PENYELESAIAN MASALAH DUAL UNTUK
MENENTUKAN PREMI OPTIMUM PADA PORTOFOLIO
HETEROGEN
RISMAWATI SIDIK
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penyelesaian Masalah Dual untuk Menentukan Premi Optimum pada Portofolio Heterogen adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.
ABSTRAK
RISMAWATI SIDIK. Penyelesaian Masalah Dual untuk Menentukan Premi Optimum pada Portofolio Heterogen. Dibimbing oleh I GUSTI PUTU PURNABA dan DONNY CITRA LESMANA.
Asuransi adalah perjanjian antara dua pihak atau lebih, di mana pihak penanggung mengikatkan diri kepada tertanggung dengan menerima premi asuransi untuk memberikan penggantian kepada tertanggung karena kerugian yang mungkin akan diderita tertanggung. Besarnya premi diatur dan disepakati oleh keduanya dalam sebuah polis asuransi. Masalah yang harus dihadapi oleh perusahaan asuransi adalah adanya kemungkinan dalam pengajuan klaim yang diajukan oleh pihak tertanggung melebihi besarnya premi yang mereka dapatkan dari pihak tertanggung. Jika total klaim melebihi besarnya premi maka perusahaan asuransi akan mengalami kebangkrutan. Dalam hal ini diperlukan sebuah formulasi yang dapat menentukan premi optimum dengan penyelesaian masalah dual dari masalah meminimumkan kuadrat selisih terboboti antara total premi dan total klaim. Solusi optimum yang didapatkan dari masalah dual merupakan formula yang dapat digunakan untuk menentukan premi optimum untuk setiap kelas pada portofolio heterogen. Dari formula tersebut, dapat ditentukan alokasi penentuan premi optimum, yaitu alokasi seragam, alokasi semi-seragam, prinsip nilai harapan, dan prinsip ragam.
Kata kunci: alokasi premi, masalah dual, portofolio heterogen, premi optimum
ABSTRACT
RISMAWATI SIDIK. Solution of the Dual Problem to Determine Optimum Premium on Heterogeneous Portfolio. Supervised by I GUSTI PUTU PURNABA and DONNY CITRA LESMANA.
Insurance is an agreement between two parties or more in which the insurer binds himself to the insured by receiving insurance premium to give back to the insured because of possible loss that may occur. The amount of premium is arranged and endorsed by two parties in an insurance policy. The problem that the insurance company has to be faced is the possibility that the claim submitted by the insured is bigger than the premium they got from the insured. If the total claim exceeds the total premium, the company will suffer bankruptcy. In this case it needs a proper formulation that can determine the optimum premium by solving the dual problems from the problems of minimizing a weighted squared difference of the total premium and total claim. The optimum solution that has been gotten from dual problem can be used to determine the optimum premium of the heterogenenous portfolio classification. From that formulation, allocation of optimum premium can be determined for each of uniform allocation, semi-uniform, the expected value principle and the variance principle.
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
PENYELESAIAN MASALAH DUAL UNTUK
MENENTUKAN PREMI OPTIMUM PADA PORTOFOLIO
HETEROGEN
RISMAWATI SIDIK
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah Subhanahu Wa Ta’ala atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Januari 2014 ini ialah asuransi, dengan judul Penyelesaian Masalah Dual untuk Menentukan Premi Optimum pada Portofolio Heterogen.
Terima kasih penulis ucapkan kepada:
1. Bapak Mahpud Sidik, ibu Cucu Riscani selaku orangtua yang sudah membesarkan, menyayangi, mendidik, dan selalu mendoakan penulis,
2. Adik Nabila Rismania Sidik, adik Anugrah Rismawan Sidik, adik Nadila Rismanti Sidik, dan seluruh keluarga atas segala doa dan kasih sayangnya, 3. Bapak Dr Ir I Gusti Putu Purnaba, DEA selaku pembimbing I dan bapak Dr
Donny Citra Lesmana, SSi, MFinMath selaku pembimbing II, ibu Ir Retno Budiarti, MS selaku penguji serta ibu Dra Farida Hanum, MSi selaku komisi pendidikan yang telah banyak memberi saran,
4. Seluruh dosen Departemen Matematika IPB yang telah banyak membagi ilmu dan pengalamannya,
5. Seluruh staf Departemen Matematika IPB yang telah memberikan semangat dan doanya,
6. Nurul, Ayub, dan Ika yang sudah menjadi teman satu bimbingan,
7. Seluruh sahabat di Manulife Financial, Kak Prama, Kak Maya, Kak Irwan dan Kak Nisa yang telah memberikan banyak ilmu, semangat, dan doanya, 8. Desty, Ale, Dea, Dince, Bundo, Kamil, Dadan, Dita, Chiki, Ayu, dan Lisa
yang telah menjadi sahabat terbaik dan terima kasih atas kebersamaannya, 9. Abi, Kio, dan Lily yang telah meluangkan waktu untuk menjadi pembahas
pada seminar karya ilmiah saya,
10. Teman-teman mahasiswa Matematika angkatan 47 yang telah banyak membantu dalam kegiatan belajar,
11. Seluruh teman angkatan 45, 46, 48 atas kerjasama dan bantuannya selama proses belajar serta dalam kegiatan organisasi,
12. Gumatika, UKM Karate IPB yang menunjukkan hal-hal baru,
13. Seluruh pihak yang telah membantu dalam penyusunan karya ilmiah ini. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya bidang matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian selanjutnya.
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL vi
DAFTAR LAMPIRAN vi
PENDAHULUAN 1
Latar Belakang 1
Perumusan Masalah 2
Tujuan Penelitian 2
TINJAUAN PUSTAKA 3
Peluang 3
Pemrograman TakLinear 4
HASIL DAN PEMBAHASAN 5
Model untuk Peubah Acak Klaim Individu 5
Bentuk-bentuk Portofolio 7
Portofolio Homogen 7
Portofolio Heterogen 8
Premi Asuransi 10
Penentuan Premi Asuransi pada Portofolio Homogen 10 Penentuan Premi Asuransi pada Portofolio Heterogen 11 Peluang Kebangkrutan pada Suatu Perusahaan Asuransi 11
Pengoptimuman Masalah Dual 12
Penentuan Formula A dari Nilai Premi Optimum untuk masalah dual dan
masalah primal 15
Penerapan Formula Penentuan Premi Optimum 17
Contoh Kasus 19
SIMPULAN DAN SARAN 24
Simpulan 24
Saran 24
DAFTAR PUSTAKA 25
LAMPIRAN 26
DAFTAR TABEL
1 Data portofolio 20
2 Premi optimum menggunakan Teorema 1 20
3 Besarnya A dari tiap alokasi 21
4 Premi optimum dari tiap alokasi 22
DAFTAR LAMPIRAN
1 Penentuan premi optimum dengan menggunakan Teorema 1 26
2 Penentuan besarnya A dari tiap alokasi 30
PENDAHULUAN
Latar Belakang Masalah
Setiap orang pasti memiliki suatu perencanaan, salah satunya adalah perencanaan keuangan. Dalam perencanaan keuangan, asuransi bisa dijadikan pilihan yang tepat. Menurut Undang-Undang No. 2 Tahun 1992, asuransi adalah perjanjian antara dua pihak atau lebih, di mana pihak penanggung mengikatkan diri kepada tertanggung dengan menerima premi asuransi untuk memberikan penggantian kepada tertanggung karena kerugian, kerusakan, atau kehilangan keuntungan yang diharapkan, atau tanggung jawab hukum kepada pihak ketiga yang mungkin akan diderita tertanggung, yang timbul dari suatu peristiwa yang tidak pasti, atau memberikan suatu pembayaran yang didasarkan atas meninggal atau hidupnya seseorang yang dipertanggungkan. Asuransi memegang peranan yang sangat penting untuk mencapai tujuan keuangan. Asuransi juga dapat memberikan perlindungan dalam hal mengumpulkan kekayaan untuk mencapai keuangan secara bebas. Oleh karena itu, asuransi dalam perencanaan keuangan disebut sebagai pelindung kekayaan. Selain itu, asuransi memiliki fungsi utama yaitu sebagai sarana pengalihan kemungkinan risiko atau kerugian dari tertanggung kepada beberapa penanggung atas pembayaran premi.
Premi adalah biaya yang dibayarkan oleh pihak tertanggung kepada penanggung untuk risiko yang akan ditanggung. Dengan proteksi asuransi, ketidakpastian yang berupa kemungkinan terjadinya kerugian sebagai akibat suatu peristiwa tidak terduga dapat diatasi dengan kepastian akan ganti rugi atau santunan klaim. Klaim adalah biaya yang dibayarkan oleh pihak penanggung kepada tertanggung untuk permintaan atau tuntutan pembayaran manfaat atas risiko yang akan ditanggung. Besarnya premi yang dibayarkan oleh pihak tertanggung harus disesuaikan dengan risiko yang akan ditanggung. Untuk itu, perusahaan asuransi dapat membentuk portofolio. Portofolio adalah kumpulan asuransi yang terdiri atas kumpulan risiko dan premi. Portofolio dibagi menjadi beberapa kelas di mana tiap kelas saling berinteraksi dengan lainnya. Berdasarkan jenis risiko yang ditanggung, portofolio dibagi menjadi dua macam, yaitu portofolio homogen dan portofolio heterogen. Portofolio homogen adalah kumpulan asuransi yang memiliki risiko yang sama sehingga premi yang dibayarkan oleh pihak tertanggung sama. Sedangkan portofolio heterogen adalah kumpulan asuransi yang memiliki risiko yang berbeda sehingga premi yang dibayarkan oleh pihak tertanggung harus disesuaikan dengan risiko yang dimilikinya.
2
akan mengalami kebangkrutan. Dalam hal ini diperlukan sebuah formulasi yang dapat mengoptimumkan premi sehingga perusahaan asuransi tidak mengalami kebangkrutan dan para tertanggung pun tidak merasa terbebani dengan harga premi yang mereka bayarkan dalam polis tersebut. Premi optimum dapat ditentukan dengan meminimumkan masalah peluang kebangkrutan yang merupakan masalah dual dalam karya ilmiah ini. Masalah dual adalah sebuah masalah pemrograman yang diturunkan dari masalah primal. Masalah dual dan primal sangat berkaitan sehingga solusi optimum dari salah satu masalah akan secara otomatis menghasilkan solusi optimum bagi masalah lainnya. Meminimumkan masalah peluang kebangkrutan dapat diselesaikan dengan cara memaksimumkan besarnya klaim yang diajukan oleh peserta asuransi. Tujuannya adalah untuk melihat besarnya pengajuan klaim peserta asuransi sehingga premi optimum dan alokasi premi optimum tersebut dapat ditentukan dengan mengubah nilai bobot yang diberikan.
Perumusan Masalah
Salah satu hal penting bagi suatu perusahaan asuransi adalah penentuan nilai premi yang optimum. Dengan premi optimum ini, diharapkan perusahaan asuransi tidak mengalami kebangkrutan, namun tetap tidak memberatkan peserta asuransi dalam hal pembayaran premi dan tetap bisa kompetitif dengan perusahaan asuransi lainnya.
Pada portofolio heterogen, terdapat lebih dari satu kelas yang dibagi berdasarkan tingkat risiko yang dimiliki tiap kelas asuransi. Besarnya premi pada tiap kelas pun berbeda-beda. Dalam tiap kelas tersebut, perlu ditentukan premi optimum yang sesuai dengan kelas risiko yang diberikan agar para peserta asuransi tetap tertarik untuk berasuransi di perusahaan asuransi tersebut.
Dari beberapa uraian di atas, dapat dirumuskan beberapa permasalahan sebagai berikut:
1. Bagaimana menentukan premi optimum pada portofolio heterogen untuk masalah dual.
2. Bagaimana menentukan alokasi-alokasi premi optimum dengan mengubah nilai bobot yang diberikan.
Tujuan Penelitian
3
TINJAUAN PUSTAKA
Agar lebih memperjelas uraian berikutnya, diberikan beberapa definisi berikut:
Peluang
Definisi 1 (Percobaan Acak)
Percobaan acak adalah percobaan yang dapat dilakukan berulang-ulang dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul dapat diketahui, tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat ditebak dengan tepat (Hogg et al. 2005).
Definisi 2 (Ruang Contoh dan Kejadian)
Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan dengan . Suatu kejadian adalah himpunan bagian dari (Grimmet & Stirzaker 1992).
Definisi 3 (Medan-σ)
Medan-σ adalah himpunan yang anggotanya adalah himpunan bagian dari ruang contoh , yang memenuhi kondisi berikut:
1.
2. Jika , maka ⋃
3. Jika maka dengan adalah himpunan komplemen dari A (Grimmet & Stirzaker 1992).
Definisi 4 (Ukuran Peluang)
Misalkan adalah medan-σ dari ruang contoh . Ukuran peluang adalah suatu fungsi pada ( , ) yang memenuhi:
1.
2. Jika adalah himpunan yang saling lepas, yaitu untuk setiap pasangan , maka
⋃ ∑ (Grimmet & Stirzaker 1992).
Definisi 5 (Peubah Acak)
Misalkan adalah medan-σ dari ruang contoh . Suatu peubah acak X adalah suatu fungsi dengan sifat untuk setiap (Grimmet & Stirzaker 1992).
Definisi 6 (Peubah Acak Diskret)
4 fungsi kepekatan peluang dari X (Grimmet & Stirzaker 1992).
Definisi 9 (Persentil)
Persentil adalah nilai-nilai yang membagi segugus pengamatan menjadi 100 bagian yang sama. Nilai-nilai itu dilambangkan dengan bersifat bahwa 1% dari seluruh data terletak di bawah 2% terletak di bawah dan 99% terletak di bawah (Walpole 1990).
Definisi 10 (Nilai Harapan)
1. Jika X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang , maka nilai harapan dari , dinotasikan dengan , adalah
∑ asalkan jumlah di atas konvergen mutlak.
2. Jika X adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang maka nilai harapan dari X, juga dinotasikan dengan , adalah
∫
asalkan integral di atas konvergen mutlak (Hogg et al. 2005).
Definisi 11 (Ragam)
Ragam dari peubah acak X adalah nilai harapan dari kuadrat selisih antara X dan nilai harapannya. Secara matematis, dapat dituliskan sebagai
[ ] [ ] (Hogg et al. 2005).
Pemrograman TakLinear
5 (constraint) pertaksamaan, adalah fungsi-fungsi kendala persamaan. Vektor optimum yang menjadi solusi dari masalah tersebut, dinyatakan dengan dan ini menjadi masalah tak berkendala dengan menggunakan pengali Lagrange
dalam formulasi fungsi Lagrange:
∑ . Syarat perlu untuk penyelesaian di atas adalah
masalah primal jika dan hanya jika kondisi-kondisi berikut dipenuhi:
1. meminimumkan untuk semua ; masalah primal jika dan hanya jika kondisi-kondisi berikut dipenuhi:
1. solusi masalah primal,
6
pengajuan klaim pada kurun waktu tersebut. Misalkan peluang terjadinya suatu klaim pada kurun waktu satu tahun dinotasikan dengan q. Bila peubah acak X menyatakan besarnya klaim yang harus dibayarkan oleh perusahaan asuransi kepada pemegang asuransi, maka X memiliki fungsi massa peluang
{ dan fungsi sebaran
{
dari fungsi massa peluang dan fungsi sebaran tersebut, diperoleh
dan
Peubah acak X dapat ditulis dengan notasi sebagai berikut:
(1)
Dari persamaan (1), dapat ditentukan model yang lebih umum, yaitu
(2)
dengan B adalah peubah acak dari besarnya klaim yang harus dibayarkan perusahaan asuransi bila terjadi pengajuan klaim untuk setiap tahun, X adalah peubah acak dari besarnya total klaim yang terjadi selama satu tahun, dan I adalah indikator bahwa klaim terjadi minimal sekali untuk satu kejadian. Peubah I bernilai 1 (I = 1) bila terjadi pengajuan klaim dan bernilai 0 (I = 0) bila tidak terjadi pengajuan klaim pada satu tahun tersebut. Jadi, I tidak menjelaskan mengenai banyaknya klaim pada tahun tersebut.
Menurut Bowers et al. (1997), ada beberapa persamaan yang berhubungan dengan momen peubah acak untuk suatu kondisi bersyarat. Bentuk umum dari persamaan nilai harapan dan ragam adalah
[ ] (3)
dan
[ ] [ ] (4) Dengan menyubstitusi ke dalam , diperoleh:
[ ] dan
[ ] [ ]
Bila diketahui dan terdapat dua kemungkinan yang akan terjadi, yaitu ketika pengajuan klaim terjadi (I = 1), dan ketika pengajuan klaim tidak terjadi (I = 0).
Saat terjadi klaim (I = 1) maka X = B dan didapatkan bahwa
7 . (6) Namun saat tidak terjadi klaim (I = 0) maka X = 0 dan didapatkan bahwa
(7) dan
(8) Persamaan (5) dan (7) mendefinisikan sebagai nilai harapan dari X dengan syarat I yang bisa ditulis menjadi
.
Persamaan (6) dan (8) mendefinisikan sebagai ragam dari X dengan syarat I. Kedua persamaan tersebut bisa dikombinasikan menjadi
Berdasarkan persamaan (3), dengan perhitungan aljabar sederhana, dapat disimpulkan bahwa
[ ] (9) Di samping itu, berdasarkan persamaan (4), bila diketahui
[ ]
Portofolio asuransi yang akan digunakan terdiri atas sejumlah besar peserta asuransi dengan peubah acak besarnya klaim menyebar bebas dan identik (independent and identically distributed atau disingkat i.i.d.). Menurut Zaks et al. (2006), ketika menentukan premi untuk asuransi dari risiko-risiko pada suatu portofolio, terdapat dua asumsi premi yang digunakan sebagai pertimbangan, yaitu:
1. Peluang risiko bahwa total klaim melebihi total premi yang dibayarkan dinyatakan dengan α, dengan 0 <α< 1,
2. Besarnya premi meningkat seiring dengan meningkatnya besaran klaim. Berikut ini adalah penjelasan mengenai dua bentuk portofolio asuransi, yaitu portofolio homogen dan portofolio heterogen.
Portofolio Homogen
Menurut Zaks et al. (2006), portofolio homogen adalah kumpulan asuransi yang memiliki nilai risiko yang sama. Hal ini menyebabkan premi yang harus dibayarkan oleh nasabah pun sama karena disesuaikan dengan risiko yang sama antar nasabah.
Untuk lebih memperjelas uraian selanjutnya, akan digunakan notasi-notasi berikut:
= banyaknya peserta asuransi.
= besarnya klaim yang diajukan oleh peserta asuransi i pada perusahaan asuransi dengan i = 1,2,…,n.
8
= ragam dari besarnya klaim individu.
= besarnya total klaim untuk semua peserta asuransi. = nilai harapan dari besarnya total klaim.
= ragam dari besarnya total klaim.
= besarnya premi yang dibayarkan setiap peserta asuransi kepada perusahaan asuransi.
Karena besarnya total klaim untuk semua peserta asuransi i adalah ∑
maka nilai harapan dari besarnya total klaim adalah
∑ ∑ dan ragam besarnya total klaim adalah
∑ ∑
Portofolio Heterogen
Menurut Zaks et al. (2006), portofolio heterogen adalah portofolio asuransi yang terdiri atas sejumlah peserta asuransi yang dibagi menjadi beberapa kelas risiko. Setiap peserta asuransi memiliki risiko dan premi yang harus dibayar berdasarkan kelasnya masing-masing.
Sebagai ilustrasi, misalkan pada sebuah asuransi kesehatan setiap peserta asuransi memiliki risiko yang berbeda-beda. Anggap ada tiga kelas risiko bagi semua peserta asuransi. Kelas risiko A bagi peserta asuransi yang memiliki risiko yang tinggi, kelas risiko B bagi peserta asuransi dengan risiko sedang, dan kelas risiko C bagi peserta asuransi dengan risiko rendah. Setiap kelas risiko memiliki besaran premi yang harus dibayar, yang besarnya bergantung pada kelas risiko yang bersangkutan. Kelas A memiliki besarnya premi paling tinggi dibandingkan dengan lainnya, karena kelas A memiliki risiko yang paling tinggi. Para peserta asuransi di kelas risiko B memiliki besarnya premi yang lebih tinggi dibandingkan dengan besarnya premi para peserta asuransi di kelas risiko C karena risiko di kelas B lebih tinggi dibandingkan dengan risiko di kelas C.
Untuk lebih memperjelas uraian selanjutnya, akan digunakan notasi-notasi berikut:
= ragam dari besarnya klaim individu untuk kelas j dengan j =1,2,…,k. = total peserta asuransi dari semua kelas.
= besarnya total klaim di kelas j dengan j=1,2,…,k.
[ ] = nilai harapan dari besarnya total klaim untuk kelas j dengan j = 1,2,…,k.
9 = besarnya nilai harapan dari besarnya total klaim untuk semua kelas. = besarnya ragam dari besarnya total klaim untuk semua kelas.
Berikut ini terdapat beberapa asumsi yang dipenuhi oleh portofolio heterogen:
1. Peubah acak-peubah acak klaim yang terdapat pada portofolio saling bebas. 2. Setiap kelas j terdiri atas peserta asuransi sehingga didapatkan bahwa
∑ . Peubah acak klaim dari setiap kelas j adalah yang menyebar bebas dan identik (independent and identically distributed atau disingkat i.i.d.), dan menyebar sebagai . Peubah acak sendiri memiliki nilai harapan dan ragam , dengan j = 1,2, …,k.
3. Asumsikan bahwa dengan j = 1,2,…,k cukup besar untuk mengaplikasikan Teori Limit Pusat.
Berikut adalah skema dari proses bercabang dari peubah acak klaim pada portofolio heterogen.
… ………
… … … … Gambar 1 Skema pembagian kelas pada portofolio heterogen
Gambar 1 menunjukkan skema yang terdapat pada portofolio heterogen. Terdapat k kelas yang terlihat di skema tersebut. Besarnya total klaim ditunjukkan oleh yang terjadi berturut-turut pada kelas 1,2, … ,k. Pembagian kelas ini disesuaikan dengan tingkat risiko yang berada pada tiap kelas. Di setiap kelas, ada klaim individu yang dinotasikan sebagai Peubah acak bermakna klaim yang diajukan oleh individu i pada kelas j. Penjumlahan semua klaim di kelas j dinotasikan dengan dan besarnya total klaim dari semua nasabah secara keseluruhan dinotasikan dengan S.
Karena adalah besarnya total klaim dari kelas j, maka ∑
untuk j = 1, 2, …, k. Dari portofolio homogen, diketahui bahwa [ ] dan [ ] Di samping itu, karena nilai total klaim dari semua kelas j adalah S, dapat diperoleh
∑ Nilai harapan untuk total klaim semua kelas j adalah
[∑ ] ∑ [ ] ∑
10
dan ragamnya adalah
[∑ ] ∑ [ ] ∑
Premi Asuransi
Premi asuransi adalah biaya yang harus dibayarkan oleh peserta asuransi kepada perusahaan asuransi sebagai bentuk pengalihan risiko sesuai dengan polis asuransi yang telah disepakati (Bowers et al. 1997). Perusahaan asuransi sebagai pihak penanggung membebankan premi sebesar untuk setiap risiko j, dengan j = 1, 2, …,k. Premi total individu yang dibayarkan adalah sehingga
∑ .
Berdasarkan hampiran Gauss, untuk mencegah kebangkrutan perusahaan asuransi dimana peluang kebangkrutan R didefinisikan dengan . Total klaim dinotasikan dengan dan total premi dinotasikan dengan . Rentang peluang kebangkrutan . Perusahaan asuransi harus mengumpulkan premi sebesar
,
dengan adalah persentil dari sebaran normal baku.
Penentuan Premi Asuransi pada Portofolio Homogen
Diasumsikan bahwa perusahaan asuransi telah siap untuk menghadapi risiko , yaitu:
Akan ditentukan besarnya premi dari portofolio homogen yang didekati dengan menggunakan Teori Limit Pusat pada tingkat risiko , yaitu:
(√ √ ) (11)
Substitusikan dan berturut-turut dengan dan pada persamaan (11) sehingga
,
√ . Berdasarkan Teori Limit Pusat, didapatkan bahwa
sehingga
√
11 dengan adalah persentil dari sebaran normal baku.
Jadi, premi pada asuransi portofolio homogen adalah
√ . (12) Pada portofolio homogen, semua peserta asuransi membayar premi dengan besaran yang sama, yaitu π.
Penentuan Premi Asuransi pada Portofolio Heterogen
Pada bagian ini akan ditentukan premi optimum secara umum pada sebuah portofolio heterogen dengan metode pengali Lagrange untuk penyelesaian masalah dual. Metode ini menunjukkan bahwa premi optimum didapatkan dari hasil peminimuman peluang kebangkrutan pada suatu perusahaan asuransi.
Peluang Kebangkrutan pada Suatu Perusahaan Asuransi
Untuk menentukan premi optimum pada suatu portofolio heterogen, perlu diperkenalkan peluang kebangkrutan pada suatu perusahaan asuransi terlebih dahulu. Misalkan model risiko individu ditulis sebagai berikut:
∑ ,
dengan k adalah banyaknya kelas risiko pada suatu portofolio, peubah acak menggambarkan kerugian yang terkait dengan risiko dengan selama periode tertentu, dan adalah jumlah kerugian untuk portofolio secara keseluruhan.
Diasumsikan bahwa peubah acak dengan merupakan peubah acak yang saling bebas. Selain itu, diasumsikan pula bahwa untuk n yang cukup besar, total kerugian suatu portofolio dapat ditentukan dengan fungsi sebaran Normal, , sehingga dapat ditulis:
,
dengan adalah besarnya total dari semua klaim, adalah besarnya nilai harapan dari besarnya total klaim untuk semua kelas, yaitu ∑ , dan adalah Diasumsikan bahwa perusahaan asuransi siap untuk menerima sebuah risiko yang cukup kecil R (misalnya, R = 1%). Persamaan (13) memberikan formula untuk premi total yang dikumpulkan, yaitu:
. (14)
12 Kemudian dengan menyubstitusikan persamaan (22) ke persamaan (15) diperoleh:
13 ∑ [ ( ̃ ̃ ) ] ̃
∑ ∑ ( ̃ ̃ ) ̃. (23) Sehingga dapat dituliskan kembali masalah maksimisasi tersebut sebagai berikut:
Fungsi objektif ∑ ̃ ̃
dengan kendala ∑ ∑ ( ̃ ̃ ) ̃ ̃ ̃ ,
Kemudian dengan mensubstitusikan persamaan (23) ke persamaan (20) diperoleh:
̃ ∑
∑ ∑ ( ̃ ̃ ) ∑ ∑ ( ̃ ̃ ) .
Misalkan ̃ ̃ , maka
∑ ∑ .
Sehingga dapat dituliskan kembali masalah maksimisasi tersebut sebagai berikut:
Fungsi objektif ∑ dengan kendala ∑ di mana dengan .
Untuk menyelesaikan masalah tersebut menggunakan fungsi Lagrange yaitu:
∑ (∑ ) dengan syarat yang harus dipenuhi yaitu:
∑ . Hasil turunan terhadap diperoleh:
. (24) Begitu juga dari hasil turunan terhadap diperoleh:
∑ . (25) Dengan mensubstitusikan persamaan (24) ke persamaan (25), diperoleh:
∑ ∑
14
∑ ∑
∑
√ ∑ √ √ .
Jika , kemudian disubstisusikan ke persamaan (24) akibatnya (kontradiksi dengan ).
Jika kemudian disubstisusikan ke persamaan (24) diperoleh:
√
√ . Jadi, didapatkan sebuah solusi, yaitu
√ . (26) harus bernilai maksimum agar fungsi obyektif maksimum. Misalkan dengan adalah bilangan skalar. merupakan solusi dari permasalahan maksimisasi tersebut jika dan hanya jika ∑ ∑ .
Untuk setiap dan sehingga
∑ , (27)
dengan . Kemudian persamaan (26) disubstitusikan ke persamaan (27) sehingga diperoleh:
∑ ∑
∑ ( )
∑ √ ∑ √
15 ∑ √
∑ ∑ √ ∑
√ ∑ ∑ ∑ √ ∑ ∑ ∑ di mana ∑ , maka
√ ∑ ∑ √ ∑ ∑
√ ∑ ∑ ∑ ∑
√
∑ √ ∑ . Karena √ ∑ maka ∑ .
Misalkan maka
∑ ∑ ( )
∑ ∑ ∑ , sehingga terbukti bahwa ∑ ∑ .
Karena maka , sehingga didapatkan: √ .
Jadi, solusi dari Teorema 1 adalah:
√ . (28)
Penentuan Formula A dari Nilai Premi Optimum untuk Masalah Dual dan Masalah Primal
Dalam karya ilmiah ini juga dibahas tentang nilai premi optimum pada portofolio heterogen untuk masalah dual dan masalah primal. Sekilas tentang masalah primal dan masalah dual merupakan sepasang masalah pemrograman. Salah satu dari sepasang masalah pemrograman ini disebut masalah primal dan lainnya masalah dual. Masalah dual dan primal sangat berkaitan sehingga solusi optimum dari salah satu masalah akan secara otomatis menghasilkan solusi optimum bagi masalah lainnya.
16
kuadrat selisih terboboti antara total premi dan total klaim dengan kendala total premi yang sudah ditentukan sebelumnya. Sehingga untuk masalah primal ini didapatkan suatu Teorema yang memformulasikan penentuan premi untuk kelas , yaitu:
.
Selain itu, untuk masalah dual didapatkan suatu Teorema yang memformulasikan premi untuk kelas , yaitu:
√ ,
dengan merupakan nilai harapan dari klaim untuk kelas , jika merupakan nilai bobot untuk kelas , merupakan jumlah peserta untuk kelas , merupakan total ragam dari klaim untuk kelas , merupakan nilai harapan dari selisih klaim dan premi untuk kelas , dan merupakan total dari nilai bobot untuk kelas .
Pada bagian ini akan ditentukan nilai berdasarkan formula penentuan premi yang telah didapatkan sebelumnya. Dimana formulasi premi optimum yang dihasilkan oleh kedua Teorema tersebut bernilai sama. Sehingga nilai dapat diformulasikan:
Premi Optimum dari Teorema Masalah Primal
= Premi Optimum dari Teorema Masalah
Dual
√
√
√
√
√
( ) √ ( )
( )
( ) . (29)
17
Penerapan Formula Penentuan Premi Optimum
Dari bagian sebelumnya, didapatkan bahwa formula penentuan premi untuk kelas , yaitu:
√
dengan merupakan nilai harapan dari klaim di kelas , jika merupakan nilai bobot di kelas , merupakan nilai harapan dari selisih klaim dan premi di kelas , dan adalah total dari nilai bobot di kelas .
Pada bagian ini akan ditentukan alokasi-alokasi penentuan premi berdasarkan formula penentuan premi yang telah didapatkan sebelumnya. Alokasi-alokasi ini ditentukan dengan menggunakan bobot-bobot yang berbeda. 1. Alokasi seragam
Alokasi seragam menganggap bobot diperoleh dari banyaknya individu dari tiap kelas. Misalkan dengan . Dari informasi tersebut, diperoleh bahwa
∑ ∑ sehingga
√ √∑
√ , (30)
dengan
( )
untuk . Dari rumus yang diperoleh, alokasi seragam dipengaruhi oleh banyaknya peserta asuransi di tiap kelas , dan banyaknya peserta asuransi seluruhnya.
2. Alokasi semi-seragam
Alokasi semi-seragam menganggap setiap peserta asuransi memiliki bobot yang sama. Misalkan dengan , dapat disimpulkan bahwa
∑ sehingga
√ √∑
√
√ , (31)
dengan
18
untuk . Dari rumus yang diperoleh, alokasi semi-seragam dipengaruhi oleh banyaknya kelas .
3. Alokasi relatif
Bobot pada alokasi relatif bergantung pada banyaknya peserta asuransi yang terdapat dalam kelas , ragam dari besarnya klaim individu untuk kelas , dan ragam dari besarnya total klaim untuk semua kelas dengan .
Jumlah bobot yang dimiliki oleh semua peserta asuransi bernilai 1. Jadi, √
4. Prinsip nilai harapan dan prinsip ragam
19 dipengaruhi oleh nilai harapan dari besarnya klaim individu untuk kelas j yang dibagi dengan nilai harapan dari besarnya total klaim untuk semua oleh ragam dari besarnya klaim individu untuk kelas j yang dibagi dengan ragam dari besarnya total klaim untuk semua kelas.
Contoh kasus:
20 Penjelasan hasil pada tabel tersebut akan terlampir pada Lampiran 1.
Tabel 1 menunjukkan bahwa semakin tinggi risiko dari suatu kelas maka semakin tinggi peluang klaim individu yang terjadi, sehingga berakibat pula pada nilai harapan dan ragam dari besarnya klaim tersebut.
Berikut adalah Tabel 2 yang akan menyajikan informasi dari premi setiap kelas dengan menggunakan Teorema yang dihasilkan dari penyelesaian masalah dual.
Tabel 2 Premi optimum dengan menggunakan Teorema 1 Besarnya Besarnya premi
Penjelasan hasil pada tabel tersebut akan terlampir pada Lampiran 1.
Tabel 2 menunjukkan bahwa semakin tinggi risiko suatu kelas semakin tinggi pula tingkat premi yang harus dibayarkan.
Premi yang diharapkan didasari oleh peluang kebangkrutan dan besarnya klaim yang diinginkan perusahaan asuransi. Premi optimum yang diinginkan perusahaan asuransi diperoleh dengan menyelesaikan masalah dual yaitu meminimumkan masalah peluang kebangkrutan. Meminimumkan masalah peluang kebangkrutan dapat diselesaikan dengan cara memaksimumkan besarnya klaim yang diajukan peserta asuransi. Meminimumkan peluang kebangkrutan merupakan upaya yang harus dilakukan untuk mencegah segala risiko yang akan dihadapi oleh perusahaan asuransi. Sedangkan memaksimumkan besarnya klaim yang diajukan sama halnya dengan memaksimumkan banyaknya peserta asuransi.
21 Semakin banyak peserta asuransi semakin besar total premi yang terkumpul sehingga menguntungkan perusahaan asuransi tersebut.
Berdasarkan Teorema 1, premi didapatkan dengan meminimumkan peluang kebangkrutan dengan kendala besarnya jumlah dari beda kuadrat terboboti yang diharapkan antara total klaim kelas dan total premi kelas . Premi yang diperoleh dari penyelesaian masalah tersebut telah menggunakan asumsi bahwa selisih antara total klaim dengan total premi bernilai minimum sehingga klaim yang diajukan peserta asuransi mendekati premi yang dibayarkannya dan itu sangat menguntungkan peserta asuransi.
Selanjutnya, akan ditentukan premi dari setiap kelas dengan menggunakan alokasi-alokasi penentuan premi yang telah dibahas sebelumnya, yaitu alokasi seragam, alokasi semi-seragam, prinsip nilai harapan, dan prinsip ragam. Setelah besarnya premi setiap alokasi diperoleh maka peserta asuransi dapat memilih alokasi yang sesuai. Tetapi sebelumnya harus menentukan besarnya terlebih dahulu dari setiap alokasi-alokasi tersebut.
Karena nilai harapan dan ragam yang digunakan adalah nilai harapan dan ragam dari besarnya total klaim dari kelas j, yaitu dan . Penentuan besarnya
setiap alokasi adalah sebagai berikut: 1. Alokasi seragam
Berdasarkan persamaan (29) besarnya pada alokasi seragam menjadi ∑ ( ) .
2. Alokasi semi-seragam
Berdasarkan persamaan (29) besarnya pada alokasi semi-seragam menjadi ∑ ( ) .
3. Prinsip nilai harapan
Berdasarkan persamaan (29) besarnya pada prinsip nilai harapan menjadi ∑ ( ) .
4. Prinsip ragam
Berdasarkan persamaan (29) besarnya pada prinsip ragam menjadi ∑ ( ) .
22
Tabel 3 Besarnya dari tiap alokasi (lanjutan) j Alokasi Penjelasan hasil pada tabel tersebut akan terlampir pada Lampiran 2.
Tabel 3 menunjukkan bahwa besarnya yang dimiliki per kelas berbeda-beda. Tetapi besarnya cadangan tidak sesuai dengan tingkat risiko. Karena dapat dilihat dari setiap alokasi bahwa pada tingkat risiko tinggi namun besarnya bernilai rendah begitu juga sebaliknya. Namun dapat dilihat bahwa untuk kelas 3 dan kelas 5 memiliki besarnya sama di setiap alokasi. Hal ini dikarenakan jumlah peserta pada kelas 3 dan 5 berjumlah sama sehingga berpengaruh pada nilai bobot untuk kelas tersebut bernilai sama. Selain itu, untuk prinsip nilai harapan dan prinsip ragam memiliki nilai yang sama. Hal ini dikarenakan memiliki formula dari yang sama.
Selanjutnya penentuan premi setiap alokasi adalah sebagai berikut: 1. Alokasi seragam
Berdasarkan persamaan (30) bentuk alokasi seragam menjadi √ .
2. Alokasi semi-seragam
Berdasarkan persamaan (31) bentuk alokasi semi-seragam menjadi √ .
3. Prinsip nilai harapan
Berdasarkan persamaan (33) bentuk prinsip nilai harapan menjadi ∑
√ .
4. Prinsip ragam
Berdasarkan persamaan (34) bentuk prinsip ragam menjadi ∑
√ .
Pada Tabel 4 akan ditunjukkan informasi dari premi setiap kelas berdasarkan tipe alokasi premi, yaitu alokasi seragam, alokasi semi-seragam, prinsip nilai harapan, dan prinsip ragam.
23 Tabel 4 Premi optimum dari tiap alokasi (lanjutan)
j Alokasi Penjelasan hasil pada tabel tersebut akan terlampir pada Lampiran 3.
Tabel 4 menunjukkan bahwa semakin tinggi tingkat risiko, semakin tinggi tingkat premi yang harus dibayarkan. Akan tetapi pada alokasi semi-seragam, premi optimum untuk kelas 3 lebih besar dibandingkan dengan kelas 4. Hal ini disebabkan oleh banyaknya peserta asuransi pada kelas 3 lebih sedikit dibandingkan dengan kelas 4 sehingga nilai pembagi untuk kelas 3 lebih kecil dibandingkan dengan kelas 4. Dengan kata lain, alokasi semi-seragam bergantung pada jumlah peserta asuransi di setiap kelas dengan .
Perusahaan asuransi dapat menggunakan berbagai alokasi sesuai dengan kemampuan perusahaan asuransi dalam mengelola risiko yang akan ditanggung dan berdasarkan pada peluang kebangkrutan yang diinginkan oleh perusahaan.
Jika suatu perusahaan asuransi menggunakan alokasi seragam untuk pengalokasian premi optimum, peserta asuransi pada kelas 3, 4, 5, dan 6 akan lebih diuntungkan. Karena premi pada kelas tersebut lebih kecil dibandingkan alokasi premi yang lain. Namun, perusahaan tersebut berisiko untuk kehilangan para peserta asuransi pada kelas 1 dan 2 karena premi yang dihasilkan oleh alokasi seragam lebih besar dibandingkan dengan premi yang dihasilkan oleh alokasi yang lain.
Jika perusahaan asuransi menggunakan prinsip ragam untuk penentuan alokasi premi, premi pada kelas 1 dan 2 lebih kecil dibandingkan alokasi premi yang lain. Hal ini mengakibatkan para peserta pada kelas 1 dan 2 akan tertarik untuk tetap berasuransi pada perusahaan tersebut. Namun, untuk kelas 4,5, dan 6, premi yang dihasilkan oleh prinsip ragam lebih besar dibandingkan dengan premi yang dihasilkan oleh alokasi yang lain.
24
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Premi yang optimum dapat ditentukan dengan beberapa cara, salah satunya adalah menyelesaikan masalah dual yaitu dengan meminimumkan masalah peluang kebangkrutan. Masalah dual adalah sebuah masalah pemograman yang diturunkan dari masalah primal. Masalah dual dan primal sangat berkaitan sehingga solusi optimum dari salah satu masalah akan secara otomatis menghasilkan solusi optimum bagi masalah lainnya. Masalah tersebut bisa diselesaikan dengan melakukan transformasi menjadi masalah yang baru yaitu memaksimumkan masalah besarnya klaim yang diajukan oleh peserta asuransi. Tujuannya adalah untuk mencegah segala risiko yang akan dihadapi oleh perusahaan asuransi dan melihat banyaknya pengajuan klaim peserta asuransi sehingga premi optimum dapat ditentukan. Setelah mendapatkan masalah baru, akan ditemukan sebuah solusi optimum bagi masalah tersebut.
Kemudian dapat ditentukan alokasi penentuan premi dengan mengubah nilai bobot yang diberikan, yaitu alokasi seragam, alokasi semi-seragam, prinsip nilai harapan, dan alokasi relatif atau prinsip ragam. Penentuan premi pada tiap alokasi memiliki karakteristik masing-masing.
Besarnya premi pada alokasi seragam berbanding lurus dengan banyaknya peserta asuransi pada setiap kelas. Besarnya premi pada alokasi semi-seragam berbanding terbalik dengan akar dari banyaknya kelas. Besarnya premi pada prinsip ragam berbanding terbalik dengan ragam total klaim untuk setiap kelas. Besarnya premi pada alokasi prinsip nilai harapan berbanding terbalik dengan jumlah nilai harapan total klaim untuk setiap kelas. Premi yang dihasilkan dengan alokasi seragam dan prinsip ragam menghasilkan premi yang tidak merata pada setiap kelas. Terdapat kelas yang terbebani berlebihan, namun ada juga yang sebaliknya. Sedangkan premi yang dihasilkan dengan alokasi semi-seragam dan prinsip nilai harapan menghasilkan premi yang relatif merata pada setiap kelas.
Saran
25
DAFTAR PUSTAKA
Bowers NL, Gerber HU, Hickman JC, Jones DA, Nosbitt CJ. 1997. Actuarial Mathematics.Ed ke-2. Schaumburg (GR): The Society of Actuaries.
Grimmet GR, Stirzaker DR. 1992. Probability and Random Processes.Ed ke-2. New York (US): Claredon Press Oxford.
Griva I, Nash SG, Sofer A. 2009. Linear and Nonlinear Programming. Philadelphia (US): SIAM.
Hanum F. 2011. Pemrograman Taklinear dan Aplikasinya. Bogor (ID): Departemen Matematika FMIPA Institut Pertanian Bogor.
Hogg RV, Craig AT, Mckean JW. 2005. Introduction to Mathematical Statistics. Ed ke-6. New Jersey (US): Prentice Hall, Inc.
Pemerintah Republik Indonesia. 1992. Undang-Undang Republik Indonesia Nomor 2 Tahun 1992 tentang Usaha Perasuransian. Jakarta (ID): Sekretariat Negara.
Walpole RE. 1990. Pengantar Statistika. Ed ke-3. Jakarta (ID): PT. Gramedia Pustaka Utama.
Wijaya PA. 2014. Penentuan premi optimal pada portofolio heterogen dengan argumen geometris sederhana [skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor. Yulianasari. 2011. Penentuan premi optimal pada portofolio heterogen dengan
menggunakan pemrograman tak linear [skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.
26
Lampiran 1 Penentuan premi optimum dengan menggunakan Teorema 1
27
Solusi dari Teorema 1 adalah:
√ , dan
Besarnya untuk masing-masing kelas: Untuk
Untuk
Untuk
Untuk
Untuk
Untuk
28
Besarnya premi optimum untuk masing-masing kelas: Untuk
√
√
√
Untuk
√
√
√
Untuk
√
√
√
Untuk
√
√
√
2.827,77 Untuk
29 √
√
4.435,52 Untuk
√
√
√
30
Lampiran 2 Besarnya dari tiap alokasi 1. Alokasi seragam
Teorema Masalah Primal = Teorema Masalah Dual
√∑
√ ∑ ( ) .
2. Alokasi semi-seragam
Teorema Masalah Primal = Teorema Masalah Dual
√∑
√
∑ ( ) .
3. Prinsip nilai harapan
Teorema Masalah Primal = Teorema Masalah Dual
√∑
∑ ∑ √
∑ ( ) . 4. Prinsip ragam
Teorema Masalah Primal = Teorema Masalah Dual
√∑ ∑ √
∑ ( ) . 1. Alokasi seragam
Untuk
∑
Untuk
∑
Untuk
∑
31
Untuk
∑
Untuk
∑
Untuk
∑
2. Alokasi semi-seragam Untuk
∑
Untuk
∑
Untuk
∑
Untuk
32
Untuk
∑
Untuk
∑
3. Prinsip nilai harapan
Untuk
∑
Untuk
∑
Untuk
∑
Untuk
∑
33 Untuk
∑
Untuk
∑
4. Prinsip ragam
Untuk
∑
Untuk
∑
Untuk
∑
Untuk
∑
Untuk
∑
34
Untuk
∑
35 Lampiran 3 Penentuan premi optimum dari tiap alokasi
1. Alokasi seragam
√ . 2. Alokasi semi-seragam
√ . 3. Prinsip nilai harapan
∑
√ .
4. Prinsip ragam
∑
√ .
1. Alokasi seragam Untuk
√
√
Untuk √
√
Untuk √
√
Untuk √
√
36
√
Untuk √
√
2. Alokasi semi-seragam Untuk
√
√
Untuk √
√
Untuk √
√
Untuk √
√
Untuk √
37
Untuk √
√
3. Prinsip nilai harapan Untuk
∑
√
√
Untuk ∑
√
√
Untuk ∑
√
√
Untuk ∑
√
√
Untuk ∑
√
√
Untuk ∑
√
38
4. Prinsip ragam Untuk
∑
√
√
Untuk ∑
√
√
Untuk ∑
√
√
Untuk ∑
√
√
Untuk ∑
√
√
Untuk ∑
√
39
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bogor, Jawa Barat, pada tanggal 26 Maret 1993. Penulis merupakan putri pertama dari empat bersaudara dari Bapak Mahpud Sidik, Ibu Cucu Riscani. Tahun 2010, penulis lulus dari SMA Negeri 5 Depok dan diterima di Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Penelusuran Minat dan Kemampuan (PMDK). Penulis tercatat sebagai mahasiswa Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA).
Semasa menjadi mahasiswa, penulis aktif di berbagai kegiatan organisasi dan kepanitian. Penulis tergabung sebagai Staf Kepengurusan Asrama TPB IPB pada tahun 2010, Ketua divisi Inventarisasi dan Kewirausahaan UKM Karate IPB pada tahun 2011, serta Staf Departemen Badan Pengawas GUMATIKA pada tahun 2012. Penulis juga terlibat aktif dalam kepanitiaan seperti dalam kepanitiaan IPB Karate Cup se-Jawa dan Bali pada tahun 2011, Masa Perkenalan Departemen pada tahun 2012 dan 2013, Matematika Ria pada tahun 2012 dan 2013, dan IPB Mathematics Challenge pada tahun 2012 dan 2013.
