Modul Matematika SMP kelas 9

(1)

1 | G A R I S S I N G G U N G L I N G K A R A N

Tahukah kamu gambar mesin apa diatas? Dapatkah kamu menghitung panjang rantai yang menghubungkan kedua roda gerigi dari mesin tersebut dengan menggunakan penggaris atau meteran biasa? Tentunya sulit bukan? Agar kamu mudah untuk menentukan panjang rantai yang menghubungkan kedua roda gerigi pada mesin tersebut, pelajarilah pembahasan pada bab ini dengan tekun, sehingga setelah kamu mempelajari bab ini kamu akan mengetahui cara yang lebih mudah untuk menghitung panjang rantai pada mesin tersebut. Selamat belajar, Tuhan Yesus memberkati.

7

BAB

(2)

(3)

Masih ingatkah kalian cara menentukan panjang sisi sebuah segitiga siku-siku dengan menggunakan theorem Pythagoras? Apakah kalian juga masih ingat sifat dan luas dari layang-layang? Materi-materi ini akan membantu kalian untuk memahami bab ini, oleh karena itu kerjakan soal-soal dibawah ini untuk mengecek pemahaman kalian.

Uji Kompetensi Awal

Sebelum mempelajari Bab ini, kerjakan soal-soal dibawah ini dengan benar!

1. Tentukan nilai x dari segitiga siku-siku dibawah ini.

2. Berikut ini adalah layang-layang ABCD. Tentukan panjang garis yang sama panjang dan hitunglah panjang BD jika diketahui AD=12cm , AB=16cm, dan DB=20cm.

A

SIFAT GARIS SINGGUNG LINGKARAN

Untuk memahami mengenai sifat-sifat garis singgung ikuti setiap kegiatan dan pembahasan pada bagian ini dengan teliti dan penuh perhatian. Selamat belajar Tuhan Yesus memberkati.

1. Sifat Sudut Yang Dibentuk Oleh Garis Yang Melalui Titik Pusat Dan Garis Singgung Lingkaran

Lakukan kegiatan berikut untuk memahami sifat sudut yang dibentuk oleh Garis yang melalui Titik Pusat dan Garis Singgung Lingkaran

8 15

(4)

Kegiatan 1

1. Lukislah sebuah lingkaran dan beri nama pada titik pusatnya O.

2. Gambarlah sebuah garis melalui titik O, lalu beri nama pada garis tersebut dengan angka 1

3. Gambarlah beberapa garis sejajar dengan garis 1. Sekarang perhatikan garis 1,2,3,4,5, dan 6. Garis 1,2,3, 4 dan memotong lingkaran di dua titik.

Garis 5 menyinggung lingkaran/memotong lingkaran disatu titik, misal titik A. Seperti itulah yang dinamakan garis singgung. Dengan demikian, garis 5 merupakan garis singgung lingkaran sedangkan garis 6 tidak memotong lingkaran.

4. Buat garis dari titik potong garis 5 dengan lingkaran ke titik O. setelah itu ukurlah sudut yang dibentuk garis tersebut dengan garis lima dengan menggunakan busur. Lakukan pengamatan sudut dengan teliti, maka kalian akan menemukan besar sudut yang dibentuk oleh garis OA dan garis 5 adalah 90°. Garis OA merupakan jari-jari lingkaran. Remember!

Sifat garis singgung lingkaran adalah selalu tegak lurus dengan jari-jari lingkaran yang melalui titik singgungnya

(5)

Garis singgung lingkaran adalah suatu titik yang memotong lingkaran hanya di satu titik dan tegak lurus dengan jari-jari lingkaran pada titik singgung lingkaran tersebut

Dengan demikian, kita dapat menarik kesimpulan bahwa

2 Melalui Suatu Titik Pada Lingkaran Hanya Dapat Dibuat Satu Garis Singgung

Perhatikan gambar-gambar di bawah ini

Pada gambar 3 (a) terlihat bahwa garis l memotong lingkaran di dua titik yaitu titik A dan B. Garis l juga melalui titik pusat lingkaran, yaitu titik O. Pada Gambar 7.2(b) garis l digeser sejajar menjauhi O, garis l tetap memotonglingkaran di dua titik, yaitu titik A dan B. Garis l yang beradadi dalam lingkaran pada Gambar 7.2 (b) lebih pendek dari panjang garis pada Gambar 7.2 (a). Pada Gambar 7.2 (c) garis l tetap memotong lingkaran di dua titik dan panjang garis AB yang berada di dalam lingkaran makin berkurang.Pada Gambar 7.2 (d), titik A dan B berimpit pada keliling lingkaran atau panjang AB = 0. Keadaan seperti ini dapat dikatakan bahwa garis l menyinggung lingkaran di titik A. atau B (karena

(6)

Dari keterangan gambar yang telah kalian simak di atas, gambar manakah menurut kalian yang memperlihatkan bahwa garis l adalah garis singgung lingkaran dan pada titik manakah itu? Dapatkah kalian menggambarkan garis singgung lain yang melalui titik singgung tadi? Diskusikan dengan teman-temanmu mengenai jawaban pertanyaan-pertanyaan tadi.

Setelah kalian menjawab pertanyaan-pertanyaan di atas, apa yang dapat kalian simpulkan mengenai banyaknya garis singgung yang mungkin dibuat melalui suatu titik pada lingkaran?

Ayo Diskusi!

titik A dan B berimpit). Pada Gambar 7.2 (e) garis l tidak memotong atau menyinggung lingkaran karena garis l berada di luar lingkaran.

3 Kedudukan Dua Lingkaran Perhatikan gambar berikut ini

Gambar 4:Kedudukan dua lingkaran

(7)

B

Ada dua lingkaran dengan jari-jari R dan r. Jari-jari R lebih panjang daripada jari-jari r (R > r). Garis yang menghubungkan pusat lingkaran R dan r disebut garis sentral (pusat). Kedudukan dari dua lingkaran tersebut dapat terjadi seperti berikut.

a) Pada Gambar 7.3 (a) letak lingkaran R dan r saling lepas.

b) Pada Gambar 7.3 (b) letak lingkaran R dan r saling bersinggungan luar.

c) Pada Gambar 7.3 (c) letak lingkaran R dan r saling berpotongan. d) Pada Gambar 7.3 (d) letak lingkaran R dan r saling bersinggungan

dalam.

e) Pada Gambar 7.3 (e) letak lingkaran r di dalam lingkaran R.

f) Pada Gambar 7.3 (f) letak lingkaran R dan r sepusat atau konsentris. Dari keterangan gambar di atas, sekarang coba kalian sebutkan dengan kata-katamu sendiri (di depan kelas) syarat bahwa dua lingkaran:

a. saling lepas;

b. saling bersinggungan dari luar; c. saling berpotongan;

d. saling bersinggungan dari dalam;

e. salah satu lingkaran ada di dalam lingkaran yang lain; f. sepusat (kosentris).

MELUKIS DAN MENENTUKAN PANJANG GARIS

SINGGUNG LINGKARAN

(8)

8 | G A R I S S I N G G U N G L I N G K A R A N Gambar 3: Benang

pada alat pemintal saat digunakan dapat membentuk garis singgung lingkaran roda.

1. Melukis Garis Singgung Melalui Suatu Titik Pada Lingkaran Lukislah sebuah lingkaran seperti gambar di bawah ini.

Kemudian lukislah garis singgung lingkaran yang melalui titik A, dengan mengikuti langkah-langkah di bawah ini dengan tekun:

1. Lukislah jari-jari OA dan perpanjangannya.

2. Lukis busur lingkaran berpusat di A sehingga memotong garis OA dan perpanjangannya di titik B dan C.

(9)

Melalui sebuah titik pada lingkaran hanya dapat dibuat satu garis singgung pada lingkaran tersebut.

Dari kegiatan melukis garis singgung lingkaran yang kalian lakukan di atas, maka dapat disimpulkan bahwa:

2. Melukis Garis Singgung Lingkaran Melalui Suatu Titik Di Luar Lingkaran

Lukislah sebuah lingkaran dengan titik pusat di O dan titik A berada di luar lingkaran. Lukislah garis singgung lingkaran yang melalui titik A di luar lingkaran.

Langkah-langkah melukis garis singgung melalui suatu titik di luarlingkaran sebagai berikut.

1. Lukislah lingkaran titik pusat di O dan titik A di luar lingkaran.

2. Hubungkan titik O dan A.

3. Lukis busur lingkaran dengan pusat di titik O dan titik A sehingga saling berpotongan di titik B dan titik C.

4. Hubungkan BC sehingga memotong garis OA di titik D.

5. Lukis lingkaran berpusat di titik D dan berjari-jari OD = DA sehingga memotong lingkaran pertama di dua titik. Namailah dengan titik E dan F.

(10)

10 | G A R I S S I N G G U N G L I N G K A R A N B

Berdasarkan uraian di atas, maka dapat disimpulkan bahwa:

Melalui sebuah titik di luar lingkaran dapat dibuat dua garis singgung pada lingkaran tersebut.

Latihan soal

1. Jiplaklah gambar di bawah ini. Kemudian lukislah garis singgung pada lingkaran melalui titik yang tepat pada lingkaran yang telah ditentukan!

(11)

11 | G A R I S S I N G G U N G L I N G K A R A N 3 Panjang Garis Singgung Lingkaran

Pada pembahasan yang lalu kalian telah mempelajari mengenai teorema Pythagoras. Untuk menentukan panjang garis singgung lingkaran, kalian dapat memanfaatkan teorema ini.

Perhatikan gambar berikut,

Garis AB dan BC adalah garis singgung lingkaran yang berpusat di titik O. Panjang OA = panjang OC = r = jari-jari lingkaran. Oleh karena garis singgung selalu tegak lurus terhadap jari-jari lingkaran maka panjang garis singgung AB dan BC dapat dihitung dengan menggunakan teorema Pythagoras.

Perhatikan Δ OAB pada .

Pada ΔOAB berlaku teorema Pythagoras, yaitu: OA2 + AB2 = OB2

√ –

Pada ΔOCB juga berlaku teorema Pythagoras, yaitu: OC2 + BC2 = OB2

BC2= OB2–OC2

√ –

Ternyata, AB = √ – . Uraian tersebut menggambarkan definisi berikut.

Ket :

AB = Panjang garis singgung OB = Jarak satu titik di luar

lingkaran dengan titik pusat lingkaran

(12)

Kedua garis singgung lingkaran yang ditarik dari sebuah titik di luar lingkaran mempunyai panjang yang sama.

4 Layang - Layang Garis Singgung Perhatikan gambar berikut,

Pada gambar tersebut tampak bahwa garis PA dan PB adalah garis singgung lingkaran yang berpusat di titik O.

Dengan demikian sudut OAP = sudut OBP dan AP = BP dengan garis AB merupakan tali busur.

Perhatikan gambar berikut. Jika diketahui jari-jari lingkaran r = 6 cm dan OB = 10 cm, tentukan:

a. panjang garis singgung AB,

b. luas ΔOAB. Contoh Soal

Pembahasan:

a. Pada ΔOAB berlaku teorema Pythagoras sehingga;

√ –

= 8 Jadi, panjang AB = 8 cm b. Luas ΔOAB = 1× OA × AB

= 1× × = 24

(13)

Perhatikan ∆ OAB. Pada ∆OAB, OA = OB = jari-jari, sehingga

∆OAB adalah segitiga sama kaki.

Sekarang, perhatikan ∆ABP. Pada ∆ABP, PA = PB = garis singgung, sehingga ∆ABP adalah segitiga sama kaki.

Dengan demikian, segi empat OAPB terbentuk dari segitiga sama kaki OAB dan segitiga sama kaki ABP dengan alas AB yang saling berimpit. Oleh karena itu, kita dapat mengatakan bahwa segi empat OAPB merupakan layang-layang. Karena sisi layanglayang OAPB terdiri dari jari-jari lingkaran dan garis singgung lingkaran, maka segi empat OAPB disebut layang-layang garissinggung.

a. Dua garis singgung lingkaran yang melalui titik di luar lingkaran dan dua jari-jari yang melalui titik singgung dari kedua garis singgung tersebut membentuk bangun layang-layang.

b. Layang-layang yang terbentuk dari dua garis singgung lingkaran dan dua jari-jari yang melalui titik singgung dari kedua garis singgung tersebut disebut layang-layang garis singgung.

Perhatikan gambar dibawah ini. Dari titik P di luar lingkaran yang berpusat di titik O dibuat garis singgung PA dan PB. Jika panjang OA= 9 cm dan OP = 15 cm, Hitunglah:

a. Panjang AP

b. Luas ∆OAP

c. Luas layang-layang OAPB Contoh Soal

Pembahasan: Perhatikan ∆ OAP.

a. Pada ΔOAP siku-siku di A sehingga;

√ –

= 12 Jadi, panjang AP = 12 cm

b. Luas ΔOAP = 1× OA × AP

= 1× × = 54

(14)

Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar!

1. Gambar di bawah adalah lingkaran yang berpusat di P dengan jari-jari PR. Jika TQ = 8 cm, tunjukkan panjang QR sebagai garis singgung lingkaran.

2. Sebuah lingkaran yang berpusat di O memiliki jari-jari r. Jarak titik pusat ke titik P yang terletak di luar lingkaran adalah r + 8. Jika panjang garis singgung lingkaran yang melalui titik P adalah 12 cm, tentukan panjang jari-jari r dan jarak O ke P.

3. Pada gambar berikut, panjang jari-jari OP = OQ = 6 cm dan panjang OR =10 cm.

Hitunglah: a. panjang QR

b. luas segitiga OQR

c. luas layang-layang OQRP

d. panjang tali busur PQ

4. Lukislah pada kertas berpetak lingkaran dengan pusat di titik P(3, 2) dan jari-jari 4 satuan panjang. Selanjutnya, lukislah garis singgung lingkaran yang melalui titik Q(–1, 2).

5. Gambar di samping adalah lingkaran dengan pusat P. Tentukan

a. Besar sudut PKA b. Besar sudut PLA c. Panjang PK d. Panjang AL Latihan Soal

Pembahasan:

c. Luas layang-layang OAPB

= 2 × luas ∆OAP

(15)

15 | G A R I S S I N G G U N G L I N G K A R A N Berdasarkan gambar dibawah, lengkapi table berikut

OA AP OP

6. 12 … 25

7. 3 4 …

8. … 9 41

9 8 … 17

10. Pada gambar di samping, OP adalah jari-jari lingkaran. Panjang garis singgung lingkaran PQ = 30 cm. Jarak sebuah titik dengan pusat lingkaran OQ = 34 cm. Hitunglah panjang OP!

11. Jarak antara sebuah titik yang berada di luar lingkaran dengan pusat lingkaran adalah 25 cm. Panjang jari-jari lingkarannya 7 cm.

Hitunglah Panjang garis singgung yang melalui titik tersebut! 12. Perhatikan gambar di bawah ini

(16)

C

GARIS

SINGGUNG

PERSEKUTUAN

DUA

LINGKARAN

Pada bagian depan kalian telah mempelajari cara melukis dan menentukan panjang garis singgung pada sebuah lingkaran. Sekarang, kalian akan mempelajari cara melukis dan menentukan panjang garis singgung pada dua buah lingkaran. Ada dua macam garis singgung persekutuan dua lingkaran, yaitu garis singgung persekutuan dalam dan garis singgung persekutuan luar. Agar kalian dapat memahaminya pelajari uraian berikut ini dengan tekun dan teliti. Selamat belajar, Tuhan Yesus memberkati.

1. Melukis Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran Langkah-langkah melukis garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran adalah sebagai berikut:

a) Lukis lingkaran L1 berpusat di titik P dengan jari-jari R dan lingkaran L2 berpusat di titik Q dengan jari-jari r (R > r). Selanjutnya, hubungkan titik P dan Q.

b) Lukis busur lingkaran berpusat di titik P dan Q sehingga saling berpotongan di titik R dan S.

(17)

17 | G A R I S S I N G G U N G L I N G K A R A N d) Lukis busur lingkaran berpusat di titik T dan berjari-jari PT.

e) Lukis busur lingkaran pusat di titik P, jari-jari (R + r) sehingga memotong lingkaran berpusat titik T di titik U dan V.

f) Hubungkan titik P dan U sehingga memotong lingkaran L1 di titik A. Hubungkan pula titik P dan V sehingga memotong lingkaran L1 di titik C.

g) Lukis busur lingkaran pusat di titik A, jari-jari UQ sehingga memotong lingkaran L2 di titik B. Lukis pula busur lingkaran pusat di titik C jari-jari VQ sehingga memotong lingkaran L2 di titik D.

h) Hubungkan titik A dengan titik B dan titik C dengan titik D. Garis AB dan CD merupakan garis singgung persekutuan dalam lingkaran L1 dan L2.

2 Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam Dua Lingkaran Kalian dapat menggunakan theorem Pythagoras untuk menentukan panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran seperti yang telah kalian lakukan pada subbab B.

(18)

Pada Gambar dua lingkaran di atas, lingkaran L1 dan L2 berpusat di P dan Q, berjari-jari R dan r. Dari gambar tersebut diperoleh

jari-jari lingkaran yang berpusat di P = R; jari-jari lingkaran yang berpusat di Q = r;

panjang garis singgung persekutuan dalam adalah AB = d; jarak titik pusat kedua lingkaran adalah PQ = p.

Jika garis AB digeser sejajar ke atas sejauh BQ maka diperoleh garis SQ. Garis SQ sejajar AB, sehingga sudut PSQ = sudut PAB = 90° (sehadap). Perhatikan segi empat ABQS.

Garis AB//SQ, AS//BQ, dan sudut PSQ = sudut PAB = 90°.

Jadi, segi empat ABQS merupakan persegi panjang dengan panjang AB = d dan lebar BQ = r.

Perhatikan bahwa ฀ PQS siku-siku di titik S. Dengan menggunakan teorema Pythagoras diperoleh:

√ –

Karena panjang QS = AB, maka rumus panjang garis singgung persekutuan dalam dua lingkaran (d) dengan jarak kedua titik pusat p, jari-jari lingkaran besar R, dan jari-jari lingkaran kecil r adalah

(19)

3 Melukis Garis Singgung Persekutuan Luar Dua Lingkaran Langkah-langkah melukis garis singgung persekutuan luar dua lingkaran adalah sebagai berikut:

(a) Lukis lingkaran L1 dengan pusat di P berjari-jari R dan lingkaran L2 pusat di Q berjari-jari r (R > r). Hubungkan titik P dan Q.

(b) Lukis busur lingkaran dengan pusat di P dan Q sehingga saling berpotongan di titik R dan S.

Gambar di bawah ini adalah lingkaran dengan pusat A dan B, garis KL adalah garis singgung persekutuan dalam kedua

lingkaran. AL = 3cm, BK= 2cm, dan AB=13cm. Maka, hitung panjang KL

Contoh

Pembahasan:

Diketahui AL=3cm, BK=2cm, dan AB =13cm.

√ –

= 12 cm

(20)

20 | G A R I S S I N G G U N G L I N G K A R A N (c) Hubungkan RS sehingga memotong PQ di titik T.

(d) Lukis busur lingkaran dengan pusat di T dan berjari-jari PT. (e) Lukis busur lingkaran dengan pusat di P, berjari-jari R – r

sehingga memotong lingkaran berpusat T di U dan V.

(f) Hubungkan P dan U, perpanjang sehingga memotong lingkaran L1 di titik A. Hubungkan pula P dan V, perpanjang sehingga memotong lingkaran L1 di titik C.

(g) Lukis busur lingkaran dengan pusat di A, jari-jari UQ sehingga memotong lingkaran L2 di titik B. Lukis pula busur lingkaran pusat di C, jari-jari VQ sehingga memotong lingkaran L2 di titik D.

(h) Hubungkan titik A dengan titik B dan titik C dengan titik D. Garis AB dan CD merupakan garis singgung persekutuan luar lingkaran L1 dan L2.

(21)

singgung persekutuan luar dua lingkaran dengan menggunakan theorem Pythagoras.

Perhatikan gambar berikut

Dari gambar diperoleh:

jari-jari lingkaran yang berpusat di P = R; jari-jari lingkaran yang berpusat di Q = r;

panjang garis singgung persekutuan luar adalah AB = d; jarak titik pusat kedua lingkaran adalah PQ = p.

Jika garis AB kita geser sejajar ke bawah sejauh BQ maka diperoleh garis SQ.

Garis AB sejajar SQ, sehingga sudut PSQ = sudut PAB = 90° (sehadap). Perhatikan segi empat ABQS.

Garis AB//SQ, AS//BQ, dan sudut PSQ = sudut PAB = 90°

∆PSQ siku-siku di S sehingga berlaku

√ –

Karena QS = AB = d, maka rumus panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran (d) dengan jarak kedua titik pusat p, jari-jari lingkaran besar R, dan jari-jari lingkaran kecil r adalah

(22)

22 | G A R I S S I N G G U N G L I N G K A R A N Panjang garis

singgung persekutuan luar dua lingkaran adalah 12 cm. Jarak kedua pusat lingkaran tersebut

13 cm. Jika panjang salah satu jari-jari lingkaran 31cm, hitunglah panjang jari-jari lingkaran yang lain.

Contoh Soal

Pembahasan:

Panjang garis singgung persekutuan luar adalah 12 cm, maka d = 12. Jarak kedua pusat lingkaran adalah 13 cm, maka p = 13. Panjang salah satu jari-jari lingkaran adalah 3,5 cm, sehingga r = 3,5. Panjang jari-jari lingkaran yang lain = R, sehingga:

√ –

√ – ,

, , , = 25

, =

R= 5 + 3,5 = 8,5cm

Jadi, panjang jari-jari lingkaran yang lain adalah 8,5cm

1. Perhatikan gambar disamping. Panjang AB adalah….

.

2. Dua lingkaran A dan B masing-masing bersinggungan dan memiliki garis singgung persekutuan. Lingkaran A berdiameter 36 cm dan lingkaran B berdiameter 16 cm. Panjang garis singgung persekutuan luar kedua lingkaran tersebut adalah ...

(23)

3. Pada gambar di bawah ini, MN = 20 cm, AB = 16 cm, AM = 8 cm. Panjang AO

dan MO adalah ... cm.

3. Panjang garis singgung persekutuan dalam adalah 21 cm. Kedua titik pusatnya berjarak 29 cm. Jika panjang salah satu jari-jari adalah 8,5 cm maka panjang jari-jari dari lingkaran yang lain adalah ....

4. Panjang garis singgung persekutuan luar dua buah lingkaran sama dengan 16 cm. Jari-jari kedua buah lingkaran 28 cm dan 16 cm. Hitunglah jarak kedua pusat lingkaran.

5. Dua buah lingkaran sama besar berjarijari 20 cm. Jarak kedua pusat lingkaran 40 cm. Hitunglah panjang garis singgung persekutuan luar dari kedua lingkaran tersebut.

6. Panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran adalah 12 cm. Jarak kedua titik pusatnya adalah 13 cm. Jika panjang jari-jari salah satu lingkaran adalah 3,5 cm maka panjang jari-jari lingkaran yang lain adalah ....

(24)

24 | G A R I S S I N G G U N G L I N G K A R A N DAF

MENENTUKAN

PANJANG

SABUK

LILITAN

MINIMAL

YANG

MENGHUBUNGKAN

DUA

LINGKARAN

Dalam kehidupan sehari-hari sering kita jumpai seorang tukang

bangunan mengikat beberapa pipa air untuk memudahkan ketika mengangkat

pipa-pipa tersebut. Atau mungkin beberapa tong minyak kosong dikumpulkan

menjadi satu untuk diisi kembali. Kali ini kalian akan mempelajari cara

menghitung panjang tali minimal yang dibutuhkan untuk mengikat barang-barang

tersebut agar memudahkan pekerjaan. Untuk lebih jelasnya pelajari kembali

konsep menghitung panjang garis singgung persekutuan dari dua lingkaran pada

subbab sebelumnya. Selamat belajar, Tuhan Yesus memberkati.

Pada gambar berikut, tiga buah lingkaran yang berjari-jari sama, yaitu

r, dililit dengan sebuah sabuk. Akibatnya, tiga lingkaran tersebut saling

bersinggungan, dengan garis singgung AB, CD, dan EF.

9. Jika AB = 24 cm, PQ = 26 cm dan BP = 6 cm, tentukan AQ.

10. Perhatikan gambar di bawah ini. Panjang PQ = 24 cm, AB = 30 cm dan AP = 10 cm. Hitunglah perbandingan luas lingkaran yang ber pusat di A dengan luas lingkaran yang berpusat di B.

(25)

Panjang sabuk lilitan minimal yang menghubungkan tiga lingkaran tersebut

adalah sebagai berikut.

Perhatikan ∆PQR! Karena ∆PQR adalah ∆ sama sisi, maka PRQ = 60°

sehingga,

FRA = 360°-(FRP + PRQ + ARQ)

360 



90    60 90



360 240 = 120°

Maka busur FA 120 360

 

× keliling lingkaran

1 3

 × keliling lingkaran.

Karena lingkaran yang di ikat berjari-jari sama, maka busur FA = busur BC = busur ED,

sehingga panjang lilitannya adalah:

= AB + busur BC + DC + busur DE + EF + busur FA

= AB + busur FA + DC + busur FA + EF + busur FA

= AB + DC + EF + 3 busur FA

= 2r + 2r + 2r + (3 × 1

3× keliling lingkaran.)

karena diameter, d = 2r, maka, = d + d + d + (keliling lingkaran) = 3d +2πr

= 3d + πd

Perhatikan angka tiga yang muncul sama dengan banyaknya garis singgung yang

terjadi akibat lilitan sabuk.

Dengan demikian dapat disimpulkan, jika beberapa lingkaran yang berdiameter

sama, yaitu d, dililit sebuah sabuk sedemikian

rupa sehingga saling bersinggungan, dan n banyaknya garis

singgung yang terjadi akibat lilitan sabuk, maka berlaku rumus:

(26)

Gambar di bawah ini menunjukkan penampang 3 buah paralon yang terikat rapat oleh seutas tali. Jika ketiga paralon tersebut memiliki ukuran jarijari yang sama, yaitu 14 cm, hitunglah panjang tali pengikatnya

Contoh Soal

Pembahasan:

r = 14cm d = 28cm

maka, panjang tali pengikat paralon tersebut adalah

� � � ��

= 3(24) + = 172cm

(27)

Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar!

1. Dua buah kayu berpenampang lingkaran diikat dengan tali yang panjangnya 144 cm. Jika jari-jarinya sama panjang maka tentukan panjang jari-jari kedua kayu.

2.

Gambar di atas adalah penampang tiga buah pipa air yang berbentuk tabung dengan diameter 14 cm. Berapakah panjang tali minimal untuk mengikat tiga

buah pipa dengan susunan tersebut?

3. Tiga buah pipa paralon, akan diikat seperti tampak pada gambar di bawah. Jika jari-jari ketiga paralon tersebut sama, yaitu 10 cm, tentukan panjang tali minimal yang diperlukan untuk mengikat paralon tersebut.

4.

Gambar di atas adalah penampang enam buah kaleng yang berbentuk tabung

dengan jari-jari 10 cm. Hitunglah panjang tali minimal yang diperlukan untuk mengikat enam buah kaleng tersebut.

5. Gambar di samping adalah penampang

enam buah drum yang berbentuk tabung dengan jari-jari 24 cm. Hitunglah panjang tali minimal yang diperlukan untuk mengikat enam buah drum tersebut.

(28)

6. 15 buah pipa yang berjari-jari sama, yaitu 23 cm, diikat dengan

tambang sedemikian rupa sehingga tampak seperti gambar di samping. Hitunglah panjang tambang minimal yang diperlukan untuk mengikat 15 pipa tersebut!

7. Beberapa buah paralon yang berjari-jari sama, yaitu 21 cm, diikat berjejer secara horizontal oleh kawat. Panjang kawat yang diperlukan untuk mengikat semua paralon tersebut adalah 5,1 m. Hitunglah banyaknya paralon yang diikat oleh kawat tersebut!

8. Perhatikan gambar di bawah ini. Panjang tali yang digunakan untuk mengikat dua pipa air berjari-jari 7 cm sebanyak lima kali lilitan adalah ....

9. Pada gambar dibawah ini, tiga buah lingkaran dan duah buah persegi panjang dililit sedemikian rupa sehingga tampak seperti gambar dibawah. Jari-jari lingkaran masing-masing lingkaran adalah 7cm, sedangkan persegi panjang berukuran p = 7cm dan l = 5cm. Panjang

lilitan minimalnya adalah….

10. Dua lingkaran dihubungkan dengan tali seperti gambar berikut

Hitunglah panjang tali minimal yang diperlukan untuk menghubungkan kedua

lingkaran tersebut apabila

(29)

11. Tentukan panjang tali minimal yang melilit tiga buah lingkaran dengan jari-jari lingkaran = 14cm

12. Diberikan 4 lingkaran dengan jari-jari 5cm, berapa panjang tali minimal yang digunakan untuk melilit lingkaran tersebut….

Untuk soal nomor 13 dan 14 gunakan gambar lingkaran di bawah ini

hitunglah panjang tali minimal yang diperlukan untuk menghubungkan kedua lingkaran tersebut apabila

13. = 7 cm, r = 2 cm, = 12 cm, dan α = 210°, 14. = 10 cm, r = 2 cm, = 15 cm, dan α = 205°.

15. Perhatikan gambar dibawah ini. Jika jari-jari lingkaran X dan V masingmasing 9 cm dan 3 cm maka panjang ST adalah ....

(30)

MELUKIS LINGKARAN DALAM DAN LINGKARAN

LUAR SEGITIGA

1. Melukis Lingkaran Dalam Segitiga

Lingkaran dalam suatu segitiga adalah lingkaran yang terletak di dalam segitiga dan menyinggung ketiga sisinya. Titik pusat lingkaran dalam segitiga merupakan titik potong ketiga garis bagi sudut suatu segitiga. Langkah-langkah melukis lingkaran dalam segitiga sebagai berikut

a) Lukis ∆ ABC, kemudian lukis garis bagi ∠ABC

b) Lukis pula garis bagi ∠ CAB sehingga kedua garis bagi berpotongan di titik P.

c) Lukis garis PQ ┴ AB sehingga memotong garis AB di titik Q. lukis lingkaran berpusat di titik P dengan jari-jari PQ. Lingkaran tersebut merupakan lingkaran dalam ∆ABC

(31)

2. Menentukan Panjang Jari-jari Lingkaran Dalam Segitiga Selanjutnya, mari kita temukan panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga. Namun, terlebih dahulu akan kita ingat kembali rumus keliling dan luas segitiga.

Perhatikan ∆ABC pada gambar disamping

Panjang sisi di hadapan ∠ A dinyatakan dengan a. Panjang sisi di hadapan ∠B dinyatakan dengan b. Panjang sisi di hadapan ∠C dinyatakan dengan c.

Keliling segitiga adalah jumlah seluruh panjang sisi segitiga. Jika keliling ∆ABC dinyatakan dengan 2s maka

Di kelas VII kalian telah mempelajari rumus luas segitiga yang diketahui panjang alas dan tingginya yaitu:

1× ×

Kali ini, kita akan menentukan rumus luas segitiga yang dinyatakan dengan keliling segitiga. Dalam hal ini, kita akan menentukan rumus luas segitiga yang diketahui panjang ketiga sisinya dengan memanfaatkan rumus

1

×

1

.

Sekarang perhatikan ∆ABC pada gambar di samping. Pada gambar tersebut garis tinggi CD dinyatakan dengan

t

_cdan panjang AD dinyatakan dengan x. Karena diketahui panjang AB = c, maka panjang DB = c – x.

Perhatikan bahwa ∆ADC siku-siku di titik D, sehingga diperoleh CD2 = AC2 – AD2

(32)

sekarang, perhatikan ∆BDC siku-siku di titik D, sehingga diperoleh BC2 = CD2 + BD2

……….(ii)

Jadi, panjang AD =

selanjutnya dengan memanfaatkan

rumus tersebut, kita akan menentukan rumus garis tinggi

t

_c Berdasarkan persamaan (i) dan (ii) diperoleh:

t

c2

=

b

2

- x

( )

( )( ) ( )( )

(33)

× × ×

√

berdasarkan uraian di atas, diperoleh rumus garis tinggi

t

c adalah

√

dengan demikian rumus luas ∆ABC adalah

× ×

× × √

√

Jadi, luas segitiga yang diketahui panjang ketiga sisinya dapat ditentukan dengan rumus

√

dengan L= luas segitiga

(34)

selanjutnya rumus luas segitiga tersebut digunakan untuk menentukan rumus panjang jari-jari lingkaran dalam dan lingkaran luar segitiga.

perhatikan gambar segitiga berikut Pada gambar tersebut lingkaran dengan pusat di titik

o

adalah

lingkaran dalam dari ∆ABC. Perhatikan bahwa ∆ABC terbentuk dari ∆AOC, ∆AOB, dan ∆BOC

Misalkan panjang sisi BC = a, AC = b, AB = c, jari-jari lingkaran = OD = OE = OF = r, keliling ∆ ABC = AB + BC + AC = 2s, dan luas ∆ ABC = L. Dengan demikian,

luas ∆ABC = luas ∆AOC + luas ∆AOB + luas ∆BOC

1

× ×

1

× ×

1

× ×

1

× ×

1

× ×

1

× ×

1

×

1

×

1

×

atau

√

sehingga dapat disimpulkan bahwa rumus panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga adalah

atau

√

dengan,

r = jari-jari lingkaran L = Luas segitiga

[image:34.595.150.478.361.586.2]

(35)

Pada gambar di atas, lingkaran yang berpusat di O merupakan lingkaran dalam ∆ ABC. Jika panjang AB = 3 cm, AC =

4 cm, dan ∆ABC siku-siku di A, tentukan panjang jarijari

lingkaran dalam

∆ABC.

Contoh Soal

× × Pembahasan:

AB = 3cm maka c = 3 AC = 4cm maka b = 4

= = 5 jadi panjang BC = a = 5cm

1

Karena ∆ ABC siku-siku di titik A, maka

luas ∆ ABC adalah

Luas ∆ = 1× ×

= 6cm2

panjang jari-jari lingkaran dalam ∆ABC adalah

(36)

36 | G A R I S S I N G G U N G L I N G K A R A N 3. Melukis Lingkaran Luar Segitiga

Lingkaran luar segitiga adalah lingkaran yang terletak di luar segitiga dan melalui ketiga titik sudut segitiga tersebut. Titik pusat lingkaran luar segitiga adalah titik potong ketiga garis sumbu sisi-sisi segitiga.

langkah-langkah melukis lingkaran luar segitiga adalah sebagai berikut:

a) Lukis ∆ ABC, kemudian lukis garis sumbu sisi AB.

b) Lukis pula garis sumbu sisi BC, sehingga kedua garis sumbu saling berpotongan di titik P.

(37)

4. Menentukan Panjang Jari-jari Lingkaran Luar Segitiga

Untuk menentukan panjang jari-jari lingkaran luar segitiga, perhatikan Gambar berikut ini. Pada gambar tersebut, lingkaran yang berpusat di titik O adalah lingkaran luar ∆ ABC.

Misalkan

OB = OC = OE = r; BC = a, AC = b, AB = c; luas ∆ ABC = L.

Tariklah garis tinggi CD dan diameter CE. Amatilah ∆ ADC dan ∆ EBC.

∠CAD = ∠CEB (sudut keliling yang menghadap busur yang

sama) dan ∠ADC = ∠EBC (siku-siku). Akibatnya ∠ACD = ∠ECB.

Hal itu menunjukkan bahwa ∆ADC sebangun dengan ∆EBC, sehingga diperoleh perbandingan sebagai berikut.

CD

=

×

………(

i)

EC = ×

………(ii)

Dilain pihak kita peroleh

luas ∆ABC = 1× ×

×

………..(iii)

Dengan menyubtitusikan persamaan (iii) ke persamaan (ii) kita peroleh

EC = ×

(38)

38 | G A R I S S I N G G U N G L I N G K A R A N 2r = × ×

………(karena EC = d = 2r)

r

=

× ×

Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa rumus panjang jari-jari lingkaran luar segitiga adalah

r

=

atau

r

=

√

dengan,

r = jari-jari lingkaran a,b,c adalah panjang sisi ∆ABC

Panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 13 cm, 14 cm, dan 15 cm. Hitungah panjang jari-jari lingkaran luar

segitiga tersebut. contoh Soal

Penyelesaian:

Misalkan : a = 13; b =14; c = 15

= 21

r

=

1 ×1 ×1

√ 1 1 1 1 1 1 1

r

=

1 ×1 ×1

× × × × × ×

r

=

1 ×1 ×1

× × ×

r

= 8125

Jadi panjang jari-jari lingkaran luar

(39)

1. Panjang sisi miring suatu segitiga sikusiku adalah 26 cm dan panjang salah satu sisi siku-sikunya 10 cm. Tentukan:

a. panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga; b. panjang jari-jari lingkaran luar segitiga.

Panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 26 cm, 28 cm, dan 38 cm. Hitunglah: 2. Panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga

3. panjang jari-jari lingkaran luar segitiga 4.

Berdasarkan gambar diketahui panjang AB=BC=AC=9cm. Tentukan:

a. Luas ∆ABC

b. Panjang jari-jari lingkaran luar segitiga ABC

5. Perhatikan gambar di bawah ini, jika panjang AB=8cm, BC=9cm, dan AC= cm, tentukan

a. Luas ∆ABC

b. Panjang jari-jari lingkaran dalam ∆ABC

6. Panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 8 cm, 15 cm, dan 17 cm. Hitunglah a. panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga;

(40)

7. Perhatikan gambar disamping. Jika jari-jari lingkaran = r , maka tentukan x dan y

Untuk soal nomor 8 dan 9 gunakan gambar dibawah ini

8. Jika luas ∆PQR = 34cm2, PQ = 13cm QR = 14cm, PR = 15cm, maka tentukan r.

9. Jika PQ= 10cm, QR= 17cm, PR= 21cm dan r =6 cm maka tentukan luas

∆PQR

10. perhatikan gambar disamping. Jika SQ= 5cm, RS=12cm, dan panjang PR= QR.

Tentukan panjang PO

Q P

(41)

 Setelah kamu mempelajari materi ini, adakah bagian yang tidak kamu mengerti? Jika ada, coba diskusikan dengan temanmu.

 Buatlah rangkuman tentang apa yang telah kamu pahami dan catatlah hal-hal yang sulit kamu pahami

 Sebutkan sifat garis singgung lingkaran yang kamu ketahui

 Apakah garis singgung lingkaran selalu tegak lurus diameter?

 Merupakan apakah perpotongan ketiga garis bagi sudut dalam sebuah segitiga?

 Merupakan apakah perpotongan ketiga garis sumbu dalam sebuah segitiga?

 Sebutkan kemungkinan-kemungkinan kedudukan dari dua lingkaran!

 Sebutkan macam-macam garis singgung persekutuan dua lingkaran!

 Apa komentarmu tentang pembelajaran materi garis singgung lingkaran (senang, membosankan, mudah dimengerti atau lainnya)? Sampaikan hal itu kepada bapak/ibu gurumu!

 Buatlah rangkuman dari materi garis singgung lingkaran dengan menggunakan kata-katamu sendiri

 Buatlah sebuah laporan mengenai manfaat apa saja yang dapat kalian peroleh dengan mempelajari bab ini, dan serahkan kepada gurumu

(42)

1. Garis singgung lingkaran adalah garis yang memotong lingkaran hanya di satu titik dan tegak lurus jari-jari lingkaran pada titik singgung lingkaran itu.

2. Sifat garis singgung lingkaran adalah selalu tegak lurus dengan jari-jari lingkaran yang melalui titik singgungnya

3. Melalui sebuah titik pada lingkaran hanya dapat dibuat satu garis singgung.

4. Melalui sebuah titik di luar lingkaran dapat dibuat dua garis singgung. 5. Layang-layang yang terbentuk dari dua garis singgung lingkaran dan dua

jari-jari yang melalui titik singgung dari kedua garis singgung tersebut disebut layang-layang garis singgung.

6. Panjang garis singgung melalui titik di luar lingkaran

√ –

7 Panjang garis singgung persekutuan dalam lingkaran

√ – dengan R > r.

d = jarak dua pusat lingkaran R, r = jari-jari lingkaran (R > r)

8. Panjang garis singgung persekutuan luar lingkaran

√ – dengan R > r.

d = jarak dua pusat lingkaran R, r = jari-jari lingkaran (R > r) 9. P

n = banyaknya garis singgung yang terjadi akibat lilitan sabuk. d = diameter lingkaran

(43)

43 | G A R I S S I N G G U N G L I N G K A R A N 10.Panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga

L

r

s



_atau

s s a





s b



s c



r

s





r=jari-jari lingkaran L=luas segitiga

s= 1 a,b,c adalah panjang sisi-sisi ∆ 11.Panjang jari-jari lingkaran luar segitiga

4

abc

r

L



atau 







4

abc r

s s a s b s c



  

r=jari-jari lingkaran L=luas segitiga

(44)

A.

Pilihan Ganda

Berilah tanda silang (x) pada opsi a, b, c, atau d pada jawaban yang benar.

1. Misalkan pada gambar berikut ini, a dan b menyatakan luas daerah yang diarsir . kelima lingkaran kecil mempunyai jari-jari r. Titik-titik pusat empat lingkaran kecil yang menyinggung lingkaran besar merupakan titik-titik sudut persegi. Jika a sama dengan 10cm2, maka b =….

a. 10cm2 b. 11cm2

c. 14cm2 d. 16cm2

2. Diketahui suatu segitiga sama sisi dan setengah lingkaran seperti gambar dibawah ini. Jika panjang sisi segitiga tersebut 14cm, maka luas daerah di

dalam segitiga dan di luar setengah lingkaran adalah….

a. - b. - 1

c. - d. - 1

(45)

3. Tiga buah pipa paralon yang masing-masing berdiameter 14 cm diikat dengan seutas tambang seperti gambar di samping. Panjang tambang minimal yang digunakan untuk mengikat ketiga pipa paralon tersebut

adalah …..

a. 96cm b. 100cm

c. 156cm d. 206cm

4. Jika QT adalah garis singgung lingkaran yang berpusat di O dan sudut

TOR = 112° , maka besar sudut PQT =….

a. 56° b. 44°

c. 34° d. 26°

5. Roda A dengan jari-jari 40 cm dan roda B dengan jari-jari 10 cm dihubungkan sebuah tali yang melingkari keduanya. Jika jarak pusat

kedua roda adalah 60cm, maka panjang tali yang dibutuhkan adalah….cm

a. ( ) b. ( ) c. ( ) d. ( )

B.

Esai

Selesaikan soal-soal di bawah ini!

(46)

46 | G A R I S S I N G G U N G L I N G K A R A N lampu hias 20 cm dan panjang tali lampu

hias 25 cm. Hitunglah diameter lampu hias itu.

2. PQ dan RS adalah garis singgung lingkaran yang berpusat pada C. Jika diketahui CQ=25cm , CS=12cm dan r = 9cm, tentukan rasio dari panjang garis singgung lingkaran di P dan R

3. Diketahui segitiga sama sisi dengan panjang sisi 10cm. Jika di buat lingkaran yang berpusat di titik tengah salah satu sisi segitiga dengan jari-jari 5 cm, maka luas daerah di dalam lingkaran dan di luar segitiga

adalah….cm2

4. Budi menyusun empat belas bola masing-masing berjari-jari 10cm. Sembilan buah bola pertama diletakan di atas meja sedemikian sehingga membentuk persegi dan saling bersinggungan. Empat buah bola

berikutnya diletakkan di atas sembilan bola pertama sehingga saling bersinggungan. Bola keempat belas ditaruh di atas empat bola tadi, sehingga menyinggung empat bola tersebut. Jika bambang mempunyai lima puluh lima buah bola yang masing-masing juga berjari-jari 10cm, dan semua bola tersebut di susun mengikuti pola susunan bola yang dilakukan Budi, hitunglah ketinggian pusat bola yang paling atas diukur dari

permukaan meja pada susunan bola yang dilakukan Bambang

(47)

A.

Pilihan Ganda

1. Diketahui

Jika luas daerah a = 10cm2 maka

=

10

Jari-jari lingkaran besar =

3r,

maka luas lingkaran besar =

=

Luas b = luas 1 × 1 1

= luas 1 1

=

= 10cm2 (C)

2. Perhatikan gambar di bawah ini

KUNCI JAWABAN UJI KOMPETENSI

A

D

(48)

Panjang garis tinggi segitiga sama sisi = t= sehingga tinggi segitiga adalah

BC2 = CD × AC 49 = CD × 14 CD =

1

=

Sehingga,

BD2 = BC2 × CD2 = 49

1

×

BD =

Luas setengah lingkaran = 1× ×

Luas segitiga = 1× ×

Jadi, luas daerah di dalam segitiga dan di luar setengah lingkaran adalah (C)

3. Diketahui d = 14 cm maka r = 7cm . Hubungkan titik pusat ketiga lingkaran dan titik pusat dengan tali yang melingkarinya, sehingga diperoleh:

panjang AB = EF = DC = 4 x jari-jari = 28 cm.

panjang busur AD = busur BC = ½ keliling lingkaran = πr = 22 cm

Panjang tali minimal untuk mengikat tiga buah pipa dengan susunan tersebut adalah:

panjang tali = 2 x panjang AB + 2 x panjang busur AD panjang tali = 2 x 28 cm + 2 x 22 cm

panjang tali = 100 cm

Jadi panjang tali minimal untuk mengikat tiga buah pipa dengan susunan tersebut 100 cm (B)

4. Karena sudut TPQ adalah sudut keliling,

maka sudut TPQ 1× 1×

(49)

49 | G A R I S S I N G G U N G L I N G K A R A N 5. Perhatikan gambar berikut

MP = 40 – 10 = 30 cm BP = 60cm

Perhatikan MNP MN = 60 , MP = 30

Berarti, MN dua kali panjang MP sehingga PMN = 60° dan PNM = 30° sehingga, besar AMD (kecil) = 120°

besar BNC (kecil) = 360° - (30°+30°+90°+90°) =120°

panjang AB = DC = = =

panjang busur AD = 1 × × × 1

panjang busur BC = 1 × × ×

jadi, panjang tali yang diperlukan 30 +30 + + 1 = 60 + 60 (A)

B.

Esai

1.

Garis singgung lingkaran = 25cm dan jarak titik di luar lingkaran ke pusat lingkaran = 20cm, maka

(50)

50 | G A R I S S I N G G U N G L I N G K A R A N = 15

maka d = 2r = 2(15) = 30cm

2. Diketahui : CQ=25cm , CS=12cm dan =9cm Untuk ∆CPQ = CQ² = CP² + PQ²

PQ² = CQ² - CP²

PQ 25292 = 23.3 ≈ 23 Untuk ∆ CRS = CS² = CR² + RS²

RS² = CS² - CR²

2 2

12 9

RS   . ≈

Maka rasio panjang garis singgung di P dan R adalah PQ:RS = 23: 8

3. perhatikan gambar berikut

OA = OB = OD=OE=5cm

karena ABC sama sisi, maka sudut A = 60° dank arena OA=OD, maka

∆AOB sama kaki. Akibatnya, ∆AOB sama sisi dengan panjang sisi 5 cm demikian pula halnya dengan ∆ OBE dan besar sudut DOE = 60°

Luas AOD = luas OBE = = luas lingkaran = 25

luas juring DOE =

=

(51)

51 | G A R I S S I N G G U N G L I N G K A R A N = 1

= 4. Jika 1 susun dibutuhkan 1 bola

Jika 2 susun dibutuhkan 5 bola Jika 3 susun dibutuhkan 14 bola Jika 4 susun dibutuhkan 30 bola Jika 5 susun dibutuhkan 55 bola

panjang sisi segitiga sama sisi tersebut adalah 8 × 10 = 80 cm tingginya = = 40 cm.

jadi, tinggi pusat bola paling atas dihitung dari meja adalah 10+40

5. sudut COA = 2 × sudut ABC karena AOC sama kaki, maka :

sudut ACO = 1 × ACO = 90° - sudut ABC

Demikian pula sudut BOC = 90° - sudut BAC dan sudut BOA = 90° - sudut BCA

(52)

Bibliografi

Buku

Agus, N. A. (2008). Mudah belajar matematika 2: untuk kelas VIII Sekolah Menengah Pertama. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Marsigit, Erliani, E., Dhoruri, A., & Sugiman. (2011). Matematika 2 . Jakarta: Pusat Kurikulum dan Perbukuan Kementerian Pendidikan Nasional,. Muhammad, Y. (2015). Sukses Juara Olimpiade Sains Nasional (OSN) SMP

Matematika. Yogyakarta: Laksana.

Nugroho, H., & Meisaroh, L. (2009). Matematika 2:SMP dan MTs Kelas VIII. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Nuharini, D., & Wahyuni, T. (2008). Matematika Konsep dan Aplikasinya: untuk SMP/MTs Kelas VIII. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Rahaju, E. B., Sulaiman, R., Eko S, T. Y., Budiarto, M. T., Kusrini, Maesuri, S., et al. (2008). Contextual Teaching and Learning Matematika: Sekolah Menengah Pertama Madrasah Tsanawiyah Kelas VIII Edisi 4. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.