MODUL MATEMATIKA
OLEH : PURWANTO,
S.Pd
NIP.
KELAS VII
SEMESTER 2
UNTUK MTs DAN YANG SEDERAJAT
HIMPUNAN
Diajukan untuk memenuhi salahsatu syarat kenaikan pangkat Dari IIIa ke IIIb
MTs DARUL ULUM 2
WIDANG
KEC. WIDANG KAB. TUBAN JAWA
TIMUR
HALAMAN PENGESAHAN
Setelah membaca, meneliti, dan mengadakan perbaikan seperlunya, maka dengan ini menyatakan bahwa:
1. Nama Diktat : Modul Matematika Himpunan Kelas VII Semester 2 Untuk MTs dan
yang sederajat 2. Penyusun/Pembuat :
a. Nama Lengkap : Purwanto, S.Pd
b. Jenis Kelamin : Laki-laki
c. NIP : 198104012005011004
d. Pangkat/Gol. : Penata Muda Tk I/III b
e. Mata Ajar pokok : Matematika
f. Institusi/Sekolah : MTs Darul Ulum 2 Widang
g. Alamat : Perempatan desa Mlangi Kec. Widang Kab. Tuban
Sudah dapat memenuhi syarat sebagai Modul yang bisa digunakan sebagaimana mestinya dan layak untuk digunakan sebagai salah satu sumber belajar atau refrensi siswa dan guru
Demikian harap menjadi perhatian adanya, atas kerjasamanya diucapkan banyak terima kasih
Mengetahui, Widang, 20 Januari
2010
Kepala Seksi Mapenda Kepala MTs Darul
Ulum 2
Kab. Tuban Widang
KATA PENGANTAR
Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Allah Tuhan Yang Maha Esa atas karunia dan hidayah-Nya, kami dapat menyusun bahan ajar modul matematika manual untuk tingkat MTs dan sederajat, modul yang disusun ini menggunakan pendekatan pembelajaran berdasarkan satuan pendidikan, sebagai konsekuensi logis dari Kurikulum SMP/ MTs 2006. Sumber dan bahan ajar pokok Kurikulum SMP/MTs Edisi 2006 adalah modul, baik modul manual maupun interaktif dengan mengacu pada St andar Kompetensi dan Kompetensi Dasar (SK-KD) yang tertuang dalam Standar Isi sesuai dengan Permen no 22 tahun 2006. Dengan modul ini, diharapkan digunakan sebagai sumber belajar pokok oleh peserta didik untuk mencapai kompetensi sesuai yang diharapkan. Modul ini disusun melalui beberapa tahapan proses, yakni mulai dari penyiapan materi modul, penyusunan naskah secara tertulis, kemudian disetting dengan bantuan alat-alat komputer, serta divalidasi dan diujicobakan empirik secara terbatas. Validasi dilakukan dengan teknik telaah ahli (expert-judgment), sementara ujicoba empirik dilakukan pada beberapa peserta didik MTs. Harapannya, modul yang telah disusun ini merupakan bahan dan sumber belajar yang berbobot untuk membekali peserta didik kompetensi / kemampuan yang diharapkan. Namun demikian, karena dinamika perubahan sain dan teknologi yang sekarang ini begitu cepat terjadi, maka modul ini masih akan selalu dimintakan masukan untuk bahan perbaikan atau direvisi agar supaya selalu relevan dengan kondisi nyata.
Pekerjaan berat ini dapat terselesaikan, tentu dengan banyaknya dukungan dan bantuan dari berbagai pihak yang perlu diberikan penghargaan dan ucapan terima kasih. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini tidak berlebihan bilamana disampaikan rasa terima kasih dan penghargaan yang sebesar-besarnya kepada berbagai pihak, terutama Kepala Madrasah, Kawan-kawan Guru dan semua peserta didik dan keluarga khususnya atas dedikasi, pengorbanan waktu, tenaga, dan pikiran untuk menyelesaikan penyusunan modul ini.
Demikian, semoga modul ini dapat bermanfaat bagi kita semua, khususnya peserta didik MTs. untuk matapelajaran Matematika atau praktisi yang sedang mengembangkan modul pembelajaran untuk SMP/ MTs.
DAFTAR ISI
Halaman Sampul... i Halaman Pengesahan
………... ii
Kata Pengantar ……….
…………... iii
Daftar Isi
………... iv
BAB I Pendahuluan
A. Deskripsi Modul ………..…... 1
B. Materi Prasyarat ...……….
………... 1
C. Petunjuk Penggunaan Modul ...………. ……… ... 1
D. Tujuan Akhir ...……….…….….…… 2
E. Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar ……….….………..
….... 2
F. Cek Kemampuan ... 3
BAB II Pembelajaran
A. Kegiatan Belajar 1 ………...
.. 4
B. Kegiatan Belajar 2 ...………..………...
16
D. Kegiatan Belajar 4 ..………... 29
E. Kegiatan Belajar 5 ...
F. Kegiatan Belajar 6 ...
BAB III Penutup …..…………..
………... 43 Daftar Pustaka
BAB I PENDAHULUAN
A. Deskripsi Modul
Dalam modul ini anda akan mempelajari 6 Kegiatan Belajar yang terdiri dari:
Kegiatan Belajar 1 membahas tentang pengertian dan notasi himpunan, serta cara
menyajikan himpunan, Kegiatan Belajar 2 membahas tentang Konsep himpunan bagian, Kegiatan Belajar 3 membahas tentang operasi gabungan dan irisan pada himpunan, Kegiatan Belajar 4 adalah membahas tentang operasi selisih (kurang) dan komplemen suatu himpunan, Kegiatan Belajar 5 tentang cara menyajikan himpunan dalam diagram Venn, dan Kegiatan Belajar 6 membahas tentang penerapan konsep himpunan dalam pemecahan masalah.
banyak himpunan bagian. Dalam kegiatan belajar 3 akan dibahas cara menentukan irisan dan gabungan dua himpunan atau lebih. Dalam kegiatan belajar 4 akan akan dibahas cara menentukan selisih dan komplemen suatu himpunan. Dalam kegiatan belajar 5 akan diuraikan cara menyajikan suatu himpunan atau beberapa himpunan dari operasi irisan, gabungan, kurang, dan komplemen. Dan dalam kegiatan belajar 6 akan dibahas mengenai penerapan himpunan dalam pemecahan masalah sehari-hari.
B. Materi Prasyarat
Materi himpunan sebenarnya adalah materi baru pada tingkat pendidikan SMP/ MTs yang pada tingkat sebelumnya belum diajarkan, sehingga materi sebelumnya yang menjadi syarat sebenarnya juga sangat sedikit. Adapun materi prasyarat tersebut adalah operasi bilangan bulat, bentuk aljabar, persamaan linier satu variabel.
C. Petunjuk Penggunaan Modul
Untuk mempelajari modul ini, hal-hal yang perlu anda lakukan adalah sebagai berikut: 1. Pelajari daftar isi dengan cermat, karena daftar isi akan menuntun anda dalam
mempelajari materi ini.
2. Untuk mempelajari modul ini haruslah berurutan, karena materi yang mendahului merupakan prasyarat untuk mempelajari materi berikutnya.
3. Pahamilah contoh-contoh soal yang ada, dan kerjakanlah semua soal latihan yang ada. Jika dalam mengerjakan soal anda menemui kesulitan, kembalilah mempelajari materi yang terkait.
4. Kerjakanlah soal evaluasi dengan cermat. Jika anda menemui kesulitan dalam mengerjakan soal evaluasi, kembalilah mempelajari materi yang terkait.
5. Jika anda mempunyai kesulitan yang tidak dapat anda pecahkan, catatlah, kemudian tanyakan kepada guru pada saat kegiatan tatap muka atau bacalah referensi lain yang berhubungan dengan materi modul ini. Dengan membaca referensi lain, anda juga akan mendapatkan pengetahuan tambahan.
D. Tujuan Akhir
Setelah mempelajari modul ini diharapkan anda dapat: 1. Memahami himpunan dan cara menyajikan himpunan,
2. Menentukan himpunan bagian dan banyaknya anggota himpunan bagian,
3. Menentukan operasi pada himpunan, seperti operasi irisan, gabungan, selisih, dan komplemen,
4. Menyajikan suatu himpunan atau lebih menggunakan diagram venn,
E. Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar
Mata pelajaran matematika bertujuan agar peserta didik memiliki kemampuan sebagai berikut :
1. Memahami konsep matematika, menjelaskan keterkaitan antarkonsep dan mengaplikasikan konsep atau algoritma, secara luwes, akurat, efisien, dan tepat, dalam pemecahan masalah
2. Menggunakan penalaran pada pola dan sifat, melakukan manipulasi matematika dalam membuat generalisasi, menyusun bukti, atau menjelaskan gagasan dan pernyataan matematika
3. Memecahkan masalah yang meliputi kemampuan memahami masalah, merancang model matematika, menyelesaikan model dan menafsirkan solusi yang diperoleh
4. Mengomunikasikan gagasan dengan simbol, tabel, diagram, atau media lain untuk memperjelas keadaan atau masalah
5. Memiliki sikap menghargai kegunaan matematika dalam kehidupan, yaitu memiliki rasa ingin tahu, perhatian, dan minat dalam mempelajari matematika, serta sikap ulet dan percaya diri dalam pemecahan masalah.
Mata pelajaran Matematika pada satuan pendidikan MTs/ SMP meliputi aspek-aspek sebagai berikut:
1. Bilangan 2. Aljabar
3. Geometri dan Pengukuran 4. Statistika dan Peluang.
Adapun Standar kompetensi dan kompetensi dasar mata pelajaran Matematika pokok bahasan Himpunan adalah sebagai berikut :
Standar kompetensi :
4. Menggunakan konsep himpunan dan diagram Venn dalam pemecahan masalah Kompetensi Dasar :
4.1 Memahami pengertian dan notasi himpunan, serta penyajiannya
4.2 Memahami konsep himpunan bagian
4.3 Melakukan operasi irisan, gabungan, kurang (difference), dan komplemen pada
himpunan
4.4 Menyajikan himpunan dengan diagram Venn
F. Cek kemampuan
Kerjakanlah soal-soal berikut ini, jika anda dapat mengerjakan sebagian atau semua soal berikut ini, maka anda dapat meminta langsung kepada guru untuk mengerjakan soal-soal evaluasi untuk materi yang telah anda kuasai
1. Nyatakan himpunan-himpunan berikut dengan cara mendaftar anggota-anggotanya dan dengan notasi pembentuk himpunan.
a. A adalah himpunan bilangan bulat antara –3 dan 3.
b. B adalah himpunan bilangan asli kurang dari 50 dan habis dibagi 5. c. C adalah himpunan bilangan prima kurang dari 31.
d. D adalah himpunan tujuh bilangan cacah yang pertama.
2. Diketahui X = {bilangan prima kurang dari 18}. Tentukan banyaknya himpunan bagian dari X yang memiliki :
a. 2 anggota; c. 5 anggota; b. 4 anggota; d. 6 anggota.
3. Diketahui A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6,8}, dan C = {3, 4, 5, 6}. Dengan mendaftar anggota-anggotanya, tentukan:
a. A
B; d. A
(B
C)c;b. A
C; e. Ac
(B
C);c. A
B
C; f. A\B.Kemudian, gambarlah diagram Venn dari masing-masing operasi himpunan tersebut. 4. Setelah dilakukan pencatatan terhadap 35 orang warga di suatu kampung, diperoleh
hasil sebagai berikut: 18 orang suka minum teh, 17 orang suka minum kopi, 14 orang suka minum susu, 8 orang suka minum teh dan kopi, 7 orang suka minum teh dan susu, 5 orang suka minum kopi dan susu, 3 orang suka minum ketiga-tiganya.
a. Buatlah diagram Venn dari keterangan di atas.
b. Tentukan banyaknya warga yang gemar minum teh, gemar minum susu, gemar minum kopi, dan tidak gemar ketiga-tiganya.
BAB I PEMBELAJARAN
Mata Pelajaran : Matematika
Materi : Himpunan
Kelas/ Semester : VII/ 2(Genap)
Modul Matematika Himpunan MTs Kelas VII Semester 2 12
Standar Kompetensi :
Aljabar
4. Menggunakan konsep himpunan dan diagram Venn dalam pemecahan masalah
Kompetensi Dasar :
4.1 Memahami pengertian dan notasi himpunan, serta penyajiannya
4.2 Memahami konsep himpunan bagian
4.3 Melakukan operasi irisan, gabungan, kurang (difference), dan komplemen pada himpunan
4.4 Menyajikan himpunan dengan diagram Venn
4.5 Menggunakan konsep himpunan dalam pemecahan masalah
Indikator Pencapaian :
Menjelaskan pengertian dan notasi himpunan serta menyajikannya Menentukan himpunan bagian dan banyaknya himpunan bagian Menentukan irisan dari beberapa himpunan
Menentukan gabungan dari beberapa himpunan Menentukan komplemen suatu himpunan
Menentukan himpunan dan banyaknya himpunan dalam diagram venn Memecahkan masalah sehari-hari berkaitan dengan himpunan
Alokasi Waktu :
12 kali pertemuan (12 x 40 menit)
Materi Prasyarat :
A. Kegiatan Belajar 1: Pengertian Himpunan dan Notasinya 1. Tujuan Kegiatan Belajar 1:
Setelah mempelajari kegiatan belajar 1 ini diharapkan siswa dapat memahami dan menjelaskan:
Pengertian dan notasi himpunan
Cara menyatakan suatu himpunan
2. Uraian Materi:
Himpunan adalah kumpulan atau kelompok benda (obyek) yang telah terdefinisi dengan jelas.
Contoh kumpulan objek yang merupakan himpunan adalah: siswa-siswa kelas 8A, kumpulan angka 2, 4, 5, 8., kelompok siswa SMP Sejahtera yang mengikuti upacara, kumpulan hewan pemakan daging, dan lain-lain.
Lambang Himpunan
Himpunan dinyatakan dengan huruf kapital; A, B, C, N, P, dan sebagainya. Anggota himpunan dinyatakan dengan huruf kecil, dalam kurung kurawal, dan anggota satu dengan yang lainnya dipisahkan dengan tanda koma. Anggota yang sama cukup ditulis sekali.
Contoh:
Himpunan huruf vokal dapat ditulis V = {a, i, u, e, o} dengan anggotanya; a, i,
u, e, dan o.
Himpunan bilangan cacah dapat ditulis C = {0, 1, 2, 3, 4, . . .} dengan
anggotanya: 0, 1, 2, 3, 4, dan seterusnya.
Himpunan bilangan prima dapat ditulis P = {2, 3, 5, 7, . . .} dengan
anggotanya: 2, 3, 5, 7, dan seterusnya.
K adalah himpunan huruf pembentuk kata “ MATEMATIKA”, dapat ditulis: K =
{m, a, t, e, i k} atau K = {k, a, t, e, m, i}, bukan K = {m, a, t, e, m, a, t, i, k, a}. Anggota himpunan pada contoh 1 dan 4 berhingga. Himpunan seperti ini disebut himpunan berhingga. Sedangkan contoh 2 dan 3 mempunyai anggota tak terbatas
(dicirikan dengan tiga buah titik terakhir). Himpunan seperti ini disebut himpunan
tak berhingga. Contoh Soal :
1. Dari pernyataan berikut, manakah yang merupakan
himpunan dan bukan himpunan?
a. kelompok bilangan ganjil
b. kelompok makanan enak dan pedas
c. kumpulan hewan menyusui
d. B himpunan bilangan prima
Jawab:
a. kelompok bilangan ganjil merupakan himpunan
b. bukan merupakan himpunan, karena makanan enak dan pedas sifatnya relatif. c. kumpulan hewan menyusui merupakan himpunan
d. B adalah himpunan
2. Tuliskan anggota himpunan dibawah ini!
a. himpunan bilangan asli kurang dari 6
c. himpunan Negara di kawasan Asia Tenggara
d. himpunan huruf pembentuk kata “PENDIDIKAN”
Jawab:
a. misal himpunan bilangan asli kurang dari 6 adalah A, maka A = {1, 2, 3, 4, 5} b. misal himpunan 5 Ibu kota Negara ASEAN adalah B, maka B = {Jakarta,
Bangkok, Kuala Lumpur, Singapura, Bandar Sri Bengawan}
c. misal himpunan Negara dikawasan Asia Tenggara adalah C, maka C = {Indonesia, Malaysia, Filiphina, Singapura, Brunei Darussalam, Vietnam, Myanmar, Timor Leste}
d. misal himpunan huruf pembentuk kata ‘PENDIDIKAN” adalah P, maka P = {A,D,E,I,K,N,P}
Anggota Himpunan
Simbol anggota satu himpunan dapat dituliskan sebagai berikut:
Bila x anggota A, maka ditulis x
A Bila x bukan anggota A, maka ditulis x
AMenentukan banyaknya anggota suatu himpunan berarti menghitung anggota himpunan tersebut. Banyaknya anggota himpunan A dinyatakan dengan n (A). Menyatakan Himpunan
Menyatakan suatu himpunan dapat dilakukan dengan cara: Kata-kata (metode deskripsi), mendaftar (metode tabulasi/roster), notasi pembentuk himpunan
(metode bersyarat/rule)
1. Dengan kata-kata (metode deskripsi)
Menuliskan suatu himpunan dengan kata-kata atau pernyataan untuk menunjukkan syarat keanggotaannya dan syarat keanggotaanya harus dinyatakan dengan jelas.
2. Dengan cara mendaftar (metode tabulasi/roster),
Dengan metode ini, anggota himpunan yang disebutkan satu per satu dalam kurung kurawal yang setiap anggota himpunan dipisah kan dengan tanda koma.
3. Dengan notasi pembentuk himpunan (metode bersyarat/rule)
Pada cara ini himpunan dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan, anggotanya dilambangkan dengan variabel kemudian diikuti dengan pernyataan matematika yang menggambarkan syarat keanggotaanya.
Contoh Soal 2:
Nyatakan pernyataan berikut dengan 3 cara dalam menyatakan himpunan, lalu tentukan banyaknya masing-masing himpunan tersebut:
a. himpunan bilangan prima yang kurang dari 20
Jawab:
a. metode diskripsi : himpunan bilangan prima kurang dari 20 adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, dan 17
metode tabulasi : B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17}
metode bersyarat : B = { xI x
20, x
bilangan prima}b. metode diskripsi : himpunan bilangan ganjil antara 10 sampai 30 adalah 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, dan 29.
metode tabulasi : B = {11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29}
metode bersyarat : B = { xI 10
x
20, x
bilangan ganjil}Himpunan Bilangan
Himpunan bilangan yang sering digunakan diantaranya adalah:
1. Himpunan Bilangan Asli (A)
Anggota himpunan bilangan asli adalah 1, 2, 3, 4, 5…..secara tabulasi dinyatakan sebagai: A = {1, 2, 3, 4, 5….}
2. Himpunan Bilangan Cacah (C)
Anggota himpunan bilangan cacah adalah 0, 1, 2, 3, 4,….secara tabulasi dinyatakan sebagai: C = {0, 1, 2, 3, 4…..}
3. Himpunan Bilangan Prima (P)
Anggota himpunan bilangan prima adalah 2, 3, 5, 7, 11,…..secara tabulasi dinyatakan sebagai: P = {2, 3, 5, 7, 11,….}
4. Himpunan Bilangan Bulat (B)
Bilangan bulat terdiri dari 3 macam, yaitu: bilangan bulat positif (bilangan asli), bilangan nol, dan bilangan bulat negatif.
Anggota himpunan bilangan bulat adalah…..-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,….. secara tabulasi dinyatakan sebagai: B = {…..,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3….}
Himpunan Kosong
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Himpunan
kosong disimbolkan dengan
atau Ǿ.Perhatikan kedua contoh berikut ini:
1. H adalah himpunan bilangan satu cacah yang pertama, berarti H = {0} dan n(H) = 1. Anggota H adalah 0.
2. T adalah himpunan bilangan asli antara 3 dan 4, berarti T =
dan n(T) = 0.Anggota T tidak ada.
Berdasarkan kedua contoh diatas terlihat bahwa:
0 tidak sama dengan
atau
0
Himpunan semesta atau semesta pembicaraan adalah himpunan yang memuat sebuah objek pembicaraan. Semesta pembicaraan mempunyai anggota yang sama atau lebih banyak dari pada himpunan yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta disebut juga
sebagai himpunan universal dan disimbolkan dengan S atau U.
Contoh Soal : R = {3, 5, 7}
Himpunan semesta yang mungkin untuk himpunan R di antaranya adalah:
a. S = R = {3, 5, 7}
b. S = {bilangan ganjil}
c. S = {1, 2, 3, 5, 7}
d. S = {bilangan cacah}
e. S = {bilangan prima}
Contoh soal :
Selidikilah apakah himpunan berikut kosong atau bukan!
a. himpunan bilangan prima genap
b. himpunan bilangan genap yang habis dibagi 7
c. himpunan nama bilangan yang lamanya 32 hari tiap bulan
d. A = {
x
x
2
,6
x
bilangan
asli
}
e. B = {k5k 18,bilangancacahkelipatan 4}
Jawab:
a. Bukan himpunan kosong karena ada anggotanya, yaitu: 2
b. Bukan himpunan kosong karena ada anggotanya, salah satunya adalah 42 habis dibagi 7 yaitu 6
c. Himpunan kosong, karena tidak ada 32 hari dalam sebulan
d. Himpunan kosong, karena tidak ada bilangan asli yang memenuhi kecuali bilangan bulat negatif -4
e. Bukan himpunan kosong karena ada angotanya 3. Tugas Kegiatan Belajar 1:
1. Nyatakan himpunan berikut dengan menggunakan tanda kurung kurawal: a. A adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 6.
b. P adalah himpunan huruf-huruf vokal. c. Q adalah himpunan tiga binatang buas.
2. Z adalah himpunan bilangan ganjil antara 20 dan 46. Nyatakan himpunan Z dengan kata-kata, dengan notasi pembentuk himpunan, dan dengan mendaftar anggota-anggotanya.
3. Tentukan banyak anggota dari himpunan-himpunan berikut: a. P = {1, 3, 5, 7, 9, 11}
c. R = {..., –2, –1, 0, 1, 2, ...}
4. N adalah himpunan namanama bulan dalam setahun yang diawali dengan huruf C. Nyatakan N dalam notasi himpunan.
5. Tentukan tiga himpunan semesta yang mungkin dari himpunan berikut: a. {2, 3, 5, 7}
b. {kerbau, sapi, kambing}
4. Jawaban Tugas Kegiatan Belajar 1:
1. a. A adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 6.
Anggota himpunan bilangan cacah kurang dari 6 adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5. Jadi, A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.
b. P adalah himpunan huruf-huruf vokal.
Anggota himpunan huruf-huruf vokal adalah a, e, i, o, dan u, sehingga ditulis P = {a, e, i, o, u}.
c. Q adalah himpunan tiga binatang buas.
Anggota himpunan binatang buas antara lain harimau, singa, dan serigala. Jadi, Q = {harimau, singa, serigala}.
2. Z adalah himpunan bilangan ganjil antara 20 dan 46.
a. Dinyatakan dengan kata-kata. Z = {bilangan ganjil antara 20 dan 46}
b. Dinyatakan dengan notasi pembentuk himpunan. Z = {20 < x < 46, x
bilangan ganjil}c. Dinyatakan dengan mendaftar anggota-anggotanya. Z = {21, 23, 25, ..., 43, 45}.
3. a. Banyak anggota P adalah 6, ditulis n(P) = 6. b. Banyak anggota Q adalah 11, ditulis n(Q) = 11.
c. Banyak anggota R adalah tidak berhingga atau n(R) = tidak berhingga.
4. Nama-nama bulan dalam setahun adalah Januari, Februari, Maret, April, Mei, Juni, Juli, Agustus, September, Oktober, November, dan Desember. Karena tidak ada nama bulan yang diawali dengan huruf C, maka N adalah himpunan kosong ditulis N = φ atau N = { }.
5. a. Misalkan A = {2, 3, 5, 7}, maka himpunan semesta yang mungkin dari himpunan A adalah
S = {bilangan prima} atau S = {bilangan asli} atau S = {bilangan cacah}.
B. Kegiatan Belajar 2 : Himpunan Bagian 1. Tujuan Kegiatan Belajar 2:
Setelah melakukan kegiatan belajar 3 ini, diharapkan siswa dapat menentukan:
Himpunan bagian dari suatu himpunan
Banyaknya anggota himpunan dari himpunan bagian
2. Uraian Kegiatan Belajar 2: Pengertian Himpunan bagian
Himpunan A disebut sebagai himpunan bagian dari B jika setiap anggota A juga menjadi anggota himpunan B. lambing yang menyatakan himpunan bagian adalah “
”. Jika B = {1, 2, 3} maka himpunan bagiannya adalah: { }, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}. Ketentuan-ketentuan dalam himpunan bagian, antara lain:
Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan.
Setiap himpunan merupakan himpunan bagian dari himpuna itu sendiri.
Untuk sembarang himpunan A, berlaku A
AMenentukan Semua Himpunan Bagian dari Suatu Himpunan
Untuk menentukan semua himpunan bagian dari suatu himpunan ada dua cara yaitu dengan metode penghapusan anggota dan dengan metode diagram pohon. Misal B = {1, 2, 3} himpunan bagiannya adalah:
a. dengan metode penghapusan
tanpa penghapusan diperoleh {1, 2, 3} = B
penghapusan 1, diperoleh {2, 3}
penghapusan 2, diperoleh {1, 3}
penghapusan 3, diperoleh {1, 2}
penghapusan 1 dan 2, diperoleh {3}
penghapusan 1 dan 3, diperoleh {2}
penghapusan 2 dan 3, diperoleh {1}
penghapusan 1, 2, dan 3, diperoleh {…} atau Ǿ
jadi himpunan bagiannya adalah { }, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}
b. dengan metode diagram pohon
setiap pangkal pohon harus bercabang dua
cabangnya hanya boleh berbuah satu buah saja dan yang
lainnya tidak
buah dari cabang diambil dari anggota himpunan tetapi harus
mempunyai keteraturan (berurutan)
Menentukan Banyaknya Himpunan Bagian
Apabila banyaknya anggota himpunan adalah n buah, maka banyaknya himpunan
bagian dari himpunan tersebut sama dengan
2
nContoh Soal :
1. Tentukan himpunan bagian dari A = {2, 4, 6, 8, 10} yang
anggotanya adalah:
a. himpunan bilangan prima
b. himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 c. himpunan bilangan bulat yang habis 4
Jawab:
a. P ={2}
b. T = {6}
c. E = {4, 8}
2. Tulislah semua himpunan bagian dari himpunan-himpunan berikut
a. H = {h, i, a, t} b. A = {1, 2, 3, 4, 5,} Jawab:
a. Himpunan bagian dari H adalah {h}, {i}, {a}, {t}, {h, i}, {h, a}, {h, t}, {i,a}, {i, t}, {a, t}, {h, i, a}, {h, i, t}, {h, a, t}, {i, a, t}, {h, i, a, t}, {..}
b.himpunan bagian dari A adalah {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,5}, {2,3}, {2,4}, {2,5}, {3,4}, {3,5}, {4,5}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,2,5}, {1,3,4}, { 1,3,5}, {1,4,5}, {2,3,4}, {2,3,5}, {2,4,5}, {3,4,5}, {1,2,3,4}, {1,2,3,5}, {1,2,4,5}, {1,3,4,5}, {{2,3,4,5}, {1,2,3,4,5}, {…}.
Hubungan Antarhimpunan
Himpunan Saling Lepas
Dua himpunan dikatakan saling lepas atau saling asing jika kedua himpunan itu tidak mempunyai anggota persekutuan. Himpunan saling lepas dinotasikan
dengan // atau
. Himpunan Tidak Saling Lepas
a. himpunan yang satu bukan merupakan himpunan bagian yang lain. Biasanya dinotasikan dengan
b. himpunan yang satu merupakan himpunan bagian yang lain atau
himpunan yang saling bergantung. Biasanya dinotasikan dengan
Himpunan yang Sama
Dua himpunan dikatakan sama jika kedua himpunan itu mempunyai angota yang sama, baik banyak maupun unsurnya. Biasanya dinotasikan dengan =
Himpunan yang Ekuivalen
Dua himpunan dikatakan ekuivalen jika banyak masing-masing anggota himpunan adalah sama. Biasanya dinotasikan dengan ~
Contoh Soal :
1. Pasangkanlah himpunan-himpunan dibawah ini sehingga merupakan dua
himpunan yang sama.
A = {3, 4, 5, 6} D = {huruf vocal}
B = {bilangan asli antara 2 dan 7} E = {a, s, i, p}
C = {s, a, p, i} F = {e, i, u, e, o}
Jawab:
C ekuivalen dengan E, D ekuivalen dengan F, A ekuivalen dengan B
2. Manakah himpunan-himpunan berikut yang ekuivalen.
a. A = {1, 3, 5, 7}, B = {4, 6, 8, 10}
b. C = {bilangan ganjil}, D = {bilangan genap}
c. T = {huruf pembentuk kata “HISAP”}, K = {huruf pembentuk kata “PINTAR”} Jawab:
a. A tidak ekuivalen dengan B b. C tidak ekuivalen denganD c. T tidak ekuivalen dengan K 3. Tugas Kegiatan Belajar 2:
1. Diketahui K = {p, q, r, s}. Tentukan himpunan bagian dari K yang mempunyai a. satu anggota;
b. dua anggota; c. tiga anggota; d. empat anggota.
2. Tentukan banyaknya himpunan bagian dari himpunan berikut. a. Himpunan bilangan asli kurang dari 6.
c. P = {huruf-huruf pembentuk kata “stabilitas”} d. Q = {nama-nama hari dalam seminggu}
3. Tulislah anggota dari masing-masing himpunan berikut. Kemudian tentukan hubungan antarhimpunan tersebut.
P ={x | x < 7, x
A}Q = {bilangan prima kurang dari 10} R = {empat huruf pertama dalam abjad} S ={x | 1
x
6, x
C}4. Jawaban Tugas Belajar 2:
1. Dalam menentukan himpunan bagian dari K = {p, q, r, s} yang mempunyai lebih dari satu anggota dapat digunakan diagram pohon seperti berikut.
a. Himpunan bagian K yang mempunyai satu anggota adalah {p}
K; {q}
K; dan {r}
K; dan {s}
K.b. Himpunan bagian K yang mempunyai dua anggota adalah {p, q}
K; {p, r}
K; {p, s}
K; {q, r}
K; {q, s}
K; {r, s}
K.c. Himpunan bagian K yang mempunyai tiga anggota adalah {p, q, r}
K; {p, q, s}
K; {p, r, s}
K; dan {q, r, s}
K.d. Himpunan bagian K yang mempunyai empat anggota adalah {p, q, r, s} = K.
2. a. A = {1, 2, 3, 4, 5}, n(A) = 5, maka banyak anggota himpunan bagian: 25 = 32
b. B = {5, 7, 11, 13, 17, 19}, n(B) = 6, maka banyak anggota himpunan bagian:
26 = 64
c. P = {a, b, i, l, s, t}, n(P) = 6, maka banyak anggota himpunan bagian: 26 = 64
d. Q = {senen, selasa, rabu, kamis, jum’at, sabtu, minggu}, n(Q) = 7, maka
banyak anggota himpunan bagian: 27 = 128
3. Dengan mendaftar masing-masing anggotanya, diperoleh sebagai berikut. P = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Q = {2, 3, 5, 7} R = {a, b, c, d} S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Anggota persekutuan dari himpunan P dan Q adalah {2, 3, 5}. Namun masih terdapat anggota himpunan P yang tidak menjadi anggota himpunan Q, yaitu {1, 4, 6}. Demikian pula, terdapat anggota himpunan Q yang tidak menjadi anggota himpunan P, yaitu {7}. Dengan demikian, himpunan P dan Q dikatakan tidak saling lepas (berpotongan)
– Perhatikan himpunan Q dan R.
Karena tidak ada anggota persekutuan antara himpunan Q dan R, maka dikatakan himpunan Q dan R saling lepas atau saling asing. Namun, perhatikan bahwa Q = {2, 3, 5, 7}, n(Q) = 4 dan R = {a, b, c, d}, n(R) = 4. Dengan demikian, dikatakan bahwa himpunan Q dan R ekuivalen, karena
n(Q) = n(R).
– Sekarang, perhatikan himpunan P dan S.
Kedua himpunan mempunyai anggota yang tepat sama. Jadi, himpunan P dan S dikatakan dua himpunan sama
C. Kegiatan Belajar 3: Operasi pada Himpunan (Irisan dan Gabungan)
1. Tujuan Kegiatan Belajar 3: Operasi Irisan dan Gabungan dari Himpunan
Setelah mengikuti kegiatan belajar 3 ini, diharapakan siswa dapat menentukan:
Irisan dua atau lebih dari himpunan
Gabungan dua atau lebih suatu himpunan
2. Uraian Materi Kegiatan Belajar 3 Irisan
Irisan A dan B adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota A sekaligus
anggota B. secara matematis ditulis : AB {xxAdan xB}.
Dilihat dari persekutuan dua himpunan, irisan dua himpunan dapat ditentukan:
1. Himpunan yang satu merupakan himpunan bagian yang lain
Jika ABmaka
A
B
A
dan berlaku sebaliknya2. Himpunan yang sama
Jika
A
B
, maka AB(AB)3. Himpunan yang saling lepas
Jika A//B, maka AB{..} dan berlaku sebaliknya
4. Himpunan yang tidak saling lepas
Contoh Soal :
1. Diberikan A = {1, 2, 3, 4}, B ={2, 4, 6,
8}, dan C ={3, 4, 5, 7}. Tentukanlah:
a. A
B c. B
C e. A
(B
C)Jawab:
a. {2, 4} c. {4} e. {4}
b. {3, 4} d. {4}
2. Perhatikan gambar dibawah ini!
Tentukanlah:
a. S c. A
B e. B
Cb. B d. A
C f. A
B
CJawab:
a. S = {a, b, c, d, e, f, g} c. A
B = {a, b} e. B
C = {b, f}b. B = {a, b, d, f} d. A
C = {b, e} f. A
B
C = {b}Gabungan
Gabungan dari A dan B adalah himpunan yang semua anggotanya terdapat pada A
atau B. secara matematis ditulis: AB{xxAatau xB}
Dilihat dari persekutuan dua himpunan, gabungan dua himpunan dapat ditentukan:
1. Himpunan yang satu merupakan himpunan bagian yang lain
Jika ABmaka
A
B
B
dan berlaku sebaliknya2. Himpunan yang sama
Jika
A
B
, maka AB(AB)3. Himpunan yang saling lepas
Jika A//B, maka AB {xxAatau xB} dan berlaku sebaliknya
4. Himpunan yang tidak saling lepas
Jika
A
B
, maka AB{xxA,xBatau x(AB)}Contoh Soal :
1. Diketahui A = {2, 3, 5}, B ={1, 3, 5, 7}, dan C = {7, 9}, tentukanlah:
a. A
Bb. A
B
Cc. A
(B
C)d. (A
B)
Ce. (A
B)
(A
C)Jawab:
a. A
B = {1, 2, 3, 5, 7}c e
a
g
b f d S A C
b. A
B
C = {1, 2, 3, 5, 7, 9}c. A = {2, 3, 5} dan B
C = {1, 3, 5, 7, 9} maka A
(B
C) = {3, 5}d. A
B = {3, 5} dan C = {7, 9} maka (A
B)
C = {3, 5, 7, 9}e. A
B = {1, 2, 3, 5, 7} dan A
C = {2, 3, 5, 7, 9} maka (A
B)
(A
C) ={2, 3, 5, 7}
2. Perhatikan gambar dibawah ini!
Tentukanlah:
a. A
Bb. A
(B
C)c. (B
C)
Ad. (A
B)
(B
C)e. banyaknya himpunan bagian dari A
(B
C)Jawab:
a. A
B = {a, b, c, d, e, f, g}b. A = {a, b, c, e} dan B
C = {a, b, d, e, f, g} maka A
(B
C) = {a, b, e}c. B
C = {b, f} dan A = {a, b, c, e} maka (B
C)
A = {a, b, c, e, f}d. (A
B) = {a, b, c, d, e, f} dan (B
C) = {a,b,d,e,f,g} maka (A
B)
(B
C) ={a,b,d,e,f}
e. A
(B
C) = {a, b, e}, maka n(A
(B
C)) = 3 sehingga banyaknya himpunanbagian adalah 23 = 8
3. Tugas Kegiatan Belajar 3:
1. Diketahui A = {2, 3, 5} dan B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Tentukan A
B. 2. Misalkan A = {bilangan asli kurang dari 6} dan B = {1, 2, 3, 4, 5}. Tentukan anggota A
B.3. Misalkan P = {bilangan asli kurang dari 11} dan Q = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}. Tentukan anggota P
Q.4. Diketahui :
K = {faktor dari 6} dan
L = {bilangan cacah kurang dari 6}.
Dengan mendaftar anggotanya, tentukan : a. anggota K
L;c e
a
g
b f d S A C
b. anggota K
L; c. n(K
L).4. Jawaban Tugas Kegiatan Belajar 3: 1. A = {2, 3, 5}
B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} A
B = {2, 3, 5} = A2. A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {1, 2, 3 , 4, 5}
Karena A = B maka A
B = {1, 2, 3, 4, 5} = A = B 3. P = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}Q = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16} P
Q = {2, 4, 6, 8, 10}4. K = {faktor dari 6} = {1, 2, 3, 6}, n(K) = 4
L = {bilangan cacah kurang dari 6} = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, n(L) = 6 a. K
L = {1, 2, 3}b. K
L = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} c. n(K
L) = 7.n(K
L) juga dapat diperoleh dengan rumus berikut.n(K
L) = n(K) + n(L) – n(K
L) = 4 + 6 – 3= 7
D. Kegiatan Belajar 4 : Operasi Himpunan Komplemen dan Selisih 1. Tujuan Kegiatan Belajar 4:
Setelah selesai mengikuti kegiatan belajar 4 ini, diharapkan siswa dapat memahami dan menentukan:
Komplemen suatu himpunan
Selisih suatu himpunan
2. Uraian Materi Kegiatan Belajar 4: Komplemen
Jika S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} dan A = {3, 4, 5}, maka A
S. himpunan {1, 2, 6, 7}juga disebut himpunan bagian dari himpunan S. himpunan tersebut adalah himpunan himpunan komplemen atau pelengkap dari himpunan A atau disebut komplemen dari A yang dibaca “bukan A”.
AA'S
n(Q)n(Q')n(S)
Komplemen dari S adalah S’, karena S adalah himpunan semesta maka S’ adalah himpunan kosong dan ditulis S’ = {…}, sebaliknya {…}’ = S, sehingga berlaku:
{…}’ = S
S’ = {…}
(A’)’ = A
Selisih Dua Himpunan
Komplemen A terhadap B ditulis B – A adalah himpunan yang ada di B tetapi tidak ada di A, sebaliknya komplemen B terhadap A ditulis A – B adalah himpunan yang di A tetapi tidak ada di B. secara umum berlaku:
A B {xxAdan xB}
n(A B)n(A) n(AB)
A'S A
n(S A)n(A') n(S) n(SA) 3. Tugas Kegiatan Belajar 4:
1. Diketahui S = {1, 2, 3, ...,10} adalah himpunan semesta. Jika A = {1, 2, 3, 4}
dan B = {2, 3, 5, 7}, tentukan
a. anggota Ac;
b. anggota Bc;
c. anggota (A
B)c2. Diketahui S = {1, 2, 3, ...,10} adalah himpunan semesta. Jika P = {2, 3, 5, 7}
dan Q = {1, 3, 5, 7, 9}, tentukan
a. anggota S – P; b. anggota P – Q; c. anggota Q – P.
4. Jawaban Tugas Kegiatan Belajar 4: 1. Diketahui
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 10} A = {1, 2, 3, 4}
B = {2, 3, 5, 7}
a. Ac = {5, 6, 7, 8, 9, 10}
S P Q
6 7
8 10 15 17 18 19 11 12 13 14
c. Untuk menentukan anggota (A
B)c, tentukan terlebih dahulu anggota dari A
B.A
B = {2, 3}(A
B)c = {1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}2. a. S – P = {1, 2, 3, ..., 10} – {2, 3, 5, 7} = {1, 4, 6, 8, 9, 10} b. P – Q = {2, 3, 5, 7} – {1, 3, 5, 7, 9} = {2}
c. Q – P = {1, 3, 5, 7, 9} – {2, 3, 5, 7} = {1, 9}.
E. Kegiatan Belajar 5 : Menentukan Himpunan dan Banyaknya Anggota Himpunan dengan diagram Venn
1. Tujuan Kegiatan Belajar 5:
Setelah mengikuti kegiatan belajar 5 ini, diharapkan siswa dapat :
Memahamai diagram venn
Menentukan himpunan dengan menggunakan diagram venn
Menentukan banyaknya anggota himpunan dengan diagram venn
2. Uraian Materi Kegiatan Belajar 5:
Diagram Venn
Diagram Venn diperkenalkan oleh pakar matematika Inggris bernama John Venn
(1834 – 1923) Petunjuk dalam membuat diagram Venn antara lain:
a. Himpunan semesta (S) digambarkan sebagai persegi panjang dan huruf S diletakkan disudut kiri atas persegi panjang.
b. Setiap himpunan yang dibicarakan (selain himpunan kosong)
ditunjukkan oleh kurva tertutup.
c. Setiap anggota ditunjukkan dengan nokta (titik)
d. Bila anggota suatu himpunan banyak sekali, maka anggota-anggotanya
tidak perlu dituliskan. Contoh Soal :
1. Lukislah diagram Venn dari setiap himpunan berikut ini: a. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan A = {2, 4, 6}
b. S = {xx20, xbilangan Asli}, P = {1, 4, 9, 16}, dan Q = {1, 2, 3, 4, 5}
Jawab:
a. b.
A
S
1 B
3 5 2 4 6 9 16
1 2 3
2. Perhatikan gambar diagram Venn berikut ini:
Hasil survei kegemaran siswa kelas IX terhadap olah raga.
S = {siswa kelas IX A}, B = {siswa yang suka Basket}, C = {siswa yang suka Sepak Bola}
Tentukan:
a. himpunan yang ada pada B dan C
b. himpunan S yang ada di B tetapi tidak ada di C c. himpunan C tetapi tidak ada di B
d. himpunan yang tidak termasuk di B maupun di C e. berapa banyak siswa yang suka bola basket? Jawab:
a. Himpunan yang ada pada B dan C adalah {Aam, Azis} b. B – C = {Beni, Adi, Doni, Anang, Markis}
c. C – B = {Anwar, Desta, Kamil, Maki, Ari, Ken}
d. (B
C)c = {Ali, Modin, Rifqi}e. n(B) = 7
Banyaknya Anggota Himpunan
Rumus banyaknya irisan, gabungan, dan komplemen dua himpunan adalah: n(AB) n(A)n(B) n(AB)
n(AB) n(A)n(B) n(AB)
n(AB)'n(S) n(AB) Contoh Soal :
1. Diketahui n(A) = 27, n(B) = 43, dan n(A
B) = 60. hitunglah nilai dari n(A
B)!Jawab:
A
B = A + B - A
B sehingga:n(A
B) = n(A) + n(B) - n(A
B)n(A
B) = n(A) + n(B) - n(A
B)= 27 + 43 – 60
S
B
C
Ali
rifqi
Modin
Beni Adi Doni Anang Markis
= 70 – 60
n(A
B) = 102. Dua himpunan sebagaimana dalam gambar, diberikan n(P) = 7, n(Q) = 11, dan
n(P
Q) = 5. Carilah n(P
Q)!Jawab:
n(P
Q) = n(P) + n(Q) - n(P
Q)= 7 + 11 – 5
= 18 – 5
n(P
Q) = 133. Dua himpunan dan banyaknya anggota dari himpunan itu ditunjukkan pada diagram Venn berikut ini! jika n(A) = n(B),
hitunglah: a. nilai x
b. n(A
B)Jawab:
a. n(A) = n(B)
(14 + x) + x = (x + 3x) 14 + 2x = 4x
14 = 2x x = 7
b. n(A) = 14 + x = 14 + 7 = 21 n(B) = 3x = 3(7) = 21
n(A
B) = x = 7 makan(A
B) = n(A) + n(B) - n(A
B)= 21 + 21 – 7 = 42 – 7
n(A
B) = 353. Tugas Kegiatan Belajar 5
1. Diketahui S = {1, 2, 3, ...,10} adalah himpunan semesta (semesta pembicaraan), A = {1, 2, 3, 4, 5}, dan B = {bilangan genap kurang dari 12}. Gambarlah dalam diagram Venn ketiga himpunan tersebut.
S P Q
14 + x x 3x
2. Berdasarkan diagram Venn di atas, nyatakan himpunan-himpunan berikut dengan mendaftar anggota-anggotanya.
a. Himpunan S. b. Himpunan P. c. Himpunan Q.
d. Anggota himpunan P Q. e. Anggota himpunan P Q. f. Anggota himpunan P\Q. g. Anggota himpunan PC.
3. Diketahui S = {0, 1, 2, ...,15}; P = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; Q = {1, 2, 5, 10, 11}; dan R = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}. Gambarlah himpunan-himpunan tersebut dalam diagram Venn. Tunjukkan dengan arsiran daerah-daerah himpunan berikut.
a. P
Q
R b. P
Q c. Q
Rd. P
(Q
R) e. Qcf. P – R
4. Jawaban Tugas Kegiatan Belajar 5
1. Diketahui S = {1, 2, 3, ..., 10}, A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6, 8, 10}. Berdasarkan himpunan A dan B, dapat diketahui bahwa A
B = {2, 4}. Perhatikan bahwa himpunan A dan B saling berpotongan. (Mengapa?) Dalam diagram Venn, irisan dua himpunan harus dinyatakan dalam satu kurva (himpunan A dan B dibuat berpotongan). Adapun bilangan yang lain diletakkan pada kurva masing-masing. Diagram Venn-nya sebagai berikut:b. Himpunan P adalah semua anggota himpunan S yang menjadi anggota himpunan P. Dalam diagram Venn, anggota himpunan P berada pada kurva yang dibatasi oleh P. Jadi, P = {1, 3, 6, 9, 12, 15, 18}
c. Himpunan Q adalah semua anggota himpunan S yang menjadi anggota himpunan Q. Dalam diagram Venn, anggota himpunan Q berada pada kurva yang dibatasi oleh Q. Jadi, Q = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
d. Anggota himpunan P
Q adalah anggota himpunan P dan sekaligus menjadi anggota himpunan Q = {3, 6, 9}.e. Anggota himpunan P
Q adalah semua anggota himpunan P maupun himpunan Q = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 15, 18}.f. Anggota himpunan P\Q adalah semua anggota P tetapi bukan anggota Q, sehingga P\Q =
{1, 12, 15, 18}.
g. Anggota himpunan Pc adalah semua anggota S tetapi bukan anggota P,
sehingga Pc = {2, 4, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 19, 20}.
3. Diketahui: S = {0, 1, 2, 3, ..., 15}, P = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Q = {1, 2, 5, 10, 11}; dan R = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}. Berdasarkan himpunan-himpunan tersebut, dapat diketahui bahwa P
Q
R = {2}P
Q = {1, 2, 5} Q
R = {2, 10} P
R = {2, 4, 6}Diagram Venn-nya sebagai berikut:
a. Daerah arsiran pada diagram Venn di atas menunjukkan himpunan P
Q
R. b. Daerah arsiran di samping menunjukkan himpunan P
Q. Tampak bahwa P
Q = {1, 2, 5}.d. Dari soal dapat diketahui bahwa Q
R = {2, 10}, sehingga P
(Q
R) = {1, 2, 3, ..., 6}
{2, 10} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10}. Daerah arsiran pada diagram Venn di samping menunjukkan daerah P
(Q
R).e. Diketahui S = {1, 2, ..., 15} dan Q = {1, 2, 5, 10, 11}, sehingga QC = {3, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 14, 15}. Daerah arsiran pada diagram Venn di samping menunjukkan himpunan Qc.
f. Diketahui P = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan R = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14}, sehingga P – R = {1, 2, 3, 4, 5, 6} – {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} = {1, 3, 5} Diagram Venn-nya sebagai berikut.
F. Kegiatan Belajar 6 : Menggunakan Konsep Himpunan dalam Pemecahan Masalah
1. Tujuan Kegiatan Belajar 6
2. Uraian Materi Kegiatan Belajar 6
Jika kalian amati masalah dalam kehidupan sehari-hari maka banyak di antaranya dapat diselesaikan dengan konsep himpunan. Agar dapat menyelesaikannya, kalian harus memahami kembali mengenai konsep diagram Venn. Kalian harus dapat menyatakan permasalahan tersebut dalam suatu diagram Venn. Pelajari contoh berikut ini.
Contoh soal:
Perhatikan diagram Venn dibawah ini!
S = himpunan siswa kelas VII A
K = himpunan siswa yang suka minum es teh T = himpunan siswa yang suka minum jus Setiap angka menunjukkan banyaknya siswa dalam masing-masing kesukaannya.
Tentukanlah:
a. Berapa banyak siswa yang suka minum keduanya? b. Berapa banyak siswa yang suka minum es teh?
c. Berapa banyak siswa yang tidak suka minum keduanya? d. Berapa banyak siswa kelas VII A tersebut?
Jawab:
a. n(K
T) = 2b. n(K) = 6
c. n(K
T)c = 8d. n(S) = n(K – T) + n(T – K) + n(K
T) + n(K
T)c = 4 + 7 + 2 + 8 = 213. Tugas Kegiatan Belajar 6
1. Dalam suatu kelas yang terdiri atas 40 siswa, diketahui 24 siswa gemar bermain tenis, 23 siswa gemar sepak bola, dan 11 siswa gemar keduaduanya. Gambarlah diagram Venn dari keterangan tersebut, kemudian tentukan banyaknya siswa
a. yang hanya gemar bermain tenis; b. yang hanya gemar bermain sepak bola; c. yang tidak gemar kedua-duanya.
2. Dari sekelompok anak, diperoleh data 23 orang suka makan bakso dan mi ayam, 45 orang suka makan bakso, 34 orang suka makan mi ayam, dan 6 orang tidak suka kedua-duanya.
a. Gambarlah diagram Venn yang menyatakan keadaan tersebut. b. Tentukan banyak anak dalam kelompok tersebut.
4. Jawaban Tugas Kegiatan Belajar 6 6 2 9
S K T
1. Dalam menentukan banyaknya anggota masing-masing himpunan pada diagram Venn, tentukan terlebih dahulu banyaknya anggota yang gemar bermain tenis dan sepak bola, yaitu 11 siswa. Diagram Venn-nya seperti gambar berikut
a. Banyak siswa yang hanya gemar tenis = 24 – 11 = 13 siswa b. Banyak siswa yang hanya gemar sepak bola = 23 – 11 = 12 siswa
c. Banyak siswa yang tidak gemar kedua-duanya = 40 – 13 – 11 – 12 = 4 siswa 2. a. Dalam menentukan banyak anak dalam kelompok tersebut, tuliskan terlebih
dahulu banyak anak yang suka makan bakso dan mi ayam, serta banyak anak yang tidak suka keduanya pada diagram Venn. Kemudian, tentukan banyak anggota masng-masing. Diagram Venn-nya sebagai berikut
b. Dari diagram Venn, tampak bahwa banyak anak dalam kelompok tersebut = 22 + 23 + 11 + 6 = 62 anak
G. Rangkuman Materi Himpunan
1. Himpunan adalah kumpulan benda atau objek yang ciri-cirinya jelas, sehingga dengan tepat dapat diketahui objek yang termasuk himpunan dan yang tidak termasuk dalam himpunan tersebut.
2. Suatu himpunan biasanya diberi nama atau dilambangkan dengan huruf besar (kapital) A, B, C, ..., Z. Adapun benda atau objek yang termasuk dalam himpunan tersebut ditulis dengan menggunakan pasangan kurung kurawal {...}.
3. Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara, yaitu dengan kata-kata, dengan notasi pembentuk himpunan, dan dengan mendaftar anggota-anggotanya.
4. Himpunan yang memiliki banyak anggota berhingga disebut himpunan berhingga. Himpunan yang memiliki banyak anggota tak berhingga disebut himpunan tak berhingga.
6. a. Himpunan A merupakan himpunan bagian B, jika setiap anggota A juga menjadi anggota B dan dinotasikan A
B atau B
A.b. Himpunan A bukan merupakan himpunan bagian B, jika terdapat anggota A yang bukan anggota B dan dinotasikan A
B.c. Setiap himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan A sendiri, ditulis A
A.d. Banyaknya semua himpunan bagian dari suatu himpunan adalah 2n, dengan n
banyaknya anggota himpunan tersebut.
7. a. Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas atau saling asing jika kedua himpunan tersebut tidak mempunyai anggota persekutuan.
b. Dua himpunan dikatakan sama, jika kedua himpunan mempunyai anggota yang tepat sama.
c. Dua himpunan A dan B dikatakan ekuivalen jika n(A) = n(B).
8. Irisan (interseksi) dua himpunan adalah suatu himpunan yang anggotanya merupakan anggota persekutuan dari dua himpunan tersebut. Irisan himpunan A dan B dinotasikan dengan A
B = {x | x
A dan x
B}.9. Gabungan (union) himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggotanya terdiri atas anggota-anggota A atau anggotaanggota B. Gabungan himpunan A dan B dinotasikan dengan A
B = {x | x
A atau x
B}. Banyak anggota dari gabungan himpunan A dan B dirumuskan dengan n(A
B) = n(A) + n(B) – n(A
B).BAB III EVALUASI
a. Evalusi Tes Tulis
Uraikan soal berikut sehingga diperoleh jawaban yang benar 1. Tuliskan himpunan berikut dengan menggunakan notasi himpunan!
a. P adalah himpunan titik pojok kubus ABCD. EFGH b. K adalah huruf konsonan
c. L adalah himpunan gambar pada sila-sila Pancasila
2. Berikan nama himpunan dari kumpulan obyek dibawah ini berdasarkan sifat-sifat anggotanya agar disebut dengan himpunan.
a. Tas, penggaris, buku tulis, penghapus, busur, LKS b. Surabaya, Malang, Jember, Ngawi
c. Maret, Mei
3. Sebutkan dua buah himpunan semesta untuk himpunan-himpunan berikut: a. {1, 3, 5, 7, 9}
b. {pesawat, kereta api, kapal, mobil}
c. S = {bilangan prima}
4. Jika S = {bilangan bulat}, A = {bilangan asli}, C = {bilangan cacah}, G = {bilangan ganjil}, H = {bilangan genap}, dan P = {bilangan Prima}. Lukislah diagram Venn dari pasangan himpunan berikut ini dengan himpunan semesta adalah S
a. A dan P b. A, P, dan H c. C, G, H, dan P
5. Tentukan banyaknya himpunan bagian dari K = {a, b, c, d, e} yang mempunyai:
a. dua anggota d. anggota lebih dari dua
b. tiga anggota e. anggota paling sedikit tiga
c. empat anggota
6. Diberikan diagram Venn yang menyatakan himpunan A, B, dan C. Tentukanlah:
Modul Matematika Himpunan MTs Kelas VII Semester 2 37
3
13 14 15
12
10
11
9
1
2 4
5 6 8 7 77
A B
a. banyaknya himpunan bagian dari B
b. banyaknya himpunan bagian dari perpotongan
himpunan A dan C
c. banyaknya himpunan bagian dari perpotongan ketiga
himpunan tersebut
7. Perhatikan gambar dibawah ini!
S = {penghuni Pondok Indah} A = {penghuni yang menyukai teh} B = {penghuni yang menyukai kopi}
Tentukan:
a. berapa banyak penghuni pondok yang menyukai teh?
b. berapa banyak penghuni yang tidak menyukai kopi tetapi menyukai teh?
c. berapa banyak penghuni yang menyukai teh dan kopi?
d. berapa banyak penghuni yang tidak menyukai keduanya?
8. Dari 53 bayi di PUSKESMAS, 30 bayi minum susu kaleng, 13 bayi minum susu ASI, dan 10 bayi minum keduanya. Berapa jumlah bayi yang hanya minum ASI?
9. Dari 46 siswa yang gemar bahasa inggris ada 26 siswa, gemar bahasa arab ada 32 siswa dan 14 siswa gemar keduanya. Tentukan banyaknya siswa yang tidak gemar keduanya!
10. Dari sekelompok siswa yang suka tennis meja ada 26 siswa, yang gemar bulu tangkis ada 27 siswa, yang gemar keduanya ada 9 siswa dan yang tidak gemar keduanya ada 4 siswa. Tentukan banyaknya siswa dalam kelompok tersebut!
11. Perhatikan himpunan A, B, dan C dalam diagram Venn berikut!
Diberikan S = A
B
C, dan n(S) = 34, hitunglah:c
d
e g
f h S
A B
a
b
7
9-x 8 x 8-x 7-x 9
S A C
S A
S
a. nilai x
b. n(A
B
C)b. Jawaban Evalusi Tes Tulis
1. a. P = {A, B, C, D, E, F, G, dan H}
b. K = {b, c, d, f, g, h, j, k, l, m, n, p, q, r, s, t, v, w, x, y, z}
c. L = {Bintang, Beringin, Kepala Banteng, Rantai, Padi dan kapas} 2. a. Himpunan Peralatan Sekolah
b. Himpunan Kota di Jawa Timur
c. Himpunan bulan dengan huruf depan M
3. a. himpunan semesta yang memenuhi adalah himpunan bilangan asli dan himpunan bilangan cacah
b. himpunan semester yang memenuhi adalah himpunan alat transportasi dan himpunan kendaraan bermesin
c. himpunan semesta yang memenuhi adalah himpunan bilangan asli dan himpunan bilangan cacah
4. a. A dan P b. A, P, dan H c. C, G, H, dan P
5. a. {a,b},{a,c},{a,d},{a,e},{b,c},{b,d},{b,e},{c,d},{c,e},{d,e}
b. {a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,c,d},{a,c,e},{a,d,e},{b,c,d},{b,c,e},{b,d,e},{c,d,e} c. {a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e},{a,c,d,e}, {b,c,d,e}
d. {a,b,c}, {a,b,d}, {a,b,e}, {a,c,d}, {a,c,e}, {a,d,e}, {b,c,d}, {b,c,e}, {b,d,e}, {c,d,e}, {a,b,c,d}, {a,b,c,e}, {a,b,d,e}, {a,c,d,e}, {b,c,d,e}
e. {a,b,c}, {a,b,d}, {a,b,e}, {a,c,d}, {a,c,e}, {a,d,e}, {b,c,d}, {b,c,e}, {b,d,e}, {c,d,e}, {a,b,c,d}, {a,b,c,e}, {a,b,d,e}, {a,c,d,e}, {b,c,d,e},{a,b,c,d,e}
6. a. B = {3,4,6,7,10,11,12,13,14,15}, n(B) = 10, maka banyak himpunan bagian dari B =
210 = 1024
b. A C = {6, 7, 8}, n(AC) = 3 maka banyak himpunan bagian dari n(AC) adalah 23 = 8
c. ABC = {6, 7}, n(ABC) = 2, maka banyak himpunan bagian dari n(ABC) adalah 22 = 4
P
S A
P H
C
P
S I A
S T B
4
7. a. A = {c, d, e, f} maka n(A) = 4 c. AB = {e, f}, maka n(AB) = 2
b. {c, d} jadi ada 2 d. {a, b} jadi ada 2
8. Misal banyak seluruh bayi adalah n(K
A) = 53, banyak bayi suka susu kaleng n(K) =30, banyak bayi suka minum keduanya n(K
A) = 10, maka n(K
A) = n(K) + n(A) - n(K
A), sehingga jumlah bayi yang minum ASI adalah: n(A) = n(K
A) + n(K
A) – n(K)= 53 + 10 – 30 = 33
Jumlah bayi yang hanya minum ASI adalah n(A) - n(K
A) = 33 – 10 = 23 anak9. Banyak siswa, n(S) = 46
Banyak siswa gemar bahasa ingris, n(I) = 26 Banyak siswa gemar bahasa arab, n(A) = 32
Banyak siswa gemar keduanya, n(I
A) = 14Maka banyak siswa yang tidak gemar keduanya adalah:
n(I
A)c = n(S) – n(I - A) + n(A - I) + n(I
A) = 46 – (26 – 14) - (32 – 14) - 14= 46 – 12 – 18 – 14 = 46 – 44
n(I
A)c = 2Jadi banyak siswa yang tidak gemar keduanya adalah 2 anak 10. Misal banyak anak yang suka tennis meja n(T) = 26
banyak anak yang suka bulu tangkis n(B) = 27
banyak anak yang suka keduanya n(T
B) = 9banyak anak yang tidak suka keduanya n(P
C)c = 4ditanya banyak siswa dalam kelompok tersebut?: diagram Venn:
Banyak siswa dalam kelompok tersebut adalah:
n(S) = n(T – B) + n(B – T) + n(T
B) + n(T
B)c = (26 – 9 ) + ( 27 – 9 ) + 9 + 4= 17 + 18 + 9 + 4
n(S) = 4826 - 14 14 32-14
26 - 9
9 27 - 9
jadi banyak siswa dalam kelompok tersebut adalah 48 siswa 11. a. n(S) = 34
9 – x + x + 8 – x + 7 – x + 7 + 8 + 9 = 34 - 2x + 48 = 34 - 2x = 34 – 48 - 2x = -14 x = 7
b. n(A
B
C) = x = 7BAB IV PENUTUP
Setelah menyelesaikan modul ini, anda berhak untuk mengikuti tes untuk menguji kompetensi yang telah
anda pelajari. Apabila anda dinyatakan memenuhi syarat kelulusan dari hasil evaluasi dalam modul ini, maka anda
berhak untuk melanjutkan ke topik/modul berikutnya. Mintalah pada guru untuk melakukan uji kompetensi dengan
sistem penilaian yang dilakukan langsung oleh madrasah apabila anda telah menyelesaikan seluruh evaluasi dari
setiap modul, maka hasil yang berupa nilai dari guru atau berupa portofolio dapat dijadikan bahan verifikasi sebagai
bahan penilaian sesungguhnya. Kemudian selanjutnya hasil tersebut dapat dijadikan sebagai penentu standar
pemenuhan kompetensi.
DAFTAR PUSTAKA
1.
Negoro, ST dan B. Harahap. 1982. Ensiklopedia Matematika. Jakarta: Ghalia Indonersia
2.
Diktat Soal-soal lomba Matematika Sedunia 1989 – 2002
3.
Departemen Pendidikan Nasional, Kurikulum 2006, Standar Kompetensi dan Kompetensi Dasar Pelajaran