PEMODELAN HARGA SAHAM MENGGUNAKAN MODEL LÉVY
DAN MODEL BLACK-SCHOLES
EDY SISWANTO
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
ABSTRAK
EDY SISWANTO. Pemodelan Harga Saham Menggunakan Model Lévy dan Model Black-Scholes. Dibimbing oleh RETNO BUDIARTI dan I GUSTI PUTU PURNABA.
Saham dapat menghasilkan keuntungan yang tinggi. Tetapi, saham juga memiliki risiko yang tinggi pula, karena harga saham berfluktuasi seiring dengan bertambahnya waktu. Oleh karena itu, diperlukan model yang tepat untuk menduga harga saham yang akan datang. Di dalam karya ilmiah ini, model Lévy dibandingkan dengan model Black-Scholes untuk menduga harga saham Bank of America Corporation. Akibatnya, dapat disimpulkan bahwa model Black-Scholes lebih tepat dari pada model Lévy.
ABSTRACT
EDY SISWANTO. Modeling Stock Prices Use the Model of Lévy and Model Black-Scholes. Guided by RETNO BUDIARTI and I GUSTI PUTU PURNABA.
Stock may produce high profits. However, it has a high risk as well, because the stock prices fluctuate over time. Therefore, a model is required to estimate the future stock prices accurately. In this paper, Lévy model is compared to Black-Scholes model in estimating the stock price at Bank of America Corporation. As a result, it is concluded that the Black-Scholes model is more accurate than Lévy model.
PEMODELAN HARGA SAHAM MENGGUNAKAN MODEL LÉVY
DAN MODEL BLACK-SCHOLES
EDY SISWANTO
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Judul Skripsi
: Pemodelan Harga Saham Menggunakan Model Lévy dan Model
Black-Scholes
Nama
: Edy Siswanto
NIM
: G54080029
Disetujui
Pembimbing I
Ir. Retno Budiarti, MS
NIP. 19610729 198903 2 001
Pembimbing II
Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA
NIP. 19651218 199002 1 001
Diketahui
Ketua Departemen Matematika
Dr. Berlian Setiawaty, MS
NIP. 19650505 198903 2 004
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya serta sholawat dan salam kepada Nabi Muhammad SAW sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak terlepas dari peran berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:
1. Keluarga tercinta: Ibu (terima kasih atas dukungan, doa, semangat, kesabaran); Ayah (terima kasih atas doanya, atas kesabarannya selama ini untuk mendukung dan menunggu kelulusan saya); serta kepada adik, nenek, paman, bibi, dan yang lainnya (terima kasih atas semangatnya dan dukungannya).
2. Ir. Retno Budiarti, MS selaku dosen pembimbing 1 (terima kasih atas kesabarannya, ilmunya, bimbingannya, dan semuanya).
3. Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA selaku dosen pembimbing 2 (terima kasih atas bimbingan dan dukungan semangatnya, semua koreksi-koreksinya sehingga dapat menyempurnakan karya ilmiah ini).
4. Segenap dosen Departemen Matematika yang tidak bisa saya sebutkan satu-satu. Terima kasih atas ilmunya.
5. Staf Departemen Matematika: Pak Yono, Mas Heri, Bu Susi, dan lain-lain (terima kasih atas bantuannya).
6. Sahabat-sahabat terbaikku. Sahabat sekelas ku. Maaf jika sudah membuat kalian tidak enak hati. Tetap semangat dan selalu jalin silaturahim yang baik.
7. Sahabat yang dulu pernah sekamar: Adit, Kak Kindi, Mas Okta, Kak Aris, Akhi Ganteng, dauble Aziz, dan sahabat-sahabat seperjuangan di Asrama Al-Hurriyyah. Terima kasih atas dukungannya, lingkungan orang-orang yang beriman, insya Allah.
8. Terkhusus untuk sahabat satu angkatan di asrama Abdul Basir dan Zay. Kalian luar biasa inspiratif.
9. Untuk sahabatku yang telah lebih mendahului menghadap kapada-Nya, Dika Alif Utama. Engkau sahabat terbaik, semoga Allah memberikan tempat yang terbaik disisi-Nya.
10. Untuk sahabat-sahabat di SDM Al-Hurriyyah 2012: Eko, Ego, Tika, Titi, Ines, Leli, Silvi, dan Puput. Tim 9 yang luar biasa tangguh membina adik-adik angkatan 46, 47, dan 48 yang jumlahnya sekitar 160 orang.
11. Adik-adik pengurus Puskomnas FSLDK Indonesia, tetap semangat. Target Indonesia madani yakin akan terwujud karena kita mampu untuk mewujudkannya.
12. Teman-teman lainnya yang telah mendukung selama ini, baik materiil maupun moril.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.
Bogor, April 2013
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Lampung pada tanggal 13 Agustus 1990 dari bapak Sukoto dan ibu Parjiyem.
Penulis memulai mengenyam pendidikan formal di SD Negeri 04 Penagan Ratu Lampung Utara lulus pada tahun 2002. Kemudian melanjutkan sekolah di SMP Negeri 6 Kota Metro lulus pada tahun 2005. Kemudian melanjutkan lagi di SMA Negeri 3 Kota Metro lulus pada tahun 2008. Setelah lulus SMA penulis melanjutkan kuliah di Institut Pertanian Bogor (IPB) Departemen Matematika masuk pada tahun 2008 melalui jalur USMI.
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR GAMBAR ... ix
DAFTAR LAMPIRAN ... ix
I PENDAHULUAN ... 1
1.1 Latar Belakang ... 1
1.2 Tujuan Penulisan... 1
1.3 Sistematika Penulisan ... 1
II LANDASAN TEORI ... 2
2.1 Berbagai Definisi ... 2
2.2 Gerak Brown ... 4
2.3 Martingale ... 4
2.4 Proses Lévy ... 5
2.5 Model Black-Scholes ... 5
2.6 Mean Absolute Percentage Error (MAPE)... 5
III PEMBAHASAN ... 6
3.1 Data Simulasi ... 6
3.2 Model Lévy ... 7
3.3 Model Black-Scholes ... 7
3.4 Analisis Ketepatan Pemodelan Model Lévy dan Model Black-Scholes ... 10
IV SIMPULAN DAN SARAN ... 11
4.1 Simpulan ... 11
4.2 Saran ... 11
DAFTAR PUSTAKA ... 12
DAFTAR GAMBAR
1 Grafik Garis Data Penutupan Harga Saham Bank of America Corporation Periode 3 Januari sampai dengan 29 Desember 2000. ... 6 2 Plot Normal Q-Q Data Penutupan Harga Saham Bank ofAmerica Corporation Periode 3
Januari sampai dengan 29 Desember 2000. ... 6 3 Grafik Hasil Peramalan Harga Saham Model Lévy Bank of America Corporation Periode 2
Januari sampai dengan 14 Maret 2001. ... 7 4 Grafik Hasil Peramalan Harga Saham Model Black-Scholes Bank of America Corporation
Periode 2 Januari sampai dengan 14 Maret 2001. ... 9 5 Grafik Hasil Peramalan Harga Saham Model Lévy, Model Black-Scholes, dan Harga Saham
Aktual dari Bank of America Corporation Periode 2 Januari sampai dengan 14 Maret 2001. . 10
DAFTAR LAMPIRAN
1 Tabel Penutupan Harga Saham dan ReturnBank of America Corporation ... 14 2 Uji Normalitas Data Penutupan Harga Saham BankofAmerican Corporation dengan
Kolmogorov-Smirnov ... 14 3 Hasil Analisis Data menggunakan Perangkat Lunak ... 18 4 Tabel Hasil Pendugaan Penutupan Harga Saham Bankof America Corporation menggunakan
Model Lévy ... 19 5 Tabel Hasil Pendugaan Penutupan Harga Saham Bank of America Corporation menggunakan
Model Black-Scholes ... 21 6 Tabel Perbandingan Hasil Pendugaan Penutupan Harga Saham Bank of America Corporation
I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Saham merupakan surat bukti kepemilikan atas aset-aset perusahaan yang menerbitkan saham (Tandelilin 2001). Saham memberikan bukti kepemilikan atas perusahaan sehingga para pemegang saham berhak menentukan arah kebijakan perusahaan lewat Rapat Umum Pemegang Saham (RUPS). Sebaliknya, pemegang saham pun turut menanggung risiko sebesar proporsional dengan banyaknya saham yang dimiliki apabila perusahaan tersebut bangkrut. Derajat kepemilikan seseorang di dalam suatu perusahaan tercermin dari sedikit banyaknya lembar saham yang dimiliki. Semakin banyak lembar yang dimiliki maka akan semakin besar derajat kepemilikan atas perusahaan tersebut.
Perkembangan Bursa Efek Indonesia (BEI) menunjukkan bahwa saham semakin banyak peminatnya. Awalnya wujud saham berupa selembar kertas yang menerangkan siapa pemiliknya. Beberapa tahun yang lalu sistem tanpa warkat sudah diberlakukan di Bursa Efek Jakarta (saat ini berubah menjadi Bursa Efek Indonesia) dimana bentuk kepemilikan tidak lagi berupa lembaran saham yang diberi nama pemiliknya tapi sudah berupa account atas nama pemilik atau saham tanpa warkat. Jadi penyelesaian transaksi akan semakin cepat dan mudah karena tidak melalui surat, formulir, dan prosedur yang berbelit-belit. Saham ini diharapkan bisa menjadi alternatif penghimpunan dana selain sistem perbankan. Dengan menjual saham kepada publik, perusahaan dapat menghimpun dana dari masyarakat, adapun tujuan penggunaan dananya dapat untuk ekspansi, memperbaiki struktur permodalan, pengalihan pemegang saham (divestasi) dan lain-lainnya.
Perubahan harga saham dari waktu ke waktu sangat berpengaruh bagi para pemegang saham. Realisasinya harga saham berfluktuasi dari waktu ke waktu. Oleh karena itu, diperlukan model harga saham untuk meramalkan harga saham untuk meminimumkan risiko di masa yang akan datang. Oleh karena itu, perlu dicari model
yang tepat dalam meramalkan harga saham tersebut, agar para pemegang saham dapat mengoptimalkan keuntungan dan meminimumkan risiko yang ada.
Untuk meminimumkan risiko yang dihadapi para pemegang saham, beberapa ahli telah banyak melakukan penelitian untuk mendapatkan model yang dapat meramalkan harga saham yang sesuai dengan harga saham aktual. Di antara penelitian yang telah dilakukan adalah penelitian oleh Fisher Black dan Myron Scholes tahun 1973 yang menghasilkan model Black-Scholes dan penelitian yang dilakukan oleh Paul Pierre Lévy tahun 1913 yang menghasilkan model Lévy. Model Black-Scholes dan model Lévy digunakan untuk meramalkan penutupan harga saham Bank of America Corporation yang akan datang. Dari hasil peramalan kedua model akan dibandingkan untuk mengetahui model yang lebih tepat dalam meramalkan harga saham Bank of America Corporation yang akan datang, sehingga risiko yang akan ditanggung oleh pemegang saham dapat diminimumkan.
1.2 Tujuan Penulisan
Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah
1. Memodelkan penutupan harga saham menggunakan model Lévy dan model Black-Scholes.
2. Mengetahui ketepatan model Lévy dan model Black-Scholes dalam meramalkan penutupan harga saham.
1.3 Sistematika Penulisan
II LANDASAN TEORI
2.1 Berbagai Definisi
Pada bagian ini akan dijelaskan berbagai definisi yang digunakan dalam makalah ini.
Percobaan Acak
Suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama dan semua kemungkinan hasil yang muncul dapat diketahui tetapi hasilnya tidak dapat ditentukan dengan tepat disebut percobaan acak.
(Ross 2003)
Ruang Contoh
Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak dan dinotasikan dengan .
(Grimmett dan Stirzaker 1992)
Medan–
Medan– adalah suatu himpunan yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian ruang contoh , yang memenuhi peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperti . (probability density function) bagi X.
(Grimmett dan stirzaker 1992)
Nilai Harapan untuk Peubah Acak Kontinu
Nilai harapan untuk peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang adalah
∫ asal integralnya ada.
(Grimmett dan stirzaker 1992)
Simpangan Baku dan Ragam Peubah ke yang memenuhi sifat-sifat berikut:
2. dan karenanya ,
3. ∑
(Ghahramani 2005)
Nilai Harapan Peubah Acak Diskret Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang , maka nilai harapan dari X, dinotasikan dengan , adalah
∑
Beberapa sifat dari nilai harapan
1.Jika k suatu konstanta, maka .
Ragam dan Standar Deviasi Peubah Acak Diskret memiliki fungsi kepekatan peluang (probability density function) sebagai berikut:
√ ;
Sebaran normal yang memiliki nilai rata-rata 0, dan ragam 1 disebut sebaran normal baku. Peubah acak Z yang menyebar normal baku memiliki fungsi kepekatan peluang
√ ; (Grimmett dan Stirzaker 1992)
Sebaran Poisson
Peubah acak X yang menyatakan banyaknya hasil percobaan dalam suatu percobaan Poisson disebut peubah acak Poisson, dan sebaran peluangnya disebut sebaran Poisson.
Sebaran peluang bagi peubah acak Poisson X, yang menyatakan banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama selang waktu atau daerah tertentu adalah
, untuk x = 0, 1, 2, ....
sedangkan dalam hal ini adalah rata-rata hasil percobaan yang terjadi selama selang waktu atau dalam daerah yang dinyatakan,
Proses stokastik didefinisikan sebagai barisan peubah acak dengan T adalah himpunan parameter waktu. Jika T adalah himpunan tercacah seperti T = {1,2,...}, maka proses stokastik dikatakan sebagai proses stokastik diskret. Jika T adalah suatu interval seperti
atau maka proses stokastik dikatakan sebagai proses stokastik kontinu.
Rantai Markov
menyatakan banyak kejadian yang telah terjadi sampai waktu t.
Proses pencacahan harus memenuhi syarat-syarat berikut ini :
dengan banyaknya kejadian yang terjadi pada selang (s,t].
Inkremen Bebas
Suatu proses pencacahan disebut memiliki inkremen bebas jika banyaknya kejadian yang terjadi pada sembarang dua selang (interval) waktu yang tidak tumpang tindih (tidak overlap) adalah bebas.
Jadi pada proses pencacahan yang memiliki inkremen bebas maka banyaknya kejadian yang telah terjadi pada waktu t,
Suatu proses pencacahan disebut memiliki inkremen stasioner jika sebaran dari banyaknya kejadian yang terjadi pada sembarang selang waktu, hanya tergantung dari panjang selang tersebut. Dengan kata lain, suatu proses pencacahan disebut memiliki inkremen stasioner jika banyaknya kejadian pada selang waktu ,
2. Proses tersebut memiliki inkremen bebas, 3. Banyaknya kejadian pada sembarang
sehingga
Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa suatu proses stokastik yang bersifat martingale maka proses tersebut akan memiliki rataan yang konstan.
(Taylor 1998)
2.4 Proses Lévy
Model Lévy telah lama digunakan di bidang matematika keuangan. Model Lévy merupakan salah satu proses stokastik diskret yang cukup banyak aplikasinya dan dapat digunakan untuk membangun model yang lebih realistis.
Proses stokastik dengan nilai di dalam disebut proses Lévy jika memenuhi kondisi berikut ini :
1. ,
Upaya untuk merumuskan bagaimana menghitung harga saham yang sebenarnya (nilai intrinsik) telah dilakukan dalam setiap analisis dengan tujuan mendapatkan tingkat pengembalian (return) yang memuaskan.
Dalam model Black-Scholes, diasumsikan harga saham bergerak secara acak dan mengikuti proses Wiener. Selain itu, model ini memiliki beberapa asumsi yang harus dipenuhi, yaitu tidak ada pemberian deviden dan tingkat suku bunga konstan. Untuk memodelkan harga saham, perlu dilakukan pemisalan-pemisalan dari faktor-faktor yang terkait dengan rumus matematika. Hal ini bertujuan untuk mengetahui sifat-sifatnya dan keterkaitan dengan unsur-unsurnya serta dalam hal menarik kesimpulan tentang model yang diamati lebih lanjut.
Secara matematis model Black-Scholes dapat ditulis sebagai berikut:
2.6 Mean Absolute Percentage Error
(MAPE)
Setelah melakukan peramalan, ketepatan peramalan dapat dicari dengan menghitung Mean Absolute Percentage Error (MAPE), dengan rumus sebagai berikut
∑ | Semakin kecil nilai MAPE menunjukkan data hasil peramalan semakin mendekati nilai aktual.
III PEMBAHASAN
Pada aplikasi model harga saham dengan menggunakan model Lévy dan model Black-Scholes ini, penulis menerapkannya pada penutupan harga saham Bank of America Corporation. Ada dua permasalahan yang akan dibahas dalam aplikasi model ini, yaitu: pertama, menduga penutupan harga saham yang akan datang menggunakan model Lévy dan model Black-Scholes, dan kedua, membandingkan
ketepatan model dalam memprediksi penutupan harga saham yang akan datang.
3.1 Data Simulasi
Data yang akan digunakan untuk simulasi yaitu data penutupan harga saham harian Bank of America Corporation (kecuali hari libur dan non trading day) pada periode 3 Januari sampai dengan 29 Desember 2000. Data diambil dari www.finance.yahoo.com (Lampiran 1).
Gambar 1 Grafik Garis Data Penutupan Harga Saham Bank of America Corporation Periode 3 Januari sampai dengan 29 Desember 2000.
Sebelum dilakukan pengelolaan data, terlebih dahulu ditentukan apakah data penutupan harga saham (Lampiran 1) sudah berdistribusi normal ataukah belum.
Kenormalan data penutupan harga saham dapat ditunjukkan melalui Gambar 2.
Dari Gambar 2, terlihat bahwa data berdistribusi normal. Hal ini ditunjukkan oleh sebaran data pada plot normal Q-Q berkumpul atau berada di sekitar garis regresi dugaan. Diperjelas dengan hasil uji kenormalan data dengan uji Kolmogorov-Smirnov (Lampiran 2).
3.2 Model Lévy
Selanjutnya akan dilakukan pemodelan menggunakan model Lévy. Model Lévy dapat dirumuskan sebagai berikut :
(1) dibangkitkan menggunakan sebaran normal dengan rataan nol dan simpangan baku satu dan nilai yang dibangkitkan dengan menggunakan sebaran Poisson dengan = 49.
Setelah dan didapat, kemudian akan ditentukan simpangan baku (σ) dan nilai harapan (α) dari . Dengan bantuan perangkat lunak dapat diketahui bahwa analisis regresi berganda dari persamaan (1) menghasilkan simpangan baku dan nilai harapan , sehingga diperoleh model dugaan yaitu,
(2)
Hasil analisis disajikan pada Lampiran 3.
Peramalan
Selanjutnya dilakukan peramalan penutupan harga saham untuk hari ke depan dengan menggunakan model Lévy pada persamaan (2).
Gambar 3 Grafik Hasil Peramalan Harga Saham Model Lévy Bank of America Corporation Periode 2 Januari sampai dengan 14 Maret 2001.
3.3 Model Black-Scholes
Model Black-Scholes dapat ditulis sebagai berikut:
(3)
dengan adalah harga saham, adalah nilai harapan , volatilitas dari harga saham, dan adalah gerak Brown.
dalam bentuk logaritmanya, maka akan diperoleh
(5)
Berdasarkan persamaan (4) diketahui berdistribusi log normal, sehingga perlu diubah ke dalam bentuk logaritma seperti persamaan (5) agar menjadi berdistribusi normal.
Teorema Girsanov (Elliot 2000)
Misal dengan adalah suatu gerak Brown di suatu ruang peluang dan misalkan adalah filtrasi yang dibangkitkan oleh gerak Brown. Misalkan pula dengan adalah suatu proses yang teradaptasi oleh filtrasi Untuk didefinisikan ̂
Penetapan Teorema Girsanov ini digunakan untuk memodelkan diskonto aset berisiko, yaitu
̃ (7)
Persamaan (7) jika didiferensialkan, akan diperoleh
Dengan menggunakan Teorema Girsanov dan memisalkan , maka akan diperoleh besaran probabilitas di dalam ruang , yaitu
∫ ∫
Berdasarkan persamaan (6), maka akan diperoleh
Kemudian persamaan tersebut diturunkan, sehingga diperoleh
̂ (10) ̂
̂ (11)
̃
̂
̂ (13)
Kemudian subtitusi persamaan (11) ke persamaan (4), maka akan diperoleh
̂ ̂
dengan ̂ adalah gerak Brown.
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa suatu aset berisiko dapat dimodelkan ke dalam persamaan yang bebas dari
Berdasarkan informasi di atas, akan ditentukan model untuk menduga penutupan harga saham Bank of America Corporation. Langkah pertama ditentukan variabel-variabel yang dibutuhkan dalam pemodelan, yaitu ̂ yang dibangkitkan menggunakan
sebaran normal dengan rataan nol dan simpangan baku sama dengan 0,1.
Selanjutnya yang akan dicari adalah penduga volatilitas dari harga saham Corporation pada periode 3 Januari sampai dengan 29 Desember 2000, yaitu sebanyak 252 data. Dengan menggunakan persamaan (16), diperoleh
√
Sehingga diperoleh model dugaan sebagai berikut
Selanjutnya dilakukan peramalan dengan menggunakan persamaan (17), dengan memisalkan suku bunga bebas risiko (r) sebesar 4,25%, diperoleh hasil peramalan harga saham sebagai berikut: (Lampiran 5)
3.4 Analisis Ketepatan Pemodelan Model Lévy dan Model Black-Scholes
Validasi model diperlukan untuk melihat ketepatan model yang digunakan
untuk pendugaan, yaitu membandingkan antara data aktual dengan data peramalan yang dihasilkan oleh kedua model. (Lampiran 6).
Gambar 5 Grafik Hasil Peramalan Harga Saham Model Lévy, Model Black-Scholes, dan Harga Saham Aktual dari Bank of America Corporation Periode 2 Januari sampai dengan 14 Maret 2001.
Dari Gambar 5 dapat diketahui bahwa pola data aktual lebih mirip dengan model Black-Scholes dibandingkan dengan hasil peramalan menggunakan model Lévy yang cenderung fluktuatif. Hal ini terbukti dari nilai Mean Absolute Percentage Error (MAPE) dari model Black-Scholes lebih kecil daripada nilai Mean Absolute Percentage Error (MAPE) dari model Lévy. Nilai MAPE dari model Black-Scholes adalah 9,292%, sedangkan nilai MAPE dari model Lévy adalah 11,3484%. Semakin kecil nilai MAPE, hasil pendugaan lebih mendekati nilai aktual. Jadi dapat disimpulkan pendugaan menggunakan model Black-Scholes pada penutupan harga saham Bank of America Corporation lebih baik dari pada menggunakan model Lévy. Bagi investor, data hasil peramalan kedua model tersebut dapat digunakan untuk melihat pergerakan harga saham. Misalkan, dapat dilihat data hasil peramalan menggunakan model Black-Scholes pada
hari kelima terlihat bahwa harga saham turun maka investor membeli saham Bank of America Corporation. Pada hari kesepuluh harga saham naik, maka investor menjual sahamnya agar mendapatkan keuntungan dari harga penjualan tersebut.
IV SIMPULAN DAN SARAN
4.1 Simpulan
Penutupan harga saham dapat dimodelkan dengan menggunakan model Lévy dan model Black-Scholes. Penutupan harga saham bersifat stokastik sehingga model Lévy dan model Black-Scholes dapat digunakan untuk memodelkan penutupan harga saham. Dari hasil pendugaan penutupan harga saham Bank of America Corporation menggunakan model Lévy dan model Black-Scholes masing-masing menghasilkan nilai Mean Absolute Percentage Error (MAPE) yaitu 11,3484% untuk model Lévy, sedangkan untuk model Black-Scholes menghasilkan nilai Mean
Absolute Percentage Error (MAPE) yaitu 9,292%. Semakin kecil nilai MAPE, pendugaan lebih mendekati nilai aktual. Jadi pendugaan menggunakan model Black-Scholes lebih tepat dibandingkan pendugaan menggunakan model Lévy.
4.2 Saran
Penulis menyarankan untuk mengkaji lebih lanjut dari model Lévy dengan data penutupan harga saham lain yang memiliki tingkat volatility lebih tinggi, sehingga dapat meramalkan penutupan harga saham yang mendekati nilai aktual.
DAFTAR PUSTAKA
Black F, Scholes M. 1973. The Pricing of Corporate Liabilities. Chicago: The University of Chicago Press.
Bowerman BL, O’Connell RT. 1987. Time Series Forecasting. Inufied Concepts and Computer Implementation. 2nd edition. Boston : Duxbury Press. Eberlien E. 2001. Application of
Generalized Hyperbolic Lévy Motions to Finance.
http://www.stochastik.uni-freiburg.de/homepages/eberlein/paper s/LévyProcesses-010124.pdf [26 September 2012].
Elliott RJ, Kopp PE. 2000. Mathematics of Financial Market. New York: Springer.
Ghahramani S. 2005. Fundamentals of Probability. New Jersey : Prentice Hall, Inc.
Grimmett GR, Stirzaker DR. 1992. Probability and Random Processes. 2nd edition. Oxford : University Press.
Hull JC. 2006. Options, Futures, and Other Derivatives. 6th edition. New Jarsey : Pearson Education.
http://finance.yahoo.com [25 November 2012].
Privault N. 2008. Note on Stochastic Finance. New York: University Press.
Ross SM. 2003. Introduction to Probability Models. Burlington : Elsever, Inc. Tandelilin E. 2001. Analisis dan Manajemen
Portofolio. Edisi Pertama. Yogyakarta: BPFE Yogyakarta. Taylor HM, Karlin. 1998. An Introduction
Stochastic Modelling. San Diego: Academic Press.
Lampiran 2 Uji Normalitas Data Penutupan Harga Saham BankofAmerican Corporation dengan Kolmogorov-Smirnov
Hipotesis
H0 : Data berdistribusi normal H1 : Data tidak berdistribusi normal Tingkat signifikasi :
Daerah kritis : H0 ditolak jika Statistik uji : Uji Kolmogorov-Smirnov
Perhitungan :
One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test
Saham
N 252
Normal Parameters(a,b) Mean 48,6730 Std. Deviation 4,5843 Most Extreme
Differences
Absolute 0,0650
Positive 0,0530
Negative -0,0650
Kolmogorov-Smirnov Z 1,0330
Asymp. Sig. (2-tailed) 0,2360
a Test distribution is Normal. b Calculated from data.
Lampiran 3 Hasil Analisis Data menggunakan Perangkat Lunak
Regression Analysis: S-Zt versus t; Bt
The regression equation is s-Zt = - 0,33 t + 0,0450 Bt
Predictor Coef SE Coef T P Noconstant
t -0,329 1,516 -0,22 0,828 Bt1 0,0454 0,5724 0,08 0,937
S = 9,56185
Analysis of Variance
Source DF SS MS F P Regression 2 4,59 2,30 0,03 0,975 Residual Error 250 22857,26 91,43
Lampiran 4 Tabel Hasil Pendugaan Penutupan Harga Saham Bank of America Corporation menggunakan Model Lévy
No Date t Close
Price Mt Bt St
No Date t Close
Price Mt Bt Xt
Lampiran 5 Tabel Hasil Pendugaan Penutupan Harga Saham Bank of America Corporation menggunakan Model Black-Scholes
No Date t Close Price ̂ St
1 02/01/2001 0,0027 46,75 0,0296 46,4983
2 03/01/2001 0,0055 49,94 0,0411 46,7377
3 04/01/2001 0,0082 51,50 0,0849 47,6765
4 05/01/2001 0,0110 48,00 -0,0671 44,4582
5 08/01/2001 0,0137 48,25 -0,1653 42,4930
6 09/01/2001 0,0164 47,00 0,0236 46,3310
7 10/01/2001 0,0192 48,56 -0,1434 42,9065
8 11/01/2001 0,0219 49,44 0,0177 46,1902
9 12/01/2001 0,0247 49,06 -0,0291 45,2013
10 16/01/2001 0,0274 50,94 0,2239 50,7557
11 17/01/2001 0,0301 49,56 0,0731 47,3550
12 18/01/2001 0,0329 48,94 -0,1353 43,0297
13 19/01/2001 0,0356 49,19 -0,0651 44,4300
14 22/01/2001 0,0384 50,38 -0,0141 45,4755
15 23/01/2001 0,0411 50,38 -0,0652 44,4133
16 24/01/2001 0,0438 51,06 -0,0102 45,5394
17 25/01/2001 0,0466 51,50 -0,0085 45,5684
18 26/01/2001 0,0493 53,19 0,1473 48,9350
19 29/01/2001 0,0521 54,02 0,1372 48,7022
20 30/01/2001 0,0548 55,47 0,1729 49,4959
21 31/01/2001 0,0575 53,82 0,0672 47,1467
22 01/02/2001 0,0603 53,28 0,1158 48,2016
23 02/02/2001 0,0630 53,60 0,0026 45,7544
24 05/02/2001 0,0658 53,26 -0,1479 42,6931
25 06/02/2001 0,0685 50,96 0,0325 46,3694
26 07/02/2001 0,0712 49,50 0,1092 48,0223
27 08/02/2001 0,0740 48,75 0,1215 48,2854
28 09/02/2001 0,0767 49,50 -0,0539 44,5450
29 12/02/2001 0,0795 50,06 -0,0212 45,2105
30 13/02/2001 0,0822 50,24 -0,0810 43,9796
31 14/02/2001 0,0849 50,80 0,1748 49,4465
32 15/02/2001 0,0877 50,89 0,0776 47,2817
33 16/02/2001 0,0904 51,40 -0,0733 44,1113
34 20/02/2001 0,0932 49,12 0,1578 49,0372
35 21/02/2001 0,0959 47,75 0,0634 46,9505
36 22/02/2001 0,0986 48,25 0,0981 47,6956
37 23/02/2001 0,1014 49,14 0,0425 46,4870
38 26/02/2001 0,1041 50,98 -0,0813 43,9131
39 27/02/2001 0,1068 51,43 -0,1537 42,4716
No Date t Close Price ̂ St
41 01/03/2001 0,1123 49,34 -0,0711 44,0967
42 02/03/2001 0,1151 49,05 0,0848 47,3559
43 05/03/2001 0,1178 49,08 -0,0809 43,8830
44 06/03/2001 0,1205 50,26 0,0504 46,5986
45 07/03/2001 0,1233 52,75 0,0849 47,3354
46 08/03/2001 0,1260 53,72 0,0092 45,7120
47 09/03/2001 0,1288 52,50 -0,1253 42,9696
48 12/03/2001 0,1315 51,62 -0,0464 44,5438
49 13/03/2001 0,1342 54,25 0,0672 46,9199
Lampiran 6 Tabel Perbandingan Hasil Pendugaan Penutupan Harga Saham Bank of America Corporation menggunakan Model Lévy dan Model Black-Scholes
Tanggal Peramalan Data Aktual
Levy Black-Scholes
02/01/2001 50,9991 46,4983 46,7500
03/01/2001 49,9982 46,7377 49,9400
04/01/2001 48,9973 47,6765 51,5000
05/01/2001 50,9964 44,4582 48,0000
08/01/2001 47,9955 42,4930 48,2500
09/01/2001 45,9946 46,3310 47,0000
10/01/2001 54,9937 42,9065 48,5600
11/01/2001 42,9928 46,1902 49,4400
12/01/2001 57,9919 45,2013 49,0600
16/01/2001 51,9910 50,7557 50,9400
17/01/2001 49,9901 47,3550 49,5600
18/01/2001 48,9892 43,0297 48,9400
19/01/2001 46,9882 44,4300 49,1900
22/01/2001 38,9873 45,4755 50,3800
23/01/2001 46,9864 44,4133 50,3800
24/01/2001 66,9855 45,5394 51,0600
25/01/2001 42,9846 45,5684 51,5000
26/01/2001 45,9837 48,9350 53,1900
29/01/2001 48,9828 48,7022 54,0200
30/01/2001 42,9819 49,4959 55,4700
31/01/2001 49,9810 47,1467 53,8200
01/02/2001 47,9801 48,2016 53,2800
02/02/2001 62,9792 45,7544 53,6000
05/02/2001 40,9783 42,6931 53,2600
06/02/2001 46,9774 46,3694 50,9600
07/02/2001 46,9765 48,0223 49,5000
08/02/2001 48,9756 48,2854 48,7500
09/02/2001 53,9747 44,5450 49,5000
12/02/2001 58,9738 45,2105 50,0600
13/02/2001 37,9729 43,9796 50,2400
14/02/2001 35,9720 49,4465 50,8000
15/02/2001 42,9711 47,2817 50,8900
16/02/2001 46,9702 44,1113 51,4000
20/02/2001 45,9693 49,0372 49,1200
21/02/2001 59,9684 46,9505 47,7500
22/02/2001 37,9675 47,6956 48,2500
23/02/2001 46,9665 46,4870 49,1400
26/02/2001 46,9656 43,9131 50,9800
27/02/2001 35,9647 42,4716 51,4300
Tanggal Peramalan Data Aktual Levy Black-Scholes
01/03/2001 47,9629 44,0967 49,3400
02/03/2001 48,9620 47,3559 49,0500
05/03/2001 44,9611 43,8830 49,0800
06/03/2001 51,9602 46,5986 50,2600
07/03/2001 54,9593 47,3354 52,7500
08/03/2001 41,9584 45,7120 53,7200
09/03/2001 62,9575 42,9696 52,5000
12/03/2001 59,9566 44,5438 51,6200
13/03/2001 54,9557 46,9199 54,2500
14/03/2001 43,9548 42,3131 51,7500
MAPE 0,1135 0,0929
