Yc = Jarak antara pusat berat luas A ke garis netral.
I = Momen inersia dari seluruh luas penampang terhadap garis netral.
ts = Tebal dari potongan pada titik S.
fqs = Tegangan geser di titik S ( s)
(a) Shear flow (b) Distribusi tegangan
Rumus tersebut di atas tidak dapat dipakai untuk memperoleh tegangan geser vertikal
di sayap yang menjorok. Kenyataannya, penahanan dari penampang terhadap geser
vertikal hamper seluruhnya diterima oleh badan. Resultante dari tegangan geser
longitudinal di badan adalah setimbang dengan perubahan ke dalam gaya tarik normal
pada luasan A yang tergantung dari momen lentur yang bervariasi sepanjang balok.
Sama dengan tegangan longitudinal di sayap-sayap dan member'kan peningkatan tegangan
geser yang komplementer yang tampak pada arah yang ditunjukkan. Misalnya, pada titik
P di sayap atas :
A=bT, ts=T, Yc = ( D – T ) /2
maka persamaan
(
)
(
)
I T D b Q menjadi
t I
Y QA fq
s c s
2 f
: qp = −
=
Persamaan ini adalah linier dengan b sebagai variabel.
Dengan menentukan besarnya b = B/2 maka diperoleh besarnya fqp max sebagai berikut:
fqPmax = Q B (D - T)/4I
Distribusi tegangan geser seluruhnya dapat dilihat pada Gambar 7.6b.
Shear Flow
Persamaan
(
s)
c s
t I
Y QA
fq = bila dikalikan dengan tebal potongan (t )
disebut shear flow. Rumus shear flow di titik S ialah qs = t x fqs,
maka rumus shear flow di S menjadi :
I Y QA
qs = c
Tegangan pada Thin Walled Open Sections
Penampang-penampang baja biasanya tersusun dari elemen-elemen yang relative
tipis, di mana analisisnya dapat disederhanakan :
a. Oleh penunjukan semua dimensi dari bentuk penampang.
b. Oleh tanggapan bahwa tegangan geser yang tidak berubah-ubah melintang tebalnya.
c. Oleh pengabaian setiap tegangan geser yang bekerja tegak lurus pada penampang
profil. Jika ini sama dengan nol pada setiap permukaan luar, maka harus amat kecil di
dalam suatu thin walIed section.
Bila lebih lanjut dianggap bahwa beban dipakai dengan cara sedemikian rupa
sehingga tidak terjadi puntir pada balok, shear flow pada suatu titik S pada penampang
α α
α α
α α
α α
sin cos
sin cos
sin x cos
sin y cos
x y
v
y x
u
M M
M
M M
M y v
x u
− =
− =
+ =
+ =
(
y X)
xy
xy x
v
xy x
u
I I I tg
I I
I
I I
I
− =
+ +
=
− +
=
/ 2 2
2 sin cos
I sin
2 sin sin
I cos
2 y 2
2 y 2
α
α α
α
α α
α
(
)
(
)
forces shear efektif adalah Q
dan Q ana
ds x t I Q ds
y t I Q q q
ey ex
s
o s
o
y ey x
ey o s
dim
/
/ −
− =
Untuk mencari Qex dan Qey ditinjau dengan teori Megson adalah sebagai berikut
Pada profil tidak simetris seperti baja L dalam tabel diketahui selain ada sumbu x dan
sumbu y ada pula sumbu u (sumbu ξ ) dan sumbu v (sumbu η) sebagai sumbu utama (principal axis).
Ditinjau suatu penampang sembarang seperti gambar berikut :
α adalah berlawanan arah jarum jam (lihat gambar).
Bila hasil α negative, arah α adalah searah dengan jarum-jam. Untuk lentur pada profil simetris diketahui :
f= Mx y/ Ix + My x/ Iy f adalah tegangan lentur (σ)
Untuk lentur pada profil tidak simetris dipakai rumus :
F = Mu v/ Iu+ Mv u/Iv
Jika hasil : tegangannya adalah positif, berarti tarik. Pemakaian sumbu utama dapat
dihindari dengan menggunakan momen lentur efektif. Ini adalah momen modifikasi yang
dapat ditentukan untuk bekerja terhadap sumbu x dan sumbu y. Dengan demikian
persamaannya menjadi :
f = Mexy/Ix + Mey. x/Iy
(
)
(
)
(
)
( )
1( )
1/ 1
/ /
/ /
2 x y
xy
x xy x y ey
y xy Y x ex
I I I D
D I I M M M
D I I M M M
− =
− =
− =
Dengan mendiferensialkan berturut-turut terhadap sumbu z (dimensi arah longitudinal)
diperoleh gaya geser efektif sebagai berikut :
(
)
( )
(
Q Q I I)
DQ
D I I Q Q Q
x xy x y ey
y xy y x ex
/ /
2 /
/
− =
− =
dan
(
)
(
W W I I)
DW
beban adalah W
D I I W W W
x xy x y ey
y xy Y x ex
/ /
/ /
− =
− =
Perlu dicatat di sini bahwa besarnya Ix dan Iy pada persamaan (1) dapat ditukar-tukarkan
dalam persamaan (2), karena gaya geser dan beban dalam arah x diperoleh dari diferensiasi
momen lentur terhadap sumbu y-y dan sebaliknya. Kembali ke shear flow, di mana :
(
)
−(
)
− =
s
o
s
o y ex x
ey o
s q Q I t ds Q I t x ds
q / /
a adalah berlawanan arah jarum jam (lihat gambar).
Variabel S adalah jarak keliling profil pada titik yang dikehendaki, mulai dari setiap titik di
mana shear flow qO diketahui.
Pada setiap open-end seperti akhir dari suatu sayap, harga qo = 0. Arah dari S dipilih
sembarang saja. Tanda dari Q positif dapat ditentukan seperti Gambar 7.7 di bawah ini.
Hasil qs yang positif menunjukkan bahwa arah shear flow yang dipakai adalah benar.
Menentukan arah positif dari gaya lintang Q, seperti Gambar 7.7
Gambar 7.7: Arah posittf gaya lintang Q
Contoh:
Jawab :
Telah dihitung di depan :
4 6 4
6 4 6
10 17 , 19 10
02 , 14
10 44 , 80
mm x
I mm
x I
mm x
I
xy y
x
− = =
=
Catatan:
Di sini Qx adalah Q searah sumbu x bukan ⊥ sumbu x. Demikian juga Qy adalah Q searah
sumbu y bukan ⊥ sumbu y, karena gaya geser dan beban dalam arah sumbu x diperoleh dari
diferensial momen lentur terhadap sumbu y-y dan sebaliknya.
Gaya geser efektif searah sumbu x ialah :
Qex= (Qx - Qy Ixy/Ix) /D
dan gaya geser efektif searah sumbu y ialah:
Qey = (Qy – Qx Ixy/Iy) /D
di mana
D = 1- Ixy2/(Ix Iy)
Dari persamaan
(
x y)
xy
x xy y x ex
I I I
I I Q Q Q
/ 1
/
2
− − =
diperoleh
(
)
(
) (
)
N x
x x x x
3 2
3 3
10 93 , 10
02 , 14 64 , 80 / 17 , 19 1
64 , 80 / 17 , 19 10 10 10 5
=
− −
− −
=
(
)
(
)
(
) (
)
N x
x x x x
I I I
I I Q Q Q
y x xy
y xy x y ey
3 2
3 3
2
10 97 , 24
02 , 14 64 , 80 / 17 , 19 1
02 , 14 / 17 , 19 10 5 10 10
/ 1
/
=
− −
− −
=
− − =
Ditinjau kaki horizontal :
qo = 0
S = S1
x = (117,2-S1) mm
y = -97,8 mm
t = 20 mm
S1 bekerja ari B’ kea rah A’.
Karena imulai ari ujung kaki horizontal, berarti qo = 0, sehingga rumus share flow :
(
)
−(
)
− =
s
o y ex s
o x ey o
s q Q I ty ds Q I tx ds
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 1 2 1 3 1 3 2 1 3 1 3 1 3 1 1 3 1 3 1 9 1 1 1 6 3 1 1 6 3 1 6 3 1 1 1 1 6 3 1 6 3 1 225 , 1 00781 , 0 10 81 , 7 10 3288 , 1225 10 81 , 7 10 8984 , 1830 10 5776 , 605 20 10 781 , 0 2 , 117 20 10 78 , 0 8 , 97 20 10 3096 , 0 20 10 02 , 14 10 93 , 10 2 , 117 20 10 02 , 14 10 93 , 10 8 , 97 20 10 64 , 80 10 97 , 24 2 , 117 20 10 02 , 14 10 93 , 10 8 , 97 20 10 64 , 80 10 97 , 24 / / 1 1 1 1 S S S x S x S x S x S x ds S x x ds x x x ds x x x ds S x x x ds x x x x ds x x x qs ds S x x ds x x x q ds x t I Q ds ty I Q q s o s o s o s o s o s o s o s s s s o s o y ex x ey s − = + − = + − + = − − − − − = − − − − − = − − − − − = − − = − − − − − − − −Persamaan shear flow :
1 2
1
1 0,00781S 1,225S
qs = −
Persamaan ini menunjukkan bahwa qs1 = 0 bila S1 = 0.
Di B’ qs1 = 0. Bila didiferensialkan ke S1 maka diperoleh :
' 4 , 78 00781 , 0 2 225 , 1 sin 0 225 , 1 00781 , 0 2 1 1 1 1 B titik dari mm x S belok titik diperoleh akan i dari S x s qs = = = − =
Jadi di titik 78,4 mmm dari B’ terjadi qs1 max.
Dari persamaan qsi = 0,00781 S12 – 1,225 S1 = 78,4 mm
Diperoleh qs1 max = -47,96 N/mm2
Dan pada titik A’, yaitu pada jarak 140 mm dari B’ diperoleh shear flow di titik A’ sebesar :
qs1 A’ = 0,00781 x 1402 – 1,225 x 140 = -18,28 N /mm
Tanda negatif menunjukkan bahwa arah shear flow adalah kebalikan dari arah S1.
S = S2
x = -22,8 mm
y = (S2 – 97,8) mm
qo = qA’ = -18,28 N/ mm
Harga-harga ini dimasukkan pada persamaan shear flow :
(
)
−(
)
− =
s
o y ex s
o x ey o
s q Q I ty ds Q I tx ds
q / /
Diperoleh persamaan :
qs2 = -18,28 + 0,9633 S2 – 0,003104 S22
Dari persamaan ini tampak bahwa di A’ dengan S2 = 0 diperoleh :
qs A’ = -18,28 N/ mm
Bila qs2 = 0 maka diperoleh S2 = 20,3 mm
mm S
S x
ds dqs
2 , 155 006208 ,
0 9633 , 0
0 003104 ,
0 2 9633 , 0
2
2 2
2
= =
= −
=
Di titik belok yang berjarak 155,2 mm dari A’ akan diperoleh besarnya.
qs2max = -18,28 + 0,9633x155,2 – 0,003104x155,22
= 56,48 N/ mm
Tanda positif menunjukkan bahwa arah shear flow sesuai dengan arah S2.
Untuk mengeceknya, masukkan harga S2 = 290 mm dalam persamaan qs2 sehingga akan
diperoleh haraga qs2 ≈ 0 (OK).
Besarnya tegangan geser maksimum = shear flow / tebal (20 mm) maka :
Untuk kaki horizontal besarnya
2 max
/ 4 , 2
20 96 , 47
mm N
− =
− =
τ
Untuk kaki vertikal besarnya
2 max
/ 8 , 2
20 46 , 56
mm N
+ = =
Di A’ besarnya τ ialah :
2 max
2 max
2
/ 8 , 2
' '
/ 4 , 2
' '
/ 9 , 0 20
28 , 18
mm N C A kaki Pada
mm N A B kaki Pada
mm N
A
+ =
− =
= −
=
τ τ τ
Gambar diagram tegangan geser.
Shear Centre
Persamaan = −
(
)
−(
)
s
o y ex s
o x ey o
s q Q I ty ds Q I tx ds
q / /
Ini hanya berlaku bila tidak terjadi punter pada balok di penampang yang ditinjau. Torsi
pada suatu penampang dapat disebabkan oleh suatu beban melintang jika resultante dari
tegangan-tegangan geser dalam elemen-elemen dari penampang menghasilkan suatu puntir.
Untuk mengimbangi ini, garis kerja ari beban yang dipakai harus melalui shear centre.
Pada penampang yang simetris shear centre terletak paa sumbu simetris an beban-beban
sepanjang sumbu semacam ini tiak menyebabkan puntir.
Paa beberapa penampang, posisi dari shear centre dapat diduga langsung dari arah shear
flow. Sebagai contoh, lihat gambar berikut :
Pada (a) shear centre terletak paa perpotongan sumbu-sumbu simetri dan bersamaan dengan
pusat berat. Pada (b) dan (c) shear centre terletak pada perpotongan garis shear flow. Pada
(d), jika sayapnya sama tebalnya, tegangan-tegangan gesernya berlawanan dengan torsi
terhadap pusat berat, di mana juga sebagai shear centre.
I Y A Q
q c
s =
Sebagai contoh, pada kanal profil berikut mempunyai tebal sama, yaitu sebesar T.
Karena shear centre terletak pada sumbu simetri x-x, maka tidak perlu memperhitungkan
Qx.
Jika titik A pada perpotongan sumbu x-x dengan garis berat dari badan dipandang sebagai
fulcrum (titik putar), maka hanya shear force dalam sayap-sayap yang perlu iperhitungkan
karena resultante shear force (gaya geser) dalam badan tidak menimbulkan momen
terhadap A.
Dipakai rumus
I y A Q
q c
s =
Untuk maksimum shear flow :
x
c dan I I
Y
Qy Q T
b A
= =
= =
2 1
; ;
Diperoleh
x y s
I T b Q q
2
max =
