! " " # $ % &'
( ) ( ( ( * * " * # # ( "
( * * * * "* ) " "
# *+ ( ) " ) #
, - " # # *. *
# *+ & / 0 + "
( ( ) (
( # " # *+ ) ( (
) ( * . * , - )
( ( 1 * * " ( " * *
( ( % * * " +2 # " * (
*( ( * ( ( " # ( 1 * % * * " +3 #
( *( % * * " +4 #
" * *( % * * " +5 (
*( ) * " ( " #
, - * " * "
( ( 1 * * ) " * " #
" * ( 1 * * ) ( 1 * *
( " # " * ( 1 * * ) (
# " # " * ( ( ) " *
* ) 6 ) ( # " #
( "
, - ( # ( ( ) ' ** " *
76789: * " * ;6<;38
(*
* "
* # *
*)
(
#
1
*
(
%
(*
=
!
=
*
"
=
!25;:29<;
)
1
#
=
(
6
,
> 1 )
6
-= 279:;532277;;32;;2
& * =
"
"
6
"
"
6
,
#
*1
6
-= 2792;9;<27<9;22;;3
,
*
0
6
( 1 # ) # ) # ) " ) ) # 1
"
! ( * * ) # ( * # * *)
( 1 * ( ( * 6 *
# 6 *
( * # ( ( * * ( ( # *1 6
* 0 6 * " " ) * 1 ) ( * (
) ( * * # ( =
2 ( 6 6 * * # * * # * ) )
3 # * * . ( * * *
4 #/ 6 * " * ( 1 " * * ( " )
5 ! ! * ( ) ) * ) " ) #
: * # 6 * # * " * ( ( * # 3
* ( # * " )
9 ( * ( # ( " " * */
8 ) ) # " ) / # (
< 6 ? 6 * 6 6 & 6 ? # 6 * 6 6 0 6 6 6 6 6 6 #6
* # + @
7 6 6 6 % 6 *6 6 ? * 6 . 6 1 6 6 & 6 * #6
) * # * ( * * # * +* #
2; + * * 53 ) # " * * 4 #
22 + + * * 5;6 526 546 556 5: * " * )
23 ( # ) * " * ( *
* " ) # " ( ( * ( " * ) " #
" # ) * " ( # * * # ) (
) # 6 ( * # . " * 6 * 6 ( " )
6 ( 3;2;
* # " 6 ( 2 27<< ( * #
# * # * ( ( " *
* ) * ( ) * # * 2 ) ( #
2777 # ( * * & 2 " (
# 3;;3 1 ) ( # * * * # (
# 3;;: * * * * " # * */ * ,
1 * */ * # , - ( ( # 3;;: *
) * * ( * ( # 3;;9 ( # ) *
1 # * */ ( * ( * ) *
#6 ( * . ( * * * ( * ) * " ( * @
( # 3;;<+3;;7 ( * # * */ # ,
-( # 3;;< # * ( * 1 . (
* ( * *6 * 6 ,>@ - (
( * $" , & $- @ 6
& 0
! 0
& 0
&
& 2
1 2
%
# *+ *. * & / 0 + 2
* & 2
2
* * 3
* 3
3
! 3
5
, - 5
$
# 5
5
&
*. * & / 0 + :
" ! # *+ ( 9
' * ! 9
" ! 9
' * ( 8
&
* ( <
<
<
" 2 * ( ( ( ( * ( 1 * * 9
" 3 * ( ( ( ( * ( 1 *
* 8
" 4 ( ( ' * 8
" 5 * + * ( 8
! " 2 * * * ( 1 2; ( ( 4
! " 3 * * ( # * " ) 4
! " 4 * * ( * ( ( * * ( * 4
! " 5 * * * ) # * ( * * ( ! " 4 4
& ( 2 2;
& ( 3 # ( ( 22
& ( 4 * ( ( " * ( 1 * * . *
*. * & / 0 + 23
& ( 5 " ( 1 * * +2 +3
*. * & / 0 + 24
& ( : ( ( ' * * # *. * " 2:
& ( 9 * . * * " # *+ * * 2:
& ( 8 * . * * " # *+ * #
29
1
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Enzim merupakan protein makromolekul yang terlibat dalam hampir setiap reaksi metabolisme pada mahluk hidup. Peranan enzim cukup penting yaitu sebagai katalisator yang dapat mempercepat reaksi kimia. Salah satu hal yang mempengaruhi kecepatan reaksi enzim adalah konsentrasi substrat yang terlibat. Wiesman (1989) Putra (2009)
menyatakan kecepatan reaksi enzim
bertambah dengan semakin bertambahnya konsentrasi substrat hingga pada suatu konsentrasi substrat tertentu kecepatannya tidak lagi bertambah.
Hubungan antara kecepatan reaksi enzim dengan konsentrasi substrat dapat digambarkan melalui persamaan Michaelis$ Menten. Pada model tersebut konsentrasi substrat dan kecepatan reaksi dinyatakan melalui model yang tidak linier (nonlinier). Jericevic dan Kuster (2005) menyatakan pendugaan parameter model Michaelis$ Menten masih sering dilakukan melalui metode kuadrat terkecil (MKT) dengan terlebih dahulu mentransformasi persamaan Michaelis$Menten menjadi bentuk persamaan linier. Salah satu model transformasi yang banyak digunakan adalah model Lineweaver$ Burk.
Saat ini telah banyak dikembangkan metode pendugaan parameter persamaan nonlinier melalui optimasi dengan tetap mempertahankan bentuk nonliniernya. Pendugaan parameter model nonlinier tersebut dapat melalui dua cara yaitu dengan peminimuman kuadrat galat (
) atau dengan pemaksimuman fungsi
kemungkinannya ( ). Salah
satu metode optimasi yang dapat digunakan untuk pendugaan parameter model nonlinier melalui pemaksimuman fungsi kemungkinan adalah algoritma genetika. Pertanyaan yang sering kali muncul adalah bagaimana kemampuan algoritma tersebut dalam pendugaan parameter model nonlinier apabila dibandingkan dengan pendugaan melalui transformasi linier yang telah sering dipakai. Penelitian ini akan mencoba untuk menjawabnya.
Tujuan
Tujuan penelitian ini adalah untuk membandingkan kebaikan hasil pendugaan parameter Vmaks dan Km menggunakan MKT dan algoritma genetika.
TINJAUAN PUSTAKA
Model Nonlinier Michaelis!Menten dan Model Transformasi Lineweaver!Burk
Model Michaelis$Menten didefinisikan dengan persamaan
dengan v menyatakan kecepatan reaksi (0mol L$1 min$1), S menyatakan konsentrasi substrat (mmol L$1), Vmaks menyatakan parameter kecepatan maksimum (0mol L$1 min$1) dan Km menyatakan parameter besaran karakteristik model Michaelis$Menten.
Transformasi model Michaelis$Menten menjadi bentuk model linier telah banyak dilakukan. Salah satu bentuk model transformasi yang sering digunakan adalah model Lineweaver$Burk yang dinyatakan dengan persamaan
dimana 1/v merupakan peubah respon, 1/S peubah penjelas, 1/Vmaks adalah penduga intersep dan Km/Vmaks adalah penduga kemiringan (Jericevic and Kuster 2005).
Model Regresi Linier
Sistem persamaan linier dapat dinotasikan dengan matriks berikut
dimana y dan e merupakan vektor peubah respon dan galat dengan dimensi n x 1, b merupakan vektor penduga parameter dengan dimensi (k+1) x 1 sedangkan X merupakan matriks peubah penjelas dengan dimensi n x (k+1). Simbol n menyatakan banyaknya pengamatan dan k menyatakan banyaknya peubah bebas sehingga (k+1) menyatakan banyaknya parameter (Myers and Milton 1991).
Metode Kuadrat Terkecil
Konsep dari metode kuadrat terkecil adalah meminimumkan jumlah kuadrat galat yaitu
2
Apabila operasi matriks di atas diteruskan, akan didapatkan
persamaan di atas diturunkan terhadap penduga parameternya (b) dan membuat turunannya sama dengan nol maka akan didapatkan penduga parameter
Penduga parameter b di atas dikatakan tak bias apabila matriks X berpangkat penuh (
) dan e memiliki ragam konstan (Myers and Milton 1991).
Pemeriksaan Sisaan
Analisis regresi melalui metode kuadrat terkecil memiliki beberapa asumsi terkait dengan galat. Asumsi yang terlibat adalah kebebasan galat, memiliki nilai tengah nol dan ragam yang konstan (σ2) dan galat yang menyebar normal. Asumsi galat yang menyebar normal hanya digunakan pada saat melakukan uji F dan dalam penyusunan selang kepercayaan.\
Pemeriksaan terhadap asumsi ini dapat dilakukan dengan membuat tebaran terhadap galat. Tebaran antara galat ke$i dengan galat ke$(i$1) dapat digunakan untuk melihat apakah galat saling bebas. Salah satu uji formal yang dapat digunakan untuk melihat kebebasan galat adalah uji runtutan ( ). Selanjutnya tebaran galat dengan penduga respon dapat digunakan untuk memeriksa kehomogenan galat. Uji formal untuk mengetahui kehomogenan galat salah satunya adalah uji Bartlett. Tebaran peluang normal galat dapat digunakan untuk mengetahui apakah galat menyebar normal. Salah satu uji formal yang dapat digunakan untuk melihat kenormalan galat adalah uji Kolmogorov$ Smirnov (Draper and Smith 1981).
Penduga Kemungkinan Maksimum
Pemaksimuman fungsi kemungkinan didasarkan pada sebaran dari data yang bersangkutan. Anggaplah suatu vektor data x dimana untuk setiap xi menyebar menurut suatu sebaran dengan fungsi kepekatan peluangnya fx(xi|θ), maka fungsi kemungkinan dari x diberikan oleh persamaan berikut
! "#$ % &' $ #"
Fungsi tersebut diberikan operasi logaritma agar menjadi fungsi yang berbentuk penjumlahan.
!( "#$ )*+ &' $ #"
Selanjutnya dicari penduga parameter θ yang mampu memaksimumkan fungsi di atas Penduga parameter θ biasanya dicari menggunakan metode iteratif karena kesulitannya dalam pendugaan secara langsung (Myers 1989).
Prinsip umum dari proses pengambilan contoh dengan pengembalian pada metode
adalah sebagai berikut:
1. Asumsikan vektor data x yang ada (x1, x2, x3, …, xn) adalah contoh acak dari sebaran yang belum diketahui.
2. Ambil contoh data sebanyak k dengan pengembalian.
3. Hitung statistik dari data yang terambil pada langkah ke$2.
4. Langkah 1 hingga 3 dilakukan terus menerus sebanyak b kali.
Hasil dari langkah$langkah di atas merupakan data yang akan digunakan dalam pendekatan sebaran dari x (Morgan 1984).
Algoritma Genetika
Algoritma genetika merupakan salah satu metode numerik yang dapat digunakan untuk optimasi model. Cara kerja algoritma ini mengadopsi teori evolusi Darwin sehingga istilah$istilah yang dipakai berhubungan dengan bidang genetika. Algoritma genetika dimulai dengan memunculkan sejumlah solusi sekaligus yang disebut populasi. Himpunan solusi ini akan mengalami perubahan pada setiap iterasi (generasi). Individu yang menjadi penyusun populasi disebut dengan kromosom. Kromosom merupakan suatu solusi yang masih berupa simbol dan tersusun atas sejumlah gen (bits). Pada setiap generasi dilakukan evaluasi terhadap kromosom dengan menggunakan suatu alat ukur yang
disebut . Nilai ini digunakan
untuk menyeleksi kromosom yang berhak dipertahankan dan juga digunakan untuk memilih induk populasi generasi berikutnya (Sanjoyo 2005; Zheng and Kiyooka 1999).
Tahap secara lengkap tentang algoritma genetika adalah sebagai berikut (Zheng and Kiyooka 1999):
3
kromosom dinyatakan dengan banyaknya gen penyusun kromosom. Penentuan panjang kromosom sebaiknya disesuaikan dengan banyaknya parameter yang akan dilibatkan. Tiap gen akan berisi suatu bilangan biner (0 atau 1) tertentu. Ilustrasi kromosom dengan panjang 10 gen dan mengandung informasi dugaan untuk 2 buah parameter disajikan pada Gambar 1 berikut:
", ",
0 1 1 0 1 1 0 0 1 0
Gambar 1 Ilustrasi kromosom dengan panjang 10 gen untuk pendugaan dua parameter.
Apabila telah ditentukan bahwa "- ada pada selang nilai tertentu (a<θ<b) maka nilai dugaan untuk suatu θ dapat dituliskan sebagai berikut:
Setiap kromosom dievaluasi dengan suatu alat ukur yang disebut , sehingga nantinya tiap kromosom akan memiliki nilai tertentu. Kromosom yang memiliki log$likelihood dari suatu kromosom dengan nilai terendah log$likelihood kromosom pada populasi tersebut.
3. Elitisme
Simpan dua kromosom yang memiliki nilai tertinggi kemudian teruskan sebagai anggota populasi generasi berikutnya. Elitisme mengakibatkan kromosom yang perlu dibentuk melalui persilangan untuk generasi berikutnya selalu sebanyak N$2. 4. Pemilihan induk untuk persilangan
Induk yang akan digunakan untuk membentuk generasi berikutnya dipilih secara acak. Cara pemilihannya menggunakan sistem seperti pada roda rollet. Tiap kromosom dalam populasi akan menempati potongan lingkaran sesuai dengan nilai nya. Kromosom yang memiliki nilai tinggi akan menempati potongan lingkaran yang lebih besar daripada kromosom dengan rendah. Ilustrasi pemilihan induk persilangan dapat dilihat pada Gambar 2.
Posisi dari tiap$tiap kromosom: sampai 1 dibangkitkan. Kromosom dengan posisi yang bersesuaian dengan bilangan acak yang dihasilkan dipilih sebagai induk. Proses tersebut dilakukan kembali untuk menentukan kromosom pasangannya. Sepasang induk yang terpilih akan menghasilkan sepasang anak anak pada satu kali persilangan. Kromosom yang telah terpilih sebagai induk dapat terpilih kembali pada persilangan berikutnya.
5. Persilangan atau
Cara persilangan yang paling sederhana adalah memberikan suatu titik potong tertentu secara acak terhadap sepasang kromosom induk. Bagian kanan dari kromosom pertama digabungkan dengan bagian kiri dari kromosom kedua dan bagian kiri dari kromosom pertama digabungkan dengan bagian kanan dari kromosom kedua. Berikut induk pada proses persilangan.
Sehingga kromosom anak yang akan dihasilkan dari persilangan kromosom pada Gambar 3.
Persilangan hanya bisa dilakukan apabila bilangan acak yang dibangkitkan kurang dari
nilai persilangan ( ). Biasanya
nilai persilangan diatur mendekati satu. Banyaknya persilangan yang perlu dilakukan sebanyak (N$2)/2 kali agar jumlah kromosom untuk setiap generasi tetap.
6. Mutasi
Mutasi dilakukan terhadap kromosom hasil persilangan. Mutasi dimaksudkan untuk memunculkan kemungkinan solusi baru.
K1
K2 K3
4
Mutasi dilakukan dengan mengubah nilai pada suatu gen yang terpilih secara acak
berdasarkan nilai mutasi ( ). Nilai
mutasi menggambarkan banyaknya gen dari sebuah populasi yang akan mengalami mutasi. Misalkan suatu populasi secara total memiliki 2000 gen, apabila nilai mutasinya 0,1 maka 200 gen akan mengalami mutasi. Caranya adalah dengan mengganti nilai 0 menjadi 1 dan sebaliknya pada gen terpilih.
Apabila populasi generasi baru telah terbentuk maka ulangi langkah ke$2 hingga ke$6. Iterasi dilakukan hingga sampai pada generasi yang dituju. Pada generasi akhir dicari suatu kromosom yang memiliki nilai tertinggi (solusi terbaik). Diagram alir
dengan m menyatakan banyaknya gugus data, "; menyatakan penduga parameter dari gugus data ke$i. Nilai MAD menunjukkan kedekatan nilai penduga parameter terhadap parameter aslinya. Semakin kecil nilai MAD berarti penduga parameter yang didapatkan semakin mendekati nilai parameter aslinya (Magar 1972).
(MSE)
(MSE) atau nilai tengah kuadrat galat diformulasikan dengan
7 < = 5
dengan ei adalah galat ke$i dan n menunjukkan banyaknya pengamatan. Nilai MSE yang lebih rendah menunjukkan bahwa model tersebut lebih baik dalam menduga parameter (Mosteller and Tukey 1977).
BAHAN DAN METODE
Bahan
Bahan yang digunakan dalam penelitian ini meliputi dua jenis gugus data. Jenis gugus data pertama merupakan gugus data bangkitan. Jenis gugus data kedua merupakan gugus data riil hasil penelitian Putra (2009).
Metode
Metode dalam penelitian ini dibagi menjadi beberapa tahap. Diagram alir tahap
penelitian ini ditampilkan pada Lampiran 2. Tahap pertama dari penelitian ini adalah membangkitkan data demikian hingga data yang dihasilkan dapat digunakan sebagai amatan yang menyebar normal dengan ragam konstan. Berikut ini langkah$langkah dalam pembangkitan datanya:
1. Menentukan selang nilai peubah penjelas S. Selang yang digunakan pada penelitian ini adalah 0,05$2,50. 2. Menentukan banyaknya titik nilai S
yang digunakan. Banyaknya titik nilai S yang digunakan pada penelitian ini sebanyak 50 titik atau dengan kata lain titik$titik nilai yang digunakan adalah 0,05; 0,10; 0,15 dan seterusnya hingga 2,50.
3. Nilai S yang terpilih dimasukkan ke persamaan Lineweaver$Burk berikut:
dengan menetapkan nilai Vmaks sebesar 30 dan Km sebesar 4.
4. Membangkitkan 5 data respon (dinotasikan dengan 1/vi*) yang menyebar normal dengan nilai tengah 1/vi dan ragam tertentu (σ = 0,05).
5. Menghitung data pengamatan
Michaelis$Menten (dinotasikan dengan vi*) dengan operasi (1/vi*)$1.
6. Mengulangi langkah ke$4 dan ke$5 untuk ragam yang lain (σ = 0,03).
Tahap kedua dari penelitian ini adalah pembuatan gugus data yang digunakan untuk pendugaan parameter. Gugus data tersebut dibuat dengan cara memilih secara acak nilai respon (vi*) untuk setiap nilai peubah penjelas (Si). Pemilihannya dibedakan menjadi dua yaitu pemilihan satu nilai vi* untuk setiap Si (tanpa ulangan respon) dan tiga nilai vi* untuk setiap Si (dengan ulangan respon). Gugus data yang akan dibentuk ada empat jenis yaitu:
1. Jenis gugus data bangkitan ke$1 yaitu gugus data dari pembangkitan dengan ragam besar (σ = 0,05) tanpa ulangan respon.
2. Jenis gugus data bangkitan ke$2 yaitu gugus data dari pembangkitan dengan ragam kecil (σ = 0,03) tanpa ulangan respon.
3. Jenis gugus data bangkitan ke$3 yaitu gugus data dari pembangkitan dengan ragam besar (σ = 0,05) dengan ulangan respon.
5
ragam kecil (σ = 0,03) dengan ulangan respon.
Setiap jenis gugus data bangkitan dibuat sebanyak sepuluh kombinasi gugus data.
Tahap ketiga adalah identifikasi sebaran galat model Michaelis$Menten. Berikut ini adalah langkah$langkah dalam identifikasinya: 1. Hitung galat yaitu selisih antara vi* (langkah ke$5 pembangkitan data) dengan vi dengan operasi:
> (
2. Identifikasi sebaran dari ε dengan
menggunakan pada
.
3. Apabila identifikasi secara langsung tidak menemukan kecocokan pada sebaran yang diujikan, gunakan metode terlebih dahulu. Dilakukan kembali langkah$langkah di atas untuk data yang dibangkitkan dari ragam kecil (σ = 0.03). Identifikasi dari sebaran galat ini
berguna untuk pembuatan fungsi
kemungkinan pada algoritma genetika. Tahap terakhir adalah pendugaan parameter Vmaks dan Km untuk gugus$gugus data bangkitan. Pendugaan parameter untuk setiap gugus data bangkitan dilakukan melalui dua metode yaitu MKT dan algoritma genetika. Nilai penduga parameter yang dihasilkan dari masing$masing metode dibandingkan dengan menggunakan kriteria (MAD). Pendugaan parameter pada gugus data riil dilakukan menggunakan metode yang dianggap terbaik berdasarkan hasil pendugaan parameter pada gugus data bangkitan.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pendugaan Parameter Model Transformasi Lineweaver!Burk
Pendugaan parameter model transformasi linier Lineweaver$Burk dilaksanakan dengan
bantuan !. Hasil pendugaan
parameter, koefisien determinan beserta pengujian asumsinya ditampilkan pada Lampiran 3. Berdasarkan hasil tersebut, terlihat bahwa semua penduga parameter nyata. Hal ini berlaku baik untuk penduga parameter intersep (1/Vmaks) maupun kemiringan (Km/Vmaks). Hal ini ditandai dengan nilai p untuk semua penduga parameter pada masing$masing data nilainya sangat kecil (0,000) bahkan mendekati nol.
Koefisien determinan pada semua gugus data menunjukkan nilai yang sangat tinggi yaitu di atas 99%. Hal ini berarti 99% lebih
keragaman peubah respon (1/v) mampu diterangkan oleh peubah penjelasnya (1/S). Koefisien determinan yang dihasilkan oleh gugus$gugus data yang berasal dari pembangkitan dengan ragam kecil nilainya selalu lebih besar daripada Koefisien determinan yang dihasilkan oleh gugus$gugus data yang berasal dari pembangkitan dengan ragam besar. Hal ini menunjukkan bahwa semakin besar ragam pembangkitan datanya, keragaman yang mampu dijelaskan oleh peubah penjelas menjadi semakin kecil.
Berdasarkan hasil yang ditampilkan pada Lampiran 3, terlihat bahwa asumsi kebebasan galat telah terpenuhi untuk semua gugus data. Hal ini ditunjukkan dengan nilai p uji runtutan ( ) yang selalu lebih besar dari 0,1. Nilai p uji Kolmogorov$Smirnov selalu lebih besar dari 0,1 pada semua gugus data. Hal ini menandakan bahwa asumsi kenormalan galat juga terpenuhi. Uji Bartlett untuk kehomogenan ragam galat hanya dapat dilaksanakan pada jenis gugus data bangkitan ke$3 dan ke$4 yang memiliki ulangan respon pada setiap nilai peubah penjelasnya. Berdasarkan uji tersebut terlihat bahwa nilai p pada semua gugus data yang diuji selalu lebih besar dari 0,1. Sedangkan untuk jenis gugus data bangkitan ke$1 dan ke$2, kehomogenan ragam galat hanya dilihat berdasarkan tebaran antara nilai dugaan dan galatnya yang menunjukkan pola acak dan ragam yang cukup homogen (Lampiran 4). Berdasarkan hasil uji Bartlett dan tebaran galatnya, dapat dikatakan bahwa asumsi kehomogenan ragam galat terpenuhi untuk semua gugus data.
6
Penentuan Sebaran Galat Model Michaelis! Menten pada Data Bangkitan
Penentuan sebaran dari galat model Michaelis$Menten dilaksanakan dengan
bantuan pada . Nilai p
yang dijadikan batas untuk menyatakan apakah galat tersebut mengikuti sebaran tertentu adalah 0,10. Apabila nilai p yang didapatkan lebih besar dari 0,10 maka galat tersebut mengikuti sebaran terkait dan begitu sebaliknya.
Identifikasi sebaran secara langsung tidak menemukan kecocokan di antara sebaran
Normal, " , # , maupun
$ . Hal ini berlaku pada kedua galat yaitu galat dengan ragam besar maupun galat dengan ragam kecil. Hal ini ditunjukkan dengan nilai p yang lebih kecil daripada 0,10 pada kesemua uji. Hasil lengkap pengujiannya dapat dilihat pada Lampiran 6.
Identifikasi sebaran dilaksanakan dengan
sebelumnya diterapkan metode .
Ulangan yang digunakan dibuat
berbeda yaitu 10, 20, 30, 40, dan 50. Sebaran yang konsisten pada beberapa ulangan untuk galat dengan ragam besar adalah sebaran " dan $ . Nilai p yang dihasilkan pada semua pengujiannya lebih besar daripada 0,10 sehingga dapat diputuskan bahwa galat yang diuji mengikuti sebaran yang bersangkutan. Sedangkan untuk galat dengan ragam kecil, sebaran yang 0,10. Hasil lengkap pengujiannya ditampilkan pada Lampiran 7.
Pendugaan Parameter Vmaks dan Km
Melalui Algoritma Genetika
Pendugaan parameter melalui algoritma genetika dengan fungsi kemungkinan $ mengalami kegagalan. Hal ini disebabkan karena ada suatu fungsi yang seharusnya mendapatkan input bilangan riil tidak terpenuhi sehingga algoritma berhenti. Pendugaan parameter melalui algoritma genetika dengan fungsi kemungkinan " tidak menemui banyak hambatan berarti.
Nilai penduga parameter Vmaks dan Km yang dihasilkan melalui algoritma genetika pada masing$masing gugus data ditampilkan pada Lampiran 8. Nilai penduga parameter
Vmaks untuk jenis gugus data bangkitan ke$1 antara 25 hingga 59,5963 sedangkan penduga parameter Km nilainya antara 3,3124 hingga 8,5393. Nilai penduga parameter Vmaks untuk jenis gugus data bangkitan ke$2 antara 28,0897 hingga 30,7927 sedangkan penduga parameter Km nilainya antara 3,75 hingga 4,1535. Nilai penduga parameter Vmaks untuk jenis gugus data bangkitan ke$3 antara 26,8157 hingga 45,2728 sedangkan penduga parameter Km nilainya antara 3,4738 hingga 6,2136. Nilai penduga parameter Vmaks untuk jenis gugus data bangkitan ke$4 antara 29,3338 hingga 31,1035 sedangkan penduga parameter Km nilainya antara 3,9252 hingga 4,2152.
Berdasarkan hasil tersebut terlihat bahwa pendugaan parameter Vmaks dan Km melalui algoritma genetika kurang konsisten pada gugus$gugus data bangkitan yang berasal dari pembangkitan dengan ragam besar. Hal ini terlihat dari selang nilai penduga parameter Vmaks dan Km yang besar pada jenis gugus data bangkitan ke$1 dan ke$3. Penduga parameter Vmaks dan Kn untuk gugus$gugus data bangkitan yang berasal dari pembangkitan dengan ragam kecil terlihat lebih konsisnten. Hal ini terlihat dari selang nilai penduga parameter Vmaks dan Km yang kecil pada jenis gugus data bangkitan ke$2 dan ke$4.
Perbandingan Pendugaan Parameter Melalui MKT dan Algoritma Genetika
Kriteria yang digunakan dalam
perbandingan pendugaan parameter ini adalah (MAD). Nilai MAD untuk penduga parameter Vmaks dan Km melalui MKT pada setiap jenis gugus data bangkitan ditampilkan pada Tabel 1.
Tabel 1 Nilai MAD setiap penduga parameter menggunakan MKT pada setiap jenis gugus data
Penduga parameter
Jenis gugus data bangkitan ke$
1 2
Vmaks 3,7611 1,6141
Km 0,5199 0,2115
Penduga parameter
Jenis gugus data bangkitan ke$
3 4
Vmaks 1,3639 1,1541
Km 0,1880 0,1519
7
Tabel 2 Nilai MAD setiap penduga parameter menggunakan algoritma genetika pada setiap jenis gugus data
Penduga parameter
Jenis gugus data bangkitan ke$
1 2
Vmaks 8,5502 0,9156
Km 1,3885 0,1386
Penduga parameter
Jenis gugus data bangkitan ke$
3 4
Vmaks 8,5219 0,5778
Km 1,2546 0,0981
Apabila dilihat dari ragam pembangkitan datanya, jenis gugus data bangkitan yang memiliki ragam besar (jenis gugus data bangkitan ke$1 dan ke$3) menghasilkan nilai MAD yang lebih besar dari jenis gugus data bangkitan yang memiliki ragam kecil (jenis gugus data bangkitan ke$2 dan ke$4). Selanjutnya apabila dilihat dari ada atau tidaknya ulangan respon pada setiap nilai peubah penjelas, terlihat bahwa jenis data bangkitan tanpa ulangan (jenis data bangkitan ke$1 dan ke$2) memiliki nilai MAD yang lebih besar daripada jenis data bangkitan dengan ulangan (jenis data bangkitan ke$3 dan ke$4). Berdasarkan hasil pada Tabel 1 dan Tabel 2 di atas juga terlihat bahwa pendugaan parameter menggunakan algoritma genetika menghasilkan nilai MAD yang lebih besar daripada MKT pada jenis gugus data bangkitan yang memiliki ragam besar. Berbeda halnya pada jenis gugus data bangkitan yang memiliki ragam kecil, nilai MAD yang dihasilkan oleh algoritma genetika lebih kecil daripada MKT.
Pendugaan Parameter Vmaks dan Km pada
Data Riil
Pada pembahasan sebelumnya telah didapatkan keterangan bahwa algoritma genetika dan MKT memiliki kelebihan dan kekurangannya bergantung dari jenis gugus datanya. Pendugaan parameter pada data riil seharusnya mengikuti metode yang paling baik, akan tetapi karena tidak dapat diputuskan metode yang paling baik pada semua kondisi maka pendugaan parameter pada data riil tetap menggunakan kedua metode yang ada. Khusus pendugaan melalui algoritma genetika diulang dilaksanakan untuk lima generasi berbeda dimana pada setiap generasi diulang sebanyak dua kali sehingga nantinya aka nada sepuluh kali pendugaan. Hal ini dimaksudkan untuk melihat konsistensi pendugaan parameter. Nilai penduga parameter Vmaks dan Km yang didapatkan melalui MKT dan algoritma
genetika ditampilkan pada Tabel 3 di bawah
AG$G1000$U1 12,9395 1,2500
AG$G1000$U2 12,9425 1,2500
AG$G2000$U1 9,9761 0,8026
AG$G2000$U2 12,5000 1,1755
AG$G3000$U1 12,5000 1,1754
AG$G3000$U2 12,9425 1,2500
AG$G4000$U1 9,9761 0,8026
AG$G4000$U2 12,5000 1,1755
AG$G5000$U1 12,5000 1,1754
AG$G5000$U2 9,9765 0,8027
Keterangan: AG: algoritma genetika, G: generasi, U: ulangan
Berdasarkan hasil di atas, terlihat bahwa pendugaan melalui algoritma genetika pada berbagai generasi dan ulangan yang berbeda kadang menghasilkan nilai yang cukup berbeda. Hal ini wajar karena prinsip pendugaan dari algoritma genetika adalah metode numeris dimana nilai dugaan yang dihasilkan dapat berbeda tergantung dari bilangan awal yang dibangkitkan. Penduga parameter terbaik ditentukan melalui kriteria MSE. Tabel 4 menampilkan nilai MSE dari
Keterangan: AG: algoritma genetika, G: generasi, U: ulangan
8
KESIMPULAN DAN SARAN
Kesimpulan
Algoritma genetika lebih baik dalam menduga parameter pada jenis gugus data yang memiliki ragam kecil. Pada jenis gugus data yang memiliki ragam besar, pendugaan parameter melalui MKT lebih baik.
Saran
Pendugaan melalui algoritma genetika perlu dicobakan pada beberapa kondisi yang berbeda untuk mengetahui kestabilan pendugaan. Pendugaan melalui MKT perlu dilihat keterpenuhan asumsinya terlebih dahulu sebelum dibandingkan dengan metode pendugaan yang lain.
DAFTAR PUSTAKA
Draper N, Smith H. 1981.
% . 2nd Ed. New York: John Wiley & Sons, Inc.
Jericevic Z, Kuster Z. 2005. Non$Linear Optimization of Parameter in Michaelis$ Menten Kinetiks. & &
78 (4): 519$523.
Magar ME. 1972. ' %
% % . New York:
Academic Press, Inc.
Morgan BJ. 1984. ( .
London: Chapman and Hall.
Mosteller F, Tukey JW. 1977. ' %
) &
. New Jersey: Addison$Wesley Publishing Company.
Myers RH. 1989. &
* . 2nd Ed.
Boston: PWS$KENT Publishing
Company.
Myers RH, Milton JS. 1991. + &
, % " .
Boston: PWS$KENT Publishing
Company.
Putra GPG. 2009. Penentuan Kinetika Enzim Poligalakturonase (Pg) Endogenous dari Pulp Biji Kakao. - ./// (1): 21$24.
Sanjoyo. 2006. Aplikasi Algoritma Genetika. http://sanjoyo55.files.wordpress.com/2008 /11/non$linier$gen$algol.pdf.[12 Agustus 2008].
10
Lampiran 1 Diagram alir algoritma genetika
Mulai
Bangkitkan N solusi (kromosom)
Uji nilai setiap kromosom
Dua nilai tertinggi?
Elitisme Persilangan
Mutasi
Apakah sudah sampai generasi tujuan? Kondisi sesuai
Stop
11
Lampiran 2 Diagram alir tahap penelitian
Mulai
Tentukan 50 nilai S pada selang 0.05$2.50, nilai Vmaks = 30 dan Km = 4
(
Identifikasi Sebaran 1/v*~N(1/v;0.052)
sebanyak 5 nilai
1/v*~N(1/v;0.032) sebanyak 5 nilai
Pengambilan contoh sebanyak 1 nilai
Pengambilan contoh sebanyak 3 nilai
MKT Algoritma Genetika
12
Lampiran 3 Hasil pendugaan parameter beserta pengujian asumsi dan koefisien determinan model transformasi Lineweaver$Burk
Jenis gugus
data 1/Vmaks (nilai p) Km/Vmaks (nilai p)
Nilai p Koefisien
determinan Bartlett Runtutan K$S
B1U1 0,0399 (0,000) 0,133 (0,000) $ 0,397 >0,150 99,70%
B1U2 0,0317 (0,000) 0,133 (0,000) $ 0,201 >0,150 99,50%
B1U3 0,0304 (0,000) 0,134 (0,000) $ 0,575 >0,150 99,50%
B1U4 0,0342 (0,000) 0,133 (0,000) $ 0,775 >0,150 99,40%
B1U5 0,0285 (0,000) 0,136 (0,000) $ 0,248 >0,150 99,50%
B1U6 0,0299 (0,000) 0,133 (0,000) $ 0,766 >0,150 99,50%
B1U7 0,0396 (0,000) 0,132 (0,000) $ 0,363 >0,150 99,60%
B1U8 0,0382 (0,000) 0,134 (0,000) $ 0,775 >0,150 99,50%
B1U9 0,0417 (0,000) 0,132 (0,000) $ 0,630 >0,150 99,50%
B1U10 0,0308 (0,000) 0,134 (0,000) $ 0,156 >0,150 99,40%
B2U1 0,0351 (0,000) 0,134 (0,000) $ 0,363 >0,150 99,90%
B2U2 0,0349 (0,000) 0,134 (0,000) $ 0,444 >0,150 99,99%
B2U3 0,0344 (0,000) 0,133 (0,000) $ 0,568 >0,150 99,90%
B2U4 0,0346 (0,000) 0,134 (0,000) $ 0,575 >0,150 99,90%
B2U5 0,0385 (0,000) 0,133 (0,000) $ 0,397 >0,150 99,90%
B2U6 0,0355 (0,000) 0,133 (0,000) $ 0,397 >0,150 99,90%
B2U7 0,0345 (0,000) 0,134 (0,000) $ 0,597 0,121 99,90%
B2U8 0,0347 (0,000) 0,133 (0,000) $ 0,783 >0,150 99,99%
B2U9 0,0369 (0,000) 0,134 (0,000) $ 0,164 >0,150 99,90%
B2U10 0,0330 (0,000) 0,134 (0,000) $ 0,391 >0,150 99,90%
B3U1 0,0362 (0,000) 0,133 (0,000) 0,368 0,183 >0,150 99,50%
B3U2 0,0331 (0,000) 0,134 (0,000) 0,128 0,863 >0,150 99,40%
B3U3 0,0349 (0,000) 0,133 (0,000) 0,275 0,380 >0,150 99,50%
B3U4 0,0341 (0,000) 0,134 (0,000) 0,857 0,609 >0,150 99,50%
B3U5 0,0316 (0,000) 0,134 (0,000) 0,406 0,872 >0,150 99,50%
B3U6 0,0327 (0,000) 0,133 (0,000) 0,151 0,877 >0,150 99,50%
B3U7 0,0295 (0,000) 0,134 (0,000) 0,627 0,307 >0,150 99,50%
B3U8 0,0356 (0,000) 0,133 (0,000) 0,320 0,609 >0,150 99,50%
B3U9 0,0338 (0,000) 0,133 (0,000) 0,334 0,411 >0,150 99,50%
B3U10 0,0327 (0,000) 0,133 (0,000) 0,275 0,743 >0,150 99,50%
B4U1 0,0350 (0,000) 0,133 (0,000) 0,457 0,251 >0,150 99,90%
B4U2 0,0350 (0,000) 0,133 (0,000) 0,660 0,236 >0,150 99,90%
B4U3 0,0345 (0,000) 0,133 (0,000) 0,719 0,741 >0,150 99,90%
B4U4 0,0351 (0,000) 0,133 (0,000) 0,321 0,187 >0,150 99,90%
B4U5 0,0341 (0,000) 0,134 (0,000) 0,238 0,984 >0,150 99,90%
B4U6 0,0345 (0,000) 0,134 (0,000) 0,479 0,609 >0,150 99,90%
B4U7 0,0348 (0,000) 0,133 (0,000) 0,920 0,411 >0,150 99,90%
B4U8 0,0347 (0,000) 0,134 (0,000) 0,337 0,101 >0,150 99,90%
B4U9 0,0348 (0,000) 0,134 (0,000) 0,702 0,984 >0,150 99,90%
B4U10 0,0342 (0,000) 0,133 (0,000) 0,440 0,411 >0,150 99,90%
13
14
15
Lampiran 5 Nilai penduga parameter Vmaks dan Km melalui MKT setelah transformasi balik
Ulangan
Jenis gugus data
Bangkitan ke$1 Bangkitan ke$2 Bangkitan ke$3 Bangkitan ke$4
Vmaks Km Vmaks Km Vmaks Km Vmaks Km
1 25,0626 3,33333 28,4900 3,81766 27,6243 3,67403 28,5714 3,80000
2 32,1543 4,27653 28,6533 3,83954 30,2115 4,04834 28,5714 3,80000
3 32,8947 4,40789 29,0698 3,86628 28,6533 3,81089 28,9855 3,85507
4 29,2398 3,88889 28,9017 3,87283 29,3255 3,92962 28,4900 3,78917
5 36,3636 4,94546 25,9740 3,45454 31,6456 4,24051 29,3255 3,92962
6 33,4448 4,44816 28,1690 3,74648 30,5810 4,06728 28,9855 3,88406
7 25,2525 3,33333 28,9855 3,88406 33,8983 4,54237 28,7356 3,82184
8 26,1780 3,50785 28,8184 3,83285 28,0899 3,73596 28,8184 3,86167
9 23,9808 3,16547 27,1003 3,63144 29,5858 3,93491 28,7356 3,85058
10 32,4675 4,35065 30,3030 4,06060 30,5810 4,06728 29,2398 3,88889
Lampiran 6 Hasil identifikasi sebaran galat model Michaelis$Menten secara langsung
1. Galat dengan ragam besar Kriteria
Normal " # $
statistik nilai p statistik nilai p statistik nilai p statistik nilai p
K$S 0,2390675 <0,010 0,1412132 <0,001 $ $ 0,1623401 <0,001
C$M 4,2257551 <0,005 1,7952533 <0,001 $ $ 2,1366046 <0,001
A$D 22,197148 <0,005 9,0247976 <0,001 $ $ 10,803443 <0,001
Keterangan: K$S = Kolmogorov$Smirnov; C$M = Cramer$von Mises; A$D = Anderson$Darling
2. Galat dengan ragam kecil
Kriteria
Normal " # $
16
Lampiran 7 Hasil identifikasi sebaran galat model Michaelis$Menten setelah
1. Galat dengan ragam besar
Kriteria Normal " # $
n=10 statistik nilai p statistik nilai p statistik nilai p statistik nilai p K$S 0,0678602 <0,010 0,0201407 >0,250 0,0362865 <0,001 0,0190379 >0,250 CM 1,4537221 <0,005 0,0635264 0,231 0,3944098 <0,001 0,0503607 >0,250 AD 9,345138 <0,005 0,3659899 >0,250 3,0779097 <0,001 0,3477129 >0,250 n=20 statistik nilai p statistik nilai p statistik nilai p statistik nilai p K$S 0,0529478 <0,010 0,0149322 >0,500 0,0294738 0,02 0,0127461 >0,500 CM 0,7965099 <0,005 0,0247553 >0,500 0,1799956 0,005 0,0185967 >0,500 AD 4,9599908 <0,005 0,1969433 >0,500 1,2747777 <0,001 0,1607605 >0,500 n=30 statistik nilai p statistik nilai p statistik nilai p statistik nilai p K$S 0,0512159 <0,010 0,0164011 >0,500 0,0476177 <0,001 0,0198328 >0,250 CM 0,6772537 <0,005 0,0410553 >0,500 0,4825147 <0,001 0,0493219 >0,250 AD 4,3612635 <0,005 0,2990534 >0,250 3,4280614 <0,001 0,3567754 >0,250 n=40 statistik nilai p statistik nilai p statistik nilai p statistik nilai p K$S 0,0450782 <0,010 0,0165393 >0,500 0,0316965 0,007 0,0165387 >0,500 CM 0,5027293 <0,005 0,0230022 >0,500 0,2016378 0,002 0,019465 >0,500 AD 3,2433457 <0,005 0,1703608 >0,500 1,3785532 <0,001 0,1435818 >0,500 n=50 statistik nilai p statistik nilai p statistik nilai p statistik nilai p K$S 0,0331416 <0,010 0,0142198 >0,500 0,0379603 <0,001 0,0156637 >0,500 CM 0,3355443 <0,005 0,0247512 >0,500 0,3354393 <0,001 0,0271137 >0,500 AD 2,3016217 <0,005 0,18438 >0,500 2,3692129 <0,001 0,205374 >0,500 Keterangan: n = contoh ; K$S = Kolmogorov$Smirnov; C$M = Cramer$von Mises;
A$D = Anderson$Darling
2. Galat dengan ragam kecil
Kriteria Normal " # $
n=10 statistik nilai p statistik nilai p statistik nilai p statistik nilai p K$S 0,0494287 <0,010 0,0232536 0,128 0,0411348 <0,001 0,0251434 0,075 CM 0,5577764 <0,005 0,0836364 0,101 0,5701754 <0,001 0,099574 0,061 AD 3,0681381 <0,005 0,4636515 0,144 3,5922189 <0,001 0,5383646 0,089 n=20 statistik nilai p statistik nilai p statistik nilai p statistik nilai p K$S 0,0287044 0,045 0,0182043 >0,250 0,0251071 0,085 0,0179542 >0,500 CM 0,1819615 0,009 0,0387479 >0,500 0,1001782 0,072 0,0349039 >0,500 AD 1,2582275 <0,005 0,2605101 >0,500 0,8475011 0,014 0,2433912 >0,500 n=30 statistik nilai p statistik nilai p statistik nilai p statistik nilai p K$S 0,0214374 >0,150 0,0159653 >0,500 0,0222977 0,195 0,0157386 >0,500 CM 0,0749059 0,244 0,036196 >0,500 0,051639 >0,250 0,0314189 >0,500 AD 0,5625609 0,149 0,2456956 >0,500 0,378643 >0,250 0,2212199 >0,500 n=40 statistik nilai p statistik nilai p statistik nilai p statistik nilai p K$S 0,0165431 >0,150 0,0169422 >0,500 0,0242762 0,102 0,014166 >0,500 CM 0,0349676 >0,250 0,0495874 >0,250 0,1195481 0,032 0,0381875 >0,500 AD 0,325843 >0,250 0,3883079 0,246 1,1646721 0,002 0,3265612 >0,500 n=50 statistik nilai p statistik nilai p statistik nilai p statistik nilai p K$S 0,028499 0,047 0,0166552 >0,500 0,0337055 0,002 0,0167887 >0,500 CM 0,2179279 <0,005 0,0320467 >0,500 0,2987742 <0,001 0,0365802 >0,500 AD 1,3461727 <0,005 0,2376642 >0,500 2,0395442 <0,001 0,2633518 >0,500 Keterangan: n = contoh ; K$S = Kolmogorov$Smirnov; C$M = Cramer$von Mises;
17
Lampiran 8 Nilai penduga parameter Vmaks dan Km melalui algoritma genetika
Ulangan
Jenis gugus data
Bangkitan ke$1 Bangkitan ke$2 Bangkitan ke$3 Bangkitan ke$4
Vmaks Km Vmaks Km Vmaks Km Vmaks Km
1 25,0000 3,31247 29,4922 3,96002 26,8157 3,47379 30,4995 4,12109
2 30,2391 3,84102 28,1702 3,75000 42,4286 5,87084 29,3338 3,92524
3 30,0274 3,86505 30,7927 4,15345 44,1629 6,21359 29,8828 4,00595
4 47,9393 6,80977 28,8247 3,84778 36,6294 5,00000 29,8897 4,02364
5 59,5962 8,53934 28,0897 3,79011 41,2109 5,61548 30,9968 4,18353
6 29,4909 3,69934 28,0899 3,75000 37,2039 5,02349 31,1035 4,21523
7 42,1875 6,09149 30,2582 4,07661 45,2728 6,18719 30,3757 4,09789
8 32,1289 4,38479 30,3800 4,10156 34,2401 4,62280 29,5771 3,96659
9 32,2737 4,46403 30,3223 4,14614 36,3037 4,91144 29,4769 3,95389
