• Tidak ada hasil yang ditemukan

Simulasi Antrian Dengan Menggunakan Metode Monte Carlo

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2016

Membagikan "Simulasi Antrian Dengan Menggunakan Metode Monte Carlo"

Copied!
77
0
0

Teks penuh

(1)

SIMULASI ANTRIAN DENGAN MENGGUNAKAN METODE

MONTE CARLO

SKRIPSI

MAGDALENA

070803057

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

(2)

SIMULASI ANTRIAN DENGAN METODE MONTE CARLO

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

MAGDALENA 070803057

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

(3)

PERSETUJUAN

Judul : SIMULASI ANTRIAN DENGAN

MENGGUNAKAN METODE MONTE CARLO

Kategori : SKRIPSI

Nama : MAGDALENA

Nomor Induk Mahasiswa : 070803057

Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA

Departemen : MATEMATIKA

Fakultas :MATEMATIKA DAN ILMU

PENGETAHUAN ALAM (FMIPA)

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Diluluskan di

Medan, 2011

Komisi Pembimbing :

Pembimbing II Pembimbing I

Dra. Ester Sorta M. Nababan, M.Sc Prof.Dr.Drs. Herman Mawengkang NIP. 19610318 198711 2 001 NIP. 19461128 197403 1 001

Diketahui/ Disetujui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU Ketua

Prof. Dr. Tulus, M.Si

(4)

PERNYATAAN

SIMULASI ANTRIAN DENGAN MENGGUNAKAN METODE MONTE CARLO

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil karya saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing – masing disebutkan sumbernya.

Medan, 2011

(5)

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Tuhan yang Maha Esa, atas berkat dan rahmatNya yang telah diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan

judul ”SIMULASI ANTRIAN DENGAN MENGGUNAKAN METODE MONTE

CARLO ” untuk melengkapi syarat memperoleh gelar sarjana Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam di Universitas Sumatera Utara.

Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Prof. Dr. Drs. Herman Mawengkang selaku Pembimbing I dan Ibu Dra. Ester Sorta M. Nababan, M.Sc selaku Pembimbing II atas segala bimbingan, arahan, nasehat, saran, dan kesediaan meluangkan waktu, tenaga, pikiran, dan bantuan pengetahuan. Penulis juga menyadari keterlibatan berbagai pihak yang membantu dalam penyelyesaian skripsi ini. Oleh karena itu penulis mengucapkan terima kasih kepada :

1. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si selaku dan Ibu Dra. Mardiningsih, M.Si selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU yang membantu kelancaran studi penulis.

2. Bapak Drs. Liling Perangin-angin, M.Si selaku pembimbing akademik penulis. 3. Bapak Drs. Marwan Harahap, M.Eng dan Drs. Sawaluddin, M.IT selaku komisi penguji atas saran dan masukan yang telah diberikan demi perbaikan skripsi ini.

4. Seluruh Staf Pengajar dan Pegawai Departemen Matematika FMIPA USU atas segala ilmu dan bantuan yang diberikan kepada penulis selama mengikuti perkuliahan.

5. Pihak-pihak yang membantu dalam pengambilan data untuk menyelesaikan skripsi ini.

6. Ayahanda ML Tobing dan Ibunda L br Hutagalung tercinta yang telah memberikan nasehat, bimbingan, dukungan moril maupun materi kepada penulis.

7. Adik-adik (Dippos Anugerah Tobing, David Donni Tobing, Margarettha Tobing) atas segala doa dan dukungan yang telah diberikan kepada penulis. 8. Chandra Silaen, Didce C.L.T, Shandra Y.H, Veronika Tumanggor, Romanto

Sinurat, Kak Rini Hutagalung, Ka Nova, Frime Yanti dan teman-teman di Ayuke Dirta Kost atas semangat dan bantuan yang telah diberkan kepada penulis.

9. Melva Sihotang, Riris Sianturi, Siska F Malau, Jojor Parhusip (Mawar) atas dukungan dan perhatian yang diberikan kepada penulis.

(6)

Penulis menyadari masih banyak kekurangan dan kelemahan dalam penulisan skripsi ini. Untuk itu penulis minta maaf kepada seluruh pembaca bila ada kesalahan serta penulis mengharapkan saran dan kritikan demi kesempurnaan skripsi ini. Akhir kata, semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi kita semua.

Medan, 2011 Penulis,

(7)

ABSTRAK

(8)

QUEUE SIMULATION BY USING MONTE CARLO METHOD

ABSTRACT

(9)

DAFTAR ISI

2.6 Terminologi dan Notasi Antrian 15

2.7 Pola Kedatangan dan Waktu Pelayanan 17

2.7.1 Pola Kedatangan 17

2.7.2 Uji Kesesuaian Poisson 17

2.7.3 Pola Pelayanan 18

2.7.4 Uji Kesesuaian Eksponensial 19

2.8 Formula yang digunakan 19

2.9 Simulasi 20

2.10 Model-Model Simulasi 22

(10)

Bab 3 Pembahasan

3.1 Data Tingkat Kedatangan 26

3.2 Data Tingkat Pelayanan 26

3.3 Pembahasan 27

3.3.1 Harga-Harga Teoritis 27

3.3.2 Perhitungan Harga-Harga Karakteristik 27

3.3.3 Pengolahan Data 30

3.3.4 Pendugaan Distribusi Data 34

3.3.5 Simulasi 42

Bab 4 Kesimpulan dan Saran

4.1 Kesimpulan 64

4.2 Saran 65

Daftar Pustaka 66

Lampiran

1. Lampiran 1 2. Lampiran 2 3. Lampiran 3 4. Lampiran 4 5. Lampiran 5 6. Lampiran 6

(11)

DAFTAR TABEL

Tabel Halaman

Tabel 3.1 Distribusi Frekuensi Kedatangan Nasabah 30 Tabel 3.2 Distribusi Frekuensi Tingkat Pelayanan Teller 1 31 Tabel 3.3 Distribusi Frekuensi Tingkat Pelayanan Teller 2 31 Tabel 3.4 Distribusi Frekuensi Tingkat Pelayanan Teller 3 32 Tabel 3.5 Distribusi Frekuensi Tingkat Pelayanan Teller 4 32 Tabel 3.6 Distribusi Frekuensi Tingkat Pelayanan Teller 5 33 Tabel 3.7 Distribusi Frekuensi Tingkat Pelayanan Teller 6 33

Tabel 3.8 Distribusi Frekuensi Tingkat Pelayanan Teller 7 34 Tabel 3.9 Perhitungan Data Tingkat Kedatangan Nasabah 35 Tabel 3.10 Perhitungan Data Tingkat Pelayanan pada Teller 1 37 Tabel 3.11 Perhitungan Data Tingkat Pelayanan pada Teller 2 37 Tabel 3.12 Perhitungan Data Tingkat Pelayanan pada Teller 3 38 Tabel 3.13 Perhitungan Data Tingkat Pelayanan pada Teller 4 38 Tabel 3.14 Perhitungan Data Tingkat Pelayanan pada Teller 5 39 Tabel 3.15 Perhitungan Data Tingkat Pelayanan pada Teller 6 39 Tabel 3.16 Perhitungan Data Tingkat Pelayanan pada Teller 7 40

Tabel 3.17 Simulasi Kedatangan Nasabah 43

Tabel 3.18 Simulasi Tingkat Pelayanan pada Teller 1 43 Tabel 3.19 Simulasi Tingkat Pelayanan pada Teller 2 44 Tabel 3.20 Simulasi Tingkat Pelayanan pada Teller 3 44 Tabel 3.21 Simulasi Tingkat Pelayanan pada Teller 4 45 Tabel 3.22 Simulasi Tingkat Pelayanan pada Teller 5 45 Tabel 3.23 Simulasi Tingkat Pelayanan pada Teller 6 46 Tabel 3.24 Simulasi Tingkat Pelayanan pada Teller 7 46

Tabel 3.25 Simulasi Kedatangan Nasabah 47

(12)

Tabel 3.33 Simulasi Kedatangan Nasabah 54 Tabel 3.34 Simulasi Tingkat Pelayanan pada Teller 1 54 Tabel 3.35 Simulasi Tingkat Pelayanan pada Teller 2 55 Tabel 3.36 Simulasi Tingkat Pelayanan pada Teller 3 55 Tabel 3.37 Simulasi Tingkat Pelayanan pada Teller 4 56 Tabel 3.38 Simulasi Tingkat Pelayanan pada Teller 5 56 Tabel 3.39 Simulasi Tingkat Pelayanan pada Teller 6 57

(13)

DAFTAR GAMBAR

Gambar Halaman

Gambar 2.4.1 Single Channel-Single Phase 12

Gambar 2.4.2 Single Channel-Multi Phase 13

Gambar 2.4.3 Multi Channel-Single Phase 13

Gambar 2.4.4 Multi Channel-Multi Phase 13

(14)

ABSTRAK

(15)

QUEUE SIMULATION BY USING MONTE CARLO METHOD

ABSTRACT

(16)

Bab 1

PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang

Dalam kehidupan sehari-hari banyak orang menunggu untuk mendapatkan sesuatu

baik itu pelayanan maupun barang. Hal ini disebut juga antrian. Misalnya,

menunggu untuk mendapatkan pelayanan dari dokter, menunggu untuk

mendapatkan tiket kereta api, menunggu untuk pengisian bahan bakar, menunggu

untuk mendapatkan pelayanan dari bank, dan lain-lain. Antrian tidak hanya

dialami oleh manusia, tetapi antrian juga bisa terjadi pada barang seperti

menunggu untuk dikemas, atau menunggu untuk berbagai tahapan produksi

lainnya. Antrian yang terlalu panjang dapat membuat konsumen bosan untuk

mengantri, terkadang dapat pula membuat konsumen keluar dari antrian dan tidak

menunggu lagi. Namun sebaliknya jika tidak ada antrian maka dapat

menyebabkan server menganggur, karena tidak ada konsumen yang akan dilayani.

Teori antrian pertama kali dikemukakan oleh A.K. Erlang, seorang ahli

matematika bangsa Demark pada tahun 1913 dalam bukunya “Solution of Some Problem in The Theory of Probability of Significancein Automatic Telephone

Exchange”. Penggunaan istilah Sistem Antrian (Queueing System) dijumpai

pertama kali pada tahun 1951 di dalam journal Royal Statistical Society,

sedangkan masalah antrian itu sendiri sebenarnya sudah dijumpai sejak dulu.

Faktor-faktor yang berpengaruh terhadap barisan antrian dan pelayanan antara

lain adalah distribusi kedatangan, distribusi pelayanan, fasilitas pelayanan, disiplin

pelayanan, ukuran dalam antrian, dan jumlah server. Dalam tingkat kedatangan

dan pelayanan terdapat faktor ketidakpastian. Adanya faktor ketidakpastiaan yang

(17)

Simulasi dapat digunakan sebagai cara untuk menyelesaikan persoalan

dengan variabel random. Simulasi adalah duplikasi atau abstraksi dari kehidupan

nyata ke dalam model matematika. Banyak metode yang digunakan dalam

simulasi. Metode Monte Carlo adalah teknik pemilihan angka random dari

distribusi probabilitas untuk mensimulasikan berbagai perilaku sistem fisika dan

matematika. Siagian (1987) menyatakan bahwa simulasi Monte Carlo merupakan

suatu pendekatan untuk membentuk kembali distribusi peluang yang didasarkan

pada pilihan atau pengadaan bilangan acak (random). Pada tahun 1950-an, metode

ini digunakan di Laboratorium Nasional Los Alamos untuk penelitian awal

pengembangan bom hidrogen, dan kemudian sangat populer dalam bidang fisika

dan riset operasi. Penggunaan metode Monte Carlo memerlukan sejumlah besar

bilangan acak, dan hal tersebut semakin mudah dengan perkembangan pembangkit

bilangan acak, yang jauh lebih cepat dan praktis dibandingkan dengan metode

sebelumnya yang menggunakan tabel bilangan acak untuk sampling statistik.

Metode Monte Carlo digunakan dalam proses antrian, dapat juga digunakan dalam

persediaan dan proses produksi.

Dalam kesempatan ini aplikasi masalah antrian secara khusus akan dibahas

pada “Bank XXX”. Karena ada permasalahan antrian pada Bank XXX ini maka

diadakan penelitian secara sistematis untuk menganalisis masalah antrian tersebut

sehingga tidak terjadi antrian yang terlalu panjang dan pihak yang melayani

ataupun pasien yang dilayanani mendapatkan hasil yang terbaik.

Dari persoalan di atas, faktor ketidakpastian yang ada dalam masalah

simulasi tidaklah mudah untuk menyelesaikan modelnya. Simulasi sangat cocok

untuk mengamati sistem yang tidak pasti. Banyak metode yang digunakan dalam

simulasi salah satunya adalah simulasi Monte Carlo. Teknik Monte Carlo

menggunakan pemilihan angka secara random dari distribusi probabilitas untuk

menjalankan simulasi. Dalam simulasi antrian, pendekatan Monte Carlo ini

digunakan untuk menghasilkan variabel input seperti waktu antar kedatangan,

waktu pelayanan, dan variable input lainnya sesuai dengan distribusi yang

(18)

adanya komponen yang berupa variable random. Metode Monte Carlo ini bersifat

statis artinya teknik ini tidak memperhatikan perubahan-perubahan nilai dari

variabel-variabel yang ada jika terjadi di waktu yang berbeda. Hal ini yang

melatarbelakangi penulis mengangkat permasalahan ini sebagai judul skripsi, yaitu

“SIMULASI ANTRIAN DENGAN MENGGUNAKAN METODE MONTE CARLO”.

1.2Perumusan Masalah

Permasalahan yang akan dibahas adalah cara mensimulasikan model antrian

dengan metode Monte Carlo sehingga diperoleh beberapa gambaran antrian yang

dengan alternatif yang berbeda-beda.

1.3Pembatasan Masalah

Pembatasan masalah dari permasalahan ini adalah :

1.1.Permasalahan ini hanya mencakup kedatangan, pelayanan, dan disiplin antrian.

1.2.Permasalahan ini menyangkut proses antrian nasabah yang datang ke bank

untuk melakukan transaksi yang berbeda-beda.

1.3.Model yang digunakan adalah model antrian ganda.

1.4Tinjauan Pustaka

Thomas J. Kakiay (2004) dalam bukunya yang berjudul “Dasar Teori Antrian untuk Kehidupan Nyata” menjelaskan bahwa situasi menunggu merupakan bagian dari keadaan yang terjadi dalam rangkaian kegiatan operasional yang bersifat

random dalam suatu fasilitas pelayanan. Tujuan sebenarnya dari teori antrian

adalah meneliti kegiatan dari fasilitas pelayanan dalam rangkaian kondisi random

(19)

Richard Bronson (1982) dalam bukunya yang berjudul “Teori dan Soal

-soal Operation Researh” menyatakan bahwa suatu proses antrian (queueing

process) adalah suatu proses yang berhubungan dengan kedatangan seseorang

pelanggan pada suatu fasilitas pelayanan, kemudian menunggu dalam suatu baris

(antrian) jika semua pelayannya sibuk, dan akhirnya meninggalkan fasilitas

tersebut. Sebuah sistem antrian adalah suatu himpunan pelanggan, pelayan dan

suatu aturan yang mengatur kedatangan pada pelanggan dan pemrosesan

masalahnya.

Pangestu Subagyo (1983) dalam bukunya “Dasar-Dasar Operations

Research” menyatakan bahwa Didalam metode simulasi dicoba untuk menemukan model yang cocok untuk persoalan yang dihadapi. Perumusan persoalan dan

pembuatan model ini dilakukan berdasarkan keadaan masalah yang dihadapi.

Suad Husnan (1982) dalam bukunya yang berjudul “Teori Antrian”

menyatakan bahwa Salah satu cara yang tepat untuk mengatasi masalah antrian ini

adalah dengan menggunakan metode simulasi keseluruhan masalah untuk

merancang suatu percobaan yang akan menirukan semirip mungkin keadaan yang

sebenarnya dan kemudian mengamati apa yang akan terjadi. Metode simulasi ini

merupakan salah satu metode yang efektif untuk memecahkan masalah antrian

jenis ini.

Simulasi didefinisikan sebagai salah satu cara untuk menghasilkan kondisi

dari situasi dengan model untuk studi, menguji, atau training, dan lain-lain

(Oxford Amercan Dictionary,1980).

Khosnevis (1994) mendefinisikan simulasi sebagai pendekatan

eksperimental. Keterbatasan metode analistis dalam mengatasi sistem dinamis

yang kompleks membuat simulasi sebagai alternatif yang baik.

Arman Hakim (2007) dalam bukunya “Simulasi Bisnis” menyatakan

bahwa Pendekatan Monte Carlo digunakan untuk menghasilkan variable input

(20)

lain sesuai dengan disribusi yang diinginkan. Teknik ini menggunakan bilangan

random yang berdistribusi uniform. Langkah-langkah yang digunakan dalam

metode Monte carlo adalah sebagai berikut :

1. Lakukan observasi terhadap parameter yang dimodelkan.

2. Hitung frekuensi tiap-tiap nilai parameter.

3. Hitung distribusi frekuensi kumulatif dan distribusi probabilitas kumulatif.

4. Pasangkan nilai kelas dari tiap parameter dengan bilangan random dengan

range antara 0.000-0.999.

5. Tarik suatu bilangan random dengan menggunakan tabel random maupun

microsotf excel.

6. Dapatkan nilai parameter yang sesuai dengan memasangkan bilangan random

yang dihasilkan.

Sri Mulyono (2002) dalam bukunya yang berjudul “Riset Operasi”

menyatakan bahwa Dalam simulasi, variable random dinyatakan dalam distribusi

probabilitas, sehingga sebagian besar model simulasi adalah model probabilistik.

Arti istilah Monte Carlo sering dianggap sama dengan simulasi probabilistik,

namun Monte Carlo sampling secara lebih tegas berarti teknik memilih angka

secara random dari distribusi probabilitas untuk menjalankan simulasi.

P. Siagian (1987) dalam bukunya “Penelitian Operational” menyatakan bahwa Simulasi Monte Carlo merupakan suatu pendekatan untuk membentuk

kembali distribusi peluang yang didasarkan pada pilihan atau pengadaan bilangan

acak (random). Ada beberapa cara untuk menghasilkan bilangan acak dari Monte

Carlo merupakan cara yang paling baik terutama untuk suatu distribusi diskrit

empiris.

Levin, dkk (2002) menyatakan bahwa pada umumnya terdapat 5 langkah

pokok yang diperlukan dalam menggunakan simulasi, yaitu :

1. Menentukan persoalan atau sistem yang hendak disimulasi.

2. Formulasikan model simulasi yang hendak digunakan.

3. Ujilah model dan bandingkan tingkah lakunya dengan tingkah laku dari sistem

(21)

4. Rancang percobaan – percobaan simulasi.

5. Jalankan simulasi dan analisis data

Winda Nur Cahyo (2008) menyatakan bahwa Simulasi Monte Carlo adalah

salah satu metode simulasi sederhana yang dapat dibangun secara cepat dengan

hanya menggunakan spreadsheet (misalnya Microsoft Excel). Pembangunan

model simulasi Monte Carlo didasarkan pada probabilitas yang diperoleh data

historis sebuah kejadian dan frekuensinya, dimana:

dengan:

Pi : Probabilitas kejadian i

fi : Frekuensi kejadian i

n : Jumlah frekuensi semua kejadian.

Tetapi dalam simulasi Monte Carlo, probabilitas juga dapat ditentukan dengan

mengukur probabilitas sebuah kejadian terhadap suatu distribusi tertentu. Bilangan

acak yang digunakan dalam simulasi Monte Carlo ini merupakan sebuah

representasi dari situasi yang tidak pasti dalam sebuah sistem nyata.

1.6Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah untuk memodelkan simulasi antrian pada Bank

XXX dengan metode Monte Carlo dan jika dimungkinkan akan dicari solusi

penyelesaian agar lama waktu antri pasien dengan alternatif yang berbeda-beda

seperti dengan atau tanpa menambah fasilitas maupun komponen penunjang lain

secara signifikan.

(22)

1. Hasil penelitian ini diharapkan dapat mengurangi lama waktu mengantri yang

terjadi dalam masalah antrian di kehidupan sehari-hari dengan menggunakan

metode Monte Carlo.

2. Dapat menggunakan metode Monte Carlo dalam masalah lain selain masalah

antrian.

3. Dapat menambah ilmu pengetahuan dan menjadi referensi yang berhubungan

dengan masalah simulasi dan masalah antrian.

1.7.Meteodologi Penelitian

Metodologi yang digunakan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut :

1. Studi literatur dan referensi, yaitu mempelajari buku-buku dan

makalah-makalah dari pustaka yang berhubungan dengan antrian dan simulasi.

2. Pengambilan data antrian serta melakukan pemeriksaan ulang dikala terjadi

kesalahan dalam melakukan pengambilan data antrian pada Bank XXX.

3. Mengolah data berdasarkan kriteria-kriteria olah data pada metode simulasi

Monte Carlo serta menggambarkan beberapa alternatif antrian yang dapat

diterapkan.

4. Menyimpulkan hasil olah data antrian dengan metode simulasi Monte

Carlo serta dapat menentukan alternative antrian yang diterapkan dengan

(23)

Bab 2

LANDASAN TEORI

2.1 Teori Antrian

Antrian yang panjang sering kali kita temukan di bank saat nasabah mengantri di teller

untuk melakukan transaksi, di klinik saat pasien mengantri untuk mendapatkan

pelayanan, di airport saat para calon penumpang melakukan check-in, di super market

saat para pembeli antri untuk melakukan pembayaran, di tempat cuci mobil saat mobil

antri untuk dicuci dan masih banyak contoh lainnya. Hal ini dapat menyebabkan

konsumen berhenti untuk mengantri atau bahkan dapat meninggalkan sistem sehingga

dapat mengakibatkan kehilangan konsumen atau kerugian bagi perusahaan.

Teori tentang antrian diketemukan dan dikembangkan oleh A. K. Erlang,

seorang insinyur dari Denmark yang bekerja pada perusahaan telepon di Kopenhagen

pada tahun 1910. Erlang melakukan eksperimen tentang fluktuasi permintaan fasilitas

telepon yang berhubungan dengan automatic dialing equipment, yaitu peralatan

penyambungan telepon secara otomatis. Dalam waktu – waktu yang sibuk operator

sangat kewalahan untuk melayani para penelepon secepatnya, sehingga para

penelepon harus antri menunggu giliran, mungkin cukup lama. Persoalan aslinya

Erlang hanya memperlakukan perhitungan keterlambatan (delay) dari seorang

operator, kemudian pada tahun 1917 penelitian dilanjutkan untuk menghitung

kesibukan beberapa operator. Dalam periode ini Erlang menerbitkan bukunya yang

terkenal berjudul Solution of some problems in the theory of probabilities of

significance in Automatic Telephone Exhange. Baru setelah perang dunia kedua, hasil

penelitian Erlang diperluas penggunaannya antara lain dalam teori antrian (Supranto,

1987). Menurut Siagian (1987), antrian ialah suatu garis tunggu dari nasabah (satuan)

(24)

Bronson (1982), proses antrian (queueing process) adalah suatu proses yang

berhubungan dengan kedatangan seseorang pelanggan pada suatu fasilitas pelayanan,

kemudian menunggu dalam suatu baris (antrian) jika semua pelayannya sibuk, dan

akhirnya meninggalkan fasilitas tersebut. Sebuah sistem antrian adalah suatu

himpunan pelanggan, pelayan dan suatu aturan yang mengatur kedatangan pada

pelanggan dan pemroses masalahnya.

2.2 Sistem Antrian

Gross dan Haris (Gross, 2001) mengatakan bahwa sistem antrian adalah kedatangan

pelanggan untuk mendapatkan pelayanan, menunggu untuk dilayani jika fasilitas

pelayanan (server) masih sibuk, mendapatkan pelayanan dankemudian meninggalkan

sistem setelah dilayani. Pada umumnya, sistem antrian dapat diklasifikasikan menjadi

sistem yang berbeda-beda di mana teori antrian dan simulasi sering diterapkan secara

luas. Klasifikasi menurut Hillier dan Lieberman adalah sebagai berikut :

1. Sistem pelayanan komersial.

Sistem pelayanan komersial merupakan aplikasi yang sangat luas dari

model-model antrian, seperti restoran, kafetaria, toko-toko, salon, butik, supermarket,

dan sebagainya.

2. Sistem pelayanan bisnis-industri.

Sistem pelayanan bisnis-industri mencakup sistem produksi, sistem material,

handling, sistem pergudangan, dan sistem-sistem informasi komputer.

3. Sistem pelayanan transportasi.

4. Sistem pelayanan sosial

Sistem pelayanan sosial merupakan sistem-sistem pelayanan yang dikelola

oleh kantor-kantor dan perusahaan-perusahan lokal maupun nasional, seperti

kantor registrasi SIM dan STNK, kantor pos, rumah sakit, puskesmas, dan

lain-lain (Subagyo, 2000).

Dalam sistem antrian terdapat beberapa komponen dasar proses antrian

(25)

1. Kedatangan.

Setiap masalah antrian melibatkan kedatangan, misalnya orang, mobil,

panggilan telepon untuk dilayani, dan lain-lain. Unsur ini sering dinamakan

proses input. Proses input meliputi sumber kedatangan atau biasa dinamakan

calling population, dan cara terjadinya kedatangan yang umumnya merupakan

variabel acak. Karakteristik dari populasi yang akan dilayani dapat dilihat

menurut ukurannya, pola kedatangan, serta perilaku dari populasi yang akan

dilayani. Menurut ukurannya, populasi yang dilayani bisa terbatas (finite) dan

tidak terbatas (infinite). pola kedatangan bisa teratur, dapat pula bersifat acak

atau random. Menurut Levin, dkk (2002), variabel acak adalah suatu variabel

yang nilainya bisa berapa saja sebagai hasil dari percobaan acak. Variabel acak

dapat berupa diskrit atau kontinu. Bila variabel acak hanya dimungkinkan

memiliki beberapa nilai saja, maka ia merupakan variabel acak diskrit.

Sebaliknya bila nilainya dimungkinkan bervariasi pada rentang tertentu, ia

dikenal sebagai variabel acak kontinu.

2. Pelayanan

Pelayanan atau mekanisme pelayanan dapat terdiri dari satu atau lebih pelayan,

atau satu atau lebih fasilitas pelayanan. Tiap-tiap fasilitas pelayanan

kadang-kadang disebut sebagai saluran (channel) (Schroeder,1997). Contohnya, jalan

tol dapat memiliki beberapa pintu tol. Mekanisme pelayanan dapat hanya

terdiri dari satu pelayan dalam satu fasilitas pelayanan yang ditemui pada loket

seperti pada penjualan tiket di gedung bioskop. Dalam mekanisme pelayanan

ini ada 3 aspek yang harus diperhatikan yaitu :

1. Tersedianya pelayanan

Mekanisme pelayanan tidak selalu tersedia untuk setiap saat. Misalnya

dalam pertunjukan bioskop, loket penjualan karcis hanya dibuka pada

waktu tertentu antara satu pertunjukan dengan pertunjukan berikutnya,

sehingga saat loket ditutup mekanisme pelayanan terrhenti dan petugas

(26)

2. Kapasitas pelayanan

Kapasitas dari mekanisme pelayanan diukur berdasarkan jumlah

pelanggan yang tidak dapat dilayani secara bersama-sama. Kapasitas

pelayan yang tidak selalu sama untuk setiap saat, ada yang tetap, tapi

ada juga yang berubah-ubah. Karena itu, fasilitas pelayanan dapat

memiliki satu atau lebih saluran. Fasilitas yang mempunyai satu

saluran disebut saluran tunggal atau sistem pelayanan tunggal dan

fasilitas yang mempunyai lebih dari satu saluran disebut saluran ganda

atau pelayanan ganda.

3. Lama pelayanan

Lama pelayanan adalah waktu yang dibutuhkan untuk melayani

seseorang langganan atau satu satuan. Ini harus dinyatakan secara pasti.

Oleh karena itu, waktu pelayanan boleh tetap dari waktu ke waktu

untuk semua langgannan atau boleh juga berupa variabel acak.

Umumnya dan untuk keperluan analisis, waktu pelayanan dianggap

sebagai varriabel acak yang terpancar secara bebas dan sama tidak

tergantung pada waktu pertibaan.

3. Antrian

Timbulnya antrian terutama tergantung dari sifat kedatangan dan proses

pelayanan. Jika tak ada antrian berarti terdapat pelayan yang menganggur atau

kelebihan fasilitas pelayanan (Mulyono, 1991).

2.3 Disiplin Antrian

Menurut Thomas J. Kakiay disiplin antrian adalah aturan di mana para pelanggan

dilayani, atau disiplin pelayanan (service discipline) yang memuat urutan (order) para

pelanggan menerima layanan. Ada 4 bentuk bentuk disiplin antrian menurut urutan

kedatangan antara lain adalah :

1. First Come First Served (FCFS) atau First In First Out (FIFO), di mana

(27)

Misalnya, antrian pada loket pembelian tiket bioskop, antrian pada loket

pembelian tiket kereta api..

2. Last Come First Served (LCFS) atau Last In First Out (LIFO), di mana

pelanggan yang datang paling akhir akan dilayani terlebih dahulu. Misalnya,

sistem antrian pada elevator untuk lanti yang sama, sistem bongkar muat

barang dalam truk, pasien dalam kondisi kritis, walaupun dia datang paling

akhir tetapi dia akan dilayani terlebih dahulu.

3. Service In Random Order (SIRO) atau Random Selection for Service (RSS), di

mana panggilan didasarkan pada peluang secara random, jadi tidak menjadi

permasalahan siapa yang lebih dahulu datang. Misalnya, pada arisan di mana

penarikan berdasarkan nomor undian.

4. Priority Service (PS), di mana prioritas pelayanan diberikan kepada pelanggan

yang mempunyai prioritas lebih tinggi dibandingkan dengan pelanggan yang

mempunyai prioritas yang lebih rendah, meskipun mungkin yang dahulu tiba

di garis tunggu adalah yang terakhir datang. Hal ini mungkin disebabkan oleh

beberapa hal, misalnya seseorang yang memiliki penyakit yang lebih berat

dibandingkan orang lain pada suatu tempat praktek dokter, hubungan

kekerabatan pelayan dan pelanggan potensial akan dilayani terlebih dahulu.

2.4. Struktur Antrian

Ada 4 model struktur antrian dasar yang umum terjadi dalam seluruh sistem antrian :

1. Single Channel Single Phase

Jalur antrian Server

Gambar 2.4.1 Single Channel Single Phase

Single Channel berarti hanya ada satu jalur yang memasuki sistem pelayanan atau ada

satu fasilitas pelayanan. Single Phase berarti hanya ada satu fasilitas pelayanan.

(28)

dengan jalur satu antrian, supermarket yang hanya memiliki satu kasir sebagai tempat

pembayaran, dan lain-lain.

2. Single Channel Multi Phase

Jalur antrian Server Server Server

Gambar 2.4.2 Single Channel Multi Phase

Sistem antrian jalur tunggal dengan tahapan berganda ini atau menunjukkan ada dua

atau lebih pelayanan yang dilaksanakan secara berurutan. Sebagai contoh adalah :

pencucian mobil, tukang cat mobil, dan sebagainya.

3. Multi Channel Single Phase

Jalur antrian Server

Gambar 2.4.3 Multi Channel Single Phase

Sistem Multi Channel Single Phase terjadi di mana ada dua atau lebih fasilitas

pelayanan dialiri oleh antrian tunggal. Contohnya adalah antrian pada sebuah bank

dengan beberapa teller, pembelian tiket atau karcis yang dilayani oleh beberapa loket,

pembayaran dengan beberapa kasir, dan lain-lain.

4. Multi Channel Multi Phase

(29)

Gambar 2.4.4 Multi Channel Multi Phase

Sistem Multi Channel Multi Phase ini menunjukkan bahwa setiap sistem

mempunyai beberapa fasilitas pelayanan pada setiap tahap sehingga terdapat lebih dari

satu pelanggan yang dapat dilayani pada waktu bersamaan. Contoh pada model ini

adalah : pada pelayanan yang dibarikan kepada pasien di rumah sakit dimulai dari

pendaftarran, diagnose, tindakan medis, samppai pembayaran, registrasi ulang

mahasiswa baru pada sebuah universitas, dan lain-lain.

2.5. Model-Model Antrian

Karakteristik dan asumsi dari model antrian dirangkum dalam bentuk notasi. Notasi

standar yang digunakan adalah sebagai berikut :

( a / b / c / d / e )

Di mana simbol a, b, c, d, e merupakan elemen dasar dari model antrian :

1. a = distribusi kedatangan yaitu jumlah kedatangan per satuan waktu

2. b = distribusi waktu pelayanan

3. c = jumlah fasilitas pelayanan ( s = 1, 2, 3, …,

4. d = jumlah maksimum yang deperkenankan berada dalam sistem (dalam

pelayanan ditambah yang di garis tunggu).

5. e = ukuran pemanggil populasi atau sumber.

Notasi standar untuk simbol a dan b sebagai distribusu kedatangan dan distribusi

waktu pelayanan mempunyai kode sebagai berikut :

1. M = Poisson ( Markovian ) untuk distribusi kedatangan atau waktu pelayanan.

2. D = interarrival atau service time konstan ( deterministic )

(30)

Contohnya adalah ( M/ D/ 5/ N/ artinya kedatangan berdistribusi Poisson,

waktu pelayanan konstan, dan terdapat 5 buah fasilitas pelayanan. Jumlah konsumen

dibatasi sebanyak N dan sumber populasi tidak terbatas. Model-model antrian secara

umum antara lain adalah sebagai berikut :

1. Model ( M/ M/ 1/ /

Syarat-syarat dari model ini antara lain :

1. Jumlah kedatangan tiap satuan waktu mengikuti distribusi Poisson

2. Waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial

3. Disiplin antrian yang digunakan adalah FCFS

4. Sumber populasi tidak terbatas

5. Jalur antriannya tunggal

6. Tingkat rata-rata kedatangan lebih kecil daripada tingkat rata-rata pelayanan

7. Panjang antrian tidak terbatas

2. Model ( M/ M/ S/ /

Pada model ini fasilitas pelayanan ( server ) bersifat ganda, rata-rata tingkat

kedatangan lebih kecil daripada penjumlahan seluruh rata-rata tingkat

pelayanan di tiap jalur. Syarat yang lain sama dengan model server tunggal.

3. Model ( M/ M/ 1/ /

Model ini merupakan variasi dari model yang pertama, di mana panjang

antrian atau kapasitas tunggu dibatasi maksimum N individu. Jumlah

maksimum ini meliputi individu yang menunggu dan yang sedang dilayani.

4. Model ( M/ M/ 1/ /

Model ini hampir sama dengan model yang pertama haya saja sumber populasi

dibatasi sebanyak N.

2.6 Terminologi dan Notasi Antrian

Terminologi yang biasa digunakan dalam sistem antrian adalah :

1. Keadaan sistem yaitu jumlah aktivitas pelayanan yang terjadi dalam melayani

pelanggan dalam sistem.

2. Panjang antrian yaitu banyaknya satuan yang berada dalam sistem dikurangi

(31)

Notasi yang digunakan adalah sebagai berikut :

n = Jumlah nasabah yang mengantri pada waktu t

k = Jumlah satuan pelayanan

= Tingkat kedatangan

µ = Tingkat pelayanan

= Tingkat kesibukan sistem

= Peluang semua teller menganggur atau tidak ada nasabah dalam sistem

= Peluang nasabah yang datang harus menunggu

= Ekspektasi panjang sistem

L = Ekspektasi panjang antrian

= Ekspektasi waktu menunggu dalam sistem

W = Ekspektasi waktu menunggu dalam antrian

Faktor-faktor yang berpengaruh terhadap barisan antrian dan pelayanan adalah

sebagai berikut :

1. Distribusi kedatangan, kedatangan individu atau berkelompok

2. Distribusi pelayanan, pelayanan individu atau berkelompok

3. Fasilitas pelayanan, berbentuk series, paralel, atau network station

4. Disiplin pelayanan, berbentuk FCFS, LCFS, SIRO atau PP

5. Ukuran dalam antrian, kedatangan bersifat tidak terbatas atau terbatas

6. Sumber pemanggil, bersifat terbatas atau tidak terbatas

2.7 Pola Kedatangan dan Waktu Pelayanan

2.7.1 Pola Kedatangan

Pola kedatangan suatu sistem antrian dapat dipresentasikan oleh waktu antar

kedatangan yang merupakan suatu periode waktu antara dua kedatangan yang

berturut-turut. Kedatangan dapat dipisahkan oleh interval kedatangan yang sama atau

tidak sama probabilitasnya disebut kedatangan acak. Tingkat kedatangan yaitu jumlah

(32)

Jika kedatangan bersifat acak, harus diketahui dahulu distribusi probabilitas

kedatangannya.

Suatu proses kedatangan dalam suatu sistem antrian artinya menentukan

distribusi probabilitas unntuk jumlah kedatangan untuk suatu periode waktu ( Winston

). Pada umumnya, suatu proses kedatangan terjadi secara acak dan independent

terhadap proses kedatangan lainnya dan tidak dapat diprediksi kapan pelanggan akan

datang. Dalam hal ini, distribusi probabilitas Poisson menyediakan deskripsi yang

cukup baik untuk suatu pola kedatangan. Suatu fungsi probabilitas Poisson untuk

suatu kedatangan x pada suatu periode waktu adalah sebagai berikut :

Dimana :

x = jumlah kedatangan per periode waktu

λ = rata-rata jumlah kedatangan per periode waktu e = 2,71828

2.7.2 Uji Kesesuaian Poisson

Uji kesesuaian Poisson dilakukan dengan uji Chi Square ( yang didefinisikan

sebagai berikut:

= data yang diuji mengikuti distribusi

= data yang diuji tidak mengikuti distribusi

Statistik test didefinisikan sebagai berikut :

Dimana :

= frekuensi observasi ke-i

= frekueensi harapan ke-i

(33)

2.7.3 Pola Pelayanan

Pola pelayanan ditentukan oleh waktu pelayanan yaitu waktu yang dibutuhkan untuk

melayani pelanggan pada fasilitas pelayanan. Waktu pelayanan dapat berupa waktu

pelayanan konstan ataupun variabel acak yang telah diketahui probabilitasnya.

Tingkat pelayanan adalah jumlah pelanggan yang dilayani per satuan waktu. Dengan

asumsi channel selalu dalam keadaan sibuk sehingga tidak ada waktu idle yang

dialami oleh channel itu.

Waktu pelayanan antara fasilitas pelayanan dengan fasilitas pelayanan yang

lain biasanya tidak konstan. Distribusi probabilitas untuk waktu layanan biasanya

mengikuti distribusi probabilitas Eksponensial yang formulanya dapat memberikan

informasi yang berguna mengenai operasi yang terjadi pada suatu antrian. Persamaan

distribusi Eksponensialnya adalah sebagai berikut :

Dimana :

x = ( nilai tengah )

= rata-rata yang didekati dengan

e = 2,71828

2.7.4 Uji Kesesuaian Eksponensial

Uji kesesuaian Eksponensial dilakukan dengan uju Kolmogorov-Smirnov dengan cara

sebagai berikut :

= data yang diuji mengikuti distribusi

= data yang diuji tidak mengikuti distribusi

Statistik test didefinisikan sebagai berikut :

(34)

Dalam uji Kolmogorov-Smirnov suatu data dikatakan mengikuti distribusi jika

2.8 Formula yang Digunakan

Formula yang digunakan antara lain :

1. Tingkat kesibukan sistem

2. Peluang tidak ada nasabah dalam sistem atau teller mengganggur (

3. Peluang nasabah yang datang harus menunggu untuk dilayani

4. Jumlah rata-rata nasabah dalam antrian

5. Jumlah rata-rata nasabah dalam sistem )

(35)

6. Waktu rata-rata nasabah dalam antrian

7. Waktu rata-rata nasabah dalam sistem

Dengan : = tingkat kesibukan sistem

k = jumlah server yang ada

λ = rata-rata tingkat kedatangan µ = rata-rata tingkat pelayanan

2.9 Simulasi

Simulasi ialah suatu metodologi untuk melaksanakan percobaan dengan menggunakan

model dari satu sistem nyata (Siagian, 1987). Menurut Hasan (2002), simulasi

merupakan suatu model pengambilan keputusan dengan mencontoh atau

mempergunakan gambaran sebenarnya dari suatu sistem kehidupan dunia nyata tanpa

harus mengalaminya pada keadaan yang sesungguhnya.

Simulasi adalah suatu teknik yang dapat digunakan untuk memformulasikan

dan memecahkan model – model dari golongan yang luas. Golongan atau kelas ini

sangat luasnya sehingga dapat dikatakan , “ Jika semua cara yang lain gagal, cobalah

simulasi” (Schroeder, 1997). Khosnevis (1994) mendefinisikan simulasi sebagai pendekatan eksperimental. Keterbatasan metode analistis dalam mengatasi sistem

dinamis yang kompleks membuat simulasi sebagai alternatif yang baik.

Model analitik sangat berguna bagi kehidupan sehari-hari, akan tetapi terdapat

beberapa keterbatasan antara lain, yaitu :

1. Model analitik tidak mampu menggambarkan suatu sistem pada masa lalu dan

(36)

penyelesaian secara menyeluruh, suatu jawab yang mungkin tunggal dan

optimal tetapi tidak menggambarkan suatu prosedur operasional untuk masa

lebih singkat dari masa perencanaan. Misalnya, penyelesaian persoalan

program linier dengan masa perencanaan satu tahun, tidak menggambarkan

prosedur operasional untuk masa bulan demi bulan, minggu demi minggu, atau

hari demi hari.

2. Model matematika yang konvensional sering tidak mampu menyajikan sistem

nyata yang lebih besar dan rumit (kompleks). Sehingga sukar untuk

membangun model analitik untuk sistem nyata yang demikian..

3. Model analitik terbatas pemakaiannya dalam hal – hal yang tidak pasti dan

aspek dinamis (faktor waktu) dari persoalan manajemen.

Berdasarkan hal di atas, maka konsep simulasi dan penggunaan model

simulasi merupakan solusi terhadap ketidakmampuan dari model analitik. Beberapa

kelebihan simulasi adalah sebagai berikut :

1. Simulasi dapat memberi solusi bila model analitik gagal melakukannya.

2. Model simulasi lebih realistis terhadap sistem nyata karena memerlukan

asumsi yang lebih sedikit. Misalnya, tenggang waktu dalam model persediaan

tidak perlu harus deterministik.

3. Perubahan konfigurasi dan struktur dapat dilaksanakan lebih mudah untuk

menjawab pertanyaan : what happen if… Misalnya, banyak aturan dapat

dicoba untuk mengubah jumlah langganan dalam sistem antrian.

4. Dalam banyak hal, simulasi lebih murah dari percobaannya sendiri.

5. Simulasi dapat digunakan untuk maksud pendidikan.

6. Untuk sejumlah proses dimensi, simulasi memberikan penyelidikan yang

langsung dan terperinci dalam periode waktu khusus.

Model simulasi juga memiliki beberapa kekurangan antara lain yaitu :

1. Simulasi bukanlah presisi dan juga bukan suatu proses optimisasi. Simulasi

tidak menghasilkan solusi, tetapi ia menghasilkan cara untuk menilai solusi

(37)

2. Model simulasi yang baik dan efektif sangat mahal dan membutuhkan waktu

yang lama dibandingkan dengan model analitik.

3. Tidak semua situasi dapat dinilai melalui simulasi kecuali situasi yang memuat

ketidakpastian (Siagian, 1987).

2.10 Model-Model Simulasi

Model-model simulasi dapat diklasifikasikan dengan beberapa cara. Salah satu

pengelompokannya adalah :

1. Model simulasi statis adalah representasi sistem pada waktu-waktu tertentu

atau model yang digunakan untuk mempresentasikan sistem dimana waktu

tidak mempunyai peranan. Contohnya simulasi Monte Carlo ( simulasi

perilaku sistem fisika dan matematika).

Model simulasi dinamis adalah representasi sistem sepanjang pergantian

waktu ke waktu. Contohnya sistem conveyor di pabrik .

2. Model simulasi deterministik adalah model simulasi yang tidak

mengandung kimponen yang sifatnya probabilistik ( random ) dan output

telah dapat ditentukan ketika sejumlah input dalam hubungan tertentu

dimasukkan.

Model simulasi stokastik adalah moel simulasi yang mengandung

input-input probabilistik ( random ) dan output yang dihasilkan pun sifatnya

random.

3. Model simulasi kontinu adalah model simulasi dimana state ( status ) dari

sistem berubah secara kontinu karena berubahnya waktu ( change state

variable ). Contohnya simulasi polpulasi penduduk.

Model simulasi diskrit adalah model suatu sistem dimana perubahan state

terjadi pada satuan-satuan waktu yang diskrit sebagai hasil suatu kejadian (

event ) tertentu (discrete change state variables ). Contohnya simulasi

(38)

2.11 Simulasi Monte Carlo

Metode Monte Carlo adalah algoritma komputasi untuk mensimulasikan berbagai

perilaku sistem fisika dan matematika. Metode Monte Carlo digunakan dengan istilah

sampling statistik. Penggunaan nama Monte Carlo, yang dipopulerkan oleh para

pioner bidang tersebut (termasuk Stanislaw Marcin Ulam, Enrico Fermi, John von

Neumann dan Nicholas Metropolis), merupakan nama kasino terkemuka di Monako.

Penggunaan keacakan dan sifat pengulangan proses mirip dengan aktivitas yang

dilakukan pada sebuah kasino. Dalam autobiografinya Adventures of a

Mathematician, Stanislaw Marcin Ulam menyatakan bahwa metode tersebut

dinamakan untuk menghormati pamannya yang seorang penjudi, atas saran

Metropolis.

Penggunaannya yang cukup dikenal adalah oleh Enrico Fermi pada tahun

1930, ketika ia menggunakan metode acak untuk menghitung sifat-sifat neutron yang

waktu itu baru saja ditemukan. Metode Monte Carlo merupakan simulasi inti yang

digunakan dalam Manhattan Project, meski waktu itu masih menggunakan oleh

peralatan komputasi yang sangat sederhana. Sejak digunakannya komputer elektronik

pada tahun 1945, Monte Carlo mulai dipelajari secara mendalam. Pada tahun 1950-an,

metode ini digunakan di Laboratorium Nasional Los Alamos untuk penelitian awal

pengembangan bom hidrogen, dan kemudian sangat populer dalam bidang fisika dan

riset operasi. Rand Corporation Angkatan Udara AS merupakan dua institusi utama

yang bertanggung jawab dalam pendanaan dan penyebaran informasi mengenai Monte

Carlo waktu itu, dan mereka mulai menemukan aplikasinya dalam berbagai bidang.

Penggunaan metode Monte Carlo memerlukan sejumlah besar bilangan acak,

dan hal tersebut semakin mudah dengan perkembangan pembangkit bilangan acak,

yang jauh lebih cepat dan praktis dibandingkan dengan metode sebelumnya yang

menggunakan tabel bilangan acak untuk sampling statistik.

Jika suatu sistem mengandung elemen yang mengandung faktor kemungkinan,

(39)

adalah percobaan elemen kemungkinan dengan menggunakan sampel random (acak).

Metode ini terbagi dalam 5 tahapan:

1 Membuat distribusi kemungkinan untuk variabel penting.

Gagasan dasar dari simulasi monte carlo adalah membuat nilai dari tiap variabel yang

merupakan bagian dari model yang dipelajari. Banyak variabel di dunia nyata yang

secara alami mempunyai berbagai kemungkinan yang mungkin ingin kita simulasikan.

Salah satu cara umum untuk membuat distribusi kemungkinan untuk suatu variabel

adalah memperhitungkan hasil di masa lalu. Kemungkinan atau frekuensi relative

untuk tiap kemungkinan hasil dari tiap variabel ditentukan dengan membagi frekuensi

observasi dengan jumlah total observasi

Contoh: Waktu proses dari suatu stasiun kerja tertentu.

2 Membangun distribusi kemungkinan kumulatif untuk tiap‐tiap variabel di tahap

pertama.

Konversi dari distribusi kemungkinan biasa, kumulatif dilakukan dengan

menjumlahkan tiap angka kemungkinan dengan jumlah sebelumnya. Probabilitas

kumulatif ini berguna untuk membantu menempatkan nilai random.

3 Menentukan interval angka random untuk tiap variabel

Setelah kita menentukan probabilitas kumulatif untuk tiap variabel yang termasuk

dalam simulasi, kita harus menentukan batas angka yang mewakili tiap kemungkinan

hasil. hal tersebut ditujukan pada interval angka random. Penentuan interval didasari

oleh kemungkinan kumulatif

4 Membuat angka random

Untuk membuat angka random kita bisa menggunakan software Microsoft Excel

dengan menggunakan perintah =rand(), lanjutkan sampai batas yang diinginkan.

5 Membuat simulasi dari rangkaian percobaan

(40)

Bab 3

PEMBAHASAN

3.1 Data Tingkat Kedatangan

Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data jumlah nasabah yang datang

untuk bertransaksi pada bank XXX ini. Karena bank ini hanya mempunyai data

jumlah transaksi selama 1 tahun maka diasumsikan satu transaksi mewakili satu

nasabah. Transaksi yang dilakukan antara lain penyeteron, penarikan, pengiriman

uang, dan lain-lain. Secara lengkap data tingkat kedatangan disajikan dalam lampiran

1. Jumlah nasabah selama 1 tahun adalah 140556, 1 tahun ada 250 hari, 250 hari ada 8

jam kerja, 1 jam kerja ada 60 menit. Sehingga jumlah nasabah per menit nya dapat

diperoleh

Hasil perhitungan menunjukkan bahwa rata-rata

tingkat kedatangan adalah 1,171 nasabah per menit nya.

3.2 Data Tingkat Pelayanan

Jumlah teller yang ada pada bank XXX ini ada tujuh teller yang masing-masing teller

terdiri dari satu orang petugas. Teller tersebut umumnya bekerja 5 hari satu minggu,

tetapi dapat juga kurang atau lebih dari 5 hari karena terdapat hari libur atau 1 bulan

lebih dari 4 minggu. Dalam hal ini diasumsikan juga satu transaksi mewakili satu

nasabah, data tingkat pelayanan nasabah pada masing-masing teller secara lengkap

(41)

Dari perhitungan diperoleh rata-rata tingkat pelayanan nasabah adalah 0,173

nasabah per menitnya. Dalam hal ini diasumsikan juga satu transaksi mewakili satu

nasabah, data tingkat pelayanan nasabah pada masing-masing teller secara lengkap

disajikan pada lampiran 2. Dari data diketahui bahwa 7 teller bekerja selama 1627

hari, 1 hari ada 8 jam kerja, 1 jam kerja ada 60 menit, sehingga diperoleh rata-rata

tingkat kedatangan per menitnya adalah

Dari perhitungan diperoleh

rata-rata tingkat pelayanan nasabah adalah 0,173 nasabah per menitnya.

3.3 Pembahasan

3.3.1 Harga-Harga Teoritis.

Berdasarkan rumus-rumus antrian yang sesuai dengan kondisi tempat pengambilan

data, yaitu sistem ganda maka harga karakteristik yang diperlukan adalah sebagai

berikut :

= Tingkat kesibukan sistem

= Peluang semua teller menganggur atau tidak ada nasabah dalam sistem

= Peluang nasabah yang datang harus menunggu

= Ekspektasi panjang sistem

L = Ekspektasi panjang antrian

= Ekspektasi waktu menunggu dalam sistem

W = Ekspektasi waktu menunggu dalam antrian

3.3.2 Perhitungan Harga-Harga Karakteristik

Perhitungan karakteristik dengan menggunakan rumus antrian model ganda :

Berdasarkan data yang ada maka diketahui bahwa :

1. Rata-rata tingkat kedatangan

2. Rata-rata tingkat pelayanan

(42)

4.

5. Peluang tidak ada nasabah dalam sistem atau teller mengangur

=

6. Peluang nasabah yang datang harus mengangur

7. Jumlah rata-rata nasabah dalam antrian

(43)

8. Jumlah rata-rata nasabah dalam sistem )

9. Waktu rata-rata nasabah dalam antrian

10.Waktu rata-rata nasabah dalam sistem

3.3.3 Pengolahan Data

Dalam pengolahan data ini baik pada data tingkat kedatangan maupun data tingkat

pelayanan dikelompokkan dahulu berdasarkan interval kelas dan frekuensinya seperi

berikut :

1. Pengelompokan data tingkat kedatangan dengan distribusi frekuensi

Tabel 1 yang terdapat dalam lampiran 1 menginformasikan jumlah nasabah bank

(44)

dan kemudian dihitung jumlah data yang masuk dalam setiap kelas atau disebut

distribusi frekuensi seperti pada tabel 3.1 dibawah ini :

Tabel 3.1 Distribusi frekuensi dari antar kedatangan nasabah

No Interval Kelas Frekuensi

1 357-414 10

2. Pengelompokan data tingkat pelayanan dengan distribusi frekuensi

Tabel yang terdapat dalam lampiran 2 menginformasikan jumlah nasabah bank XXX

dalam waktu 1 tahun yang dilayani oleh masing-masing teller.

Tabel 3.2 Distribusi frekuensi dari tingkat pelayanan pada teller 1

No Interval Kelas Frekuensi

(45)

Tabel 3.3 Distribusi frekuensi dari tingkat pelayanan pada teller 2

No Interval Kelas Frekuensi

1 11-24 3

2 25-38 10

3 39-52 39

4 53-66 66

5 67-80 59

6 81-94 37

7 95-108 15

8 109-124 10

9 125-138 5

Jumlah 244

Tabel 3.4 Distribusi frekuensi dari tingkat pelayanan pada teller 3

No Interval Kelas Frekuensi

1 13-33 10

2 34-54 35

3 55-75 57

4 76-96 69

5 97-117 41

6 118-138 5

7 139-159 3

8 160-180 0

9 181-201 1

(46)

Tabel 3.5 Distribusi frekuensi dari tingkat pelayanan pada teller 4

No Interval Kelas Frekuensi

1 3-23 2

2 24-44 23

3 45-65 60

4 66-86 47

5 87-107 38

6 108-128 32

7 129-149 22

8 150-170 11

9 171-191 4

Jumlah 239

Tabel 3.6 Distribusi frekuensi dari tingkat pelayanan pada teller 5

No Interval Kelas Frekuensi

1 8-29 16

2 30-51 53

3 52-73 36

4 74-95 39

5 96-117 35

6 118-139 41

7 140-161 11

8 162-183 4

9 184-205 3

(47)

Tabel 3.7 Distribusi frekuensi dari tingkat pelayanan pada teller 6

No Interval Kelas Frekuensi

1 13-32 13

2 33-52 52

3 53-72 42

4 73-92 42

5 93-112 39

6 113-132 24

7 133-152 13

8 153-172 4

9 173-192 4

Jumlah 233

Tabel 3.8 Distribusi frekuensi dari tingkat pelayanan pada teller 7

No Interval Kelas Frekuensi

1 10-26 6

2 27-43 25

3 44-60 63

4 61-77 54

5 78-94 30

6 95-111 21

7 112-128 10

8 129-145 5

9 146-162 2

(48)

3.3.4 Pendugaan Distribusi Data

Untuk mengetahui distribusi data, maka akan dilakukan pendugaan distribusi.

Dilakukan pendugaan bahwa data tingkat kedatangan nasabah adalah berdistribusi

poisson dan data tingkat pelayananan adalah berdistribusi eksponensial.

1. Pengujian Distribusi Tingkat Kedatangan

Untuk melakukan pengecekan akan kebenaran dengan distribusi data maka

dilakukan uji distribusi. Karena data tingkat kedatangan diduga berdistribusi

poisson maka proses perhitungan yang dilakukan adalah sesuai aturan pada

distribusi poisson. Jika ditentukan nilai maka perhitungan diulang dan

nilai yang lebih kecil tersebut akan ditambahkan dengan nilai yang lebih

besar terdekatnya.

Tabel 3.9 Perhitungan data tingkat kedatangan nasabah

(49)

2. Uji Distribusi Kedatangan

Dari tabel 3.9 dapat dihitung rata-rata adalah sebagai berikut :

Akan dilakukan goodness of fit test terhadap data tersebut yang ditunjukkan

sebagai berikut :

: hasil pengamatan mengikuti distribusi probabilitas Poisson

: hasil pengamatan tidak mengikuti distribusi probabilitas Poisson

Dari tabel 3.9 diperoleh nilai = 7.08 dan berdasarkan tabel Chi-Square

dengan derajat kebebasan adalah (α,m-1) dengan m adalah banyak kelas yang memenuhi dengan α = 0.05 diperoleh nilai . Jadi dari

hasil perhitungan di atas dapat disimpulkan bahwa = 7.08

sehingga diterima. Dengan penerimaan proses kedatangan dengan rata-rata 1.171 nasabah per menit adalah berdistribusi Poisson.

3. Pengujian Data Tingkat Pelayanan Nasabah

Untuk melakukan pengecekan akan kebenaran dugaan distribusi data maka

dilakukan uji distribusi. Karena data tingkat pelayanan diduga berdistribusi

eksponensial, maka proses perhitungan akan dilakukan sesuai aturan distribusi

eksponensial. Proses perhitungan tersebut dapat dilihat pada tabel-tabel

(50)

Tabel 3.10 Perhitungan data tingkat pelayanan pada teller 1

No Interval F(x) S(x)

1 26-51 37 38.5 1424.5 37 0.292 0.154 0.138

2 52-77 42 64.5 2709 79 0.439 0.329 0.11

3 78-103 33 90.5 2986.5 112 0.555 0.465 0.09

4 104-129 31 116.5 3611.5 143 0.648 0.594 0.054

5 130-155 50 142.5 7125 193 0.72 0.801 0.081

6 156-181 23 168.5 3875.5 216 0.779 0.896 0.097

7 182-207 13 194.5 2528.5 229 0.825 0.95 0.125

8 208-233 10 220.5 2205 239 0.861 0.992 0.131

9 234-295 2 246.5 493 241 0.889 1 0.111

241 26958.5

Tabel 3.11 Perhitungan data tingkat pelayanan pada teller 2

No Interval F(x) S(x)

1 11-24 3 17.5 52.5 3 0.222 0.012 0.21

2 25-38 10 31.5 315 13 0.364 0.053 0.311

3 39-52 39 45.5 1774.5 52 0.479 0.213 0.266

4 53-66 66 59.5 3927 118 0.574 0.484 0.09

5 67-80 59 73.5 4336.5 177 0.652 0.725 0.073

6 81-94 37 87.5 3237.5 214 0.715 0.877 0.162

7 95-108 15 101.5 1522.5 229 0.767 0.939 0.172

8 109-124 10 115.5 1155 239 0.809 0.979 0.17

9 125-138 5 129.5 647.5 244 0.844 1 0.156

(51)

Tabel 3.12 Perhitungan data tingkat pelayanan pada teller 3

No Interval F(x) S(x)

1 13-33 10 23 230 10 0.257 0.045 0.212

2 34-54 35 44 1540 45 0.433 0.204 0.229

3 55-75 57 65 3705 102 0.568 0.462 0.106

4 76-96 69 86 5934 171 0.67 0.774 0.104

5 97-117 41 107 4387 212 0.749 0.959 0.21

6 118-138 5 128 640 217 0.808 0.982 0.174

7 139-159 3 149 447 220 0.854 0.996 0.142

8 160-180 0 170 0 220 0.888 0.996 0.108

9 181-201 1 191 191 221 0.915 1 0.085

17074

Tabel 3.13 Perhitungan data tingkat pelayanan pada teller 4

No Interval F(x) S(x)

1 3-23 2 13 26 2 0.139 0.008 0.131

2 24-44 23 34 782 25 0.325 0.105 0.22

3 45-65 60 55 3300 85 0.469 0.356 0.113

4 66-86 47 76 3572 132 0.584 0.552 0.032

5 87-107 38 97 3686 170 0.673 0.711 0.038

6 108-128 32 118 3776 202 0.744 0.845 0.101

7 129-149 22 139 3058 224 0.799 0.937 0.138

8 150-170 11 160 1760 235 0.842 0.983 0.141

9 171-191 4 181 724 239 0.876 1 0.124

(52)

Tabel 3.14 Perhitungan data tingkat pelayanan pada teller 5

No Interval F(x) S(x)

1 8-29 16 18.5 296 16 0.199 0.067 0.132

2 30-51 53 40.5 2146.5 69 0.385 0.289 0.096

3 52-73 36 62.5 2250 105 0.526 0.441 0.085

4 74-95 39 84.5 3295.5 144 0.637 0.605 0.032

5 96-117 35 106.5 3727.5 179 0.721 0.752 0.031

6 118-139 41 128.5 5268.5 220 0.786 0.924 0.138

7 140-161 11 150.5 1655.5 131 0.836 0.971 0.135

8 162-183 4 172.5 690 235 0.874 0.987 0.113

9 184-205 3 194.5 583.5 238 0.903 1 0.097

238 19913

Tabel 3.15 Perhitungan data tingkat pelayanan pada teller 6

No Interval F(x) S(x)

1 13-32 13 22.5 292.5 13 0.245 0.056 0.189

2 33-52 52 42.5 2210 65 0.411 0.279 0.132

3 53-72 42 62.5 2625 107 0.541 0.459 0.082

4 73-92 42 82.5 3464 149 0.643 0.639 0.004

5 93-112 39 102.5 3997.5 188 0.721 0.807 0.086

6 113-132 24 122.5 2940 212 0.783 0.909 0.126

7 133-152 13 142.5 1852.5 225 0.831 0.966 0.135

8 153-172 4 162.5 650 229 0.868 0.983 0.115

9 173-192 4 182.5 730 233 0.897 1 0.103

(53)

Tabel 3.16 Perhitungan data tingkat pelayanan pada teller 7

No Interval F(x) S(x)

1 10-26 6 18 108 6 0.227 0.028 0.199

2 27-43 25 35 875 31 0.394 0.144 0.25

3 44-60 63 52 3276 94 0.525 0.435 0.009

4 61-77 54 69 3726 148 0.628 0.685 0.57

5 78-94 30 86 2580 178 0.708 0.824 0.116

6 95-111 21 103 2163 199 0.771 0.921 0.15

7 112-128 10 120 1200 209 0.821 0.968 0.147

8 129-145 5 137 685 214 0.859 0.99 0.131

9 146-162 2 154 308 216 0.889 1 0.11

216 14921

4. Uji Distribusi Pelayanan

Dari tabel-tabel diatas dapat dihitung rata-rata pelayanan pelayanan adalah

sebagai berikut :

1. Rata-rata pelayanan pada teller 1

Dengan = 0.138

2. Rata-rata pelayanan pada teller 2

(54)

3. Rata-rata pelayanan pada teller 3

Dengan = 0.229

4. Rata-rata pelayanan pada teller 4

Dengan = 0.22

5. Rata-rata pelayanan pada teller 5

Dengan = 0.138

6. Rata-rata pelayanan pada teller 6

Dengan = 0.189

7. Rata-rata pelayanan pada teller 7

(55)

Dengan = 0.25

Selanjutnya nilai yang telah dihitung akan dibandingkan nilai pada

tabel Kolmogrov Smirnov dengan :

= data yang diuji mengikuti distribusi Eksponensial

= data yang diuji tidak mengikuti distribusi Eksponensial

Dari tabel Kolmogrov Smirnov dengan

Karena nilai sehingga diterima. Hal ini

menunjukkan bahwa tingkat pelayanan nasabah pada bank XXX ini berdistribusi

Eksponensial.

3.3.5 Simulasi

Simulasi yang akan dilakukan adalah simulasi berdasarkan pengerjaan data dari

Microsoft Excell 2007, dengan menggunakan hasil data selama 1 tahun yang diambil

dari bank XXX. Simulasi yang dilakukan adalah simulasi dengan 7 teller seperti

dalam kehidupan nyata, simulasi dengan 6 teller yaitu jika 1 teller dikurangi, dan

simulasi dengan 8 teller yaitu jika 1 teller ditambahi. Simulasi ini akan

membandingkan keadaan sistem yang ada dengan sistem yang dibuat sendiri. Pada

simulasi ini akan digunakan teknik Monte Carlo dengan memilih angka random dari

(56)

Tabel 3.17 Simulasi tingkat kedatangan nasabah

Tabel 3.18 Simulasi tingkat pelayanan pada teller 1

(57)

Tabel 3.19 Simulasi tingkat pelayanan pada teller 2

Tabel 3.20 Simulasi tingkat pelayanan pada teller 3

(58)

Tabel 3.21 Simulasi tingkat pelayanan pada teller 4

Tabel 3.22 Simulasi tingkat pelayanan pada teller 5

(59)

Tabel 3.23 Simulasi tingkat pelayanan pada teller 6

Tabel 3.24 Simulasi tingkat pelayanan pada teller 7

Nilai Frekuensi Frekuensi

Setelah mendapatkan range bilangan random dengan menggunakan teknik

Monte Carlo, maka akan disusun simulasi dengan 7 teller, 6 teller, maupun 8 teller

(60)

1. Hasil simulasi 7 teller

Tabel 3.25 Simulasi tingkat kedatangan :

385.5 3 1156.5

443.5 43 19070.5

501.5 45 22567.5

559.5 65 36367.5

617.5 43 26552.5

675.5 35 23642.5

733.5 7 5134.5

791.5 2 1583

849.5 7 5946.5

Jumlah 250 142021

Tabel 3.26 Simulasi tingkat pelayanan pada teller 1

38.5 31 1193.5

64.5 55 3547.5

90.5 29 2624.5

116.5 30 3495

142.5 51 7267.5

168.5 24 4044

194.5 9 1750.5

220.5 9 1984.5

246.5 3 739.5

(61)

Tabel 3.27 Simulasi tingkat pelayanan pada teller 2

17.5 2 35

31.5 9 283.5

45.5 30 1365

59.5 57 3391.5

73.5 72 5292

87.5 41 3587.5

101.5 14 1421

115.5 12 1386

129.5 7 906.5

Jumlah 244 17668

Tabel 3.28 Simulasi tingkat pelayanan pada teller 3

23 8 184

44 30 1320

65 64 4160

86 69 5934

107 39 4173

128 6 768

149 3 447

170 0 0

191 2 382

(62)

Tabel 3.29 Simulasi tingkat pelayanan pada teller 4

13 3 39

34 23 782

55 67 3685

76 40 3040

97 41 3977

118 19 2242

139 27 3753

160 13 2080

181 6 1086

Jumlah 239 20684

Tabel 3.30 Simulasi tingkat pelayanan pada teller 5

18.5 2 37

40.5 54 2187

62.5 39 2437.5

84.5 44 3718

106.5 37 3940.5

128.5 43 5525.5

150.5 13 1956.5

172.5 3 517.5

194.5 3 583.5

(63)

Tabel 3.31 Simulasi tingkat pelayanan pada teller 6

22.5 12 270

42.5 42 1785

62.5 55 3437.5

82.5 47 3877.5

102.5 29 2972.5

122.5 30 3675

142.5 14 1995

162.5 3 487.5

182.5 1 182.5

Jumlah 233 18682.5

Tabel 3.32 Simulasi tingkat pelayanan pada teller 7

18 6 108

35 26 910

52 53 2756

69 60 4140

86 42 3612

103 13 1339

120 11 1320

137 2 274

154 3 462

Jumlah 216 14921

Dari hasil simulasi yang dilakukan dengan jumlah 7 teller maka diperoleh

(64)

1. Rata-rata tingkat kedatangan

2. Rata-rata tingkat pelayanan

3. Jumlah teller (k) = 7

4.

5. Peluang tidak ada nasabah dalam sistem atau teller mengangur

=

6. Peluang nasabah yang datang harus menunggu

(65)

8. Jumlah rata-rata nasabah dalam sistem )

9. Waktu rata-rata nasabah dalam antrian

10.Waktu rata-rata nasabah dalam sistem

(66)

2. Hasil simulasi 6 teller

Tabel 3.33 Simulasi tingkat kedatangan :

385.5 9 3469.5

443.5 39 17296.5

501.5 54 27081

559.5 67 37486.5

617.5 29 17907.5

675.5 33 22291.5

733.5 9 6601.5

791.5 5 3957.5

849.5 5 4247.5

Jumlah 250 140339

Tabel 3.34 Simulasi tingkat pelayanan pada teller 1

38.5 32 1232

64.5 40 2580

90.5 31 2805.5

116.5 33 3844.5

142.5 42 5985

168.5 26 4381

194.5 17 3306.5

220.5 16 3528

246.5 4 986

Gambar

Tabel 1 yang terdapat dalam lampiran 1 menginformasikan jumlah nasabah bank
Tabel 3.1 Distribusi frekuensi dari antar kedatangan nasabah
Tabel 3.3 Distribusi frekuensi dari tingkat pelayanan pada teller 2
Tabel 3.5 Distribusi frekuensi dari tingkat pelayanan pada teller 4
+7

Referensi

Dokumen terkait

Pada dasarnya simulasi Monte Carlo dilakukan dengan cara membangkitkan bilangan random berdasarkan karakteristik dari data yang akan dibangkitkan yang kemudian dapat

Dalam Tugas Akhir ini, penulis merancang dan membuat suatu aplikasi peramalan penjualan dengan menggunakan Monte Carlo agar dapat melakukan peramalan dibulan

Pada proses simulasi hanya akan menampilkan di bulan Agustus 2016 untuk proses kebutuhan validasi hasil simulasi dari sistem yang telah dirancangan dengan metode

Metode penelitian ini dilakukan dengan simulasi komputer dengan cara membuat software yang dapat menggambarkan kondisi yang mendekati sebenarnya dari material ferromagnetik,

Simulasi monte carlo melibatkan penggunaan angka acak untuk memodelkan sistem, dimana waktu tidak memegang peranan yang substantif ( model statis

Rata-Rata waktu mahasiswa dalam Antrian 09:16:00/100 = 05:56 Menit Rata-Rata waktu mahasiswa dalam Fasilitas 07:41:00/100 = 04:61 Menit Rata-Rata waktu mahasiswa dalam Sistem

Penelitian ini bertujuan untuk menganalisis risiko nilai tukar dengan berbagai skenario struktur modal menggunakan model simulasi Monte Carlo yang dapat mengakomodasi

Pada dasarnya simulasi Monte Carlo dilakukan dengan cara membangkitkan bilangan random berdasarkan karakteristik dari data yang akan dibangkitkan yang kemudian dapat