Penyelesaian Permainan Sudoku, Challenger Puzzle, dan N-Queens Problem Menggunakan Integer Programming

(1)

PENYELESAIAN PERMAINAN SUDOKU,

CHALLENGER

PUZZLE

, DAN

N-QUEENS PROBLEM

MENGGUNAKAN

INTEGER PROGRAMMING

ALI VIKRI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(2)

(3)

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN

SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA

Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penyelesaian Permainan

Sudoku,

Challenger Puzzle

, dan

N-Queens Problem

menggunakan

Integer

Programming

adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing

dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun.

Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun

tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan

dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut

Pertanian Bogor.

Bogor, Februari 2014

Ali Vikri

(4)

ABSTRAK

ALI VIKRI. Penyelesaian Permainan Sudoku,

Challenger Puzzle,

dan

N-Queens

Problem

menggunakan

Integer Programming

. Dibimbing oleh FARIDA

HANUM dan MUHAMMAD ILYAS.

Banyak orang menganggap matematika itu sulit sehingga mereka tidak

tertarik untuk mempelajarinya. Menyajikan matematika dalam bentuk teka-teki

merupakan salah satu cara untuk menarik orang mempelajari matematika secara

tidak langsung. Teka-teki akan mengundang rasa ingin tahu seseorang untuk

memecahkan masalah. Ketika seseorang dapat menyelesaikan teka-teki, maka

secara tidak langsung dia sebenarnya telah mempelajari matematika. Dalam karya

ilmiah ini akan diformulasikan beberapa masalah teka-teki matematika yaitu

Sudoku,

Challenger Puzzle

, dan

N-Queens Problem

menggunakan

integer

programming

dan diselesaikan menggunakan LINGO 11.0

Kata kunci:

Challenger Puzzle, Integer Programming, N-Queens Problem,

Sudoku

ABSTRACT

ALI VIKRI.

Completion Sudoku Games, Puzzles Challenger, and the N-Queens

Problem using Integer Programming. Supervised by FARIDA HANUM and

MUHAMMAD ILYAS.

Many people think that mathematics is complicated so they are not

interested to learn it. Presenting mathematics in the form of a puzzle is one way to

attract people to study mathematics. The puzzle will attract curiosity of someone

to solve problems. When someone can solve the puzzle, then it implies that he in

fact has studied mathematics. In this paper, some mathematical puzzles are

formulated, such as Sudoku, Puzzle Challenger, and the N-Queens Problem using

integer programming and are solved by using LINGO 11.0

(5)

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains

pada

Departemen Matematika

PENYELESAIAN PERMAINAN SUDOKU,

CHALLENGER

PUZZLE

, DAN

N-QUEENS PROBLEM

MENGGUNAKAN

INTEGER PROGRAMMING

ALI VIKRI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(6)

(7)

Judul Skripsi : Penyelesaian Permainan Sudoku,

Challenger Puzzle, dan N-Queens

Problem

Menggunakan

Integer Programming

Nama

: Ali Vikri

NIM

: G54080032

Disetujui oleh

Dra Farida Hanum, MSi

Pembimbing I

Muhammad Ilyas, MSi MSc

Pembimbing II

Diketahui oleh

Dr Toni Bakhtiar, MSc

Ketua Departemen

(8)

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas

segala karunia-Nya sehingga penelitian dengan judul Penyelesaian permainan

Sudoku,

Challenger Puzzle,

dan

N-Queens Problem

menggunakan

Integer

Programming

dapat diselesaikan.

Terima kasih penulis ucapkan kepada Ibu Dra Farida Hanum, M.Si dan

Bapak Muhammad Ilyas, MSi MSc selaku pembimbing, serta Bapak Dr Ir I Gusti

Putu Purnaba, DEA yang telah banyak memberi saran. Ungkapan terima kasih

juga disampaikan kepada ayah, ibu, serta seluruh keluarga, atas segala doa dan

kasih sayangnya.

Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, Februari 2014

(9)

DAFTAR ISI

DAFTAR GAMBAR

vi

PENDAHULUAN

1

Latar Belakang

1

Tujuan Penelitian

1

TINJAUAN PUSTAKA

1

DESKRIPSI DAN FORMULASI MASALAH

2

Deskripsi Masalah

2

Formulasi Masalah

4

HASIL DAN PEMBAHASAN

17

Sudoku

17

Challenger Puzzle

20

N-Queens Problem

21

SIMPULAN

23

DAFTAR PUSTAKA

23

LAMPIRAN

24

(10)

DAFTAR GAMBAR

Contoh Sudoku yang belum diselesaikan ... 2

Contoh

grid

pada Sudoku ... 3

Contoh

Challenger Puzzle

yang belum diselesaikan ... 3

Contoh

N-Queens Problem

yang belum diselesaikan ... 4

Contoh Sudoku Tipe 1 ... 5

Contoh Sudoku Tipe 2 ... 6

Contoh

Challenger Puzzle

Tipe A ... 12

Contoh

Challenger Puzzle

Tipe B ... 13

Contoh

Challenger Puzzle

Tipe C ... 13

Contoh

Challenger Puzzle

Tipe D ... 14

Posisi untuk penjumlahan sel miring pada

N-Queens Problem

... 16

Sudoku Tipe 1 ... 17

Challenger Puzzle

Tipe A ... 20

Challenger Puzzle

Tipe B ... 21

Challenger Puzzle

Tipe C ... 21

Challenger Puzzle

Tipe D ... 21

N-Queens Problem

Tipe I ... 22

N-Queens Problem

Tipe II ... 22

(11)

1

PENDAHULUAN

Latar Belakang

Banyak orang menganggap matematika itu sulit sehingga tidak tertarik

untuk mempelajarinya. Padahal matematika sama saja dengan pelajaran lainnya

jika berminat mempelajarinya. Menyajikan matematika dalam bentuk teka-teki

merupakan salah satu jalan untuk menarik orang mempelajari matematika secara

tidak langsung. Karena dengan teka-teki ini akan mengundang rasa ingin tahu

seseorang untuk memecahkan masalah. Ketika seseorang dapat menyelesaikan

teka-teki, maka secara tidak langsng dia sebenarnya telah mempelajari

matematika.

Riset Operasi dapat digunakan untuk memecahkan masalah pengambilan

keputusan dalam dunia nyata. Dengan menguraikan ke dalam tiga unsur berikut,

yang pertama mengidentifikasi alternatif misalnya variabel keputusan, yang

kedua mengidentifikasi kendala dari masalah, dan yang ketiga mengidentifikasi

kriteria objektif. Teknik yang banyak digunakan dalam Riset Operasi ialah

Pemrograman Linear. Model

Integer Programming

adalah kasus khusus dari

model Pemrograman Linear di mana variabel keputusan dibatasi menjadi nilai

integer

.

Dalam dunia nyata, salah satu penerapan

integer programming

ialah

penyelesaian teka-teki matematika seperti Sudoku,

Challenger Puzzle

dan

N-Queens Problem

. Dalam karya ilmiah ini, masalah penyelesaian teka-teki Sudoku

dan

Challenger Puzzle

dimodifikasi dari artikel yang berjudul

Teaching Integer

Programming via Sudoku and Other Math Puzzles

yang ditulis oleh Daryl L.

Santos tahun 2007, sedangkan

N-Queens Problem

diformulasikan sendiri.

Tujuan Penelitian

Tujuan dari karya ilmiah ini ialah memformulasikan beberapa masalah

teka-teki matematika yaitu Sudoku,

Challenger Puzzle,

dan

N-Queens Problem

menggunakan

integer programming

dan menyelesaikannya menggunakan LINGO

11.0.

TINJAUAN PUSTAKA

Pada abad ke-18, seorang ahli matematika asal Swiss, Leonhard Euler,

mengembangkan konsep

“Latin squares”

. Dalam konsep ini, angka atau simbol

dalam kotak hanya akan muncul satu kali di setiap baris atau kolom. Jadi, dalam

setiap baris atau kolom tidak ada angka atau simbol yang sama. Kemudian, di

Amerika Serikat terdapat permainan teka-

teki angka yang dinamakan “

Number

Place

”. Saat itu, permainan ini dimuat di

sebuah majalah terbitan Amerika

Serikat,

Dell Magaziness

, di akhir tahun 1970-an. Teka-teki angka yang dimuat

ini merupakan pengembangan dari teka-teki yang dibuat oleh Howard Garnes.

(12)

penerbitan di Jepang. Perusahaan tersebut menerbitkan permainan teka-teki angka

di sebuah media cetak khusus teka-teki,

Monthly Nikolist

. Alhasil, teka-teki ini

menjadi terkenal di Jepang. Masyarakat Jepang menamakannya dengan

“Suji wa

doku

shin ni kagiru”

yang kemudian disingkat menjadi Sudoku. Dalam bahasa

Jepang, sudoku diambil dari kata

”su”

yang artinya angka dan

“doku”

berarti

sendiri. Artinya, dalam permainan ini, hanya boleh ada satu angka dalam satu

baris dan kolom (Asal Usul

Puzzle

Sudoku 2013). Teka-teki angka lainnya yang

juga dibahas dalam karya ilmiah ini, adalah

Challenger Puzzle

yang dimodifikasi

dari (Santos 2007).

Pada tahun 1848, Max Bezzel memperkenalkan permainan

Eight Queens

Puzzle

. Franz Nauck mengumumkan solusi pertama pada tahun 1850 serta

mengembangkan teka-teki ini menjadi

N-Queens Problem

. Dalam permainan ini

terdapat

N

ratu pada papan catur berukuran

. Sejak itu banyak

matematikawan, termasuk Carl Friedrich Gauss, mencoba menyelesaikan masalah

Eight Queens Puzzle

dan

N-Queens Problem

(

Eight Queens Puzzle

2009). Pada

karya ilmiah

N-Queens Problem

yang dibahas hanya yang berukuran 8

8 dengan

8 ratu catur yang tidak saling menyerang satu sama lain.

DESKRIPSI DAN FORMULASI MASALAH

Deskripsi Masalah

1.

Sudoku

Sudoku adalah sebuah permainan teka-teki berdasarkan logika dengan

kombinasi penempatan angka. Pada permainan Sudoku pemain diminta untuk

mengisi

kotak, sehingga setiap kotak dapat diisi dengan angka 1 sampai

dengan angka

“n”

itu sendiri. Pada karya ilmiah ini akan dibahas Sudoku yang

berukuran 9×9. Pada permainan ini tiap baris dan tiap kolom diisi angka 1 sampai

dengan 9 dan tidak boleh ada angka yang sama. Pada Gambar 1 diberikan contoh

Sudoku yang belum memiliki solusi.

2 4

6

8

3

5 7 9 2

1 9

7

8

6 9

9

2

1

5

3

Gambar 1 Contoh Sudoku yang belum diselesaikan

(13)

3

Grid

beraturan

Grid

acak

Gambar 2 Contoh

grid

pada Sudoku

Sudoku yang dibahas pada karya ilmiah ini, selain bentuk

grid-

nya ada yang

beraturan maupun acak, juga ditambah

grid

warna tertentu.

Sudoku yang memiliki

solusi adalah Sudoku yang telah berisi angka 1 sampai dengan 9 pada setiap baris,

kolom dan

grid

sehingga tidak ada angka yang sama.

2.

Challenger Puzzle

adalah salah satu jenis teki matematika. Pada

teka-teki ini disediakan seperangkat sel berukuran

dan jumlah semua angka di

setiap baris, kolom, dan diagonal sudah ditetapkan, serta beberapa sel telah

ditentukan nilai awalnya. Pada karya ilmiah ini akan dibahas

Challenger Puzzle

yang berukuran 4

4 dan 5

5. Aturan

Challenger Puzzle

yaitu sel-sel yang

kosong diisi dengan angka 1 sampai dengan 9 dan angka-angka tersebut boleh

berulang sehingga penjumlahan angka di setiap baris, kolom, dan diagonal sesuai

dengan angka yang sudah ditetapkan.

16

17

1

16

5

15

3

16

6

19

2

16

2

14

6

4

16

2

7

16

17

20

18

Gambar 3 Contoh

Challenger Puzzle

yang belum diselesaikan

Challenger Puzzle

yang memiliki solusi adalah

Challenger Puzzle

yang

semua sel nya telah berisi angka dengan penjumlahan yang tepat. Pada Gambar 3

diberikan contoh

Challenger Puzzle

yang belum memiliki solusi.

3.

N-Queens Problem

(14)

kolom. Dengan demikian, solusi permainan ini mensyaratkan bahwa tidak ada dua

ratu berbagi baris, kolom, atau diagonal yang sama sehingga tidak satupun dari

mereka bisa memukul dalam satu gerakan. Gambar 4 merupakan contoh

N-Queens Problem

yang belum memiliki solusi.

Gambar 4 Contoh

N-Queens Problem

yang belum diselesaikan

Formulasi Masalah

1.

Sudoku

Dalam karya ilmiah ini, masalah sudoku akan diformulasikan ke dalam

integer programming.

Indeks yang digunakan:

i

= 1, 2, ..., 9 merupakan indeks untuk baris

j

= 1, 2, ..., 9 merupakan indeks untuk kolom

k

= 1, 2, ..., 9 merupakan indeks untuk nilai sel

Variabel keputusan didefinisikan sebagai berikut:

{

Terdapat

729 variabel biner.

Sudoku Tipe 1

Fungsi objektif:

Minimumkan

Kendala-kendala yang harus dipenuhi ialah

1.

Setiap baris harus berisi angka 1 sampai 9 tanpa pengulangan.

∑

,

Terdapat

= 81 kendala.

2.

Setiap kolom harus berisi angka 1 sampai 9 tanpa pengulangan.

(15)

5

Terdapat

= 81 kendala.

3.

Setiap

grid

harus berisi angka 1 sampai 9 tanpa pengulangan.

∑

,

∑

,

∑

,

∑

,

∑

,

∑

,

∑

,

∑

,

∑

,

Berikut ini akan diberikan contoh gambar Sudoku Tipe 1.

Gambar 5 Contoh Sudoku Tipe 1

Sudoku Tipe 2

Fungsi objektif:

Minimumkan

1.

∑

,

Terdapat

= 81 kendala.

2.

∑

,

Terdapat

= 81 kendala.

3.

Setiap

grid

∑

,

∑

,

(16)

∑

,

∑

,

∑

,

∑

,

∑

,

∑

,

4.

Setiap kotak yang berwarna sama pada diagonal berisi angka 1 sampai 9

tanpa ada pengulangan.

∑

,

, i+j

=10

5.

Setiap kotak yang berwarna sama di atas dan di bawah diagonal berisi

angka 1 sampai 9 tanpa ada pengulangan.

+

= 1,

+

= 1,

Sudoku Tipe 3

Fungsi objektif:

Minimumkan

1.

∑

,

Terdapat

= 81 kendala.

2.

∑

,

Terdapat

= 81 kendala.

3.

Setiap

grid

(17)

7

∑

,

∑

,

∑

,

∑

,

∑

,

∑

,

∑

,

∑

,

4.

Kedua diagonal berisi angka 1 sampai dengan 9 tanpa pengulangan.

∑

,

, i+j

=10

∑

,

, i=j

Sudoku Tipe 4

Fungsi objektif:

Minimumkan

1.

∑

,

Terdapat

= 81 kendala.

2.

∑

,

Terdapat

= 81 kendala.

3.

Setiap

grid

∑

,

∑

,

(18)

∑

,

∑

,

∑

,

∑

,

∑

,

∑

,

4.

Pada kotak yang berwarna sama berisi angka 1 sampai 9 tanpa

pengulangan.

∑

,

∑

,

∑

,

∑

,

∑

,

∑

,

∑

,

∑

,

∑

,

Gambar 8 Contoh Sudoku Tipe 4

Sudoku Tipe 5

Fungsi objektif:

Minimumkan

1.

∑

,

Terdapat

= 81 kendala.

2.

∑

,

(19)

9

3.

Setiap

grid

∑

,

∑

,

∑

,

∑

,

∑

,

∑

,

∑

,

∑

,

∑

,

4.

Kedua diagonal berisi angka 1 sampai dengan 9 tanpa pengulangan.

∑

,

, i+j

=10

∑

,

, i=j

Sudoku Tipe 6

Fungsi objektif:

Minimumkan

1.

∑

,

Terdapat

= 81 kendala.

2.

∑

,

Terdapat

= 81 kendala.

3.

Setiap

grid

(20)

∑

,

∑

,

∑

,

∑

,

∑

,

∑

,

∑

,

∑

,

4.

Setiap kotak yang berwarna sama pada diagonal berisi angka 1 sampai 9

tanpa ada pengulangan.

∑

,

, i+j

=10

5.

Setiap kotak yang berwarna sama di atas dan di bawah diagonal berisi

angka 1 sampai 9 tanpa ada pengulangan.

∑

,

∑

,

Sudoku Tipe 7

Fungsi objektif:

Minimumkan

1.

∑

,

Terdapat

= 81 kendala.

2.

∑

,

(21)

11

3.

Setiap

grid

∑

,

∑

,

∑

,

∑

,

∑

,

∑

,

∑

,

∑

,

∑

,

4.

Pada kotak yang berwarna sama berisi angka 1 sampai 9 tanpa

pengulangan.

∑

,

∑

,

∑

,

∑

,

∑

,

∑

,

∑

,

∑

,

∑

,

Gambar 11 Contoh Sudoku Tipe 7

2.

Challenger Puzzle

(22)

Variabel keputusan :

Misalkan :

merupakan angka yang berada pada baris

i

dan kolom

j.

Berikut ini akan diberikan contoh

Challenger Puzzle

untuk Tipe A.

16

Gambar 12 Contoh

Challenger Puzzle

Tipe A

Indeks :

i

= 1, 2, 3, 4 merupakan indeks untuk baris

j

= 1, 2, 3, 4 merupakan indeks untuk kolom

Fungsi objektif

Minimumkan

Kendala :

1.

Jumlah semua angka di setiap kolom adalah 16.

∑

,

j

= 1,2,3,4

2.

Jumlah semua angka di setiap baris adalah 16.

∑

,

i

= 1,2,3,4

3.

Jumlah semua angka pada kedua diagonal sel adalah 16.

∑

,

i

= j

∑

,

i

+

j

= 5

4.

Semua

bernilai bilangan bulat positif dari 1 sampai 9.

{1,2,3,4,5,6,7,8,9},

(23)

13

25

Gambar 13 Contoh

Challenger Puzzle

Tipe B

Indeks :

i

= 1, 2, 3, 4, 5 merupakan indeks untuk baris

j

= 1, 2, 3, 4, 5 merupakan indeks untuk kolom

Fungsi objektif

Minimumkan

Kendala :

1.

Jumlah semua angka di setiap kolom adalah 25.

∑

,

j

= 1,2,3,4,5

2.

Jumlah semua angka di setiap baris adalah 25.

∑

,

i

= 1,2,3,4,5

3.

Jumlah semua angka pada kedua diagonal sel adalah 25.

∑

,

i

= j

∑

,

i

+

j

= 6

4.

Semua

{1,2,3,4,5,6,7,8,9},

Berikut ini diberikan contoh

Challenger Puzzle

untuk Tipe C.

12

22

17

16

18

24

13

24

12

19

Gambar 14 Contoh

Challenger Puzzle

Tipe C

i

= 1, 2, 3, 4 merupakan indeks untuk baris

(24)

Fungsi objektif

Minimumkan

Kendala :

1.

Jumlah angka di setiap kolom mengikuti angka yang telah ditetapkan.

∑

2.

Jumlah angka di setiap baris mengikuti angka yang telah ditetapkan.

∑

3.

Jumlah semua angka pada kedua diagonal sel mengikuti angka yang telah

ditetapkan.

+

=12

+

=19

4.

Semua

{1,2,3,4,5,6,7,8,9},

Berikut ini akan diberikan contoh

Challenger Puzzle

untuk Tipe D.

25

24

29

25

16

21

18

28

20

26

23

29

Gambar 15 Contoh

Challenger Puzzle

Tipe D

i

= 1, 2, 3, 4, 5 merupakan indeks untuk baris

j

= 1, 2, 3, 4, 5 merupakan indeks untuk kolom

Fungsi objektif

(25)

15

Kendala :

1.

Jumlah angka di setiap kolom mengikuti angka yang telah ditetapkan.

∑

2.

Jumlah angka di setiap baris mengikuti angka yang telah ditetapkan.

∑

3.

Jumlah semua angka pada kedua diagonal sel mengikuti angka yang telah

ditetapkan.

+

=25

+

=29

4.

Semua

{1,2,3,4,5,6,7,8,9},

3.

N-Queens Problem

Indeks :

i

= 1, 2, ..., 8 merupakan indeks untuk baris

j

= 1, 2, ..., 8 merupakan indeks untuk kolom

Variabel keputusan :

Misalkan :

merupakan angka yang berada pada baris

i

dan kolom

j.

Fungsi objektif

Minimumkan

Kendala :

1.

Jumlah angka di setiap kolom bernilai 1.

∑

,

j

= 1,2,3,4,...,8

2.

Jumlah angka di setiap baris bernilai 1.

∑

,

i

= 1,2,3,4,...,8

3.

Jumlah angka di setiap sel miring bernilai kurang dari atau sama dengan 1.

(26)

∑

,

i

+

j =

4

(

)

∑

,

i

+

j =

5

(

)

∑

,

i

+

j =

6

(

)

∑

,

i

+

j =

7

(

)

∑

,

i

+

j =

8

(

)

∑

,

i + j =

9

(

)

∑

,

i

+

j =

10

(

)

∑

,

i

+

j =

11

(

)

∑

,

i

+

j =

12

(

)

∑

,

i

+

j =

13

(

)

∑

,

i

+

j =

14

(

)

∑

,

i

+

j =

15

(

)

∑

,

j = i

–

6

(

)

∑

,

j = i

–

5

(

)

∑

,

j = i

–

4

(

)

∑

,

j = i

–

3

(

)

∑

,

j = i

–

2

(

)

∑

,

j = i

–

1

(

)

∑

,

i = j

(

)

∑

,

j = i

+ 1

(

)

∑

,

j = i

+ 2

(

)

∑

,

j = i

+ 3

(

)

∑

,

j = i

+ 4

(

)

∑

,

j = i

+ 5

(

)

∑

,

j = i

+ 6

(

)

Gambar 16 Posisi untuk penjumlahan sel miring pada

N-Queens Problem

4.

Semua

bernilai 0 atau 1.

(27)

17

HASIL DAN PEMBAHASAN

Pada bagian ini akan dibahas penyelesaian Sudoku,

Challenger Puzzle,

dan

N-Queens Problem

menggunakan

integer programming

dan

software

LINGO

11.0.

Sudoku

Terdapat tujuh macam tipe Sudoku yang berbeda-beda, akan dibahas satu

per satu sesuai dengan tipe nya.

1.

Sudoku Tipe 1

Sudoku tipe ini ialah Sudoku yang paling sering ditemukan, karena

merupakan Sudoku dasar. Sintaks program LINGO 11.0 dan solusinya dapat

dilihat pada Lampiran 1.

4

5

7

6

8

9

4

3

5

7

2

6

8

1

9

2

1

4

7

5

8

2

9

1

3

4

6

7

5

6

7

8

9

5

3

4

6

1

7

8

9

5

3

2

4

5

9

3

1

4

6

5

9

2

3

1

7

4

6

8

1

2

7

3

1

6

4

5

8

2

7

9

3

7

8

3

6

9

2

5

7

8

3

4

6

9

2

5

1

3

8

9

4

6

3

7

8

2

5

1

9

4

6

5

6

9

4

3

2

5

6

9

4

8

1

3

7

9

1

6

3

5

2

9

4

1

6

7

3

5

8

2

Bentuk awal

Solusi

Gambar 17 Sudoku Tipe 1

2.

Sudoku Tipe 2

Sudoku Tipe 2 merupakan Sudoku dengan variasi warna. Pada tipe ini

ditambahkan kendala tidak ada pengulangan pada kotak yang memiliki warna

yang sama. Sintaks program LINGO 11.0 dan solusinya dapat dilihat pada

Lampiran 3.

9

6

2

3

9

4

6

1

2

7

3

8

5

1

5

3

4

6

7

1

8

5

9

3

2

4

6

2

6

4

9

2

5

3

6

8

4

9

1

7

6

9

4

3

7

6

9

1

4

3

8

7

5

2

9

1

8

3

5

2

7

9

6

1

8

3

4

3

4

7

2

6

1

3

8

4

7

5

2

6

9

1

7

1

6

3

4

7

2

8

1

9

5

6

3

8

3

4

6

1

9

8

3

5

2

4

6

1

7

9

1

9

3

5

4

2

8

1

6

9

3

7

5

4

2

8

Bentuk awal

Solusi

(28)

3.

Sudoku Tipe 3

Sudoku Tipe 3 merupakan Sudoku dengan tambahan kendala tidak ada

pengulangan angka pada kedua diagonal Sudoku. Sintaks program LINGO 11.0

dan solusinya dapat dilihat pada Lampiran 4.

3

5

9

2

7

6

4

3

1

5

9

8

2

7

1

2

8

4

6

7

5

9

3

5

9

3

8

4

6

7

5

9

2

3

8

4

6

1

8

4

8

3

6

5

7

2

9

1

4

6

1

3

5

9

4

6

1

3

7

8

2

1

7

6

3

2

1

7

8

9

4

6

3

5

9

8

5

7

2

1

3

4

6

2

3

5

1

7

4

6

2

3

8

5

1

7

9

3

9

2

8

3

7

1

9

4

6

2

5

8

Bentuk awal

Solusi

4.

Sudoku Tipe 4

Sudoku Tipe 4 merupakan Sudoku dengan variasi warna. Selain itu, tidak

boleh ada pengulangan angka dalam satu

grid

dan pada warna yang sama juga

tidak boleh ada pengulangan angka. Dibutuhkan ketelitian yang lebih dalam

menyelesaikan Sudoku Tipe 4. Sintaks program LINGO 11.0 dan solusinya dapat

dilihat pada Lampiran 5.

3

2

8

7

1

5

3

2

6

8

9

7

1

4

9

8

2

3

9

8

4

7

1

5

6

2

3

7

6

1

4

3

2

8

9

5

1

5

2

8

1

7

5

9

4

3

2

6

8

6

8

4

9

2

6

1

5

3

7

6

3

1

9

6

2

3

5

7

8

1

4

9

2

3

9

6

8

2

7

4

5

1

4

5

7

2

4

5

8

1

9

6

3

7

2

1

7

5

8

6

2

1

7

3

5

4

9

8

6

Bentuk awal

Solusi

(29)

19

5.

Sudoku Tipe 5

Sudoku Tipe 5 merupakan Sudoku modifikasi dengan

grid

acak dan kendala

tidak boleh ada pengulangan angka pada kedua diagonal Sudoku. Solusi yang

diperoleh melalui LINGO 11.0 dapat dilihat pada Lampiran 6.

4

1

8

3

7

4

9

1

5

8

2

3

6

7

6

7

1

5

9

8

6

4

7

3

1

2

5

9

3

6

9

1

4

2

3

5

6

7

9

8

1

4

9

7

8

6

2

9

7

3

8

4

6

1

2

5

1

6

2

9

3

1

8

6

4

2

5

9

7

3

5

1

3

8

6

7

5

2

1

9

3

4

8

6

9

5

7

8

6

1

9

2

5

4

7

3

8

5

4

3

8

9

5

4

7

3

1

8

6

9

2

9

7

4

1

3

2

8

9

6

7

5

4

1

Bentuk awal

Solusi

6.

Sudoku Tipe 6

Sudoku Tipe 6 merupakan Sudoku modifikasi dengan kondisi

grid

acak

dengan kendala tidak ada pengulangan pada kotak yang berwarna sama pada

sudoku serta sebuah diagonal Sudoku. Solusi yang diperoleh melalui LINGO 11.0

dapat dilihat pada Lampiran 7.

8

1

9

7

3

2

8

5

1

6

9

4

7

3

7

6

3

1

5

7

6

2

3

4

1

8

5

9

5

8

3

6

1

5

9

8

7

3

4

6

2

1

3

4

7

9

8

3

1

4

5

7

2

9

6

8

7

2

8

1

5

4

7

6

2

9

8

3

1

5

9

3

8

6

4

9

3

1

8

5

6

2

4

7

5

6

2

1

9

8

5

7

6

2

3

1

9

4

6

3

1

5

8

6

4

3

9

1

7

5

8

2

8

5

7

6

1

2

9

4

8

5

7

3

6

Bentuk awal

Solusi

(30)

7.

Sudoku Tipe 7

Sudoku Tipe 7 merupakan Sudoku modifikasi dengan kondisi

grid

acak dan

menggunakan variasi warna. Selain itu, ditambahkan kendala tidak ada

pengulangan angka pada kotak yang berwarna sama. Solusi yang diperoleh

melalui LINGO 11.0 dapat dilihat pada Lampiran 8.

2

4

1

8

3

2

4

6

7

1

9

8

5

3

7

3

5

2

9

7

1

3

8

5

6

2

4

9

5

2

9

3

6

8

5

4

2

9

3

1

7

6

3

5

4

2

1

9

3

7

5

8

4

6

2

1

6

8

4

3

5

6

8

1

4

2

7

9

3

5

9

6

1

8

7

5

2

9

6

3

1

4

8

7

1

2

3

8

4

7

5

1

6

2

3

9

8

9

3

8

5

4

1

9

2

3

7

8

5

6

4

3

8

4

7

2

3

6

8

9

4

5

7

1

2

[image:30.595.71.482.132.804.2]

Bentuk awal

Solusi

Challenger Puzzle

Pada karya ilmiah ini

Challenger Puzzle

memiliki empat tipe, yaitu Tipe A,

Tipe B, Tipe C, dan Tipe D. Tipe A dan Tipe C berukuran 4×4 sedangkan Tipe B

dan Tipe D berukuran 5×5. Pada Gambar 12, 13, 14, dan 15 terdapat

Challenger

Puzzle

yang belum dan yang sudah memiliki solusi. Solusi yang diperoleh melalui

LINGO 11.0 dapat dilihat pada Lampiran 8, 9, 10, dan 11.

1.

Tipe A

16

4

16

4

6

2

4

16

3

16

3

5

2

6

16

4

16

3

4

5

4

16

6

7

16

6

1

7

2

16

Bentuk awal

Solusi

(31)

21

2.

Tipe B

25

2

6

25

1

2

9

7

6

25

3

25

3

9

2

25

4

25

5

9

4

6

1

25

7

4

1

4

9

25

7

25

9

1

2

6

7

25

[image:31.595.108.504.60.734.2]

Bentuk awal

Solusi

Gambar 25

Challenger Puzzle

Tipe B

3.

Tipe C

12

5

2

22

5

7

8

2

22

4

17

9

3

4

1

17

6

16

6

2

5

3

16

1

6

18

4

1

7

6

18

24

13

24

12

19

24

13

24

12

19

Bentuk awal

Solusi

Gambar 26

Challenger Puzzle

Tipe C

4.

Tipe D

25

8

5

24

8

6

3

2

5

24

7

6

29

4

7

3

6

9

29

2

1

25

2

5

9

8

1

25

4

16

1

2

4

3

6

16

8

2

21

3

8

1

7

2

21

18

28

20

26

23

29

18

28

20

26

23

29

Bentuk awal

Solusi

Gambar 27

Challenger Puzzle

Tipe D

N-Queens Problem

(32)

1.

Tipe 1

[image:32.595.58.485.18.827.2]

Bentuk awal

Solusi

Gambar 28

N-Queens Problem

Tipe I

2.

Tipe II

Bentuk awal

Solusi

(33)

23

3.

Tipe III

[image:33.595.100.510.44.823.2]

Bentuk awal

Solusi

Gambar 30

N-Queens Problem

Tipe III

SIMPULAN

Sudoku,

Challenger Puzzles, dan N-Queens Problem

dapat diformulasikan

menggunakan

integer programming

dan diselesaikan menggunakan LINGO 11.0

DAFTAR PUSTAKA

Asal Usul

Puzzle

Sudoku. 2013. [diunduh 7 Oktober 2013]; Tersedia pada:

http://www.blackits.net/id/art-and-culture/the-origins-of-the-sudoku-puzzle.html

Eight Queens Puzzle

. 2009. [diunduh 9 Oktober 2013]; Tersedia pada:

http://www.reachinformation.com/define/eight%20queens%20puzzle.aspx#s12

(34)

Lampiran 1 Sintaks Program LINGO 11.0 Sudoku Tipe 1 dan solusinya

model:

sets: row/1..9/; col/1..9/; val/1..9/;

LINK(row,col,val):X; endsets

X(1,1,4)=1;X(1,3,5)=1;X(1,4,7)=1;X(1,6,6)=1;X(1,7,8)=1;X(1,9,9)=1;X(2,2,2)=1;X(2,4,1)=1;X(2, 6,4)=1;X(2,8,7)=1;X(2,9,5)=1;X(3,1,6)=1;X(3,3,7)=1;

X(3,4,8)=1;X(3,5,9)=1;X(3,6,5)=1;X(3,7,3)=1;X(3,9,4)=1;X(4,1,5)=1;X(4,2,9)=1;X(4,4,3)=1;X(4, 5,1)=1;X(4,7,4)=1;X(4,8,6)=1;X(5,1,1)=1;X(5,6,2)=1;

X(5,7,7)=1;X(5,9,3)=1;X(6,1,7)=1;X(6,2,8)=1;X(6,3,3)=1;X(6,5,6)=1;X(6,6,9)=1;X(6,7,2)=1;X(6, 8,5)=1;X(7,1,3)=1;X(7,3,8)=1;X(7,7,9)=1;X(7,8,4)=1;

X(7,9,6)=1;X(8,2,5)=1;X(8,3,6)=1;X(8,4,9)=1;X(8,5,4)=1;X(8,8,3)=1;X(9,1,9)=1;X(9,3,1)=1;X(9, 4,6)=1;X(9,6,3)=1;X(9,7,5)=1;X(9,9,2)=1;

Min=X(1,1,1);

@FOR(row(i):@FOR(val(k):@SUM(col(j):X(i,j,k))=1)); @FOR(col(j):@FOR(val(k):@SUM(row(i):X(i,j,k))=1)); @FOR(col(j):@FOR(row(i):@SUM(val(k):X(i,j,k))=1));

@FOR(val(k):@SUM(col(j)|j#LE#3:@SUM(row(i)|i#LE#3:X(i,j,k)))=1);

@FOR(val(k):@SUM(col(j)|j#LE#6#AND#j#GE#4:@SUM(row(i)|i#LE#3:X(i,j,k)))=1); @FOR(val(k):@SUM(col(j)|j#GE#7:@SUM(row(i)|i#LE#3:X(i,j,k)))=1);

@FOR(val(k):@SUM(col(j)|j#LE#3:@SUM(row(i)|i#LE#6#AND#i#GE#4:X(i,j,k)))=1);

@FOR(val(k):@SUM(col(j)|j#LE#6#AND#j#GE#4:@SUM(row(i)|i#LE#6#AND#i#GE#4:X(i,j,k )))=1);

@FOR(val(k):@SUM(col(j)|j#GE#7:@SUM(row(i)|i#LE#6#AND#i#GE#4:X(i,j,k)))=1);

@FOR(val(k):@SUM(col(j)|j#LE#3:@SUM(row(i)|i#GE#7:X(i,j,k)))=1);

@FOR(val(k):@SUM(col(j)|j#LE#6#AND#j#GE#4:@SUM(row(i)|i#GE#7:X(i,j,k)))=1); @FOR(val(k):@SUM(col(j)|j#GE#7:@SUM(row(i)|i#GE#7:X(i,j,k)))=1);

@FOR(row(i):@FOR(val(k):@FOR(col(j):@BIN(X(i,j,k))))); end

end

Solusi Sudoku Tipe 1

Global optimal solution found.

Objective value: 0.000000

Objective bound: 0.000000

Infeasibilities: 0.000000

Extended solver steps: 0

Total solver iterations: 0

(35)

25

(36)

X( 8, 6, 8) 1.000000 0.000000 X( 8, 7, 1) 1.000000 0.000000 X( 8, 8, 3) 1.000000 0.000000 X( 8, 9, 7) 1.000000 0.000000 X( 9, 1, 9) 1.000000 0.000000 X( 9, 2, 4) 1.000000 0.000000 X( 9, 3, 1) 1.000000 0.000000 X( 9, 4, 6) 1.000000 0.000000 X( 9, 5, 7) 1.000000 0.000000 X( 9, 6, 3) 1.000000 0.000000 X( 9, 7, 5) 1.000000 0.000000 X( 9, 8, 8) 1.000000 0.000000 X( 9, 9, 2) 1.000000 0.000000

Lampiran 2 Sintaks Program LINGO 11.0 Sudoku Tipe 2 dan solusinya

model:

sets: row/1..9/; col/1..9/; val/1..9/;

X(1,1,9)=1;X(1,3,6)=1;X(1,5,2)=1;X(1,7,3)=1;X(1,9,5)=1;X(2,2,1)=1;X(2,4,5)=1;X(2,6,3)=1;X(2, 8,4)=1;X(2,9,6)=1;

X(3,1,2)=1;X(3,4,6)=1;X(3,6,4)=1;X(3,7,9)=1;X(4,1,6)=1;X(4,2,9)=1;X(4,4,4)=1;X(4,5,3)=1;X(4, 7,7)=1;X(5,2,2)=1;

X(5,4,9)=1;X(5,6,1)=1;X(5,7,8)=1;X(5,8,3)=1;X(6,1,3)=1;X(6,3,4)=1;X(6,4,7)=1;X(6,6,2)=1;X(6, 7,6)=1;X(6,9,1)=1;

X(7,2,7)=1;X(7,5,1)=1;X(7,8,6)=1;X(7,9,3)=1;X(8,1,8)=1;X(8,2,3)=1;X(8,5,4)=1;X(8,6,6)=1;X(8, 7,1)=1;X(8,9,9)=1;

X(9,1,1)=1;X(9,3,9)=1;X(9,4,3)=1;X(9,6,5)=1;X(9,7,4)=1;X(9,8,2)=1;X(9,9,8)=1;

MIN=X(1,1,1);

@FOR(val(k):(X(1,9,k)+X(2,8,k)+X(3,7,k)+X(4,6,k)+X(5,5,k)+X(6,4,k)+X(7,3,k)+X(8,2,k)+X(9, 1,k))=1);

(37)

27

Solusi Sudoku Tipe 2 Global optimal solution found.

Objective value: 0.000000 Objective bound: 0.000000 Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0

(38)

X( 6, 1, 3) 1.000000 0.000000 X( 6, 2, 8) 1.000000 0.000000 X( 6, 3, 4) 1.000000 0.000000 X( 6, 4, 7) 1.000000 0.000000 X( 6, 5, 5) 1.000000 0.000000 X( 6, 6, 2) 1.000000 0.000000 X( 6, 7, 6) 1.000000 0.000000 X( 6, 8, 9) 1.000000 0.000000 X( 6, 9, 1) 1.000000 0.000000 X( 7, 1, 4) 1.000000 0.000000 X( 7, 2, 7) 1.000000 0.000000 X( 7, 3, 2) 1.000000 0.000000 X( 7, 4, 8) 1.000000 0.000000 X( 7, 5, 1) 1.000000 0.000000 X( 7, 6, 9) 1.000000 0.000000 X( 7, 7, 5) 1.000000 0.000000 X( 7, 8, 6) 1.000000 0.000000 X( 7, 9, 3) 1.000000 0.000000 X( 8, 1, 8) 1.000000 0.000000 X( 8, 2, 3) 1.000000 0.000000 X( 8, 3, 5) 1.000000 0.000000 X( 8, 4, 2) 1.000000 0.000000 X( 8, 5, 4) 1.000000 0.000000 X( 8, 6, 6) 1.000000 0.000000 X( 8, 7, 1) 1.000000 0.000000 X( 8, 8, 7) 1.000000 0.000000 X( 8, 9, 9) 1.000000 0.000000 X( 9, 1, 1) 1.000000 0.000000 X( 9, 2, 6) 1.000000 0.000000 X( 9, 3, 9) 1.000000 0.000000 X( 9, 4, 3) 1.000000 0.000000 X( 9, 5, 7) 1.000000 0.000000 X( 9, 6, 5) 1.000000 0.000000 X( 9, 7, 4) 1.000000 0.000000 X( 9, 8, 2) 1.000000 0.000000 X( 9, 9, 8) 1.000000 0.000000

Lampiran 3 Sintaks Program LINGO 11.0 Sudoku Tipe 3 dan solusinya

model:

sets: row/1..9/; col/1..9/; val/1..9/;

X(1,3,3)=1;X(1,5,5)=1;X(1,6,9)=1;X(1,8,2)=1;X(1,9,7)=1; X(3,2,5)=1;X(3,3,9)=1;X(3,5,3)=1;X(3,6,8)=1;X(3,7,4)=1; X(3,8,6)=1;X(4,1,8)=1;X(4,9,4)=1;X(5,4,6)=1;X(5,5,1)=1; X(5,6,3)=1;X(6,2,1)=1;X(6,3,7)=1;X(6,7,6)=1;X(6,8,3)=1; X(8,2,6)=1;X(8,3,2)=1;X(8,4,3)=1;X(8,6,5)=1;X(8,7,1)=1; X(8,8,7)=1;X(9,1,3)=1;X(9,4,9)=1;X(9,7,2)=1;X(9,9,8)=1;

Min=X(1,1,1);

(39)

29

(40)

(41)

31

Lampiran 4 Sintaks Program LINGO 11.0 Sudoku Tipe 4 dan solusinya

model:

sets: row/1..9/; col/1..9/; val/1..9/;

X(1,2,3)=1;X(1,3,2)=1;X(1,5,8)=1;X(1,7,7)=1;X(1,8,1)=1; X(2,1,9)=1;X(2,2,8)=1;X(2,8,2)=1;X(2,9,3)=1;X(3,5,3)=1; X(4,1,1)=1;X(4,3,5)=1;X(4,7,2)=1;X(4,9,8)=1;X(5,5,6)=1; X(6,1,6)=1;X(6,3,3)=1;X(6,7,1)=1;X(6,9,9)=1;X(7,5,2)=1; X(8,1,4)=1;X(8,2,5)=1;X(8,8,7)=1;X(8,9,2)=1;X(9,2,1)=1; X(9,3,7)=1;X(9,5,5)=1;X(9,8,8)=1;X(9,9,6)=1;

Min=X(1,1,1);

(42)

(43)

33

X( 6, 6, 8) 1.000000 0.000000 X( 6, 7, 1) 1.000000 0.000000 X( 6, 8, 4) 1.000000 0.000000 X( 6, 9, 9) 1.000000 0.000000 X( 7, 1, 3) 1.000000 0.000000 X( 7, 2, 9) 1.000000 0.000000 X( 7, 3, 6) 1.000000 0.000000 X( 7, 4, 8) 1.000000 0.000000 X( 7, 5, 2) 1.000000 0.000000 X( 7, 6, 7) 1.000000 0.000000 X( 7, 7, 4) 1.000000 0.000000 X( 7, 8, 5) 1.000000 0.000000 X( 7, 9, 1) 1.000000 0.000000 X( 8, 1, 4) 1.000000 0.000000 X( 8, 2, 5) 1.000000 0.000000 X( 8, 3, 8) 1.000000 0.000000 X( 8, 4, 1) 1.000000 0.000000 X( 8, 5, 9) 1.000000 0.000000 X( 8, 6, 6) 1.000000 0.000000 X( 8, 7, 3) 1.000000 0.000000 X( 8, 8, 7) 1.000000 0.000000 X( 8, 9, 2) 1.000000 0.000000 X( 9, 1, 2) 1.000000 0.000000 X( 9, 2, 1) 1.000000 0.000000 X( 9, 3, 7) 1.000000 0.000000 X( 9, 4, 3) 1.000000 0.000000 X( 9, 5, 5) 1.000000 0.000000 X( 9, 6, 4) 1.000000 0.000000 X( 9, 7, 9) 1.000000 0.000000 X( 9, 8, 8) 1.000000 0.000000 X( 9, 9, 6) 1.000000 0.000000

Lampiran 5 Sintaks Program LINGO 11.0 Sudoku Tipe 5 dan solusinya

model:

sets: row/1..9/; col/1..9/; val/1..9/;

X(1,1,4)=1;X(1,3,1)=1;X(1,5,8)=1;X(1,7,3)=1;X(1,9,7)=1; X(2,2,6)=1;X(2,4,7)=1;X(2,6,1)=1;X(2,8,5)=1;X(2,9,9)=1; X(3,2,3)=1;X(3,4,6)=1;X(3,6,9)=1;X(3,8,1)=1;X(3,9,4)=1; X(4,1,9)=1;X(4,2,7)=1;X(4,4,8)=1;X(4,6,6)=1;X(4,8,2)=1; X(5,1,1)=1;X(5,3,6)=1;X(5,5,2)=1;X(5,7,9)=1;X(5,9,3)=1; X(6,2,5)=1;X(6,4,1)=1;X(6,6,3)=1;X(6,7,8)=1;X(6,9,6)=1; X(7,1,6)=1;X(7,3,9)=1;X(7,5,5)=1;X(7,7,7)=1;X(7,9,8)=1; X(8,1,5)=1;X(8,2,4)=1;X(8,4,3)=1;X(8,6,8)=1;X(8,8,9)=1; X(9,2,2)=1;X(9,4,9)=1;X(9,6,7)=1;X(9,8,4)=1;X(9,9,1)=1;

MIN=X(1,1,1);

(44)

(45)

35

(46)

X( 8, 2, 4) 1.000000 0.000000 X( 8, 3, 7) 1.000000 0.000000 X( 8, 4, 3) 1.000000 0.000000 X( 8, 5, 1) 1.000000 0.000000 X( 8, 6, 8) 1.000000 0.000000 X( 8, 7, 6) 1.000000 0.000000 X( 8, 8, 9) 1.000000 0.000000 X( 8, 9, 2) 1.000000 0.000000 X( 9, 1, 3) 1.000000 0.000000 X( 9, 2, 2) 1.000000 0.000000 X( 9, 3, 8) 1.000000 0.000000 X( 9, 4, 9) 1.000000 0.000000 X( 9, 5, 6) 1.000000 0.000000 X( 9, 6, 7) 1.000000 0.000000 X( 9, 7, 5) 1.000000 0.000000 X( 9, 8, 4) 1.000000 0.000000 X( 9, 9, 1) 1.000000 0.000000

Lampiran 6 Sintaks Program LINGO 11.0 Sudoku Tipe 6 dan solusinya

model:

sets: row/1..9/; col/1..9/; val/1..9/;

X(1,2,8)=1;X(1,4,1)=1;X(1,6,9)=1;X(1,8,7)=1;X(1,9,3)=1; X(2,1,7)=1;X(2,2,6)=1;X(2,4,3)=1;X(2,6,1)=1;X(2,8,5)=1; X(3,1,5)=1;X(3,3,8)=1;X(3,5,3)=1;X(3,7,6)=1;X(3,9,1)=1; X(4,1,3)=1;X(4,3,4)=1;X(4,5,7)=1;X(4,7,9)=1;X(4,9,8)=1; X(5,2,7)=1;X(5,4,2)=1;X(5,6,8)=1;X(5,8,1)=1;X(5,9,5)=1; X(6,1,9)=1;X(6,2,3)=1;X(6,4,8)=1;X(6,6,6)=1;X(6,8,4)=1; X(7,2,5)=1;X(7,4,6)=1;X(7,5,2)=1;X(7,7,1)=1;X(7,8,9)=1; X(8,1,6)=1;X(8,3,3)=1;X(8,5,1)=1;X(8,7,5)=1;X(8,8,8)=1; X(9,2,2)=1;X(9,5,8)=1;X(9,6,5)=1;X(9,7,7)=1;X(9,9,6)=1;

MIN=X(1,1,1);

(47)

37

@FOR(val(k):(X(5,8,k)+X(6,8,k)+X(7,8,k)+X(8,7,k)+X(8,8,k)+X(8,9,k)+X(9,7,k)+X(9,8,k)+X(9, 9,k))=1); @FOR(val(k):(X(1,9,k)+X(2,8,k)+X(3,7,k)+X(4,6,k)+X(5,5,k)+X(6,4,k)+X(7,3,k)+X(8,2,k)+X(9, 1,k))=1); @FOR(val(k):(X(2,2,k)+X(2,3,k)+X(2,4,k)+X(3,2,k)+X(3,3,k)+X(3,4,k)+X(4,2,k)+X(4,3,k)+X(4, 4,k))=1); @FOR(val(k):(X(6,6,k)+X(6,7,k)+X(6,8,k