BAB I
PENGERTIAN DASAR
1.1
Pengertian Persamaan Diferensial
Berikut akan dipelajari pengertian dan klasifikasi dari persamaan
diferen-sial serta beberapa hal yang terkait di dalamnya.
Definisi 1.1. Persamaan diferensial
adalah suatu persamaan yang memuat
variabel bebas, variabel tak bebas, dan derivatif-derivatif dari variabel tak bebas
terhadap variabel bebas.
Contoh 1.1. berikut ini beberapa contoh persamaan diferensial:
1.
xy
0
dx
dy
, dengan
dx
dy
derivatif dari variabel tak bebas
y
terrhadap variabel
bebas
x
.
2.
0
2 2
xy
dx
dy
dx
y
d
x
, dengan
2 2
dx
y
d
dan
dx
dy
derivatif dari variabel tak bebas
y
terhadap variabel bebas
x
.
Kompetensi Dasar:
Menjelaskan pengertian dan klasifikasi dari persamaan diferensial serta
beberapa hal yang terkait.
Indikator:
a.
Menjelaskankan pengertian persamaan diferensial.
b.
Menjelaskan klasifikasi persamaan diferensial.
3.
0
x
z
y
z
, dengan
y
z
dan
x
z
masing-masing derivatif dari variabel tak
bebas
z
terhadap variabel bebas
x
dan
y
.
4.
0
2 2 2 2 2 2
z
v
y
v
x
v
, dengan
2 2 2 2
,
y
v
x
v
, dan
2 2z
v
masing-masing derivatif
dari variabel tak bebas
v
terhadap variabel bebas
x
,
y
, dan
z
.
Menurut banyaknya variabel bebas persamaan diferensial dibedakan
menjadi 2 yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial.
Untuk mengetahui perbedaan kedua jenis persamaan diferensial tersebut dapat
dilihat dalam definisi berikut.
Definisi 1.2. Persamaan diferensial biasa
adalah persamaan diferensial yang
memuat derivatif-derivatif dari variabel tak bebas terhadap satu variabel bebas.
Contoh 1.2. Persamaan
xy
0
dx
dy
dan
0
2 2
xy
dx
dy
dx
y
d
x
merupakan
persa-maan diferensial biasa, karena variabel tak bebas
y
hanya bergantung pada
varia-bel bebas
x
.
Definisi 1.3. Persamaan diferensial parsial
adalah persamaan diferensial yang
memuat derivatif-derivatif dari variabel tak bebas terhadap dua atau lebih
variabel bebas.
Contoh 1.3. Persamaan
0
x
z
y
z
merupakan persamaan diferensial parsial,
karena variabel tak bebas
z
bergantung pada kedua variabel bebas
y
dan
x
.
Demikian juga persamaan
0
2 2 2 2 2 2
z
v
y
v
x
v
, karena variabel tak bebas
v
Selain pengelompokan tersebut, dikenal juga persamaan diferensial
simultan (sistem persamaan diferensial). Pandang sistem persamaan diferensial
berikut :
0
2
y
z
dt
dz
dt
dy
t
z
y
dt
dz
dt
dy
2
3
merupakan sistem persaman diferensial dengan
y
dan
z
merupakan variabel tidak
bebas dan
t
variabel bebas.
Berikut ini diberikan pengertian order dan derajat persamaan diferensial
Definisi 1.4. Tingkat (order)
persamaan diferensial adalah tingkat tertinggi dari
derivatif yang terdapat dalam persaman diferensial.
Definisi 1.5.
Derajat (degree)
persamaan diferensial adalah pangkat tertinggi
dari derivatif tingkat tertinggi yang terdapat dalam persamaan diferensial.
Contoh 1.4.
1.
5
6
cos
0
2 2
y
x
dx
dy
dx
y
d
, persamaan diferensial orde 2 derajat 1.
2.
2
3
sin
0
3 2 2
y
x
dx
dy
dx
y
d
, persamaan diferensial orde 2 derajat 1.
3.
2
0
4 2 2
y
dx
dy
dx
y
d
, persamaan diferensial orde 2 derajat 4.
4.
3
0
2 3 3
y
dx
dy
dx
y
d
, persamaan diferensial orde 3 derajat 2.
dari variable tak bebas
terhadap suatu variable bebas. Sebagai contoh,
persamaan
0
3
2
2 2
y
dx
dy
dx
y
d
dan
y
t
dt
dy
t
dt
y
d
t
22
sin
2
2
dapat ditulis sebagai berikut:
0
3
'
2
'
'
y
y
y
dan
t
2y
'
'
ty
'
2
y
sin
t
.
Definisi 1.6. Persamaan diferensial biasa linear
orde n
dengan variabel bebas
dan variabel tak bebas adalah persamaan diferensial yang dapat dinyatakan
dalam bentuk:
( ) + ( ) +
⋯
+ ( ) + ( ) = ( )Jadi, linear di sini adalah linear terhadap variable tak bebas dan
derivative-derivatifnya.
Contoh 1.5. Berikut beberapa contoh persamaan diferensial linear
1.
+ + 2 = 02.
+ 2 + 4−
6 = 2Definisi 1.7. Persamaan diferensial biasa nonlinear
adalah persamaan
diferen-sial biasa yang tak linear.
Contoh 1.6. Berikut beberapa contoh persamaan diferensial nonlinear
1.
+ + 2 = 01.2
Membentuk Persamaan Diferensial
Selanjutnya, ”bagaimana membentuk persamaan diferensial ?”. Persamaan
diferensial dapat dibentuk dengan mengeliminasi semua konstanta sebarang yang
terdapat dalam suatu persamaan (kurva). Banyaknya konstanta sembarang
menun-jukkan order tertinggi dari derivatif dalam persamaan diferensial yang dicari.
Contoh 1.5.
1.
Diberikan persamaan garis
y
=
mx
+ 2 dengan
m
konstanta sembarang,
tentukan persamaan diferensial dari persamaan garis tersebut!.
Penyelesaian:
Karena persamaan
y
=
mx
+ 2 mempunyai satu konstanta sebarang (
m
), maka
order tertinggi dari derivatifnya adalah satu. Persamaan
y
=
mx
+ 2 diturunkan
terhadap
x
diperoleh
dx
dy
=
m
. Eliminasi
m
dari dua persamaan tersebut
dipero-leh persamaan diferensial
2
x
dx
dy
y
atau
y
2
0
dx
dy
x
.
2.
Tentukan persamaan diferensial dari
y
c
1cos
x
c
2sin
x
, dengan
c
1dan
c
2sembarang konstanta!
Penyelesaian:
Karena persamaan
y
c
1cos
x
c
2sin
x
mempunyai dua konstanta sebarang
(
c
1dan
c
2), maka order tertinggi dari derivatifnya adalah dua. Persamaan
x
c
x
c
y
1cos
2sin
diturunkan dua kali terhadap
x
diperoleh
x
c
x
c
dx
dy
cos
sin
21
dan
c
x
c
x
dx
y
d
sin
cos
21 2 2
.
Jadi, persamaan diferensial yan dicari adalah
0
2 2
y
dx
y
d
.
1.3
Penyelesaian Persamaan Diferensial
menye-dan memenuhi persamaan diferensial tersebut. Pada Contoh 1.5 di atas,
y
=
mx
+
2 dan
y
c
1cos
x
c
2sin
x
masing–masing merupakan penyelesaian persamaan
diferensial
y
2
0
dx
dy
x
dan
0
2 2
y
dx
y
d
.
Adapun macam–macam penyelesaian adalah sebagai berikut:
1.
Penyelesaian umum yaitu suatu penyelesaian persamaan diferensial yang
memuat konstanta sebarang.
2.
Penyelesaian khusus yaitu suatu penyelesaian persamaan diferensial yang
diperoleh dari penyelesaian umum dengan memberi nilai tertentu pada
konstanta sebarang.
3.
Penyelesaian bersyarat yaitu penyelesaian khusus yang memenuhi syarat
tertentu.
4.
Penyelesaian singular yaitu suatu penyelesaian yang tidak dapat diperoleh dari
penyelesaian umum dengan memanipulasi di sebarang konstanta.
Contoh 1.6.
1.
y
ce
2xmerupakan penyelesaian umum dari persamaan
dx
dy
– 2
y
= 0.
2.
Jika pada contoh nomor 1 diambil
c
1= 4 maka
y
4
e
2xmerupakan
penyelesaian khusus persamaan
dx
dy
– 2
y
= 0.
3.
y
e
2xmerupakan penyelesaian bersyarat persamaan
2
y
0
dx
dy
dengan
syarat
y
(0) = 1.
4.
48
16
(
2
)
30
1 2
2
y
x
x
merupakan penyelesaian singular dari persamaan
0
2
16
2 2
2
dx
dy
x
dx
dy
y
x
.
suatu persamaan diferensial yang disertai nilai awal di suatu titik tertentu,
sedangkan masalah syarat batas adalah suatu persamaan diferensial yang disertai
nilai tertentu di titik batas. Pembicaraan mengenai masalah nilai awal dan syarat
batas akan dibahas lebih lanjut tidak dalam perkuliahan ini.
Contoh 1.7.
1.
Fungsi
y
100
x
2,
10
x
10
merupakan penyelesaian masalah nilai
awal :
dy
x
dx
y
; (6)
y
8
.
2.
Fungsi
y
(
x
2
4)
e
xmerupakan penyelesaian masalah nilai awal :
2
x;
(2)
0
dy
y
xe
y
dx
.
3.
Fungsi
y
2
e
5x
3
e
2xmerupakan penyelesaian masalah nilai awal :
22
3
10
0;
(0)
5, '(0)
4
d y
dy
y
y
y
dx
dx
.
Latihan
1.
Tentukan order dan derajat persamaan diferensial berikut!
a.
+ 2 =b.
+ + = 0c.
+ 2 + = 0d.
+ + =e.
+ 3 = +2.
Tunjukkan bahwa fungsi
yang diberikan merupakan penyelesaian
persamaan diferensial terkait!
c.
−
=,
( ) = 3 +d.
+ 5 + 4 = 0, ( ) =e.
( )+ 4 + 3 =,
( ) =3.
Selidiki apakah
a.
Persamaan
−
−
4 = 0 merupakan penyelesaian diferensial =.
b.
Fungsi
( ) = 2 +merupakan penyelesaian
= 2 +.
c.
Fungsi
= ( + 1)merupakan penyelesaian
−
2 + = 0.d.
Fungsi
= cos 3 + cos + sinpenyelesaian persamaan
+