Bahan Ajar Bangun Ruang Sisi Datar

STRATEGI PEMBELAJARAN MATEMATIKA STRATEGI PEMBELAJARAN MATEMATIKA

Bahan Ajar Bangun Ruang Sisi Datar Untuk Kelas VIII Semester Genap Bahan Ajar Bangun Ruang Sisi Datar Untuk Kelas VIII Semester Genap Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Strategi Pembelajaran Matematika Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Strategi Pembelajaran Matematika

Dosen Pembimbing : Dra MM. Endang Susetyawati,

Dosen Pembimbing : Dra MM. Endang Susetyawati, M.Pd.M.Pd.

Disusun

Disusun Oleh Oleh :: Rina

Rina Andriyani Andriyani 1414410014141441001400 Semester tiga / III A4

Semester tiga / III A4

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA

2015 2015

DAFTAR ISI DAFTAR ISI

HALAMAN

HALAMAN SAMPUL SAMPUL ... ... ii DAFTAR

DAFTAR ISI ISI ... ... iiii Peta

Peta Konsep Konsep ... ... 11 A.

A. Kubus Kubus ... ... 33 1.

1. Pengertian Pengertian Kubus Kubus ... ... 33 2.

2. Unsur-Unsur Unsur-Unsur Kubus Kubus ... ... 33 3.

3. Sifat-Sifat Sifat-Sifat Kubus Kubus ... ... 66 B.

B. Balok Balok ... ... 77 1.

1. Pengertian Pengertian Balok Balok ... ... 77 2.

2. Unsur-Unsur Unsur-Unsur Balok Balok ... ... 77 3.

3. Sifat-Sifat Sifat-Sifat Balok Balok ... ... 1212 C.

C. Prisma Prisma ... ... 1313 1.

1. Unsur-Unsur Unsur-Unsur Prisma Prisma ... ... 1313 2.

2. Sifat-Sifat Sifat-Sifat Prisma Prisma ... ... 1515 D.

D. Limas Limas ... ... 1616 1.

1. Unsur-Unsur Unsur-Unsur Limas Limas ... ... 1717 2.

2. Sifat-Sifat Sifat-Sifat Limas Limas ... ... 1919 E.

E. AturanAturan Euler  Euler tentang tentang Hubungan Hubungan Banyak Banyak Sisi, Sisi, Rusuk, Rusuk, dan dan Titik Titik Sudut.. Sudut.. 1919 DAFTAR PUSTAKA

PETA KONSEP Bangun Ruang Sisi Datar Kubus Balok Prisma Prisma Limas Limas Aturan Euler  Menemukan Aturan Euler 

Hubungan Jumlah Sisi, Rusuk, dan Tituk Sudut

Bentuk Kubus dan Balok

Pengertian Kubus dan Balok

Unsur-Unsur Kubus dan Balok

Sifat-Sifat Kubus dan Balok

Bentuk Prisma dan Limas

Pengertian Prisma dan Limas

Unsur-Unsur Prisma dan Limas

Sifat-Sifat Prisma dan Limas

BAHAN AJAR BANGUN RUANG SISI DATAR (KUBUS, BALOK, PRISMA, DAN LIMAS)

Sebuah boneka Danboard dibuat dari kertas karton board. Boneka ini adalah kreasi dari Azuma Kiyohiko seorang komikus serial manga Yotsuba.  Bentuk boneka ini sangat unik, yaitu action figure dengan penampilan seperti

manusia dengan ukuran mini 7 cm dan 13 cm.

Siapa pun pasti akan merasa gemas ketika melihat si boneka ini.  Bagaimana tidak, boneka ini dapat digerakkan secara manual serta dibentuk dengan berbagai macam gaya unik. Perusahaan yang membuatnya menggunakan teknologi tinggi di setiap persendian boneka ini sehingga membuatnya mampu bergerak secara luwes.

 Pertanyaanya yang sering muncul sekarang adalah: “Bagaimanakah cara membuat boneka dari kertas karton secara manual dan bagaimana membentuk boneka dari kertas karton den gan bentuk yang sama?”

Tentunya untuk menjawab pertanyaan tersebut kita harus tahu terlebih dulu tentang materi bangun ruang sisi datar, karena di setiap sisi bagian tertentu luasnya harus ada yang sama. Bangun ruang sisi datar diantaranya adalah kubus, balok, prisma dan limas.

A. KUBUS

Pernahkah kamu melihat dadu? Pernahkah kamu bermain dengan dadu? Berbentuk apakah dadu itu? Dadu merupakan salah satu alat permainan yang didalamnya terdapat noktah yang menggambarkan sebuah nilai. Dadu berbentuk kubus. Lalu apa yang dimaksud dengan kubus?

1. Pengertian Kubus

Perhatikan Gambar 2 secara saksama. Gambar tersebut menunjukkan sebuah bangun ruang yang semua sisinya berbentuk persegi dan semua rusuknya sama panjang. Bangun ruang

seperti itu dinamakan kubus. Gambar 2 tersebut menunjukkan sebuah kubus

ABCD.EFGH

. Jadi dapat dikatakan bahwa kubus adalah bangun yang memiliki 6 sisi  berbentuk persegi yang kongruen.

2. Unsur-Unsur Kubus a. Bidang atau sisi

Bidang adalah daerah yang membatasi bagian luar dengan  bagian dalam dari suatu bangun ruang. Perhatikan gambar 3 di bawah.

Gambar 1

Gambar 2

Kubus pada gambar diberi nama kubus

ABCD.EFGH

. Bidang- pada kubus

ABCD.EFGH

  adalah bidang

ABCD

  sebagai alas, bidang

EFGH

 bidang atas/tutup, bidang

ADHE

sebagai bidang kiri, bidang

BCGF

sebagai bidang kanan, bidang

ABFE

sebagai bidang depan, dan  bidang

DCGH

  sebagai bidang belakang. Ingat, kubus adalah bangun ruang yang sisi-sisinya beraturan dan sama. Jadi dapat disimpulkan  bahwa kubus mempunyai 6 bidang yang semuanya berbentuk persegi.  b. Rusuk

Rusuk kubus adalah garis potong antara dua sisi bidang kubus dan terlihat seperti kerangka yang menyusun kubus. Rusuk kubus

ABCD.EFGH

  yaitu

AB,BC,CD, DA, EF, FG, GH,HE, AE,BF,CG,

 dan

DH.

c. Titik Sudut

Titik sudut kubus adalah titik potong antara dua rusuk. Kubus

ABCD.EFGH

 memiliki 8 titik sudut, yaitu titik

A,B,C,D,E,F,G,

 dan

H

. d. Diagonal Bidang

Jika titik

E

dan titik

G

dihubungkan, maka akan diperoleh garis

EG

. Begitupun jika titik

A

dan titik

H

dihubungkan, akan diperoleh garis

AH

. Garis seperti

EG

dan

AH

inilah yang dinamakan diagonal bidang. Dalam kubus, akan ditemukan 24 buah diagonal bidang.

Pada gambar diatas, garis

AF

merupakan diagonal bidang dari kubus

ABCD.EFGH.

 Garis

AF

terletak pada bidang

ABFE

dan membagi  bidang tersebut menjadi dua buah segitiga siku-siku yaitu segitiga

ABE

dengan siku-siku di

 B

, dan segitiga

AEF

dengan siku-siku di

E

. Perhatikan segitiga

ABE

  pada gambar dengan

AF

sebagai diagonal  bidang. Berdasarkan teorema Pythagoras, maka

AF



= AB



+ BF



Misalkan panjang sisi kubus/rusuk adalah



, maka:

AF



_{= AB}



_{+ BF}



AF



_{= }



_{+ }



AF



_{= 2}



AF =  2



AF = √ 2

Semua bidang kubus berbentuk persegi, maka panjang diagonal  bidang dari setiap bidang pada kubus nilainya sama. Sehingga jika



 panjang rusuk sebuah kubus, Panjang diagonal bidang kubus

√ 2.

e. Diagonal Ruang

Perhatikan gambar 6! Jika titik

E

dan titik

C

dihubungkan kita akan memperoleh garis

EC

, Garis

EC

inilah yang dinamakan dengan diagonal ruang. Pada bidang

ABCD

, terdapat diagonal  bidang

BD

  dengan panjang diagonal

 bidang adalah

√ 2.

Dengan teorema phytagoras, dapat ditentukan pula  panjang diagonal ruang. Misalkan yang akan dicari adalah diagonal

ruang

BH

. Panjang rusuk adalah



dan bidang diagonal adalah

√ 2.

Panjang diagonal ruang

BH

 adalah:

BH



_{= DB}



_{+ DH}



BH



_{= √ 2}



_{+ }



BH



_{= 2}



_{+ }



BH



_{= 3}



BH =  3



_{= √ 3}

Karena semua bidang dalam kubus berbentuk persegi, maka  panjang diagonal ruang setiap bidang kubus nilainya sama. Sehingga apabila



merupakan panjang rusuk kubus, dengan

√ 2

  panjang diagonal bidang, maka panjang bidang diagonal kubus

√ 3.

f. Bidang diagonal

Perhatikan kubus

ABCD.EFGH

dibawah ini! Pada gambar tersebut, terlihat dua buah diagonal bidang pada kubus

ABCD.EFGH

yaitu

AC

dan

EG

. Diagonal bidang

AC

dan

EG

 beserta dua rusuk kubus yang sejajar, yaitu

AE

dan

CG

membentuk suatu bidang di dalam ruang kubus bidang

ACGE

  pada kubus

ABCD

. Bidang

ACGE

disebut sebagai  bidang diagonal. Bidang diagonal adalah daerah yang dibatasi oleh dua  buah diagonal bidang dan dua buah rusuk yang saling berhadapan, dan

sejajar yang membagi bangun ruang kubus menjadi dua bagian.

Bidang diagonal

ACGE

 berbentuk persegi, dengan panjang

AC =

√ 2

 (sebagai diagonal bidang) dan

AE = 

. Sehingga diperoleh:

L

_

 = AC × AE

= √ 2 × 

= √ 2

3. Sifat-Sifat Kubus

a. Kubus memiliki 6 sisi (bidang) berbentuk persegi yang saling

kongruen. Sisi (bidang) tersebut adalah

 bidang

 ABCD,ABFE,BCGF,CDHG,ADHE

, dan

EFGH

.

 b. Kubus memiliki 12 buah rusuk yang sama panjang, yaitu

AB,BF,FE,AE,BC,AD,DC,HG,CG,DH,FG

  dan

EH

. Rusuk-rusuk

AB,BC,CD,

 dan

AD

 disebut rusuk alas, sedangkan rusuk

AE,BF,CG,

 dan

DH

  disebut rusuk tegak. Rusuk-rusuk yang sejajar di antaranya

AB//DC//EF//HG,AD//BC//EH//FG,

  dan

AE//BF//CG//DH

. Gambar 7

Rusuk-rusuk yang saling berpotongan di antaranya

AB

 dengan

AE

,

BC

dengan

CG

, dan

EH

 dengan

HD

. Rusuk-rusuk yang saling bersilangan di antaranya

AB

 dengan

CG

,

AD

 dengan BF, dan BC dengan DH.

c. Memiliki 8 titik sudut, yaitu

A,B,C,D,E,F,G,

 dan

H

.

d. Memiliki 12 diagonal bidang yang sama panjang, di antaranya adalah

AC,BD,AF,BE,BG,CF,AH,DE,DG,CH,EG,

 dan

FH

.

e. Memiliki 4 diagonal ruang yang sama panjang dan berpotongan di satu titik, yaitu

AG,BH,CE,

 dan

DF

.

f. Memiliki 6 bidang diagonal persegi panjang yang saling kongruen, di antaranya bidang

ACGE,BGHA,AFGD,BEHC,ABGH,

 dan

DCGH

.

B. BALOK

Banyak sekali benda-benda di sekitarmu yang memiliki bentuk seperti  balok. Misalnya, kotak korek api, dus air mineral, dus mie instan, batu bata, dan

lain-lain. Mengapa benda-benda tersebut dikatakan berbentuk balok? Lalu, apakah perbedaan antara kubus dan balok? Untuk menjawabnya, cobalah  perhatikan dan pelajari uraian berikut.

1. Pengertian Balok

Gambar di samping

menunjukkan bangun ruang yang memiliki tiga pasang sisi berhadapan

yang memiliki bentuk dan ukuran yang sama, dimana setiap sisinya  berbentuk persegi panjang. Bangun ruang seperti itu dinamakan balok. 2. Unsur-Unsur Balok

a. Bidang

Bidang adalah daerah yang membatasi bagian luar dengan  bagian dalam dari balok. Bidang-bidang pada balok

ABCD. EFGH

adalah bidang

ABCD

  sebagai alas, bidang

EFGH

sebagai bidang atas/tutup, bidang

ADHE

sebagai bidang kiri, bidang

BCGF

  sebagai

Gambar 9

 bidang kanan, bidang

ABFE

sebagai bidang depan, dan bidang

DCGH

sebagai bidang belakang.

 b. Rusuk

Pada gambar 12 tersebut ditunjukkan bahwa

CG

  merupakan rusuk. Rusuk balok adalah garis potong antara dua sisi/bidang balok dan terlihat seperti kerangka yang menyusun balok. Coba perhatikan  pada gambar balok

ABCD. EFGH

  memiliki 12 buah rusuk,

yaitu

AB, BC,CD,DA,EF,FG, GH,HE, AE,BF,CG,

 dan

DH.

c. Titik Sudut

Perhatikan kembali gambar 12 di atas! Pada gambar tersebut ditunjukkan bahwa titik

A

  merupakan titik sudut balok. Titik sudut  balok adalah titik potong antara dua rusuk. Dari gambar di atas, terlihat  balok

ABCD.EFGH

  memiliki 8 buah titik sudut, yaitu titik

A,B,C,D,E,F,G,

 dan

H

. d. Diagonal Bidang

Diagonal bidang adalah garis yang menghubungkan dua buah titik sudut yang saling berhadapan dalam satu bidang. Dari gambar, dapat diketahui bahwa panjang balok adalah

AB,DC,EF,

dan

HG;

 lebar  balok adalah

AD,BC,EH,

dan

FG;

  dan tinggi balok adalah

AE,BF,CG,

dan

DH.

Jika gambar tersebut digambar secara terpisah, maka akan menjadi sebuah persegi panjang seperti gambar dibawah ini.

Dari gambar diatas, dapat diperoleh: 1. Gambar pertama:

Garis

AF

merupakan diagonal bidang dari balok

ABCD.EFGH.

  Garis

AB

terletak pada bidang

ABFE

dan membagi  bidang tersebut menjadi dua buah segitiga siku-siku yaitu segitiga

EAB

dengan siku-siku di

 A

, dan segitiga

BFE

dengan siku-siku di

F

. Perhatikan segitiga

EAB

  pada gambar dengan

BE

sebagai diagonal  bidang. Panjang rusuk balok adalah



 tinggi



 maka diperoleh:

BE



_{= AB}



_{+ AE}



BE



_{= }



_{+ }



BE =  



_{+ }



Pada balok, sisi yang saling berhadapan memiliki ukuran yang sama, sehingga diperoleh diagonal bidang

AF = BE = CH =

DG = 



_{+ }

_. 2. Gambar ke dua:

Garis

BG

merupakan diagonal bidang dari balok

ABCD.EFGH.

  Garis

BG

terletak pada bidang

BCGE

dan membagi  bidang tersebut menjadi dua buah segitiga siku-siku yaitu segitiga

BCG

dengan siku-siku di

 C

, dan segitiga

BFG

dengan siku-siku di

F

. Perhatikan segitiga

BCG

  pada gambar dengan

BG

sebagai diagonal  bidang. Berdasarkan teorema Pythagoras, maka

BG



= BC



+ CG



Lebar sisi/rusuk balok adalah



 dengan tinggi



 maka diperoleh:

BG



_{= BC}



_{+ CG}



BG



_{=  + }



BG =  



_{+ }



Pada balok, sisi yang saling berhadapan memiliki ukuran yang sama, sehingga diperoleh diagonal bidang

BG = CF = AH =

DE = √ 



_{+ }

_. 3. Gambar ke tiga:

Garis

EG

merupakan diagonal bidang dari balok

ABCD.EFGH.

  Garis

BG

terletak pada bidang

EFGH

dan membagi  bidang tersebut menjadi dua buah segitiga siku-siku yaitu segitiga

EFG

dengan siku-siku di

 F

, dan segitiga

EHG

dengan siku-siku di

H

. Perhatikan segitiga

EFG

  pada gambar dengan

EG

sebagai diagonal  bidang. Berdasarkan teorema Pythagoras, maka

EG



= EF



+ FG



Panjang sisi/rusuk balok adalah



 dengan lebar



 maka diperoleh:

EG



_{= EF}



_{+ FG}



EG



_{= }



_{+ }



EG =   + 



Pada balok, sisi yang saling berhadapan memiliki ukuran yang sama, sehingga diperoleh diagonal bidang

EG = FH = AC =

BD = 



_{+ }



_.

e. Diagonal Ruang

Pada gambar dibawah ini, jika titik

E

dan titik

C

dihubungkan kita akan memperoleh garis

EC

, begitu juga jika titik

H

dan titik

B

kita hubungkan akan diperoleh garis

HB

. Garis seperti

EC

dan

HB

inilah yang dinamakan dengan diagonal ruang. Jadi, diagonal ruang pada  balok adalah garis yang menghubungkan dua buah titik sudut yang

Pada bidang

ABCD

, terdapat diagonal bidang

AC

  dengan  panjang diagonal bidang adalah





+ 



.

Misalkan yang akan dicari adalah diagonal ruang

EC

. Bidang diagonal

AC

 adalah





+ 



.

Panjang diagonal ruang

EC

 adalah:

EC



_{= AC}



_{+ AE}



EC



_{= }



_{+ }



_{+ }



EC =  



_{+ }



_{+ }



Diagonal bidang pada balok tidak sama panjang, akan tetapi, diagonal ruang pada balok sama panjang. Sehingga dapat disimpulkan  bahwa panjang diagonal ruang pada balok adalah





+ 



+ 



.

f. Bidang Diagonal

Pada kubus

ABCD.EFGH

terdapat dua buah diagonal bidang yaitu

DB

dan

HF

. Diagonal bidang

DB

dan

HF

 beserta dua rusuk balok yang sejajar, yaitu

DH

dan

BF

membentuk suatu bidang di dalam ruang  pada balok

ABCD.EFGH

. Bidang

DBFH

disebut sebagai bidang diagonal. Bidang diagonal adalah daerah yang dibatasi oleh dua buah diagonal bidang dan dua buah rusuk yang saling berhadapan, dan sejajar yang membagi bangun ruang menjadi dua bagian.

Bidang

DBFH

 berbentuk persegi panjang, dengan panjang

DB =





_{+ }

_{ (sebagai diagonal ruang) dan}

_{DH = }

_{. Sehingga:}

L

_

 = DB × DH

=  



_{+ }



_{× }

=  



_{+ }



3. Sifat-Sifat Balok

a. Memiliki 6 sisi (bidang) berbentuk persegi panjang yang tiap pasangnya kongruen. Balok memiliki 3 pasang bidang persegi panjang yang kongruen, yaitu

ABFE = DCGH, ADHE = BCGF, dan ABCD = EFGH.

 b. Memiliki 12 rusuk, dengan kelompok rusuk yang sama panjang.

Rusuk

AB = DC = EF = HG.

Rusuk

AE = DH = BF = CG.

Rusuk

AD = BC = EH = FG.

c. Memiliki 8 titik sudut, yaitu titik

A,B,C,D,E,F,G,

 dan

H.

d. Memiliki 12 diagonal bidang, di antaranya

AC,BD,BG,

 dan

CF

.

e. Memiliki 4 diagonal ruang yang sama panjang dan berpotongan di satu titik, yaitu

AG,BH,CE,

 dan

DF

.

f. Memiliki 6 bidang diagonal persegi panjang dan tiap pasangannya saling kongruen, di antaranya bidang

ACGE,BGHA,AFGD,

 dan

BEHC

.

C. PRISMA

Perhatikan gambar bangunan di bawah ini! Pernahkah kalian menjumpai bagian atap gubuk dan tenda perkemahan seperti gambar berikut? Dimanakah kalian dapat menjumpainya?

Pada bagian atas gubuk dan tenda dapat digambarkan sebagai berikut.

Pada gambar tersebut terlihat bahwa,  bangun dibatasi oleh dua sisi berbentuk segitiga yang kongruen dan sejajar, serta tiga sisinya berbentuk persegi panjang. Gambar 19

Dalam matematika gambar itu merupakan prisma. Jadi prisma adalah bangun ruang yang mempunyai bidang alas dan bidang atas yang sejajar dan kongruen, Sisi lainnya berupa sisi tegak jajargenjang atau persegi panjang yang tegak lurus atau tidak tegak lurus bidang alas dan bidang atasnya.

Bagan 1

Jika alasnya berupa segi n beraturan maka disebut prisma segi n beraturan. 1. Unsur-Unsur Prisma

a. Tinggi Prisma

Setiap bangun ruang pasti memiliki tinggi atau kedalaman. Tinggi  prisma adalah jarak antara bidang alas dengan bidang atas.

 b. Sisi/Bidang

Sisi/bidang pada prisma menyesuaikan jenis dari prisma itu sendiri. Misalnya kita ambil prisma segi enam sebagai contoh. Maka akan terdapat 8 sisi atau bidang yang dimiliki oleh prisma segienam, yaitu

ABCDEF

  (sisi alas),

GHIJKL

  (sisi atas),

BCIH

  (sisi depan),

FEKL

(sisi belakang),

ABHG

 (sisi depan kanan),

AFLG

 (sisi belakang kanan),

CDJI

  (sisi depan kiri), dan

DEKJ

  (sisi belakang kiri). Hal itu berlaku PRISMA Berdasarkan rusuk tegaknya Prisma Tegak  Prisma miring (condong) Berdasarkan  bentuk alasnya Prisma Segitiga Prisma Segi empat Prisma Segi lima Dan seterusnya

untuk prisma lainnya, dengan kata lain bahwa jumlah sisi/bidang pada  prisma adalah:

Jumlah sisi prisma segi

 =

 jenis prisma segi

 +

sisi alas

+

sisi atas. c. Rusuk

Sebagai salah satu contoh dari prisma, kita ambil prisma segi enam

ABCDEF. GHIJKL

. Prisma tersebut memiliki 18 rusuk yaitu

AB,BC,CD,DE,EF,FA,GH,HI,IJ,JK,KL,LG, AG, BH, CI, DJ, EK, dan FL.

d. Titik Sudut

Prisma segienam

ABCDEF.GHIJKL

 memiliki 12 titik sudut yaitu

A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,

 dan

L

. e. Diagonal Bidang

Perhatikan Gambar 35 di samping. Gambar tersebut menunjukkan bangun prisma segi lima beraturan. Prisma segi lima  beraturan memiliki bidang alas, bidang atas,

dan bidang sisi tegak. Diagonal bidang alas  prisma segi lima

ABCDE.FGHIJ

, pada

gambar di samping antara lain

AC, AD,

  dan

BD

. Diagonal bidang atasnya adalah

FH, FI,

 dan

GI

. Sedangkan diagonal sisi yang melingkari

 prisma segi lima adalah

AG,

BF,CG,HB,CI,DH,DJ,EI,EF

 dan

AJ

.

Coba kamu perhatikan prisma segienam

ABCDEF.GHIJKL

pada Gambar di samping. Dari gambar tersebut terlihat ruas garis

BG

 yang terletak di sisi depan kanan (sisi tegak) ditarik dari dua titik sudut yang saling berhadapan

sehingga ruas garis

BG

  yang disebut sebagai diagonal bidang pada  bidang prisma segienam

ABCDEF.GHIJKL.

  Begitu pula dengan ruas garis

CJ

  pada bidang

CDIJ.

  Ruas garis tersebut merupakan diagonal

Gambar 26

 bidang pada prisma segienam

ABCDEF.GHIJKL

. Banyak diagonal  bidang alas prisma segi

 =

 (−)_ .

Dengan



adalah banyak sisi suatu segi banyak. f. Diagonal Ruang

Diagonal ruang adalah garis yang menghubungkan titik sudut  pada alas dengan titik sudut pada bidang atas yang tidak terletak pada sisi tegak yang sama. Banyak diagonal ruang prisma segi

 = ( 

3).

Dengan



adalah banyak sisi suatu segi banyak. g. Bidang Diagonal

Bidang diagonal adalah bidang yang memuat diagonal bidang alas dan diagonal  bidang atas serta keduanya sejajar. Pada  prisma segienam tersebut, terdapat dua buah diagonal bidang yang sejajar yaitu

BI

  dan

FK

. Kedua diagonal bidang tersebut beserta

rusuk

KI

  dan

FB

  membentuk suatu bidang di dalam prisma segienam

ABCDEF.GHIJKL.

 Bidang tersebut adalah bidang

BFKI

 yang merupakan  bidang diagonal prisma segienam.

Pada prisma segilima, terdapat dua buah diagonal bidang yang sejajar yaitu

AC

 dan

FH

. Kedua diagonal bidang tersebut beserta rusuk

FA

  dan

CH

  membentuk suatu bidang di dalam prisma segilima

ABCDE.FGHIJ.

  Bidang tersebut adalah bidang

ACHF

  yang merupakan  bidang diagonal pada prisma segilima

ABCDE

.FGHIJ.

Banyak bidang diagonal prisma prisma segi

 =

 (−)  2. Sifat-Sifat Prisma

Untuk mengetahui sifat-sifat prisma, kita ambil prisma segitiga sebagai representasi prisma yang ada. Secara umum, sifat-sifat prisma :

a. Prisma memiliki bentuk alas dan atap yang kongruen. Pada gambar  prisma

ABCDEF

  di atas, terlihat bahwa segitiga

ABC

  dan

DEF

memiliki ukuran dan bentuk yang sama.

 b. Setiap sisi bagian samping prisma  berbentuk persegi panjang. Prisma segitiga pada prisma

ABCDEF

dibatasi oleh tiga persegipanjang di setiap sisi sampingnya, yaitu

ABED,BCFE,

 dan

ACFD

.

c. Prisma memiliki rusuk tegak. Perhatikan prisma segitiga pada prisma

ABCDEF

. Prisma tersebut memiliki tiga buah rusuk tegak, yaitu

AD,BE,

dan

CF

. Rusuk tersebut dikatakan tegak karena letaknya tegak lurus terhadap bidang alas dan atas.

d. _{Setiap diagonal bidang pada sisi yang sama memiliki ukuran yang}

sama. Prisma segitiga

ABCDEF

 pada gambar di atas, diagonal bidang  pada sisi

ABED

  memiliki ukuran yang sama panjang. Perhatikan  bahwa

AE = BD,BF = CE,

 dan

AF = CD.

D. LIMAS

Limas adalah bangun ruang yang alasnya berbentuk segi banyak (segitiga, segi empat, atau segi lima) dan bidang sisi tegaknya berbentuk segitiga yang berpotongan pada satu titik. Titik potong dari sisi-sisi tegak limas disebut titik puncak limas. Seperti halnya prisma, pada limas juga diberi nama berdasarkan bentuk bidang alasnya. Berdasarkan bentuk alas dan sisi-sisi tegaknya limas dapat dibedakan menjadi limas segi n beraturan dan limas segi n sebarang. Sekarang perhatikan Gambar 43 berikut.

Gambar di atas menunjukkan (a) limas segitiga beraturan, (b) limas segiempat, (c) limas segilima, (e) limas segitiga sebarang).

Gambar 30

1. Unsur-Unsur Limas

Unsur-unsur limas antara lain adalah: a. Tinggi limas

Sebuah limas pasti mempunyai puncak dan tinggi. Tinggi limas adalah jarak terpendek dari puncak limas ke sisi alas.

Sedangkan tinggi limas tegak lurus dengan titik potong sumbu simetri  bidang alas. Pada limas

T.ABCD TO

 merupakan tinggi limas.

 b. Sisi/Bidang

Setiap limas memiliki sisi samping yang berbentuk segitiga. Pada limas segiempat

T.ABCD,

  sisi-sisi yang terbentuk adalah sisi

ABCD

(sisi alas),

ABT

(sisi depan),

CDT

(sisi belakang),

BCT

(sisi samping kiri), dan

ADT

(sisi samping kanan). Pada limas segitiga

T.ABC

  diketahui bahwa sisi-sisi yang terbentuk adalah sisi

ABC

(sisi alas),

ABT

(sisi samping kiri),

BCT

(sisi samping kanan), dan

ACT

(sisi samping kanan). Dan selanjutnya.

c. Rusuk

Untuk mengetahui rusuk yang terbentuk  pada limas, akan dicontohkan beberapa macam limas. Perhatikan limas segiempat

T.ABCD

 pada Gambar 36 di bawah. Limas tersebut memiliki 4 rusuk alas dan 4 rusuk tegak. Rusuk alasnya adalah

AB,BC,CD,

dan

DA.

Adapun rusuk tegaknya adalah

AT,BT,CT,

  dan

DT.

  Rusuk-rusuk alas sama panjang, karena alasnya berbentuk segiempat beraturan. Sedangkan limas segi lima

T.ABCDE

memiliki 5 rusuk alas dan 5 rusuk tegak. Rusuk alasnya adalah

AB,BC,CD,DE

dan

EA

  serta rusuk tegaknya adalah

AT,BT,CT,

 DT dan

ET.

Pada limas segi



  beraturan, Jika rusuk-rusuk pada bidang alasnya diperbanyak secara terus-menerus akan diperoleh bentuk yang mendekati kerucut. Oleh karena itu, kerucut dapat dipandang sebagai

Gambar 34

limas. Kerucut memiliki bidang alas berupa lingkaran dan bidang sisi tegaknya berupa bidang lengkung yang disebut selimut kerucut.

d. Titik Sudut

Jumlah titik sudut suatu limas sangat bergantung pada bentuk alasnya. Perhatikan gambar limas dibawah ini !

Pada gambar diatas, diketahui bahwa Limas segitiga

T.ABC

memiliki 4 titik sudut yaitu

A,B,C

  dan

T

. Limas segiempat

 T. ABCD

memiliki 5 titik sudut yaitu

A,B,C,D

  dan

T.

  limas segilima

T.ABCDE

memiliki 6 titik sudut yaitu

A,B,C,D,E

  dan

T

  dan limas segienam

T.ABCDEF

 memiliki 7 titik sudut

 A, B, C, D, E, F

 dan

T

. e. Diagonal bidang

Limas

T.ABCD

  dengan alas berbentuk segi empat beraturan. Diagonal bidang alasnya adalah

AC

 dan

BD

. Limas segilima

T.ABCDE

dengan alas berbentuk segi lima beraturan. Diagonal bidang alasnya adalah

AC,AD,BD,BE,

 dan

CE

. Banyaknya diagonal bidang pada limas menyesuaikan dengan bentuk dari alas limas itu sendiri.

f. Bidang diagonal

Limas

T.ABCDE

  dengan alas berbentuk segi lima beraturan. Pada limas segi lima

 T.ABCDE

  memiliki bidang diagonalnya adalah

TAC,TAD,TBD,TBE,

dan

TCE

.

Limas

T.ABCD

  dengan alas berbentuk segi empat beraturan. Diagonal bidang alasnya

adalah

AC

  dan

BD

. Sedangkan bidang diagonalnya adalah

TAC

  dan

TBD.

 Apakah pada limas tersebut terdapat diagonal ruang? Banyaknya Gambar 39

 bidang diagonal menyesuaikan dengan banyaknya diagonal bidang pada limas.

2. Sifat-Sifat Limas

Untuk bentuk limas tertentu, misalnya limas segitiga atau limas segiempat, ada beberapa sifat yang perlu diketahui. Gambar 41 menunjukkan sebuah limas segitiga

D.ABC.

  Pada limas segitiga

D.ABC

semua sisi limas tersebut berbentuk segitiga,

yaitu sisi

ABC,ABD,BCD,

  dan

ACD.

Jika limas segitiga memiliki semua sisi yang berbentuk segitiga samasisi, maka limas disebut limas segitiga  beraturan.

Limas segiempat

D.ABCD

  memiliki alas berbentuk persegi  panjang. Sesuai dengan sifatnya, setiap diagonal persegipanjang memiliki ukuran yang sama panjang. Jadi, limas segiempat memiliki diagonal alas yang sama panjang. panjang diagonal alas

AC

dan

BD

memiliki ukuran yang sama panjang.

E. HUBUNGAN ANTARA BANYAK SISI, BANYAK RUSUK DAN BANYAK TITIK SUDUT

Terdapat hubungan antara banyak sisi, banyak rusuk, dan banyak titik sudut pada bangun ruang di atas seperti berikut ini?

S + T = R + 2

Dengan:

S =

 banyak sisi

T =

 banyak titik sudut

R =

 banyak rusuk

Rumus di atas dikenal dengan teorema Euler .

DAFTAR PUSTAKA

---.  MATEMATIKA Kurikulum 2013 SMP/MTs Kelas VIII Semester 2. 2014. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.

Agus, Avianti Nuniek. 2008.  Mudah Belajar MATEMATIKA untuk Kelas VIII Sekolah Menengah Pertama. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

J. Dris dan Tasari. 2011. MATEMATIKA Untuk SMP dan MTs Kelas VIII . Jakarta: Pusat Kurikulum dan Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Marsigit, dkk. 2011.  MATEMATIKA Untuk SMP/MTs Kelas VIII.  Jakarta: Pusat Kurikulum dan Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

 Nugroho, Heru dan Lisda Meisaroh. 2009.  MATEMATIKA SMP dan MTs Kelas VIII . Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

 Nuharini, Dewi dan Tri Wahyuni. 2008.  MATEMATIKA KONSEP DAN  APLIKASINYA Untuk Kelas VIII SMP dan MTs.  Jakarta: Pusat Perbukuan