1
BAGIAN 1
Diskripsi Mata Kuliah
Memberikan gambaran dan dasar-dasar pengertian serta pola pikir yang logis sehubungan dengan barisan dan deret bilangan yang tersusun secara teratur dengan perubahan-perubahannya yang tertentu. Selanjutnya memberikan tuntunan dalam menggunakan rumus-rumus yang telah diperoleh untuk menghitung nilai-nilai yang ingin diketahui dari baris dan deret yang ada, seperti menghitung kesamaan suatu nilai dari dua beris atau deret yang diketahui, mencari perubahan dari suatu baris atau suatu deret.
Tutjuan Khusus
Menerapkan pengetahuan tentang baris dan deret tersebut dalam menghitung perasalahan-perasalahan bisnis dan ekonomi di antaranya masalah perkembangan usaha sejauh mana pertumbuhannya yang konstan dari waktu ke waktu, masalah nilai uang dalam hal pinjam-meminjam, investasi jangkan panjang yang dihubungkan dengan tingkat suku bunga yang diasumsikan tetap dari waktu ke waktu, dan menghitung pertumbuhan penduduk di suatu daerah serta jumlah penduduknya pada suatu waktu tertentu.
A. TEORI BARIS DAN DERET
1. Pengertian Baris
Baris yang dimaksud adalah bilangan yang tersusun secara teratur dengan suatu pola perubahan tertentu dari satu suku ke suku berikutnya.
Penggolongan baris dapat didasarkan pada :
Jumlah suku yang membentuknya, dibedakan menjadi : 1. Baris berhingga
2. Baris tak berhingga
Pola perubahannya, sehingga dibedakan menjadi 1. Baris Hitung
2. Baris Ukur 3. Baris Harmoni 2. Baris Hitung
Baris hitung yaitu baris bilangan di mana pola perubahan dari satu suku ke suku berikutnya besarnya tetap dan pola perubahan tersebut dapat diperoleh dari selisih antara sutu suku ke suku sebelumnya. Contoh :
2, 4, 6, 8, 10, 12 ...Sn
S1 (suku pertama) = 2 S1 = a = 2
S2 (suku kedua) = 4 S2 = a + b = 2 + 2 = 4
S3 (suku ketiga) = 6 S3 = a + 2b = 2 + (2)2 = 6
S4 (suku keempat) = 8 S4 = a + 3b = 2 + (3)2 = 8
Sn (suku ke n)
Maka untuk suku ke n di peroleh rumus :
Sn = a + ( n – 1 ) b.
Dimana a = suku pertama, b = pembeda dan n = suku ke n
Contoh soal :
Diberikan suku ke tiga dan suku ke tujuh masing-masing sebesar 150 dan 170. Carilah suku ke sepuluhnya dari baris hitung tersebut.
2 S3 = a + ( n – 1 ) b = 150 = a + 2b
S7 = a + (n – 1 ) b = 170 = a + 6b
- - 20 = - 4b
b = -20 / -4 = 5 150 = a + 2b 150 = a + 2.5 150 = a + 10 a = 150 – 10 a = 140
S10 = a + (n – 1) b
= 140 + (10 -1) 5 140 + 45 = 185
3. Deret Hitung
Deret hitung yaitu deretan bilangan yang tersusun dengan aturan dimana suku pertamannya sama dengan suku pertama baris hitungnya, suku keduanya merupakan penjumlahan dua suku pertama baris hitungnya, suku ketiganya merupakan penjumlahan tiga suku pertama baris hitungnya, dan seterusnya. Contoh : (dari contoh baris hitung di atas)
Baris hitung : 2, 4, 6, 8, 10, 12 ... Maka Deret hitung : 2, 6, 12, 20, 30, 42, ... D1 = 2,
D2 = 2 + 4 = 6,
D3 = 2 + 4 + 6 = 12
D4 = 2 + 4 + 6 + 8 = 20 Dst
dimana Dn = n/2 ( a + Sn ) atau
Dn = n/2 { 2a + ( n – 1 ) b} Contoh Soal :
Sebuah baris hitung mempunyai suku pertama yang bernilai 140. Beda antar suku 5. Hitunglah suku ke-10nya ? Berapakah Jumlah lima suku pertamanya ?.
a = 140, b = 5
S10 = 140 + ( 10 – 1 ) 5
= 140 + 45 = 185
D5 = 5/2 ( 2.140 + ( 5 – 1 ) 5 )
= 5/2 ( 280 + 20 ) = 5/2 ( 300 ) = 750 4. Baris Ukur
Baris ukur yaitu baris bilangan di mana pola perubahan dari satu suku ke suku berikutnya besarnya tetap dan pola perubahan tersebut dapat diperoleh dari perbandingan antara satu suku sengan suku sebelumnya
Contoh :
2, 6, 18, 54, 162, ... Sn
S1 (suku pertama) = 2
S2 (suku kedua) = 6
S3 (suku ketiga) = 18
S4 (suku keempat) = 54
S5 (suku kelima) = 162
Sn (suku ke n) = dst.
Pola perubahan dari satu suku ke suku berikutnya dilambangkan dengan r (rasio) dan perbesarannya adalah perbandingan atara dua suku yang berurutan dengan suku berikutnya, sehingga r = 6/2 = 18/6 = 54/18 = 162/54. maka r = 3.
S1 (suku pertama) = a = 2
S2 (suku kedua) = ar = 2.3 = 6
S3 (suku ketiga) = ar2 = 2.32 = 2.9 = 18
S4 (suku keempat) = ar3 = 2.33 = 2.27 = 54
S5 (suku kelima) = ar4 = 2.34 = 2.8 = 162
Sn (suku ke n)
3 5. Deret Ukur
Deret Ukur yaitu deretan bilangan yang tersusun dengan aturan di mana suku pertamanya sama dengan suku pertama baris ukurnya, suku keduanya merupakan penjumlahan dua suku pertama baris ukurnya, suku ketiganya merupakan penjumlahan tiga suku pertama baris ukurnya, dan seterusnya.
Contoh : (dari contoh baris ukur di atas)
Baris Ukur : 2, 6, 18, 54, 162, ... maka Deret Ukur : 2, 8, 26, 80, 242, ...
D1 = 2 D2 = 2 + 6 = 8 D3 = 2 + 6 + 18 = 26 Dst.
Dn dapat dirumuskan :
1 , 1 1
r r r a D
n
n atau , 1
1 1
r r r a D
n
n
Contoh Soal :
Sebuah baris ukur mempunyai suku pertama yang bernilai 20. Ratio antar sukunya 2. Hitunglah suku ke-6nya ! Berapa jumlah lima suku pertamanya.
a = 20, r = 2
S6 = arn-1 = 20. 26-1 = 20. 25 = 20. 32 = 640
1 2
1 2 20 6
6
D =
1 63 . 20
= 1260
B. PENERAPAN TEORI BARIS DAN DERET DALAM EKONOMI
1. Perkembangan Usaha
Perkembangan usaha yang dimaksud adalah sejauh usaha-usaha yang pertubuhannya konstan dari waktu ke waktu mengikuti perubahan baris hitung.
Contoh Soal
1. Perusahaan keramik menghasilkan 5.000 buah keramik pada bulan pertama produksinya. Dengan adanya penambahan tenaga kerja, maka jumlah produk yang dihasilkan juga ditingkatkan. Akibatnya, perusahaan tersebut mampu menambah produksinya sebanyak 300 buah setiap bulannya. Jika perkembangan produksinya konstan setiap bulan, berapa jumlah keramik yang dihasilkannya pada bulan ke 12 ?. Berapa buah jumlah keramik yang dihasilkannya selama tahun pertama produksinya ?
Jawab : Jumlah keramik yang dihasilkannya pada bulan ke 12. S12 = a + (n – 1) b
= 5.000 + (12 – 1) 300 = 5.000 + (11) 300 = 5.000 + 3.300 = 8.300
Jadi pada bulan ke 2 perusahaan tersebut dapat menghasilkan 8.300 buah keramik. Jumlah keraik yang dihasilkan dalam satu tahun pertama.
D12 = n/2 (a + s12)
= 12/2 (5.000 + 8.300) = 6 (13.300)
= 79.800
2. Teori Nilai Uang (bunga Majemuk)
Perluasan deret ukur digunakan dalam masalah bunga berbunga, masalah pinjam meminjam serta masalah investasi yang dihubungkan dengan tingkat suku bunga dalam jangka waktu tertentu yang besarnya diasumsikan tetap dari waktu ke waktu. Misalkan suatu modal sebesar P0‟ akan dibungakan per-satu tahun selama jangka waktu n tahun. Tingkat suku bunga yang berlaku yang berlaku adalah r % per-tahun, diasumsikan tetap dari tahun ke tahun selama n tahun. Sehingga menghitung modal awal tahun ke-n yang diperoleh melalui pembungaan setiap satu tahun dapat dirumuskan
Pn = po ( 1 + r )n , atau Pn = po ( 1 + r /m)n.m
Pn = Modal pada tahun ke-n (di masa yang akan datang)
Po = Modal saat sekarang, saat t = 0
4 n = tahun ke m = periode per-tahun
Contoh Soal :
Seorang nasabah merencanakan mendepositokan uangnya di Bank sebanyak Rp. 10 juta dalam jangka waktu 5 tahun. Pembungaan depositonya setahun sekali dengan tingkat bunga yang diasumsikan konstan sebesar 11% per-tahun. Bantulah nasabah itu untuk menghitung berapa jumlah uang yang akan diterima pada akhir tahun ke-5 ?
Pn = P0 ( 1 + r )n
= 10.000.000 ( 1 + 0,11 )5 = 10.000.000 ( 1,11 ) 5 = 10.000.000 (1,685058155) = 16.850.581,55 3. Pertumbuhan Penduduk
Penerapan deret ukur yang paling konvensional di bidang ekonomi adalah dalam hal perhitungan pertumbuhan penduduk, sebagaimana pernah dinyatakan oleh Malthus, penduduk dunia tumbuh mengikuti pola deret ukur. Yang drumuskan :
Pn = P0.( 1 + i )n
Di mana Pn = populasi penduduk pada tahun basis (tahun ke-1)
P0 = populasi penduduk pada tahun ke- n
i = persentase pertumbuhan penduduk per tahun & n = jumlah tahun Contoh soal :
Penduduk suatu kota berjumlah 100.000 jiwa pada tahun 1995, tingkat pertumbuhannya 4 persen per tahun. Hitunglah jumlah penduduk kota tersebut pada tahun 2005.
Periode waktu : 2005 -1995 = 10 tahun Pn = P0.( 1 + i )n = 100.000 ( 1 + 0,04 )10
= 100.000 ( 1,04 )10
= 100.000 ( 1,48024) = 148.024 Latihan Soal
1. Sebuah baris hitung mempunyai suku pertama bernilai 210. Beda antar suku 15. Hitunglah suku ke 10 nya ! Berapakah jumlah lima suku pertammanya ?
2. Jika diketahui suku kedua besarnya 275 dan suku keenam besarnya 375. Berapa suku pertama baris hitung tersebut ? Berapakah nilai suku kesepuluhnya ? Berapa jumlah sepuluh suku pertamanya. 3. Pabrik rokok “Kurang Garam” menghasilkan sejuta bungkus rokok pada tahun pertama berdirinya,
dan 1,6 juta bungkus pada tahun ketujuh. a) Andaikata perkembangan produksinya konstan, berapa tambahan produksinya per tahun ? b) Berapa produksinya pada tahun kesebelas ? c) Pada tahun ke berapa produksinya 2,5 juta bungkus rokok ? d) Berapa bungkus rokok yang telah ia hasilkan sampai dengan tahun ke – 16 ?.
4. Pabrik kecap “Nambewan” memproduksi 24.000 botol kecap pada tahun ke-6 operasinya. Karena persaingan keras dari kecap-kecap merek lain, produksinya terus menurus secara konstan sehingga pada tahun ke-10 hanya memproduksi 18.000 botol. a) Berapa botol penurunan produksinya per tahun ? b) Pada tahun ke berapa pabrik kecap tersebut tidak berproduksi (tutup) c) Berapa botol kecap yang ia hasilkan selama operasinya ?.
5. Seorang nasabah merencanakan mendepositokan uangnya di Bank sebanyak Rp. 10 juta dalam jangka waktu 5 tahun. Pembungaan depositonya dengan tingkat bunga yang diasumsikan konstan sebesar 11% per-tahun Berapa jumlah uang yang diterimanya pada akhir tahun kelima jika didepositokan dengan pembungaan tiap 6 bulan sekali ? dan Berapa jumlah uang yang diterimanya jika didepositokan dengan pembungaan tiap tiga bulan.
6. Penduduk suatu kota metropolitan tercatat 3,25 juta jiwa pada tahun 2008, diperkirakan menjadi 4,5 jiwa pada tahun 2013. Jika tahun 2008 dianggap tahun dasar, berapa persen pertumbuhannya ? Berapa Jumlah penduduknya pada tahun 2015 ?
Jawaban latihan soal.
5. Jawab jumlah uang dengan pembungaan tiap 6 bulan sekali Pn = P0 (1 + r/m)n.m
5 = 17.081.444,58
Jadi dalam waktu lima tahun uang nasabah tersebut yang dibungakan setiap enam bulan sekali menjadi Rp. 17.081.444,58.
Jawab jumlah uang dengan pembungaan tiap 6 bulan sekali Pn = P0 (1 + r/m)n.m
= 10.000.000 (1 + 0,11/4)5.4 = 10.000.000 (1 + 0,0275)20 = 10.000.000 (1,720428431) = 17.204.284,31
Jadi dalam waktu lima tahun uang nasabah tersebut yang dibungakan setiap enam bulan sekali menjadi Rp. 17.204.284,3.
6. Jawab persentase pertumbuhan penduduk : Pn = P0 (1 + i)n
4,5 = 3,25 (1 + i)2013-2008 4,5 = 3,25 (1 + i)5 4,5/3,25 = (1 + i)5 1,3846 = (1 + i)5 1,38461/5 = 1 + i
i = 1,38461/5 - 1 i = 0,0673 i = 6,73 %
Jadi persentase pertumbuhan penduduknya 6,73 % Jumlah penduduk pada tahun 2015.
P2015 = P2008 (1 + i)2015-2008
= 3,25 (1 + 6,73%)7 = 3,25 (1,577632) = 5,13
Jadi jumlah penduduk kota metropolitan pada tahun 205 sebanyak 5,13 juta.
6
BAGIAN 2
2.1 PENDAHUKUAN : 2.1.1. Diskripsi Mata Kuliah
Memperkenalkan unsur-unsur fungsi ialah variabel bebas dan variabel terikat, koefisien, dan konstanta, yang saling berkaitan satu sama lain dala hubungan yang dapat dijelaskan secara ateatis yaitu hubungan yang linier. Fungsi-fungsi yang bersifat linier tersebut dapat saling berhimpit, sejajar atau bahkan berpotongan. Untuk mencari perpotongan dua fungsi yang linier digunakan metode eliminasi, substitusi atau dengan cara determinan.
2.1.2.Tujuan Khusus
1. Menggabarkan bagaimana fungsi linier dapat dipergunakan untuk mencerminkan perilaku baik perilaku konsumen maupun perilaku produsen. Perilaku konsumen dicerminkan melalui fungsi permintaan, sedangkan perilaku produsen dicerminkan dengan fungsi penawaran. Pertemuan antara keduanya merupakan titik keseimbangan pasar. Keseimbangan pasar ini dapat bergeser sejajar akibat adanya capur tangan pemerintah dalam bentuk pajak maupun subsidi
2. Menggambarkan bagaimana fungsi linier dapat dipergunakan untuk mmenghitung berapa produk yang sebaiknya diproduksi dan dijual oleh perusahaan agar perusahaan dapat menutup biaya-biaya tetapnya, menutup totol biaya, bahkan agar perusahaan dapat memperoleh keuntungan. Disebut Analisis Break-Even Analusis.
3. Menggambarkan bagaimana fungsi linier dapat membantu menghitung berapa pendapatan nasional yang harus diperoleh suatu negara agar tidak mengalami defisit akibat konsumsi yang lebih besar dari pada pendapatan. Lebih jauh lagi berapa pendapatan minimum agar dapat menabung.
4. Menggambarkan pendapatan nasional dapat menghitung melalui pendekatan pengeluaran yang linier.
2.2. PENYAJIAN 2 .2.1. Uraian Materi
A. TEORI FUNGSI DAN TEORI FUNGSI LINIER
1. Pengertian Fungsi
Fungsi yaitu hubungan matematis antara suatu variabel dengan variabel lainnya. Unsur-unsur pembentukan fungsi yaitu variabel, Koevisien dan konstanta. Yang dimaksud dengan variabel ialah unsur yang sifatnya berubah-ubah dari satu keadaan ke keadaan lainnya. Dalam suatu fungsi, Penggolongan variabel dibedakan menjadi variabel bebas dan variabel terikat dimana variabel bebas yaitu variabel yang menerangkan variabel lain, sedangkan variabel terikat yaitu variabel yang diterangkan oleh variabel lain. Yang dimaksud dengan koefisien ialah bilangan atau angka yang diletakkan tepat di depan suatu variabel, terkait dengan variabel yang bersangkutan. Konstanta sifatnya tetap dan tidak terkait dengan suatu variabel apa pun. secara umum jika dikatakan bahwa y adalah fungsi dari x maka ditulis y = f(x), dimana x adalah variabel bebas dan y adalah variabel terikat. Contoh :
1. 3y = 4x – 8,
y adalah variabel terikat x adalah variabel bebas
3 adalah koefisien ( terletak didepan variabel y) 4 adalah koefisien ( terletak didepan variabel x) -8 adalah konstanta
2. y = x ½
y adalah variabel terikat x adalah variabel bebas
7 Jika x adalah fungsi dari y maka ditulis x = f(y), dimana y adalah variabel bebas dan x adalah variabel terikat.
Contoh :
1. x = y-2 y adalah variabel bebas x adalah variabel terikat -2 adalah konstanta 2. x = -2 x adalah variabel terikat -2 adalah konstanta 2. Jenis-jenis Fungsi
Fungsi Irrasional : Fungsi yang memiliki
Bentuk umum Y = n√ a0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + ...+ anxn, n bilangan bulat positif
contoh :Y = (1+2x1 - 3x2 + 4x3 +...+ 12x11)1/11
Fungsi Polinom : Fungsi yang memiliki banyak suku
Bentuk umum : Y = a0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + ...+ anxn;bilangan bulat positif
Contoh: Y = 1 + 2x1 - 3x2 + 4x3 +...-12x11; n = 11
Fungsi Linier : Fungsi polinom yang variabel bebasnya memiliki pangkat paling tinggi adalah satu. Bentuk umum Y = a0 + a1x1
Contoh: Y = 1 + 2x1
Fungsi Kuadrat :Fungsi polinom yang variabel bebasnya memiliki pangkat paling tinggi adalah dua. Bentuk umum :Y = a0 + a1x1 + a2x2
Contoh : Y = 1 - 2x1 - 3x2
Fungsi Kubik :Fungsi polinom yang variabel bebasnya memiliki pangkat paling tinggi adalah tiga. Bentuk umum :Y = a0 + a1x1 +a2x2 + a3x3
Contoh : Y = 1 + 2x1– 3x2 + 4x3
Fungsi Bikuadrat:Fungsi polinom yang fariabel bebasnya memiliki pangkat paling tinngi adalah empat.
Bentuk umum :Y = a0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a3x4
Contoh :Y = 1 + 2x1 + 3x2 + 4x3 + 5x4
Fungsi Pangkat :Fungsi yang variabel bebasnya berpangkat suatu bilangan riil positif Bentuk umum : Y = xn , n bilangan riil positif
Contoh :Y = x2
Fungsi Eksponen : Fungsi yang variabel bebasnya merupakan pangkat suatu konstanta.
Bentuk umum :Y = nx Contoh :Y = 2x
Fungsi logaritma : Fungsi yang merupakan invers fungsi eksponen
Bentuk umum Y = n log x Contoh :Y = 4 log x
Fungsi Hiperbola :Fungsi yang variabel bebasnya berpangkat bilangan riil negatif Bentuk umum :Y = xn , n bilangan riil negatif
Contoh :Y = x-2 , n bilangan riil negatif 3. Pengertian Fungsi Linier
Fungsi linier adalah fungsih polinom yang variabel bebasnya memiliki pangkat paling tinggi adalah satu : Y = a0 + a1x1 ,Y variabel terikat, x variabel bebas
a0 konstanta, nilainya positif, negatif, atau nol
a1 Koefisien, nilainya positif, negatif atau nol
Untuk nilainya a0 dan a1 yang memungkinkan positif, negatif, atau nol, maka alternatif yang mungkin
untuk fungsi linier : Y= a0 + a1x1 yaitu :
misal a0 = 4 dan a1 = 2
1. a0 = + ; a1= + Y = a0 + a1x Y = 4 + 2x
2. a0 = + ; a1= - Y = a0– a1x Y = 4 – 2x
3. a0 = + ; a1= 0 Y = a0 + 0.x Y = 4 + 0.x = 4
4. a0 = - ; a1 = + Y = -a0 +a1x Y = - 4 + 2x
5. a0 = - ; a1 = - Y = -a0– a1x Y = - 4 – 2 x
6. a0 = - ; a1 = 0 Y = -a0 + 0.x Y = - 4 + 0.x = - 4
7. a0 = 0 ; a1 = + Y = 0 +a1x Y = 0 + 2x
8 9. a0 = 0 ; a1 = 0 Y = 0 + 0.x Y = 0 + 0.x = 0
4. Penggambaran Fungsi Linier
Penggambaran fungsi linier dari berbagai alternatif untuk a0 = 4 dan a1 = 2
Y = 4 + 2x (0,4)
1. Y = 4 + 2x
dua buah titik yang dibutuhkan
untuk mengambarkannya (-2,0) 0
(0,4) dan (-2,0)
2. Y = 4 – 2x
dua buah titik yang dibutuhkan (0,4)
untuk mengambarkannya
(0,4) dan (2,0) 0 (2,0)
Y = 4 – 2x
3. Y = 4
titik yang dibutuhkan (0,4) (Y = 4)
untuk mengambarkannya (0,4)
0 4. Y = - 4 + 2 x
dua buah titik yang dibutuhkan
untuk menggambarkannya 0 (2,0)
(0,- 4) dan (2,0)
(0,-4)
5. Y = - 4 – 2 x
dua buah titik yang dibutuhkan (-2,0) 0 untuk menggambarkannya
(0,- 4) dan ( - 2,0)
(0,-4)
Y = -4 – 2x 6. Y = - 4
titik yang dibutuhkan
untuk menggambarkannya 0
(0.- 4)
9 7. Y = 0 + 2 x
dua buah titik yang dibutuhkan Y = 0 + 2x
untuk menggambarkannya (2,4)
(0,0) dan (2,4)
(0,0) 2
8. Y = 0 –2x
dua buah titik yang dibutuhk (0,0) 2 untuk menggambarkannya
(0,0) dan (2,- 4)
-4 (2,-4) Y = 0 – 2x
9. Y = 0
dua buah titik yang dibutuhkan untuk menggambarkannya
(0,0) dan (2,0) (0,0) (2,0)
5. Hubungan Dua Fungsi Linier
Ada dua fungsi linier dimana fungsi linier pertama yaitu : Y = a0 + a1 x dan fungsi linier yang
kedua yaitu : Y‟ = a0‟ + a1‟ x. Kedua Fungsi Linier tersebut berada dalam berbagai keadaan:
1. Berhimpit
Y = a0 + a1x
Y‟ = a‟0+a‟1x
karena berhimpit, maka a0 = a0‟ dan a1 = a1‟
contoh : Fungsi linier Pertama : Y = 4 + 2x , intersep 4, gradien 2 Fungsi linier kedua : 2Y = 8 + 4x , intersep 8/2 = 4 , gradien 4/2 = 2
2. Sejajar Y = a0 + a1x
Y‟ = a‟0+a‟1x
Karena sejajar, maka a0 = a0‟ dan a1 = a1‟
Contoh : Fungsi linier pertama : Y = 4 + 4x , intersep 4, gradien 4 Fungsi linier kedua : Y = 2 +4x , intersep 2, gradien 4
3. Berpotongan
Y = a0 + a1x
Y‟ = a‟0+a‟1x
0
Karena Berpotongan, maka dan a1 = a1‟
10 Contoh : Fungsi linier pertama Y = 4 + 4x , intersep 4, gradien 4
Fungsi linier kedua : Y = 2 – 4x , intersep 2, gradien – 4
4. Berpotongan Y = a0 + a1x
Y‟ = a‟0+a‟1x
0
Karena berpotongan, maka dan a1 = a1‟
Untuk kondisi seperti pada gambar a0 = a0‟ dan perpotongan pada titik (0, a0)
Contoh : fungsi linier pertama : Y = 2 + 4x , intersep 2 , gradien 4
Fungsi linier kedua : Y = 2 – 4x , intersep 2 , gradien – 4 dan perpotongan pada titik (0,2) 5. Berpotongan tegak lurus
Y = a0 + a1x
Y‟ = a‟0+a‟1x
0
Karena berpotongan tegak lurus, maka a1 = a1‟ dan a1.a1‟. = - 1.
Untuk kondisi seperti pada gambar a0 = a0‟.
Contoh : fungsi linier pertama : Y = 4 + 4x, intersep 4, gradien 4 fungsi linier kedua : Y = 2 – 1/ 4x, intersep 2, gradien –1/4
6. Berpotongan tegak lurus
Y = a0 + a1x
Y‟ = a‟0+a‟1x
0
Karena berpotongan tegak lurus, maka a1 = a1‟ dan a1. a1‟ = -1
Untuk kondisi seperti pada gambar a0 = a0‟ dan berpotongan pada titik (0, a0)
Contoh : fungsi linier pertama : Y = 2 + 4x, intersep 2, gradien 4 fungsi linier kedua : Y = 2 – 1/ 4x, intersep 2, gradien – ¼ dan perpotongan pada titik (0,2)
6. Titik Potong Linier
Untuk fungsi linier yang saling berpotongan, maka untuk mencari titik potongnya dapat dilakukan dengan cara :
1. Substitusi 2. Eliminasi 3. Determinan Contoh :
Carilah titik potong dari garis yang berpotongan yaitu 2 x + 3 y = 4 dan x + 2 y = 1 Jawab : 1. Cara Substitus
2 x + 3 y = 4 ...* x + 2 y = 1 - x = 1 – 2 y ...** memasukkan ** pada*
2 x + 3 y = 4
11 2 – y = 4 x = 1 + 4
-y = 4 – 2 x = 5 -y = 2
y = - 2
2. Cara Eliminasi
2 x + 3 y = 4 (x 1) --- 2 x + 3 y = 4
x + 2 y = 1 (x 2) --- 2 x + 4 y = 2 _ - y = 2 y = - 2
maka x + 2 y = 1
x + 2 (- 2) = 1 x + (- 4) = 1 x – 4 = 1 x = 1 + 4 x = 5 3. Cara Determinan
2 x + 3 y = 4 x + 2 y = 1
| 4 3 |
| 1 2 | (4)(2) – (1)(3) 8 – 3 5 x = --- = --- = --- = ---- = 5
| 2 3 | (2)(2) – (1)(3) 4 – 3 1 | 1 2 |
| 2 4 |
| 1 1 | (2)(1) – (1)(4) 2 – 4 -2 y = --- = --- = --- = ---- = -2
| 2 3 | (2)(2) – (1)(3) 4 – 3 1 | 1 2 |
Baik dengan cara eliminasi, substitusi, ataupun determinasi, pasti akan diperoleh nilai yang sama. 7. Penamaan Fungsi Linier
1. Jika diketahui dua buah titik yaitu A (x1, y1) dan B (x2, y2).
Gambar : B(X2,Y2)
A(X1,Y1)
Untuk mengetahui garis yang tepat melalui kedua titik tesebut dapat diperoleh dengan menggunakan rumus di bawah ini :
Y – Y1 = X – X1
Y2– Y1 = X2– X1
Contoh : Carilah garis yang melalui titik (3,3) dan (5,7). Jawab : misalkan (x1,y1) = (3,3) dan (x2,y2) = (5,7)
maka : Y – 3 = x – 3 7 – 3 = 5 – 3
Y – 3 = x – 3 4 2
Y – 3 = 4 / 2 ( x – 3) Y – 3 = 2 x – 6 Y = 2 x – 6 + 3 Y = 2 x – 3
12 2. Jika diketahui sebuah titik A (x1, y1) dan gradiennya / kemiringannya m
Gambar :
A(x1,y1)
n 0
Untuk mengetahui garis yang tepat melalui titik tersebut dengan kecondongantertentu dapat diperoleh dengan menggunakan rumus di bawah ini :
Y – Y1 = m (x – x1), m = ∆Y/∆x
Contoh : Carilah garis yang melalui titik (3,3) dengan kecondongan sebesar 5 Jawab : Misalkan (x1,y1) = (3,3) dan m = 5
Maka : Y – Y1 = m(x – x1)
Y – 3 = 5 (x – 3) Y – 3 = 5x – 15 Y = 5x – 15 + 3 Y = 5x – 12
Jadi garis yang melalui titik (3,3) dengan kemiringannya 5 adalah Y = 5x - 12
B. PENERAPAN DALAM BISNIS DAN EKONOMI
1. Pendahuluan
Penerapan fungsi linier dalam bisnis dan teori ekonomi mikro, yaitu : Fungsi permintaan, Fungsi penawaran, Keseimbangan pasar, Pengaruh pajak dan subsidi terhadap keseimbangan pasar, Fungsi penerimaan, Fungsi biaya, dan ‘ break-even analsis ‘. Penerapan fungsi linier dalam ekonomi mikro, yaitu : fungsi pendapatan yang terdistribusi menjadi fungsi konsumsi dan fungsi tabungan fungsi pendapatan nasional yang dihitung melalui pendekatan pengeluaran.
PENERAPAN DALAM BISNIS DAN TEORI EKONOMI MIKRO 2. Fungsi Permintaan
Fungsi permintaan merupakan fungsi yang mencermintan hubungan antara variabel harga (P ; price) suatu barang dengan variabel jumlah barang yang diminta (Qd ; quantity demand). Ditulis: P= f(Qd). Fungsi ini mencerminkan perilaku konsumen di pasar di mana sifat yang berlaku yaitu bahwa jika harga barang mengalami peningkatan, maka jumlah barang yang diminta akan mengalami penurunan. Demikian sebaliknya, jika harga mengalami penurunan maka jumlah barang yang diminta akan mengalami peningkatan. Sifat demikian jika digambarkan pada Grafik Kartesius dengan sumbu datarnya jumlah barang yang diminta (Qd) dan sumbu tegaknya harga barang yang bersangkutan (P), dimana perubahan harga „sebanding‟ dengan perubahan jumlah barang yang diminta (fungsi linier), maka fungsi permintaan suatu barang dicerminkan sebagai berikut :
Sifat monoton turun : P‟ > P maka Qd‟ < Qd P” < P maka Qd” > Qd Contoh :
1. P = 30 - 2 Qd 2. Qd = 15 – P Contoh Soal :
1. Suatu barang, jika dijual seharga Rp 5.000 per-buah akan- laku sebanyak 3.000 buah. Akan tetapi, jika dijual dengan harga lebih murah yaitu Rp 4.000 per-buah, maka jumlah permintaan terhadap barang tersebut meningkat menjadi 6.000 buah. Bagaimana fungsi permintaanya ? Gambarkan fungsi permintaan tersebut pada Grafik Kartesius.
Jawab :
Diketahui (Qd1,P1,)= (3.000,5.000) dan (Qd2,P2,) = (6.000, 4.000) Fungsi permintaannya dicari dengan
rumus :
P - P1 = Qd – Qd1
13 P - 5.000 = Qd - 3.000
4.000 – 5.000 6.000 - 3.000 P - 5.000 = Qd - 3.000
- 1.000 3.000
P – 5.000 = - 1.000 ( Qd – 3.000 ) 3.000
P – 5.000 = -1/3 (Qd – 3.000) P – 5.000 = -1/3 Qd – 1/3 (- 3.000) P = -1/3 Qd + 1.000 + 5.000 P = -1/3 Qd + 6.000
Gambar Grafik Kartesiusnya ( P vs Qd ) : P
6000
P = - 1/3 Qd + 6.000 0 Qd= 18.000 Contoh Soal :
2. Permintaan suatu barang sebanyak 500 Buah pada saat harganya 40.000. apabila setiap kenaikan harga sebanyak 1.250 akan menyebabkan jumlah permintaan mengalami penurunan sebanyak 250, sebagaimana fungsi permintaannya dan gambarkan fungsi permintaanya dan gambarkan fungsi permintaan tersebut pada grafik kartesius
Jawab :
Diketahui ( P1 ,Qd1 ) = ( 40.000, 500 ) dan p = 1.250 , Qd = - 250
Fungsi penawarannya diperoleh dengan rumus : ( P – P1 ) = m (Qd – Qd1 )
dengan m = P / Qd = 1.250 / (- 250 ) = - 5
Maka
( P – 40.000 ) = -5 ( Qd – 500 ) P – 40.000 = -5 Qd – ( 5 )( - 500 ) P – 40.000 = -5 Qd + 2.500
P = -5 Qd + 2.500 + 40.000 P = -5 Qd + 42.500
Jadi fungsi prmintaanya : P = - 5 Qd + 42.500
Gambar Fungsi Penawaran tersebut pada grafik Kartesius : 42.500
P = - 5 Qd + 42.500
0 Catatan :
Gradien fungsi permintaan yang dinyatakan dengan rumus m = Δ P / Δ Qd nilainya
Senantiasa negatif, sebab :
1. Jika dinyatakan adanya penurunan harga akan menyebabkan peningkatan jumlah barang yang diminta :
Menjadikan :
M = Δ P = negatif = negatif atau ΔQd positif
2. Jika dinyatakan adanya peningkatan harga akan menyebabkan peningkatan jumlah barang yang diminta
14 M = Δ P = positif = negatif
Δ Qd negatif 3. Fungsi Penawaran
Fungsi penawaran merupakan fungsi yang mencerminkan hubungan antara variabel harga ( P : price ) suatu barang dengan variabel jumlah barang yang ditawarkan ( Qd : Quantity Supply ). Ditulis : P = f ( Qs ). Fungsi ini mencerminkan perilaku produsen dipasar dimana sifat yang berlaku yaitu bahwa jika harga barang mengalami peningkatan, maka jumlah barang yang ditawarkan akan mengalami peningkatan. Demikian sebaliknya, jika harga barang mengalami penurunan maka jumlah barang yang ditawarkan akan mengalami penurunan. Sifat demikian jika digambarkan pada Grafik Kartesius dengan sumbu datarnya jumlah barang yang ditawarkan (Qs) dan sumbu tegaknya harga barang bersangkutan (P), dimana perubahan harga „sebanding‟ dengan perubahan jumlah barang yang ditawarkan (fungsi linier), maka fungsi penawaran suatu barang dicerminkan sebagai berikut :
Contoh :
1. P = 120 + 4Qs 2. Qs = -40 + ¼ P 3. ¼ P = 8Qs + 125 Contoh Soal :
1. Suatu barang, harga dipasarnya Rp 5.000 per buah maka produsen akan menawarkan sebanyak 3.000 buah. Akan tetapi, jika harga lebih tinggi yaitu menjadi Rp 6.000 per-buah, maka jumlah barang yang ditawarkan oleh produsen akan bertambah menjadi 6.000 buah. Bagaimanakah fungsi penawarannya ? Gambarkan fungsi penawarannya tersebut pada Grafik Kartesius.
Jawab :
Diketahui (P1,Qs1) = (5.000, 3.000) dan (P2,Qs2) = (6.000, 6.000)
Fungsi penawarannya dicari dengan rumus : P – P1 = Qs – Qs1
P2 – P1 Qs2 – Qs1
P – 5.000 = Qs – 3.000 6.000 – 5.000 6.000 – 3.000 P – 5.000 = Qs – 3.000
1.000 3.000
P – 5.000 = 1.000 (Qs – 3.000) 3.000
P – 5.000 = 1/3 (Qs – 3.000) P – 5.000 = 1/3 Qs + (1/3) (-3.000) P = 1/3 Qs – 1.000 + 5.000 P = 1/3 Qs + 4.000
Jadi fungsi penawarannya adalah : P = 1/3 Qs + 4.000 Gambar Grafik Kartesiusnya (P vs Qs) :
Contoh Soal :
2. Penawaran suatu barang sebanyak 500 buah pada saat harganya 40.000. Apabila setiap kenaikan harga sebanyak 1.250 akan menyebabkan jumlah penawaran mengalami peningkatan sebanyak 250, bagaimana fungsi penawarannya dan gambarkan fungsi penawaran tersebut pada Grafik Kartesius.
Jawab :
Diketahui (Pı,Qsı) = (40.000, 500) dan ∆P = 1.250, ∆Qs = 250 Fungsi penawarannya diperoleh dengan rumus :
( P –Pı ) = m (Qs –Qsı) dengan m = ∆P / ∆Qs
= 1250 / 250 = 5
maka
(P – 40.000) = 5(Qs – 500) P – 40.000 = 5Qs + (5)(-500) P – 40.000 = 5Qs – 2.500
15 Jadi fungsi penawarannya : P = 5Qs + 37.500
Gambar fungsi penawaran tersebut pada Grafik Kartesius : P
P = 5Qs + 37.500 37.500
0 Qs
Catatan :
Gradien fungsi penawaran yang dinyatakan dengan rumus:
m = ∆ P nilainya senatiasa positif, sebab : ΔQs
1. Jika dinyatakan adanya penurunan harga akan menyebabkan penurunan jumlah barang yang ditawarkan; menjadikan :
m = ∆ P = negatif = positif atau ∆Qs positif
1. Jika dinyatakan adanya peningkatan harga akan menyebabkan peningkatan jumlah barang yang ditawarkan; menjadikan :
m = ∆ P = positif = positif] ∆Qd positif
4. Keseimbangan Pasar
Keseimbangan pasar atau ‘Eqiullibrium’ adalah suatu kondisi dimana keseimbangan harga (Pe) tercapai
Keseimbangan harga (Pe) tercapai :
Jumlah barang yang diminta = Jumlah barang yang ditawarkan Qe ›› Qd = Qs Atau
Keseimbangan kuantitas (Qe) tercapai :
Harga barang yang diminta = Harga barang yang ditawarkan Pe ›› P = P
Fungsi permintaan dan fungsi penawaran pada sebuah grafik Kartesius dengan keseimbangan harga (Pe) dan keseimbangan
Kuantitasnya (Qe), digambarkan sebagai berikut : P
P = f (Qs) Pe
P = f(Qd)
0 Qe Qd Contoh Soal :
1. Untuk suatu barang, pada harga Rp 6.000 pengusaha menawarkan barang tersebut sebanyak 30 buah, dan setiap kenaikan harga sebanyak Rp 2.000 maka jumlah barang yang ditawarkan juga meningkat sebanyak 20. Pada harga Rp 5.000 jumlah pemintaan barang tersebut sebanyak 20 buah dan untuk kenaikan harga menjadi Rp 10.000 jumlah permintaannya berkurang menjadi 10 buah. Bagaimanakah fungsi permintaan dan fungsi penawaran barang tersebut ? Gambarkan kedua fungsi tersebut pada sebuah Grafik Kartesius.
Jawab :
Mencari fungsi penawaran :
Diketahui (P1,Qs1) = (6.000,30) dan ∆P = 2000, ∆Qs = 20
Fungsi penawarannya diperoleh dengan rumus : (P – P1) = m (Qs – Qs1)
16 dengan m = ∆P / ∆Qs
= 2000 / 20 = 100 maka
(P – 6.000) = 100 (Qs – 30) P – 6.000 = 100Qs + (100)(-30) P – 6.000 = 100Qs – 3.000
P = 100Qs – 3.000 + 6.000 P = 100Qs + 3.000
Jadi fungsi penawarannya : P = 100Qs + 3.000 Mencari fungsi permintaan :
Diketahui (P1,Qd1) = (5.000,20) dan (P2,Qd2) = (10.000,10)
Fungsi permintaannya dicari dengan rumus : P – P1 = Qd – Qd1
P2– P1 Qd2– Qd1
P – 5.000 = Qd – 20 10.000 – 5.000 10 – 20 P – 5.000 = Qd – 20 5000 -10
P – 5.000 = 5.000 (Qd – 20) -10
P – 5.000 = -500(Qd – 20)
P – 5.000 = -500Qd + (-500) (-20) P – 5.000 = -500Qd + 10.000
P = -500Qd + 10.000 + 5.000 P = -500Qd + 15.000
Jadi fungsi permintaannya adalah : P = -500 Qd + 15.000 Keseimbangan Kuantitas (Q) tercapai :
Harga barang yang diminta = Harga barang yang ditawarkan -500Q + 15.000 = 100Q + 3.000
15.000 – 3.000 = 100Q + 500Q 12.000 = 600Q
Qe = 12.000 600 Qe = 20
Jadi keseimbangan kuantitas tercapai pada 20 unit barang. Untuk Keseimbangan Harga (Pe) diperoleh dengan cara :
Pe = -500 Qe + 15.000 atau Pe = 100Qe + 3.000 Pe = -500 (20) + 15.000 Pe =100(20) + 3.000 Pe = -10.000 + 15.000 Pe = 2.000 + 3.000 Pe = 5.000 Pe = 5.000
Jadi keseimbangan harga tercapai pada harga Rp 5.000 Grafiknya digambarkan sebagai berikut :
P
P = 100 Qs + 3.000 Pe = 5.000
3000 P = -500 Qd + 15.000
0 Qe = 20 Qd, Qs
2. Fungsi permintaan dan fungsi penawaran suatu barang diberikan sebagai berikut : Qd = 11P dan Qs = -4 +2P
17 Jawab :
Keseimbangan harga (Pe) tercapai :
Jumlah barang yang diminta = Jumlah barang yang ditawarkan Qe ›› Qd = Qs
11 – P = -4 + 2P 11 + 4 = 3P + P 15 = 3P Pe = 5
Jadi keseimbangan harga di pasar tercapai pada harga 5. Sehingga keseimbangan kuantitasnya (Qe) dapat dicari : Qe = 11 – P atau Qe = - 4 + 2P
Qe = 11 – 5 Qe = -4 + 2(5) Qe = 6 Qe = -4 + 10 Qe = 6
Jadi keseimbangan kuantitas di pasar tercapai pada jumlah 6 Grafik digambarkan sebagai berikut :
Qd, Qs
Qs = -4 + 2P 11
Qe = 6
0 P 2 Pe = 5
-4 Qd = 11 - P
5. Pengaruh Pajak terhadap Keseimbangan Pasar
Pemerintah mengenakan pajak penjualan kepada para produsen. Pajak penjualan tersebut dinyatakan dengan : tarif pajak (t) = satuan unit uang / satuan unit barang.
Pengaruh pajak terhadap keseimbangan harga dan kuantitas di pasar
Contoh Soal :
Dari contoh soal yang sebelumnya, yaitu diberikan fungsi permintaan dan fungsi penawaran sebagai berikut : Qd = 11 – P dan Qs = -4 + 2P. Kepada produsen tersebut, pemerintah mengenakan pajak dengan terif pajak sebesar t = 3 / unit barang.
(i). Carilah keseimbangan harga dan kuantitas di pasar sesudah ada pajak. (ii). Gambarkan perubahan akibat pajak tersebut.
(iii). Berapa tarif pajak yang ditanggung konsumen. (iv). Berapa tarif pajak yang ditanggung produsen. (v). Berapa total pajak yang diterima pemerintah. (vi). Berapa total pajak yang ditanggung konsumen. (vii). Berapa total pajak yang ditanggung produsen.
(viii). Arsirlah total pajak masing-masing pada gambar di atas.
Sebelum ada pajak Sesudah ada pajak (Tarif Pajak (t)
Fungsi Penerimaan P = f(Qd) P = f(Qd)
18 Keseimbangan harga dan kuantitas di pasar sebelum dikenakan pajak.
Dari perhitungan sebelumnya telah diketahui bahwa keseimbangan harga tercapai pada Pe = 5 dan keseimbangan kuantitasnya pada Qe = 6. Grafiknya digambarkan sebagai berikut :
Jika hendak digambarkan dengan fungsi P sebagai fungsi tegak dan fungsi Qd,Qs pada sumbu datar maka kita harus melakukan perubahan sebagai berikut : Fungsi permintaan :
Qd = 11 – P atau P = 11 – Qd Fungsi penawaran :
Qs = -4 + 2P atau Qs + 4 = 2P Maka P = ½ Qs + 4/2 P = ½ Qs + 2 Gambarnya menjadi :
P
P = ½ Qs +2 Pe = 5
2P = 11 - Qd
0 Qe = 6 Qd,Qs
Akibat dikenakan pajak, maka
Dari tabel di atas terlihat bahwa fungsi permintaan tidak mengalami perubahan. Akan tetapi, tidak demikian dengan fungsi penawaran. Akibat adanya pajak maka fungsi penawaran mengalami perubahan. Fungsi penawaran sebelum kena pajak adalah : P = ½ Qs + 2. Sedangkan fungsi penawaran sesudah kena pajak menjadi : P = ½ Qs + 5. Perubahan tersebut mengakibatkan terjadinya pergeseran keseimbangan harga maupun keseimbangan kuantitas di pasar.
Keseimbangan harga dan kuantitas di pasar sesudah dikenakan pajak Keseimbangan kuantitas (Qe‟) tercapai :
Harga barang yang diminta = Harga barang yang ditawarkan 11 –Qe‟ = ½ Qe‟ + 5
11 – 5 = ½ Qe‟ + Qe‟
6 = 3/2 Qe‟ 12 = 3 Qe‟ Qe‟ = 4
Jadi keseimbangan kuantitas setelah kena pajak tercapai pada 4 unit barang. Untuk keseimbangan Harga (Pe) diperoleh dengan cara :
Pe‟ = 11 –Qe‟ atau Pe‟ = 1/2Qe‟ + 5 Pe‟ = 11 –4 Pe‟ = 1/2(4) + 5 Pe‟ = 7 Pe‟ = 2 + 5 Pe‟ = 7
Jadi keseimbangan harga setelah kena pajak tercapai pada harga 7
Perubahan fungsi penawaran (akibat adanya pajak) yang mengakibatkan perubahan keseimbangan di pasar pada grafiknya dicerminkan juga oleh pergeseran fungsi penawaran. Fungsi penawaran sebelum kena pajak adalah : P = ½ Qs + 2. Sedangkan fungsi penawaran sesudah kena pajak menjadi : P = ½ Qs + 5. Terlihat bahwa fungsi penawaran baik yang sebelum dikenakan pajak maupun yang sesudah kena pajak ternyata memiliki gradien (kemiringan) yang sama sebesar yaitu + ½. Sedangkan intersepnya berbeda satu sama lainya. Menurut teori fungsi linier dikatakan bahwa dua buah garis yang memiliki
Sebelum ada pajak Sesudah ada pajak (Tarif Pajak (t))
Fungsi Penerimaan P = 11 - Qd P = 11 - Qd
Fungsi Penawaran P = ½ Qs + 2 + t
19 gradien yang sama tetapi intersepnya masing-masing berbeda satu sama lainnya, maka jika digambarkan akan terlihat bahwa kedua garis tersebut dalam keadaan sejajar. Agar perubahannya terlihat jelas, maka fungsi permintaan, fungsi penawaran sebelum kena pajak dan fungsi penawaran setelah kena pajak digambarkan bersama-sama dalam sebuah Grafik Kartesius. Fungsi permintaan, fungsi penawaran sebelum ada pajak, dan fungsi penawaran setelah ada pajak, serta keseimbangan harga dan kuantitas sebelum ada pajak digambarkan di bawah ini :
P P = ½ Qs + 5
Pe = 7 E “ P = ½ Qs + 2
Pe = 5 E
0 Qe‟ = 4 Qe = 6 Qd,Qs Keterangan gambar :
E : keseimbangan sebelum ada pajak
Qe : keseimbangan kuantitas sebelum ada pajak Pe : keseimbangan harga sebelum ada pajak E‟ : keseimbangan setelah ada pajak
Qe‟ : keseimbangan kuantitas setelah ada pajak Pe‟ : keseimbangan harga setelah ada pajak
Adanya pengenaan pajak dari pemerintah kepada produsen ternyata mengakibatkan :
1. Keseimbangan harga setelah ada pajak lebih tinggi dari pada keseimbangan harga sebelum ada pajak :
Pe‟ = 7 sedangkan Pe = 5; Maka : Pe‟ > Pe
2. Keseimbangan kuantitas setelah ada pajak lebih rendah dari pada keseimbangan kuantitas sebelum ada pajak :
Qe‟ = 4 sedangkan Qe = 6 Maka : Qe‟ < Qe
Tarif pajak yang dikenakan oleh pemerintah kepda produsen t = 3/unit. Akan tetapi, produsen tidak mau menaggungnya sendiri. Sebagian dari pajak tersebut dibebankannya kepada konsumen. Beban tarif pajak yang dibebankan oleh produsen kepada konsumen terasakan oleh adanya kenaikan keseimbangan harga dari Pe = 5 menjadi Pe‟ = 7, sedangkan yang ditanggung produsen berarti tinggal sisanya. Tarif pajak dan Total Pajak :
6. Pengaruh Subsidi terhadap Keseimbangan Pasar
Pemerintah memberikan subsidi kepada para produsen. Subsidi tersebut dinyatakan dengan : tarif subsidi (s) = satuan unit uang / satuan unit barang.
Pengaruh subsidi terhadap keseimbangan harga dan kuantitas di pasar Contoh soal :
Dari contoh soal yang sebelumnya, yaitu diberikan fungsi permintaan dan fungsi penawaran sebagai berikut :Qd = 11 – P dan Qs = - 4 + 2 P kepada produsen tersebut, pemerintah memberikan subsidi dengan tarif subsidi dengan tarif subsidi sebesar s = 1 / unit barang.
i) Carilah keseimbangan harga dan kuantitas dipasar sesudah ada subsidi. ii) Gambarkan perubahan akibat subsidi tersebut.
iii) Berapa tarif subsidi yang diterima konsumen. iv) Berapa tarif subsidi yang di terima produsen. v) Berapa total subsidi yang diberikan pemerintah. vi) Berapa total subsidi yang dinikmati konsumen. vii) Berapa total subsidi yang dinikmati produsen.
20 Keseimbangan harga dan kuantitas dipasar sebelum dikenakan subsidi.
Akibat dikenakan subsidi, maka dari perhitungan sebelumnya telah diketahui bahwa keseimbangan harga tercapai pada Pe = 5 dan keseimbangan kuantitasnya pada Qe = 6. Dari tabel di atas terlihat bahwa fungsi permintaan tidak mengalami perubahan. Akan tetapi, tidak demikian dengan fungsi penawaran. Akibat adanya subsidi maka fungsi penawaran mengalami perubahan. Fungsi penawaran sebelum ada subsidi adalah :
P = ½ Qs + 2. Sedangkan fungsi penawaran sesudah ada subsidi menjadi :
P = ½ Qs + 1. perubaha tersebut mengakibatkan terjadinya pengeseran keseimbangan harga maupun keseimbangan kuantitas di pasar.
Keseimbangan harga dan kuantitas di pasar sesudah ada subsidi Keseimbangan kuantitas (Qe’) tercapai :
Harga barang yang diminta = Harga barang yang ditawarkan 11 –Qe’ = ½ Qe’ + 1
11 – 1 = ½ Qe’ + Qe’ 10 = 3/2 Qe’ 20 = 3 Qe’
Qe’ = 6, 67
Jadi keseimbangan kuantitas setelah ada subsidi tercapai pada 6, 67 unit barang Untuk keseimbangan harga (Pe’) diperoleh dengan cara :
Pe’ = 11 –Qe’ atau Pe’ = 1 / 2 Qe’ + 1
Pe’ = 11 – 6, 67 Pe’ = 1 / 2 (6, 67) + 1
Pe’ = 4, 33 Pe’ = 3,33 + 1 Pe’ = 4,33
Jadi keseimbangan harga setelah ada subsidi tercapai pada harga 4,33
Perubahan fungsi penawaran (akibat adanya subsidi), yang mengakibatkan perubahan keseimbangan di pasar pada grafiknya dicerminkan juga oleh pergeseran fungsi penawaran. Fungsi penawaran sebelum ada subsidi adalah : P = ½ Qs + 2. Sedangkan fungsi penawaran sesudah ada subsidi menjadi : P = ½ Qs + 1. Terlihat bahwa fungsi penawaran baik yang sebelum ada subsidi maupun yang sudah ada subsidi ternyata memiliki gradien (kemiringan) yang sama sebesar yaitu + ½ . Sedangkan intersepnya berbeda satu sama lainnya. Menurut teori fungsi linier dikatakan bahwa dua buah garis yang memiliki gradien yang sama tetapi intersepnya masing- masing berbeda satu sama lainya, maka jika di gambarkan akan terlihat bahwa kedua garis tersebut dalam keadaan sejajar.
Agar perubahannya terlihat dengan jelas, maka fungsi permintaan, fungsi penawaran sebelum kena subsidi dan fungsi penawaran setelah kena subsidi digambarkan bersama sama dalam sebuah Grafik Kartesius.
P P = ½ Qs + 2
Pe = 5 E P = ½ Qs + 1
Pe = 4,33 E
0 Qe‟ = 6 Qe = 6,67 Qd,Qs Keterangan gambar
E : Keseimbangan sebelum ada subsidi
Qe : Keseimbangan kuantitas sebelum ada subsidi Pe : Keseimbangan harga sebelum ada subsidi
E’ : Keseimbangan setelah ada subsidi
Qe’: Keseimbangan kuantitas setelah ada subsidi
21 Adanya pemberian subsidi dari pemerintah kepada produsen ternyata mengakibatkan :
1. Keseimbangan harga setelah ada subsidi lebih rendah dari pada keseimbangan harga selum ada subsidi :
Pe’ = 4,33 sedangkan Pe = 5 ; Maka : Pe’ < Pe
2. Keseimbangan kuantitas setelah ada subsidi lebih tinggi dari pada keseimbangan kuantitas sebelum ada subsidi :
Qe’ = 6,67 sedangkan Qe = 6 Maka : Qe’ > Qe
Tarif subsidi yang dikenakan oleh pemerintah kepada produsen s = 1 / unit.
Akan tetapi, produsen tidak menikmatinya sendiri. Sebagian dari subsidi tersebut diberikannya kepada konsumen.
Tarif subsidi yang diberikan oleh produsen kepada konsumen tersakan oleh adanya penurunan keseimbangan harga dari Pe = 5 menjadi Pe’ = 4,33, sedangkan yang diterima produsen berarti tinggal sisanya.
P P = ½ Qs + 2
Pe = 5 E P = ½ Qs + 1
Pe = 4,33 E
0 Qe‟ = 6 Qe = 6,67 Qd,Qs Gambar yang menunjukan total subsidi.
Keterangan gambar :
Sp : Luas area yang menggambarkan ukuran total subsisi yang dinikmati produsen.
Sk : Luas area yang menggambarkan ukuran total subsidi yang dinikmatikonsumen.
S : Luas area yang menggambarkan ukuran total subsidi yang diberikan pemerintah.
: merupakan penjumlahan antara luas area yang menggambarkan ukuran total subsidi yang dinikmati produsen dengan luas aera yang menggambarkan ukuran total subsidi yang dinikmati konsumen S = Sk + Sp
7. Fungsi Penerimaan
Fungsi penerimaan disebut juga fungsi pendapatan atau fungsi hasil penjualan. Dilambangkan dengan R (Revenue) atau TR (total revenue). Fungsi penerimaan merupakan fungsi dari Output : R = f (Q) dengan Q : jumlah produk yang laku terjual.
Fungsi penerimaan merupakan hasil kali antara harga jual per unit dengan jumlah barang yang diproduksi dan laku terjual.
Jika P adalah harga jaul per unit, maka :
R = P x Q dengan P : Harga jual per unit dan
Q : jumlah produk yang dijual Contoh :
Misalkan suatu produk dijual dengan harga Rp 5.000 per unit barang. Bagaimanakah fungsi permintaannya? Gambarkan fungsi permintaan tersebut dengan Grafik.
22 Gambar :
Karena intersepnya tidak ada (nol) maka fungsi penerimaan digambarkan melalui titik (0,0) dengan gradiennya positif :
R = 5.000 Q
0 8. Fungsi Biaya
Dilambangkan dengan C (Cost) atau TC (Total Cost). Terdiri atas dua jenis fungsi biaya:
1. Fixed Cost atau fungsi biaya tetap (FC) merupakan fungsi yang tidak tergantung pada jumlah produk yang diproduksi. Jadi fungsi biaya biaya tetap adalah fungsi
konstanta :
FC = k dengan k adalah konstanta positif
Contoh :
Suatu perusahaan mengeluarkan biaya tetap sebesar Rp 100.000.000. Bagaimanakah fungsi biaya tetapnya dan gambarkan fungsi tersebut pada Grafik Kartesius?
Jawab :
FC = 100.000.000,
Gambar Fungsi Biaya Tetap :
FC = 100.000.000
0
2. Variabel Cost atau Fungsi Biaya yang berubah-ubah (VC).
Merupakan fungsi biaya yang besarnya tergantung dari jumlah produk yang diproduksi.
Jadi : VC = f(Q). Merupakan hasil kali antara harga jual per unit dengan jumlah barang yang diproduksi.
Jika P adalah biaya produksi per unit, dimana biaya produksi per unit senantiasa lebih kecil dibandingkan harga jual per unit barang, maka
VC = P x Q dengan P : biaya produksi per unit dan
Q : Produk yang diproduksi Contoh:
Suatu produk diproduksikan dengan biaya produksi Rp 3.000 per unit.
Bagaimanakah fungsi biaya variabelnya dan gambarkan fungsi tersebut dengan grafik. Jawab :
VC = P x Q
VC = 3.000 Q
23 Gambar Fungsi Biaya Variabel :
VC = 3.000 Q
0
3. Fungsi Total Cost (TC) merupakan penjumlahan antara biaya tetap dengan biaya variabel. TC = FC + VC
Contoh :
Untuk contoh diatas, dimana biaya tetap yang dikeluarkan sebuah perusahaan sebesar Rp 100.000.000 dan biaya variabelnya : 3.000Q, maka TC = 100.000.000 + 3.000 Q.
Ternyata intersep dari fungsi total biaya adalah sama dengan biaya tetapnya dan gradienya sama dengan gradien fungsi biaya tetap. Hal ini mencerminkan bahwa penggambaran fungsi total biaya haruslah melalui titik (0,FC) dan sejajar dengan grafik VC.
Gambar Fungsi Biaya Tetap, Biaya Variabel, total Biaya :
TC=100.000.000 + 3000 Q
VC= 3000 Q FC =100.000.000
9. Analisis ‘Break-Even’
Yang dimaksud dengan ‘Break-Even’ yaitu suatu kondisi dimana perusahaan tidak untung maupun tidak rugi. Hal ini disebabkan karena seluruh penerimaan perusahaan dibayarkan untuk menutup biaya tetap maupun biaya variabelnya. Keadaan tersebut digambarkan sebagai berikut:
‘ Break-Even’ TR = TC
Jika penerimaan sudah dapat melebihi biaya-biaya yang dikeluarkan, baik biaya tetap maupun biaya variabelnya, maka barulah perusahaan tersebut dapat menikmati keuntungan:
Untung : TR > TC
Jika penerimaan masih belum dapat menutup biaya-biaya yang dikeluarkan baik biaya tetap maupun biaya variabelnya, maka perusahaan dinyatakan dalam keadaan merugi.
Rugi : TR < TC
Untuk lebih menjelaskan hal tersebut dibawah ini diberikan contoh. Contoh Soal:
Dari contoh sebelumnya diperoleh bahwa Fungsi Fixed Cost : FC = 100.000.000 Fungsi Variabel Cost: VC = 3.000 Q
Fungsi Total Cost : TC = 100.000.000 + 3.000 Q Fungsi Revenue : R = 5.000 Q
24 Berapakah produk yang harus diproduksi dan dijual agar perusahaan tersebut dapat menutup seluruh biaya yang dikeluarkannya? Berapakah penerimaan yang diperoleh?Berapa produk yang harus diproduksi dan dijual agar perusahaan tersebut mendapatkan keuntungan? Berapakah kontribusi marginnya?
Jawab:
Output yang diproduksi agar penerimaan dapat menutup biaya tetap : TR = FC
5.000 Q = 100.000.000 Q’ = 20.000
Jadi agar perusahaan dapat menutup biaya tetap yang dikeluarkannya, maka perusahaan tersebut harus dapat memproduksi sebanyak 20.000 unit barang.
Tingkat penerimaannya : R = FC = 100.000.000
Output yang diproduksi agar penerimaan dapat menutup seluruh biaya yang dikeluarkan : TR = TC
5.000Q = 100.000.000 + 3.000Q 5.000Q-3.000Q = 100.000.000
2000Q = 100.000.000 Q* = 50.000
Jadi agar perusahaan dapat menutup biaya produksinya, maka perusahaan tersebut harus dapat memproduksi sebanyak 50.000 unit barang.
Tingkat penerimaanya sama dengan total biaya, yaitu‟ R = TC = 5.000 x 50.000
= 250.000.000
Agar perusahaan dapat menikmati keuntungan, maka total penerimaan harus melebihi total biaya. Untuk itu perusahaan harus memproduksi produk sebanyak lebih dari 50.000 unit dengan penerimaannya akan lebih dari Rp 250.000.000
Kontribusi margin yaitu keuntungan per unit, maka
Kontribusi margin= Harga jual per unit – Biaya produksi per unit Kontribusi margin= Rp 5.000 – Rp 3.000 = Rp 2.000
Keadaan ‘Break-Even Analysis’ tersebut digambarkan dalam grafik sebagai berikut : TR
FC,VC,TC,R TR” TC TC”
VC TC‟
250.000.000 TR‟ FC 100.000.000
0 Q‟ Q* Q” Q
Keterangan gambar :
Q* : Pada titik ini, Q = 50.000, seluruh penerimaan sebesar Rp 250.000.000 dipergunakan untuk menutup total biaya yang juga sebesarRp 250.000.000
25 biaya tetapnya sebesar Rp100.000.000. Sekaligus dapat terlihat pada gambar bahwa pada titik Q‟ terjadi TR‟ < TC‟; perusahaan Rugi
Q” : Untuk Q” terlihat bahwa TR” > TC”; perusahaan untung! Kesimpulan yang diperoleh:
Jika perusahaan berproduksi pada tingkat yang masih lebih rendah dari Q*, maka perusahaan akan mengalami kerugian karena masih terjadi TR < TC.
Jika perusahaan berproduksi tepat pada Q*, maka perusahaan tidak memperoleh keuntungan maupun tidak mengalami kerugian karena terjadi TR = TC
Jika perusahaan sudah mampu berproduksi pada tingkat yang melebihi Q*, maka perusahaan akan memperoleh keuntungan karena sudah terccapai TR > TC.
PENERAPAN DALAM TEORI EKONOMI MAKRO
10. Fungsi Pendapat Nasional yang terdistribusi Menjadi fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan.
Pendapatan suatu negara terdistribusi karena digunakan untuk kebutuhan konsumsi dan sisanya, jika ada, ditabung; dinyatakan dengan fungsi :
Y = C + S Y = Pendapatan Nasional (National Income) C = Konsumsi (Comsumption)
S = Tabungan (Saving)
Fungsi konsumsi dinyatakan dengan fungsi :
C = Co + bY Co = Autonomous Consumption, Co > 0
B = Marginal Propensity to Consume, 0 < b < 1
Keterangan :
Co = Konsumsi yang tidak bergantung pada besarnya pendapatan.
b = Konsumsi yang bergantung pada pendapatan.
Fungsi tabungannya diperoleh dari : Y = C + S
Y = (Co + By) + S
Y – (Co + By) = S
Y – Co – b S = S
Y – Co – by = S
Y(1 – b) – Co = S
- Co + (1 – b)Y = S
atau S = - Co + (1-b)Y – Co : Autonomous Saving, Co > 0
(1 – b ) : Marginal Propensity to Save,
0 < (1 – b) < 1
- Co = Tabungan yang tidak tergantung pada besarnya pendapatan.
(1 – b) = Konsumsi yang bergantung pada pendapatan.
Marginal propensity to consume : b
Marginal propensity to save : 1 – b
Karena :
B + (1 – b) = 1
26 Contoh Soal :
Suatu negara diketahui memiliki konsumsi otonominya sebesar Rp 300.000.000. Marginal propensity to save-nya sebesar 0,45.
Bangunlah fungsi konsumsinya ! Bangunlah fungsi tabungannya !
Berapa yang dikonsumsi jika pendapatan nasional 1 miliar? Berapakah yang ditabung jika pendapatan nasional 1 miliar?
Pada pendapatan nasional berapakah dimana tidak ada yang ditabung?
Gambarkan fungsi konsumsi, fungsi tabungan, dan fungsi pendapatan nasional pada sebuah grafik! Jawab :
Fungsi konsumsinya: C = Co + bY
C = 300.000.000 + (1 – 0,45)1.000.000.000 C = 300.000.000 + 0,55 Y
Fungsi tabungannya :
S = - 300.000.000 + 0,45 Y
Jika pendapatan nasionalnya 1 miliar: Fungsi konsumsi:
C = 300.000.000 + 0,55 x 1.000.000.000
C = 300.000.000 + 550.000.000
C = 850.000.000
Fungsi tabungan:
S = - 300.000.000 + 0,45 x 1.000.000.000 S = - 300.000.000 + 450.000.000
S = 150.000.000
Jadi pada tingkat pendapatan nasional sebesar 1 miliar, maka Rp 850.000.000 dipergunakan untuk kebutuhan konsumsi dan Rp 150.000.000 ditabung.
Tidak ada pendapatan yang dapat ditabung, artinya S = 0 Y = C + S
Y = C + 0 Y = C
Tidak ada pendapatan yang ditabung maka berarti seluruh pendapatan habis dikonsumsi. Tingkat pendapatan yang akan seluruhnya habis dikonsumsi yaitu :
Y = Co + bY Y – bY = Co
Y ( 1 – b ) = Co
x Co
b
Y
) 1 (
1
Y x Co ) 55 , 0 1 (
1
27 300.000.000
) 45 , 0 (
1 x
Y
Y = 2,22 x 300.000.000 Y = 666.000.000
Jadi pada tingkat pendapatan sebesar Rp 666.000.000 seluruh pendapatan dikonsumsi.
Gambar Fungsi Konsumsi, Fungsi Tabungan, dan Fungsi Pendapatan Nasional diberikan bawah ini :
C,S,Y Y = C Y = C + 5
C = 300.000.000 + 0,55Y 300.000.000
S = - 300.000.000 + 0,45Y
0 Saving Y S = 0
Disaving - 300.000.000
11. Fungsi Pendapatan Nasional yang Dihitung Melalui Pendekatan Pengeluaran
Untuk menghitung besarnya pendapatan nasional suatu negara, salah satu pendekatannya adalah dengan menghitung pengeluaran dari masing-masing sektor. Sektor-sektor yang mungkin terlibat dalam perhitungan tersebut ialah :
1. Sektor rumah tangga, di mana pengeluarannya dikenal sebagai konsumsi (C) 2. Sektor pengusaha, di mana pengeluarannya dikenal dengan investasi (I) 3. Sektor pemerintah, di mana pengeluarannya yaitu pengeluaran pemerintah (G) 4. Sektor perdagangan luar negeri, terdiri atas ekspor dan impor (X – M)
Jika yang terlibat sektor rumah tangga dan pengusaha, maka model pendapatan nasionalnya ditulis : Y = C + I
Jika yang terlibat sektor rumah tangga, pengusaha dan pemerintah, maka model pendapatan nasionalnya ditulis :
Y = C + I + G
Jika yang terlibat sektor rumah tangga, pengusaha, pemerintah, dan perdagangan luar negeri maka model pendapatan nasionalnya ditulis :
Y = C + I + G + ( X – M ) Pendapatan Disposibel ( Yd )
Yang dimaksud dengan pendapatan disposibel yaitu pendapatan yang dapat langsung dikonsumsi. Jika ada ‘transfer payment’ ( R ), maka pendapatan diposibel merupakan penjumlahan antara pendapatan dengan ‘trasfer payment’ : Yd = Y + R
Jadi ‘trasfer payment’ menambah pendapatan disposibel.
Jika ada pajak (T), maka pendapatan baru menjadi pendapatan disposibel setelah dikurangi dengan pajak : Yd = Y + T
Jadi pajak mengurangi pendapatan disposibel.
28 Jika tidak ada pajak maupun ‘trasfer payment’ maka pendapatan disposibel adalah merupakan pendapatan : Yd = Y
Trasfer Payment’ ( R )
Yang dimaksud dengan ‘trasfer payment’ yaitu pembayaran yang dialihkan, misalnya tunjangan kesehatan, tunjangan hari raya, dan lain-lain.
Pajak (T)
Pajak terdiri atas dua jenis :
1. Pajak yang tidak bergantung pada besarnya pendapatan : To ( Autonomous Tax ), To > 0 2. Pajak yang bergantung pada besarnya pendapatan : tY ; t ( income tax rate ), 0 < T < 1 maka
alternatif fungsi pajaknya : Jika tidak ada pendapatan : T = To
Jika ada pendapatan : T = tY atau T = To + tY Fungsi Konsumsi ( C )
Konsumsi terdiri atas dua jenis :
1. Konsumsi yang tidak bergantung pada besarnya pendapatan : Co (Autonomous Consumtion), Co > 0
2. Konsumsi yang bergantung pada besarnya pendapatan : bY ; b (marginnal propensity to consume), 0 < b < 1
maka alternatif fungsi konsumsinya : Jika tidak ada pendapatan : C = Co Jika ada pendapatan dan ada pajak :
C = b Y d atau C = Co + bYd, di mana Yd = Y – T maka: C = b (Y – T) atau C = Co + b (Y – T)
Jika ada pendapatan dan ‘trasfer payment’ :
C = b Yd atau C = Co + bYd, di mana Yd = Y + R Maka : C = b (Y – R) atau C = Co + b (Y + R)
Jika ada pendapatan, pajak dan ‘trasfer payment’ :
C = b Yd atau C = Co + bYd, dimana Yd = Y + R – T Maka : C = b (Y + R – T) atau C = Co + b (Y + R – T)
Jika ada pendapatan tetapi tidak ada pajak dan ‘trasfer payment’ : C = Co + bYd atau C = b Y, dimana Yd = Y Maka : C = Co + b Y atau C = b Y
Fungsi Investasi
1. Fungsi investasi merupakan variabel eksogen yang tidak dipengaruhi oleh tingkat suku bunga, maka ditulis : I = Io
2. Jika dipengaruhi oleh tingkat suku bunga ditulis : I = Io – i r, r : tingkat suku bunga
I : proporsi I terhadap i Fungsi Pengeluaran Pemerintah
Pengeluaran pemerintah terdiri atas :
29 2. Pengeluaran pemerintah yang bergantung pada pendapatan : gY ; g (proporsi pengeluaran
pemerintah terhadap pendapatan, 0 < g < 1 maka alternatif fungsi pengeluaran pemerintah : Jika tidak ada pendapatan : G = Go
Jika ada pendapatan : G = gY atau G = Go + gY Fungsi Ekspor
Fungsi Investasi merupakan variabel eksogen, maka ditulis : X = Xo Fungsi Impor
Impor terdiri atas :
1. Impor yang tidak bergantung pada pendapatan : M (Autonomous Import), Xo > 0
2. Impor yang bergantung pada pendapatan : mY;m (marginal propensity to import), 0 < m < 1 maka alternatif impor :
Jika tidak ada pendapatan : M = Mo
Jika ada pendapatan : M = mY atau M = Mo + mY Variabel Eksogen
Variabel eksogen adalah variabel yang nilainya tidak diperoleh dari perhitungan model.
Biasanya dilambangkan dengan simbol yang diberi tambahan „0‟, seperti : Co, To, Io, Go, Xo, Mo Variabel Endogen
Variabel endogen adalah variabel yang nilainya diperoleh dari perhitungan model. Parameter
Diberi lambang dengan huruf kecil. Contoh Soal :
1. Hitunglah pendapatan nasional suatu negara jika diketahui autonomous consumption : masyarakatnya sebesar 135. Ma rginal Propensity to Consume (MPC) = 0,8 Investasinya = 75 Pengeluaran pemerintah = 30.
Ada berapa variabel eksogen, variabel endogen dan parameternya ?
Bagaimanakah model pendapatan nasionalnya serta angka penggandaannya ? Carilah semua nilai dari variabel endogenya ?
Jawab : Diketahui Co = 135, b = 0,3 , Io = 75, Go = 30
Yang terlibat tiga sektor, yaitu : sektor rumah tangga, sektor pengusaha dan Pemerintah : Model Pendapatan Nasionalnya :
Y = C + I + G di mana C = Co + b Y
I = Io G = Go
maka Y = (Co + b Y) + Io + Go Y = Co + b Y + Io + Go Y – b Y = Co + Io + Go Y(1 – b) = Co + Io + Go
) (
) 1 (
1
Go Io Co x b
Y
Angka penggandaan untuk 5
2 , 0
1 ) 8 , 0 1 (
1 )
1 (
30 Model di atas
Ini berarti bahwa jika terjadi peningkatan faktor – faktor ‘autonomous consumption’ (Co),
‘investment’ (lo), ataupun ‘government expenditure’ (Go) sebanyak satu, maka akan menyebabkanpeningkatan pendapatan nasional (Y) sebanyak lima kali.
Variabel eksogennya ada tiga, yaitu :
1. Autonomous Consumption (Co)
2. Investment (lo)
3. Government Expenditure (Go)
Parameternnya ada satu, yaitu :
‘Marginal Propensity to Consume’ (b)
Variabel endogennya ada dua, yaitu:
1. Pendapatan nasional (Y)
2. Consumtion (C)
Menghitung variabel endogen pendapatan nasional (y): )
( ) 1 (
1
Go Io Co x b
Y
) 30 75 135 ( ) 8 , 0 1 (
1 x
Y
) 240 ( ) 2 , 0 (
1 x Y
Y = 5 (240) = 1200
Menghitung variabel endogen konsumsi(C): C = Co + bY
C = 135 + 0,8 Y C = 135 + 0,8 (1200) C = 135 + 960 C = 1095
2. Autonomous consumption suatu negara = 100, dengan MPS-nya = 0,4 dari pendapatan disposibel. Investasi nasionalnya = 40 dan autonomous tax = 50. Carilah model pendapatan nasional ? Hitunglah angka penggandaannya ? Carilah semua nilai variabel endogennya ? Jawab :
Diketahui : Co = 100 , MPC = 1 – MPS , lo = 40 , To = 50 = 1 – 0,4 = 0,6 Ada dua sektor yang terlibat yaitu : sektor rumah tangga dan sektor pengusaha. Model pendapatan nasionalnya :
Y = C + I dimana C = Co + b Yd
Yd = Y – To I = lo
31 Y = 1 (Co – b To + lo)
(1 – b)
Angka penggandaan : 1 = 1 = 1 = 2,5 (1 – b) (1 – 0,6) 0,4
Menghitung variabel endogen pendapatan nasional (Y) : )
( ) 1 (
1
Io bTo Co x b Y
) 40 50 ) 6 , 0 ( 100 ( ) 6 , 0 1 (
1 x
Y
) 40 30 100 ( ) 4 , 0 (
1 x
Y
Y = 2,5 (110) Y = 275
Jadi pendapatan nasionalnya sebesar 275 Menghitung variabel endogen konsumsi ( C ) :
C = Co + b Yd C = Co + b (Y – To) C = 100 + 0,6 (Y – 50) C = 100 + 0,6 (275 – 50) C = 100 + (0,6) (225) C = 100 + 135
C = 235
3. Pengeluaran di sektor pengusaha = 90, sedang pengeluaran di sektor pemerintah = 65. Transaksi ekspor terhitung = 80. Transaksi impor terhitung = 40 dengan marginal propensity to import = 0,19. Konsumsi masyarakatnya terlihat dari fungsi sebagai berikut : C = Co + b Y di mana autonomous consumption = 70 dan MPC = 0,9
Dinyatakan :
Carilah model pendapatan nasional ? Hitung angka penggandaannya ? Carilah nilai variabel endogennya ?
Jawab : Diketahui lo = 90, Go = 65, Xo = 80, Mo = 40, m = 0,19, Co = 70, b = 0,9 Semua sektor terlibat sehingga model pendapatan nasionalnya ;
Y = C + I + G + (X – M) di mana C = Co + b Y
C = 70 + 0,9 Y I = lo = 90 G = Go = 65 X = Xo = 80 M = Mo + mY = 40 + 0,19 Y sehingga Y = C + l + G + (X – M)
32 Y – bY + mY = Co + lo + Go + Xo – Mo
Y (1 – b + m) = Co + lo + Go + Xo – Mo ) (
) 1
( 1
Mo Xo Go Io Co m b
Y
Angka Penggandaannya
3,448
29 , 0
1 ) 91 , 0 9 , 0 1 (
1 )
1 (
1 m b
Menghitung variabel endogen pendapatan nasional (Y) : )
( ) 1
( 1
Mo Xo Go Io Co m b Y
) 40 80 65 90 70 ( ) 19 , 0 9 , 0 1 (
1 Y
) 65 2 ( ) 29 , 0 (
1 Y
Y = 3,448 ( 265 ) Y = 913,72
Jadi pendapatan nasionalnya = 913,72
Menghitung variabel endogen konsumsi ( C ) : C = Co + bY
C = 70 + 0,9 (913,72) C = 892,348
Jadi konsumsinya = 892,348
Menghitung variabel endogen impor ( M ) : M = Mo + mY
M = 40 + 0,19 (913,72) M = 213,6068
33
BAGIAN 3
Tujuan Umum
Mempelajari perubahan variabel terikat perubahan variabel bebasnya, di mana perubahan variabel bebasnya erupakan perubahan yang sangat kecil sekali. Juga dipelajari perbandingan antara perubahan variabel terikat tersebut dengan perubahan variabel bebasnya yang disebut “kuosien Difference”. Juga dipelajari kaidah-kaidah Diferensial serta jenis-jenis diferensial yang terdiri atas Diferensial Biasa, Diferensial Parsial, dan Diferensial berantai.
Tutjuan Khusus
1. Mempelajari penerapan Diferensial Biasa seperti mencari laju pertumbuhan, fungsi arjinal, menghitung elastisitas dan enghitung optiasi, seperti maksimasi pendapatan atau miniasi biaya. 2. Mepelajari Penerapan Diferensial Parsial, seperti enghitung Price Elasticity of Deand, Cross
Elasticity of Demand, dan Income Elasticity of Demand. Menghitung Optimasi untuk dua variabel serta mmencari Marginal Rate of Technical Substitusi.
3. Mempelajari Penerapan Diferensial Berantai seperti dalam fungsi produksi menghitung Marginal Physical Product of Capital, Marginal Physical Product of Labor, arginal Revenue Product of Capital dan Marginal Revenue Product of Labor.
PENERAPAN TEORI DIFERENSIAL DALAM BISNIS DAN EKONOMI
B. PERAPAN DALAM BISNIS DAN EKONOMI
Penerapan Teori Diferensial Biasa
Teori Diferensial biasa diterapkan dalam berbagai masalah diantaranya untuk mencari : I. Laju Pertumbuhan
II. Optimasi (Nilai Maksimum dan Minimum) III. Elastis titik: Analisis Fungsi dan Grafis. 1. Laju Pertumbuhan (Fungsi Marginal)
Fungsi Marginal merupakan turunan pertama dari fungsi-fungsi total yang merupakan fungsi ekonomi. Fungsi Marginal menggambarkan laju pertumbuhan suatu variabel terikat akibat perubahan variabel bebasnya. Secara umum jika diberikan fungsi total sebagai berikut: y = f (x), maka diperolehlah fungsi Marginalnya dy/dx : laju perubahan y akibat perubahan x sebanyak 1 unit. Lebih jauh lagi :
Jika fungsi marginal itu hasilnya positif, dikatakan perubahan searah; artinya jika x bertambah 1 unit maka y akan bertambah pula atau sebaliknya jika x berkurang 1 unit maka y akan berkurang pula. Jika fungsi marginal hasilnya negatif, maka dikatakan perubahannya tidak searah, yang artinya jika x bertambah 1 unit, maka y berkurang atau sebaliknya jika x berkurang 1 unit maka y akan bertambah. Contoh soal : Marginal Pendapatan (Marginal Revenue)
1. Fungsi permintan diberikan P = 3Q+27, di mana P: Price (harga) dan Q: Output.Bagaimanakah fungsi marginal pendapatannya (Marginal Revenue) dan berapa nilai marginal pendapatannya jika perusahaan memproduksi 10 output, serta terangkan artinya.
Jawab : fungsi total pendapatan (Total Revenue) R = P.Q
R = (3Q+27).Q R = 3Q2+27Q
Fungsi marginal pendapatan (Marginal Revenue) MR = dR/dQ = 6Q + 27
34 Jika perusahan berproduksi pada tingkat output Q = 10 , maka
MR = dR/dQ = 6Q + 27 = 6(10) + 27 = 60 +27 = 87
Artinya : untuk setiap peningkatan penjualan Q yang dijual sebanyak 1 unit akan menyebabkan adanya tambahan pendapatan sebesar 87, sebaliknya untuk setiap penurunan penjualan Q yang dijual sebanyak 1 unit akan banyak menyebabkan adanya pengurangan pendapatan sebesar 87 2. Fungsi Permintaan diberikan Q = 6 - 5P, dimana P: Price (harga) dan Q: Penjualan.
Bagaimanakah Fungsi marginal pendapatanya (Marginal Revenue) dan berapakah nilai marginal pendapatanya jika perusahaan memproduksi baru 1 penjualan ,serta terangkan artinya.
Jawab:
Karena fungsi permintaanya Q = 6 - 5P, dimana harus diubah dahulu menjadi P = 6/5 –1/5Q
Barulah mencari fungsi total pendapatan (Total Revenue): R = P.Q
R = (6/5 – 1/5Q) Q R = 6/5Q-1/5Q2 Fungsi marginal pendapatan (Marginal Revenue):
MR = dR/dQ = 6/5 - 2/5Q
Jika perusahaan berproduksi pad
