Studi Statistik Kuantum Dalam Fungsi Partisi

STUDI STATISTIK KUANTUM DALAM FUNGSI PARTISI

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

HEBER N SEMBIRING 060801017

DEPARTEMEN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

LEMBAR PENGESAHAN

Judul : STUDI STATISTIK KUANTUM DALAM FUNGSI PARTISI

Kategori : SKRIPSI

Nama : HEBER N SEMBIRING

Nomor Induk Mahasiswa : 060801017

Program studi : SARJANA (S1) FISIKA

Departemen : FISIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Diluluskan di

Medan, 19 Oktober 2010

Disetujui oleh Pembimbing Departemen Fisika FMIPA USU

Ketua,

Dr,Marhaposan Situmorang. Drs.Kurnia Sembiring,MS. NIP.195110041980032001 NIP.195801311986011001

LEMBAR PERNYATAAN

STUDI STATISTIK KUANTUM DALAM FUNGSI PARTISI

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan

dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, 19 Oktober 2010

Heber.N Sembiring

LEMBAR PENGHARGAAN

Puji dan syukur Saya ucapkan kepada Allah Bapa di surga pencipta segala yang ada, kepada Yesus Kristus penyelamat hidupku dan juga kepada Roh Kudus penolong yang Bapa berikan kepadaku untuk tetap semangat dalam menghadapi kesukaran dan dalam suka maupun duka di saat mengerjakan tugas akhir ini. Kepada-Nyalah aku selalu berserah dengan segala hormat dan pujianku. Dan juga terkhusus kepada orang tua saya yang sangat saya sayangi dan saya cintai, W Sembiring dan K Br Karo yang telah membiayai, mendidik, menyemangati, mendukung dan mengarahkan penulis hingga saat ini bahkan telah memberikan segenap tenaga dan doa mereka untuk penulis bisa seperti sekarang ini, serta keluarga besar saya yang selalu mengingatkan dan memotivasi penulis sampai terselesaikannya tugas akhir ini.

Ucapan terimakasih juga saya sampaikan kepada

1. Dosen Pembimbing saya, Drs.Kurnia Sembiring,MS sekaligus sebagai dosen wali saya yang telah memberikan pengarahan dalam perkuliahan dan membimbing penulis mulai dari pencarian judul hingga terselesaikannya tugas akhir ini.

2. Dosen Penguji skripsi saya yaitu : Drs.Milangi Ginting,MS, Drs.Tenang Ginting,MS, dan Drs.Mimpin Sitepu,M.Sc yang juga ikut serta memberikan pengarahan kepada penulis dalam skripsi ini.

3. Ketua Departemen Fisika Dr.Marhaposan Situmorang dan Sekretaris Departemen Dra.Justinon,MS yang telah membantu dalam bidang administrasi.

4. Bang Tua Raja Simbolon,M.Si yang juga telah mengarahkan penulis untuk mengerjakan tugas akhir ini.

5. Saudari-saudari saya, Sion Oliva Br Sembiring dan Susi Melisa Br sembiring yang juga memberikan dukungan dan semangat untuk menyelesaikan tugas

akhir saya ini.

6. Abang saya yang saya sayangi dan saya cintai dengan penuh hormat Stopria Tarigan yang juga tetap memotivasi, mendukung dan selalu mengingatkan penulis dalam menyelesaikan tugas akhir ini bahkan dalam doa-doanya bagi penulis.

7. Bang Toni Aprianto Manik, S.Si dan juga Bang Jonatan Hutahaean, S.Si yang juga telah membantu saya dalam menyelesaikan tugas akhir ini.

9. Teman-teman di Departemen Fisika stambuk 2006. Semangat dan tetap berjuang!

Studi Statistik Kuantum Dalam Fungsi Partisi

ABSTRAK

Fungsi partisi digunakan untuk N osilator harmonis atau N partikel boson maupun

fermion terhadap sistem partikel-partikel identik bebas tidak saling berinteraksi dengan

membandingkan hasil perhitungan antara model Einstein dengan metode perhitungan

fungsi partisi D.I. Ford dengan cara yang berbeda untuk mendapatkan hasil yang sama

yaitu: U

N = N kB T.

Statistical Study Quantum In Partition Function.

ABSTRACT

Partition function used for the N of harmonis oscillator or N of particle of boson

and also fermion to free particle identic system do not interact by comparing result of

calculation between Einstein model with method calculation of partition function of D.I.

Ford differently to get result same that is U_N = N k_B T.

DAFTAR ISI

Halaman Judul... i

Halaman Pengesahan ... ii

Halaman Pernyataan ... iii

Halaman Penghargaan ... iv

Abstrak... vi

Abstract ... vii

Daftar Isi ... viii

Daftar Lambang dan Singkatan... x

Bab 1 Pendahuluan ... 1

1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Metode Penelitian ... 2

1.3Tujuan Penelitian ... 2

1.4 Batasan Masalah ... 2

1.5 Sistematika Penulisan... 2

Bab 2 Sistem Mikro dan Makro ... 4

2.1Sistem Makroskopik dan Mikroskopik ... 4

2.1.1 Riview ( kajian) Mekanika Kuantum ... 4

2.1.2 Partikel Identik ... 5

2.1.3 Prinsip Ekslusi Pauli ... 6

2.2 Mekanika Statistik ... 7

2.2.1 Mikrokanonik, Kanonik dan Kanonik Total ... 7

2.2.2 Ensembel Kanonik ... 12

2.2.3 Sifat-Sifat Termodinamika Ensembel Kanonik ... 13

2.3 Fermion dan Boson ... 14

2.3.1 Distribusi Bose-Einstein ... 16

2.3.2 Distribusi Fermi-Dirac ... 17

2.4 Statistika Kuantum ... 19

Bab 3 Fungsi Partisi ... 20

3.2 Fungsi Partisi Kanonik Besar Untuk Boson dan Fermion ... 23

3.3 Fungsi Partisi Kanonik Osilator Harmonis ... 25

Bab 4 Kesimpulan dan Saran ... 30

4.1 Kesimpulan ... 30

4.2 Saran... 31

DAFTAR PUSTAKA ... 32

ARTI LAMBANG DAN SINGKATAN

Lambang matematika dan fisika maupun singkatan beserta artinya yang digunakan

dalam skripsi ini adalah sebagai berikut:

Z Fungsi partisi

E Energi

F Energi bebas

T Temperatur

V Volume

N Jumlah partikel

µ Potensial kimia β Temperature Invers

k_B Tetapan Boltzman ( k = 1,38 x 10−23J/K)

h Konstanta Planck (h = 6,626 x 10−34 Js)

U Energi internal

G_h Fungsi generator dari α_k

α_k Faktor Boltzman

k_t Energi osilator ke t

H Hamiltonian

ρ Matriks densitas

Studi Statistik Kuantum Dalam Fungsi Partisi

ABSTRAK

Fungsi partisi digunakan untuk N osilator harmonis atau N partikel boson maupun

fermion terhadap sistem partikel-partikel identik bebas tidak saling berinteraksi dengan

membandingkan hasil perhitungan antara model Einstein dengan metode perhitungan

fungsi partisi D.I. Ford dengan cara yang berbeda untuk mendapatkan hasil yang sama

yaitu: U

N = N kB T.

Statistical Study Quantum In Partition Function.

ABSTRACT

Partition function used for the N of harmonis oscillator or N of particle of boson

and also fermion to free particle identic system do not interact by comparing result of

calculation between Einstein model with method calculation of partition function of D.I.

Ford differently to get result same that is U_N = N k_B T.

BAB I

PENDAHULUAN

Di alam, partikel-partikel yang ada dapat diklasifikasikan kepada dua jenis stastistik

kuantum. Jenis statistik partikel pertama adalah golongan partikel-partikel yang

memenuhi kaidah statistika Bose-Einstein sedangkan yang kedua adalah partikel-partikel

yang memenuhi kaidah statistika Fermi-Dirac. Perbedaan ini didasarkan pada keadaan

partikel penyusunnya yaitu partikel identik yang tak terbedakan.

Partikel-partikel yang memenuhi statistika Bose-Einstein adalah partikel

boson (contohnya foton, partikel alpa,dll), memiliki spin 0 atau bilangan bulat. Boson

tidak memenuhi prinsip eksklusi, tidak terpengaruh pula pada pertukaran setiap pasangan

partikel atau disebut fungsi gelombang simetrik. Sementara partikel-partikel yang

memenuhi statistika Fermi – Dirac adalah partikel fermion (contohnya elektron, proton

dan neutron,dll), memiliki spin setengah bilangan bulat ganjil (1/2,3/2,5/2,…). Fermion

berbeda dengan boson dalam hal penempatan setiap elektron dalam keadaan yang

tersedia. Fermion mematuhi prinsip larangan Pauli sehingga dia bersifat antisimetrik.

Tetapi dalam hal ini, D.I. Ford juga membahas tentang boson,fermion dalam kondisi

partikel-partikel tidak terjadi interaksi.

1.1Latar Belakang

Telah banyak pemakaian yang di lakukan terkait kepada statistika

Fermi-Dirac maupun statistika Bose-Einstein. Pemakaian dari statistika Fermi-Fermi-Dirac diantaranya

adalah untuk membahas fungsi partisi untuk gas ideal dalam fungsi partisi kanonik boson

dan fermion melalui perhitungan metode Einstein serta berdasarkan konsep Ensemble

Kanonik Besar dimana hasilnya dibandingkan terhadap metode D.I. Ford. ( D.I. Ford,

.

1.2Metode Penelitian

Penelitian ini dikerjakan berdasarkan teoritis dan dilakukan melalui statistik

kuantum dalam fungsi partisi. Karena penelitian ini sifatnya teoritis, maka di perlukan

sumber informasi yang tepat mengenai topik yang akan dibicarakan dari buku, jurnal

maupun internet.

1.3Tujuan Penelitian

Adapun tujuan penelitian ini adalah untuk mengetahui fungsi partisi hasil

perhitungan metode Einstein serta berdasarkan konsep Ensemble Kanonik Besar (EKB).

Hasilnya akan dibandingkan dengan teori atau metode D.I Ford, apabila diambil interval

k (status energi osilator) dari 1 sampai N. Keadaan tersebut ditandai dengan kondisiµ = 0, yang disebut potensial kimia µ dalam besaran sistem selama proses berlangsung adalah konstan.

1.4Batasan masalah

Supaya lebih mengarahkan kepada satu arah topik pembicaraan, maka perlu

di buat batasan suatu permasalahan dalam skripsi ini yaitu bahwa sistem partikel bebas

diasumsikan sebagai partikel yang tidak saling berinteraksi ( sistem gas ideal) yang di

peroleh dari fungsi partisi, dan juga besaran observabel (besaran yang teramati) hanya

dihitung pada energi fungsi partisinya serta dalam perhitungan baik melalui metode

Einstein ataupun metode D.I. Ford hanya temperatur tinggi.

1.5Sistematika Penulisan

Tugas akhir ini terdiri dari beberapa bab dan masing-masing bab terdiri dari beberapa

• Bab 1 menguraikan pendahuluan, latar belakang masalah, metode penelitian, tujuan penelitian, batasan masalah dan sistematika penulisan.

• Bab 2 menguraikan teori dasar dari tugas akhir ini mengenai sistem makroskopik dan mikroskopik yang berisi uraian tentang mekanika

kuantum, partikel identik, prinsip eksklusi pauli. Mekanika statistik berisi

uraian keadaan mikrokanonik, kanonik dan kanonik total, partikel fermion

dan boson, distribusi Bose-Einstein, distribusi Fermi-Dirac.

• Bab 3 adalah fungsi partisi yang membahas mengenai fungsi partisi kanonik gas ideal, fungsi partisi kanonik besar untuk boson dan fermion,

fungsi partisi kanonik osilator harmonis.

BAB 2

SISTEM MAKRO DAN MIKRO

Sistem yang akan di bahas dalam skripsi ini adalah sistem fermion yang

mengikuti kaidah eksklusi Pauli, merupakan partikel identik dan memiliki sifat-sifat yang

berbeda jika di bandingkan dengan sistem boson. Oleh karena itu dalam skripsi ini, untuk

menjelaskan gambaran mengenai partikel fermion secara lebih detail sebaiknya terlebih

dahulu kita mengkaji mengenai dasar-dasar mekanika statistik sebagai bahan bagi kita

untuk lebih memahami skripsi ini.

2.1 Sistem Makroskopik dan Mikroskopik

Cabang fisika mekanika statistik menunjukkan atau menjelaskan hubungan

antara sifat makroskopik sistem banyak partikel dengan sifat mikroskopik partikel itu

sendiri. Pokok utama mekanika statistik adalah mencari gambaran semua hukum-hukum

termodinamika dengan kelakuan atom-atom atau molekul-molekul materi, sehingga

pandangan tentang hukum-hukum termodinamika dapat di mengerti secara rinci.

Mekanika statistik sesungguhnya tidaklah mempersoalkan interaksi antara partikel

individual melainkan mempersoalkan kelakuan dengan peluang terbesar.

2.1.1 Review ( kajian) Mekanika Kuantum

Prinsip mekanika kuantum (sistem mikroskopik) mengarah kepada hasil

bahwa energi partikel, tidak mematuhi beberapa gaya konservatif seperti gravitasi, listrik,

atau medan magnetik, tidak bisa menerima beberapa harga yang berubah-ubah, atau tidak

dapat berubah dalam bentuk kontinu. Melainkan partikel dapat berada hanya dalam salah

satu jumlah keadaan yang memiliki energi yang khusus. Energi ini dikatakan

terkuantisasi. Persamaan yang paling dikenal dalam mekanika kuantum adalah

2.1.2 Partikel Identik (Indistinguishable Particles)

Dua partikel dikatakan identik jika tidak ada efek ketika kedua partikel

tersebut dipertukarkan. Lebih tepatnya, semua kuantitas teramati harus tidak berubah jika

posisi, momentum dan variabel dinamis lainnya seperti spin dari partikel pertama

dipertukarkan dengan variabel dinamis dari partikel kedua. Fungsi gelombang lengkap ψ

dari elektron dalam atom hidrogen dapat dinyatakan sebagai perkalian dari fungsi-fungsi

gelombang yang terpisah, masing-masing menggambarkan bagian ψ dari variabel

-variabel dinamis yang di ketahui.

ψ(1,2,3,…) = ψ(1)ψ (2)ψ(3)… (2.1)

Kita misalkan salah satu partikel yang kita tinjau dalam keadaan kuantum a

dan yang lain dalam keadaan kuantum b, karena partikel itu identik, tidak terdapat

perbedaan dalam kerapatan peluang |ψ|2 dari sistem itu jika partikel itu dipertukarkan,

partikel dalam keadaan a menggantikan yang dalam keadaan b dan sebaliknya.dengan

kata lain

|ψ|2(1,2) = |ψ|2(2,1) (2.2) Jadi fungsi gelombang ψ(2,1) menyatakan partikel yang dipertukarkan dapat diberikan oleh salah satu

ψ(2,1) = ψ(2,1) (2.3)

ψ(2,1) = -ψ(2,1) (2.4)

dan tetap memenuhi persamaan(2.2). Fungsi gelombang sendiri bukanlah kualitas yang

dapat diukur, sehingga dapat diubah tandanya oleh pertukaran partikel. Fungsi

gelombang yang tidak dipengaruhi oleh pertukaran partikel disebut simetrik, sedangkan

yang tandanya berubah setelah pertukaran partikel disebut antisimetrik.

Jika partikel 1 dalam keadaan a dan partikel 2 dalam keadaan b, menurut persamaan (2.1)

fungsi gelombang sistim menjadi

ψ_I = ψ_a(1) ψ_b(2) (2.5)

sedangkan jika partikel 2 dalam keadaan a dan partikel 1 dalam keadaan b, fungsi

ψ_II = ψ_a(2)ψ_b(1) (2.6)

Karena kedua partikel tidak dapat dibedakan, maka kombinasi linier ψ_I dan ψ_II

merupakan pemberian yang tepat untuk menyatakan keadaan sistim. Terdapat dua

kombinasi yang mungkin, simetrik (ψS) dan antisimetrik (ψA).

ψ_S= 2 1

[

ψa(1)ψb(2) + ψa(2)ψb(1)

]

(2.7)

ψ_A = 2 1

[

ψa(1)ψb(2)-ψa(2)ψb(1)

]

(2.8)

Faktor 2 1

diperlukan untuk menormalisasi ψs dan ψA.

Perbedaan yang mencolok antara kasus yang pertama dan kedua adalah pada

kasus pertama, partikel 1 dan 2 dapat berada dalam keadaan kuantum yang sama secara

serentak, dengan a = b, sedangkan dalam kasus kedua partikel tidak dapat berada dalam

keadaan kuantum yang sama.

Kondisi inilah yang membedakan kedua partikel kuantum fermion dan boson. Fermion

mengikuti fungsi gelombang antisimetrik dan boson mengikuti fungsi gelombang

simetrik. Sehingga ketika fermion-fermion dalam keadaan yang sama, total ψ adalah nol.

Contohnya, ψa = ψb, ini membuktikan kebenaran dari hukum yang menyatakan tidak

terdapat dua elektron dalam keadaan kuantum yang sama atau berlakunya prinsip

eksklusi Pauli.

2.1.3 Prinsip Eksklusi Pauli

Dalam tahun 1925, Wolfgang Pauli menemukan prinsip pokok yang mengatur

konfigurasi elektronik atom yang memiliki lebih dari satu elektron. Prinsip eksklusinya

(larangannya) menyatakan bahwa tidak terdapat dua elektron dalam sebuah atom yang

dapat berada dalam keadaan kuantum yang sama. Masing-masing elektron dalam sebuah

atom harus memiliki kumpulan bilangan kuantum n,l,m_l dan m_s yang berbeda. Bersifat

gelombang yang tidak dipengaruhi oleh pertukaran partikel dan sebaliknya fungsi

gelombang yang berpengaruh terhadap pertukaran partikelnya disebut gelombang

asimetrik.

2.2 Mekanika Statistik

Kita menggunakan mekanika statistik untuk membuktikan sistem riil (sistem

banyak partikel). Dengan mudah kita dapat memecahkan persamaan schrodinger satu

partikel. Untuk banyak partikel,solusinya adalah

ψ_total = kombinasi linier ψ_a(1)ψ_b(2)ψ_c(3)… (2.9)

ψa artinya partikel dalam keadaan a dengan suatu energi Ea.

Jika distribusi dari partikel-partikel dari sistem sepanjang energi keadaannya

diketahui, sifat-sifat makroskopik dari sistem dapat ditentukan. Jadi masalah inti dari

mekanika statistik adalah menentukan distribusi yang mungkin dari partikel-partikel

sepanjang energi level dan energi keadaan.

Gambaran dari suatu kumpulan partikel tunggal tergantung kepada apakah

partikel-partikel tersebut terbedakan (distinguishable) atau tak-terbedakan (indistinguishable).

2.2.1 Mikrokanonik,Kanonik dan Kanonik Total

Tinjau suatu sistem partikel-partikel yang tidak saling berinteraksi, dengan

Hamiltoniannya diberikan oleh

Λ

H =

∑

m

a a

E

a

N

Λ

(2.10)

Dimana E_a merupakan energi keadaan kuantum partikel tunggal i_α dan

α

N

Λ

sedangkan m menunjukkan jumlah aras energi yang berbeda (dapat merosot), dinotasikan

sebagai

i

_α= 1,…,m, dengan m dapat tak berhingga.

Mekanika statistik kita diperhadapkan dengan situasi dimana keadaan

kuantum dari sistem tidak diketahui.Nilai harap dari suatu observabel harus

dirata-ratakan

A =

∑

w_i i|A|i (2.11)

Dimana keadaan i adalah ortonormal dari Hamiltonian H dan wiadalah peluang berada

dalam keadaan i .w_iharus memenuhi

∑

w_i= 1. Nilai harap dapat dituliskan dalam

bentuk bebas

A = Tr{ρA} (2.12)

ρ adalah matriks densitas. Dalam hal ini ρ =

∑

_iwi i i . Keadaan

∑

wi = 1 yakni

peluangnya bertambah 1,yaitu

Tr{ρ} = 1 (2.13)

Kita selalu diperhadapkan kepada tiga ensemble: mikrokanonik ensemble,

kanonik ensemble, dan kanonik ensemble total. Dalam mikrokanonik ensemble

diasumsikan sistim dalam keadaan tertutup, sehingga energi E tetap, tetapi semua

keadaan dengan energi E sama dengan probabilitas

ρ = Cδ (H – E) (2.14) dimana ρ adalah matriks densitas.

δ adalah delta kronecker.

C adalah konstanta normalisasi dan entropi diberikan oleh:

Dengan demikian S = ln (# keadaan dari energi E).

Temperatur invers,

T k_B

1

=

β (2.16)

V

E S

     

∂∂ =

β (2.17)

Tekanan P,

E

B V

S T

k P

     

∂∂

= (2.18)

Dari hukum pertama termodinamika

dS = dV V S dE E S

∂∂ +

∂∂ (2.19)

dE = k_BTdS – PdV (2.20)

Energi bebas,

F = E - k_BTS (2.21)

Jika persamaan ini diturunkan dan dihubungkan dengan persamaan sebelumnya

dF = dE - kB(SdT + TdS )

= k_BTdS – PdV - k_BSdT - k_BTdS (2.22)

= - k_BSdT – PdV

Maka diperoleh persamaan –persamaan

S = -

V

B T

F T

k 

    ∂ ∂ 1 (2.23) Tekanan P,

P = -

T V F       ∂

∂ _(2.24)

Energi E kita peroleh kembali dalam formulasi yang baru

E = F + k_BTS

= F - T

V T F       ∂

∂ _(2.25)

= - T2 

     ∂∂ T

F T

Dalam kesetimbangan termal, asumsinya sistem kontak dengan panas reservoir sehingga

temperatur dalam keadaan konstan. Matrik densitasnya

ρ =Ce−βH (2.26)

Ini berguna untuk menurunkan konstanta normalisasi, C dan bekerja dengan matriks

densitas tanpa normalisasi sehingga kita dapat mendefenisikan fungsi partisi

Z = Tr{ρ} (2.27) atau

Z =

∑

−

i Ei

e β (2.28)

Energi rata-ratanya diperoleh

E =

∑

−

= - lnZ

β

∂∂ (2.29)

= - k Z T

T2 ln

∂∂

β

Oleh karena itu dapat diperoleh persamaan energi bebas berdasarkan kanonik ensembel

F = - k_βT ln Z (2.30)

Potensial kimia µ di defenisikan sebagai

N F

∂∂ =

µ (2.31)

N adalah jumlah partikel.

Dalam kanonik lengkap total, temperatur T dan potensial kimia µ diketahui dan matriks densitas

ρ =Ce−β(H−µN) (2.32) Di sini juga berlaku matriks densitas tanpa normalisasi dan membentuk fungsi partisi

kanonik lengkap

Z =

∑

− −

a a

E N

N E

e

,

)

( µ

β _(2.33)

Jumlah partikel rata-rata di peroleh

N = - k_βT µ

∂∂ ln Z (2.34)

Sehingga energi rata-ratanya diperoleh

E = - β

Pada skripsi ini kita akan menggunakan fungsi partisi kanonik lengkap untuk kondisi

temperatur dan potensial kimia yang diketahui dalam suatu sistem.

2.2.2 Ensemble Kanonik

Semua ensemble yang berada dalam ensemble kanonik mempunyai

temperatur yang sama. Oleh karena itu di dinding pemisah bersifat permeabel yang

artinya dapat ditembus oleh panas atau cairan. Oleh karena setiap ensemble yang

mempunyai temperatur yang sama maka terjadi kesetimbangan termodinamika. Energi

dari sebuah ensemble yang berada dalam ensemble kanonik berubah terhadap waktu

mulai dari energi ke nol sampai ke energi totalnya. Apabila sebuah ensemble yang di

dalam ensemble kanonik berada pada state ke i dengan energi ε_i yang dinyatakan posisi.

Probobilitas bahwa sebuah berada dalam state ke i sama dengan nol.

P_i = P(0) e −ε/kT (2.36)

Di mana P(0) adalah fungsi temperatur T.

Oleh karena pada state ke i ensemble harus sama dengan 1 sehingga probabilitas

menjadi:

εP_i = 1

Fungsi partisi dari ensembel yang berada di dalam ensemble kanonik adalah :

Z =

∑

−

i

kT i

e ε/ (2.37)

Fungsi partisi ini mempunyai sifat-sifat sama dengan partisi total.

Z = !

N

ZN

(2.38)

Sehingga

P_i = p(o) e −εi /kT (2.39)

Po = _{i kT}

e / 1

ε

ε (2.40)

Di mana

P_i= _{i kT} kT i e e / / ε ε ε − − (2.42)

P_i=

Z e−εi /kT

2.2.3 Sifat- Sifat Termodinamika Ensemble Kanonik

Pengertian ensemble disini adalah suatu ensemble yang terdiri dari beberapa

sistem yang berada pada satu ruangan masing-masing tempat dapat berada pada sistem

energi. Energi rata-rata dari sebuah ensemble dapat dituliskan persamaannya sebagai

berikut di bawah ini

E− =ε P_i iε (2.43)

Pi = P(0) e kT i /

ε

−

P(0) = _{i kT}

ze /

1

ε

−

Z = ε e−εi /kT

P_i = _{i kT}

kT i ze e / / ε ε − −

P_i =

Z e−εi /kT

E = Z P− _i εi

Maka E Z e E kT i / ε ε − − =

1 (e / i) Z

E− = ε −εi kTε (2.44)

∫

∂ ∂ =     ∂ ∂ = − − − − − T Z kT e T E e

E( εi/kT:εi) _1/kT εi/kT (2.45)

2.3 Fermion dan Boson

Fermion, diambil dari nama Enrico Fermi, yang artinya adalah partikel yang

membentuk status kuantum komposit yang benar-benar antisimetrik. Hasilnya fermion

bersifat sesuai dengan prinsip eksklusi Pauli dan juga sesuai dengan statistik

Fermi-Dirac.Teori spin-statistik menyatakan bahwa fermion mempunyai spin yang berupa

separuh bilangan bulat. Salah satu cara untuk menggambarkan spin ini ialah bahwa

partikel dengan spin 1/2 , seperti fermion, harus diputar oleh dua rotasi penuh untuk

mengembalikan mereka ke keadaan semula. Contoh-contoh fermion antara lain: elektron,

proton, dan neutron.

Karena masing-masing keadaan kuantum hanya dapat dihuni paling banyak

oleh satu elektron, kita harus mengingat bahwa lebih dari N keadaan kuantum, N₁ dari

seluruhnya yang akan ditempati(terisi).

Jadi, untuk memberikan jumlah dari tingkat energi gi, banyaknya cara ni menempati

tingkat-tingkat energi ini adalah

( )

    = Ω i i i i n g E

( )

(

)

! ! ! i i i i i i n g n g E − =

Ω (2.46)

Dengan E_i = niεi.Jadi untuk keseluruhan sistem

Ω(E) =

∏

∏

− =

Ω

i i i i

i i i i n g n g E )! ( ! ) ( ! (2.47) dan

E =

∑

=

∑

i

i i

i n

E ε (2.48)

Dengan menggunakan pendekatan sterling, kita dapat menghitung entropi, energi bebas,

dan potensial kimia.

S = k lnΩ(E) = k

∑

i i

g ln g_i– n_iln n_i–(g_i– n_i) ln(g_i–n_i) (2.49)

Energi bebas (F),

F = E – TS

Di mana E = n ε Maka

F =

∑

− − − − −

i i i i i i i i i i

i T g g n n g n g n

n ( ln ln ( )ln( )]

[ ε (2.50)

Untuk menghitung potensial kimia melalui persamaan (2.31) dari kulit I yaitu

i i n F ∂∂ = µ

= ε_i −T[−lnn_i −1+ln(g_i −n_i)+1]

Sehingga, _      − = − i i i i i n n g T ) ( ln µ ε Maka,

ni=

1 )

exp( − +

T g i i i µ

ε (2.51)

Dalam kesetimbangan, semua potensial kimia untuk semua kulit yang berbeda

harus sama. Dalam hal ini µ_i→ µ dan mengintepretasikan kedudukan n_i dalam bentuk

yang bersesuaian dengan nilai rata-rata kedudukan dalam kesetimbangan, sehingga dapat

dituliskan:

Untuk distribusi fermion

ni =

1 )

exp( − +

T g i i i µ

ε (2.52)

1 )

exp( − −

= T g n i i i

i ε µ (2.53)

2.3.1 Distribusi Bose –Einstein

Untuk sistem boson, fungsi partisinya dari persamaan fungsi partisi kanonik

lengkap (2.33) yaitu

Z =

∑

− −

a a E N N E e , ) ( µ

β _(2.54)

Suku-suku dalam nilai eigen partikel tunggal dan energi partikel tunggal adalah

E =

∑

nε =n0ε0 +n1ε1+...

i i i

a (2.55)

n_i= 0,1,2,3…

Sehingga,

Z =

{ }

∑

− ∑ − ∑

i

i i i i i

n

n n

e β( ε µ )

=

∏ ∑

    _{− −} i n n n i i i i

e β( ε µ ) (2.56)

=

∏

_{− −}

−

i e i

) ( 1 1 µ ε β 1 1 ) ( − = _βεi−µ

e

n_i (2.57)

Banyaknya jumlah partikel dalam sistem,

N =

∑

i i

=

∑

−

−

i e i 1

1

) (ε µ

β (2.58)

Energinya diberikan oleh

E = _{a i}

i i

n ε

∑

=

∑

_{− −}

i i

i

eβ(ε µ)1

ε _(2.59)

N akan meningkat seiring peningkatan µ. Kondensasi Bose-Einstein terjadi ketika

N >

∑

≠0 i

i

n (2.60)

2.3.2 Distribusi Fermi-Dirac

Statistik Fermi-Dirac pertama sekali di perkenalkan oleh Enrico Fermi dan

Paul Dirac pada 1926. Salah satu aplikasi dari statistika Fermi-Dirac ini adalah dalam

distribusi Fermi-Dirac yaitu untuk sistem fermion identik.

Oleh sebab itu prinsip eksklusi Pauli yaitu bahwa tidak terdapat dua elektron

dalam sebuah atom yang dapat barada dalam keadaan kuantum yang sama, jadi jumlah

partikel yang dapat menempati keadaan tunggal hanya 0 dan 1, sehingga jika ada g_i

keadaan berenergi sama ε_i dan ada n_i partikel,maka n_i keadaan terisi dan (g_i-n_i)

kosong. Sejumlah g keadaan dapat diatur dalam g_{i i}! cara yang berbeda, tetapi ada n_i!

permutasi dari keadaan terisi di antara mereka yang tidak relavan partikel itu tak

terbedakan dan (gi −ni)! permutasi keadaan kosong di antara mereka yang tidak relavan karena keadaan tidak ada isinya.

Untuk sistem fermion bebas, fungsi partisinya dari persamaan (2.33) adalah

Z =

∑

− −

a a

E N

N E

e

,

)

( µ

sama halnya pada distribusi Bose-Einstein, bahwa

E_a =

∑

= + +

i i

i n n

nε ₀ε_{0 1}ε₁ ...

hanya, oleh karena prinsip eksklusi pauli

n_i = 0,1 (2.61)

sehingga

Z =

{ }

∑

− ∑ − ∑

i

i i i

n

n n

e β( ε µ )

=

∏ ∑

    = − − i n n n i i i i e 1 0 ) ( ε µ

β _(2.62)

=

∏

(

+ − −

)

i

i

e ( )

1 β ε µ

1 1 ) ( + = _{β εi−µ}

e

ni (2.63)

dari persamaan ini diperoleh

N = , 1 1

) (

∑

− ₊

i eβ εi µ

(2.64)

dan

E =

∑

+

− i

i

eβ(ε µ) 1

ε _(2.65)

maka distribusi Fermi-Dirac untuk fermion adalah

f( )ε =

1 1

) (ε−µ +

β

e (2.66)

Jikalau dibandingkan dengan sistem boson, maka distribusi untuk partikel

boson yang mengikuti distribusi Bose-Einstein adalah

f(ε)=

1 1

) (ε−µ −

β

e (2.67)

Pada sistem boson tidak ada batas dalam mengisi jumlah pada masing-masing level

Tanda positif dan negatif pada persamaan inilah yang menyebabkan perbedaan antara

kedua distribusi ini. Di mana bahwa dalam distribusi Fermi-Dirac terbukti bahwa peluang

elektron menempati suatu keadaan adalah antara 0 dan 1, karena dibatasi oleh pembagi

+1.

2.4 Statistika Kuantum

Statistika kuantum adalah sejumlah energi yang terdistribusi diantara sistem

partikel dalam kesetimbangan termal pada temperatur dimana bahwa sistem mekanika

kuantum yang terdiri dari N partikel. Fungsi distribusi Maxwell-Boltzmann berlaku untuk

sistem partikel identik yang satu sama lain dapat di bedakan dengan fungsi

gelombangnya bertumpangan. Molekul dalam gas cocok dengan pemerian tersebut, dan

memenuhi statistika Maxwell-Boltzman. Jika fungsi gelombang cukup banyak saling

bertumpangan, keadaannya berubah karena partikel tersebut tidak dapat dibedakan.

Akibat mekanika kuantum dari partikel yang tak terbedakan, maka fungsi gelombang

dalam sistem partikel tersebut yang saling bertumpangan dapat dilihat dalam dua bagian

yaitu:

1. Partikel dengan spin 0 atau bilangan bulat yang disebut boson. Boson tidak me

menuhi prinsip eksklusi, dan fungsi gelombang boson tidak terpengaruh oleh –

pertukaran setiap pasangan partikel. Fungsi gelombang semacan ini disebut

simetrik.

2. Partikel dengan spin setengah bilangin bulat-ganjil (

2 1

, ,...)

2 5 , 2 3

di sebut fer-

mion. Fermion memenuhi prinsip eksklusi yaitu bahwa tidak terdapat dua

elektron dalam sebuah atom yang barada dalam keadaan kuantum yang sama,

dan fungsi gelombang sistem fermion berubah tanda terhadap pertukaran setiap

BAB 3

FUNGSI PARTISI

3.1 Fungsi Partisi Kanonik Gas Ideal

Pada bab ini di jelaskan bahwa menurut Kerson Huang, gas ideal dikatakan

bahwa jarak antar partikel dapat dianggap jauh lebih besar dibandingkan dengan ukuran

partikel. Sehingga gaya tarik menarik Van der Walls antar partikel adalah sangat lemah.

Juga kerapatan partikel gas ideal dapat dianggap sangat rendah. Dengan kedua anggapan

tersebut maka interaksi antar partikel dapat diabaikan, sehingga energi total gas hanya

disebabkan oleh gerak partikel yaitu energi kinetik. Energi total dapat dinyatakan

sebagai penjumlahan atas energi masing-masing partikel yang secara diskrit dapat

dinyatakan sebagai berikut

ε ₁ ≤ε₂ ≤ε₃ ≤...≤ε_k ≤.

Dalam hal ini indeks k menunjukkan status energi dari masing-masing

partikel. Kediskritan energi ini di pahami secara mudah dalam kuantum. Gas ideal terdiri

atas N partikel, berada dalam temperatur T dan berkesetimbangan dengan reservoir

panas. Status energi gas secara keseluruhan di tentukan oleh jumlah penempatan n_k yaitu

jumlah molekul yang menempati status energi ke k.

Energi total gas dalam ensemble adalah

E =

∑

∞

=1 k

k k

n ε (3.1)

E =

∑

∞

=1 + + +

3 3 2 2 1

1 ...

k

n n

nε ε ε (3.1)

Jumlah partikel gas dalam ensemble adalah

N =

∑

∞

=1 k

k

N =

∑

∞

=1 + + +

3 2

1 ...

k

n n

n (3.2)

Jika gk adalah jumlah status yang bersesuaian dengan jumlah penempatan nk, maka

g_k dapat dibagi dalam dua fungsi yaitu:

1.Untuk statistik BE dan FD,→ g_k=1. g_k = n_k sedangkan

2.Untuk statistik MB setelah di koreksi dengan 1/N!,

∏

∞₌

= →

1

! 1

k k k

n

g

Fungsi partisi N partikel di defenisikan sebagai berikut

Z(T,V,N) =

∑

...

2 1n

n k

g e−βE (3.3)

Di mana bahwa fungsi partisi untuk suatu sistem dalam ensemble adalah:

Z = s kT

s se

g −ε /

∑

dengan

∑

∞

=1 = k

k N

n

oleh sebab itu Z disebut sebagai fungsi partisi Boltzman yang secara sederhana disebut

sebagai fungsi partisi dan untuk memperoleh hasil jumlah total suatu sistem

partikel-partikel melalui perhitungan baik melalui penjumlahan maupun perkalian dari stastik

kuantum.

Fungsi partisi kanonik N partikel menurut statistik Maxwell-Boltzmann (MB)

dibatasi dengan persyaratan berikut

- jumlah ensemble dalam sistem konstan

N =

∑

∞

=1 k

k

n (3.4)

- energi total dalam ensemble pada sistem konstan

E = _k

k k

n ε

Juga statistik Maxwell-Boltzmann memperbolehkan jumlah penempatan tiap status dari

nol sampai tak berhingga karena status energi gas boson secara keseluruhan dapat

ditentukan oleh jumlah penempatan setiap status energinya.

Z(T,V,N) =

∑

∏

∞₌ ... 1 2 1 _! 1 n n k k n

e−β(n1ε1+n2ε2+n3ε3+...) _(3.5)

dengan

∑

=

k

k N

n

Dengan menggunakan persamaan di bawah ini:

(

∑

∞ =1 ) k N k

n =

∑ ∏

∞ = ... 1 2 1 ! ) ( ! n

n k k

n k n n N k (3.6)

dengan

∑

∞

=1 = k k N n Maka =

∑ ∏

( )

∞ = − ... 1 2

1n !

n k k

n

n e βε_k k

dengan

∑

nk = N

Z(T,V,N) =

N

k

k e

N 

   

∑

∞ = − 1 ! 1 _βε (3.7)

Karena fungsi partisi satu partikel telah didefenisikan sebagai

Z1 =

∑

∞ = − 1 k k

e βε (3.8)

Sehingga fungsi partisi untuk N partikel adalah

Z(T,V,N) = N

Z N!( )

1

1 (3.9)

Berikut ini akan ditinjau fungsi partisi untuk dua partikel, yang akan diperluas

untuk menentukan bentuk fungsi N partikel.

Fungsi partisi untuk dua partikel adalah :

Z(T,V,2) = Z₂

∑

∑∑

∞ = ∞ = + − ∞ = − ₊ 1 1 ) ( 1 2 1 2 2 1 k k k k k k _e

Suku pertama menyatakan bahwa kedua partikel menempati status energi yang sama.

Tetapi karena tidak terdapat perbedaan antara status energi yang satu dengan yang lain

maka perhitungan dilakukan dengan faktor 1/2.

Suku kedua menyatakan bahwa masing-masing partikel menempati status yang berlainan.

Tetapi karena antar partikel tak dapat dibedakan, maka harus disertakan faktor

perhitungan sebesar 1/2!

Z(T,V,2) =

∑

∑∑

∞ = ∞ = + − ∞ = − ₊ 1 1 ) (

1 _{1 2}

2 1 ! 2 1 2 1 k k k k k k _e

e βε β ε ε (3.11)

Di mana k₁ ≠k₂

Dengan demikian fungsi partisi untuk N partikel dapat di tuliskan sebagai berikut:

Z(T,V,N) = ... 1 ... !

1

1

1 1... 1

) ... (

1 2

2

1 +

∑

+

∑ ∑ ∑

∞ ₌ − = ∞ = ∞ = + + + −β ε ε ε ε βε k N

k k k

k N N k k k e N e

N (3.12)

Bentuk fungsi partisi tersebut hanyalah menyatakaan dua kemungkinan penempatan

partikel atas status energinya.

Suku pertama menyatakan bahwa setiap partikel menempati status energi yang berbeda.

Karena antar partikel tak dapat dibedakan maka harus disertakan dalam bentuk 1/N!.

Suku kedua menyatakan N partikel menempati status energi yang sama. Karena hanya

satu status yang dipilih dan itu tidak berbeda, maka harus di lakukan dengan faktor 1/N!.

3.2 Fungsi Partisi Kanonik Besar Untuk Boson Dan Fermion

Status energi gas boson secara keseluruhan ditentukan oleh jumlah

penempatan masing-masing status energinya, yang disimbolkan dengan nk=

0,1,2,3,…,∞, sedangkan k menunjukkan status energi, k = 1,2,3,…,∞.

Fungsi partisi kanonik dapat dituliskan dengan persamaan sebagai berikut:

Z(T,V,N) =

∑

− + +

... 3 2 1 ...)) (

exp( _{1 1 2 2}

n n n

n

nε ε

β (3.13)

Perhitungan ini dilakukan dengan persyaratan :

E =

∑

∞ =1 k k k

n ε (3.1)

- Jumlah partikel dalam gas :

N =

∑

∞

=1 k

k

n (3.2)

Tetapi perhitungan fungsi partisi kanonik N partikel boson ini menjadi sulit dilakukan,

karena persyaratan n N

k k =

∑

∞₌₁ , yang menyebabkan tidak dapat dilakukan terhadap masing-masing nk secara bebas satu sama lain.

Untuk mengatasi kesulitan tersebut, maka digunakan ensemble kanonik besar,

yang mana jumlah partikel dalam setiap sistem dapat berubah-ubah dari nol sampai tak

berhingga. Dalam hal ini T,V dan µ (potensial kimia) dari sistem adalah konstan.Akibat pelonggaran persyaratan itu, bahwa dalam setiap penjumlahan terhadap n_k dapat

dilakukan satu per satu secara bebas. Fungsi partisi kanonik besar dapat dituliskan

sebagai berikut :

Untuk boson :

Bose-Einstein

Z ( T,V,µ) =

∑

∞ =0 ) , , ( N N V T

z eµβN

=

∑ ∑

∞ = + + − 0 ... ...) ( 2 1 2 2 1 1

N nn

n n

e β ε ε eµβ(n1+n2 +...)

=

∑

∞ = − 0 1 ( 1 1₎ n n

eβ µ ε

∑

∞ = − 0 ) ( 2 2 2 n n

eβ µ ε (3.14)

= (1 - eβ(µ−ε1))−1

(1 - eβ(µ−ε2))−1

=

∏

∞ = − − − 1 1 ) ( ) 1 ( k k

eβ µ ε

Sedangkan untuk fermion, jumlah penempatan masing-masing status adalah :

n_k = 0, atau 1.

(T,V, )µ =

∑

= − 1 0 ) ( 1 1 1 n n

eβ µ ε

∑

= − 1 0 ) ( 2 2 2 n n

eβ µ ε

= (1 + eβ(µ−ε1)) _(1+eβ(µ−ε2)_{) (3.15)}

= (1 )

1 ) (

∏

∞_{= +} − k k

eβ µ ε

3.3 Fungsi Partisi Kanonik Osilator Harmonis

Untuk atom kristal, fungsi partisinya mudah dihitung. Karena antara atom satu

dengan atom yang lain dapat dibedakan dari indek fononnya. Fonon adalah kuanta di

dalam medan gelombang suara secara makroskopis. Adapun atom-atom kristal

masing-masing dapat dianggap sebagai osilator-osilator, yang masing-masing-masing-masing berhubungan

sebagai modus normal dari kisi-kisi yang berosilasi. Didalam teori kuantum

modus-modus itu seperti halnya kuanta yang kemudian disebut fonon.

Fungsi partisi N buah osilator adalah :

Z(T,V,N) =

∑

− Ε

... 2 1 ) exp( k k β

E = ... . 2

1 k kN

k ε ε

ε + + +

k_t = 0,1,…,∞.

Status energi osilator ke t.

t

k

ε = energi osilator pada status energi k_t

= hvkt

Di mana t adalah sebagai frekuensi osilator.

Z(T,V,N) =

∏∑

= ∞ = − N t k hvk t t e 1 0

β _(3.16)

=

N

hv

e 

Dengan demikian bahwa energi menurut metode Einstein dan menurut

konsep Ensemble Kanonik Besar akan dibandingkan kedua hasil perhitungan tersebut

yang di dasarkan pada teori fungsi partisi D.I. FORD.

Metode Einstein :

- Fungsi partisi N osilator adalah

Z(T,V,N) =

N

hv

e _

 

 

− − ₎

1 (

1

β (3.17)

Ln Z(T,V,N) = -N ln (1 - e−βhv)

- Energi total N osilator adalah :

U_N = -β

∂∂ ln Z(T,V,N) (3.18)

= eβhv

β −

∂∂ − ln(1

=

) 1 (e hv −

Nhv

β

Di mana h adalah konstanta planck.

Metode Ensemble Kanonik Besar :

- Fungsi partisi kanonik besar osilator adalah:

Bose-Einstein

(T,V,µ) = (1-eβ(µ−εk))−1 _(3.19)

untuk osilator, bila skala energi dimulai dari ½ hv

maka εk =hvk

di mana k disini sebagai status energi osilator.

Bose-Einsten

(T,V, )µ =

∏

= − −

1

1

) (

) 1

( 1

k

hvk

- Energi total osilator dalam Ensemble Kanonik Besar:

UEKB = - ln β

∂∂ (T,V, µ)

= - β ∂∂

∑

∞ = − − 1 ) ( ) 1 ln( k hvk

eβ µ (3.21)

=

∑

∞ = − − − 1 ) ( ) 1 ( ) ( k hvk e hvk µ β µ

Dari hasil yang di peroleh dari metode Einstein pada kondisi sistem

temperatur tinggi.

T >> 1 maka h v /kBT << 1. Sehingga

ehv /kB T_{= 1 + h v /k}

BT + … (3.22)

jadi menurut persamaan ex = 1 + x + ! 2 2 x + ! 3 3 x +…

jika kita mensubstitusikan nilai x = hν /k_BT ke persamaan ex, maka :

ex =1 + hν /k_BT + ... ! 2 / 2 +     

hv k_BT

dalam hal ini kita asumsikan temperatur tinggi menuju tak terhingga (T → ∞), maka nilai suku kedua dan seterusnya dapat di abaikan sehingga persamaan dapat ditulis

sebagai berikut:

U_N =

) 1 (e hv −

Nhv β = N         −

+ / 1

1 hv k T hv

β

=

1 /

= N k_B T.

Di mana T adalah temparatur.

Pada temperatur tinggi, hasil yang di peroleh dari metode perhitungan fungsi partisi

D.I.FORD:

U_N =

∑

= − N t T k thv _B e thv 1 ) 1 /

( (3.24)

=

∑

= + −

N

t thv kBT

thv

11 / 1

U_N =

∑

= N

t thv kBT

thv

1 /

Di mana N = 2 / ... 2 / 1 1 + + T k hv hv T k hv hv B B

N = kBT+kBT +... maka

U_N = N k_B T

Di mana bahwa t adalah waktu.

Ternyata bahwa pada temperatur tinggi, energi total dari N osilator baik dihitung dengan

metode Einstein maupun dengan metode perhitungan fungsi partisi dari D.I FORD

didapatkan hasil yang sama, yaitu UN = N kB T.

Tinjau kembali persamaan di bawah ini:

G_h =

∏

= − − n k kz 1 1 ) 1

( α (3.25)

Disubstitusikan untuk : α_k = e−βεk _{= e}−βhvk _(3.26)

z = eβµ

(T,V, )µ =

∏

∞

=1 − −

) ( ) 1 ( 1 k hvk

eβ µ (3.20)

Di mana bahwa Π adalah untuk penjumlahan perkalian sedangkan Σadalah sebagai penjumlahan biasa.

maka :

G_h = (T,V,µ) =

∏

∞ = − − − 1 1 ) ( ) 1 ( k hvk

eβ µ

Apabila jika ditinjau juga persamaan di bawah ini dalam fungsi partisi hasil

perhitungan metode D.I.FORD :

Z_N =

∏

= − − − N t thv e 1 1 ) 1

( β (3.27)

dengan membandingkan persamaan Bose-Einstein dibawah ini:

(T,V, )µ =

∏

∞

=1 − −

) ( ) 1 ( 1 k hvk

eβ µ (3.20)

Yaitu terlihat bahwa fungsi partisi hasil perhitungan metode D.I.FORD adalah sama

dengan hasil yang di peroleh lewat Ensemble Kanonik Besar, apabila diambil interval k

(status energi osilator) dari 1 sampai N, serta memasukkan untuk harga µ= 0. Hal ini lebih mudah dipahami karena munculnya konsep Ensemble Kanonik Besar, juga sebagai

pelebaran konsep Ensemble Kanonik. Bila pada Ensembel Kanonik, jumlah osilator

dibatasi sampai dengan N. Sedangkan untuk Ensemble Kanonik Besar, nilai N tersebut

harus merupakan suatu variabel dari nol sampai tak berhingga dan berdasarkan hal

tersebut dapat dilihat besaran sistem yang disebut potensial kimia µ selama proses berlangsung adalah konstan.

Untuk partikel boson, terutama foton, pengambilan nilai µ =0, khususnya

dalam kasus radiasi benda hitam. Selanjutnya kalau ditinjau deret dari 1/(1-eβ(µ−hvk)),

mengenai konvergensinya hanya bisa dicapai apabila:

eβ(µ−hvk) < 1 (3.28)

atau

µ < 0

Dengan demikian jelas, bahwa potensial kimia per partikel boson adalah negatif atau

bersifat anti simetrik karena potensial kimianya lebih kecil dari nol, yaitu µ < 0. Jadi dalam fungsi partisi N osilator, baik dihitung melalui ensemble kanonik besar maupun

lewat metode perhitungan fungsi partisi dari D.I.FORD di dapatkan hasil yang sama.

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

1. Fungsi partisi dalam osilator harmonis sederhana yang dihitung oleh Einstein dengan

metode Ensemble Kanonik Besar diperoleh hasil yang sama dengan cara yang berbeda

yang dilakukan dengan metode D.I. Ford.

Formulasi untuk energi osilator yang dihitung oleh Einstein dan D.I. Ford adalah:

Metode Bose- Einstein

U_N =

) 1 (e hv −

Nhv

β

=

1 /

1+hv k T− Nhv B = T k N B 1

U_N = N k_B T

Metode D.I. Ford

UN =

∑

= − N t k thv T e thv B 1 / ) 1 ( =

∑

= + − N

t thv kBT

thv

11 / 1

=

∑

= N

t thv kBT

thv

1 /

Di mana N = ... / 2 2 / 1 1 + + T k hv hv T k hv hv B B

N = k_BT +k_BT +…

maka

Di mana:

U_N = Energi total N osilator

N = Jumlah molekul yang menempati energi ke k.

k_B = Ketetapan Boltzman.

T = Temperatur

Dengan hasil yang diperoleh lewat metode Einstein, untuk kondisi temperatur tinggi, β

= 0, sedangkan hasil dari Ensemble Kanonik Besar, apabila yang digunakan hanya k

(status energi osilator) dari 1 sampai N, dan µ = 0.

2.Perhitungan fungsi partisi boson atau fermion dapat dihitung lebih mudah tanpa

melalui kanonik besar karena dalam kanonik besar nilai N dimulai dari 0 sampai ∞ di mana potensial kimia µadalah konstan.

3.Dalam tugas akhir ini yang dibicarakan pada osilator harmonis dapat dilihat atau

identik berdasarkan energi dari sistem partikelnya.

4.2 Saran

Untuk peneliti selanjutnya apabila mengangkat judul ini sebagai tugas akhir

supaya dalam melakukan perhitungan pada fungsi partisi menggunakan metode yang

sama dengan cara yang sama untuk mendapatkan atau memperoleh hasil yang sama

berdasarkan temperatur tinggi, karena yang digunakan dalam tugas akhir ini adalah

DAFTAR PUSTAKA

Artur Beiser.1992.Konsep Fisika Modern.Cetakan Kedua.Terjemahan The

How Liong.Jakarta: Erlangga.

D I Ford. 1971.A Note An The Partition Function For Systems Of

Independent Particles.Journal American Of Physics.

Kerson Huang.1987. Statistical Mechanics.Massachusetts Institute of

Technology,USA.John Willey & Sons.

M O Tjia. 1999.Mekanika Kuantum.Bandung:Penerbit ITB

Sutrisno.1979.Fisika Dasar.Cetakan Pertama.Bandung:Penerbit ITB.

http:// one. Indoskripsi. Com/ judul – skripsi/ fisika/ fungsi-fungsi

termodinamika-system-statistika-fuzzy

LAMPIRAN

A. Faktor Koreksi Maxwell-Boltzmann

Jika N partikel yang dapat di bedakan di simbolkan dengan: a,b,c,…,z dan

semuanya berada dalam status yang berbeda yaitu:

εka₁, b k₂

ε , εkc₃,…, z k_N

ε (A.1)

Maka pertukaran jenis partikel: a,b,c,…,z, tidak memberikan perbedaan dalam

perhitungan, tetapi statistik Maxwell-Boltzmann dapat membedakannya. Sehingga

statistik tersebut harus di koreksi dengan 1/2!, bila terjadi pertukaran antara dua partikel

yang tak dapat dibedakan.

Untuk N partikel, maka faktor koreksinya adalah = 1/N!. Karena dalam

experiment, a=b=c…=z. Sehingga energinya cukup di simbolkan:

1

k

ε ,

2

k

ε ,

3

k

ε ,…,

N

k

ε (A.2)

B. Trace & Matriks Densitas

Tr{A} = a11 + a22 +…+ amm =

∑

= m

i ii

a

1

(B.1)

Contoh:

Misalkan T adalah operator linier di berikan oleh matriks

    

    

− −

− −

1 0 2

3 1 1

3 2 2

Sehingga Tr(T) = -2+1-1=-2

Trace dari identitas matrik adalah dimensi dari ruang.Trace dari proyeksi (yakni P2=P)

Sifat-sifat

Tr(A+B) = Tr(A) +Tr(B) (B.2)

Tr(cA) = c.Tr(A) (B.3)

Untuk semua matrik persegi A dan B dan semua bilangan scalar c.Jika A adalah matrik

mxn dan B adalah matriks nxm, maka

Tr(AB) = Tr(BA) (B.4)

Bentuk matriks densitas

| _{j j} |

j j

p ψ ψ

ρ =

∑

>< (B.5)

Harga ekspektasi (nilai harap) dari pengukuran dapat dihitung melalui pengembangan

dari keadaan murni (ρ =2 ρ

) adalah

A p j j Tr

[ ]

A

j

j ψ ψ = ρ