REPRESENTASI OPERATOR HILBERT SCHMIDT PADA RUANG BARISAN

(1)

ABSTRAK

REPRESENTASI OPERATOR HILBERT SCHMIDT PADA RUANG BARISAN

Oleh

HERLISA ANGGRAINI

Operator Hilbert-Schmidt merupakan operator terbatas pada ruang Hilbert, yaitu suatu ruang perkalian dalam yang lengkap (setiap barisan Cauchy didalamnya konvergen). Suatu operator linier �: � → � dinamakan operator Hilbert-Schmidt disingkat operator-HS jika terdapat basis ortonormal {�_�} pada � sehingga ‖�‖��= ∑∞�= ‖� �� ‖ <∞. Pendefinisian tersebut tidak bergantung pada

pemilihan basis ortonormal di �. Pada penelitian kali ini, akan menunjukkan representasi operator Hilbert-Schmidt pada ruang barisan diperoleh dengan mengubah �: � → � menjadi �: ℓ → ℓ . Hasil penelitian dan pembahasan menunjukkan ∑ ‖��_� _�‖ = ∑ |�_�,� _��| , sehingga A terdefinisi sebagai operator Hilbert-Schmidt.

(2)

(Skripsi)

HERLISA ANGGRAINI 0817031003

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG

(3)

Oleh

HERLISA ANGGRAINI

Skripsi

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Pada

Jurusan Matematika

(4)

MENGESAHKAN

1. Tim Penguji

Ketua : Dr. Muslim Ansori, S.Si,. M.Si ………

Sekretaris : Amanto, S.Si., M.Si. ………

Penguji

Bukan Pembimbing : Dra. Dorrah Azis, M.Si. ………

2. Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Prof. Suharso, Ph.D.

NIP. 19690530 199512 1 001

(5)

MENGESAHKAN

1. Tim Penguji

Ketua : Dr. Muslim Ansori, S.Si,. M.Si ………

Sekretaris : Amanto, S.Si., M.Si. ………

Penguji

Bukan Pembimbing : Dra. Dorrah Azis, M.Si. ………

2. Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Prof. Suharso, Ph.D.

(6)

PERSEMBAHAN

Tiada kata terindah yang pantas ku ucapkan, selain kata syukur pada ALLAH

SWT, karena atas izinNya sehingga skripsi ini dapat terselesaikan. Setulus

hatiku kupersembahkan karya sederhana kepada orang-orang yang aku cintai,

Ibunda (Lekat Kesuma) dan Ayahanda (Khoirudin, B.A.),

sebagai motivasi terbesar dalam menyelesaikan studiku, kepada Udo dan

adik-ku terimakasih atas perhatian, do’a, semangat, dan bantuanya, kepada seluruh

pejuang ADK di Universitas Lampung dan teman- teman Exotic matematika

angkatan 2008, terimak kasih atas segala bantuan dan motivasinya, kalian

(7)

PERSEMBAHAN

Tiada kata terindah yang pantas ku ucapkan, selain kata syukur pada ALLAH

SWT, karena atas izinNya sehingga skripsi ini dapat terselesaikan. Setulus

hatiku kupersembahkan karya sederhana kepada orang-orang yang aku cintai,

Ibunda (Lekat Kesuma) dan Ayahanda (Khoirudin, B.A.),

sebagai motivasi terbesar dalam menyelesaikan studiku, kepada Udo dan

adik-ku terimakasih atas perhatian, do’a, semangat, dan bantuanya, kepada seluruh

pejuang ADK di Universitas Lampung dan teman- teman Exotic matematika

angkatan 2008, terimak kasih atas segala bantuan dan motivasinya, kalian

(8)

Judul Skripsi : REPRESENTASI OPERATOR HILBERT- SCHMIDT PADA RUANG BARISAN

Nama Mahasiswa : Herlisa Anggraini Nomor Pokok Mahasiswa : 0817031003

Jurusan : Matematika

Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

MENYETUJUI

1. Komisi Pembimbing

Dr. Muslim Ansori, S.Si., M.Si Amanto,S.Si., M.Si.

NIP. 19631108 198902 2 001 NIP. 19730314 200012 1 002

2. Mengetahui

Ketua Jurusan Matematika

(9)

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Salah satu cabang ilmu dalam matematika adalah analisis fungsional. Dalam analisis fungsional ada banyak topik yang mengacu pada ruang, misal ruang Hilbert, dalam ruang Hilbert ada beberapa konsep dasar yang perlu diketahui terlebih dahulu yaitu ruang vektor, ruang metrik, ruang bernorma, ruang Banach dan ruang pre-Hilbert. Ruang bernorma merupakan ruang vektor yang dilengkapi dengan suatu norma. Ruang bernorma yang sudah lazim dibicarakan yaitu ruang bernorma yang dilengkapi inner product (hasil kali dalam). Ruang hasil kali dalam yang bersifat lengkap disebut sebagai ruang Hilbert ℋ. Lengkap disini berarti setiap barisan Cauchy didalamnya konvergen.

Pembicaraan di dalam analisis fungsional ini tidak terlepas dari teori operator. Operator yang dimaksud yaitu operator linier. Misalkan X dan Y

masing – masing adalah ruang bernorm. Suatu pemetaan T yang mengaitkan setiap unsur pada domain D(T) ∈ X dengan unsur tunggal y ∈

(10)

2

Seperti telah diketahui, teori operator muncul setelah dikenal adanya ruang vektor (ruang linier). Operator linier merupakan fungsi linier dari ruang linier ke ruang linier. Jenis operator yang banyak dikaji saat ini antara lain operator Hilbert-Schmidt. Operator Hilbert-Schmidt merupakan operator terbatas pada ruang Hilbert, yaitu suatu ruang perkalian dalam yang lengkap. Melihat sifat dan aplikasinya serta saran dari skripsi tahun 2012 yang berjudul Studi Tentang Operator Hilbert-Schmidt pada Ruang Hilbert dan Operator Hilbert-Hilbert-Schmidt pada Integral Lebesque , maka peneliti tertarik untuk mempelajari lebih mendalam mengenai materi tentang representasi operator Hilbert-Schmidt pada ruang barisan sebagai bahan skripsi atau tugas akhir.

1.2 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah

1. Menguraikan dan menyelidiki sifat- sifat dasar operator Hilbert-Schmidt.

2. Mempelajari operator Hilbert-Schmidt.

3. Mencari representasi operator Hilbert-Schmidt pada ruang barisan.

1.3 Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah

(11)

3

2. Memberikan ide penelitian lain terkait operator linier. 3. Memahami konsep dasar barisan.

4. Memahami konsep dasar operator Hilbert-Schmidt.

(12)

II. TINJAUAN PUSTAKA

Pada bab ini akan diberikan beberapa konsep dasar (pengertian) yang akan digunakan dalam pembahasan penelitian.

2.1 Ruang Vektor

Definisi 2.1.1 (Darmawijaya, 2007)

Diketahui , + grup komutatif dan ℱ, ⨁, . lapangan dengan elemen identitas 1. disebut ruang vektor (vector space) atas ℱ jika ada operasi luar * antara keduanya sehingga untuk setiap ∈ dan ∈ ℱ menentukan dengan tunggal

∈ yang memenuhi sifat – sifat :

(i) + = + ,

(ii) ⨁ = + ,

(iii) . = ,

(iv) = ,

untuk setiap , ∈ dan , ∈ ℱ.

Teorema 2.1.2 (Darmawijaya, 2007)

Jika suatu ruang vektor atas lapangan ℱ , maka berlaku pernyataan-pernyataan berikut:

(13)

5

2.2 Ruang Vektor Bagian dan Bebas Linear

(14)

6 vektor bagian . Lebih lanjut, [ ] merupakan ruang vektor terkecil yang memuat

(15)

7 bebas linier jika dan hanya jika terdapat � dengan � sehingga vektor merupakan kombinasi linier − vektor – vektor lainnya.

Akibat 2.2.10 (Darmawijaya, 2007)

Diberikan ruang vektor atas lapangan ℱ. Vektor – vektor , , … , ∈ bebas linier jika dan hanya jika untuk setiap �, � .

Vektor bukan merupakan kombinasi linier − vektor – vektor lainnya.

Diketahui ruang vektor atas lapangan ℱ. Vektor – vektor , , … , bebas linier jika dan hanya jika setiap persamaan

∑ = ∑

= =

(16)

8

2.3 Basis dan Dimensi

Ruang vektor dikatakan terbangkitkan secara hingga (finitely generated) jika ada vektor – vektor , , … , ∈ sehinggga = [ , , … , ]. Dalam keadaan seperti itu, { , , … , } disebut pembangkit (generator) ruang vektor

.

Diberikan ruang vektor . Himpunan ℬ ⊂ dikatakan bebas linier jika setiap himpunan bagian hingga di dalam B bebas linier.

Diberikan ruang vektor atas lapangan ℱ. Himpunan ℬ ⊂ disebut basis (base)

jika ℬ bebas linier dan = dim ℬ .

Ruang vektor terbangkitkan secara hingga jika dan hanya jika mempunyai

basis hingga.

(17)

9

Fungsi dari suatu ruang vektor ke ruang vektor lain yang banyak digunakan dan mudah dalam memahaminya adalah fungsi linear, yaitu fungsi yang bersifat aditif dan homogen.

Diberikan dua ruang vektor dan , masing – masing atas lapangan ℱ yang sama. Fungsi : → disebut fungsi linear jika

(i) fungsi aditif (additive)

+ = + untuk setiap , ∈ , dan

(ii) fungsi homogen (homogeneous)

= untuk setiap dan vektor ∈ .

(18)

10 fungsi linear, maka _� = merupakan ruang bagian di dalam . Himpunan

(19)

11

masing – masing merupakan ruang bagian di dalam . Selanjutnya, himpunan _� disebut ruang nol (null space) fungsi . : → merupakan fungsi linear, maka

� + � =

2.5 Operator Linear

Definisi 2.5.1 (Kreyzig, 1978)

Suatu pemetaan dengan daerah asal � dan daerah hasil ℜ adalah suatu operator linear jika memenuhi:

(20)

12

2. Untuk semua , ∈ � dan skalar berlaku + = + dan

= .

2.6 Fungsi Linear dan Metrik

Jika merupakan ruang vektor real (kompleks) berdimensi n, maka isomorfis dengan ℛ � , yaitu terdapat fungsi linear dan bijektif dari ke ℛ � .

Akibat 2.6.2 (Darmawijaya, 2007)

Jika dan , masing – masing ruang vektor (atas lapangan yang sama),

(21)

13

Jika , dan masing – masing adalah ruang vektor – ruang vektor atas lapangan yang sama, maka pernyataan – pernyataan di bawah ini benar :

(22)

14

Ruang Hilbert (Hilbert Space) adalah ruang pre-Hilbert yang lengkap.

Definisi 2.9.2 (Darmawijaya, 2007) Diketahui ℋ ruang linier

disebut inner-product atau dot product, atau scalar product pada ℋ.

(23)

15

2.10 Basis Orthonormal

(i) Basis ortogonal (ortogonal basis) di dalam ruang pre-Hilbert adalah basis yang setiap dua vektornya saling tegak lurus.

(ii) Basis ortonormal (orthonormal basis) di dalam suatu ruang pre-Hilbert adalah basis ortogonal dan setiap anggotanya merupakan vektor satuan (normanya sama dengan 1).

2.11 Operator pada Ruang Hilbert

(24)

16

Untuk setiap ∈ ℋ dan ∈ �. Operator disebut operator adjoint atau operator pendamping terhadap operator .

Ini adalah sifat – sifat operator pedamping. Diberikan dua ruang Hilbert ℋ dan �. Jika , ∈ ℒ ℋ, � dan sebarang skalar maka

(25)

17

2.12 Operator Hilbert Schmidt

Ruang Hilbert dimaksudkan sebagai ruang Hilbert yang mempunyai basis dan elemen-elemen di dalam yang dinamakan vektor.

Definisi 2.12.1

Suatu operator linier �: → dinamakan operator Hilbert-Schmidt disingkat operator-HS jika terdapat basis ortonormal { } pada sehingga

‖�‖�� = (∑‖� ‖

∞

(26)

18

Pendefinisian tersebut tidak bergantung pada pemilihan basis ortonormal di .

2.13 Barisan

Definisi 2.13.1 ( Darmawijaya, 2006)

Barisan (sequence) bilangan nyata adalah fungsi dari � ke ℛ. Menurut definisi tersebut, jika suatu barisan bilangan nyata, nilai di biasa ditulis dengan ; jadi

=

Barisan biasa dituliskan dengan

{ } atau { , , … }

Dengan = disebut unsur (element) ke- barisan itu. Barisan juga dapat dipandang sebagai himpunan terurut.

Misalkan {

+ } adalah barisan bilangan nyata dengan unsur ke- adalah = +

Jadi barisan itu adalah fungsi : � → ℛ dengan rumus = = + . Aljabar barisan disusun sebagai berikut.

Definisi 2.13.2 ( Darmawijaya, 2006)

Jika { } dan { } dua barisan bilangan nyata, didefinisikan

(i) Jumlah (addition,sum) dua barisan { } dan { } adalah suatu barisan dengan + sebagai unsur ke- . Jadi

(27)

19

(ii) Perkalian skalar (scalar multiplication). Jika k suatu konstanta, maka �{ } adalah suatu barisan bilangan nyata dengan � sebagai unsur ke- . Jadi

�{ } = {� }.

(iii) Hasil ganda (product) dua barisan bilangan nyata { } dan { } adalah suatu barisan dengan sebagai unsur ke- . Jadi

{ }{ } = { }.

(iv) Hasil bagi (division) barisan bilangan nyata { } dengan barisan bilangan nyata { } adalah suatu barisan bilangan nyata dengan �

�

sebagai suku ke- , asalkan ≠ untuk setiap . Jadi { }

(28)

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1 Tempat dan Waktu Penelitian

Penelitian ini dilakukan di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung, pada semester ganjil tahun ajaran 2012/2013.

3.2 Metode Penelitian

Langkah – langkah yang digunakan dalam penelitian ini adalah

1. Mengumpulkan referensi berupa jurnal buku-buku, literatur dari

internet dan perpustakaan yang berhubungan dengan penelitian ini.

2. Menjabarkan definisi, teorema, dan sifat yang berhubungan dengan

penelitian.

3. Menguraikan konsep ruang Hilbert, ruang bernorm, ruang Banach,

operator Hilbert-Schmid dan konsep dasar barisan.

4. Mencari contoh representasi operator Hilbert-Schmidt pada ruang

(29)

MOTTO

“Wahai Orang

-orang yang beriman! Jika kamu menolong

agama Allah, niscaya Dia akan menolongmu dan meneguhkan

kedudukanmu”

(Qs. Muhammad:7)

“Barang

siapa merintis jalan mencari ilmu, maka Allah akan

memudahkan baginya

jalan ke syurga”

(HR. Muslim)

“Seorang penuntut ilmu yang ingin memperbanyak ilmunya

wajib menyerahkan segenap tenaganya, sabar menghadapi

segala cobaan, dan kesulitan”

(Imam Syafi’i)

“O

rang yang memiliki semangat ia akan mencintai semua yang

dihadapinya , jangan pernah sekalipun ragu untuk sebuah cita

kebaikan yang kita impikan. Sekalipun itu tak mungkin.

Maka akan menjadi mungkin dengan-

Nya”

(30)

vi

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Krui, Pesisir Barat pada tanggal 26 November 1989, anak ketiga dari empat bersaudara, dari pasangan Bapak Khoirudin, B.A dan Ibu Lekat Kesuma.

Penulis memulai pendidikan formalnya di TK Dharma Wanita Pesisir Tengah pada tahun 1996. Kemudian pendidikan tingkat dasar dilalui dan diselesaikan di SD Negeri 2 Gunung Kemala pada tahun 2002, kemudian melanjutkan pendidikan tingkat menengah di SMP Negeri 2 Pesisir Tengah pada tahun 2005 dan menyelesaikan pendidikan sekolah tingkat atas pada tahun 2008 di SMA Negeri 1 Pesisir Tengah Krui.

(31)

vi

(32)

SANWACANA

Puji syukur kepada Allah SWT atas izin dan ridho-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Shalawat serta salam selalu tercurah kepada baginda Nabi Muhammad SAW, tauladan terbaik sepanjang masa.

Pada proses penyusunan skripsi ini, penulis memperoleh banyak dukungan, kritik, dan saran yang membangun sehingga skripsi ini mampu penulis selesaikan. Untuk itu penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada :

1. Bapak Dr. Muslim Ansori, S.Si., M.Si, selaku dosen pembimbing utama yang telah meluangkan waktu dari padatnya kesibukan beliau untuk membimbing hingga skripsi ini selesai.

2. Bapak Amanto, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing pembantu yang telah banyak membantu, mengoreksi dan memberikan pengarahan dalam proses penyusunan skripsi ini.

3. Ibu Dra. Dorrah Azis, M.Si. selaku dosen penguji bukan pembimbing yang memberi penulis masukan dan saran untuk skripsi ini.

4. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung.

5. Ibu Dr. Ir. Netty Herawati. M.Sc., selaku pembimbing akademik.

(33)

x

7. Dosen, staf dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA UNILA yang telah memberikan ilmu pengetahuan dan bantuan kepada penulis.

8. Bak, Emak, Udo Win beserta keluarga, adikku Reti, atas doa, nasehat, dukungan dan semangatnya selama ini.

9. Bundo Mira, Mami Lina, Ririn, Nuy, Dyah, Tiwi, Eflin, Recan, Ma’ruf, Tika, Wiwid, Tyas, Papi Fajri, Pak de dan keluarga Excotic jurusan matematika 2008 atas dukungan, kritik dan saran serta kebersamaan yang telah diberikan. 10. Keluarga Besar ROIS FMIPA 2007 sampai 2012 khususnya periode

2010/2011, Presidium, pimpinan dan seluruh anggota bidang atau biro yang telah memberikan ukhuwah dan kebersamaan yang bermakna.

11. Enam pejuang FMIPA atas semangat, doa, dan ukhuwah yang telah diberikan.

12. Semua pihak yang telah membantu selama ini, yang tidak dapat disebutkan satu persatu.

Bandar Lampung, Januari 2013 Penulis

(34)

V. KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Representasi operator Hilbert-Schmidt pada ruang barisan diperoleh dengan mengubah �: � → � menjadi �: ℓ → ℓ , dengan

ℓ = {�̃ = {� } ∈ �: ∑|� |

∞

=

< ∞}

dan ∑∞₌ � � , �_� = �_� dimana ‖�‖ = ∑ ‖��_� _�‖ == ∑ |�_�, _�| , sehingga A terdefinisi sebagai operator Hilbert-Schmidt.

5.2 Saran

Disarankan kepada para peneliti yang akan datang untuk dapat mengembangkan penelitian terhadap operator Hilbert-Schmidt pada ruang lain seperti ruang