METODE
VARIABLE NEIGHBORHOOD SEARCH
(VNS)
PADA PERSOALAN
m
-RING STAR BERKAPASITAS
TESIS
Oleh
MEIDIANA TANADI
117021026/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
METODE
VARIABLE NEIGHBORHOOD SEARCH
(VNS)
PADA PERSOALAN
m
-RING STAR BERKAPASITAS
T E S I S
Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat
untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara
Oleh
MEIDIANA TANADI
117021026/MT
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Judul Tesis : METODE VARIABLE NEIGHBORHOOD SEARCH (VNS)
PADA PERSOALAN m-RING STAR BERKAPASITAS
Nama Mahasiswa : Meidiana Tanadi
Nomor Pokok : 117021026
Program Studi : Magister Matematika
Menyetujui, Komisi Pembimbing
(Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc ) (Dr. Marwan Ramli, M.Si )
Ketua Anggota
Ketua Program Studi Dekan
(Prof. Dr. Herman Mawengkang ) (Dr. Sutarman, M.Sc )
Telah diuji pada
Tanggal : 3 Juni 2013
PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua : Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc
Anggota : 1. Dr. Marwan Ramli, M.Si
PERNYATAAN
METODE VARIABLE NEIGHBORHOOD SEARCH (VNS) PADA
PERSOALAN m-RING STAR BERKAPASITAS
TESIS
Saya mengakui bahwa tesis ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kuti-pan dan ringkasan yang masing-masing dituliskan sumbernya
Medan, 3 Juni 2014 Penulis,
Meidiana Tanadi
ABSTRAK
Masalah m-Ring Star Berkapasitas (mRSK) adalah masalah desain jaringan, dengan merancang suatu himpunan ring yang lewat melalui pusat depot dan melalui beberapa titik transisi dan titik pelanggan. Digunakan Graph untuk mendesain sruktur m-ring star. Banyaknya pelanggan pada ring atau terhubung pada ring dibatasi oleh banyaknya fiber di kabel. Jumlah total dari titik pelanggan terkunjung atau dihubungkan ke ring terbatas (≤ Q). Tujuannya adalah untuk meminimalkan biaya pemindahan dan biaya rute jaringan. Tulisan ini mempresentasikan sebuah metode metaheuristik untuk menyelesaikan persoalan m-ring star berkapasitas yaitu metode Variable Neighborhood
Search(VNS). Cara kerjanya dicoba atas sekelompok besar kasus dan kinerja yang baik
dari pendekatan yang diajukan ternyata terbukti.
Kata kunci : m-Ring Star, Depot, Pelanggan, Variable neighborhood search.
ABSTRACT
The Capacitated m-Ring Star Problem is the problem of network design, by designing a set of ring that pass through a central depot and through some transition point and customer point.Graph is used to design the m-Ring Star structure. The number of customers on the ring or connect to the ring is limited by the number of the fiber in the cable. The total amount of customers is connected to the limited ring (≤ Q). It is used to minimize the finance route. The writing is presented a metaheuristic method called Variable Neighborhood Search (VNS) to solve the m-Ring Star problem The way of doing it by trying based a great cases group, include the real world case, and the good network from the approach that is thought, really approve.
Keyword : m-Ring Star, Depot, Customer, Variable neighborhood search.
KATA PENGANTAR
Sebagai umat beragama tak bosan-bosannya penulis bersyukur kepada Tuhan Yang Maha Esa, sehingga dapat menyelesaikan tesis ini sebagai tugas akhir pada Fakul-tas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Program Studi Magister Matematika Uni-versitas Sumatera Utara dengan judul ”Metode Variable Neighborhood Search (VNS) pada Persoalan m-Ring Star Berkapasitas”. Tesis ini merupakan persyaratan tugas akhir pada Program Studi Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara. Pada kesempatan yang baik ini, penulis menyam-paikan ucapan terima kasih dan penghargaan yang sebesar-besarnya kepada :
Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Matematika Fakul-tas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam UniversiFakul-tas Sumatera Utara dan juga pembanding yang penuh keikhlasan dan tak pernah bosan memberikan saran dan ma-sukan selama penulisan tesis hingga tesis ini dapat diselesaikan.
Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi MatematikaFakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara dan pembimbing I, yang berkat bantuan dan motivasi beliau dari masa perkuliahan hingga sampai pada penyelesaian tesis ini.
Dr. Marwan Ramli, M.Si selaku pembimbing II yang banyak memberikan saran dan masukan kepada penulis sehingga penulisan tesis ini menjadi lebih sempurna.
Dr. Erna Budhiarti selaku pembanding yang juga begitu banyak memberikan saran dan masukan selama penulisan tesis hingga tesis ini dapat diselesaikan.
Prof. Dr. Tulus, M.Si, Prof. Dr. Opim Salim S, M.Sc, Dr. Sutarman, M.Sc, Drs. Marwan Harahap, M.Eng, Drs. Open Darnius, M.Sc, Dra. Mardiningsih, M.Si, Drs. Suwarno Arismoyo, M.Si selaku staf pengajar pada FMIPA Program Studi Matematika atas bimbingan dan motivasi selama masa perkuliahan.
Kepada orang tua penulis NG Tian Meng dan Lie Sioe Hing atas dukungan serta doanya sehingga penulis dapat menyelesaikan studi di Program Studi Magister Matematika FMIPA USU.
Suami tercinta Rudy Susanto, ST yang banyak menghabiskan waktu, tenaga, kesabaran dan memberikan semangat pada penulis hingga penulis dapat menyelesaikan perkuliahan dan penulisan tesis ini.
Setiawan Tanadi, ST, sebagai abang yang selalu bersama selama perkuliahan
hingga penyelesaian tesis ini.
Kak Misiani, S.Si yang telah turut membantu selama perkuliahan dan penulisan tesis ini hingga selesai.
Teman-teman di Program Studi Magister Matematika FMIPA USU yang selalu membantu selama perkuliahan berlangsung, serta teman-teman sesama guru dan staff di sekolah swasta Methodist Charles Wesley yang selalu memberikan dukungan kepada penulis hingga penyelesaian tesis ini.
Semoga kesehatan dan berkah dilimpahkan oleh Tuhan Yang Maha Esa kepada mereka. Kiranya tesis ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang telah turut mem-bantu perkuliahan dan penulisan tesis ini hingga selesai, amin.
Medan, Penulis,
Meidiana Tanadi
RIWAYAT HIDUP
Meidiana Tanadi, di lahirkan di Medan pada tanggal 30 Juni 1988, merupakan anak ketiga dari tiga bersaudara dari ayah NG Tian Meng dan Ibunda Lie Sioe Hing. Penulis menyelesaikan Pendidikan Sekolah Dasar (SD) di SD Swasta Sutomo 1 Medan pada tahun 2000, Sekolah lanjutan tingkat pertama (SLTP) di SMP Swasta Sutomo 1 Medan pada tahun 2003, dan Sekolah Menengah Atas (SMA) di SMA Swasta Sutomo 1 Medan pada tahun 2006.
Pada tahun 2006 penulis melanjutkan pendidikan sarjana Strata-1 pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Jurusan Matematika di Universitas Sumatera Utara dan memperoleh gelar Sarjana Pendidikan Matematika pada tahun 2010. Pada bulan November 2011 penulis melanjutkan studi pada Program Magister Matematika di FMIPA Universitas Sumatera Utara. Penulis merintis karir menjadi Guru SMP dan SMK swasta Methodist Charles Wesley pada bulan Juli 2010 sampai sekarang di Medan.
DAFTAR ISI
Halaman
PERNYATAAN i
ABSTRAK ii
ABSTRACT iii
KATA PENGANTAR iv
RIWAYAT HIDUP vi
DAFTAR ISI vii
DAFTAR TABEL ix
DAFTAR GAMBAR x
BAB 1 PENDAHULUAN 1
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Rumusan Masalah 3
1.3 Tujuan Penelitian 4
1.4 Manfaat Penelitian 4
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 5
2.1 Graph 5
2.1.1 Graph sederhana 5
2.1.2 Graph tak sederhana 6
2.1.3 Graph berbobot 6
2.2 Formulasi Matematika 10
2.3 Vehicle Routing Problem 12
BAB 3 METODOLOGI PENELITIAN 15
3.1 Metaheuristik 15
3.2 Variable Neighborhood Search (VNS) 15
BAB 4 PEMBAHASAN 21
BAB 5 KESIMPULAN 29
DAFTAR PUSTAKA 30
DAFTAR TABEL
Nomor Judul Halaman
4.1 Perbandingan solusiCmRSPuntuk kasus dengan ukuran kecil (Kelas A) 25
4.2 Perbandingan solusiCmRSPuntuk kasus dengan ukuran kecil (Kelas B) 26
4.3 Perbandingan solusi pada CmRSP untuk kasus dengan ukuran besar 27
4.4 Perbandingan solusi pada CmRSP untuk kasus dengan ukuran besar
(sambungan) 28
DAFTAR GAMBAR
Nomor Judul Halaman
2.1 Simple graph 6
2.2 Graph tidak sederhana 6
2.3 Graph berbobot 6
2.4 Sebuah multigraf dengan tiga simpul dan lima edge 7
2.5 Graf berarah 8
2.6 m-Ring star berkapasitas 10
2.7 Contoh Visualisasi Input dari Vehicle Routing Problem 14
2.8 Salah satu output dari persoalan VRP dari input gambar 2.7 14
ABSTRAK
Masalah m-Ring Star Berkapasitas (mRSK) adalah masalah desain jaringan, dengan merancang suatu himpunan ring yang lewat melalui pusat depot dan melalui beberapa titik transisi dan titik pelanggan. Digunakan Graph untuk mendesain sruktur m-ring star. Banyaknya pelanggan pada ring atau terhubung pada ring dibatasi oleh banyaknya fiber di kabel. Jumlah total dari titik pelanggan terkunjung atau dihubungkan ke ring terbatas (≤ Q). Tujuannya adalah untuk meminimalkan biaya pemindahan dan biaya rute jaringan. Tulisan ini mempresentasikan sebuah metode metaheuristik untuk menyelesaikan persoalan m-ring star berkapasitas yaitu metode Variable Neighborhood
Search(VNS). Cara kerjanya dicoba atas sekelompok besar kasus dan kinerja yang baik
dari pendekatan yang diajukan ternyata terbukti.
Kata kunci : m-Ring Star, Depot, Pelanggan, Variable neighborhood search.
ABSTRACT
The Capacitated m-Ring Star Problem is the problem of network design, by designing a set of ring that pass through a central depot and through some transition point and customer point.Graph is used to design the m-Ring Star structure. The number of customers on the ring or connect to the ring is limited by the number of the fiber in the cable. The total amount of customers is connected to the limited ring (≤ Q). It is used to minimize the finance route. The writing is presented a metaheuristic method called Variable Neighborhood Search (VNS) to solve the m-Ring Star problem The way of doing it by trying based a great cases group, include the real world case, and the good network from the approach that is thought, really approve.
Keyword : m-Ring Star, Depot, Customer, Variable neighborhood search.
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Teknologi di bidang telekomunikasi memberikan tantangan masalah desain jaring-an (Gourdin et al, 2002). Penelitian ini menyelidiki masalah yang diberi namam-Ring Star berkapasitas (mRSK) yang berisi sekumpulan ring yang terdiri dari pusat telepon (pusat depot), sekumpulan pelanggan dan titiktitik lainnya yang disebut titik tran-sisi yang dapat digunakan untuk meminimalkan biaya rute. Topologi ring dipilih dari fiber optik jaringan komunikasi yang dapat mencegah putusnya koneksi karena kega-galan edge tunggal maupun node tunggal. Misalkan seorang pelanggan i terhubung ke pelanggan lain dengan menggunakan bagian ring yang bergerak searah jarum jam dari pusat depot ke i. Jika edge dari bagian ring ini gagal maka informasi dikirimkan lagi secara berlawanan arah dari bagian ring yang belum terkena kegagalan.
Dengan kecanggihan teknologi, setiap ring benarbenar digunakan dengan arti se-tiap kabel yang berisi seikat fiber optik. Sese-tiap pelanggan mendapat 2 fiber, yang pertama digunakan untuk komunikasi searah jarum jam dan yang kedua untuk ko-munikasi berlawanan arah jarum jam. Di perkotaan, kabel dimasukkan ke dalam pipa yang ditanam di bawah jalan. Tidak mengherankan apabila pipa dan kabel sering rusak akibat penggunaan jalan. Apabila jaringan tidak memulihkan komunikasi hingga kabel diperbaiki, situasi tersebut sangat beresiko terutama untuk pengusaha yang memer-lukan komunikasi tanpa gangguan. Oleh karena itu topologi ring digunakan untuk menjamin layanan komunikasi yang lancar ke pelanggan.
Total biaya dari jaringan optik bergantung pada beberapa unsur, misalkan fiber, perangkat yang dibutuhkan untuk komunikasi dan perbaikan, dan lain sebagainya. Na-mun, biaya utamanya adalah karena penggalian yang dibutuhkan untuk meletakkan pipapipa. Oleh karena itu perusahaan mencoba mengurangi biaya sebanyak mungkin. Misalkan semua pelanggan kecuali satu terletak di lingkaran sempurna dan satunya lagi di luar lingkaran. Jika jarak antara pelanggan ini dan lingkarannya kecil (biasanya di bawah 200 m) maka jaringan dapat diterapkan dengan ring tunggal ditambah edge tunggal yang dimulai dari ring kemudian ke pelanggan luar. Hal ini berarti kabel berada
2
pada sisi ring, kemudian ke pelanggan dengan menggunakan edge, kembali ke lingkaran dengan edge yang sama dan akhirnya berlanjut di sepanjang lingkaran. Pada edge, ka-bel dimasukkan ke sebuah pipa, sehingga mengurangi biaya penggalian. Apabila pipa ini rusak, pelanggan akan terputus dari jaringan. Oleh karena panjang pendeknya edge, kemungkinan kegagalan ini (dan hilangnya jaringan komunikasi) dianggap lebih murah oleh perusahaan daripada penggalian. Dengan demikian jaringan topologi terdiri dari sekumpulan ring yang masingmasing berisi pusat depot, sekumpulan pelanggan dan beberapa titik transisi ditambah sejumlah edge pendek yang berada di ring menuju seorang pelanggan. Oleh sebab itu dinamakan struktur ringstar.
Permasalahan dalamm-Ring Star berkapasitas (mRSK) ialah bagaimana m-ring star dengan kapasitasQmencakup semua pelanggan dan meminimalkan total biaya rute dan jaringan. Permasalahan ini pertama kali dipelajari oleh Baldacci et al, (2007) dan merupakan NP-hard (Lin dan Kerninghan, 1973). Permasalahan mRSK adalah masalah perancangan sekumpulan ring yang melalui pusat depot dan melalui beberapa titik transisi dan (atau) pelanggan, kemudian merancang pelanggan yang belum dikunjungi untuk mengunjungi titik yang sudah dikunjungi. Jumlah pelanggan dikunjungi dan dirancang ke sebuah ring yang dibatasi batas atas yaitu kapasitas dari ring. Tujuannya ialah untuk meminimalkan total biaya rute dan biaya penugasan.
Beberapa penulis mengkaji skenario dimana sebagai pengganti siklus, struktur seperti path atau tree haruslah diidentifikasi dan node-node yang tidak berada pada struktur ini haruslah dialokasikan pada struktur. Klasi?kasi masalah ini bisa ditemukan dalam Labbeet al(2002). Baldacciet al(2007) mempresentasikan algoritma branch and cut dengan model integer linear programming dalam persoalanmRSK. Pertidaksamaan yang berlaku digunakan untuk memperkuat program linear relaxation dan digunakan sebagai cutting planes dalam algoritma branch and cut. Hoshino dan de Souza (2008) mempresentasikan algoritma branch and price dengan model integer linear program-ming dan membandingkannya dengan algoritma yang digunakan Baldacci et al (2007). Kedua algoritma ini memberikan hasil yang hampir sama namun gagal dalam menye-lesaikan persoalan yang melibatkan lebih dari 50 buah titik dalam waktu yang efisien (Salari et al, 2010).
Mladeno-3
vic dan Hansen (1997) membahas penyelesaian heuristic dari beberapa jenis persoalan optimisasi, mencari algoritma yang tepat dan menganalisis proses penyelesaian heuris-tic. Fischettiet al (1997) membahas tentang Generalized Traveling Salesman Problem (GTSP), memodelkannya sebagai program integer linear, dan mempelajari struktur dua politop yang berhubungan dengan masalah ini. Metode yang mereka gunakan adalah prosedur heuristic pemisahan untuk beberapa kelas yang melibatkan algoritma branch and cut untuk penyelesaian GTSP. Helsgaum K (2000) mengimplementasikan tentang heuristic Lin-Kerninghan yaitu salah satu metode yang paling baik dalam memben-tuk solusi optimal atau mendekati unmemben-tuk permasalahan symmetric travelling salesman. Hasil pengoperasian data menunjukkan keefektifan dari metode ini. Metode ini mampu menyelesaikan 7397 permasalahan kota secara optimal. Selain itu, metode ini berhasil mengubah solusi dalam masalah dengan skala besar dalam 85900 permasalahan kota. Lin S dan Kernighan B.W (1973) membahas tentang prosedur heuristic yang efektif untuk membentuk solusi yang optimum atau mendekati optimum untuk permasalahan symmetric traveling salesman. Prosedur ini berbasis pada pendekatan heuristic yang diyakinkan dapat memperbanyak penggunaan dalam masalah optimisasi kombinatori-al. Prosedur ini menghasilkan solusi yang optimal untuk semua masalah yang telah dijalankan. Sebanyak 100 permasalahan tertentu dijalankan dan membutuhkan waktu penyelesaian 25 detik untuk setiap kasusnya dan sekitar 3 menit untuk memperoleh hasil yang optimum dengan kepastian di atas 95%. Salari M., Naji-Azimi Z., dan Toth P (2010) dalam penelitiannya, mereka menggabungkan metode heuristic dan metode yang tepat yang dapat menghasilkan solusi optimal. Metaheuristik adalah generasi baru pengembangan dari algoritma heuristik. Metaheuristik dikembangkan karena tingginya tingkat kompleksitas masalah kombinatorial pada dunia nyata akibat makin luasnya dimensi kendala, sehingga pendekatan eksak sudah tidak mungkin digunakan dalam penelitiannya menemukan sebuah metode untuk menyelesaikan masalah mRSK yaitu metode VNS.
1.2 Rumusan Masalah
4
1.3 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dari penelitian ini adalah menyelesaikan masalah mRSK dengan menggunakan algoritma VNS.
1.4 Manfaat Penelitian
BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA
Bagian ini menjelaskan tentang hal-hal yang erat kaitannya dengan masalah m-ring star. Salah satu cabang matematika yang cukup penting dan sangat luas pene-rapannya di banyak bidang ilmu adalah Teori Graph. Salah satunya adalah bidang jaringan telekomunikasi. Digunakan graph gabungan, dimana titik transisi dan pusat depot diasosiasikan dengan node, sementara sambungan antara node adalah edge atau arc berbobot.
Berikut akan dijelaskan mengenai teori dasar graph yang akan digunakan untuk mendesain m-ring star.
2.1 Graph
Suatu graph terdiri dari dua bilangan yaitu titik dan garis. Titik pada suatu graph disebut verteks dan garis yang menghubungkan dua titik disebut edge atau arc (untuk garis berarah). Secara formal suatu graph G didefinisikan sebagai berikut:
Sebuah graf terdiri dari dua bagian, yaitu sebagai berikut.
1. Sebuah himpunan V = V(G) memiliki elemen-elemen yang dinamakan verteks, titik, atau simpul.
2. Sebuah kumpulan E = E(G) merupakan pasangan terurut dari verteks-verteks yang berbeda dinamakan sisi atau edge.
2.1.1 Graph sederhana
Graph yang tidak mempunyai parallel edges atau edge ganda dan atau loop di-namakan graph sederhana atau simple graph. Contoh graph sederhana dapat dilihat pada Gambar 2.1 berikut ini.
6
Gambar 2.1 Simple graph
2.1.2 Graph tak sederhana
Graph yang mempunyai edge ganda dan atau loop dinamakan graph tak sederhana atau unsimple graph.
Gambar 2.2 Graph tidak sederhana
2.1.3 Graph berbobot
Graph berbobot atau graph berlabel adalah graph yang setiap edgenya diberi sebuah nilai (bobot). Bobot pada tiap edge dapat menyatakan biaya transportasi dari suatu kota ke kota lainnya atau jarak antara dua tempat atau waktu tempuh antara dua tempat dan lain-lainnya. Berikut ini adalah contoh graph berbobot
7
SebuahmultigrafG=G(V, E) terdiri dari suatu himpunanV (verteks) dan suatu himpunan E (edge), kecuali E mengandung edge ganda, yaitu beberapa edge yang menghubungkan titik-titik ujung yang sama. E mungkin mengandung satu atau lebih
loop, yaitu sebuah edge yang titik-titik ujungnya adalah verteks yang sama.
Gambar 2.4 Sebuah multigraf dengan tiga simpul dan lima edge
Pada Gambar 2.4 , G adalah graf dengan:
V ={P, Q, R}
E ={(P, Q),(P, Q),(P, R),(R, R),(Q, R)}
= {e1, e2, e3, e4, e5}
G mengandung edge ganda, e1 dan e2, yang menghubungkan dua verteks yang sama,
yaitu P dan Q. G juga mengandung sebuah loop e4, yang titik-titik ujungnya sama,
yaitu verteks R. Karena itu, graf di atas merupakan multigraf.
Berdasarkan pada orientasi arah padaedge, maka secara umum graf dapat dibedakan atas 2 jenis sebagai berikut.
1. Graf tak berarah (undirected graph)
Graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah. Gambar 2.4 merupakan gam-bar graf tak berarah.
2. Graf berarah (directed graphatau digraph)
8
Gambar 2.5 Graf berarah
M-ring star mendesain:
1. Susunan titik yang tidak teratur sebanyak m melewati pusat depot dan beberapa node lainnya.
2. Sekumpulan koneksi langsung dari pelanggan yang belum dikunjungi ke sebuah node dengan sebuah ring. Jumlah pelanggan yang dihubungkan ke ring akan dibatasi oleh Q (kapasitas dari ring). Tujuannya adalah meminimalkan biaya ring dan biaya koneksi pelanggan (min : cost ring + cost customer ).
Berikut adalah beberapa contoh struktur m-ring star :
9
Struktur 2
Lebih jelasnya mRSK adalah sebagai berikut : misalkan gabungan graph G = (V, E ∪A) dimana V = 0, n+ 1∪V′ adalah sekumpulan node, E = {(i, j) : i, j ∈ V, i 6= j} adalah sekumpulan edge dan A adalah sekumpulan arc. Kumpulan node V′
terbagi atas dua subset : U berisi node untuk setiap pelanggan dan W berisi node untuk titik transit (disebut juga Steiner node). Node 0 mewakili depot dan node n+ 1 merupakan terminal. Untuk setiap pelanggan i ∈U misal Ci ⊂ V
′
adalah himpunan bagian dari node, dimana pelanggan i bisa terhubung. Diasumsikan bahwa i ∈ Ci
untuk semua pelanggan i ∈ U dan pelanggan itu akan terhubung dengan sendirinya jika ia berada didalam ring. Susunan A mewakili koneksi yang mungkin antara satu node dengan pelanggan yakni A={(i, j) : i∈ U, j ∈ Ci}. Susunan E adalah susunan
yang mungkin dari edge ring. Setiap edge e = {i, j} ∈ E dihubungkan dengan biaya rute yang tidak negatif ce =cij, dimana (i, j) ∈ A dihubungkan dengan biaya koneksi
yang tidak negatif (dengan dii = 0 untuk semua i ∈U ). Diberikan sebuah himpunan
bagian E′ ⊂E, V(E′) ditandai sebagai susunan titik untuk paling tidak satuedgepada
E′. Dapat dikatakan bahwa pelanggan i ditempatkan untuk sebuah ring R apabila dihubungkan oleh rute simple (yakni i ∈ V(E′)) atau dihubungkan dengan sebuah node dari ring (yakni ada sebuah edge j sehingga (i, j)∈A′).
10
Gambar 2.6 menunjukkan solusi dari mRSK yang sesuai dimana n = 25 dan
m = 3.|U|= 12,|W|= 13 danQ= 6. Dari gambar tersebut titik transisi dilambangkan dengan lingkaran dan pelanggan dengan segitiga, pusat depot dilambangkan dengan dua persegi hitam, garis yang tidak putus dilambangkan untuk garis rute dan garis putus-putus sebagai koneksi.
Gambar 2.6 m-Ring star berkapasitas
2.2 Formulasi Matematika
Formulasi matematika untukm-RSK dalam tesis ini digunakan formulasi dua arus komoditas. Formulasi dua arus komoditas m-RSK menggunakan model graph yang mengasosiasikan setiap edge {i, j} ∈ E dengan dua arc yang berlawanan dan dengan dua variabel arus yang bersesuaian yij danyji. Kedua Arc mempunyai biaya yang sama
cij ditetapkan bahwa dalam penyelesaianm-RSK layak total arus pada setiapedgedari
ring tepat sama dengan Q. Variabel y mengidenti?kasi setiap ring melalui dua path arus. Pada path pertama yang bergerak dari node 0 ke noden+ 1, arusyij menyatakan
jumlah pemakai yang dilayani oleh ring setelah mengunjungi node i. Pada path yang berlawanan yang bergerak dari node n+ 1 ke node 0, variable yij menyatakan jumlah
11
total arus yang keluar dari node n+ 1 sama dengan mQ. Setiap node pada ring yang mempunyai v pelanggan yang dialokasikan menyerap v unit aliran yang datang dari node 0 dan unit aliran yang datang dari node n+ 1. Pada gambar 2.7 diperlihatkan lima pelanggan ring dalam gambar 2.6 dan kedua path arus (0,22,24,17,11, n+ 1) dan (n+ 1,11,17,24,22,0).
Gambar 2.7 : m-Ring Star Berkapasitas dengan 5 pelanggan
12
Formulasi dua arus komoditas m-RSK adalah sebagai berikut :
Persamaan (2.3) menetapkan bahwa arus keluar node 0 sama dengan jumlah pelanggan, sementara persamaan (2.4) menetapkan bahwa arus keluar pada node n+ 1 sama dengan total kapasitas dari ke m ring. Persamaan (2.5) mengindikasikan bahwa tidak ada arus masuk node n+ 1 sementara persamaan (2.6) menetapkan bahwa arus yang masuk node 0 sama dengan kapasitas residual ring. Diharuskan bahwa Q unit arus melalui setiap edge pada ring, maka untuk setiap node ring total arus yang masuk dan keluar dari node haruslah sama dengan 2Q. Ini ditetapkan oleh persamaan (2.7) dan (2.8). Persamaan (2.9) menjamin bahwa setiap pelanggan dialokasikan kepada satu node.Persamaan (2.10) adalah batasan konservasi arus yang memperhitungkan bahwa setiap pelanggan menerima satu unit arus dari node 0 dan satu unit arus dari node
n+ 1. Batasan (2.11) menetapkan persyaratan biner bahwa edgee={i, j} ∈E harus-lah dikunjungi atau tidak oleh ring, yang dengan demikian menjelaskan fungsi tujuan (2.2).
2.3 Vehicle Routing Problem
Vehicle Routing Problem (VRP)merupakan persoalan mRSK karena melibatkan
banyaknya pelanggan dengan permintaan tertentu yang dilayani oleh satu atau bebe-rapa pusat jaringan. VRP pertama kali dipaparkan oleh Dantzig dan Ramser (1954). VRP adalah permasalahan kompleks dari optimisasi kombinatorial, yang merupakan gabungan dari dua permasalahan, yaitu Travelling Salesman Problem (TSP) dan Bin
Packing Problem (BPP). VRP merupakan NP-Hard, sehingga permasalahan ini sulit
dipecahkan.
13
VRP adalah generalisasi dari TSP. Maka, TSP adalah sebuah VRP tanpa batasan seperti depot, pelanggan dan permintaan. M-TSP adalah VRP dengan sebuah de-pot dan m kendaraan pengangkut, termasuk bila tidak ada permintaan dari pelang-gan. MTSP adalah transformasi dari TSP dengan memperbanyak jumlah depot. Pa-da kenyataannya, Vehicle Routing digambarkan dengan jaringan jalan, yang kemudi-an ditukemudi-angkkemudi-an dalam sebuah graf, baik graf berarah G = (V, A), graf tidak berarah
G = (V, E), maupun graf campuran G = (V, A∪ E). Penggunaan bentuk graf ini disesuaikan dengan daerah yang akan dikunjungi kendaraan pengangkut. Graf tak ber-arah digunakan jaringan jalan skala besar, meliputi negara dan negara bagian atau propinsi. Sedangkan graf berarah digunakan untuk jaringan jalan skala kecil, misal untuk menggambarkan jalan-jalan dalam satu kota.
Verteks menggambarkan depot, pelanggan ataupun persimpangan jalan. Him-punan verteks dilambangkan dengan V = (v0, . . . , vn). Verteks v0 mewakili pusat, di
mana terdapat kendaraan pengangkut identik sejumlahk dengan kapasitas Q. Sedang-kan verteks lainnya melambangSedang-kan kota atau pelanggan, yang memiliki permintaan
di. Arc atau edge menggambarkan jalan-jalan yang ada. Edge dapat bersifat berarah
(i, j) ∈ A, di mana A = {(v1, vj) : i 6= j, v1, vj ∈ V} dan tidak berarah, ℓ ∈ E.
Bi-aya dan jarak perjalanan dilambangkan olehcij, yang didefinisikan pada A, sedangkan
waktu non-negatif dilambangkan oleh tij, yang juga didefinisikan pada A.
Setiap verteks vi dalam V diasosiasikan dengan sejumlah barang qi yang akan
diantarkan oleh satu kendaraan. V RP bertujuan untuk menentukan sejumlah k rute kendaraan dengan total biaya yang minimum, bermula dan berakhir di sebuah depot. Adapun setiap verteks dalam V dikunjungi tepat sekali oleh satu kendaraan. Jadi, biaya dari solusi masalah ini adalah FV RP(S) =
Pk
14
Gambar 2.7 Contoh Visualisasi Input dari Vehicle Routing Problem (sumber: Massimo Paolucci, 2001, p5)
Gambar 2.8 Salah satu output dari persoalan VRP dari input gambar 2.7 (sumber: Massimo Paolucci, 2001, p5)
BAB 3
METODOLOGI PENELITIAN
Pada bab ini akan dijelaskan mengenai metode metaheuristik yang digunakan untuk menyelesaikan persoalan mRSK yaitu Variable Neighborhood Search (VNS).
3.1 Metaheuristik
Metaheuristikadalah generasi baru pengembangan dari algoritma heuristik.
Meta-heuristik dikembangkan karena tingginya tingkat kompleksitas masalah kombinatorial pada dunia nyata akibat makin luasnya dimensi kendala, sehingga pendekatan eksak sudah tidak mungkin digunakan.
3.2 Variable Neighborhood Search (VNS)
Sebuah pendekatan heuristik yang telah diuji oleh Mladenovic dan Hansen (1997) yang digunakan untuk menyelesaikan persoalan NP-hard dinamakan Variable Neigh-borhood Search. Disebut demikian karena terjadi proses pencarian neighNeigh-borhood dalam menentukan solusi yang optimal. VNS adalah metaheuristik pencarian lokal lain-nya yang mengambil berbagai kelas transformasi yang lain, atau neighbourhood untuk menghindari local optima. Ketika terjadi local optima, dengan memberitahukan pada
neighbourhood yang sudah terbentuk, neighbourhood lain dipilih dan digunakan pada
iterasi berikutnya.
Misalkan diberikan himpunan neighbourhood (biasanya berangkai), dan sebuah solusi dihasilkan secara acak dari neighbourhood pertama dari solusi sementara, yang berasal dari keturunan sementara yang telah terbentuk (dapat pula berasal dari
neigh-bourhood yang memiliki struktur yang berbeda). Jika local optima yang terjadi tidak
lebih baik dari solusi sementara, maka prosedur diulang pada neighbourhood selanjut-nya dalam struktur berangkai (loop). Pencarian ini diulang darineighbourhoodpertama ketika ada solusi yang lebih baik dari atau ketika semua neighbourhoodtelah dicoba.
Di dalam loop terdapat Shaking Procedure dan Local Search Procedure. Shaking
Proceduremengikuti modelVNS. Shaking Procedurememperhatikan secara khusus
16
sain neighbourhood dan membuat perubahan acak pada solusi sekarang serta menye-lidiki neighbourhood lebih jauh dari solusi tersebut. Local Search Procedure memper-hatikan sebuah neighborhood yang lebih terbatas dan mencoba untuk mengubah kuali-tas dari solusi yang diberikan. Berdasarkan skema VNS, dalam perubahan solusi biaya penulis kembali ke ukuran neighbourhood awal, selain itu penulis meningkatkan ukuran neighbourhood dalam upaya menentukan solusi terbaik yang mungkin dengan
memang-gil Local Search Procedure. Di samping itu, penulis telah menemukan kegunaan dan
manfaat kriteria penerimaan awal dalam memperbaiki solusi pada akhir iterasi dalam algoritma VNS. Dalam keadaan tertentu, penulis mengambil solusi yang salah seba-gai solusi sekarang jika biayanya tidak lebih besar dari persentase P dari biaya terbaik yang diberikan atau jika bilanganJdari iterasi yang berurutan tanpa adanya perubahan tidak melebih nilai JMAX (dimana P dan JMAX adalah parameter input). Struktur dari metode VNS ini diberikan pada Algortima 1, sedangkan untuk tahap-tahapnya akan dijelaskan secara terpisah.
SolusiAwal:=Initialization();
BiayaTerbaik:=Biaya(SolusiAwal) and SolusiTerbaik:=SolusiAwal; Local Search Procedure(SolusiAwal);
Update SolusiAwal, SolusiTerbaik and BiayaTerbaik;
J := 0;
while melewati batas waktu yang ditentukando
K:=Initial−K;
while K ≤ |U|/2 do
ShakingProcedure(SolusiAwal,K);
if Biaya(SolusiAwal) < BiayaTerbaik then
K:=Initial−K;
if(Biaya(SolusiAwal) > P∗BiayaTerbaik) or(J > J M AX) then
Gantikan biaya terbaik yang diperoleh sebagai solusi awal;
end end
17
Langkah-langkah yang dilakukan metode VNS adalah sebagai berikut:
Initialization Procedure
Tujuan prosedur ini adalah membentuk solusi layak yang hanya menggunakan pelanggan dalam struktur ring. Untuk melakukannya, penulis menggunakan meto-de local search procedure yaitu algoritma clustering yang digunakan dalam Generalized Salesman Travelling Salesman Problem (GTSP) (Fischettiet al, 1997) dengan mengam-bil depot dan m pelanggan sejauh mungkin dari satu ke yang lainnya. Dengan langkah tersebut, penulis mempunyaimpelanggan yang dihubungkan ke depot. Kemudian sisa dari pelanggan yang tidak terhubung diletakkan pada posisi terbaik yang mungkin, misalkan diletakkan pada posisi yang hasil biaya kunjungan atau pengalokasian paling minimum.
Input: m, U, C[v,w]forv, w∈ {0} ∪U ;
Output: depot dan pelanggan m sejauh mungkin dari satu ke yang lainnya;
Keterangan: misalkan far(S) := arg max{min{C[v,w] : w ∈ S} : v ∈ U S}
menjadi pelanggan yang terjauh dari subset node yang diberikan, S ⊆ {0} ∪U ;
Begin
If (pelanggan i tidak dikunjungi atau dipindahkan) Then
Letakkan (dikunjungi atau dipindahkan) i ke posisi terbaiknya;
End For:
End.
(dalam arg max{·}, ikatan terputus dengan memilih keputusan terkecil.)
Algoritma 2: Algoritma Clustering
Improvement Procedure
Untuk mengubah solusi awal maka digunakan Improvement Procedure. Di dalam
Improvement ProcedureterdapatSwap Procedure, Steiner node removaldan
18
Apabila solusi tidak dapat diubah lagi dengan menggunakan langkah-langkah Swap
Procedure, maka Improvement Producer melanjutkan dengan memanggil Steiner node
removal dan Extraction-Assignment Procedure.
Whilesolusi dapat diubah do
Swap (SolusiAwal);
End While;
Steiner-Node-Removal (SolusiAwal);
While solusi dapat diubah do
Extraction-Assignment (SolusiAwal);
End While.
Algoritma 3: Improvement Procedure
1. Swap Procedure
Dalam Procedure ini, setiap pelanggan berada pada solusi dasar dengan urutan acak, segala kemungkinan dicoba untuk menukarkan pelanggan tersebut dengan node yang lain yang dekat dengan pelanggan yang dipilih, dimulai dari node yang paling dekat hingga node ke-T yang terdekat (dimana T adalah nilai input).
Fori= 1,· · ·,|U|do Forl= 1,· · ·, T do
j:=lth
node yang dipindahkan atau dikunjungi yang paling dekat dengan pelanggani;
If(idanjberada di ring yang sama) dan (idikunjungi danjdipindahkan)
Then
(misalkaniadalah pelanggan yang dipindahkan danjadalah node yang dikunjungi) Bentuk SolusiBaru dengan cara sebagai berikut:
Kunjungi pelangganidi ring pada posisi awal nodej;
Ambil nodej, bersamaan dengan posisi pemindahan pelanggan yang mungkin di ring;
Setiap node dipilih secara acak, apabila node tersebut merupakan pelanggan, maka pindahkan atau kunjungi ke posisi terbaik yang mungkin di ring;
Else
SolusiBaru := SolusiAwal dengan menggeseridanj;
End If;
If (SolusiBaru memenuhi) dan (biaya (SolusiBaru) ¡ biaya (SolusiAwal))Then
SolusiAwal : = SolusiBaru;
Update sebisa mungkin BiayaTerbaik dan SolusiTerbaik ; Break;
End If; End For; End For.
19
2. Steiner-Node-Removal
Dalam prosedur ini, penulis memindahkan pelanggan dari steiner node yang sudah dikunjungi ke posisi lain yang memungkinkan untuk meminimalkan biaya. Dimu-lai dengan pemilihan steiner node secara acak. Kemudian memasukkan kembali dengan pelanggan lain yang mungkin dengan mempertimbangkan node T ter-dekat. Apabila solusi awal tidak dapat diubah dengan solusi awal, maka semua node yang telah disebar akan kembali ke tempat semula. Prosedur ini diulang hingga semua steiner node dari solusi awal telah dilakukan.
3. Extraction-Assignment Procedure
Dalam Procedure ini, setiap pelanggan penulis mengambil secara acak lalu mele-takkannya kembali ke posisi terbaik yang memungkinkan. Karena itu, penulis amati T nodes yang dekat dengan pelanggan yang diambil dan memeriksa segala kemungkinan untuk menempatkannya pada salah satu node tersebut atau mengun-jungi pelanggan di dalam ring, mengakibatkan sebelum atau sesudah salah satu
T node yang terdekat. Kemudian pilih langkah terbaik, misalkan langkah yang menghasilkan solusi biaya yang paling kecil.
Fori= 1,· · ·,|U|do
Ifiadalah pelanggan yang dikunjungi atau dipindahkan tanpa pemindahanThen
Ambilidari posisi awal;
Forl= 1,· · ·, T do
j:=lth
node terdekat ke pelanggani;
If(jbukan pelanggan yang dipindahkan)Then
Keadaan1. Lakukan perpindahanike nodejyang telah dikunjungi; Keadaan2. Lakukan kunjunganisebelum atau sesudah kunjungan nodej; Keadaan3.Ifjmerupakan Steiner node yang belum dikunjungi,Then
lakukan perpindahanikejdan kunjungijpada posisi terbaiknya diantara node-nodeT terdekat yang telah dikunjungi.
End If;
Pilih kedaan yang berkaitan dengan biaya minimum dan update keadaan terbaik yang mungkin.
End If;
End For;
Else
Pilih pelanggani, sepanjang pelanggan yang telah dipindahkan, dari solusi awal, dan letakkan masing-masing pada posisi terbaik yang mungkin dengan memperhatikan node-nodeTterdekat yang telah dikunjungi.
Update sebisa mungkin keadaan terbaik berdasarkan posisi terbaru pelanggan;
End If;
SolusiBaru := SolusiAwal dengan memilih KeadaanTerbaik
Ifbiaya (SolusiBaru) ¡ biaya (SolusiAwal)Then
SolusiAwal := SolusiBaru;
Update BiayaTerbaik dan SolusiTerbaik; End If;
End For.
20
4. Shaking Procedure
Apabila Improvement Procedure gagal dalam mengubah solusi awal, maka algo-ritma mencoba untuk pergi dari local optimum dengan cara mengacaukan solusi awal (Shaking procedure). Lebih tepatnya dengan mengambil dari I node secara acak (dimana I adalah parameter input), bersamaan dengan posisi pelanggan yang mungkin untuk dihubungkan ke node lainnya yang memungkinkan untuk meminimalkan biaya.
Fori= 1,· · ·, Ido
Pilih sebuah node secara acak, bersamaan dengan semua perpindahan pelanggan yang mungkin,dari solusi awal;
End For;
Whilesemua pelanggan yang dipilih tidak dipindahkan maupun dikunjungido
Apabila pelanggan berikutnya tidak dikunjungi maupun dipindahkan, maka letakkan pada posisi terbaiknya.
End While.
BAB 4
PEMBAHASAN
Pada bab ini akan dilaporkan hasil perhitungan secara komputerisasi. Pengujian dilakukan dengan menginput banyaknya node secara bertahap hingga diperoleh biaya paling optimal dengan jangka waktu yang disediakan. Untuk menguji algoritma heuris-tic tersebut, akan digunakan data yang telah dibuat oleh Baldacciet al. (2007) dengan ukuran 26 hingga 101 node. Terdapat 2 kelas pada data tersebut (A dan B). Topolo-gi dari graph yang mendasari misalkan koordinat node dan jumlah pelanggan atau Steiner node pada kedua kelas adalah sama dan perbedaannya terdapat pada struktur matriksnya. Khususnya pada kasus kelas A, biaya berkunjung dan berpindah (cij dan
dij) sama dengan jarak Euclidian antara node yang bersangkutan ketika berada di kelas B, biaya berkunjung dan berpindah masing-masing cij = [7eij] dandij = [3eij], dimana
eij adalah jarak Euclidian antara pasangan node i dan j.
Selain kelas A dan B, dirancang pula sekumpulan data yang 48 lebih besar yang diambil dari 2 kasus TSPLIB library, KroA150 and KroA200 masing-masing berisi 150 dan 200 node. Untuk membuat kasus tersebut, harus mengikuti aturan yang dibuat Baldacciet al. (2007) untuk kasus dengan node yang lebih kecil misalkan dengan node 26 hingga 101.
Parameter-parameter yang harus dipakai untuk metode VNS terdiri dari P, Ini-tial K, JMAX, ILP Iter, T, RP dan RC max. Penghentian criteria dari keseluruhan algoritma digunakan sebagai banyaknya iterasi yang diberikan dari loop dasar tanpa adanya perubahan. Setelah mencoba beberapa nilai, maka ditetapkan sebagai berikut.
22
RP = 0.30∗NoV ertices RC max= 0.005∗BestCost
dimana NoVertices danBestCost masing-masing merupakan banyaknya vertex dan bi-aya solusi terbaik dari setiap kasus yang dikerjakan. Setelah itu, kriteria akhir digu-nakan untuk mencoba 150 kriteria dengan loop VNS (Algoritma 1) tanpa adanya perubahan.
Hasil dari algoritma tersebut yang telah dibandingkan dengan heuristic H1 dan H2 (Baldacci et al, 2007), HP (Franceschiet al, 2006) dan algoritma BC (Baldacci et al, 2007) ditampilkan pada Tabel 4.1 hingga Tabel 4.3. Untuk setiap kasus, dilakukan 5 pemrosesan lainnya dari algoritma dengan menggunakan 5 sumber yang berbeda untuk membuat bilangan generator acak. BestCost (B.Cost) dan biaya rata-rata (Avg.Cost) dalam pemrosesan akan ditampilkan pada tabel. Untuk setiap kasus Total time (T.T) berhubungan dengan total pelaksanaan bergantung pada pelaksanaan yang berbeda. Satuan waktu dikonversikan dalam detik.
Oleh karena hasil dari kasus dengan ukuran besar (Tabel 4.3) dapat dirubah de-ngan memperbanyak pemrosesan, maka dilaporkan pula hasil dari VNS dan HP (Salari et al, 2010) dengan 20 proses lainnya. Dijelaskan bahwa peningkatan jumlah eksekusi baru, lebih dari 5 kasus ukuran kecil dan lebih dari 20 kasus besar, tidak akan menga-kibatkan perubahan yang penting dalam biaya solusi, maka pelaporan dibatalkan.
23
Tabel 4.3 merupakan hasil eksekusi dari heuristic HP (Salari et al, 2010) dengan 20 proses lainnya. Untuk 3 kolom terakhir masing-masing merupakan biaya terbaik, biaya rata-rata dan total waktu selama 5 atau hingga 20 proses lainnya dari algoritma VNS. Untuk memberikan laporan pada Tabel 4.1 hingga Tabel 4.3, harus digunakan kode dari algoritma H1, H2 dan BC (dipaparkan oleh R.Baldacci, 2007) dan kode asli dari HP (Salariet al, 2010). Pada semua tabel, dalam setiap baris, biaya terbaik dicetak tebal dan biaya rata-rata untuk setiap kolom (Avg) dan biaya terbaik yang diperoleh dari setiap algoritma (NB) ditampilkan pada 2 baris terakhir pada tabel.
Tabel 4.1 dan Tabel 4.2 menunjukkan bahwa 63 dari 90 kasus berukuran kecil diselesaikan secara optimal dengan menggunakan algoritma BC, VNS dapat mencari solusi yang optimal ketika H1, H2 dan HP masing-masing memperoleh solusi optimal 35, 38 dan 62. Untuk 27 kasus lainnya yang tidak ditemukan solusi optimalnya, VNS mencapai solusi terbaik untuk 27 kasus tersebut ketika H1, H2, BC dan HP masing-masing membangkitkan solusi terbaik sebanyak 0, 0, 2 dan 23 kali. Hal tersebut bisa dilihat pada tabel 4.1 dan 4.2, bergantung pada penampilan terbaik dari heuristic dan banyaknya kemungkinan metode tersebut mencapai hasil terbaik, algoritma VNS meru-pakan yang terbaik dengan menghasilkan yang terbaik pada kelas A dan B. Selanjutnya rata-rata waktu komputerisasi algoritma VNS pada kasus ukuran kecil pada kelas A dan B masing-masing adalah 10.08 dan 11.42 detik, dimana H1, H2, BC (Baldacciet al, 2007) dan HP (Salari et al, 2010) masing-masing memerlukan waktu 5.4, 29.7, 2098.3 dan 6.22 detik di kelas A dan masing-masing 5.89, 28.90, 2952.90 dan 11.14 detik di kelas B
24
Peningkatan kualitas solusi dengan menambah jumlah eksekusi bebas dari algo-ritma dapat dilihat dengan jelas pada tabel. Dengan memperhatikan 20 operasi yang dijalankan, algoritma dapat memperoleh 40 hasil terbaik dari 48 kasus. Hal ini diban-dingkan dengan H1, H2,BC (Baldacci et al, 2007) dan HP (Salari et al, 2010) (dengan
25
Tabel 4.1 Perbandingan solusi CmRSPuntuk kasus dengan ukuran kecil (Kelas A)
Data N m |U| Q H1 H2 BC HP VNS
Cost T.T Cost T.T Cost T.T B.Cost Avg.Cost T.T B.Cost Avg.Cost T.T A01 26 3 12 5 242 0.3 242 0.1 242 0.1 242 242.00 0.5 242 242.00 0.9 A31 76 3 75 28 570 14.8 564 57.4 564 479.5 564 565.00 12.5 564 566.20 18.8 A32 76 4 75 21 617 15.3 606 81.7 606 7200.00640 648.80 12.5 640 602.50 23.6 A33 76 5 75 17 659 13.6 654 3.2 654 7200.00640 648.80 12.5 640 642.00 33.0
A34 101 3 25 10 363 0.9 363 9.2 363 8.7 363 363.00 2.9 363 363.00 2.0
A35 101 4 25 7 415 1.1 415 10.8 415 91.8 415 415.00 3.0 415 415.00 1.6 A36 101 5 25 6 448 1.5 448 58.8 448 680.4 448 448.00 4.5 448 448.00 4.9 A37 101 3 50 18 503 6.5 501 44.5 500 7200.0 500 500.00 7.0 500 500.00 7.4 A38 101 4 50 14 532 3.9 533 48.4 532 7200.0 528 528.00 8.3 528 528.00 10.5 A39 101 5 50 12 571 4.0 18.6 568 115.6 568 7200.0 567 567.00 7.7 567 567.00 8.8 A40 101 3 75 28 605 13.3 622 74.5 595 6690.1 595 595.00 14.3 595 595.20 22.5 A41 101 4 75 21 629 11.5 635 120.5 625 7200.0 623 623.20 15.8 623 623.60 32.1 A42 101 5 75 17 663 31.7 665 134.3 662 7200.0 657 658.60 13.7 657 657.80 24.0 A43 101 3 100 38 672 26.5 672 109.0 646 283.0 648 651.00 26.5 646 649.80 52.6 A44 101 4 100 28 702 24.5 704 148.7 680 7200.00679 680.20 25.9 679 679.80 50.3
A45 101 5 100 23 719 717 700 1310.8 700 700.00 23.8 700 700 .40 50.9
Avg. 448.40 5.4 448.82 29.7 444.62 2098.3 443.82 444.36 6.2 443.78 444.14 10.1
-26
Tabel 4.2 Perbandingan solusiCmRSP untuk kasus dengan ukuran kecil (Kelas B)
Data N m |U| Q H1 H2 BC HP VNS
Cost T.T Cost T.T Cost T.T B.Cost Avg.Cost T.T B.Cost Avg.Cost T.T A01 26 3 12 5 1684 0.3 1684 0.1 242 0.1 242 242.00 0.5 242 242.00 0.9 A31 76 3 75 28 570 14.8 564 57.4 564 479.5 564 565.00 12.5 564 566.20 18.8 A32 76 4 75 21 617 15.3 606 81.7 606 7200.00640 648.80 12.5 640 602.50 23.6 A33 76 5 75 17 659 13.6 654 3.2 654 7200.00640 648.80 12.5 640 642.00 33.0
A34 101 3 25 10 363 0.9 363 9.2 363 8.7 363 363.00 2.9 363 363.00 2.0
A35 101 4 25 7 415 1.1 415 10.8 415 91.8 415 415.00 3.0 415 415.00 1.6 A36 101 5 25 6 448 1.5 448 58.8 448 680.4 448 448.00 4.5 448 448.00 4.9 A37 101 3 50 18 503 6.5 501 44.5 500 7200.0 500 500.00 7.0 500 500.00 7.4 A38 101 4 50 14 532 3.9 533 48.4 532 7200.0 528 528.00 8.3 528 528.00 10.5 A39 101 5 50 12 571 4.0 18.6 568 115.6 568 7200.0 567 567.00 7.7 567 567.00 8.8 A40 101 3 75 28 605 13.3 622 74.5 595 6690.1 595 595.00 14.3 595 595.20 22.5 A41 101 4 75 21 629 11.5 635 120.5 625 7200.0 623 623.20 15.8 623 623.60 32.1 A42 101 5 75 17 663 31.7 665 134.3 662 7200.0 657 658.60 13.7 657 657.80 24.0 A43 101 3 100 38 672 26.5 672 109.0 646 283.0 648 651.00 26.5 646 649.80 52.6 A44 101 4 100 28 702 24.5 704 148.7 680 7200.00679 680.20 25.9 679 679.80 50.3
A45 101 5 100 23 719 717 700 1310.8 700 700.00 23.8 700 700 .40 50.9
Avg. 448.40 5.4 448.82 29.7 444.62 2098.3 443.82 444.36 6.2 443.78 444.14 10.1
-27
Tabel 4.3 Perbandingan solusi pada CmRSP untuk kasus dengan ukuran besar
Data N m |U| Q H1 H2 BC
Cost T.T Cost T.T Cost T.T
C01 150 3 37 14 17191 4.3 17341 42.9 17163 7200.0
C02 150 4 37 11 18793 5.3 18793 39.3 18782 7200.0
C03 150 5 37 9 20220 3.6 20135 33.5 20135 6534.5
C04 150 3 74 28 20741 30.9 20902 194.1 20741 7200.0
C05 150 4 74 21 22810 16.9 23304 164.5 22810 7200.0
C06 150 5 74 17 24970 20.0 25557 193.6 24955 7200.0
C07 150 3 111 42 23532 57.3 23615 519.9 23259 2914.7
C08 150 4 111 31 25809 59.8 25887 373.2 25121 7200.0
C09 150 5 111 25 27749 50.7 27992 505.1 27605 7200.0
C10 150 3 149 56 28041 173.5 28190 740.7 27250 7200.0
C11 150 4 149 42 28665 121.5 29013 716.1 28536 2400.2
C12 150 5 149 34 31492 104.9 31286 752.3 31286 7200.0
C13 200 3 49 19 18651 8.2 18651 108.7 18614 7200.0
C14 200 4 49 14 20875 12.6 21099 90.7 20834 7200.0
C15 200 5 49 11 23556 9.1 24021 119.2 23510 7200.0
C16 200 3 99 37 22919 39.7 23047 371.5 22919 7200.0
C17 200 4 99 28 25671 56.2 25957 950.5 25660 7200.0
C18 200 5 99 22 28438 53.3 28500 677.0 28413 7200.0
C19 200 3 149 56 27419 154.1 27704 1292.9 27325 7200.0
C20 200 4 149 42 29802 157.4 30355 2152.7 29778 7200.0
C21 200 5 149 34 32401 138.4 33407 2368.4 32243 7200.0
C22 200 3 199 74 30462 455.0 30574 3411.5 30462 7200.0
C23 200 4 199 56 32719 403.4 33052 3374.1 32463 7200.0
C24 200 5 199 45 35607 267.2 35497 3082.6 34969 7200.0
D01 150 3 37 14 111491 2.7 110350 30.7 110350 3193.5
D02 150 4 37 11 122840 3.4 122574 26.2 121569 7200.0
D03 150 5 37 9 130298 3.8 129882 27.0 129540 7200.0
D04 150 3 74 28 130349 36.9 130349 292.3 130349 7200.0
D05 150 4 74 21 144646 24.4 144646 545.8 144646 7200.0
D06 150 5 74 17 161128 22.5 162327 382.6 161128 7200.0
D07 150 3 111 42 144756 128.5 144934 2392.7 144756 2914.7
D08 150 4 111 31 159330 68.8 161151 913.9 159197 7200.0
D09 150 5 111 25 180170 61.9 181394 530.4 179727 7200.0
D10 150 3 149 56 171548 305.0 168893 1809.8 163932 7200.0 D11 150 4 149 42 175931 156.8 180213 1362.2 174667 2400.2 D12 150 5 149 34 196712 171.9 195838 1112.7 195838 7200.0
D13 200 3 49 19 120704 9.9 120704 292.4 120704 7200.0
D14 200 4 49 14 138037 9.0 138607 133.0 134630 7200.0
D15 200 5 49 11 153027 8.6 156385 102.3 151439 7200.0
D16 200 3 99 37 145308 44.3 145308 1105.9 145308 7200.0
D17 200 4 99 28 164322 80.9 168750 698.8 163581 7200.0
D18 200 5 99 22 184939 66.8 187889 975.6 183284 7200.0
D19 200 3 149 56 166409 199.2 169483 3657.3 165666 7200.0
D20 200 4 149 42 188439 261.5 186529 286.2 185886 7200.0
D21 200 5 149 34 206528 189.2 207092 2058.1 201848 7200.0 D22 200 3 199 74 189121 573.6 188262 5577.1 183547 7200.0 D23 200 4 199 56 204024 569.7 199621 5275.0 199621 7200.0 D24 200 5 199 45 222973 453.5 221042 4678.5 218610 7200.0
Avg. 94407.56 122.0 94710.46 1225.9 93430.33 6913.4
-28
Tabel 4.4 Perbandingan solusi pada CmRSP untuk kasus dengan ukuran besar (sam-bungan)
HP VNS
5 kali proses 20 kali proses 5 kali proses 20 kali proses
B. Cost Avg.Cost T.T B. Cost Avg.Cost T.T B. Cost Avg.Cost T.T B. Cost Avg.Cost T.T
17138 17138.0 11.1 17138 17138.00 45.3 17138 17138.0 5.9 17138 17138 21.2
18782 18782.0 11.0 18782 18782.00 45.6 18782 18782.0 4.3 18782 18782 17.3
20135 20169.2 17.0 20135 20186.30 63.9 20135 20237.6 7.1 20135 20237.60 29.7
20741 20741.0 34.3 20741 20741.00 134.3 20741 20741.0 30.8 20741 20741 128.6
22525 22525.0 34.7 22525 22566.25 146.8 22525 22525.0 43.6 22525 22525 196.3
24949 24957.4 32.4 24949 24954.50 139.1 24949 24957.4 34.9 24949 24953.20 132.4
23259 23259.0 69.2 23259 23259.00 292.9 23259 23259.0 69.8 23259 23314.80 300.1
25006 25006.0 60.8 25006 25006.00 246.1 25006 25006.0 82.5 25006 25006.80 285.7
27277 27277.0 63.7 27277 27288.75 268.5 27277 27277.0 69.8 23259 23314.80 300.1 27283 27314.4 154.0 27233 27311.95 625.0 27274 27339.4 200.3 27273 27326.55 725.2
28536 28538.2 150.0 28536 28573.60 613.6 28536 28543.8 168.2 28536 28551.55 602.4 30823 30844.8 136.3 30811 30857.15 563.2 30788 30824.0 191.6 30669 30832.95 760.0
18567 18567.0 26.8 18567 18567.00 111.2 18567 18567.0 16.4 18567 18567 64.6
20650 20680.0 31.9 20650 20687.50 133.8 20650 20737.0 28.6 20650 20709.25 94.0
23496 23563.8 35.4 23496 23502.25 145.9 23496 23518.6 28.2 23496 23501.65 104.5
22882 22882.0 76.0 22882 22882.00 311.4 22882 22882.0 119.1 22882 22882.55 524.9 25485 25621.2 80.1 25485 25627.20 341.0 25472 25545.8 179.7 25472 25596.35 552.4 28388 28363.2 89.7 28300 28365.20 367.2 28333 28376.4 125.0 28333 28364.65 490.9 26990 27097.0 182.4 26987 27054.70 766.7 26990 27057.8 323.7 26971 26999.85 1240 29361 29686.0 182.4 29333 29649.45 737.8 29268 29446.8 444.7 29268 29586.85 1503 31965 32079.2 167.5 31944 32054.85 706.5 31947 31986.0 381.5 31946 31933.70 1463 30323 30424.2 352.4 30256 30591.80 1345.4 30204 30373.6 698.7 30181 30351.00 2613 32318 32405.2 309.9 32233 32404.15 1285.2 32203 32397.8 528.9 32152 32362.25 2195 34507 34580.0 277.3 34502 34590.15 1136.0 34472 34537.4 569.5 34455 34524.20 2191 111342 111342.0 18.6 111185 111360.75 69.9 110607 110607.0 5.3 110607 110618.00 21.1 122852 122852.0 22.4 122415 122855.00 89.4 122138 123064.4 6.6 122066 123211.90 23.4 130144 130237.6 26.7 129882 130224.65 108.6 129540 130248.0 12.4 129540 130045.85 42.2 130937 131539.6 57.7 130117 130832.90 225.9 128736 129668.4 54.3 128736 130106.45 162.8 142756 142920.8 59.0 142675 142922.10 239.2 141716 141728.6 39.3 141680 141796.80 152.9 161508 161753.2 52.9 160988 161570.00 218.9 159938 160972.8 29.5 159938 161178.41 118.1 146479 147261.8 140.3 146479 147509.55 573.4 145257 145434.2 94.0 145257 145786.95 331.7 159593 160281.4 118.2 159368 159951.15 491.2 157287 158122.2 81.6 157193 158128.75 305.4 179341 179501.2 102.1 178790 179511.75 422.3 176899 178088.0 59.8 176635 177704.36 255.1 168780 169205.8 333.2 167825 169422.15 1333.3 167733 168288.6 85.6 164864 167790.30 377.1 176300 176595.2 249.2 175777 176683.25 1032.6 173162 175699.6 139.4 172716 175427.11 487.4 196167 196752.8 221.5 196133 197087.50 903.4 192425 193578.0 126.3 192298 194373.86 429.0 121763 121824.2 38.3 121684 121812.20 157.9 121101 121269.0 19.0 120913 121306.10 76.3 135652 135854.0 40.6 135276 125754.75 171.7 134602 134854.4 19.0 134215 134947.70 107.1 152015 152841.4 45.7 152012 152779.35 195.8 151128 151856.2 26.2 151125 151772.20 103.6 145766 145888.2 142.4 145241 145764.45 588.0 144962 145282.2 132.8 144895 145513.41 516.8 164370 164747.0 136.2 163935 165012.70 556.6 162493 164553.6 156.1 162363 164571.45 487.9 184839 185418.4 131.7 183190 185295.20 539.4 181182 184627.2 121.3 181182 184612.61 525.7 165972 166955.8 474.3 165878 166905.50 1922.8 164654 165081.0 277.3 164306 165591.61 1070.9 186242 187632.8 347.8 185855 188008.50 1421.7 182709 184802.0 253.1 182707 185268.91 1001.6 203294 204669.0 304.4 203294 204684.15 1258.6 201648 203817.2 255.6 201134 203505.00 1193.7 186802 187390.8 902.9 186031 271502.45 3725.6 182266 184038.2 612.8 181049 183388.30 2007.0 202978 204643.8 721.9 202332 205043.65 2924.6 198516 201464.0 513.3 197673 201010.70 2321.4 223609 224061.8 294.9 221917 223632.50 2000.0 218075 220549.4 329.4 216993 220696.66 1265.6 93976.81 94264.0 157.7 93735.54 96015.98 661.3 92909.75 93536.5
-BAB 5
KESIMPULAN
Pada bab ini penulis akan menyimpulkan tentang ILP yang berbasis VNS yang digunakan dalam m-ring star berkapasitas (mRSK). Berdasarkan skema VNS, meto-de tersebut bergabung meto-dengan metometo-de perubahan ILP walaupun prosedur perubahan tidak mampu untuk memperbesar kualitas solusi. Dilakukan perbandingan antara me-tode VNS dengan meme-tode heuristic lainnya dalam kasus mRSK. Seperti yang telah ditampilkan pada tabel 4.1 hingga Tabel 4.3, pada Tabel 4.1, dari 45 kali program yang dijalankan, metode VNS memperoleh semua hasil optimalnya, demikian juga untuk Tabel 4.2. Sedangkan untuk Tabel 4.3, walaupun tidak semua diperoleh hasil yang op-timal, akan tetapi metode VNS selalu lebih unggul karena pencarian solusi optimalnya lebih banyak dibandingkan yang lain. Hasilnya jelas terlihat khususnya dalam kasus ukuran yang lebih besar. Dalam waktu yang singkat, metode ini dapat menghasilkan 66 dari 67 solusi optimal dan dalam sisa kasus yang solusi optimalnya tidak diketahui, dapat diperoleh 36 solusi terbaik dan mengubah 28 hasil terbaik yang diperoleh dari metode heuristic lainnya.
DAFTAR PUSTAKA
Gourdin E., Labbe M., and Yaman H.,Telecommunication and location. In Drezner, Z., and Hamacher H.W., editor, Facility Location : Applications and Theory. Springer (2002).
Baldacci R., Dell’Amico M., and Salazar Gonzalez J.J.: The capacitated m-Ring-Star Problem. Operations Research 55(6), 1147-1162 (2007).
Hoshino E.A., and de Souza C.C.: Column generation algorithms for the capacitated m-ring-star problem. Computing and Combinatorics, 14th Annual International Conference, COCOON, Dalian, China 2008, Proceedings, LNCS, 631-641 (2008).
Mladenovic N., and Hansen P.: Variable neighborhood search. Computers & Operations Research 24, 1097 1100 (1997).
Labbe M., Laporte G., Martin I.R., and Salazar Gonzalez J.J.: The ring star problem: polyhedral analysis and exact algorithm. Networks 43(3), 177-189 (2004).
Fischetti M., Salazar Gonzalez J.J. , and Toth P.: A Branch-and-cut algorithm for the symmetric generalized traveling salesman problem. Operations Research 45, 378-394 (1997).
Helsgaum K.: Effective implementation of the Lin-Kerninghan traveling salesman heuristic. European Journal of Operational Research 126, 106-130 (2000).
Lin S., and Kernighan B.W.: An effective heuristic algorithm for the traveling salesman problem. Operations Research 21, 498-516 (1973).
Salari M., Naji-Azimi Z., and Toth P.: A heuristic procedure for the capacitated m-ring-star problem. European Journal of Operational Research. (2010)
De Franceschi R., Fischetti M., and Toth P.: A new ILP-based refinement heuristic for vehicle routing problems. Mathematical Programming 105, 471/499 (2006).
Toth P., Tramontani A.: An integer linear programming local search for capacitated vehicle routing problems. In: Golden B., Raghavan S., Wasil E. (eds.), The Vehicle Routing Problem: Latest Advances and New Challenges, 275/295. Springer, New York (2008).
Salari M., Toth P., and Tramontani A.: An ILP improvement procedure for the open vehicle routing problem. Computer & Operations Research. (2010).
Dantzig G.B., Fulkerson R., and Johnson S.M.: Solution of a large scale traveling sales-man problem. Operations Research 2, 393-410 (1954).
