ix
YUNDA FITARI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
ix
Simulasi Monte Carlo. Dibimbing oleh RETNO BUDIARTI dan I GUSTI PUTU PURNABA. Risiko didefinisikan sebagai bahaya, kerugian atau awal dari ketidakberuntungan. Risiko pasar adalah suatu risiko yang diakibatkan oleh kelakuan pasar di mana perusahaan tidak bisa mengendalikan risiko tersebut. Pada saat perusahaan tidak bisa mengendalikan risiko tersebut, hal yang bisa dilakukan oleh perusahaan adalah mengelola risiko. Pengukuran risiko merupakan bagian dari mengelola risiko dan dapat dilakukan dengan berbagai cara salah satunya dengan menggunakan Value-at-Risk (VaR). Tujuan karya ilmiah ini adalah mengukur risiko dengan menggunakan Value-at-Risk melalui simulasi Monte Carlo. Pengukuran risiko ini dilakukan untuk saham tunggal maupun portofolio dengan cara membangkitkan bilangan random yang dapat digunakan untuk menduga nilai Value-at-Risk. Hasil karya ilmiah ini menyatakan bahwa kestabilan nilai Value-at-Risk bergantung banyaknya pengulangan yang dilakukan dalam menghitung nilai Value-at-Risk.
ix
Supervised by RETNO BUDIARTI and I GUSTI PUTU PURNABA
Risk is defined as a danger, an harm, or the beginning of misfortune. Market risk is a risk caused by the behaviour of market when the company can not control the risks. Although the company can not control those risks, it can however manage the risks. Risk measurement is a part of managing risk and it can be done in a variety of ways by using the Value-at-Risk. The aims of this research objective is to measure risk by using Value-at-Risk with Monte Carlo simulation. Risk measurement was performed for single stocks and portfolio by generating random numbers which are used to estimate the value of Value-at-Risk. The result of this paper is that the stability of the value of Value-at-Risk depends on the value of the number of repetition performed in calculating the value of Value-at-Risk.
ix
YUNDA FITARI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
ix
NIM
: G54080064
Menyetujui,
Tanggal Lulus:
Pembimbing I
Ir. Retno Budiarti, MS.
NIP. 19610729 198903 2 001
Pembimbing II
Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA.
NIP. 19651218 199002 1 001
Mengetahui,
Ketua Departemen Matematika
ix
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya serta shalawat dan salam kepada Nabi Muhammad SAW sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:
1. Ir. Retno Budiarti, MS, selaku dosen pembimbing I (terimakasih atas semua ilmu, kesabaran, motivasi, dan bantuannya selama penulisan skripsi ini).
2. Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA, selaku dosen pembimbing II (terimakasih atas semua ilmu dan sarannya).
3. Dr. Ir. Hadi Sumarno MS selaku dosen penguji (terimakasih atas semua ilmu dan sarannya). 4. Keluargaku tercinta: Bapak, Mama, Ahmad Nurai (Paman), Budiman, Muhammad Hadiyu
(terimakasih atas doa, dukungan, kesabaran, kepercayaan dan kasihsayangnya).
5. Semua dosen Departemen Matematika (terimakasih atas semua ilmu yang telah diberikan). 6. Staf Departemen Matematika: Pak Yono, Bu Ade, Mas Heri, Bu Susi dan Mas Deni
(terimakasih atas bantuan dan motivasinya).
7. Ridwan, Dea Hendriyanti, Annisa Maulidya, Fitriyah (terimakasih atas bantuan, doa dan dukungannya).
8. Karya Salemba Empat (terimakasih atas bantuannya berupa beasiswa selama dua periode). 9. Teman-teman Matematika 45: Ana, Putri, Rischa, Tya, Fuka, Nurul, Mya, Mega, Fenny, Aci,
Hardono, Prama, Heru, Khafizd, Arbi dan yang lainnya (terimakasih atas bantuan, doa dan dukungannya).
10. Kakak-kakak kosan Wisma Nabila (terimakasih atas bantuan, doa dan dukungannya). 11. Ka Purwanto, Anita Pratiwi STK 45 (terimakasih atas doa, dukungan dan bantuannya). 12. Kakak-kakak Matematika 44 dan teman-teman Matematika 46 (terima kasih atas dukungan,
bantuan dan doanya).
Dan semua yang telah mendukung selama ini, baik moril maupun materil.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.
Bogor, Januari 2013
ix
Penulis merupakan putri pertama dari tiga bersaudara.
Tahun 2002 penulis lulus dari SDN 015 PG, pada tahun 2005 penulis lulus dari SMPN 29 Jakarta dan pada tahun 2008 penulis lulus dari SMAN 26 Jakarta. Pada tahun yang sama lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB. Penulis memilih mayor Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
ix
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR GAMBAR ...………... ix
DAFTAR LAMPIRAN ... ix
DAFTAR TABEL ... ... ix
I PENDAHULUAN 1.1 LatarBelakang ... 1
1.2 Tujuan………... 1
1.3 Sistematika Penulisan ………... 1
II LANDASAN TEORI 2.1 Berbagai Definisi ...………... 2
2.2 Return ...………... 3
2.3 Risiko ………...………... 3
2.4 Value-at-Risk... 3
2.5 Periode Waktu ... 3
2.6 Tingkat Kepercayaan ... 3
2.7 Uji Normalitas ... 3
2.8 VaR dengan Simulasi Monte Carlo ... 4
2.9 VaR dengan Simulasi Monte Carlo pada Saham Tunggal ... 4
2.10 Portofolio ... 4
2.11 Portofolio Optimal ... 5
2.12 VaR dengan Simulasi Monte Carlo pada Portofolio ... 5
2.13 Kestabilan Data ... 6
III PEMBAHASAN 3.1 Risiko ...………... 6
3.2 Pengukuran Risiko ... 6
3.3 Portofolio ... 6
3.4 Value-at-Risk ... 7
3.5 Simulasi Monte Carlo ... 7
3.6 Ilustrasi 3.6.1 Perhitungan VaR untuk Saham Tunggal ... 7
3.6.2 Perhitungan VaR untuk Saham Portofolio ... 8
3.7 Kestabilan Data ... 10
IV SIMPULAN DAN SARAN Simpulan dan Saran ... 11
DAFTAR PUSTAKA ... 11
ix
1 Jarak Vertikal antara dan untuk Saham Tunggal …... 7
2 Grafik Return Bank X ……….... 7
3 Jarak Vertikal antara dan untuk Saham Portofolio... 9
4 Grafik Return Bank Y...………. 9
DAFTAR TABEL
Halaman 1 Tabel Nilai Rata-Rata VaR untuk Saham Tunggal dengan n = 1000 ... 82 Tabel Nilai Rata-Rata VaR untuk Saham Portofolio dengan n = 1000 ... 10
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman 1 Tabel Harga Penutupan Saham Bank X .……….………... 132 Tabel Nilai Runtuk Saham Bank X ………... 15
3 Tabel Nilai dan VaR untuk Saham Tunggal... 21
4 Tabel Harga Penutupan Saham Bank Y... 33
5 Tabel Nilai R untuk Saham Bank Y ………….……….... 35
6 Tabel Nilai dan VaR untuk Saham Portofolio... 41
7 Program Simulasi untuk Saham Tunggal ... 53
I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Risiko didefinisikan sebagai bahaya, kerugian atau awal dari kesialan. Risiko dapat terjadi di mana saja dan dalam bidang apapun. Pada bidang keuangan, risiko keuangan adalah suatu kejadian merugikan yang dapat mempengaruhi kemampuan dari suatu organisasi untuk mencapai tujuan dan melaksanakan strateginya. Beberapa jenis risiko dalam bidang keuangan diantaranya adalah risiko pasar, risiko kredit, dan risiko liquiditas. Risiko biasanya berkaitan erat dengan faktor ketidakpastian. Ketidakpastian inilah yang menyebabkan perlu dilakukannya suatu tindakan yang disebut dengan managemen risiko.
Setiap individu memiliki jawaban yang berbeda-beda mengenai managemen risiko. Berdasarkan sudut pandang masyarakat, managemen risiko dilihat sebagai sesuatu yang positif karena masyarakat termotivasi oleh rasa takut atas risiko sistematik dan ketidakpastian kejadian yang akan datang. Sedangkan berdasarkan sudut pandang pemegang saham, mengelola risiko dapat meningkatkan nilai perusahaan dan nilai pemegang saham yaitu jika investor memiliki akses ke pasar modal. Investor dapat melakukan transaksi risiko antar mereka dan jika investasi portofolio terlalu berisiko, maka mereka mengambil waktu jangka pendek pada indeks saham utama.
Risiko pasar adalah suatu risiko yang diakibatkan oleh kelakuan pasar di mana perusahaan tidak bisa mengendalikan risiko tersebut. Pada saat perusahaan tidak bisa mengendalikan risiko tersebut, hal yang bisa dilakukan oleh perusahaan adalah mengelola risiko. Mengelola risiko adalah hidup disiplin dengan mengantisipasi kemungkinan bahwa kejadian yang akan datang bisa berdampak merugikan. Selain itu perusahaan juga perlu melakukan pengukuran risiko. Pengukuran
risiko adalah suatu aktivitas yang merupakan bagian dari proses mengelola risiko untuk mentolerir seberapa besar risiko yang dapat diterima suatu individu atau perusahaan.
Tujuan dari mengelola risiko bagi perusahaan diantaranya adalah sebagai berikut
1. Mengelola risiko membuat perusahaan memiliki akses ke pasar modal lebih baik dari investor individu.
2. Mengelola risiko meningkatkan nilai perusahaan dalam hal mengurangi peluang kebangkrutan.
Di dalam institusi keuangan, mengukur risiko bisa dilakukan dengan beberapa cara salah satunya adalah dengan menggunakan
Value-at-Risk (VaR). VaR adalah kerugian maksimum yang bisa ditolerir oleh suatu perusahaan dengan tingkat kepercayaan tertentu. VaR biasanya digunakan untuk mengukur risiko dari suatu portofolio, walaupun sebenarnya VaR adalah suatu konsep umum yang dapat diterapkan untuk berbagai hal.
1.2 Tujuan Penulisan
Tujuan utama dari penulisan karya ilmiah ini adalah mengukur risiko dengan menggunakan Value-at-Risk (VaR) melalui simulasi Monte Carlo.
1.3 Sistematika Penulisan
Pada bab satu dijelaskan latar belakang dan tujuan penulisan karya ilmiah ini. Pada bab dua berisi landasan teori yang dibutuhkan untuk pembahasan. Pada bab tiga akan dijelaskan mengenai pembahasan mengukur risiko dengan menggunakan Value-at-Risk
II LANDASAN TEORI
2.1 Berbagai Definisi Percobaan Acak
Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama dan semua kemungkinan hasil yang muncul dapat diketahui tetapi hasilnya tidak dapat ditentukan dengan tepat disebut percobaan acak.
(Ross 2003) Ruang Contoh
Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak dan dinotasikan dengan Ω.
(Grimmett dan Stirzaker 1992)
Medan-Medan- adalah suatu himpunan yang anggotanya adalah himpunan bagian dari ruang contoh Ω serta memenuhi syarat-syarat berikut
(Grimmett dan Stirzaker 1992) Fungsi Sebaran
Fungsi sebaran dari suatu peubah acak X
adalah fungsi F : yang dinyatakan sebagai .
(Grimmett dan Stirzaker 1992) Fungsi Kepekatan Peluang
Peubah acak dikatakan kontinu jika fungsi sebaran dapat diekspresikan sebagai berikut
∫
untuk suatu fungsi yang dapat diintegralkan. Selanjutnya fungsi
disebut juga fungsi kepekatan
peluang (probability density function) bagi .
(Grimmett dan Stirzaker 1992)
Fungsi Kepekatan Peluang untuk Sebaran Normal
Misalkan diberikan peubah acak X. Peubah acak X dikatakan menyebar normal dengan nilai tengah dan ragam jika X
memiliki fungsi kepekatan peluang sebagai berikut
√
Sebaran normal yang memiliki nilai tengah 0 dan ragam 1 disebut sebaran normal baku. Misalkan peubah acak Z menyebar normal baku maka Z memiliki fungsi kepekatan peluang
√
;
.(Grimmett dan Stirzaker 1992) Nilai Harapan
maka nilai harapan dari X adalah
∫
2.2 Return
Return adalah tingkat pengembalian atau hasil yang diperoleh akibat melakukan investasi. Return merupakan salah satu faktor yang memotivasi investor untuk berinvestasi karena dapat menggambarkan secara nyata perubahan harga. Return untuk harga saham
(Maruddani dan Purbowati 2009)
2.3 Risiko
Risiko didefinisikan sebagai bahaya, kerugian atau awal dari kesialan. Apabila risiko dinyatakan sebagai penyimpangan dari hasil investasi yang akan diterima dengan keuntungan yang diharapkan maka digunakan ukuran penyebaran untuk mengukur risiko yaitu standar deviasi. Jika terdapat n return
maka ekspektasi return dapat diduga dengan rata-rata sampel return
̅ ∑
Return rata-rata kemudian digunakan untuk menduga ragam
Pendugaaan risiko dari harga saham didefinisikan sebagai akar dari ragam (simpangan baku) yaitu
√∑ ̅
Semakin besar nilai dari simpangan baku maka semakin besar risikonya. Simpangan baku tahunan (volatilitas) dapat didefinisikan sebagai berikut
√ ∑ ̅
dimana n = jumlah hari.
(Maruddani dan Purbowati 2009)
2.4 Value-at-Risk
Value-at-Risk (VaR) adalah kerugian maksimum yang bisa ditolerir oleh suatu perusahaan dengan tingkat kepercayaan tertentu. VaR biasanya digunakan oleh lembaga keuangan atau bank untuk mengukur risiko, walaupun sebenarnya VaR adalah suatu konsep umum yang dapat diterapkan untuk berbagai hal. VaR digunakan untuk menjawab seberapa besar kerugian yang diterima oleh suatu perusahaan selama waktu investasi dengan tingkat kepercayaan tertentu. Dalam hal ini, terdapat tiga variabel penting yaitu kerugian, periode waktu dan tingkat kepercayaan.
Diberikan tingkat kepercayaan ,
VaR dari portofolio dengan tingkat kepercayaan adalah bilangan terkecil l
sehingga peluang kerugian L melebihi l tidak
Periode waktu yang digunakan dalam mengukur risiko sangat bergantung pada jenis usaha yang dilakukan oleh suatu perusahaan. Semakin dinamis pergerakan faktor-faktor pasar untuk suatu usaha tertentu maka semakin singkat periode waktu yang digunakan dalam mengukur risiko.
(Maruddani dan Purbowati 2009) 2.6 Tingkat Kepercayaan
Menentukan tingkat kepercayaan dalam menghitung nilai risiko tergantung dari perusahaan tersebut. Tingkat kepercayaan merupakan peluang dimana VaR tidak akan melebihi kerugian maksimum. Pemilihan tingkat kepercayaan sangat penting karena dapat menggambarkan seberapa besar perusahaan akan menerima risiko.
(Maruddani dan Purbowati 2009) 2.7 Uji Normalitas
normalitas dilakukan dengan menggunakan uji Kolmogorov-Smirnov.
Hipotesis untuk saham tunggal : data return menyebar normal
Hipotesis untuk saham portofolio
: return dari komponen portofolio yang mengikuti sebaran normal bivariate : return dari komponen portofolio yang
tidak mengikuti sebaran normal bivariate
(Maruddani dan Purbowati 2009) 2.8 VaR dengan Simulasi Monte Carlo
Dalam menduga VaR, simulasi Monte Carlo mempunyai beberapa algoritma. Pada dasarnya simulasi Monte Carlo dilakukan dengan cara membangkitkan bilangan random berdasarkan karakteristik dari data yang akan dibangkitkan yang kemudian dapat digunakan untuk menduga VaR. VaR dengan simulasi Monte Carlo mengasumsikan bahwa
return berdistribusi normal.
(Maruddani dan Purbowati 2009) 2.9 VaR dengan Simulasi Monte Carlo
pada Saham Tunggal
VaR dengan simulasi Monte Carlo pada saham tunggal mengasumsikan bahwa return
saham menyebar normal. Secara umum,
algoritma simulasi Monte Carlo pada saham tunggal sebagai berikut:
1. Menentukan nilai parameter dari return
saham tunggal. Return diasumsikan menyebar normal dengan nilai tengah
dan simpangan baku
2. Lakukan simulasi nilai return dengan membangkitkan secara random return
saham tunggal dengan parameter yang diperoleh pada langkah 1 sebanyak n kali. 3. Mencari dugaan kerugian maksimum
pada tingkat kepercayaan (1-α) yang merupakan nilai kuantil α dari return
yang diperoleh pada langkah 2 kemudian dinotasikan dengan
4. Menghitung VaR dengan tingkat kepercayaan tertentu pada periode waktu t
dapat dilakukan dengan menggunakan rumus sehingga akan didapat kemungkinan nilai
VaR sebanyak m kali.
6. Menghitung rata-rata hasil dari langkah 5 untuk menstabilkan nilai VaR karena nilai
VaR yang didapat dari setiap simulasi berbeda.
(Maruddani dan Purbowati 2009) 2.10 Portofolio
Dalam karya ilmiah ini nilai N = 2 maka nilai tengah dan ragam dari return portofolio dapat ditulis sebagai berikut
[ ]
[
] [ ]
dengan didefiniskan sebagai matriks ragam-peragam.
(Maruddani dan Purbowati 2009) 2.11 Portofolio Optimal
Portofolio yang optimal adalah portofolio yang dipilih oleh investor dari sekian banyak pilihan yang ada pada kumpulan portofolio yang efisien. Salah satu metode dalam pembentukan portofolio optimal yaitu mean variance efficient portofolio (MVEP). Dalam
MVEP investor hanya berinvestasi pada aset-aset berisiko saja. MVEP didefinisikan sebagai portofolio yang memiliki ragam minimum diantara keseluruhan kemungkinan portofolio yang dapat dibentuk. Portofolio yang memiliki mean variance efisien adalah portofolio yang memiliki ragam minimum. Hal tersebut sama dengan mengoptimalisasi bobot
Dalam hal ini akan dicari vektor pembobot w agar portofolio yang dibentuk mempunyai ragam yang minimum berdasarkan dua constraints yaitu
1. Spesifikasi awal dari nilai tengah return
harus tercapai yaitu
2. Jumlah proporsi dari portofolio yang terbentuk sama dengan 1 yaitu
dimana adalah vektor satu dengan dimensi N x 1.
Permasalahan optimasi dapat dikerjakan dengan menggunakan fungsi Lagrange yaitu
( )
dimana
L = fungsi Lagrange = faktor pengali Lagrange
Untuk kasus portofolio dengan ragam efisien, tidak ada pembatasan pada nilai tengah portofolio sehingga pembobot pada
MVEP dengan return adalah
dimana invers matriks ragam-peragam. (Maruddani dan Purbowati 2009) 2.12 VaR dengan Simulasi Monte Carlo
pada Portofolio
VaR dengan simulasi Monte Carlo pada portofolio mengasumsikan bahwa return
saham-saham pembentuk portofolio menyebar normal bivariate. Secara umum, algoritma perhitungan VaR menggunakan simulasi Monte Carlo adalah sebagai berikut: 1. Menentukan nilai parameter untuk
variabel-variabel return saham serta korelasi antar variabel. Return saham-saham pembentuk portofolio diasumsikan menyebar normal bivariate sehingga parameter yang dibutuhkan adalah nilai tengah dan matriks ragam-peragam 2. Lakukan simulasi nilai return dengan
membangkitkan secara random return
saham-saham yang menyebar normal dengan parameter yang diperoleh pada langkah 1 sebanyak n kali.
3. Nilai return masing-masing saham pada waktu t yaitu dan yang dihasilkan pada langkah 2 digunakan untuk menghitung return portofolio pada waktu t yaitu 4. Mencari dugaan kerugian maksimum
pada tingkat kepercayaan (1-α) yang merupakan nilai kuantil α dari return
portofolio yang diperoleh pada langkah 3 kemudian dinotasikan dengan .
5. Menghitung VaR dengan tingkat kepercayaan tertentu pada periode waktu t
dapat dilakukan dengan menggunakan rumus
6. Ulangi langkah 2-4 sebanyak m kali akan didapat kemungkinan nilai VaR sebanyak
7. Menghitung rata-rata hasil dari langkah 6 untuk menstabilkan nilai VaR karena nilai
VaR yang didapat dari setiap simulasi berbeda.
(Maruddani dan Purbowati 2009) 2.13 Kestabilan Data
Dalam karya ilmiah ini digunakan kriteria stabilitas data 15% yang menyatakan bahwa secara umum jika 85% data masih berada pada 15% di atas dan di bawah nilai tengah maka data dikatakan stabil. Perhitungannya sebagai berikut:
1. Hitung interval data yaitu nilai tertinggi 0,15.
2. Menghitung nilai tengah data.
3. Menentukan batas atas (nilai tengah data ditambah setengah dari interval data). 4. Menentukan batas bawah (nilai tengah
data dikurangi setengah dari interval data).
5. Menentukan kestabilan data (menghitung banyaknya VaR yang berada pada selang
Salah satu pandangan yang penting dalam manajemen risiko dalam mengelola risiko adalah bahwa risiko dapat didekati dengan menggunakan kerangka pikir yang rasional. Pengukuran risiko merupakan elemen penting dalam manajemen risiko. Metode Value-at-Risk (VaR) merupakan bagian dari manajemen risiko. VaR saat ini telah banyak digunakan sebagai metode standar dalam mengukur risiko. Risiko bisa menyebar normal atau menyebar tidak normal.
3.1 Risiko
Risiko didefinisikan sebagai bahaya, kerugian atau awal dari kesialan. Pada konteks manajemen risiko, risiko sering dihubungkan dengan penyimpangan dari hasil investasi yang akan diterima dengan keuntungan yang diharapkan. Investor cenderung akan memilih investasi yang memiliki risiko lebih kecil. Suatu perusahaan perlu melakukan pengelolaan risiko.
Mengelola risiko adalah hidup disiplin dengan mengantisipasi kemungkinan bahwa kejadian yang akan datang bisa berdampak merugikan. Selain itu perusahaan juga perlu melakukan pengukuran risiko. Pengukuran risiko adalah suatu aktivitas yang merupakan bagian dari proses mengelola risiko untuk mentolerir seberapa besar risiko yang dapat diterima oleh suatu individu atau perusahaan. 3.2 Pengukuran Risiko
Di dalam institusi keuangan, mengukur risiko bisa dilakukan dengan berbagai macam cara, diantaranya adalah
1. Approaches to Risk Measurement
2. Value-at-Risk (VaR)
3. Other Risk Measure Based on Loss Distributions
Dalam karya ilmiah ini, pengukuran risiko yang akan dibahas lebih lanjut adalah Value-at-Risk (VaR). VaR biasanya paling banyak digunakan dalam institusi keuangan untuk melakukan pengukuran risiko.
3.3 Portofolio
Dalam karya ilmiah ini, portofolio didefinisikan sebagai gabungan dua atau lebih saham yang terpilih sebagai target investasi dari investor. Pada dasarnya pembentukan portofolio adalah untuk mengurangi risiko dengan cara diversifikasi yaitu mengalokasikan sejumlah dana pada berbagai macam alternatif investasi pada portofolio yang saling berkorelasi. Suatu portofolio dikatakan efisien jika memberikan risiko terkecil dengan dugaan return yang sama. Return dari portofolio didefinisikan pada persamaan (2.e).
Dalam karya ilmiah ini nilai N = 2 maka nilai tengah dan ragam dari return portofolio dapat ditulis sebagai berikut
[ ]
[
] [ ]
dengan didefiniskan sebagai matriks ragam-peragam.
3.4 Value-at-Risk
tertentu. Penggunaan VaR dalam mengukur risiko sudah dianggap sebagai metode standar dalam mengukur risiko. Aspek penting dalam menghitung VaR adalah menentukan jenis metodologi dan asumsi yang sesuai untuk sebaran return. Ada tiga macam metode dalam menghitung VaR yaitu simulasi Monte Carlo, metode parametrik dan simulasi historis. Masing-masing metode mempunyai kelebihan dan kekurangan. Simulasi Monte Carlo mengasumsikan return menyebar normal. Metode parametrik mengasumsikan bahwa return portofolio bersifat linier terhadap return saham tunggal sedangkan metode historis mengesampingkan asumsi bahwa antara return portofolio dan saham tunggal bersifat linier maupun menyebar normal.
Diberikan tingkat kepercayaan ,
VaR dari portofolio dengan tingkat kepercayaan adalah bilangan terkecil l
sehingga peluang kerugian L melebihi l tidak
3.5 Simulasi Monte Carlo
VaR dengan simulasi Monte Carlo mengasumsikan return menyebar normal. Simulasi Monte Carlo dilakukan dengan cara membangkitkan data secara acak dengan beberapa algoritma tertentu yang kemudian digunakan untuk menduga VaR.
3.6 Ilustrasi
3.6.1 Perhitungan VaR untuk Saham Tunggal
Dalam karya ilmiah ini akan dilakukan perhitungan Value-at-Risk (VaR) dengan simulasi Monte Carlo. Data yang digunakan adalah data return yang diperoleh dari perhitungan harga penutupan saham harian Bank X selama tahun 2011-2012. Data tersebut terdapat pada Lampiran 1.
Sebelum dilakukan perhitungan VaR, terlebih dahulu dilakukan uji asumsi kenormalan data untuk Bank X. Uji ini dilakukan dengan menggunakan uji Kolmogorov-Smirnov untuk mengetahui apakah return Bank X menyebar normal. Tingkat kepercayaan yang digunakan pada perhitungan VaR adalah 95%.
Uji dilakukan dengan hipotesis sebagai berikut
: data return menyebar normal : data return tidak menyebar normal Statistik Uji
Tingkat signifikasi yang digunakan adalah
Kriteria Uji
ditolak jika Nilai D didapat sebesar 0,011. D atau jarak vertikal antara dan dapat juga dilihat dari Gambar 1.
Gambar 1 Jarak Vertikal antara dan
Berdasarkan hasil perhitungan, nilai
yang berarti diterima. Jadi dapat
disimpulkan bahwa data return Bank X menyebar normal. Hal ini juga bisa terlihat dari Gambar 2
Gambar 2 Grafik Return Bank X
Setelah melakukan uji normalitas selanjutnya dilakukan perhitungan VaR dengan cara menghitung nilai dari return saham tunggal dengan menggunakan persamaan (2.a). Data untuk nilai terdapat pada Lampiran 2.
Setelah didapat nilai R kemudian dicari nilai tengah dan simpangan baku dari return. Untuk menghitung nilai tengah dapat menggunakan rumus
0.15 0.10 0.05 0.00 0.05 0.10 0.15
̅
didapat nilai tengah sebesar 0,000406 sedangkan untuk menghitung nilai simpangan baku dapat menggunakan rumus
√ ∑ ̅
didapat nilai simpangan baku sebesar 0,017208. Setelah didapat nilai tengah dan simpangan baku dari return kemudian perhitungan VaR dilakukan dengan simulasi Monte Carlo.
Pertama menentukan nilai parameter dari
return saham tunggal yang diasumsikan menyebar normal dengan nilai tengah μ dan simpangan baku σ. Seperti yang sudah diketahui bahwa μ = 0,000406 dan σ =
0,017208. Dengan menggunakan parameter di atas, simulasi nilai return dapat dilakukan secara random sebanyak 1000 kali. Setelah itu dicari nilai kuantil α dari return hasil simulasi yang dinotasikan dengan . Data untuk nilai terdapat pada Lampiran 3.
Tingkat kepercayaan yang digunakan adalah 95% dan periode waktunya adalah 250 hari. Menghitung VaR dengan tingkat kepercayaan tertentu dan periode waktu t
dapat dilakukan dengan menggunakan rumus
√ untuk nilai VaR terdapat pada Lampiran 3.
Dalam hal ini nilai diasumsikan 100000. Setelah didapat semua nilai VaR
kemudian dicari rata-ratanya untuk menstabilkan nilai VaR. Nilai rata-rata VaR
tersebut terdapat pada Tabel 1.
Tabel 1 Tabel Nilai Rata-Rata VaR untuk Saham Tunggal dengan n = 1000 Nilai m teoritis
keseluruhan
teoritis
keseluruhan
250 46351,59 58880,26
500 46337,48 46169,25 58701,19 58185,91
750 46270,31 58236,34
1000 46217,10 58231,07
Didapat rata-rata VaR dengan m = 1000 untuk adalah sebesar 46217,10 dan nilai rata-rata VaR untuk sebesar 58231,07. Perhitungan nilai VaR dengan yang berbeda merupakan suatu pilihan bagi perusahaan. Berdasarkan hasil di atas nilai
VaR dengan adalah sebesar 46217,10, hal ini menunjukkan bahwa peluang kerugian melebihi 46217,10 adalah kurang dari 5%. dari perhitungan harga penutupan saham
harian Bank X selama tahun 2011-2012 dan saham harian Bank Y selama tahun 2011-2012. Data tersebut terdapat pada Lampiran 1 dan 4.
Sebelum dilakukan perhitungan VaR, terlebih dahulu dilakukan uji asumsi kenormalan data untuk saham portofolio. Uji ini dilakukan dengan menggunakan uji Kolmogorov-Smirnov untuk mengetahui apakah return saham portofolio menyebar normal bivariate. Tingkat kepercayaan yang digunakan pada perhitungan VaR adalah 95%.
Uji dilakukan dengan hipotesis sebagai berikut
: return dari komponen portofolio yang tidak mengikuti sebaran normal bivariate
Statistik Uji
Tingkat signifikasi yang digunakan adalah
Kriteria Uji
ditolak jika Nilai
D didapat sebesar 0,07799. D atau jarak vertikal antara dan dapat juga dilihat dari Gambar 3.
Gambar 3 Jarak Vertikal antara dan
Berdasarkan hasil perhitungan, nilai
yang berarti diterima. Jadi dapat
disimpulkan bahwa return dari saham komponen portofolio diasumsikan menyebar normal bivariate. Hal ini juga bisa terlihat dari Gambar 4
Gambar 4 Grafik Return Portofolio
Setelah melakukan uji normalitas selanjutnya dilakukan perhitungan VaR dengan cara menghitung nilai dari return saham Bank X dan Bank Y dengan menggunakan persamaan (2.a). Data untuk nilai terdapat pada Lampiran 5.
Setelah didapat nilai R kemudian dicari
return hasil simulasi dengan menggunakan
parameter dan . Nilai dan diperoleh sebagai berikut
[ ] [ ]
= [ ]
Kemudian dicari nilai proporsi pada masing-masing saham dengan menggunakan rumus berikut
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]
= [ ]
Berdasarkan hasil di atas proporsi untuk saham Bank X sebesar 72% dan proporsi saham Bank Y sebesar 28%.
Setelah didapat return hasil simulasi dan nilai proporsi dari masing-masing saham maka nilai return portofolio dapat dicari dengan menggunakan rumus sebagai berikut
dengan
: return portofolio pada periode ke- t
: besarnya proporsi saham ke-1
: besarnya proporsi saham ke-2
kemudian dicari nilai kuantil α dari return
portofolio yang dinotasikan dengan . Data untuk nilai terdapat pada Lampiran 6.
Tingkat kepercayaan yang digunakan adalah 95% dan periode waktunya adalah 250 hari. Menghitung VaR dengan tingkat kepercayaan tertentu pada periode waktu t
dapat dilakukan dengan menggunakan rumus
√
dimana
: nilai awal saham
: nilai kuantil α dari return portofolio
: periode waktu
didapat nilai VaR sebanyak 1000 data. Data untuk nilai VaR terdapat pada Lampiran 6.
0.4 0.2 0.0 0.2 0.4
Dalam hal ini nilai diasumsikan 100000. Setelah didapat semua nilai VaR
kemudian dicari rata-ratanya untuk
menstabilkan nilai VaR. Nilai rata-rata VaR
tersebut terdapat pada Tabel 2.
Tabel 2 Tabel Nilai Rata-Rata VaR untuk Saham Portofolio dengan n = 1000 Nilai m teoritis
keseluruhan
teoritis
keseluruhan
250 38807,47 54865,52
500 38760,99 35101,28 54767,49 52177,58
750 38660,53 54370,09
1000 38651,41 54312,12
Didapat rata-rata VaR dengan m = 1000 dengan adalah sebesar 38651,41 dan nilai rata-rata VaR untuk sebesar 54312,12. Perhitungan nilai VaR
dengan yang berbeda merupakan suatu pilihan bagi perusahaan. Berdasarkan hasil di atas nilai VaR dengan adalah sebesar 38651,41, hal ini menunjukkan bahwa peluang kerugian melebihi 38651,41 adalah kurang dari 5%.
Dari hasil di atas VaR portofolio lebih rendah jika dibandingkan dengan VaR saham tunggal. Hal ini diharapkan terjadinya efek diversifikasi. Diversifikasi sangat penting bagi investor karena dapat meminimumkan risiko tanpa harus mengurangi return yang diterima. Diversifikasi ini disebabkan karena korelasi yang rendah yaitu sebesar 0,0208. Jika nilai korelasi lebih kecil dari 1 maka akan menurunkan risiko portofolio.
3.7 Kestabilan Data
Perhitungan mengenai kestabilan data akan dilakukan untuk semua nilai VaR baik saham tunggal maupun saham portofolio dengan m yang berbeda-beda.
a) VaR saham tunggal i. Nilai m = 250
Berdasarkan definisi 2.13 maka didapat kestabilan data untuk
adalah sebesar 79,6%. Jadi dapat
disimpulkan bahwa data tidak stabil. ii. Nilai m = 500
Berdasarkan definisi 2.13 maka didapat kestabilan data untuk
adalah sebesar 82,8%. Jadi dapat
disimpulkan bahwa data tidak stabil. iii. Nilai m = 750
Berdasarkan definisi 2.13 maka didapat kestabilan data untuk
adalah sebesar 84%. Jadi dapat
disimpulkan bahwa data tidak stabil. iv. Nilai m = 1000
Berdasarkan definisi 2.13 maka didapat kestabilan data untuk
adalah sebesar 89,8%. Jadi dapat
disimpulkan bahwa data stabil. b) VaR saham portofolio
i. Nilai m = 250
Berdasarkan definisi 2.13 maka didapat kestabilan data untuk
adalah sebesar 70%. Jadi dapat
disimpulkan bahwa data tidak stabil. ii. Nilai m = 500
Berdasarkan definisi 2.13 maka didapat kestabilan data untuk
adalah sebesar 70,2%. Jadi dapat
disimpulkan bahwa data tidak stabil. iii.Nilai m = 750
Berdasarkan definisi 2.13 maka didapat kestabilan data untuk
adalah sebesar 86,4%. Jadi dapat
disimpulkan bahwa data stabil. iv. Nilai m = 1000
Berdasarkan definisi 2.13 maka didapat kestabilan data untuk
adalah sebesar 87%. Jadi dapat
disimpulkan bahwa data stabil.
Berdasarkan perhitungan di atas nilai m
IV SIMPULAN DAN SARAN
4.1 Simpulan
Mengukur risiko dengan menggunakan
Value-at-Risk (VaR) melalui simulasi Monte Carlo dapat dilakukan untuk mengukur risiko saham tunggal dan portofolio. Kestabilan nilai VaR dipengaruhi oleh nilai m yaitu banyaknya pengulangan yang dilakukan dalam menghitung VaR, semakin besar nilai
m maka nilai VaR semakin stabil.
4.2 Saran
Dalam menghitung nilai VaR dapat dilakukan dengan menggunakan metode yang lain dan dengan tingkat kepercayaan yang berbeda.
DAFTAR PUSTAKA
Grimmett GR, Stirzaker DR. 1992.
Probability and Random Processes. 2nd edition. Oxford: University Press. Hogg RV, McKean JW, Craig AT. 2005.
Introduction to Mathematical Statistics. 6th edition. United State of Amerika: Pearson Education, Inc. http://finance.yahoo.com/q/hp?s= Bank X +
Historical + Prices [1 januari 2012] http://finance.yahoo.com/q/hp?s= Bank Y +
Historical + Prices [1 januari 2012]
Maruddani AI, Purbowati A. 2009. Pengukuran Value-at-Risk pada Aset Tunggal dan Portofolio dengan Simulasi Monte Carlo. http://eprints.undip.ac.id/8528/1/4.pdf [ 5 Agustus 2011].
McNeil AJ, Frey R, Embrechts P. 2005.
Quantitative Risk Management. New Jersey: Princeton University Press. Ross SM. 2003. Introduction to Probability
Models. Burlington: Elsevier, Inc. Sunanto J, Takeuchi K, Nakata H. 2005.
Penelitian dengan Subyek Tunggal. Bandung: UPI Press.
.
Lampiran 2 Tabel Nilai untuk Saham Bank X
No. Tanggal Harga 1 26/07/2011 34,66
2 27/07/2011 34,76 1,002885 0,002881 3 28/07/2011 34,93 1,004890 0,004879 4 29/07/2011 34,90 0,999141 -0,000859 5 01/08/2011 35,23 1,009456 0,009411
No.
945 0,0290 0,0363 45853,03 57395,34 946 0,0291 0,0380 46011,14 60083,28 947 0,0278 0,0394 43955,66 62233,62 948 0,0312 0,0360 49331,53 56952,62 949 0,0275 0,0387 43528,75 61111,02 950 0,0300 0,0359 47434,16 56715,45 951 0,0293 0,0386 46279,93 60968,71 952 0,0320 0,0358 50596,44 56668,02 953 0,0287 0,0386 45315,44 60952,90 954 0,0296 0,0393 46801,71 62075,51 955 0,0300 0,0385 47434,16 60826,41 956 0,0289 0,0381 45742,35 60241,39 957 0,0288 0,0365 45552,61 57711,57 958 0,0294 0,0386 46469,67 61031,96 959 0,0287 0,0397 45378,68 62802,83 960 0,0289 0,0394 45694,91 62296,87 961 0,0285 0,0374 45062,46 59055,54 962 0,0297 0,0314 46944,01 49600,33 963 0,0279 0,0398 44097,96 62913,51 964 0,0278 0,0358 43955,66 56668,02 965 0,0285 0,0347 45062,46 54786,46 966 0,0284 0,0386 44951,78 61016,15 967 0,0282 0,0350 44635,55 55371,48 968 0,0289 0,0389 45758,16 61553,73 969 0,0285 0,0363 44983,40 57442,77 970 0,0272 0,0379 42975,35 59988,41 971 0,0298 0,0370 47117,94 58423,08 972 0,0279 0,0358 44066,34 56604,77
No.
Lampiran 5 Tabel Nilai R untuk Saham Bank Y
No. Tanggal Harga 1 16/11/2011 38,75
No.
945 0,022 0,031 34785,05 49015,30 946 0,024 0,034 37947,33 53758,72 947 0,024 0,032 37947,33 50596,44 948 0,024 0,036 37947,33 56921,00 949 0,026 0,032 41109,61 50596,44 950 0,026 0,030 41109,61 47434,16 951 0,025 0,031 39528,47 49015,30 952 0,021 0,030 33203,92 47434,16 953 0,027 0,033 42690,75 52177,58 954 0,024 0,035 37947,33 55339,86 955 0,025 0,036 39528,47 56921,00 956 0,024 0,034 37947,33 53758,72 957 0,022 0,028 34785,05 44271,89 958 0,027 0,035 42690,75 55339,86 959 0,026 0,030 41109,61 47434,16 960 0,026 0,031 41109,61 49015,30 961 0,027 0,034 42690,75 53758,72 962 0,024 0,034 37947,33 53758,72 963 0,025 0,033 39528,47 52177,58 964 0,024 0,036 37947,33 56921,00 965 0,027 0,037 42690,75 58502,14 966 0,024 0,032 37947,33 50596,44 967 0,024 0,032 37947,33 50596,44 968 0,027 0,029 42690,75 45853,03 969 0,020 0,030 31622,78 47434,16 970 0,023 0,034 36366,19 53758,72 971 0,025 0,030 39528,47 47434,16 972 0,023 0,028 36366,19 44271,89
No.
Lampiran 7 Program Simulasi untuk Saham Tunggal
n:= 250; := 0.000406 := 0.017208;
data1:= Transpose[RandomReal[NormalDistribution[ ],{1,n}]]
data1;
Quantile[ q]
Lampiran 8 Program Simulasi untuk Saham Portofolio
sample:= RandomReal[ =Binormal[{ },{ }, ],n]; sample;
