandingan jari-jari kedua lingkaran adalah:

r1 : r2 = 14 cm : 28 cm r1 : r2 = 1 : 2 cm

d. selisih jari-jari kedua lingkaran.

r2 - r1 : = 28 cm - 14 cm r2 - r1 : = 14 cm

Contoh Soal 5

Jari-jari dua buah lingkaran masin-masing adalah a cm dan 3a cm. Jika jumlah panjang jari-jari kedua lingkaran itu 28 cm, tentukan

a. nilai a

b. perbandingan luas dan kelilingnya c. selisih luas dan kelilingnya.

Jawab:

Diketahui:

r1 = a cm r2 = 3a cm r1 + r2 = 28 cm

ditanyakan:

a) nilai a = ?

b) L2 : L1 = ? dan K2 : K1 = ? c) L2 – L1 = ? dan K2 – K1 = ?

Penyelesaiannya:

a) a cm + 3a cm = 28 cm 4a cm = 28 cm

a = 28 cm/4 cm a = 7

b) untuk mencari perbandingan luas dan kelilingnya terlebih dahulu mencari jari-jari untuk kedua lingkaran tersebut, kemudian mencari luas dan keliling masing-masing lingkaran tersebut.

r1 = a cm = 7 cm L1 = πr²

L1 = π(7 cm)² L1 = 22/7 x 49 cm² L1 = 154 cm²

K1 = 2πr K1 = 2π (7 cm) K1 = 2 x 22/7 x 7 cm K1 = 44 cm

r2 = 3a cm = 3 x 7 cm = 21 cm L2 = πr²

L2 = π(21 cm)² L2 = 22/7 x 441 cm² L2 = 1.386 cm²

K2 = 2πr

K2 = 2π (21 cm) K2 = 2 x 22/7 x 21 cm K2 = 132 cm

Perbandingan luas lingkaran L2 : L1 = 1.386 cm² : 154 cm² L2 : L1 = 9 : 1

Perbandingan keliling lingkaran K2 : K1 = 132 cm : 44 cm

K2 : K1 = 3 : 1

c ) Selisih luas lingkaran adalah L2 – L1 = 1.386 cm² - 154 cm² L2 – L1 = 1.232 cm²

Selisih keliling lingkaran adalah K2 – K1 = 132 cm - 44 cm K2 – K1 = 88 cm

Hubungan Sudut Pusat, Panjang Busur, Luas Juring, dan Luas Tembereng

Pernahkah Anda melihat orang bermain tolak peluru? Kalau belum pernah melihatnya coba perhatikan gambar di bawah ini!

Gambar di atas merupakan orang yang mau melempar peluru. Tahukah Anda bagaimana bentuk lapangan permainan tolak peluru? Gambar A di bawah ini merupakan gambar bentuk lapangan tolak peluru.

Gambar A

Jika dilihat secara mendetail pada lingkaran (titik A) maka gambar lapangan tolak peluru seperti gambar B di bawah ini.

Gambar B

Dapatkah Anda menghitungnya berapa panjang busur yang dibentk oleh sudut 45 pada Gambar B? Sekarang perhatikan Gambar A, titik A sama seperti gambar B. Jika jarak anak A dan anak B sejauh 100 m, dapatkah Anda hitung berapa panjang busur (garis lengkung) yang dibentuk oleh anak B dan anak C?

Untuk menjawab soal tersebut Anda harus paham dengan konsep keliling lingkaran, sudut pusat, dan panjang busur serta hubungannya.

Sudut pusat adalah sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari yang berpotongan pada pusat lingkaran. Pada gambar di bawah, sudut AOB = α adalah sudut pusat lingkaran.

Garis lengkung AB disebut busur AB dan daerah arsiran OAB disebut juring OAB.

Pada pembahasan kali ini, kita akan mempelajari hubungan antara sudut pusat, panjang busur, dan luas juring pada sebuah lingkaran.

Hubungan antara sudut pusat, panjang busur, dan luas juring adalah sebagai berikut.

Jadi, panjang busur dan luas juring pada suatu lingkaran berbanding lurus dengan besar sudut pusatnya.

Sekarang perhatikan Gambar di atas tersebut. Dari gambar tersebut diperoleh

Sekarang, misalkan ∠ COD = satu putaran penuh = 360° maka keliling lingkaran = 2πr, dan luas lingkaran = πr² dengan r jari-jari, akan tampak seperti Gambar di atas, sehingga diperoleh

Dengan demikian, diperoleh rumus panjang busur AB, luas juring AB, dan luas tembereng AB pada Gambar di atas adalah

panjang busur AB = (α/360°) x 2πr luas juring OAB = (α/360°) x πr²

luas tembereng AB = luas juring OAB – luas Δ AOB.

Berdasarkan penjelasan tersebut didapat tiga hubungan yakni:

 Hubungan sudut pusat dengan panjang busur

 Hubungan sudut pusat dengan luas juring

 Hubungan panjang busur dengan luas juring

Berdasarkan penjelasan tersebut dapatkah Anda menjawab soal berapa panjang busur yang dibentuk oleh sudut 45 pada Gambar B?

Berikut pembahasannya:

Pada gambar tersebut diketahui bahwa d = 2,135 m dan α = 45°, maka:

Panjang busur = (∠ pusat/360°) x πd

Panjang busur = (45°/360°) x 3,14 x 2,135 m Panjang busur = 0,84 m

Jadi panjang busur pada gambar B adalah 0,48 m

Sekarang perhatikan Gambar A, titik A sama seperti gambar B. Jika jarak anak A dan anak B sejauh 100 m, dapatkah Anda hitung berapa panjang busur (garis lengkung) yang dibentuk oleh anak B dan anak C?

Berikut pembahasannya:

Pada gambar tersebut diketahui bahwa r = 100 m dan α = 45°, maka:

Panjang busur = (∠ pusat/360°) x πd Panjang busur = (45°/360°) x 3,14 x 100 m Panjang busur = 39,25 m

Jadi panjang busur pada gambar A adalah 39,25 m

Contoh Soal Tentang Hubungan Antara Sudut Pusat, Panjang Busur, Dan Luas Juring

Perhatikan Gambar di atas. Diketahui panjang jari-jari OA = 28 cm. Jika besar ∠ AOB

= 90°, hitunglah

1. panjang AB ; 2. luas juring OAB;

3. luas tembereng AB.

Penyelesaian:

1. Panjang AB = (∠ AOB/360°) x 2πr Panjang AB = (90°/360°) x 2 x 22/7 x 28 cm Panjang AB = (1/4) x 2 x 22/7 x 28 cm Panjang AB = 44 cm

2. luas juring OAB = (∠ AOB/360°) x πr2 luas juring OAB = (90°/360°) x 22/7 x (28 cm)2 luas juring OAB = (1/4) x 22/7 x 28 x 28 cm2 luas juring OAB = 616 cm2

3. Karena besar sudut AOB = 90°, maka Δ AOB adalah Δ siku-siku sisi 10 cm, sehingga

Luas Δ AOB = ½ alas x tinggi Luas Δ AOB = ½ x 28 cm x 28 cm Luas Δ AOB = 392 cm2

Luas tembereng AB = luas juring AOB – luas ΔAOB Luas tembereng AB = 616 cm² – 392 cm2

Luas tembereng AB = 224 cm²

Hubungan Sudut Pusat Dengan Panjang Busur Lingkaran

Sebelum Anda mempelajari bagaimana hubungan sudut pusat lingkaran dengan panjang busur lingkaran, Anda harus mengerti terlebih dahulu apa itu sudut pusat lingkaran dan apa itu panjang busur lingkaran. Sudut pusat dan panjang busur lingkaran merupakan unsur-unsur atau bagian-bagian dari lingkaran yang sangat penting anda ketahui.

Satu hal lagi yang Anda perlu ingat agar mudah memperlajari hubungan antara sudut pusat dengan panjang busur lingkaran yaitu cara mencari keliling lingkaran dan konsep perbandingan senilai atau seharga. Apa hubungannya perbandingan senilai dengan materi ini? Oke nanti akan dijelaskan secara mendetail. Sekarang perhatikan gambar di bawah ini!

Pada gambar di atas sebuah lingkaran dengan jari-jari r memiliki sudut pusat AOB yang besarnya α (α baca: alfa) dan memiliki panjang busur garis lengukung AB.

Kemudian apa yang terjadi jika sudut α diperbesar menjadi sudut β (β baca betta) seperti gambar di bawah ini?

Ternyata panjang busur lingkaran menjadi besar setelah sudut pusatnya diperbesar.

Nah inilah yang disebut dengan perbandingan senilai atau seharga. Di mana semakin besar sudut pusat maka semakin besar panjang busurnya, begitu juga sebaliknya semakin kecil sudut pusatnya maka semakain kecil panjang busurnya. Sekarang bagaimana kalau sudut α tersebut diubah menjadi satu lingkaran penuh (360°)?

Ternyata setelah sudut pusat diubah menjadi satu lingkaran penuh (360°) maka panjang busur lingkaran menjadi keliling lingkaran. Nah dari pernyataan tersebut dapat diperoleh hubungan antara sudut pusat, panjang busur dengan keliling lingkaran yaitu panjang busur per keliling lingkaran sama dengan besarnya sudut pusat per sudut satu lingkaran penuh (360°). Secara matematis pernyataan tersebut dapat dirumuskan:

Panjang busur/keliling = sudut pusat/360°

Untuk memantapkan pemahaman Anda mengenai hubungan sudut pusat, panjang busur dan keliling lingkaran. Perhatikan dengan baik-baik contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal 1

Perhatikan gambar di bawah ini!

Jika besarnya α = 36° dan r = 14 cm. Hitunglah panjang busur AB?

Penyelesaian:

Untuk menjawab soal di atas Anda harus mencari keliling lingkaran tersebut yaitu:

K = 2πr

K = 2 . (22/7) . 14 cm K = 88 cm

Sekarang cari panjang busur AB dengan konsep perbandingan nilai yaitu:

Panjang busur/keliling = sudut pusat/360°

AB/88 cm = 36°/360°

AB/88 cm = 1/10 AB = 88 cm/10 AB = 8,8 cm

Jadi, panjang busur AB adalah 8,8 cm.

Contoh Soal 2

Perhatikan gambar di bawah ini!

Jika panjang busur AB = 110 cm dan r = 63 cm. Hitunglah besar sudut pusat β?

Penyelesaian:

Untuk menjawab soal di atas Anda harus mencari keliling lingkaran tersebut yaitu:

K = 2πr

K = 2 . (22/7) . 63 cm K = 396 cm

Sekarang cari besar sudut pusat β dengan konsep perbandingan nilai yaitu:

Panjang busur/keliling = sudut pusat/360°

110 cm/396 cm = β/360°

β = (110 cm/396 cm). 360°

β = 100°

Jadi, besar sudut pusat β adalah 100°.

Hubungan Sudut Pusat Dengan Luas Juring Lingkaran

Konsep dasar yang harus anda kuasai untuk memahami hubungan antara sudut pusat, luas juring dan luas lingkaran yaitu anda harus memahami pengertian dari sudut pusat, pengertian luas juring dan cara mencari luas suatu lingkaran. Konsep pendukung lainnya yaitu perbandingan senilai. Konsep-konsep tersebut sangat membantu anda untuk memahami bagaimana hubungan sudut pusat dengan luas juring lingkaran.

Sekarang coba perhatikan gambar di bawah ini!

Pada gambar di atas terdapat juirng lingkaran AOB (luas yang diarsir) dengan sudut pusat α (baca: alfa) dan jar-jari r. Apa yang akan terjadi jika sudut pusat α diperbesar menjadi β (baca: betta) seperti gambar di bawah ini?

Ternyata setelah sudut pusat α diperbesar menjadi β maka luas juring AOB juga semakin membesar. Ini sesuai dengan konsep perbandingan senilai atau seharga, di mana jika sudut pusat lingkaran diperbesar maka luas juring lingkaran tersebut juga ikut menjadi tambah besar, begitu juga sebaliknya jika sudut pusat lingkaran diperkecil maka luas juring lingkaran juga akan mengecil. Sekarang bagaimana kalau sudut α tersebut diubah menjadi satu lingkaran penuh (360°)?

Jika sudut pusat diubah menjadi satu lingkaran penuh maka luas juringnya menjadi luas lingkaran. Dari pernyataan tersebut dapat ditarik kesimpulan bahwa hubungan antara besar sudut pusat, luas juring, dan luas lingkaran yakni “luas juring per luas lingkaran sama dengan sudut pusat per sudut satu lingkaran penuh (360°)” Secara matematis pernyataan tersebut dapat dirumuskan:

Juring/Luas = Sudut Pusat/360°

Untuk memantapkan pemahaman Anda mengenai hubungan sudut pusat, luas juring dan luas lingkaran. Perhatikan dengan baik-baik contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal 1

Perhatikan gambar di bawah ini!

Jika besarnya α = 36° dan r = 14 cm. Hitunglah luas juring AOB?

Penyelesaian:

Untuk menjawab soal di atas Anda harus mencari luas lingkaran tersebut yaitu:

L = πr²

L = (22/7) . (14 cm)² L = 616 cm²

Sekarang cari luas juring AOB dengan konsep perbandingan nilai yaitu:

Juring/Luas = Sudut Pusat/360°

AB/616 cm² = 36°/360°

AB/616 cm² = 1/10 AB = 616 cm²/10 AB = 61,6 cm²

Jadi, luas juring AOB adalah 61,6 cm².

Contoh Soal 2

Perhatikan gambar di bawah ini!

Jika luas juring AOB = 462 cm² dan r = 21 cm. Hitunglah besar sudut pusat β?

Penyelesaian:

Untuk menjawab soal di atas Anda harus mencari luas lingkaran tersebut yaitu:

L = πr²

L = (22/7) . (21 cm)² L = 1386 cm²

Sekarang cari besar sudut pusat β dengan konsep perbandingan senilai yaitu:

Juring/Luas = sudut pusat/360°

462 cm²/1386 cm²= β/360°

β = (462 cm²/1386 cm²). 360°

β = 120°

Jadi, besar sudut pusat β adalah 120°.

Hubungan Luas Juring dengan Panjang Busur Lingkaran

Perlu Anda ketahui bahwa pada lingkaran (khususnya tentang panjang busur dan luas juring), berlaku perbandingan senilai atau seharga. Ini sudah Mafia Online posting pada artikel “hubungan sudut pusat dengan panjang busur” dan “hubungan antara sudut pusat dengan luas juring”. Kemudian bagaimana hubungan antara luas juring dengan panjang busur? Apakah akan berlaku perbandingan senilai?

Untuk menjawab soal tersebut coba perhatikan gambar di bawah ini.

Gambar lingkaran di atas memiliki jari-jari r, panjang busur AB, dan luas juring AOB.

Apa yang terjadi jika panjang busur AB diperbesar menjadi busur AB’ seperti gambar di bawah ini?

Ternyata setelah panjang busur AB diperbesar menjadi busur AB’ maka luas juring AOB semakin membesar menjadi AOB’ seperti gambar di atas. Ini sesuai dengan konsep perbandingan senilai atau seharga, di mana jika panjang busur lingkaran diperbesar maka luas juring lingkaran tersebut juga ikut menjadi tambah besar, begitu juga sebaliknya jika panjang lingkaran diperkecil maka luas juring lingkaran juga akan mengecil. Sekarang bagaimana kalau panjang busur tersebut diubah menjadi keliling lingkaran?

Jika panjang busur diubah menjadi keliling lingkaran maka luas juringnya menjadi luas lingkaran. Dari pernyataan tersebut dapat ditarik kesimpulan bahwa hubungan antara

panjang busur, luas juring, keliling lingkaran dan luas lingkaran yakni “luas juring per luas lingkaran sama dengan panjang busur per keliling lingkaran” Secara matematis pernyataan tersebut dapat dirumuskan:

Juring/Luas = Busur/Keliling

Misalkan luas juring kita notasikan dengan J, panjang busur kita notasikan dengan B, Luas lingkaran = πr², dan keliling lingkaran = 2πr, maka persamaannya menjadi:

J/πr² = B/2πr J/r = B/2 2J = B.r

Untuk memantapkan pemahaman Anda mengenai hubungan panjang busur, luas juring, keliling lingkaran dan luas lingkaran. Perhatikan dengan baik-baik contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal 1

Perhatikan gambar di bawah ini!

Jika panjang busur AB = 4,4 cm dan r = 14 cm. Hitunglah luas juring AOB?

Penyelesaian:

Cara biasa:

Untuk menjawab soal di atas Anda harus mencari keliling dan luas lingkaran tersebut yaitu:

K = 2πr

K = 2 . (22/7) . (14 cm) K = 88 cm

L = πr²

L = (22/7) . (14 cm)² L = 616 cm²

Sekarang cari luas juring AOB dengan konsep perbandingan nilai yaitu:

Juring AOB/Luas = Busur/Keliling Juring AOB/616 cm² = 4,4 cm/88 cm Juring AOB /616 cm² = 1/20

Juring AOB = 616 cm²/20 Juring AOB = 30,8 cm²

Jadi, luas juring AOB adalah 30,8 cm².

Cara cepat:

2J = B.r

2.J = 4,4 cm . 14 cm J = 61,6 cm²/2 J = 30,8 cm²

Contoh Soal 2

Sebuah lingkaran dengan diameter 20 cm memiliki juring dengan luas 100 cm². Tentukan panjang busur yang dibentuk oleh juring tersebut.

Penyelesaian:

2J = B.r

2.100 cm² = B . 10 cm B = 200 cm²/10 cm B = 20 cm

Cara Menghitung Luas Tembereng Lingkaran

Pemahaman dasar yang harus anda kuasai untuk bisa menghitung luas tembereng suatu lingkaran yakni pengertian tembereng dan juring lingkaran (merupakan unsur atau bagian lingkaran), cara menghitung luas segitiga, cara menghitung luaslingkaran, dan hubungan antara sudut pusat dengan luas juring lingkaran. Tanpa konsep dasar tersebut Anda tidak akan mampu menghitung luas tembereng suatu lingkaran. Jadi pastikan diri Anda sudah menguasai konsep dasar tersebut.

Tembereng merupakan luas daerah dalam lingkaran yang dibatasi oleh busur dan tali busur, seperti contoh gambar di bawah ini.

Tembereng pada gambar di atas (yang diarsir) dibatasi oleh busur AB (garis lengkung AB) dan tali busur AB (garis lurus AB). Bagaimana cara mencari tembereng pada gambar di atas (diarsir)?

Perhatikan kembali gambar di atas, terlihat bahwa luas yang diarsir (tembereng) sama dengan luas juring AOB dikurangi dengan luas segitiga AOB. Jadi secara matematis mencari luas tembereng dapat ditulis:

Tembereng = Luas Juring – Luas Segitiga

Tanpa melihat contohnya mungkin Anda kebingungan, sekarang coba perhatikan contoh soal di bawah ini!

Contoh Soal

Perhatikan gambar di bawah ini!

Pada gambar di atas, jika jari-jari lingkaran 14 cm, hitunglah luas tembereng AB!

Penyelesaian:

Hal pertama yang anda lakukan adalah mencari luas juring AOB. Untuk mencari luas juring AOB Anda harus mencari luas lingkaran terlebih dahulu yakni:

L = πr²

L = (22/7) . (14 cm)² L = 616 cm²

Sekarang cari luas juring dengan menggunakan rumus hubungan antara sudut pusat, luas juring, dan luas lingkaran. Dalam hal ini sudut pusatnya 90° karena berbentuk siku-siku, maka:

Luas juring/Luas lingkaran = sudut pusat/360°

Luas juring/616 cm² = 90°/360°

Luas juring/616 cm² = ¼ Luas juring = ¼ . 616 cm² Luas juring = 154 cm²

Sekarang cari luas segitiga AOB dengan menggunakan rumus:

L = ½ . alas . tinggi

Karena alas dan tingginya sama yaitu jari-jari lingkaran, maka:

L = ½ . 14 cm . 14 cm L = 98 cm²

Sekarang hitung luas tembereng AB dengan rumus di atas yang sudah dijelaskan, yaitu:

Luas tembereng = Luas juring – luas segitiga Luas tembereng = 154 cm²– 98 cm²

Luas tembereng = 56 cm²

Jadi, luas tembereng AB adalah 56 cm²

Contoh Soal Persegi dan Lingkaran

Pasti Anda sudah pernah melihat papan catur dan roda? Bagaimana bentuk kedua benda tersebut? Kedua benda tersebut berbeda dalam hal bentuknya, di mana papan catur berbentuk persegi atau bujur sangkar, sedangkan roda kendaraan berbentuk lingkaran. Bagaimana cara menghitung keliling dan luas persegi dan lingkaran?

Persegi

Pengertian persegi adalah bangun segi empat yang memiliki empat sisi sama panjang dan empat sudut siku-siku dan dapat menempati bingkainya dengan delapan cara. Untuk menghitung keliling dan luas persegi dapat menggunakan rumus:

K = 4s L = s × s = s²

Sedangkan hubungan antara keliling dan luas persegi yakni:

K = 4√L atau L = K²/16

Di mana:

K = keliling persegi L = luas persegi

s = panjang sisi persegi

Lingkaran

Pengertian lingkaran adalah kurva tertutup sederhana yang merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Jarak yang sama tersebut disebut jari-jari lingkaran dan titik tertentu disebut pusat lingkaran. Untuk menghitung keliling dan luas lingkaran dapat menggunakan rumus:

K = 2πr = πd L = π . r . r = ¼πd² d = 2r

Sedangkan hubungan antara keliling dan luas lingkaran yakni:

K = √(4πL)

atau

L = K²/4π

Di mana:

π = 3,14 atau 22/7 r = jari-jari

d = diameter

Contoh Soal Persegi dan Lingkaran

Berikut beberapa contoh soal persegi, soal lingkaran, dan soal kombinasi antara persegi dan lingkaran. Silahkan Anda pahami contoh soal berikut.

Contoh Soal 1

Sebuah persegi ABCD memiliki sisi 10 cm, hitunglah keliling dan luas persegi tersebut.

Penyelesaian:

s = 10 cm, maka:

K = 4s = 4.10 cm = 40 cm

L = s×s = 10 cm × 10 cm = 100 cm²

Contoh Soal 2

Jika sebuah bangun datar berbentuk persegi memiliki luas 64 cm², hitunglah keliling persegi tersebut.

Penyelesaian:

L = 64 cm², maka:

K = 4√L

K = 4√(64 cm²) K = 4.8 cm K = 32 cm Contoh Soal 3

Sebuah bangun datar berbentuk lingkaran memiliki garis tengah 14 cm, hitunglah keliling dan luas bangun lingkaran tersebut.

Penyelesaian:

d = 14 cm, maka:

K = πd

K = (22/7)14 cm K = 44 cm L = ¼πd²

L = ¼(22/7)(14 cm)²

L = ¼(22/7)(14 cm)(14 cm) L = (22/7)(7 cm)(7 cm) L = 22(7 cm)

L = 154 cm

Contoh Soal 4

Sebuah lingkaran memiliki luas 38,5 cm², hitunglah keliling lingkaran tersebut Penyelesaian:

L = 38,5 cm², maka:

K = √(4πL)

K = √(4 . 22/7 . 38,5 cm²) K = √(484 cm²)

K = 22 cm

Contoh Soal 5

Suatu kertas berbentuk persegi dengan keliling persegi 56 cm. Jika ingin membuat lingkaran dengan kertas tersebut, hitunglah keliling dan luas lingkaran maksimal yang dapat dibuat.

Penyelesaian:

Sekarang perhatikan gambar di bawah ini.

Jika ingin membuat lingkaran dengan kertas yang berbentuk persegi dengan keliling dan luas maskimal maka panjang diameter lingkaran harus sama dengan panjang persegi, maka kita harus mencari sisi dari persegi tersebut dengan rumus keliling persegi yakni:

K = 4s s = K/4 s = 56 cm/4 s = 14 cm

s = d = 14 cm, maka:

K = πd

K = (22/7)(14 cm) K = 44 cm

L = ¼πd²

L = ¼(22/7)(14 cm)²

L = ¼(22/7)(14 cm)(14 cm) L = (22/7)(7 cm)(7 cm) L = 22(7 cm)

L = 154 cm²

Hubungan Sudut Pusat dan Sudut Keliling Lingkaran

Sebelum Anda mempelajari lebih jauh mengenai hubungan sudut pusat dengan sudut keliling lingkaran. Anda harus paham terlebih dahulu pengertian unsur-unsur atau bagian-bagian lingkaran khusunya tentang busur, sudut pusat dan sudut keliling lingkaran.

Coba perhatikan gambar di atas dengan seksama, ∠AOB merupakan sudut pusat lingkaran dan ∠ ACB merupakan sudut keliling lingkaran. Sudut pusat ∠AOB dan sudut keliling ∠ACB menghadap busur yang sama, yaitu AB. Lalu bagaimana hubungan sudut pusat dengan sudut keliling jika menghadap busur yang sama?

Untuk mengetahui hubungan antara sudut pusat dengan sudut keliling lingkaran yang menghadap busur yang sama, perhatikan terlebih dahulu gambar di bawah.

Lingkaran di atas berpusat di titik O dan mempunyai jari-jari OA = OB = OC = OD = r.

Misalkan ∠AOC = α dan ∠COB = β, maka ∠ AOB = α + β.

Perhatikan ΔBOD!

∠BOD pelurus bagi ∠ BOC, sehingga ∠BOD = 180° – β . ΔBOD segitiga sama kaki, karena OB = OD = r, sehingga

∠ODB = ∠OBD = ½ (180° - ∠BOD)

Karena ∠BOD = 180° – β , maka diperoleh

∠ODB = ∠OBD = ½ (180° - (180° – β))

∠ODB = ½ β

Sekarang perhatikan ΔAOD!

∠AOD pelurus bagi ∠ AOC, sehingga ∠AOD = 180° – α. ΔAOD adalah segitiga sama kaki, karena OA = OD = r, sehingga

∠ODA = ∠OAD = ½ (180° - ∠AOD)

∠ODA = ∠OAD = ½ (180° - (180° – α))

∠ODA = ∠OAD = ½ α

Dengan demikian mengunakan persamaan ∠ODB = ½β dan ∠ ODA = ½α, maka besar ∠ADB dapat di cari:

∠ADB = ∠ODA + ∠ODB

∠ADB = ½β + ½α

∠ADB = ½ (β + α)

∠ADB = ½ ∠AOB atau

besar ∠AOB = 2 x besar ∠ ADB.

Karena ∠ AOB adalah sudut pusat dan ∠ADB adalah sudut keliling, di mana keduanya menghadap ∠AB , maka dapat disimpulkan sebagai berikut.

Jika sudut pusat dan sudut keliling menghadap busur yang sama maka besar sudut pusat = 2 x besar sudut keliling.

Besar Sudut Keliling yang Menghadap Diameter Lingkaran

Kalian telah mempelajari bahwa besar sudut pusat lingkaran adalah dua kali besar sudut kelilingnya, jika menghadap busur yang sama. Bagaimana besar sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran? Perhatikan Gambar di bawah ini.

Sudut pusat AOB menghadap busur AB. Perhatikan bahwa sudut keliling ACB dan sudut keliling ADB menghadap busur AB, sehingga diperoleh

∠AOB = 2 x ∠ ACB 180° = 2 x ∠ ACB

∠ ACB = 180°/2

∠ ACB = 90°

atau

∠AOB = 2 x ∠ ADB 180° = 2 x ∠ ADB

∠ ADB = 180°/2

∠ ADB = 90°

Dari Gambar di atas tampak bahwa ∠ AOB adalah sudut lurus, sehingga besar ∠ AOB

= 180o. Jadi, kesar sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran besarnya 90°

(sudut siku-siku).

Contoh Soal Tentang Besar Sudut Keliling yang Menghadap Diameter Lingkaran Diketahui ∠ ABC = 65° dengan AB diameter lingkaran. Hitunglah besar

∠ CAB.

Penyelesaian:

Ruas garis AB adalah diameter lingkaran. Karena ∠ ACB adalah sudut keliling yang menghadap diameter AB, maka besar ∠ ACB = 90°. Perhatikan bahwa ∠ BCO adalah segitiga sama kaki, karena OB = OC = r, sehingga ∠ BCO = ∠ CBO = 65°.

Dengan demikian diperoleh

∠ ACO = ∠ ACB - ∠ BCO

∠ ACO = 90° - 65°

∠ ACO = 25°

Karena ∠AOC sama kaki (OA = OC = r), maka

∠ CAO = ∠ ACO = 25°.

Sudut-Sudut Keliling yang Menghadap Busur yang Sama

Untuk menentukan besar sudut keliling yang menghadap busur yang sama, perhatikan Gambar di bawah ini.

Pada gambar tersebut ∠ AOB adalah sudut pusat yang menghadap busur AB = α, sedangkan ∠ACB, ∠ ADB, dan ∠AEB adalah sudut keliling yang menghadap busur AB.

∠ACB = ½ ∠AOB = ½ α

∠ADB = ½ ∠AOB = ½ α

∠AEB = ½ ∠ AOB = ½ α

Jadi, besar ∠ ACB = ∠ ADB = ∠ AEB.

Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut. Besar sudut-sudut keliling yang menghadap busur yang sama adalah sama besar atau ½ x sudut pusatnya.

Contoh Soal Tentang Sudut-Sudut Keliling yang Menghadap Busur yang Sama

Perhatikan Gambar di atas. Diketahui besar ∠ BAC = 50° dan ∠ CED = 60°. Hitunglah besar ∠ BDC, ∠ ACD, dan ∠ ABD.

Penyelesaian:

Dari Gambar di atas tampak bahwa ∠ BAC dan ∠ BDC sudut keliling menghadap busur yang sama yaitu busur BC, sehingga besar ∠BDC = ∠BAC = 50°. Perhatikan ΔCED.

∠ACD = 180° – (∠ CED + ∠ CDE)

∠ACD = 180° – (∠ CED + ∠ CDB)

∠ACD = 180° – (60° + 50°)

∠ACD = 70°

Sudut ∠ACD dan ∠ ABD adalah sudut keliling yang menghadap busur yang sama yaitu busur AD , sehingga besar ∠ABD = ∠ ACD = 70°.

D. Aktivitas Pembelajaran

Mengamati

 Mencermati masalah sehari-hari yang berkaitan dengan konsep lingkaran

 Mencermati unsur-unsur lingkaran (busur, jari-jari, diameter, tali busur, apotema, juring, tembereng, dan sudut pusat)

 Mencermati bentuk sudut pusat dan sudut keliling yang menghadap busur yang sama

 Mencermati proses ditemukannya rumus keliling lingkaran

Menanya

 Menanya tentang konsep dan bentuk lingkaran yang digunakan dalam kehidupan sehari-hari, misal untuk membuat roda, mempermudah gerak benda, dsb

 Menanya tentang kelebihan dan manfaat benda bentuk lingkaran, bagaimana terampil melukis lingkaran dengan media yang tersedia, dsb

 Menanya tentang keterkaitan antar unsur-unsur lingkaran

 Menanya hubungan sudut pusat dan sudut keliling

 Menanya hubungan antar beberapa susut keliling yang menghadap sudut pusat yang sama

 Menanya tentang hubungan antara sudut pusat dengan panjang busur dan luas juring

Mengumpulkan Informasi

 Menggali informasi tentang masalah sehari-hari yang berkaitan dengan lingkaran, seperti nilai estetika dan fungsi berbagai benda berbentuk lingkaran atau memiliki permukaan lingkaran

 Menggali informasi tentang unsur-unsur lingkaran (busur, jari-jari, diameter, tali busur, apotema, juring, tembereng, dan sudut pusat)

 Menggali informasi tentang nilai rasio atau perbandingan keliling dengan diameter sebagai π dengan nilai kira-kira 3.14

 Menggali informasi tentang jari-jari, diameter, keliling, luas ataupun unsur lainnya yang berkaitan dengan masalah lingkaran

 Menggali informasi tentang daerah juring lingkaran dengan sudut pusat tertentu

 Menggali informasi tentang besar sudut pusat, panjang busur dan luas juring adalah senilai/seharga/sebanding/linear menggunakan sudut, panjang busur dan luas juring

 Menggali informasi tentang hubungan antar beberapa susut keliling yang menghadap sudut pusat yang sama

 Menggali informasi untuk merumuskan model atau kalimat matematika yang tepat, lengkap dan cukup berdasarkan masalah sudut pusat, busur dan juring, serta syarat keberlakuan modelnya

 Menggali informasi tentang algoritma atau prosedur operasi serta manipulasi

matematika yang tepat dalam menyelesaikan model dari masalah sudut pusat, busur dan juring

 Menggali informasi tentang metode penyelesaian masalah yang berkaitan dengan sudut pusat, busur, dan juring

 Menggali informasi tentang sudut pusat dan sudut keliling lingkaran

 Menggali informasi tentang tahapan dan prosedur penyelesaian masalah sudut pusat, busur dan juring

 Menggali informasi untuk menghitung keliling dan luas lingkaran

 Menggali informasi tentang garis singgung pada satu titik pada dan di luar lingkaran

 Menggali informasi tentang panjang garis singgung lingkaran dari satu titik di luar lingkaran

 Menggali informasi tentang panjang garis singgung persekutuan dalam dan luar lingkaran

 Melukis lingkaran dalam segitiga

 Menggali informasi tentang Melukis lingkaran luar segitiga

Menalar/Mengasosiasi

 Menganalisis penerapan konsep lingkaran dalam masalah nyata

 Menganalisis hubungan antara unsur-unsur lingkaran (busur, jari-jari, diameter, tali busur, apotema, juring, tembereng, dan sudut pusat)

 Menganalisis sudut pusat dan sudut keliling

 Menganalisis panjang busur dan luas juring

 Menganalisis rumus keliling dan luas lingkaran berdasarkan hasil pengamatan atau percobaan

Mengomunikasikan

 Menyajikan secara tertulis atau lisan hasil pembelajaran, apa yang telah dipelajari, keterampilan atau materi yang masih perlu ditingkatkan, atau strategi atau konsep baru yang ditemukan berdasarkan apa yang dipelajari mengenai unsur-unsur

lingkaran, hubungan antara sudut pusat dengan sudut keliling yang menghadap busur sama, dan hubungan antara sudut pusat dengan panjang busur dan luas juring

 Memberikan tanggapan hasil presentasi meliputi tanya jawab untuk mengkonfirmasi, sanggahan dan alasan, memberikan tambahan informasi, atau melengkapi informasi ataupun tanggapan lainnya

Membuat rangkuman materi dari kegiatan pembelajaran yang telah diilakukan

E. Penilaian

1. Sebuah lingkaran memiliki panjang diameter 35 cm. Tentukanlah keliling lingkaran dan luas lingkaran.

2. Panjang jari-jari sepeda adalah 50 cm. Tentukanlah diameter ban sepeda tersebut dan keliling ban sepeda tersebut.

3. Sebuah lapangan berbentuk lingkaran memiliki 88 m, tentukanlah luas lapangan tersebut.

4. Perhatikan gambar di bawah ini!