SIMULASI ANTRIAN DENGAN MENGGUNAKAN METODE
MONTE CARLO
SKRIPSI
MAGDALENA
070803057
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
SIMULASI ANTRIAN DENGAN METODE MONTE CARLO
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains
MAGDALENA 070803057
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
PERSETUJUAN
Judul : SIMULASI ANTRIAN DENGAN
MENGGUNAKAN METODE MONTE CARLO
Kategori : SKRIPSI
Nama : MAGDALENA
Nomor Induk Mahasiswa : 070803057
Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA
Departemen : MATEMATIKA
Fakultas :MATEMATIKA DAN ILMU
PENGETAHUAN ALAM (FMIPA)
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Diluluskan di
Medan, 2011
Komisi Pembimbing :
Pembimbing II Pembimbing I
Dra. Ester Sorta M. Nababan, M.Sc Prof.Dr.Drs. Herman Mawengkang NIP. 19610318 198711 2 001 NIP. 19461128 197403 1 001
Diketahui/ Disetujui oleh
Departemen Matematika FMIPA USU Ketua
Prof. Dr. Tulus, M.Si
PERNYATAAN
SIMULASI ANTRIAN DENGAN MENGGUNAKAN METODE MONTE CARLO
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil karya saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing – masing disebutkan sumbernya.
Medan, 2011
PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Tuhan yang Maha Esa, atas berkat dan rahmatNya yang telah diberikan sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan
judul ”SIMULASI ANTRIAN DENGAN MENGGUNAKAN METODE MONTE
CARLO ” untuk melengkapi syarat memperoleh gelar sarjana Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam di Universitas Sumatera Utara.
Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Prof. Dr. Drs. Herman Mawengkang selaku Pembimbing I dan Ibu Dra. Ester Sorta M. Nababan, M.Sc selaku Pembimbing II atas segala bimbingan, arahan, nasehat, saran, dan kesediaan meluangkan waktu, tenaga, pikiran, dan bantuan pengetahuan. Penulis juga menyadari keterlibatan berbagai pihak yang membantu dalam penyelyesaian skripsi ini. Oleh karena itu penulis mengucapkan terima kasih kepada :
1. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si selaku dan Ibu Dra. Mardiningsih, M.Si selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU yang membantu kelancaran studi penulis.
2. Bapak Drs. Liling Perangin-angin, M.Si selaku pembimbing akademik penulis. 3. Bapak Drs. Marwan Harahap, M.Eng dan Drs. Sawaluddin, M.IT selaku komisi penguji atas saran dan masukan yang telah diberikan demi perbaikan skripsi ini.
4. Seluruh Staf Pengajar dan Pegawai Departemen Matematika FMIPA USU atas segala ilmu dan bantuan yang diberikan kepada penulis selama mengikuti perkuliahan.
5. Pihak-pihak yang membantu dalam pengambilan data untuk menyelesaikan skripsi ini.
6. Ayahanda ML Tobing dan Ibunda L br Hutagalung tercinta yang telah memberikan nasehat, bimbingan, dukungan moril maupun materi kepada penulis.
7. Adik-adik (Dippos Anugerah Tobing, David Donni Tobing, Margarettha Tobing) atas segala doa dan dukungan yang telah diberikan kepada penulis. 8. Chandra Silaen, Didce C.L.T, Shandra Y.H, Veronika Tumanggor, Romanto
Sinurat, Kak Rini Hutagalung, Ka Nova, Frime Yanti dan teman-teman di Ayuke Dirta Kost atas semangat dan bantuan yang telah diberkan kepada penulis.
9. Melva Sihotang, Riris Sianturi, Siska F Malau, Jojor Parhusip (Mawar) atas dukungan dan perhatian yang diberikan kepada penulis.
Penulis menyadari masih banyak kekurangan dan kelemahan dalam penulisan skripsi ini. Untuk itu penulis minta maaf kepada seluruh pembaca bila ada kesalahan serta penulis mengharapkan saran dan kritikan demi kesempurnaan skripsi ini. Akhir kata, semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi kita semua.
Medan, 2011 Penulis,
ABSTRAK
QUEUE SIMULATION BY USING MONTE CARLO METHOD
ABSTRACT
DAFTAR ISI
2.6 Terminologi dan Notasi Antrian 15
2.7 Pola Kedatangan dan Waktu Pelayanan 17
2.7.1 Pola Kedatangan 17
2.7.2 Uji Kesesuaian Poisson 17
2.7.3 Pola Pelayanan 18
2.7.4 Uji Kesesuaian Eksponensial 19
2.8 Formula yang digunakan 19
2.9 Simulasi 20
2.10 Model-Model Simulasi 22
Bab 3 Pembahasan
3.1 Data Tingkat Kedatangan 26
3.2 Data Tingkat Pelayanan 26
3.3 Pembahasan 27
3.3.1 Harga-Harga Teoritis 27
3.3.2 Perhitungan Harga-Harga Karakteristik 27
3.3.3 Pengolahan Data 30
3.3.4 Pendugaan Distribusi Data 34
3.3.5 Simulasi 42
Bab 4 Kesimpulan dan Saran
4.1 Kesimpulan 64
4.2 Saran 65
Daftar Pustaka 66
Lampiran
1. Lampiran 1 2. Lampiran 2 3. Lampiran 3 4. Lampiran 4 5. Lampiran 5 6. Lampiran 6
DAFTAR TABEL
Tabel Halaman
Tabel 3.1 Distribusi Frekuensi Kedatangan Nasabah 30 Tabel 3.2 Distribusi Frekuensi Tingkat Pelayanan Teller 1 31 Tabel 3.3 Distribusi Frekuensi Tingkat Pelayanan Teller 2 31 Tabel 3.4 Distribusi Frekuensi Tingkat Pelayanan Teller 3 32 Tabel 3.5 Distribusi Frekuensi Tingkat Pelayanan Teller 4 32 Tabel 3.6 Distribusi Frekuensi Tingkat Pelayanan Teller 5 33 Tabel 3.7 Distribusi Frekuensi Tingkat Pelayanan Teller 6 33
Tabel 3.8 Distribusi Frekuensi Tingkat Pelayanan Teller 7 34 Tabel 3.9 Perhitungan Data Tingkat Kedatangan Nasabah 35 Tabel 3.10 Perhitungan Data Tingkat Pelayanan pada Teller 1 37 Tabel 3.11 Perhitungan Data Tingkat Pelayanan pada Teller 2 37 Tabel 3.12 Perhitungan Data Tingkat Pelayanan pada Teller 3 38 Tabel 3.13 Perhitungan Data Tingkat Pelayanan pada Teller 4 38 Tabel 3.14 Perhitungan Data Tingkat Pelayanan pada Teller 5 39 Tabel 3.15 Perhitungan Data Tingkat Pelayanan pada Teller 6 39 Tabel 3.16 Perhitungan Data Tingkat Pelayanan pada Teller 7 40
Tabel 3.17 Simulasi Kedatangan Nasabah 43
Tabel 3.18 Simulasi Tingkat Pelayanan pada Teller 1 43 Tabel 3.19 Simulasi Tingkat Pelayanan pada Teller 2 44 Tabel 3.20 Simulasi Tingkat Pelayanan pada Teller 3 44 Tabel 3.21 Simulasi Tingkat Pelayanan pada Teller 4 45 Tabel 3.22 Simulasi Tingkat Pelayanan pada Teller 5 45 Tabel 3.23 Simulasi Tingkat Pelayanan pada Teller 6 46 Tabel 3.24 Simulasi Tingkat Pelayanan pada Teller 7 46
Tabel 3.25 Simulasi Kedatangan Nasabah 47
Tabel 3.33 Simulasi Kedatangan Nasabah 54 Tabel 3.34 Simulasi Tingkat Pelayanan pada Teller 1 54 Tabel 3.35 Simulasi Tingkat Pelayanan pada Teller 2 55 Tabel 3.36 Simulasi Tingkat Pelayanan pada Teller 3 55 Tabel 3.37 Simulasi Tingkat Pelayanan pada Teller 4 56 Tabel 3.38 Simulasi Tingkat Pelayanan pada Teller 5 56 Tabel 3.39 Simulasi Tingkat Pelayanan pada Teller 6 57
DAFTAR GAMBAR
Gambar Halaman
Gambar 2.4.1 Single Channel-Single Phase 12
Gambar 2.4.2 Single Channel-Multi Phase 13
Gambar 2.4.3 Multi Channel-Single Phase 13
Gambar 2.4.4 Multi Channel-Multi Phase 13
ABSTRAK
QUEUE SIMULATION BY USING MONTE CARLO METHOD
ABSTRACT
Bab 1
PENDAHULUAN
1.1Latar Belakang
Dalam kehidupan sehari-hari banyak orang menunggu untuk mendapatkan sesuatu
baik itu pelayanan maupun barang. Hal ini disebut juga antrian. Misalnya,
menunggu untuk mendapatkan pelayanan dari dokter, menunggu untuk
mendapatkan tiket kereta api, menunggu untuk pengisian bahan bakar, menunggu
untuk mendapatkan pelayanan dari bank, dan lain-lain. Antrian tidak hanya
dialami oleh manusia, tetapi antrian juga bisa terjadi pada barang seperti
menunggu untuk dikemas, atau menunggu untuk berbagai tahapan produksi
lainnya. Antrian yang terlalu panjang dapat membuat konsumen bosan untuk
mengantri, terkadang dapat pula membuat konsumen keluar dari antrian dan tidak
menunggu lagi. Namun sebaliknya jika tidak ada antrian maka dapat
menyebabkan server menganggur, karena tidak ada konsumen yang akan dilayani.
Teori antrian pertama kali dikemukakan oleh A.K. Erlang, seorang ahli
matematika bangsa Demark pada tahun 1913 dalam bukunya “Solution of Some Problem in The Theory of Probability of Significancein Automatic Telephone
Exchange”. Penggunaan istilah Sistem Antrian (Queueing System) dijumpai
pertama kali pada tahun 1951 di dalam journal Royal Statistical Society,
sedangkan masalah antrian itu sendiri sebenarnya sudah dijumpai sejak dulu.
Faktor-faktor yang berpengaruh terhadap barisan antrian dan pelayanan antara
lain adalah distribusi kedatangan, distribusi pelayanan, fasilitas pelayanan, disiplin
pelayanan, ukuran dalam antrian, dan jumlah server. Dalam tingkat kedatangan
dan pelayanan terdapat faktor ketidakpastian. Adanya faktor ketidakpastiaan yang
Simulasi dapat digunakan sebagai cara untuk menyelesaikan persoalan
dengan variabel random. Simulasi adalah duplikasi atau abstraksi dari kehidupan
nyata ke dalam model matematika. Banyak metode yang digunakan dalam
simulasi. Metode Monte Carlo adalah teknik pemilihan angka random dari
distribusi probabilitas untuk mensimulasikan berbagai perilaku sistem fisika dan
matematika. Siagian (1987) menyatakan bahwa simulasi Monte Carlo merupakan
suatu pendekatan untuk membentuk kembali distribusi peluang yang didasarkan
pada pilihan atau pengadaan bilangan acak (random). Pada tahun 1950-an, metode
ini digunakan di Laboratorium Nasional Los Alamos untuk penelitian awal
pengembangan bom hidrogen, dan kemudian sangat populer dalam bidang fisika
dan riset operasi. Penggunaan metode Monte Carlo memerlukan sejumlah besar
bilangan acak, dan hal tersebut semakin mudah dengan perkembangan pembangkit
bilangan acak, yang jauh lebih cepat dan praktis dibandingkan dengan metode
sebelumnya yang menggunakan tabel bilangan acak untuk sampling statistik.
Metode Monte Carlo digunakan dalam proses antrian, dapat juga digunakan dalam
persediaan dan proses produksi.
Dalam kesempatan ini aplikasi masalah antrian secara khusus akan dibahas
pada “Bank XXX”. Karena ada permasalahan antrian pada Bank XXX ini maka
diadakan penelitian secara sistematis untuk menganalisis masalah antrian tersebut
sehingga tidak terjadi antrian yang terlalu panjang dan pihak yang melayani
ataupun pasien yang dilayanani mendapatkan hasil yang terbaik.
Dari persoalan di atas, faktor ketidakpastian yang ada dalam masalah
simulasi tidaklah mudah untuk menyelesaikan modelnya. Simulasi sangat cocok
untuk mengamati sistem yang tidak pasti. Banyak metode yang digunakan dalam
simulasi salah satunya adalah simulasi Monte Carlo. Teknik Monte Carlo
menggunakan pemilihan angka secara random dari distribusi probabilitas untuk
menjalankan simulasi. Dalam simulasi antrian, pendekatan Monte Carlo ini
digunakan untuk menghasilkan variabel input seperti waktu antar kedatangan,
waktu pelayanan, dan variable input lainnya sesuai dengan distribusi yang
adanya komponen yang berupa variable random. Metode Monte Carlo ini bersifat
statis artinya teknik ini tidak memperhatikan perubahan-perubahan nilai dari
variabel-variabel yang ada jika terjadi di waktu yang berbeda. Hal ini yang
melatarbelakangi penulis mengangkat permasalahan ini sebagai judul skripsi, yaitu
“SIMULASI ANTRIAN DENGAN MENGGUNAKAN METODE MONTE CARLO”.
1.2Perumusan Masalah
Permasalahan yang akan dibahas adalah cara mensimulasikan model antrian
dengan metode Monte Carlo sehingga diperoleh beberapa gambaran antrian yang
dengan alternatif yang berbeda-beda.
1.3Pembatasan Masalah
Pembatasan masalah dari permasalahan ini adalah :
1.1.Permasalahan ini hanya mencakup kedatangan, pelayanan, dan disiplin antrian.
1.2.Permasalahan ini menyangkut proses antrian nasabah yang datang ke bank
untuk melakukan transaksi yang berbeda-beda.
1.3.Model yang digunakan adalah model antrian ganda.
1.4Tinjauan Pustaka
Thomas J. Kakiay (2004) dalam bukunya yang berjudul “Dasar Teori Antrian untuk Kehidupan Nyata” menjelaskan bahwa situasi menunggu merupakan bagian dari keadaan yang terjadi dalam rangkaian kegiatan operasional yang bersifat
random dalam suatu fasilitas pelayanan. Tujuan sebenarnya dari teori antrian
adalah meneliti kegiatan dari fasilitas pelayanan dalam rangkaian kondisi random
Richard Bronson (1982) dalam bukunya yang berjudul “Teori dan Soal
-soal Operation Researh” menyatakan bahwa suatu proses antrian (queueing
process) adalah suatu proses yang berhubungan dengan kedatangan seseorang
pelanggan pada suatu fasilitas pelayanan, kemudian menunggu dalam suatu baris
(antrian) jika semua pelayannya sibuk, dan akhirnya meninggalkan fasilitas
tersebut. Sebuah sistem antrian adalah suatu himpunan pelanggan, pelayan dan
suatu aturan yang mengatur kedatangan pada pelanggan dan pemrosesan
masalahnya.
Pangestu Subagyo (1983) dalam bukunya “Dasar-Dasar Operations
Research” menyatakan bahwa Didalam metode simulasi dicoba untuk menemukan model yang cocok untuk persoalan yang dihadapi. Perumusan persoalan dan
pembuatan model ini dilakukan berdasarkan keadaan masalah yang dihadapi.
Suad Husnan (1982) dalam bukunya yang berjudul “Teori Antrian”
menyatakan bahwa Salah satu cara yang tepat untuk mengatasi masalah antrian ini
adalah dengan menggunakan metode simulasi keseluruhan masalah untuk
merancang suatu percobaan yang akan menirukan semirip mungkin keadaan yang
sebenarnya dan kemudian mengamati apa yang akan terjadi. Metode simulasi ini
merupakan salah satu metode yang efektif untuk memecahkan masalah antrian
jenis ini.
Simulasi didefinisikan sebagai salah satu cara untuk menghasilkan kondisi
dari situasi dengan model untuk studi, menguji, atau training, dan lain-lain
(Oxford Amercan Dictionary,1980).
Khosnevis (1994) mendefinisikan simulasi sebagai pendekatan
eksperimental. Keterbatasan metode analistis dalam mengatasi sistem dinamis
yang kompleks membuat simulasi sebagai alternatif yang baik.
Arman Hakim (2007) dalam bukunya “Simulasi Bisnis” menyatakan
bahwa Pendekatan Monte Carlo digunakan untuk menghasilkan variable input
lain sesuai dengan disribusi yang diinginkan. Teknik ini menggunakan bilangan
random yang berdistribusi uniform. Langkah-langkah yang digunakan dalam
metode Monte carlo adalah sebagai berikut :
1. Lakukan observasi terhadap parameter yang dimodelkan.
2. Hitung frekuensi tiap-tiap nilai parameter.
3. Hitung distribusi frekuensi kumulatif dan distribusi probabilitas kumulatif.
4. Pasangkan nilai kelas dari tiap parameter dengan bilangan random dengan
range antara 0.000-0.999.
5. Tarik suatu bilangan random dengan menggunakan tabel random maupun
microsotf excel.
6. Dapatkan nilai parameter yang sesuai dengan memasangkan bilangan random
yang dihasilkan.
Sri Mulyono (2002) dalam bukunya yang berjudul “Riset Operasi”
menyatakan bahwa Dalam simulasi, variable random dinyatakan dalam distribusi
probabilitas, sehingga sebagian besar model simulasi adalah model probabilistik.
Arti istilah Monte Carlo sering dianggap sama dengan simulasi probabilistik,
namun Monte Carlo sampling secara lebih tegas berarti teknik memilih angka
secara random dari distribusi probabilitas untuk menjalankan simulasi.
P. Siagian (1987) dalam bukunya “Penelitian Operational” menyatakan bahwa Simulasi Monte Carlo merupakan suatu pendekatan untuk membentuk
kembali distribusi peluang yang didasarkan pada pilihan atau pengadaan bilangan
acak (random). Ada beberapa cara untuk menghasilkan bilangan acak dari Monte
Carlo merupakan cara yang paling baik terutama untuk suatu distribusi diskrit
empiris.
Levin, dkk (2002) menyatakan bahwa pada umumnya terdapat 5 langkah
pokok yang diperlukan dalam menggunakan simulasi, yaitu :
1. Menentukan persoalan atau sistem yang hendak disimulasi.
2. Formulasikan model simulasi yang hendak digunakan.
3. Ujilah model dan bandingkan tingkah lakunya dengan tingkah laku dari sistem
4. Rancang percobaan – percobaan simulasi.
5. Jalankan simulasi dan analisis data
Winda Nur Cahyo (2008) menyatakan bahwa Simulasi Monte Carlo adalah
salah satu metode simulasi sederhana yang dapat dibangun secara cepat dengan
hanya menggunakan spreadsheet (misalnya Microsoft Excel). Pembangunan
model simulasi Monte Carlo didasarkan pada probabilitas yang diperoleh data
historis sebuah kejadian dan frekuensinya, dimana:
dengan:
Pi : Probabilitas kejadian i
fi : Frekuensi kejadian i
n : Jumlah frekuensi semua kejadian.
Tetapi dalam simulasi Monte Carlo, probabilitas juga dapat ditentukan dengan
mengukur probabilitas sebuah kejadian terhadap suatu distribusi tertentu. Bilangan
acak yang digunakan dalam simulasi Monte Carlo ini merupakan sebuah
representasi dari situasi yang tidak pasti dalam sebuah sistem nyata.
1.6Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk memodelkan simulasi antrian pada Bank
XXX dengan metode Monte Carlo dan jika dimungkinkan akan dicari solusi
penyelesaian agar lama waktu antri pasien dengan alternatif yang berbeda-beda
seperti dengan atau tanpa menambah fasilitas maupun komponen penunjang lain
secara signifikan.
1. Hasil penelitian ini diharapkan dapat mengurangi lama waktu mengantri yang
terjadi dalam masalah antrian di kehidupan sehari-hari dengan menggunakan
metode Monte Carlo.
2. Dapat menggunakan metode Monte Carlo dalam masalah lain selain masalah
antrian.
3. Dapat menambah ilmu pengetahuan dan menjadi referensi yang berhubungan
dengan masalah simulasi dan masalah antrian.
1.7.Meteodologi Penelitian
Metodologi yang digunakan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut :
1. Studi literatur dan referensi, yaitu mempelajari buku-buku dan
makalah-makalah dari pustaka yang berhubungan dengan antrian dan simulasi.
2. Pengambilan data antrian serta melakukan pemeriksaan ulang dikala terjadi
kesalahan dalam melakukan pengambilan data antrian pada Bank XXX.
3. Mengolah data berdasarkan kriteria-kriteria olah data pada metode simulasi
Monte Carlo serta menggambarkan beberapa alternatif antrian yang dapat
diterapkan.
4. Menyimpulkan hasil olah data antrian dengan metode simulasi Monte
Carlo serta dapat menentukan alternative antrian yang diterapkan dengan
Bab 2
LANDASAN TEORI
2.1 Teori Antrian
Antrian yang panjang sering kali kita temukan di bank saat nasabah mengantri di teller
untuk melakukan transaksi, di klinik saat pasien mengantri untuk mendapatkan
pelayanan, di airport saat para calon penumpang melakukan check-in, di super market
saat para pembeli antri untuk melakukan pembayaran, di tempat cuci mobil saat mobil
antri untuk dicuci dan masih banyak contoh lainnya. Hal ini dapat menyebabkan
konsumen berhenti untuk mengantri atau bahkan dapat meninggalkan sistem sehingga
dapat mengakibatkan kehilangan konsumen atau kerugian bagi perusahaan.
Teori tentang antrian diketemukan dan dikembangkan oleh A. K. Erlang,
seorang insinyur dari Denmark yang bekerja pada perusahaan telepon di Kopenhagen
pada tahun 1910. Erlang melakukan eksperimen tentang fluktuasi permintaan fasilitas
telepon yang berhubungan dengan automatic dialing equipment, yaitu peralatan
penyambungan telepon secara otomatis. Dalam waktu – waktu yang sibuk operator
sangat kewalahan untuk melayani para penelepon secepatnya, sehingga para
penelepon harus antri menunggu giliran, mungkin cukup lama. Persoalan aslinya
Erlang hanya memperlakukan perhitungan keterlambatan (delay) dari seorang
operator, kemudian pada tahun 1917 penelitian dilanjutkan untuk menghitung
kesibukan beberapa operator. Dalam periode ini Erlang menerbitkan bukunya yang
terkenal berjudul Solution of some problems in the theory of probabilities of
significance in Automatic Telephone Exhange. Baru setelah perang dunia kedua, hasil
penelitian Erlang diperluas penggunaannya antara lain dalam teori antrian (Supranto,
1987). Menurut Siagian (1987), antrian ialah suatu garis tunggu dari nasabah (satuan)
Bronson (1982), proses antrian (queueing process) adalah suatu proses yang
berhubungan dengan kedatangan seseorang pelanggan pada suatu fasilitas pelayanan,
kemudian menunggu dalam suatu baris (antrian) jika semua pelayannya sibuk, dan
akhirnya meninggalkan fasilitas tersebut. Sebuah sistem antrian adalah suatu
himpunan pelanggan, pelayan dan suatu aturan yang mengatur kedatangan pada
pelanggan dan pemroses masalahnya.
2.2 Sistem Antrian
Gross dan Haris (Gross, 2001) mengatakan bahwa sistem antrian adalah kedatangan
pelanggan untuk mendapatkan pelayanan, menunggu untuk dilayani jika fasilitas
pelayanan (server) masih sibuk, mendapatkan pelayanan dankemudian meninggalkan
sistem setelah dilayani. Pada umumnya, sistem antrian dapat diklasifikasikan menjadi
sistem yang berbeda-beda di mana teori antrian dan simulasi sering diterapkan secara
luas. Klasifikasi menurut Hillier dan Lieberman adalah sebagai berikut :
1. Sistem pelayanan komersial.
Sistem pelayanan komersial merupakan aplikasi yang sangat luas dari
model-model antrian, seperti restoran, kafetaria, toko-toko, salon, butik, supermarket,
dan sebagainya.
2. Sistem pelayanan bisnis-industri.
Sistem pelayanan bisnis-industri mencakup sistem produksi, sistem material,
handling, sistem pergudangan, dan sistem-sistem informasi komputer.
3. Sistem pelayanan transportasi.
4. Sistem pelayanan sosial
Sistem pelayanan sosial merupakan sistem-sistem pelayanan yang dikelola
oleh kantor-kantor dan perusahaan-perusahan lokal maupun nasional, seperti
kantor registrasi SIM dan STNK, kantor pos, rumah sakit, puskesmas, dan
lain-lain (Subagyo, 2000).
Dalam sistem antrian terdapat beberapa komponen dasar proses antrian
1. Kedatangan.
Setiap masalah antrian melibatkan kedatangan, misalnya orang, mobil,
panggilan telepon untuk dilayani, dan lain-lain. Unsur ini sering dinamakan
proses input. Proses input meliputi sumber kedatangan atau biasa dinamakan
calling population, dan cara terjadinya kedatangan yang umumnya merupakan
variabel acak. Karakteristik dari populasi yang akan dilayani dapat dilihat
menurut ukurannya, pola kedatangan, serta perilaku dari populasi yang akan
dilayani. Menurut ukurannya, populasi yang dilayani bisa terbatas (finite) dan
tidak terbatas (infinite). pola kedatangan bisa teratur, dapat pula bersifat acak
atau random. Menurut Levin, dkk (2002), variabel acak adalah suatu variabel
yang nilainya bisa berapa saja sebagai hasil dari percobaan acak. Variabel acak
dapat berupa diskrit atau kontinu. Bila variabel acak hanya dimungkinkan
memiliki beberapa nilai saja, maka ia merupakan variabel acak diskrit.
Sebaliknya bila nilainya dimungkinkan bervariasi pada rentang tertentu, ia
dikenal sebagai variabel acak kontinu.
2. Pelayanan
Pelayanan atau mekanisme pelayanan dapat terdiri dari satu atau lebih pelayan,
atau satu atau lebih fasilitas pelayanan. Tiap-tiap fasilitas pelayanan
kadang-kadang disebut sebagai saluran (channel) (Schroeder,1997). Contohnya, jalan
tol dapat memiliki beberapa pintu tol. Mekanisme pelayanan dapat hanya
terdiri dari satu pelayan dalam satu fasilitas pelayanan yang ditemui pada loket
seperti pada penjualan tiket di gedung bioskop. Dalam mekanisme pelayanan
ini ada 3 aspek yang harus diperhatikan yaitu :
1. Tersedianya pelayanan
Mekanisme pelayanan tidak selalu tersedia untuk setiap saat. Misalnya
dalam pertunjukan bioskop, loket penjualan karcis hanya dibuka pada
waktu tertentu antara satu pertunjukan dengan pertunjukan berikutnya,
sehingga saat loket ditutup mekanisme pelayanan terrhenti dan petugas
2. Kapasitas pelayanan
Kapasitas dari mekanisme pelayanan diukur berdasarkan jumlah
pelanggan yang tidak dapat dilayani secara bersama-sama. Kapasitas
pelayan yang tidak selalu sama untuk setiap saat, ada yang tetap, tapi
ada juga yang berubah-ubah. Karena itu, fasilitas pelayanan dapat
memiliki satu atau lebih saluran. Fasilitas yang mempunyai satu
saluran disebut saluran tunggal atau sistem pelayanan tunggal dan
fasilitas yang mempunyai lebih dari satu saluran disebut saluran ganda
atau pelayanan ganda.
3. Lama pelayanan
Lama pelayanan adalah waktu yang dibutuhkan untuk melayani
seseorang langganan atau satu satuan. Ini harus dinyatakan secara pasti.
Oleh karena itu, waktu pelayanan boleh tetap dari waktu ke waktu
untuk semua langgannan atau boleh juga berupa variabel acak.
Umumnya dan untuk keperluan analisis, waktu pelayanan dianggap
sebagai varriabel acak yang terpancar secara bebas dan sama tidak
tergantung pada waktu pertibaan.
3. Antrian
Timbulnya antrian terutama tergantung dari sifat kedatangan dan proses
pelayanan. Jika tak ada antrian berarti terdapat pelayan yang menganggur atau
kelebihan fasilitas pelayanan (Mulyono, 1991).
2.3 Disiplin Antrian
Menurut Thomas J. Kakiay disiplin antrian adalah aturan di mana para pelanggan
dilayani, atau disiplin pelayanan (service discipline) yang memuat urutan (order) para
pelanggan menerima layanan. Ada 4 bentuk bentuk disiplin antrian menurut urutan
kedatangan antara lain adalah :
1. First Come First Served (FCFS) atau First In First Out (FIFO), di mana
Misalnya, antrian pada loket pembelian tiket bioskop, antrian pada loket
pembelian tiket kereta api..
2. Last Come First Served (LCFS) atau Last In First Out (LIFO), di mana
pelanggan yang datang paling akhir akan dilayani terlebih dahulu. Misalnya,
sistem antrian pada elevator untuk lanti yang sama, sistem bongkar muat
barang dalam truk, pasien dalam kondisi kritis, walaupun dia datang paling
akhir tetapi dia akan dilayani terlebih dahulu.
3. Service In Random Order (SIRO) atau Random Selection for Service (RSS), di
mana panggilan didasarkan pada peluang secara random, jadi tidak menjadi
permasalahan siapa yang lebih dahulu datang. Misalnya, pada arisan di mana
penarikan berdasarkan nomor undian.
4. Priority Service (PS), di mana prioritas pelayanan diberikan kepada pelanggan
yang mempunyai prioritas lebih tinggi dibandingkan dengan pelanggan yang
mempunyai prioritas yang lebih rendah, meskipun mungkin yang dahulu tiba
di garis tunggu adalah yang terakhir datang. Hal ini mungkin disebabkan oleh
beberapa hal, misalnya seseorang yang memiliki penyakit yang lebih berat
dibandingkan orang lain pada suatu tempat praktek dokter, hubungan
kekerabatan pelayan dan pelanggan potensial akan dilayani terlebih dahulu.
2.4. Struktur Antrian
Ada 4 model struktur antrian dasar yang umum terjadi dalam seluruh sistem antrian :
1. Single Channel – Single Phase
Jalur antrian Server
Gambar 2.4.1 Single Channel – Single Phase
Single Channel berarti hanya ada satu jalur yang memasuki sistem pelayanan atau ada
satu fasilitas pelayanan. Single Phase berarti hanya ada satu fasilitas pelayanan.
dengan jalur satu antrian, supermarket yang hanya memiliki satu kasir sebagai tempat
pembayaran, dan lain-lain.
2. Single Channel – Multi Phase
Jalur antrian Server Server Server
Gambar 2.4.2 Single Channel – Multi Phase
Sistem antrian jalur tunggal dengan tahapan berganda ini atau menunjukkan ada dua
atau lebih pelayanan yang dilaksanakan secara berurutan. Sebagai contoh adalah :
pencucian mobil, tukang cat mobil, dan sebagainya.
3. Multi Channel – Single Phase
Jalur antrian Server
Gambar 2.4.3 Multi Channel – Single Phase
Sistem Multi Channel – Single Phase terjadi di mana ada dua atau lebih fasilitas
pelayanan dialiri oleh antrian tunggal. Contohnya adalah antrian pada sebuah bank
dengan beberapa teller, pembelian tiket atau karcis yang dilayani oleh beberapa loket,
pembayaran dengan beberapa kasir, dan lain-lain.
4. Multi Channel – Multi Phase
Gambar 2.4.4 Multi Channel – Multi Phase
Sistem Multi Channel – Multi Phase ini menunjukkan bahwa setiap sistem
mempunyai beberapa fasilitas pelayanan pada setiap tahap sehingga terdapat lebih dari
satu pelanggan yang dapat dilayani pada waktu bersamaan. Contoh pada model ini
adalah : pada pelayanan yang dibarikan kepada pasien di rumah sakit dimulai dari
pendaftarran, diagnose, tindakan medis, samppai pembayaran, registrasi ulang
mahasiswa baru pada sebuah universitas, dan lain-lain.
2.5. Model-Model Antrian
Karakteristik dan asumsi dari model antrian dirangkum dalam bentuk notasi. Notasi
standar yang digunakan adalah sebagai berikut :
( a / b / c / d / e )
Di mana simbol a, b, c, d, e merupakan elemen dasar dari model antrian :
1. a = distribusi kedatangan yaitu jumlah kedatangan per satuan waktu
2. b = distribusi waktu pelayanan
3. c = jumlah fasilitas pelayanan ( s = 1, 2, 3, …,
4. d = jumlah maksimum yang deperkenankan berada dalam sistem (dalam
pelayanan ditambah yang di garis tunggu).
5. e = ukuran pemanggil populasi atau sumber.
Notasi standar untuk simbol a dan b sebagai distribusu kedatangan dan distribusi
waktu pelayanan mempunyai kode sebagai berikut :
1. M = Poisson ( Markovian ) untuk distribusi kedatangan atau waktu pelayanan.
2. D = interarrival atau service time konstan ( deterministic )
Contohnya adalah ( M/ D/ 5/ N/ artinya kedatangan berdistribusi Poisson,
waktu pelayanan konstan, dan terdapat 5 buah fasilitas pelayanan. Jumlah konsumen
dibatasi sebanyak N dan sumber populasi tidak terbatas. Model-model antrian secara
umum antara lain adalah sebagai berikut :
1. Model ( M/ M/ 1/ /
Syarat-syarat dari model ini antara lain :
1. Jumlah kedatangan tiap satuan waktu mengikuti distribusi Poisson
2. Waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial
3. Disiplin antrian yang digunakan adalah FCFS
4. Sumber populasi tidak terbatas
5. Jalur antriannya tunggal
6. Tingkat rata-rata kedatangan lebih kecil daripada tingkat rata-rata pelayanan
7. Panjang antrian tidak terbatas
2. Model ( M/ M/ S/ /
Pada model ini fasilitas pelayanan ( server ) bersifat ganda, rata-rata tingkat
kedatangan lebih kecil daripada penjumlahan seluruh rata-rata tingkat
pelayanan di tiap jalur. Syarat yang lain sama dengan model server tunggal.
3. Model ( M/ M/ 1/ /
Model ini merupakan variasi dari model yang pertama, di mana panjang
antrian atau kapasitas tunggu dibatasi maksimum N individu. Jumlah
maksimum ini meliputi individu yang menunggu dan yang sedang dilayani.
4. Model ( M/ M/ 1/ /
Model ini hampir sama dengan model yang pertama haya saja sumber populasi
dibatasi sebanyak N.
2.6 Terminologi dan Notasi Antrian
Terminologi yang biasa digunakan dalam sistem antrian adalah :
1. Keadaan sistem yaitu jumlah aktivitas pelayanan yang terjadi dalam melayani
pelanggan dalam sistem.
2. Panjang antrian yaitu banyaknya satuan yang berada dalam sistem dikurangi
Notasi yang digunakan adalah sebagai berikut :
n = Jumlah nasabah yang mengantri pada waktu t
k = Jumlah satuan pelayanan
= Tingkat kedatangan
µ = Tingkat pelayanan
= Tingkat kesibukan sistem
= Peluang semua teller menganggur atau tidak ada nasabah dalam sistem
= Peluang nasabah yang datang harus menunggu
= Ekspektasi panjang sistem
L = Ekspektasi panjang antrian
= Ekspektasi waktu menunggu dalam sistem
W = Ekspektasi waktu menunggu dalam antrian
Faktor-faktor yang berpengaruh terhadap barisan antrian dan pelayanan adalah
sebagai berikut :
1. Distribusi kedatangan, kedatangan individu atau berkelompok
2. Distribusi pelayanan, pelayanan individu atau berkelompok
3. Fasilitas pelayanan, berbentuk series, paralel, atau network station
4. Disiplin pelayanan, berbentuk FCFS, LCFS, SIRO atau PP
5. Ukuran dalam antrian, kedatangan bersifat tidak terbatas atau terbatas
6. Sumber pemanggil, bersifat terbatas atau tidak terbatas
2.7 Pola Kedatangan dan Waktu Pelayanan
2.7.1 Pola Kedatangan
Pola kedatangan suatu sistem antrian dapat dipresentasikan oleh waktu antar
kedatangan yang merupakan suatu periode waktu antara dua kedatangan yang
berturut-turut. Kedatangan dapat dipisahkan oleh interval kedatangan yang sama atau
tidak sama probabilitasnya disebut kedatangan acak. Tingkat kedatangan yaitu jumlah
Jika kedatangan bersifat acak, harus diketahui dahulu distribusi probabilitas
kedatangannya.
Suatu proses kedatangan dalam suatu sistem antrian artinya menentukan
distribusi probabilitas unntuk jumlah kedatangan untuk suatu periode waktu ( Winston
). Pada umumnya, suatu proses kedatangan terjadi secara acak dan independent
terhadap proses kedatangan lainnya dan tidak dapat diprediksi kapan pelanggan akan
datang. Dalam hal ini, distribusi probabilitas Poisson menyediakan deskripsi yang
cukup baik untuk suatu pola kedatangan. Suatu fungsi probabilitas Poisson untuk
suatu kedatangan x pada suatu periode waktu adalah sebagai berikut :
Dimana :
x = jumlah kedatangan per periode waktu
λ = rata-rata jumlah kedatangan per periode waktu e = 2,71828
2.7.2 Uji Kesesuaian Poisson
Uji kesesuaian Poisson dilakukan dengan uji Chi Square ( yang didefinisikan
sebagai berikut:
= data yang diuji mengikuti distribusi
= data yang diuji tidak mengikuti distribusi
Statistik test didefinisikan sebagai berikut :
Dimana :
= frekuensi observasi ke-i
= frekueensi harapan ke-i
2.7.3 Pola Pelayanan
Pola pelayanan ditentukan oleh waktu pelayanan yaitu waktu yang dibutuhkan untuk
melayani pelanggan pada fasilitas pelayanan. Waktu pelayanan dapat berupa waktu
pelayanan konstan ataupun variabel acak yang telah diketahui probabilitasnya.
Tingkat pelayanan adalah jumlah pelanggan yang dilayani per satuan waktu. Dengan
asumsi channel selalu dalam keadaan sibuk sehingga tidak ada waktu idle yang
dialami oleh channel itu.
Waktu pelayanan antara fasilitas pelayanan dengan fasilitas pelayanan yang
lain biasanya tidak konstan. Distribusi probabilitas untuk waktu layanan biasanya
mengikuti distribusi probabilitas Eksponensial yang formulanya dapat memberikan
informasi yang berguna mengenai operasi yang terjadi pada suatu antrian. Persamaan
distribusi Eksponensialnya adalah sebagai berikut :
Dimana :
x = ( nilai tengah )
= rata-rata yang didekati dengan
e = 2,71828
2.7.4 Uji Kesesuaian Eksponensial
Uji kesesuaian Eksponensial dilakukan dengan uju Kolmogorov-Smirnov dengan cara
sebagai berikut :
= data yang diuji mengikuti distribusi
= data yang diuji tidak mengikuti distribusi
Statistik test didefinisikan sebagai berikut :
Dalam uji Kolmogorov-Smirnov suatu data dikatakan mengikuti distribusi jika
2.8 Formula yang Digunakan
Formula yang digunakan antara lain :
1. Tingkat kesibukan sistem
2. Peluang tidak ada nasabah dalam sistem atau teller mengganggur (
3. Peluang nasabah yang datang harus menunggu untuk dilayani
4. Jumlah rata-rata nasabah dalam antrian
5. Jumlah rata-rata nasabah dalam sistem )
6. Waktu rata-rata nasabah dalam antrian
7. Waktu rata-rata nasabah dalam sistem
Dengan : = tingkat kesibukan sistem
k = jumlah server yang ada
λ = rata-rata tingkat kedatangan µ = rata-rata tingkat pelayanan
2.9 Simulasi
Simulasi ialah suatu metodologi untuk melaksanakan percobaan dengan menggunakan
model dari satu sistem nyata (Siagian, 1987). Menurut Hasan (2002), simulasi
merupakan suatu model pengambilan keputusan dengan mencontoh atau
mempergunakan gambaran sebenarnya dari suatu sistem kehidupan dunia nyata tanpa
harus mengalaminya pada keadaan yang sesungguhnya.
Simulasi adalah suatu teknik yang dapat digunakan untuk memformulasikan
dan memecahkan model – model dari golongan yang luas. Golongan atau kelas ini
sangat luasnya sehingga dapat dikatakan , “ Jika semua cara yang lain gagal, cobalah
simulasi” (Schroeder, 1997). Khosnevis (1994) mendefinisikan simulasi sebagai pendekatan eksperimental. Keterbatasan metode analistis dalam mengatasi sistem
dinamis yang kompleks membuat simulasi sebagai alternatif yang baik.
Model analitik sangat berguna bagi kehidupan sehari-hari, akan tetapi terdapat
beberapa keterbatasan antara lain, yaitu :
1. Model analitik tidak mampu menggambarkan suatu sistem pada masa lalu dan
penyelesaian secara menyeluruh, suatu jawab yang mungkin tunggal dan
optimal tetapi tidak menggambarkan suatu prosedur operasional untuk masa
lebih singkat dari masa perencanaan. Misalnya, penyelesaian persoalan
program linier dengan masa perencanaan satu tahun, tidak menggambarkan
prosedur operasional untuk masa bulan demi bulan, minggu demi minggu, atau
hari demi hari.
2. Model matematika yang konvensional sering tidak mampu menyajikan sistem
nyata yang lebih besar dan rumit (kompleks). Sehingga sukar untuk
membangun model analitik untuk sistem nyata yang demikian..
3. Model analitik terbatas pemakaiannya dalam hal – hal yang tidak pasti dan
aspek dinamis (faktor waktu) dari persoalan manajemen.
Berdasarkan hal di atas, maka konsep simulasi dan penggunaan model
simulasi merupakan solusi terhadap ketidakmampuan dari model analitik. Beberapa
kelebihan simulasi adalah sebagai berikut :
1. Simulasi dapat memberi solusi bila model analitik gagal melakukannya.
2. Model simulasi lebih realistis terhadap sistem nyata karena memerlukan
asumsi yang lebih sedikit. Misalnya, tenggang waktu dalam model persediaan
tidak perlu harus deterministik.
3. Perubahan konfigurasi dan struktur dapat dilaksanakan lebih mudah untuk
menjawab pertanyaan : what happen if… Misalnya, banyak aturan dapat
dicoba untuk mengubah jumlah langganan dalam sistem antrian.
4. Dalam banyak hal, simulasi lebih murah dari percobaannya sendiri.
5. Simulasi dapat digunakan untuk maksud pendidikan.
6. Untuk sejumlah proses dimensi, simulasi memberikan penyelidikan yang
langsung dan terperinci dalam periode waktu khusus.
Model simulasi juga memiliki beberapa kekurangan antara lain yaitu :
1. Simulasi bukanlah presisi dan juga bukan suatu proses optimisasi. Simulasi
tidak menghasilkan solusi, tetapi ia menghasilkan cara untuk menilai solusi
2. Model simulasi yang baik dan efektif sangat mahal dan membutuhkan waktu
yang lama dibandingkan dengan model analitik.
3. Tidak semua situasi dapat dinilai melalui simulasi kecuali situasi yang memuat
ketidakpastian (Siagian, 1987).
2.10 Model-Model Simulasi
Model-model simulasi dapat diklasifikasikan dengan beberapa cara. Salah satu
pengelompokannya adalah :
1. Model simulasi statis adalah representasi sistem pada waktu-waktu tertentu
atau model yang digunakan untuk mempresentasikan sistem dimana waktu
tidak mempunyai peranan. Contohnya simulasi Monte Carlo ( simulasi
perilaku sistem fisika dan matematika).
Model simulasi dinamis adalah representasi sistem sepanjang pergantian
waktu ke waktu. Contohnya sistem conveyor di pabrik .
2. Model simulasi deterministik adalah model simulasi yang tidak
mengandung kimponen yang sifatnya probabilistik ( random ) dan output
telah dapat ditentukan ketika sejumlah input dalam hubungan tertentu
dimasukkan.
Model simulasi stokastik adalah moel simulasi yang mengandung
input-input probabilistik ( random ) dan output yang dihasilkan pun sifatnya
random.
3. Model simulasi kontinu adalah model simulasi dimana state ( status ) dari
sistem berubah secara kontinu karena berubahnya waktu ( change state
variable ). Contohnya simulasi polpulasi penduduk.
Model simulasi diskrit adalah model suatu sistem dimana perubahan state
terjadi pada satuan-satuan waktu yang diskrit sebagai hasil suatu kejadian (
event ) tertentu (discrete change state variables ). Contohnya simulasi
2.11 Simulasi Monte Carlo
Metode Monte Carlo adalah algoritma komputasi untuk mensimulasikan berbagai
perilaku sistem fisika dan matematika. Metode Monte Carlo digunakan dengan istilah
sampling statistik. Penggunaan nama Monte Carlo, yang dipopulerkan oleh para
pioner bidang tersebut (termasuk Stanislaw Marcin Ulam, Enrico Fermi, John von
Neumann dan Nicholas Metropolis), merupakan nama kasino terkemuka di Monako.
Penggunaan keacakan dan sifat pengulangan proses mirip dengan aktivitas yang
dilakukan pada sebuah kasino. Dalam autobiografinya Adventures of a
Mathematician, Stanislaw Marcin Ulam menyatakan bahwa metode tersebut
dinamakan untuk menghormati pamannya yang seorang penjudi, atas saran
Metropolis.
Penggunaannya yang cukup dikenal adalah oleh Enrico Fermi pada tahun
1930, ketika ia menggunakan metode acak untuk menghitung sifat-sifat neutron yang
waktu itu baru saja ditemukan. Metode Monte Carlo merupakan simulasi inti yang
digunakan dalam Manhattan Project, meski waktu itu masih menggunakan oleh
peralatan komputasi yang sangat sederhana. Sejak digunakannya komputer elektronik
pada tahun 1945, Monte Carlo mulai dipelajari secara mendalam. Pada tahun 1950-an,
metode ini digunakan di Laboratorium Nasional Los Alamos untuk penelitian awal
pengembangan bom hidrogen, dan kemudian sangat populer dalam bidang fisika dan
riset operasi. Rand Corporation Angkatan Udara AS merupakan dua institusi utama
yang bertanggung jawab dalam pendanaan dan penyebaran informasi mengenai Monte
Carlo waktu itu, dan mereka mulai menemukan aplikasinya dalam berbagai bidang.
Penggunaan metode Monte Carlo memerlukan sejumlah besar bilangan acak,
dan hal tersebut semakin mudah dengan perkembangan pembangkit bilangan acak,
yang jauh lebih cepat dan praktis dibandingkan dengan metode sebelumnya yang
menggunakan tabel bilangan acak untuk sampling statistik.
Jika suatu sistem mengandung elemen yang mengandung faktor kemungkinan,
adalah percobaan elemen kemungkinan dengan menggunakan sampel random (acak).
Metode ini terbagi dalam 5 tahapan:
1 Membuat distribusi kemungkinan untuk variabel penting.
Gagasan dasar dari simulasi monte carlo adalah membuat nilai dari tiap variabel yang
merupakan bagian dari model yang dipelajari. Banyak variabel di dunia nyata yang
secara alami mempunyai berbagai kemungkinan yang mungkin ingin kita simulasikan.
Salah satu cara umum untuk membuat distribusi kemungkinan untuk suatu variabel
adalah memperhitungkan hasil di masa lalu. Kemungkinan atau frekuensi relative
untuk tiap kemungkinan hasil dari tiap variabel ditentukan dengan membagi frekuensi
observasi dengan jumlah total observasi
Contoh: Waktu proses dari suatu stasiun kerja tertentu.
2 Membangun distribusi kemungkinan kumulatif untuk tiap‐tiap variabel di tahap
pertama.
Konversi dari distribusi kemungkinan biasa, kumulatif dilakukan dengan
menjumlahkan tiap angka kemungkinan dengan jumlah sebelumnya. Probabilitas
kumulatif ini berguna untuk membantu menempatkan nilai random.
3 Menentukan interval angka random untuk tiap variabel
Setelah kita menentukan probabilitas kumulatif untuk tiap variabel yang termasuk
dalam simulasi, kita harus menentukan batas angka yang mewakili tiap kemungkinan
hasil. hal tersebut ditujukan pada interval angka random. Penentuan interval didasari
oleh kemungkinan kumulatif
4 Membuat angka random
Untuk membuat angka random kita bisa menggunakan software Microsoft Excel
dengan menggunakan perintah =rand(), lanjutkan sampai batas yang diinginkan.
5 Membuat simulasi dari rangkaian percobaan
Bab 3
PEMBAHASAN
3.1 Data Tingkat Kedatangan
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data jumlah nasabah yang datang
untuk bertransaksi pada bank XXX ini. Karena bank ini hanya mempunyai data
jumlah transaksi selama 1 tahun maka diasumsikan satu transaksi mewakili satu
nasabah. Transaksi yang dilakukan antara lain penyeteron, penarikan, pengiriman
uang, dan lain-lain. Secara lengkap data tingkat kedatangan disajikan dalam lampiran
1. Jumlah nasabah selama 1 tahun adalah 140556, 1 tahun ada 250 hari, 250 hari ada 8
jam kerja, 1 jam kerja ada 60 menit. Sehingga jumlah nasabah per menit nya dapat
diperoleh
Hasil perhitungan menunjukkan bahwa rata-rata
tingkat kedatangan adalah 1,171 nasabah per menit nya.
3.2 Data Tingkat Pelayanan
Jumlah teller yang ada pada bank XXX ini ada tujuh teller yang masing-masing teller
terdiri dari satu orang petugas. Teller tersebut umumnya bekerja 5 hari satu minggu,
tetapi dapat juga kurang atau lebih dari 5 hari karena terdapat hari libur atau 1 bulan
lebih dari 4 minggu. Dalam hal ini diasumsikan juga satu transaksi mewakili satu
nasabah, data tingkat pelayanan nasabah pada masing-masing teller secara lengkap
Dari perhitungan diperoleh rata-rata tingkat pelayanan nasabah adalah 0,173
nasabah per menitnya. Dalam hal ini diasumsikan juga satu transaksi mewakili satu
nasabah, data tingkat pelayanan nasabah pada masing-masing teller secara lengkap
disajikan pada lampiran 2. Dari data diketahui bahwa 7 teller bekerja selama 1627
hari, 1 hari ada 8 jam kerja, 1 jam kerja ada 60 menit, sehingga diperoleh rata-rata
tingkat kedatangan per menitnya adalah
Dari perhitungan diperoleh
rata-rata tingkat pelayanan nasabah adalah 0,173 nasabah per menitnya.
3.3 Pembahasan
3.3.1 Harga-Harga Teoritis.
Berdasarkan rumus-rumus antrian yang sesuai dengan kondisi tempat pengambilan
data, yaitu sistem ganda maka harga karakteristik yang diperlukan adalah sebagai
berikut :
= Tingkat kesibukan sistem
= Peluang semua teller menganggur atau tidak ada nasabah dalam sistem
= Peluang nasabah yang datang harus menunggu
= Ekspektasi panjang sistem
L = Ekspektasi panjang antrian
= Ekspektasi waktu menunggu dalam sistem
W = Ekspektasi waktu menunggu dalam antrian
3.3.2 Perhitungan Harga-Harga Karakteristik
Perhitungan karakteristik dengan menggunakan rumus antrian model ganda :
Berdasarkan data yang ada maka diketahui bahwa :
1. Rata-rata tingkat kedatangan
2. Rata-rata tingkat pelayanan
4.
5. Peluang tidak ada nasabah dalam sistem atau teller mengangur
=
6. Peluang nasabah yang datang harus mengangur
7. Jumlah rata-rata nasabah dalam antrian
8. Jumlah rata-rata nasabah dalam sistem )
9. Waktu rata-rata nasabah dalam antrian
10.Waktu rata-rata nasabah dalam sistem
3.3.3 Pengolahan Data
Dalam pengolahan data ini baik pada data tingkat kedatangan maupun data tingkat
pelayanan dikelompokkan dahulu berdasarkan interval kelas dan frekuensinya seperi
berikut :
1. Pengelompokan data tingkat kedatangan dengan distribusi frekuensi
Tabel 1 yang terdapat dalam lampiran 1 menginformasikan jumlah nasabah bank
dan kemudian dihitung jumlah data yang masuk dalam setiap kelas atau disebut
distribusi frekuensi seperti pada tabel 3.1 dibawah ini :
Tabel 3.1 Distribusi frekuensi dari antar kedatangan nasabah
No Interval Kelas Frekuensi
1 357-414 10
2. Pengelompokan data tingkat pelayanan dengan distribusi frekuensi
Tabel yang terdapat dalam lampiran 2 menginformasikan jumlah nasabah bank XXX
dalam waktu 1 tahun yang dilayani oleh masing-masing teller.
Tabel 3.2 Distribusi frekuensi dari tingkat pelayanan pada teller 1
No Interval Kelas Frekuensi
Tabel 3.3 Distribusi frekuensi dari tingkat pelayanan pada teller 2
No Interval Kelas Frekuensi
1 11-24 3
2 25-38 10
3 39-52 39
4 53-66 66
5 67-80 59
6 81-94 37
7 95-108 15
8 109-124 10
9 125-138 5
Jumlah 244
Tabel 3.4 Distribusi frekuensi dari tingkat pelayanan pada teller 3
No Interval Kelas Frekuensi
1 13-33 10
2 34-54 35
3 55-75 57
4 76-96 69
5 97-117 41
6 118-138 5
7 139-159 3
8 160-180 0
9 181-201 1
Tabel 3.5 Distribusi frekuensi dari tingkat pelayanan pada teller 4
No Interval Kelas Frekuensi
1 3-23 2
2 24-44 23
3 45-65 60
4 66-86 47
5 87-107 38
6 108-128 32
7 129-149 22
8 150-170 11
9 171-191 4
Jumlah 239
Tabel 3.6 Distribusi frekuensi dari tingkat pelayanan pada teller 5
No Interval Kelas Frekuensi
1 8-29 16
2 30-51 53
3 52-73 36
4 74-95 39
5 96-117 35
6 118-139 41
7 140-161 11
8 162-183 4
9 184-205 3
Tabel 3.7 Distribusi frekuensi dari tingkat pelayanan pada teller 6
No Interval Kelas Frekuensi
1 13-32 13
2 33-52 52
3 53-72 42
4 73-92 42
5 93-112 39
6 113-132 24
7 133-152 13
8 153-172 4
9 173-192 4
Jumlah 233
Tabel 3.8 Distribusi frekuensi dari tingkat pelayanan pada teller 7
No Interval Kelas Frekuensi
1 10-26 6
2 27-43 25
3 44-60 63
4 61-77 54
5 78-94 30
6 95-111 21
7 112-128 10
8 129-145 5
9 146-162 2
3.3.4 Pendugaan Distribusi Data
Untuk mengetahui distribusi data, maka akan dilakukan pendugaan distribusi.
Dilakukan pendugaan bahwa data tingkat kedatangan nasabah adalah berdistribusi
poisson dan data tingkat pelayananan adalah berdistribusi eksponensial.
1. Pengujian Distribusi Tingkat Kedatangan
Untuk melakukan pengecekan akan kebenaran dengan distribusi data maka
dilakukan uji distribusi. Karena data tingkat kedatangan diduga berdistribusi
poisson maka proses perhitungan yang dilakukan adalah sesuai aturan pada
distribusi poisson. Jika ditentukan nilai maka perhitungan diulang dan
nilai yang lebih kecil tersebut akan ditambahkan dengan nilai yang lebih
besar terdekatnya.
Tabel 3.9 Perhitungan data tingkat kedatangan nasabah
2. Uji Distribusi Kedatangan
Dari tabel 3.9 dapat dihitung rata-rata adalah sebagai berikut :
Akan dilakukan goodness of fit test terhadap data tersebut yang ditunjukkan
sebagai berikut :
: hasil pengamatan mengikuti distribusi probabilitas Poisson
: hasil pengamatan tidak mengikuti distribusi probabilitas Poisson
Dari tabel 3.9 diperoleh nilai = 7.08 dan berdasarkan tabel Chi-Square
dengan derajat kebebasan adalah (α,m-1) dengan m adalah banyak kelas yang memenuhi dengan α = 0.05 diperoleh nilai . Jadi dari
hasil perhitungan di atas dapat disimpulkan bahwa = 7.08
sehingga diterima. Dengan penerimaan proses kedatangan dengan rata-rata 1.171 nasabah per menit adalah berdistribusi Poisson.
3. Pengujian Data Tingkat Pelayanan Nasabah
Untuk melakukan pengecekan akan kebenaran dugaan distribusi data maka
dilakukan uji distribusi. Karena data tingkat pelayanan diduga berdistribusi
eksponensial, maka proses perhitungan akan dilakukan sesuai aturan distribusi
eksponensial. Proses perhitungan tersebut dapat dilihat pada tabel-tabel
Tabel 3.10 Perhitungan data tingkat pelayanan pada teller 1
No Interval F(x) S(x)
1 26-51 37 38.5 1424.5 37 0.292 0.154 0.138
2 52-77 42 64.5 2709 79 0.439 0.329 0.11
3 78-103 33 90.5 2986.5 112 0.555 0.465 0.09
4 104-129 31 116.5 3611.5 143 0.648 0.594 0.054
5 130-155 50 142.5 7125 193 0.72 0.801 0.081
6 156-181 23 168.5 3875.5 216 0.779 0.896 0.097
7 182-207 13 194.5 2528.5 229 0.825 0.95 0.125
8 208-233 10 220.5 2205 239 0.861 0.992 0.131
9 234-295 2 246.5 493 241 0.889 1 0.111
241 26958.5
Tabel 3.11 Perhitungan data tingkat pelayanan pada teller 2
No Interval F(x) S(x)
1 11-24 3 17.5 52.5 3 0.222 0.012 0.21
2 25-38 10 31.5 315 13 0.364 0.053 0.311
3 39-52 39 45.5 1774.5 52 0.479 0.213 0.266
4 53-66 66 59.5 3927 118 0.574 0.484 0.09
5 67-80 59 73.5 4336.5 177 0.652 0.725 0.073
6 81-94 37 87.5 3237.5 214 0.715 0.877 0.162
7 95-108 15 101.5 1522.5 229 0.767 0.939 0.172
8 109-124 10 115.5 1155 239 0.809 0.979 0.17
9 125-138 5 129.5 647.5 244 0.844 1 0.156
Tabel 3.12 Perhitungan data tingkat pelayanan pada teller 3
No Interval F(x) S(x)
1 13-33 10 23 230 10 0.257 0.045 0.212
2 34-54 35 44 1540 45 0.433 0.204 0.229
3 55-75 57 65 3705 102 0.568 0.462 0.106
4 76-96 69 86 5934 171 0.67 0.774 0.104
5 97-117 41 107 4387 212 0.749 0.959 0.21
6 118-138 5 128 640 217 0.808 0.982 0.174
7 139-159 3 149 447 220 0.854 0.996 0.142
8 160-180 0 170 0 220 0.888 0.996 0.108
9 181-201 1 191 191 221 0.915 1 0.085
17074
Tabel 3.13 Perhitungan data tingkat pelayanan pada teller 4
No Interval F(x) S(x)
1 3-23 2 13 26 2 0.139 0.008 0.131
2 24-44 23 34 782 25 0.325 0.105 0.22
3 45-65 60 55 3300 85 0.469 0.356 0.113
4 66-86 47 76 3572 132 0.584 0.552 0.032
5 87-107 38 97 3686 170 0.673 0.711 0.038
6 108-128 32 118 3776 202 0.744 0.845 0.101
7 129-149 22 139 3058 224 0.799 0.937 0.138
8 150-170 11 160 1760 235 0.842 0.983 0.141
9 171-191 4 181 724 239 0.876 1 0.124
Tabel 3.14 Perhitungan data tingkat pelayanan pada teller 5
No Interval F(x) S(x)
1 8-29 16 18.5 296 16 0.199 0.067 0.132
2 30-51 53 40.5 2146.5 69 0.385 0.289 0.096
3 52-73 36 62.5 2250 105 0.526 0.441 0.085
4 74-95 39 84.5 3295.5 144 0.637 0.605 0.032
5 96-117 35 106.5 3727.5 179 0.721 0.752 0.031
6 118-139 41 128.5 5268.5 220 0.786 0.924 0.138
7 140-161 11 150.5 1655.5 131 0.836 0.971 0.135
8 162-183 4 172.5 690 235 0.874 0.987 0.113
9 184-205 3 194.5 583.5 238 0.903 1 0.097
238 19913
Tabel 3.15 Perhitungan data tingkat pelayanan pada teller 6
No Interval F(x) S(x)
1 13-32 13 22.5 292.5 13 0.245 0.056 0.189
2 33-52 52 42.5 2210 65 0.411 0.279 0.132
3 53-72 42 62.5 2625 107 0.541 0.459 0.082
4 73-92 42 82.5 3464 149 0.643 0.639 0.004
5 93-112 39 102.5 3997.5 188 0.721 0.807 0.086
6 113-132 24 122.5 2940 212 0.783 0.909 0.126
7 133-152 13 142.5 1852.5 225 0.831 0.966 0.135
8 153-172 4 162.5 650 229 0.868 0.983 0.115
9 173-192 4 182.5 730 233 0.897 1 0.103
Tabel 3.16 Perhitungan data tingkat pelayanan pada teller 7
No Interval F(x) S(x)
1 10-26 6 18 108 6 0.227 0.028 0.199
2 27-43 25 35 875 31 0.394 0.144 0.25
3 44-60 63 52 3276 94 0.525 0.435 0.009
4 61-77 54 69 3726 148 0.628 0.685 0.57
5 78-94 30 86 2580 178 0.708 0.824 0.116
6 95-111 21 103 2163 199 0.771 0.921 0.15
7 112-128 10 120 1200 209 0.821 0.968 0.147
8 129-145 5 137 685 214 0.859 0.99 0.131
9 146-162 2 154 308 216 0.889 1 0.11
216 14921
4. Uji Distribusi Pelayanan
Dari tabel-tabel diatas dapat dihitung rata-rata pelayanan pelayanan adalah
sebagai berikut :
1. Rata-rata pelayanan pada teller 1
Dengan = 0.138
2. Rata-rata pelayanan pada teller 2
3. Rata-rata pelayanan pada teller 3
Dengan = 0.229
4. Rata-rata pelayanan pada teller 4
Dengan = 0.22
5. Rata-rata pelayanan pada teller 5
Dengan = 0.138
6. Rata-rata pelayanan pada teller 6
Dengan = 0.189
7. Rata-rata pelayanan pada teller 7
Dengan = 0.25
Selanjutnya nilai yang telah dihitung akan dibandingkan nilai pada
tabel Kolmogrov Smirnov dengan :
= data yang diuji mengikuti distribusi Eksponensial
= data yang diuji tidak mengikuti distribusi Eksponensial
Dari tabel Kolmogrov Smirnov dengan
Karena nilai sehingga diterima. Hal ini
menunjukkan bahwa tingkat pelayanan nasabah pada bank XXX ini berdistribusi
Eksponensial.
3.3.5 Simulasi
Simulasi yang akan dilakukan adalah simulasi berdasarkan pengerjaan data dari
Microsoft Excell 2007, dengan menggunakan hasil data selama 1 tahun yang diambil
dari bank XXX. Simulasi yang dilakukan adalah simulasi dengan 7 teller seperti
dalam kehidupan nyata, simulasi dengan 6 teller yaitu jika 1 teller dikurangi, dan
simulasi dengan 8 teller yaitu jika 1 teller ditambahi. Simulasi ini akan
membandingkan keadaan sistem yang ada dengan sistem yang dibuat sendiri. Pada
simulasi ini akan digunakan teknik Monte Carlo dengan memilih angka random dari
Tabel 3.17 Simulasi tingkat kedatangan nasabah
Tabel 3.18 Simulasi tingkat pelayanan pada teller 1
Tabel 3.19 Simulasi tingkat pelayanan pada teller 2
Tabel 3.20 Simulasi tingkat pelayanan pada teller 3
Tabel 3.21 Simulasi tingkat pelayanan pada teller 4
Tabel 3.22 Simulasi tingkat pelayanan pada teller 5
Tabel 3.23 Simulasi tingkat pelayanan pada teller 6
Tabel 3.24 Simulasi tingkat pelayanan pada teller 7
Nilai Frekuensi Frekuensi
Setelah mendapatkan range bilangan random dengan menggunakan teknik
Monte Carlo, maka akan disusun simulasi dengan 7 teller, 6 teller, maupun 8 teller
1. Hasil simulasi 7 teller
Tabel 3.25 Simulasi tingkat kedatangan :
385.5 3 1156.5
443.5 43 19070.5
501.5 45 22567.5
559.5 65 36367.5
617.5 43 26552.5
675.5 35 23642.5
733.5 7 5134.5
791.5 2 1583
849.5 7 5946.5
Jumlah 250 142021
Tabel 3.26 Simulasi tingkat pelayanan pada teller 1
38.5 31 1193.5
64.5 55 3547.5
90.5 29 2624.5
116.5 30 3495
142.5 51 7267.5
168.5 24 4044
194.5 9 1750.5
220.5 9 1984.5
246.5 3 739.5
Tabel 3.27 Simulasi tingkat pelayanan pada teller 2
17.5 2 35
31.5 9 283.5
45.5 30 1365
59.5 57 3391.5
73.5 72 5292
87.5 41 3587.5
101.5 14 1421
115.5 12 1386
129.5 7 906.5
Jumlah 244 17668
Tabel 3.28 Simulasi tingkat pelayanan pada teller 3
23 8 184
44 30 1320
65 64 4160
86 69 5934
107 39 4173
128 6 768
149 3 447
170 0 0
191 2 382
Tabel 3.29 Simulasi tingkat pelayanan pada teller 4
13 3 39
34 23 782
55 67 3685
76 40 3040
97 41 3977
118 19 2242
139 27 3753
160 13 2080
181 6 1086
Jumlah 239 20684
Tabel 3.30 Simulasi tingkat pelayanan pada teller 5
18.5 2 37
40.5 54 2187
62.5 39 2437.5
84.5 44 3718
106.5 37 3940.5
128.5 43 5525.5
150.5 13 1956.5
172.5 3 517.5
194.5 3 583.5
Tabel 3.31 Simulasi tingkat pelayanan pada teller 6
22.5 12 270
42.5 42 1785
62.5 55 3437.5
82.5 47 3877.5
102.5 29 2972.5
122.5 30 3675
142.5 14 1995
162.5 3 487.5
182.5 1 182.5
Jumlah 233 18682.5
Tabel 3.32 Simulasi tingkat pelayanan pada teller 7
18 6 108
35 26 910
52 53 2756
69 60 4140
86 42 3612
103 13 1339
120 11 1320
137 2 274
154 3 462
Jumlah 216 14921
Dari hasil simulasi yang dilakukan dengan jumlah 7 teller maka diperoleh
1. Rata-rata tingkat kedatangan
2. Rata-rata tingkat pelayanan
3. Jumlah teller (k) = 7
4.
5. Peluang tidak ada nasabah dalam sistem atau teller mengangur
=
6. Peluang nasabah yang datang harus menunggu
8. Jumlah rata-rata nasabah dalam sistem )
9. Waktu rata-rata nasabah dalam antrian
10.Waktu rata-rata nasabah dalam sistem
2. Hasil simulasi 6 teller
Tabel 3.33 Simulasi tingkat kedatangan :
385.5 9 3469.5
443.5 39 17296.5
501.5 54 27081
559.5 67 37486.5
617.5 29 17907.5
675.5 33 22291.5
733.5 9 6601.5
791.5 5 3957.5
849.5 5 4247.5
Jumlah 250 140339
Tabel 3.34 Simulasi tingkat pelayanan pada teller 1
38.5 32 1232
64.5 40 2580
90.5 31 2805.5
116.5 33 3844.5
142.5 42 5985
168.5 26 4381
194.5 17 3306.5
220.5 16 3528
246.5 4 986