BAB I PENGERTIAN DASAR Kompetensi Dasar

(1)

BAB I

PENGERTIAN DASAR

1.1

Pengertian Persamaan Diferensial

Berikut akan dipelajari pengertian dan klasifikasi dari persamaan

diferen-sial serta beberapa hal yang terkait di dalamnya.

Definisi 1.1. Persamaan diferensial

adalah suatu persamaan yang memuat

variabel bebas, variabel tak bebas, dan derivatif-derivatif dari variabel tak bebas

terhadap variabel bebas.

Contoh 1.1. berikut ini beberapa contoh persamaan diferensial:

1.



xy



0

dx

dy

, dengan

dx

dy

derivatif dari variabel tak bebas

y

terrhadap variabel

bebas

x

.

2.

0

2 2







xy

dx

dy

dx

y

d

x

, dengan

2 2

dx

y

d

dan

dx

dy

derivatif dari variabel tak bebas

y

terhadap variabel bebas

x

.

Kompetensi Dasar:

Menjelaskan pengertian dan klasifikasi dari persamaan diferensial serta

beberapa hal yang terkait.

Indikator:

a.

Menjelaskankan pengertian persamaan diferensial.

b.

Menjelaskan klasifikasi persamaan diferensial.

(2)

3.



0







x

z

y

z

, dengan

y

z



dan

x

z



masing-masing derivatif dari variabel tak

bebas

z

x

dan

y

.

4.

0

2 2 2 2 2 2













z

v

y

v

x

v

, dengan

2 2 2 2

,

y

v

x

v



, dan

2 2

z

v



masing-masing derivatif

dari variabel tak bebas

v

x

,

y

, dan

z

.

Menurut banyaknya variabel bebas persamaan diferensial dibedakan

menjadi 2 yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial.

Untuk mengetahui perbedaan kedua jenis persamaan diferensial tersebut dapat

dilihat dalam definisi berikut.

Definisi 1.2. Persamaan diferensial biasa

adalah persamaan diferensial yang

memuat derivatif-derivatif dari variabel tak bebas terhadap satu variabel bebas.

Contoh 1.2. Persamaan



xy



0

dx

dy

dan

0

2 2







xy

dx

dy

dx

y

d

x

merupakan

persa-maan diferensial biasa, karena variabel tak bebas

y

hanya bergantung pada

varia-bel bebas

x

.

Definisi 1.3. Persamaan diferensial parsial

adalah persamaan diferensial yang

memuat derivatif-derivatif dari variabel tak bebas terhadap dua atau lebih

variabel bebas.

Contoh 1.3. Persamaan



0







x

z

y

z

merupakan persamaan diferensial parsial,

karena variabel tak bebas

z

bergantung pada kedua variabel bebas

y

dan

x

.

Demikian juga persamaan

0

2 2 2 2 2 2













z

v

y

v

x

v

, karena variabel tak bebas

v

(3)

Selain pengelompokan tersebut, dikenal juga persamaan diferensial

simultan (sistem persamaan diferensial). Pandang sistem persamaan diferensial

berikut :

0

2









y

z

dt

dz

dt

dy

t

z

y

dt

dz

dt

dy









2

3

merupakan sistem persaman diferensial dengan

y

dan

z

merupakan variabel tidak

bebas dan

t

variabel bebas.

Berikut ini diberikan pengertian order dan derajat persamaan diferensial

Definisi 1.4. Tingkat (order)

persamaan diferensial adalah tingkat tertinggi dari

derivatif yang terdapat dalam persaman diferensial.

Definisi 1.5.

Derajat (degree)

persamaan diferensial adalah pangkat tertinggi

dari derivatif tingkat tertinggi yang terdapat dalam persamaan diferensial.

Contoh 1.4.

1.

5

6

cos

0

2 2







y

x

dx

dy

dx

y

d

, persamaan diferensial orde 2 derajat 1.

2.

2

3

sin

0

3 2 2





















y

x

dx

dy

dx

y

d

3.

2

0

4 2 2

















y

dx

dy

dx

y

d

4.

3

0

2 3 3

















y

dx

dy

dx

y

d

(4)

dari variable tak bebas

terhadap suatu variable bebas. Sebagai contoh,

persamaan

0

3

2

2 2







y

dx

dy

dx

y

d

dan

y

t

dt

dy

t

dt

y

d

t

₂

2

sin

2





dapat ditulis sebagai berikut:

0

3

'

2

'



y



y



y

dan

t

2

y

'



ty

'



2

y



sin

t

.

Definisi 1.6. Persamaan diferensial biasa linear

orde n

dengan variabel bebas

dan variabel tak bebas adalah persamaan diferensial yang dapat dinyatakan

dalam bentuk:

( ) + ( ) +

⋯

+ ( ) + ( ) = ( )

Jadi, linear di sini adalah linear terhadap variable tak bebas dan

derivative-derivatifnya.

Contoh 1.5. Berikut beberapa contoh persamaan diferensial linear

1.

+ + 2 = 0

2.

+ 2 + 4

−

6 = 2

Definisi 1.7. Persamaan diferensial biasa nonlinear

adalah persamaan

diferen-sial biasa yang tak linear.

Contoh 1.6. Berikut beberapa contoh persamaan diferensial nonlinear

1.

+ + 2 = 0

(5)

1.2

Membentuk Persamaan Diferensial

Selanjutnya, ”bagaimana membentuk persamaan diferensial ?”. Persamaan

diferensial dapat dibentuk dengan mengeliminasi semua konstanta sebarang yang

terdapat dalam suatu persamaan (kurva). Banyaknya konstanta sembarang

menun-jukkan order tertinggi dari derivatif dalam persamaan diferensial yang dicari.

Contoh 1.5.

1.

Diberikan persamaan garis

y

=

mx

+ 2 dengan

m

konstanta sembarang,

tentukan persamaan diferensial dari persamaan garis tersebut!.

Penyelesaian:

Karena persamaan

y

=

mx

+ 2 mempunyai satu konstanta sebarang (

m

), maka

order tertinggi dari derivatifnya adalah satu. Persamaan

y

=

mx

+ 2 diturunkan

terhadap

x

diperoleh

dx

dy

=

m

. Eliminasi

m

dari dua persamaan tersebut

dipero-leh persamaan diferensial

2





x

dx

dy

y

atau



y



2



0

dx

dy

x

.

2.

Tentukan persamaan diferensial dari

y



c

₁

cos

x



c

₂

sin

x

, dengan

c

₁

dan

c

₂

sembarang konstanta!

Penyelesaian:

Karena persamaan

y



c

₁

cos

x



c

₂

sin

x

mempunyai dua konstanta sebarang

(

c

1

dan

c

2

), maka order tertinggi dari derivatifnya adalah dua. Persamaan

x

c

x

c

y



₁

cos



₂

sin

diturunkan dua kali terhadap

x

diperoleh

x

c

x

c

dx

dy

cos

sin

₂

1







dan

c

x

c

x

dx

y

d

sin

cos

₂

1 2 2





.

Jadi, persamaan diferensial yan dicari adalah

0

2 2





y

dx

y

d

.

1.3

Penyelesaian Persamaan Diferensial

(6)

menye-dan memenuhi persamaan diferensial tersebut. Pada Contoh 1.5 di atas,

y

=

mx

+

2 dan

y



c

₁

cos

x



c

₂

sin

x

masing–masing merupakan penyelesaian persamaan

diferensial



y



2



0

dx

dy

x

dan

0

2 2





y

dx

y

d

.

Adapun macam–macam penyelesaian adalah sebagai berikut:

1.

Penyelesaian umum yaitu suatu penyelesaian persamaan diferensial yang

memuat konstanta sebarang.

2.

Penyelesaian khusus yaitu suatu penyelesaian persamaan diferensial yang

diperoleh dari penyelesaian umum dengan memberi nilai tertentu pada

konstanta sebarang.

3.

Penyelesaian bersyarat yaitu penyelesaian khusus yang memenuhi syarat

tertentu.

4.

Penyelesaian singular yaitu suatu penyelesaian yang tidak dapat diperoleh dari

penyelesaian umum dengan memanipulasi di sebarang konstanta.

Contoh 1.6.

1.

y



ce

2x

merupakan penyelesaian umum dari persamaan

dx

dy

– 2

y

= 0.

2.

Jika pada contoh nomor 1 diambil

c

₁

= 4 maka

y



4

e

2x

merupakan

penyelesaian khusus persamaan

dx

dy

– 2

y

= 0.

3.

y



e

2x

merupakan penyelesaian bersyarat persamaan



2

y



0

dx

dy

dengan

syarat

y

(0) = 1.

4.

48

16

(

2

)

3

0

1 2

2



y

x



x

merupakan penyelesaian singular dari persamaan

0

2

16

2 2

2































dx

dy

x

dx

dy

y

x

.

(7)

suatu persamaan diferensial yang disertai nilai awal di suatu titik tertentu,

sedangkan masalah syarat batas adalah suatu persamaan diferensial yang disertai

nilai tertentu di titik batas. Pembicaraan mengenai masalah nilai awal dan syarat

batas akan dibahas lebih lanjut tidak dalam perkuliahan ini.

Contoh 1.7.

1.

Fungsi

y



100



x

2

,



10

 

x

10

merupakan penyelesaian masalah nilai

awal :

dy

x

dx

 

y

; (6)

y



8

.

2.

Fungsi

y



(

x

2



4)

e

x

merupakan penyelesaian masalah nilai awal :

2

x

;

(2)

0

dy

y

xe

y

dx



 



.

3.

Fungsi

y



2

e

5x



3

e

2x

merupakan penyelesaian masalah nilai awal :

2

3

10

0;

(0)

5, '(0)

4

d y

dy

y

dx





.

Latihan

1.

Tentukan order dan derajat persamaan diferensial berikut!

a.

+ 2 =

b.

+ + = 0

c.

+ 2 + = 0

d.

+ + =

e.

+ 3 = +

2.

Tunjukkan bahwa fungsi

yang diberikan merupakan penyelesaian

persamaan diferensial terkait!

(8)

c.

−

=

,

( ) = 3 +

d.

+ 5 + 4 = 0, ( ) =

e.

( )_{+ 4} _{+ 3} ₌

,

_{( ) =}

3.

Selidiki apakah

a.

Persamaan

−

4 = 0 merupakan penyelesaian diferensial =

.

b.

Fungsi

( ) = 2 +

merupakan penyelesaian

= 2 +

.

c.

Fungsi

= ( + 1)

merupakan penyelesaian

−

2 + = 0.

d.

Fungsi

= cos 3 + cos + sin

penyelesaian persamaan

+