MATEMATIKA. Sesi DIAGONAL BIDANG DAN BIDANG DIAGONAL A. DIAGONAL BIDANG

(1)

1

MATEMATIKA

DIAGONAL BIDANG DAN BIDANG DIAGONAL

A. DIAGONAL BIDANG

Diagonal bidang suatu bangun ruang adalah garis pada bidang datar yang didapatkan dengan menghubungkan dua titik sudut yang tidak terletak pada rusuk yang sama. Panjang diagonal bidang suatu bangun ruang dapat dicari dengan menggunakan formula pythagoras. Sebagai contoh perhatikan bangun ruang di bawah ini:

A B C D E F G H

Garis FH dan EG adalah diagonal bidang. FH menghubungkan titik F dan H yang tidak terletak pada rusuk yang sama. EG menghubungkan titik E dan G yang tidak terletak pada rusuk yang sama.

KELA S XII IPA - KURIKULUM G AB_U N G A N

Sesi

N G A N

Sesi

23

(2)

2 CONTOH SOAL

1. Perhatikan bangun ruang di bawah ini!

A a E F H I J G D C B

Berapa banyak diagonal bidang pada prisma segilima beraturan di atas? Pembahasan:

Bidang alas memiliki 5 diagonal bidang, yaitu AC, AD, BD, BE, CE demikian pula bidang atas. Masing-masing bidang tegak prisma memiliki 2 diagonal bidang sehingga dari total 5 bidang tegak memiliki 10 diagonal bidang. Maka, total diagonal bidang prisma segilima beraturan berjumlah 20 diagonal bidang.

A B C D E F P Q R S T U

Berapa jumlah diagonal bidang pada bangun ruang di atas? Pembahasan:

• Setiap bentuk segiempat terdapat 2 diagonal bidang, maka dapat disimpulkan dari 6 sisi dari bangun di atas ada 2 × 6 = 12 diagonal bidang.

• Pada sisi segienam terdapat 8 diagonal bidang, contoh pada bidang ABCDEF: AC, AD, AE.

(3)

3

B. DIAGONAL RUANG

Diagonal ruang adalah ruas garis pada ruang yang ditarik dari dua garis sejajar yang tidak terletak pada sisi yang sama pada bangun ruang.

CONTOH SOAL

K L M P Q O R N

Diagonal ruang pada bangun di atas adalah .... Pembahasan:

Diagonal ruang pada bangun di atas adalah KQ, LR, PN, dan OM. 2. Perhatikan bangun ruang berikut!

A D

E H

F G

B C

Banyak diagonal ruang pada bangun di atas adalah .... Pembahasan:

Dari rusuk AE dan CG : AG, EC. Dari rusuk DH dan BF : DF, HB. Ada 4 diagonal ruang.

(4)

4

A B

C T

D

Banyak diagonal ruang pada gambar di atas adalah .... Pembahasan:

Tidak ada diagonal ruang pada gambar di atas.

C. PANJANG DIAGONAL BIDANG PADA BANGUN RUANG

Panjang diagonal bidang pada bangun ruang dapat dicari dengan menggunakan kaidah pythagoras, selama diagonal tersebut terletak pada bangun segitiga siku-siku.

CONTOH SOAL

A 8 cm E F H G B C D

Panjang diagonal AC pada gambar di atas adalah .... Pembahasan:

(5)

5

A D B C 8 8 AC AB BC AC AC AC 2 2 2 2 2 2 2 8 8 128 8 2 = + = + = =

Adapun diagonal bidang yang tidak terletak pada segitiga siku-siku bisa menggunakan sudut-sudut yang bisa diketahui dan penggunaan fungsi trigonometri.

CONTOH SOAL

1. Perhatikan gambar berikut!

A B 4 cm C D 10 cm E F G H I J K L

Panjang diagonal CF pada prisma segienam beraturan di atas adalah .... Pembahasan:

Segienam beraturan berarti semua sisi pada segienam itu sama panjang. Segienam beraturan tersusun dari 6 segitiga sama sisi.

(6)

6

A 4 cm O E B D C F Maka CO = FO = 4 cm sehingga CF = 8 cm. 2. Perhatikan gambar berikut!

A 5 cm E F H G B C D

Panjang diagonal AG pada bangun kubus di atas adalah .... Pembahasan: Perhatikan ∆ACG A C G 5 cm 50

Dimana AC di dapat dari AC AB BC AC AC AC 2 2 2 2 2 2 2 5 5 50 50 = + = + = =

(7)

7

maka AG AC CG AG AG AG AG 2 2 2 2 2 2 2 50 5 75 75 5 3 = + =

( )

+ = = =

D 10 cm A 8 cm B 6 cm F E H G C

Panjang diagonal AG pada gambar di atas adalah .... Pembahasan: AC2_{= AD}2_{+ DC}2 _AG _AC _CG AG AG AG AG cm 2 2 2 2 2 2 164 6 200 200 10 2 = + = + = = = AC2_{= 10}2_{+ 8}2 AC2_{= 164}

4. Perhatikan bangun ruang berikut!

P U P S T Y X R W Q

(8)

8

Prisma segilima di atas memiliki panjang PT = 12 cm, TS = 8 cm, dan UP = 10 cm. Bila PQ // TS, maka panjang diagonal PX adalah ....

Pembahasan: PS2_{= PT}2_{+ TS}2 PS2_{= 12}2_{+ 8}2 PS2_{= 208} Dimana maka PX PS SX PX PX PX cm 2 2 2 2 _{208 10}2 308 2 77 = + = + = =

5. Perhatikan aquarium berikut ini!

(Sumber : Buku pegangan siswa kurikulum 2013 kelas XII)

Pada akuarium tersebut akan ditambahi hiasan yang digantungkan pada kawat yang dipasang di dalam aquarium melintang dari ujung atas ke ujung bawah. Tentukan panjang kawat yang diperlukan!

Pembahasan: Panjang kawat

(9)

9

Diagonal ruang (dr) dr dr dr ft = + + = = 2 5 6 4 58 25 7 63 2 2 2 , , ,

A 12 cm B J D C K L E 2 cm 6 cm F 8 cm 12 cm G H I

Panjang diagonal AK pada gambar di atas adalah .... Pembahasan: A 12 cm B J D C M K L E 2 cm 6 cm F 8 cm G H I MK = CG – EL = 8 – 6 = 2 BM = BC – EH = 12 – 2 = 10

(10)

10

maka AK AB BM MK AK AK AK AK cm 2 2 2 2 2 2 2 2 2 12 10 2 248 248 2 62 = + + = + + = = =

7. Ani akan membuat kerangka suatu balok seperti gambar berikut!

K L

P N _M

Q R

O

(Sumber buku pegangan siswa kurikulum 2013 kelas XII)

Jika panjang KL = 5 cm, LM = 10 cm, dan LR=5 6cm, maka berapa panjang kawat yang dibutuhkan Ani untuk membuat kerangka balok tersebut?

Pembahasan: LR LK KN RN RN RN RN RN 2 2 2 2 2 ₂ ₂ ₂ 2 2 5 6 5 10 150 25 100 25 5 = + +

( )

= + + = + + = → =

Maka panjang kerangka balok (P) P LM LK RN P P P cm = + + = + + = = 4 4 10 5 5 4 20 80 ( ) ( ) ( )

(11)

11

D. BIDANG DIAGONAL

Bidang diagonal suatu bangun ruang adalah bidang bangun ruang yang terbentuk dari dua rusuk yang tidak terletak pada salah satu sisi bangun ruang tersebut. Luas bidang diagonal menggunakan luas bangun datar bidang diagonal tersebut.

CONTOH SOAL

1. Diketahui limas T.ABCD dengan alas berbentuk persegi seperti berikut!

A B

C D

O T

Panjang AB = 10 cm dan TO = 8 cm. Tentukan luas segitiga TBD! Pembahasan:

BD adalah diagonal sisi, BD=10 2 Maka L TBD BD TO cm . = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = 1 2 1 2 10 2 8 40 2 2

2. Perhatikan gambar prisma segienam di bawah ini!

A D J L K H F 6 cm E I G B 8 cm C

(12)

12

Tentukan luas bidang diagonal CELH! Pembahasan:

Bentuk bidang diagonal CELH persegi panjang dimana CH CB BH CH CH = + = + = 2 2 2 2 8 6 10

Mencari panjang BE perhatikan segienam beraturan ABCDEF. B 8 O F C P E D A OP OC OP OP = ° = ⋅ = sin60 8 1 2 3 4 3 Maka CE OP CE = × = 2 8 3 Sehingga Luas CELH CE CH cm = × = × = 8 3 10 80 3 2

3. Museum Louvre di Paris, Perancis, berbentuk piramida persegi. Panjang sisi alasnya 116 meter dan tinggi salah satu sisi segitiganya adalah 91,7 meter. Tentukan luas bidang diagonal dari Museum Louvre!

(13)

13

(Sumber : Buku pegangan siswa kurikulum 2013 kelas XII) Pembahasan: A P B 116 m O D T C Misal TP = 91,7 m OP BC OP OP = = ⋅ = 1 2 1 2 116 58 TO TP OP TO TO 2 2 2 2 _{91 7}2 ₅₈2 71 02 = − = − = , , AC=116 2 164 05= ,

(14)

14

Maka luas bidang diagonal TAC

L TAC AC TO m = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = 1 2 1 2 164 05 71 02 5825 4155 2 , , ,

LATIHAN SOAL

1. Banyak diagonal bidang pada bangun limas segiempat beraturan adalah …. A. 1

B. 2 C. 3 D. 4 E. 5

2. Banyak diagonal bidang pada prisma segidelapan beraturan adalah …. A. 20

B. 24 C. 26 D. 30 E. 36

Limas Segienam Beraturan

(15)

15

A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 E. 18

A 10 cm

12 cm

B T

C _D

Panjang diagonal AC adalah …. A. 10 2 cm

B. 10 3 cm C. 10 cm D. 8 cm E. 5 2 cm

Q 6 cm 6 cm 14 cm 10 cm P

Panjang PQ pada gambar di atas adalah …. A. _{210 cm}

(16)

16

C. _{206 cm}

D. _{204 cm} E. _{202 cm}

P B C G F D E 10 cm 12 cm _{6 cm} H

Panjang diagonal EC pada gambar di atas adalah …. A. 2 70 cm

B. 3 70 cm C. 4 70 cm D. 5 70 cm E. 6 70 cm

A G D J B 4 cm 8 cm H F L K E C I

(17)

17

A. 8 2 cm B. 8 3 cm C. 10 cm D. 10 2 cm E. 10 3 cm

A G D J B 6 cm 8 cm H F L K E C I

Luas bidang diagonal yang diarsir adalah .... A. 72 cm2

B. 80 cm2 C. 88 cm2 D. 96 cm2 E. 98 cm2

A B 10 cm C D E T 26 cm F

(18)

18

A. 300 cm2 B. 280 cm2 C. 260 cm2 D. 240 cm2 E. 230 cm2

14 cm

12 cm 6 cm

6 cm

10 cm

Luas bidang arsirannya adalah …. A. 300 cm2

B. 280 cm2 C. 260 cm2 D. 240 cm2 E. 230 cm2

(19)

19 KUNCI JAWABAN

LATIHAN SOAL

1. B 6. A 2. E 7. A 3. B 8. D 4. A 9. D 5. D 10. D