DISTRIBUSI MARKOV-BINOMIAL NEGATIF
TESIS
Oleh
RINA WIDYASARI 107021009/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
DISTRIBUSI MARKOV-BINOMIAL NEGATIF
T E S I S
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh
RINA WIDYASARI 107021009/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
Judul Tesis : DISTRIBUSI MARKOV-BINOMIAL NEGATIF Nama Mahasiswa : Rina Widyasari
Nomor Pokok : 107021009
Program Studi : Magister Matematika
Menyetujui, Komisi Pembimbing
(Dr. Sutarman, M.Sc) (Prof. Dr. Herman Mawengkang)
Ketua Anggota
Ketua Program Studi Dekan
(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Dr. Sutarman, M.Sc)
Telah diuji pada
Tanggal 17 Desember 2012
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua : Dr. Sutarman, M.Sc
PERNYATAAN
DISTRIBUSI MARKOV-BINOMIAL NEGATIF
T E S I S
Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya.
Medan, 17 Desember 2012 Penulis,
ABSTRAK
Salah satu cara untuk memperoleh suatu distribusi peubah acak adalah dengan mendefinisikan distribusi peubah acak dengan kejadian acak yang membentuk rantai Markov. Penelitian tesis ini melakukan pengulasan kejadian-kejadian ber-distribusi binomial negatif dan membentuk suatu rantai Markov. AndaikanXnadalah barisan
percobaan {0,1} yaitu percobaan kombinasi sukses atau gagal, dan Sn menghitung
jumlah sukses, maka kejadian pada percobaan ke-n selanjutnya didefinisikan seba-gai percobaan yang membentuk rantai Markov berdistribusi binomial. Jika suatu peubah acak Nb(s) menyatakan nilai ketetapan muncul sukses ke-spada percobaan ke-n dan merupakan penjumlahan kejadian berdistribusi geometri maka apabila sukses muncul perhitungan rantai Markov akan berulang kembali. Namun, kare-na barisan membentuk rantai Markov, tetap mempertimbangkan state awal, state ke-n−1, dan state ke-n apakah muncul 0 atau 1. Tujuan penelitian ini adalah me-modelkan fungsi massa peluang (fmp), fungsi ekspektasi dan fungsi varians peubah acak Nb(s) berdistribusi Markov-binomial negatif. Selain itu, peneliti juga memo-delkan diagram kontrol dalam quality control sebagai salah satu terapan distribusi Markov-binomial negatif.
ABSTRACT
The way to find a new distribution of random variables is defining the distribution which associated with Markov chain. In this research, researcher defines all the random variables identically independent distributed negative binomial distribution and form a Markov chain. Suppose that Xn is a sequence of Bernoulli trials that if
1 occurs means ”success” and 0 occurs means ”failure”. Nb(s) defined as random variables sth success in n trials. Each trial form a Markov chain, in note that if we
consider that Nb(k)are total geometrically even, then if success occurs, then Markov chain must be counted from the beginner. But, if we lookXn as a sequence in{0,1}
combination, then we must look beginner state condition0or 1, also consider(n−1)th
and nth state in 0 or 1. Therefore, researcher try to model pmf and varians of a
random variables iid negative binomial associated with Markov chain then called it by Negative Binomial Distribution for Markov Process with two conditions and mode a control diagram as its application in quality control.
KATA PENGANTAR
Puji syukur kepada Allah SWT yang selalu memberikan rahmat dan hidayah yang luar biasa sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis dengan judul: DIS-TRIBUSI MARKOV-BINOMIAL NEGATIF. Penulis menyampaikan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada :
Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, M.Sc(CTM), Sp.A(K) selaku Rektor Universitas Sumatera Utara.
Bapak Dr. Sutarman, M.Sc, Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Magister Matematika di FMIPA Universitas Sumatera Utara, yang juga sebagai pembimbing I, dan banyak memberikan bimbingan dan arahan dalam menyelesaikan tesis ini.
Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang, Ketua Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara sekaligus pembimbing II yang telah memberikan bimbingan, arahan dan ilmu pengetahuan dalam menyelesaikan tesis ini.
Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika FMIPA Universitas Sumatera Utara.
Bapak Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc, Pembanding-I yang telah memberikan saran dan kritik dalam penyempurnaan tesis ini.
Ibu Dr. Yulita Molliq, M.Sc, Pembanding-II yang memberikan saran dan kritik dalam penyempurnaan tesis ini.
Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan selama masa perkuliahan.
Seluruh rekan-rekan Mahasiswa Program Studi Magister Matematika FMIPA USU tahun 2010 genap (Aghni, Dhia, Lena, Novi, Kak Vivi, Amin, Agusmanto, Bang Zul, Bang Hindra dan Bang Ronal) yang telah memberikan bantuan moril dan motivasi kepada penulis dalam penulisan tesis ini.
Tak lupa penulis mengucapkan terimakasih sebesar-besarnya dan penghargaan setinggi-tingginya kepada ibunda tercinta Sulastri dan ayahanda Junaidi serta adik-adik, Irmayati, A.Md, Rizky Ayu Lestari, Fajar Fathurrahman dan Nabila Azzuhra juga Mas Sentot Budi Santoso, SP yang mencurahkan kasih sayang dan dukungan kepada penulis, terlebih yang dengan setia mendoakan dan memberikan semangat kepada penulis selama mengikuti perkuliahan hingga sampai penulisan tesis ini.
Penulis menyadari bahwa tesis ini masih jauh dari sempurna, untuk itu penulis mengharapkan kritik saran untuk penyempurnaan tesis ini. Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak lain yang memerlukannya. Terimakasih.
Medan, Desember 2012 Penulis,
RIWAYAT HIDUP
Rina Widyasari dilahirkan di Medan pada tanggal 18 Juli 1988 dari pasa-ngan Bapak Junaidi & Ibu Sulastri. Penulis menamatkan pendidikan Sekolah Dasar Negeri 060927 Medan tahun 2000, Sekolah Lanjutan Tingkat Pertama (SLTP) Negeri 2 Medan tahun 2003, Sekolah Menengah Atas (SMA) Negeri 2 Medan tahun 2006. Pada tahun 2006 memasuki Perguruan Tinggi Universitas Sumatera Utara fakultas MIPA jurusan Matematika pada Strata Satu (S-1) dan lulus tahun 2010.
DAFTAR ISI
Halaman
PERNYATAAN i
ABSTRAK ii
ABSTRACT iii
KATA PENGANTAR iv
RIWAYAT HIDUP vi
DAFTAR ISI vii
BAB 1 PENDAHULUAN 1
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Perumusan Masalah 3
1.3 Tujuan Penelitian 3
1.4 Manfaat Penelitian 3
1.5 Metode Penelitian 4
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 6
BAB 3 DISTRIBUSI PELUANG DISKRIT DAN RANTAI MARKOV 8
3.1 Distribusi Bernoulli 8
3.2 Distribusi Binomial 8
3.3 Distribusi Geometri 9
3.4 Distribusi Binomial Negatif 10
3.5 Rantai Markov 11
3.5.1 Proses Markov 11
3.5.2 Matriks peluang transisi suatu rantai Markov 14
3.6.1 Rantai Markov dua state 15 3.6.2 Rantai Markov berkaitan dengan peubah acak yang
terdis-tribusi identik dan independen 20 3.6.3 Rantai Markov pada percobaan muncul ”sukses” 21 3.7 Distribusi Geometri yang Berkaitan dengan Rantai Markov 22
3.7.1 Definisi 23
BAB 4 DISTRIBUSI MARKOV-BINOMIAL NEGATIF 24
4.1 Distribusi Markov-Binomial 24
4.2 Distribusi Markov-Binomial Negatif 27 4.2.1 Fungsi pembangkit momen distribusi Markov-binomial negatif 31 4.2.2 Model distribusi Markov-binomial negatif dalamquality
con-trol 33
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN 35
5.1 Kesimpulan 35
5.2 Saran 36
ABSTRAK
Salah satu cara untuk memperoleh suatu distribusi peubah acak adalah dengan mendefinisikan distribusi peubah acak dengan kejadian acak yang membentuk rantai Markov. Penelitian tesis ini melakukan pengulasan kejadian-kejadian ber-distribusi binomial negatif dan membentuk suatu rantai Markov. AndaikanXnadalah barisan
percobaan {0,1} yaitu percobaan kombinasi sukses atau gagal, dan Sn menghitung
jumlah sukses, maka kejadian pada percobaan ke-n selanjutnya didefinisikan seba-gai percobaan yang membentuk rantai Markov berdistribusi binomial. Jika suatu peubah acak Nb(s) menyatakan nilai ketetapan muncul sukses ke-spada percobaan ke-n dan merupakan penjumlahan kejadian berdistribusi geometri maka apabila sukses muncul perhitungan rantai Markov akan berulang kembali. Namun, kare-na barisan membentuk rantai Markov, tetap mempertimbangkan state awal, state ke-n−1, dan state ke-n apakah muncul 0 atau 1. Tujuan penelitian ini adalah me-modelkan fungsi massa peluang (fmp), fungsi ekspektasi dan fungsi varians peubah acak Nb(s) berdistribusi Markov-binomial negatif. Selain itu, peneliti juga memo-delkan diagram kontrol dalam quality control sebagai salah satu terapan distribusi Markov-binomial negatif.
ABSTRACT
The way to find a new distribution of random variables is defining the distribution which associated with Markov chain. In this research, researcher defines all the random variables identically independent distributed negative binomial distribution and form a Markov chain. Suppose that Xn is a sequence of Bernoulli trials that if
1 occurs means ”success” and 0 occurs means ”failure”. Nb(s) defined as random variables sth success in n trials. Each trial form a Markov chain, in note that if we
consider that Nb(k)are total geometrically even, then if success occurs, then Markov chain must be counted from the beginner. But, if we lookXn as a sequence in{0,1}
combination, then we must look beginner state condition0or 1, also consider(n−1)th
and nth state in 0 or 1. Therefore, researcher try to model pmf and varians of a
random variables iid negative binomial associated with Markov chain then called it by Negative Binomial Distribution for Markov Process with two conditions and mode a control diagram as its application in quality control.
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Percobaan Bernoulli merupakan suatu percobaan yang memiliki dua nilai outcome (kemunculan) yang mungkin yakni ”sukses” dan ”gagal” yang masing-masing dino-tasikan dengan nilai n = 1 dan n = 0. Apabila nilai n = 1, berarti muncul suk-ses. memiliki peluang p sedangkan n = 0 berarti muncul gagal memiliki peluang q = 1−p, (Evans, et al., 2000). Saat ini, banyak aplikasi percobaan Bernoulli dap-at ditemukan dalam kehidupan sehari-hari, diantaranya proses pencocokan barisan DNA (Clay, 2001), pemeriksaan kualitas produk dalam quality control (Ross, et al., 2012), banyaknya produk berkualitas baik dalam stok pasar, dan pengujian keacakan suatu sampel (Omey, et al., 2008). Apabila percobaan Bernoulli dilakukan berkali-kali kemudian masing-masing hasilnya dijumlahkan maka percobaan tersebut akan berdistribusi binomial.
Dalam teori peluang dan statistika, distribusi binomial merupakan distribusi peluang diskrit yang menyatakan jumlah sukses dalam barisan n percobaan (suk-ses/gagal) yang independen. Andaikan bahwa setiap Xi bernilai {0,1} dan untuk
n ≥ 1, ambil Sn = Pn
i=1Xi sebagai jumlah sukses dalam barisan (X1, X2, . . . , Xn).
JikaXi terdistribusi secara independen dan identik dengan P(Xi = 1) =pdan P(Xi
= 0) =q = 1−p, makaSntersebut diketahui berdistribusi binomialSn ∼BIN(n, p)
(Omey, et al., 2008). Namun, apabila suatu percobaan dilakukan berkali-kali sam-pai muncul sukses atau gagal, maka tidak lagi dikatakan berdistribusi binomial melainkan berdistribusi geometri. Jumlah n distribusi geometri akan menghasilkan suatu percobaan berdistribusi binomial negatif.
2
Kini, banyak distribusi peluang yang didefinisikan melalui pencampuran atau penggabungan dua distribusi peluang atau lebih. Salah satu untuk memperoleh su-atu distribusi diskrit baru adalah mendefinisikan perhitungan distribusi-distribusi yang berhubungan dengan rantai Markov. Omey, et al. (2008) melakukan peng-gabungan distribusi binomial dan rantai Markov yang disebut dengan distribusi Markov-binomial.
Distribusi Markov-binomial adalah suatu distribusi peluang diskrit dari keja-dian sukses atau gagal yang membentuk suatu rantai Markov. Ilustrasi yang da-pat menggambarkan distribusi ini yakni, dalam quality control diputuskan untuk memeriksa semua unit yang diproduksi. Alternatif yang muncul dari persoalan terse-but yaitu hanya memeriksa satu unit dan kemudian menerima atau menolak semua unit yang diproduksi. Namun, distribusi ini kurang cocok digunakan dalam situasi kegiatan yang memperhatikan muncul sukses atau gagal ke-k setelah melakukan r kali percobaan yang sering dikenal dengan percobaan berdistribusi binomial negatif yang juga membentuk suatu rantai Markov. Oleh karena itu, penelitian ini diajukan untuk mendefinisikan perhitu-ngan distribusi binomial negatif yang berhubungan dengan rantai Markov sehingga terbentuk suatu distribusi diskrit baru yang disebut distribusi Markov-binomial negatif.
Pada penelitian tentang Markov-binomial sebelumnya, Wang (1981) mengada-kan penelitian tentang limit distribusi Markov-binomial. Cemengada-kanavicius dan Roos (2007) menggunakan distribusi binomial untuk pendekatan distribusi Markov bi-nomial begitu juga dengan Xia dan Zhang (2009) yang menganalisis pendekatan-pendekatan pada distribusi Markov-binomial. Namun, penelitian yang paling men-dasari penelitian ini adalah penelitian yang dilakukan oleh Omey, et al. (2008). Mereka melakukan penelitian tentang hal-hal yang berkaitan dengan distribusi bi-nomial dan membentuk rantai Markov yakni melakukan analisis pada Xi, i ≥ 1
yang dinyatakan sebagai barisan {0,1} dan membentuk suatu rantai Markov serta mempelajari jumlah sukses kejadian binomial Sn = X1 +X2 +· · ·+Xn. Dengan
3
penelitian ini, akan ditunjukkan aplikasi distribusi Markov-binomial negatif dalam kalibrasi alat sistemquality control. Namun, pada hakikatnya aplikasi ini tidak hanya diharapkan dapat diterapkan dalam sistem quality control, tetapi dapat diterapkan dalam penyebaran penyakit bidang ilmu epidemik, pencocokan DNA, stok pasar, dan percobaan Bernoulli lainnya.
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan uraian yang diungkapkan pada bagian latar belakang, distribusi Markov-binomial ialah distribusi diskrit yang diperoleh melalui penggabungan an-tara distribusi binomial dan rantai Markov. Distribusi ini hanya dapat digunakan untuk persoalan yang memperhitungkan percobaan muncul sukses atau gagal tan-pa memperhatikan atan-pakah sukses atau gagal ke-s muncul pada percobaan ke-n yang dikenal dengan percobaan berdistribusi binomial negatif. Persoalan muncul, bagaimanakah model suatu distribusi diskrit dari percobaan-percobaan yang berdis-tribusi binomial negatif dengan mengaitkan bahwa setiap percobaan membentuk rantai Markov dan bagaimana pula model diagram kontrol sebagai terapan dalam quality control.
1.3 Tujuan Penelitian
Mengembangkan model distribusi Markov-binomial dan distribusi binomial negatif menjadi suatu distribusi Markov-binomial negatif serta memodelkan ap-likasinya dalam sistem quality control.
1.4 Manfaat Penelitian
4
1.5 Metode Penelitian
Metode penelitian ini bersifat literatur dan kepustakaan dengan mengumpul-kan informasi dari beberapa jurnal. Langkah-langkah yang dilakumengumpul-kan adalah sebagai berikut:
1. Menguraikan fungsi distribusi peluang geometri menjadi distribusi peluang bi-nomial negatif.
2. Mengidentifikasi kejadian-kejadian yang berdistribusi binomial negatif dan mem-bentuk rantai Markov.
3. Menentukan asumsi awal dan notasi terkait.
4. Mempartisi kejadian pada waktut dant+ 1 ke dalam 2 kemungkinan, Apabila pada waktu t+ 1 muncul 1 maka kejadian pada waktu t mungkin 0 atau 1. Sebaliknya, apabila pada waktu t+ 1 muncul 0 maka kejadian pada waktu t mungkin 0 atau 1 juga.
5. Menentukan fungsi massa peluang (fmp), fungsi rata-rata (ekspektasi), dan fungsi varians pada 2 kondisi tersebut.
6. Memodelkan diagram kontrol menggunakan fungsi varians sebagai terapan dalam sistemquality control.
Definisi perhitungan-perhitungan dalam distribusi Markov-binomial negatif di-lakukan dengan menggabungkan dan memodifikasi teknik-teknik yang telah didi-lakukan Omey,et al. (2008). Pendekatan dilakukan dalam dua langkah besar sebagai berikut.
Definisi Sn
5
Modifikasi Distribusi Markov-Binomial
Setelah Sn telah didefinisikan pada proses di atas, langkah selanjutnya adalah
mo-difikasi distribusi Markov-binomial berikut.
Distribusi awal P(ξ0 = 1) =p0, P(ξ0 = 0) = 1−p0,p0 ∈[0,1] dan peluang transisi
P(ξi = 1|ξi−1 = 1) =p,P(ξi = 0|ξi−1 = 1) =q P(ξi = 1|ξi−1 = 0) = q,¯ P(ξi = 0|ξi−1 = 0) = ¯p
p+q =¯q +¯p=1, p, q ∈(0,1), i∈N.
Distribusi Geometri
p(k) =P{Z(r) =k}=qk.p= (1
−p)k.p
Distribusi binomial negatif p(k)=P{Y(r) =k}=(k+r−1)!
(r−1)!k!p
r(1
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
Distribusi Markov-binomial negatif merupakan distribusi yang diperoleh melalui pengembangan distribusi Markov-binomial. Sedangkan distribusi Markov-binomial merupakan distribusi yang diperoleh melalui penggabungan kejadian-kejadian bino-mial dan membentuk rantai Markov (Omey et al., 2008). Distribusi binomial erat kaitannya dengan distribusi Bernoulli karena distribusi binomial diperoleh dari pen-jumlahan percobaan yang berdistribusi Bernoulli. Percobaan Bernoulli merupakan percobaan yang terdiri dari barisan variabel{0,1}, dimana 1 berarti muncul ”sukses” dengan peluang pdan 0 berarti muncul ”gagal” dengan peluangq = 1−p(Omey et al., 2008).
Beberapa artikel membahas tentang distribusi Markov-Binomial serta pen-dekatannya melalui beberapa distribusi. Omey et al. (2008) melakukan perhitu-ngan waktu tunggu untuk percobaan-percobaan Bernoulli yang membentuk rantai Markov. Kemudian penelitiannya dilanjutkan pada tahun yang sama dengan men-jumlahkan percobaan binomial yang berupa barisan variabel{0,1}dan mengandaikan bahwa barisan tersebut membentuk rantai Markov. Lain halnya dengan penelitian yang dilakukan Omey dan van Gulck (2006) yang mengasumsikan beberapa keter-gantungan dalam barisan percobaan Bernoulli dan memberikan sebuah parameter tambahan sehingga model dapat digunakan lebih realistis.
Ghitany et al. (2002) menginvestigasi beberapa sifat penting dari distribusi hipergeometrik binomial negatif diperumum. Distribusi baru tersebut diperoleh de-ngan cara penggabude-ngan distribusi. Distribusi binomial negatif diperoleh dede-ngan cara menggabungkan distribusi Poisson dan distribusi gamma.
7
Cekanavicius dan Roos (2007) mendemonstrasikan bahwa distribusi binomial merupakan pendekatan yang sesuai untuk distribusi Markov-binomial dengan sebuah pendekatan error, yang dihitung dalam norm variasi total, yaitu 1/√n. Kemudian, Xia dan Zhang (2009) melanjutkan penelitian yang dilakukan oleh Barbour dan Lind-vall (2006) dan Cekanavicius dan Roos (2007), yakni mencari distribusi pendekatan yang paling sesuai dengan distribusi Markov-binomial dan mengembangkan batas error sebagai fungsi eksplisit dari parameter-parameter distribusi Markov-binomial. Inoue dan Aki (2007) melakukan penggabungan distribusi dari banyaknya suk-ses yang muncul dalam barisan percobaan Markov yang dependen dan terdiri dari banyak state. Economou dan Kapodistria (2009) melakukan ilustrasi kegunaan framework barisan q-hipergeometrik dalam perhitungan sistem transisi binomial yang muncul dari proses sinkronisasi serta mempelajari karakteristik sinkronisasi yang juga bersesuaian dengan rantai Markov spasial yang tidak homogen.
Pada tahun 2010, Yang dan Miao menggunakan distribusi Markov-binomial untuk mengestimasi simpangan (deviasi) sedang dan simpangan (deviasi) luas untuk banyaknya sukses Sn dan banyaknya kejadianYr hingga muncul sukses ke-r.
BAB 3
DISTRIBUSI PELUANG DISKRIT DAN RANTAI MARKOV
Pada bab ini dipaparkan teori distribusi peluang diskrit khususnya distribusi bi-nomial, geometri dan binomial negatif serta rantai Markov. Materi tersebut akan dijadikan sebagai landasan berfikir dalam melakukan penelitian ini sehingga mem-permudah dalam hal pembahasan hasil utama pada bab selanjutnya.
3.1 Distribusi Bernoulli
Percobaan Bernoulli merupakan suatu percobaan yang memiliki dua nilai outcome yang mungkin yaitu n = 0 dan n = 1, n = 1 berarti muncul sukses dengan peluang p dan n = 0 berarti muncul gagal dengan peluang q = 1−p, 0 < p < 1 (Evans, et al., 2000). Nilai ekspektasi dan varians kejadian berdistribusi Bernoulli adalah E[X] =pdan V ar[X] =p(1−p).
Peubah acak Bernoulli muncul secara frekuensi sebagai indikator dari suatu kejadian. Indikator suatu kejadian A merupakan peubah acak, yakni
I(A) =IA= (
1 Jika A muncul
0 Jika A tidak muncul (3.1.1) (Taylor dan Karlin, 1994),
sehingga IA merupakan peubah acak Bernoulli dengan parameter p = E[IA] =
P r{A}.
3.2 Distribusi Binomial
Anggap kejadian independen X1, X2, . . . , Xn memiliki peluang muncul yang sama
yaitu p = P(Xi). MisalkanSn menyatakan total kejadian di antara X1, X2,
. . . , Xn yang muncul, maka Sn berdistribusi binomial dengan parameter n dan p.
Fungsi massa peluang (fmp) Sn ialah
pSn(k) =P(Sn =k) =
n! k!(n−k)!p
k
(1−p)n−k
9
Persamaan (3.2.1) adalah fmp yang menghitung peluang banyaknya sukses atau gagal setelah melakukann percobaan. Jika Sn dituliskan sebagai jumlah
indikator-indikator dalam bentukSn = 1(X1) + 1(X2) +· · ·+ 1(Xn), maka
E[Sn] =E[1(X1)] +E[1(X2)] +· · ·+E[1(Xn)] = p+p+p+p+· · ·+p=np. (3.2.2)
Persamaan (3.2.2) juga merupakan rata-rata (nilai ekspektasi)Sn, dengan n
menya-takan banyaknya percobaan.
Kemudian, dengan menggunakan sifat independensi dapat ditentukan bahwa
V ar[Sn] = V ar[1(X1)] +V ar[1(X2)] +· · ·+V ar[1(Xn)] =np(1−p), (3.2.3)
(Taylor dan Karlin, 1994).
Persamaan (3.2.3) merupakan rumus untuk menghitung varians Sn.
3.3 Distribusi Geometri
Andaikan A1, A2, . . . merupakan kejadian independen yang memiliki peluang yang
dinotasikan dengan p = P r{Ai}. Apabila dikatakan bahwa k merupakan sebuah
sukses (S) atau gagal (F) berdasarkan Akmuncul atau tidak, dan anggap Z
menya-takan banyaknya gagal yang terjadi sebelum muncul sukses pertama. Jadi, Z = k jika dan hanya jikaI(A1) = 0, . . . ,I(Ak) = 0 dan I(Ak+1) = 1, makaZ berdistribusi
geometri dengan parameter p. Fungsi massa peluang (fmp) Z ialah
pz(k) =p(1−p)k untukk = 0,1, . . . , (3.3.1)
(Taylor dan Karlin, 1994). Persamaan (3.3.1) merupakan fungsi untuk menghitung peluang apabila dalam k+ 1 percobaan terdapatk gagal dan 1 sukses. Fungsi rata-rata dan varians Z ialah
E[Z] = 1−p
p ; V ar[Z] =
1−p
p2 , (3.3.2)
10
3.4 Distribusi Binomial Negatif
Andaikan bahwa sebarisan percobaan Bernoulli yang independen memiliki dua kemu-ngkinan kemunculan yang disebut sukses dan gagal. Setiap percobaan, sukses memi-liki peluangpdan gagal memiliki peluang (1−p). Lakukan percobaan berulang-ulang sebanyak r hingga muncul sukses, maka bilangan acak gagal akan berdistribusi bi-nomial negatif (Pascal). Dengan kata lain, proses bibi-nomial negatif digunakan untuk mempelajari distribusi dari banyaknya percobaan-percobaan sebelum menetapkan suatu bilangan khusus kemunculan sukses (Taylor dan Karlin, 1994).
Pada setiap percobaan, tetapkan suatu bilangan bulatr≥1 dan misalkanY(r) adalah jumlah gagal yang diamati sebelum muncul sukses ke-r dalam X1, X2,
. . . , Xn, maka Y(r) berdistribusi binomial negatif dengan parameter r dan p.
Ke-jadian (Yr) = k menyebutkan (A) dengan r−1 sukses dalam percobaan k+r−1
pertama, diikuti dengan (B) sebuah sukses pada percobaan ke k+r. Peluang (A) diperoleh dari distribusi binomial, sedangkan peluang (B) = p, sehingga diperoleh pmf:
p(k) =P{Y(r) =k}= (k+r−1)! (r−1)!k! p
r
(1−p)k, k = 0,1, . . . , n. (3.4.1) Dengan cara lain, tuliskan Y(r) sebagai jumlah dari variabel acak independen yang masing-masing berdistribusi geometri sebagai Y(r) = Z1 +Z2 +· · · +Zr, maka
rata-rata (ekspektasi) dan varians Y(r) dapat dituliskan sebagai E[Y(r)] = r(1−p)
p ;V ar[Y(r)] =
r(1−p)
p2 , (3.4.2)
(Taylor dan Karlin, 1994).
Bukti:
E[Y(r)] =
r X
i=1
Zi
=E[Z1+Z2+· · ·+Zr]
=E[Z1] +E[Z2] +· · ·+E[Zr]
=r.E[Z] = r(1−p)
11
Persamaan (3.4.2) merupakan fungsi untuk menghitung rata-rata dan varians su-atu percobaan berdistribusi binomial negatif. Y(r) merupakan peubah acak yang diperoleh dari penjumlahan peubah acak berdistribusi geometri,Zr dan tiap-tiapZr
saling independen dan memiliki nilai peluang yang sama sehingga E[Zr] = (1
−p)
Suatu proses Markov {Xt, t∈T} ialah suatu proses stokhastik dengan sifat bahwa,
jika diberikan nilai Xt, nilai Xs untuk s > t tidak dipengaruhi oleh nilai Xu untuk
u < t. Dengan kata lain, peluang sebarang kejadian pada proses di masa depan, ketika keadaan sekarang diketahui, tidak dipengaruhi oleh pengetahuan tambahan yang terjadi di masa lampau.
Suatu rantai Markov waktu diskrit merupakan suatu proses Markov yang ruang statenya adalah himpunan berhingga dengan waktu T = (0,1,2, . . .). Sifat Markov apabila dibentuk rumus, hasilnya ialah
P{Xn+ 1 =j|X0 =i0,· · · , Xn−1 =in−1, Xn=i}=P{Xn+1 =j|Xn =i}, (3.5.1) untuk semua waktu n dan semua state i0, . . . , in−1, i, j.
Persamaan (3.5.1) melabelkan ruang state rantai Markov melalui bilangan bulat nonnegatif {0,1,2, . . .} dan Xn = i merepresentasikan proses dalam state i pada
12
Peluang ketikaXn+1 berada di state j jika diberikan bahwaXn berada di state
i disebut peluang transisi satu langkah dan dinotasikan sebagai Pijn,n+1, yakni
Pijn,n+1 =P{Xn+1 =j|Xn =i}. (3.5.2)
Notasi pada persamaan (3.5.2) menyatakan bahwa secara umum, peluang transisi merupakan fungsi yang tidak hanya berisi state awal dan state akhir, tetapi juga waktu transisi. Jika peluang transisi satu-langkah independen untuk variabel waktu n yaitu Pijn,n+1 =Pij, maka rantai Markov dikatakan memiliki peluang transisi yang
stasioner. Penelitian ini hanya mendiskusikan proses Markov yang memiliki peluang transisi stasioner. Apabila angka-angka Pij disusun dalam sebuah matriks, hasilnya
ialah
NotasiP=kPij kdinyatakan sebagai matriks Markov atau matriks peluang transisi.
Baris ke-i+ 1 pertama dari matriksPmerupakan nilai distribusi peluang dari Xn+1
di bawah kondisi Xn =i.
Oleh karena peluang bernilai non-negatif dan karena proses harus melakukan transisi ke beberapa state, hal ini berarti bahwa
Pij ≥ 0 untuk i, j = 0,1,2, . . . , (3.5.3)
∞
X
j=0
Pij = 1 untuk i = 0,1,2, . . . . (3.5.4)
Persamaan (3.5.4) mengekspresikan suatu kenyataan bahwa beberapa transisi dapat terjadi dalam setiap percobaan.
Suatu proses Markov secara lengkap didefinisikan sebagai suatu kejadian yang matriks peluang transisinya dan state awal X0 (secara umum, peluang transisi X0)
13
Andaikan P{X0 =i} =p, hal ini dapat menunjukkan bagaimana menghitung
kuantitas persamaan (3.5.5)
P{X0 =i0, X1=i1, X2 =i2, . . . , Xn =in}, (3.5.5)
karena sebarang peluang meliputiXj1, . . . , Xjk, untukj1 <· · ·< jk, dapat diperoleh
berdasarkan aksioma total peluang yaitu melalui penjumlahan tiap-tiap Xn dalam
persamaan (3.5.5).
Berdasarkan definisi peluang bersyarat, diperoleh P{X0 =i0, Xt =i1,· · · , Xn =in}
=P{X0 =i0, Xt =i1,· · · , Xn−1 =in−1}
×P{Xn =in|X0 =i0, X1 =i1,· · ·, Xn−1 =in−1}. (3.5.6) Kemudian, dari definisi proses Markov, yaitu kejadian pada waktu ke n hanya bergantung pada kejadian waktu ke-n−1,
P{Xn =in|X0 =i0, X1 =i1,· · · , Xn−1 =in−1}= P{Xn =in|Xn−1 =in−1}=Pin
−1,in.
(3.5.7)
Substitusi persamaan (3.5.7) ke persamaan (3.5.6), maka P{X0 =i0, X1 =i1,· · · , Xn−1 =in−1}= P{X0 =i0, X1 =i1,· · · , Xn−1 =in−1}Pin
−1,in.
Sehingga melalui induksi matematika, persamaan (3.5.5) menjadi
P{X0 =i0, X1 =i1,· · · , Xn =in}=Pi0Pi0,i1· · ·Pin−1,in. (3.5.8)
Hal ini juga berarti bahwa
P{Xn+1 =j1,· · · , Xn+m =in+m =jm|X0 =i0, X1 =i1,· · ·, Xn=in}
=P{Xn+1 =j1,· · · , Xn+m =jm|Xn =in}, (3.5.9)
14
3.5.2 Matriks peluang transisi suatu rantai Markov
AndaikanPn
ij menyatakan peluang dimana proses berasal daristate i kestate j dalam
transisi ken sehingga
Pij(n) =P{Xm+n =j|Xm =i} (3.5.10)
Matriks peluang transisi n-langkah kemudian diekspresikan oleh P(n) =kP(n)
ij k.
Sifat Markov pada persamaan (3.5.9) dengan syarat k Pij(n) k ditetapkan melalui teorema (3.1)
Teorema 3.1Matriks peluang transisi langkah ke-n suatu rantai Markov memenuhi
Pij(n) =
Berdasarkan teori matriks, persamaan (3.5.10) diakui sebagai bentuk rumus perkalian matriks, sehingga matriks peluang transisiP(n) =P× P(n−1)
. Melalui proses iterasi, dapat diperoleh
P(n) =P×P×P· · · ×P=Pn (3.5.12) Dengan kata lain, peluang transisi ke-n Pn
ij merupakan entri-entri dalam matriksPn,
yaitu pangkat ke-nmatriks P.
Bentuk umum dari persamaan (3.5.10) dikenal sebagai persamaan Chapman-Kol-mogorov yakni
Bukti. Pembuktian dilakukan melalui analisis langkah pertama, analisis transisi yang mungkin pada langkah pertama, diikuti oleh aplikasi sifat Markov. Kejadi-an dari state i ke state j dalam n kali transisi dapat direalisasikan dengan cara yang salingmutually exclusive yaitu melalui perpindahan ke beberapa state k (k = 0,1, . . .)dalam transisi pertama, dan kemudian dari state k ke state j dalam tran-sisi (n−1). Berdasarkan sifat Markov, peluang transisi kedua adalah P(n−1)
15
jelaslah peluang transisi pertama adalah Pik. Jika digunakan hukum total
pelu-ang, maka persamaan (3.5.10) diperoleh. Langkah-langkah memperoleh persamaan (3.5.10) ialah
Jika peluang ketika proses awal berada di state j adalah pj yaitu hukum
dis-tribusi X0 adalah Pr{X0 = j} = pj, maka peluang ketika proses berada di state k 3.6.1 Rantai Markov dua state
Apabila diketahui sebarisan percobaan Bernoulli (barisan {0,1}) membentuk rantai Markov, andaikan distribusi awal diberikan oleh P(X1 = 1) = p dan P(X1 = 0) =
q = 1−p dan untuk i, j = 0,1, andaikan pi,j = P{X2 = j|X1 = i} menotasikan
peluang transisi. Masalah yang tidak berarti dapat dihindari dengan mengandaikan bahwa 0< pi,j <1 . Matriks transisi satu langkah rantai markov dapat dilihat pada
persamaan (3.6.1):
Ketika p = 1 −q sehingga entri baris-baris pada matriks P adalah sama, maka state X1, X2, . . . menjadi variabel bebas yang terdistribusi secara identik dan
independen dengan Pr{Xn = 0} = q dan Pr{Xn = 0} = p. Ketika p 6= 1−q,
16
Pada rantai Markov dua state, persamaan (3.6.1) dapat diverifikasi melalui in-duksi bahwa matriks transisi langkah ke n diberikan sebagai
Pn = 1
Untuk membuktikan bentuk umumPn di atas, maka dapat dilakukan dengan
mem-buat suatu pemisalan
sehingga persamaan (3.6.2) dapat dituliskan sebagai
17
Pembuktian induksi dapat disempurnakan dengan measumsikan persamaan (3.6.2) benar untuk n=k, maka
Karena persamaan (3.6.2) terbukti memenuhi untukn =k+1, oleh karena itu, tidak dapat dipungkiri persamaan (3.6.2) terbukti untuk semuan=k.
Catatan bahwa |1−p−q|<1 ketika 0< p, q <1 dan|1−p−q |n
Persamaan (3.6.3) mengatakan bahwa dalam suatu sistem yang panjang, ketika berada dalam state 0 memiliki peluang (p+qq) dan ketika berada dalamstate 1 memi-liki peluang (p+pq) mengabaikan state awal pada sistem (Taylor dan Karlin, 1994).
Jika dihubungkan dengan penelitian yang dilakukan oleh Omey et al. (2008), pertama, catatan bahwa rantai Markov memiliki suatu vektor stasioner yang tunggal sebagai (x, y) = (p1,0, p0,1)/(p0,1 +p1,0). Nilai eigen matriks P adalah λ1 = 1 dan
λ2 = 1−p0,1−p1,0=1−p−q, karena p0,1 = 1−p0,0 = 1−qdan p1,0= 1−p1,1 = 1−p
maka λ2 =p0,0+p1,1−1 =q+p−1, dimana |λ2 |<1 . Melalui induksi
matemati-ka, maka matriks transisinlangkah dapat dituliskan sebagaiPn=A+λn2B, dimana
A =
Pembuktiannya dapat dilihat dari proses induksi persamaan (3.6.2). Hal tersebut berarti bahwaP(0n,0)=b+λn
2a dan P (n)
1,0=b−λn2b =b(1−λn2) . Dengan menggunakan
hubungan ini, untuk n≥1 diperoleh: P{Xn = 1}=a+λn
−1
2 (pb−qa) =a−λn
−1
18
P{Xn = 0}=a+λn
−1
2 (a−p), (3.6.5)
(Omey,et al., 2008).
Persamaan (3.6.4) menyatakan peluang apabila sampai percobaan ke-n muncul suk-ses, sederhananya dapat dilihat untukn = 1, yakni
P{X1 = 1}=a−λ1
−1
2 (a−p) =a−(a−p) =p.
Hal tersebut juga berlaku pada persamaan (3.6.5), persamaan (3.6.5) menyatakan peluang apabila sampai percobaan ke-n muncul gagal, sederhananya dapat dilihat untuk n= 1, yakni
P{X1 = 0} =b+λn
−1
2 (a−p) =b+ (a−p) =a+b−p= 1−p,
jumlah nilai a dan b pada matriksA adalah 1.
Teori tentang momen Xn diberikan pada lemma 3.1.
Lemma 3.1Untuk n≥1 diperoleh
1. E[Xn] =P(Xn = 1) =a−λn
jika kejadianX1 sampai dengan kejadianXn−1 adalah gagal maka
E[Xn] = 0.P{X1 = 0}+ 0.P{X2 = 0}+· · ·+ 0.P{Xn−1 = 0}+ 1.P{Xn = 1} E[Xn] =P{Xn = 1}=a−λn
−1
19
dari persamaan (3.6.4) dan (3.6.5) P{Xn = 1}=a−λn
Pembuktikan bagian (3) dapat dilakukan dengan mempertimbangkan bahwa E[XnXm] = P{Xn = 1, Xm = 1} = p(
Oleh karena pada kasus khusus, peneliti mempertimbangkan tipe korelasi dalam per-cobaan Bernoulli (Wang, 1981), maka dalam model ini, diasumsikan bahwa P(Xn =
20
3.6.2 Rantai Markov berkaitan dengan peubah acak yang terdistribusi identik dan independen
Andaikan ξ menotasikan suatu nilai peubah acak diskrit yang merupakan bilangan bulat nonnegatif dan dimana P{ξ=i} =ai ≥ 0 untuk i = 0,1, . . . dan
an, akan dipelajari jenis-jenis rantai Markov yang ruang statenya serupa dengan pengamatan-pengamatan independen ξ yang nilainya berupa bilangan bulat non-negatif.
21
3.6.3 Rantai Markov pada percobaan muncul ”sukses”
Anggap kasus yang memimpin perulangan percobaan Bernoulli (setiap kejadian hanya ada dua outcome yang muncul yaitu sukses S dan gagal F). Andaikan bahwa dalam setiap percobaan, peluang S adalah p dan peluang F adalah q = 1−p. Ke-mudian definisikan banyaknya percobaan dari suatu sukses yang muncul (banyaknya kejadian sukses) sebagai banyaknya percobaan berurut yang menghasilkan sukses. Yaitu, suatu sistem sukses dengan panjang r terjadi jika outcome tersebut muncul dalamr+2 percobaan, termasuk percobaan terakhir, berturut-turutF, S, S, . . . , S, F. Berilah label pada state sekarang dari proses oleh ukuran banyaknya sukses yang sedang berlangsung. Proses tersebut merupakan proses Markov karena tiap-tiap per-cobaan bersifat independen satu sama lain, dan matriks peluang transisinya ialah sebagai berikut
Generalisasi proses ”sukses” di atas untuk kasus-kasus dimanastatei+1 hanya dapat dicapai dari state idan ukuran proses diperbaharui (kembali ke 0) jika sebuah keja-dian ”gagal” muncul. Oleh karena itu, matriks peluang transisinya diberikan sebagai
P=
22
3.7 Distribusi Geometri yang Berkaitan dengan Rantai Markov
Andaikan sebarisan peubah acak biner (Xn, n = 1,2, . . .), dimana state 1
me-nyatakan sebuah sukses dan 0 meme-nyatakan sebuah gagal, peluang stasioner state 1 dan 0 ialah
P{Xn= 1} =p, P{Xn = 0}=q= 1−p. (3.7.1)
Kemudian, asumsikanXnmembentuk suatu rantai Markov yang mempertimbangkan
korelasi antara kejadianXn dan Xn+1, dengan peluang transisi (perhatikan kembali
persamaan (3.5.6))
transisi n langkah dapat dituliskan sebagai Pn=A+λn2B, maka matriks peluang transisi langkah ke-n ialah
Pn=
23
3.7.1 Definisi
Andaikan (X1, X2, . . .) adalah barisan percobaan Bernoulli dengan kombinasi{0,1},
kemudian didefinisikan peubah acak Z menyatakan jumlah gagal yang muncul hing-ga muncul sukses pertama dalam rantai Markov dan peubah acak Zs menyatakan
banyaknya transisi yang terjadi hingga pertama sukses. Oleh karena ituZs =Z+ 1.
Sehingga fungsi massa peluang dari Z adalah
P{Z = 0}=p, (3.7.6) P{Z = 0} berarti pada percobaan acak tersebut tidak ada muncul gagal, dengan kata lain percobaan pertama muncul sukses sehingga P{Z = 0}=p, dan
P{Z =k}=q(1−p(1−ρ))k−1
p(1−ρ), k= 1,2, . . . , (3.7.7) (Omey,et al., 2008).
BAB 4
DISTRIBUSI MARKOV-BINOMIAL NEGATIF
Penelitian tesis ini merupakan penelitian yang berhubungan dengan suatu peubah acak binomial negatif dengan mempertimbangkan bahwa kejadian-kejadian berdis-tribusi binomial negatif tersebut membentuk suatu rantai Markov. Selain itu, peneli-ti memodelkan aplikasinya dalam quality control. Definisi perhitungan-perhitungan dalam distribusi Markov-binomial negatif dilakukan dengan menggabungkan dan memodifikasi teknik-teknik yang telah dilakukan Omey, et al. (2008). Pendekatan dilakukan dalam dua langkah besar yakni mendefinisikan Sn dalam model distribusi
Markov-binomial yang telah dilakukan Omey, et al. (2008) kemudian mendefinisi-kan Zk sebagai peubah acak berdistribusi geometri yang berkaitan dengan rantai
Markov, dan Nb(s) sebagai peubah acak berdistribusi binomial negatif yang berkai-tan dengan rantai Markov. Oleh karena setiap percobaan membentuk rantai Markov, maka peneliti melakukan pembedaan yang dilihat dari stateawal juga stateke-ndan ke-n+ 1. Apabila stateke-n berhenti di 0 (gagal), maka terdapat dua kemungki-nan pada state ke-n−1, yakni 0 atau 1. Begitu juga sebaliknya apabila state ke-n berhenti di 1 (sukses).
4.1 Distribusi Markov-Binomial
Andaikan Sn adalah notasi yang digunakan untuk menyatakan jumlah sukses dari
tiap-tiap percobaan berdistribusi binomial, X1, X2, . . . , Xn, yaituSn= n P
i=1
Xi, perlu
diingat bahwa percobaan yang berdistribusi binomial merupakan percobaan barisan
{0,1} dari percobaan Bernoulli. Apabila distribusi awal ialah P(X1 = 1) = p dan
P(X1 = 0) = q = 1−p dan untuk i, j = {0,1}, andaikan pi,j =P{X2 = j|X1 = i}
menotasikan peluang transisi, dengan asumsi awal 0 < pi,j < 1. Matriks transisi
25
Misalkan pn(k) =P{Sn =k}menyatakan peluangk sukses pada n percobaan. Oleh
karena percobaan binomial berkaitan dengan rantai Markov, maka fungsi peluang harus mempertimbangkan kondisi state awal dan state akhir apakah berada pada state 0 atau 1, sehingga
pin(k) =P{Sn=k, Xn =i}, i= 0,1. (4.1.2)
Persamaan (4.1.2) mengakibatkan bahwa untuk setiap peluang jumlah sukses memi-liki dua kemungkinan yaitu berakhir di state 0 atau state 1, dengan fungsi
pn(k) =p0n(k) +p1n(k) =P{Sn=k, Xn = 0}+P{Sn =k, Xn = 1}. (4.1.3)
Catatan bahwa
1. p1
1(1) =P{S1= 1, X1 = 1}=p,
2. p0
1(0) =P{S1= 0, X1 = 0}=q,
3. p1
1(0) =P{S1= 0, X1 = 1}= 0 dan
4. p0
1(1) =P{S1= 1, X1 = 0}= 0.
Lemma 4.1. Untuk n ≥1 diperoleh (i)p0
n+1(k) =p0,0p0n(k) +p1,0p1n(k);
(ii)pn+11(k) =p0,1p0n(k−1) +p1,1p1n(k−1),
(Omey,et al., 2008).
Bukti. (i)p0
n+1(k) =p0,0p0n(k) +p1,0p1n(k), yakni n
z }| {
0110101100...0 0
| {z }
n+1
0,
di mana banyak sukses = k, kejadian ke-n berhenti di state 0 dan kejadian ke-n+ 1 berhenti di state 0, atau
n
z }| {
0100100110...0 1
| {z }
n+1
26
di mana banyak sukses = k, kejadian ke-n berhenti di state 1 dan kejadian ke-n+ 1 berhenti di state 0.
di mana banyak sukses = k, kejadian ke-n berhenti di state 0 dan kejadian ke-n+ 1 berhenti di state 1 sehingga pada kejadian ke-n jumlah sukses adalah k−1 atau
n
di mana banyak sukses = k, kejadian ke-n berhenti di state 1 dan kejadian ke-n+ 1 berhenti di state 1 sehingga pada kejadian ke-n jumlah sukses adalah k−1.
Jika dimisalkanp1
n+1(k) =M +N di mana
M =P{Sn+1 =k, Xn+1 = 1, Xn= 0}
N =P{Sn+1 =k, Xn+1 = 1, Xn = 1}
27
Catatan bahwa
M =P{Xn+1 = 1|Sn =k, Xn = 0}p1n(k−1)
=P{Xn+1 = 1|Sn=k−1, Xn= 0}p1n(k−1)
=p0,1p1n(k−1),
atau
N =P{Xn+1 = 1|Sn=k, Xn = 1}p1n(k−1)
=P{Xn+1 = 1|Sn =k−1, Xn = 1}p1n(k−1)
=p1,1p1n(k−1).
4.2 Distribusi Markov-Binomial Negatif
Distribusi Markov-binomial negatif merupakan distribusi percobaan diskrit yang mempertimbangkan rantai Markov dalam tiap-tiap percobaan. Peneliti menotasikan Nb(s) sebagai jumlah percobaan hingga muncul sukses ke-s pada percobaan ke-n. Pada distribusi Markov-binomial yang diteliti oleh Omey,et al. (2008) terdapat no-tasi Sn sebagai jumlah sukses pada n percobaan. Nb(s) dan Sn memiliki kesamaan
yakni peubah acak yang menghitung banyaknya sukses, namun sedikit berbeda de-ngan Nb(s) yakni peubah acak harus muncul sukses ke-spada percobaan ke-n. Hal yang perlu diingat bahwa, kejadian-kejadian berdistribusi binomial negatif memper-timbangkan keadaan atau posisi state awal dan state terakhir berhenti. Kemudian, apabila sukses muncul, maka perhitungan rantai Markov akan berulang dengan dis-tribusi awal P{Nb1 = 1} = p dan P{Nb1 = 0} = q = (1−p). Sesuaikan notasi,
untuk n ≥ s dan i = 0,1, kemudian tentukan pi
n+1(s) = P{Nbn+1 = s, Xn+1 = i}
dan Pn+1(s) =P{Nbn+1 =s}. Dengan menggunakan metode sebelumnya pada
dis-tribusiSn yang dilakukan Omey,et al. (2008), terdapat dua kondisi dalam distribusi
Markov-binomial negatif yakni
1. Kondisi pertama: state akhir adalah state0 p0n(s) =p0,0p0n−1(s) +p1,0p
1
28
yaitu state awal berada di 0 atau 1. Sesuai dengan persamaan Chapman-Kolmogorov, perhatikan ilustrasi
n z }| {
000000010...0 0
| {z }
n+1
0,
di mana pada percobaan ke-(n+ 1) muncul sukses ke-s, dengan percobaan ke-n berhenti di state 0 dan percobaan ke-(n+ 1) berhenti di state 0, atau
n z }| {
000000000...0 1
| {z }
n+1
0,
di mana pada percobaan ke-(n+ 1) muncul sukses ke-s, dengan percobaan ke-n berhenti di state 1 dan percobaan ke-(n+ 1) berhenti di state 0.
Jika dimisalkanp0
n+1(s) =C100+C110 di mana
C100=P{Sn+1 =s, Xn+1 = 0, Xn = 0}
C110=P{Sn+1 =s, Xn+1 = 0, Xn = 1}
maka C100=P{Sn=s, Xn+1 = 0, Xn= 0}. Catatan bahwa
C100=P{Xn+1 = 0|Sn=s, Xn= 0}p0n(s)
=P{Xn+1 = 0|Sn−1 =s, Xn = 0}p
0
n(s)
=p0,0p0n(s),
atau
C110=P{Xn+1 = 0|Sn=s, Xn= 1}p0n(s)
=P{Xn+1 = 0|Sn−1 =s, Xn = 1}p
0
n(s)
=p1,0p0n(s).
2. Kondisi kedua: state akhir adalah state1
29
dicapai melalui dua kemungkinan yaitu state awal berada di 0 atau 1 (hatikan definisi persamaan Chapman-Kolmogorov), untuk lebih jelasnya per-hatikan ilustrasi yakni
di mana pada percobaan ke-(n+ 1) muncul sukses ke-s, dengan percobaan ke-n berhenti distate 0 dan percobaan ke-(n+ 1) berhenti di state 1 sehingga pada percobaan ke-n banyaknya muncul sukses adalah s−1, atau
n
dimana muncul sukses ke-r pada percobaan ke-(n+ 1), dengan percobaan ke-n berhenti di state 1 dan kejadian ke-n+ 1 berhenti di state 1 sehingga pada percobaan ke-n banyaknya muncul sukses adalah s−1.
Jika dimisalkanp1
30
Perhatikan fmp distribusi geometri berikut ini:
pz(k) =p(1−p)k untukk = 0,1, . . . ,
ilustrasi kejadian yang berdistribusi geometri, yakni
k−1
percobaan pertama hingga percobaan ke-k−1 muncul gagal (0) dan kejadian ke-k muncul sukses (1). Fungsi massa peluang(fmp) percobaan yang berdistribusi ge-ometri dan membentuk rantai Markov dapat diperoleh dengan mempartisi muncul gagal sebanyak k −1 di mana state awal adalah 0 kemudian dilanjutkan dengan kejadian muncul gagal dan sukses (01) pada kejadian ke-k dan ke-k + 1 dengan P{Xk+1 = 1, Xk = 0}=p0,1, yakni
Pada kasus lain, apabila terdapat suatu kejadian melakukan k percobaan hingga muncul gagal dengan ilustrasi sebagai
k−1
31
Apabila percobaan geometri berkaitan dengan rantai Markov tersebut mempertim-bangkan korelasi antar percobaan mempunyai matriks peluang transisi sebagai
P=
(Omey,et al., 2008), maka
k−1
4.2.1 Fungsi pembangkit momen distribusi Markov-binomial negatif
32
Secara umum, fungsi pembangkit momen ialah ϕ(t) =E[etX] =X
x
etxp(x),
sehingga fungsi pembangkit momen kondisi pertama dan kedua diperoleh ϕ0s(t) =t p0,0ϕs0(t) +t p1,0ϕ1s(t)
Jika kembali mengulas subbab 3.6.1 mengenai rantai Markov dua state, dike-tahui bahwa matriks transisi peluang satu langkah (lihat persamaan (3.6.1)) ialah
P=
33
dimana |λ2| < 1. Melalui induksi matematika, matriks transisi peluang n langkah
dapat dituliskan sebagai Pn=A+λn2B, dimana
yang sama juga dapat dilakukan pada Nb(s) dan ingat bahwa Nb kebalikan dari Sn, jika s → ∞ maka E[Nb] mendekati nilai s/b dan V ar[Nb] mendekati nilai
nab(1 +λ2)/(1−λ2) =s(p1,0.p1,1/p20,1).
Berdasarkan teorema limit pusat (central limit theorem), untuk nilai p, q dan matriks peluang transisiPtetap, serta nilain besar, maka distribusi peluangNb(s) dapat ditaksir melalui distribusi normal sebagai
karena s→ ∞ diperoleh Nb(s)−E[Nb(s)]
4.2.2 Model distribusi Markov-binomial negatif dalam quality control
34
Suatu produk dikatakan memiliki kualitas baik apabila berada dalam daerah Batas Kontrol Atas (BKA) dan Batas Kontrol Bawah (BKB). Jika hasil produksi terus-menerus berada di luar daerah rentang BKA-BKB maka perlu dilakukan per-baikan terhadap mesin produksi atau kalibrasi alat kontrol kembali. Oleh karena itu, operator (pekerja) harus mencatat berapa banyaknya produksi baik dalamn sampel percobaan.
Distribusi binomial negatif merupakan distribusi yang cocok menggambarkan kasus tersebut. Jika proporsi (peluang) produk berkualitas baik = p, maka diagram kontrol tiga simpangan baku untuk proporsi p dapat dibentuk oleh garis-garis:
Garis Pusat = x
Batas Kontrol Atas =x+ 3
r
p(1−p) n
Batas Kontrol Bawah =x−3
r
p(1−p)
n , (4.2.4)
(Montgomery, 2009).
Jika produk-produk dalam suatu sampel yang akan diperiksa membentuk rantai Markov maka sampel tersebut berdistribusi Markov-binomial negatif dengan n dan s besar dengan varians
V ar[Nb(s)] = s p1,0.p1,1 p2
0,1
,
maka diperoleh persamaan diagram kontrol tiga simpangan baku yang dibentuk oleh garis-garis: (catatan bahwa kontrol tidak lagi memperhatikanstateakhir percobaan apakah baik atau rusak)
Garis Pusat = x
Batas Kontrol Atas =x+ 3
s
s p1,0.p1,1/p20,1
n
Batas Kontrol Bawah =x−3
s
s p1,0.p1,1/p20,1
BAB 5
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Dalam tesis ini, penulis mengulas bentuk distribusi suatu kejadian Bernoulli {0,1} yang kemudian berkembang menjadi kejadian acak yang berdistribusi binomial nega-tif dengan membentuk suatu rantai Markov. Dengan berpedoman pada penelitian yang dilakukan oleh Omey, et al. (2008), suatu proses binomial negatif didasarkan pada banyaknya tak terhingga percobaan yang dilakukan sepanjang waktu, dengan hanya dua kejadian diskrit sebagai outcome yang mungkin muncul untuk sembarang percobaan. Kejadian-kejadian ini biasanya diberi label ”sukses” dan ”gagal” de-ngan peluang sebuah ”sukses” (komplemen dari peluang ”gagal”) diasumsikan tetap sepanjang waktu. Proses binomial negatif digunakan untuk mempelajari distribusi dari banyaknya percobaan-percobaan sebelum menetapkan suatu bilangan khusus kemunculan sukses.
Peneliti menotasikanNb(s) sebagai jumlah kejadian-kejadian berdistribusi ge-ometri (Z(k)) atau dengan kata lain Nb(s) menyatakan kejadian yang berdistribusi binomial negatif. Konsekuensi dari suatu peubah acak yang berdistribusi bino-mial negatif dan membentuk rantai Markov adalah bahwa ketika sebuah sukses muncul, maka rantai Markov akan dimulai kembali dari awal dengan fmp awal yaitu P(X1) =p, P{X1 = 0}= 1−p, sehingga
Fungsi massa peluang Nb(s) adalah p0
n(s) =p0,0pn0−1(s) +p1,0p
1
n−1(s), dan p1
n+1(s) =p1,1p1n(s−1) +p0,1p0n−1(s−1).
(5.1.1)
36
tiga simpangan baku yang dibentuk oleh garis-garis:(catatan bahwa kontrol tidak lagi memperhatikanstate akhir percobaan apakah baik atau rusak)
Garis Pusat = x
Batas Kontrol Atas =x+ 3
s
s p1,0.p1,1/p20,1
n
Batas Kontrol Bawah =x−3
s
s p1,0.p1,1/p20,1
n . (5.1.2)
5.2 Saran
DAFTAR PUSTAKA
Barbour, A.D., dan Lindvall, T. 2006. Translated Poisson approximation for Markov chains. Journal of Theoretical Probability 19: hal. 609-630.
Cekanavicius, V., dan Roos, B. 2007. Binomial approximation to the Markov binomial distribution. Acta Applicandae Mathematicae 96: hal. 137-146.
Cekanavicius, V., dan Roos, B. 2009. Poisson type approximation to the Markov binomial distribution. Stochastic Process and their Applications 119(1): hal. 190-207.
Clay, Oliver. 2001. Standard Deviations and Correlations of GC Levels in DNA Se-quences. Gene 276: hal. 33-38.
Dekking, M., dan Kong, D. 2011.Multimodallity of the Markov Binomial Distribution. math.PR/1102.3613 v1 preprint, Cornell arXiv.
Dumitrescu, Monica. 2002. Statistical inference for two Markov binomial models with applications. Statistical Papers 43: hal. 579-585.
Economou, A., dan Kapodistria, S. 2009. q-Series in Markov Chain with Binomial Transitions. Probability in the Engineering and Informatical Sciences. 23: hal. 75-99.
Evans, M., Hastings, N., dan Peacock, B. 2000. ”Bernoulli Distribution.” Ch. 4 in Statistical Distributions, 3rd ed. New York: Wiley, hal. 31-33.
Ghitany, M., E., Al-Awadhi, S., A., dan Kalla, S., L. 2002. On Hypergeometric Ge-neralized Negative Binomial Distribution.International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences 29: hal. 727-736.
Inoue, K., dan Aki, S. 2007. Joint distribution of numbers of runs of specified lengths in a sequence of Markov dependent multistate trials. Annals of the Institute Statistical Mathematics 59: hal. 577-595.
Montgomery, D.C. 2009.Introduction to Statistical Quality Control, 6th Edition. Dan-vers: John Wiley & Sons, Inc.
Omey E. dan Van Gulck S. 2006. Markovian Black and Scholes. Publications de L’institut Mathematique 79: hal. 65-72.
Omey, E., Santos, J., dan Van Gulck, S. 2008. A markov-binomial distribution. App-licable Analysis and Discrete Mathematics 2: hal. 38-50.
Omey, E., dan Van Gulck, S. 2008. Singles in a Markov chain. Publications de L’institut Mathematique Nouvelle Serie 83(97): hal. 27-35.
Ross, G.,J., Tasoulis, D., K., dan Adams, N., M. 2012. Sequential monitoring of a Bernoulli sequence when the pre-change parameter is unknown. Computational Statistics : hal. 190-207.
38
Wang, Y. H. 1981. On the limit of the Markov binomial distribution. Journal of Applied Probability 18: hal. 937-942
Xia, A., dan Zhang, M. 2009. On approximation of Markov binomial distributions. Bernoulli 15: hal. 1335-1350
