PERBANDINGAN KEKONVERGENAN BEBERAPA MODEL BINOMIAL UNTUK PENENTUAN HARGA OPSI EROPA PONCO BUDI SUSILO

PERBANDINGAN KEKONVERGENAN

BEBERAPA MODEL BINOMIAL

UNTUK PENENTUAN HARGA OPSI EROPA

PONCO BUDI SUSILO

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2008

SUMBER INFORMASI

Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul “Perbandingan Beberapa Model Binomial untuk Penentuan Harga Opsi Eropa” adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan oleh penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam daftar pustaka di bagian akhir tesis ini.

Bogor, 27 Agustus 2008

Ponco Budi Susilo NIM G55106011

ABSTRACT

PONCO BUDI SUSILO. Comparison of the Convergence of Some Binomial

Models for European Option Valuation. Under direction of I GUSTI PUTU

PURNABA and DONNY CITRA LESMANA.

Binomial models, which describe the asset price dynamics of the continuous time model in the limit, serve for approximate valuation of option, especially where formula cannot be derived analytically due to properties of the considered option type. To evaluate results, one inevitably must understand the convergence properties. The objectives of this thesis are: to explore convergence behaviour and speed of binomial models for determining European call option valuation, and to compare several binomial models with respect to speed and accuracy. The binomial models under consideration are CRR, JR, Tian, PP1, and PP2. The results show that the computed option price of CRR, JR, and Tian models oscillate and wavily converge to the Black-Scholes solution with order of convergence one, whereas option price of PP1 and PP2 models also oscillate but non wavily converge with order two.

Keywords: binomial models, option valuation, order of convergence, convergence

RINGKASAN

PONCO BUDI SUSILO. Perbandingan Kekonvergenan Beberapa Model Binomial untuk Penentuan Harga Opsi Eropa. Dibimbing oleh I GUSTU PUTU PURNABA dan DONNY CITRA LESMANA.

Kontrak opsi (selanjutnya disebut opsi) adalah suatu jenis kontrak antara dua pihak, satu pihak memberi hak kepada pihak lain untuk menjual atau membeli aset tertentu pada harga dan periode waktu tertentu. Terdapat dua jenis opsi yang paling mendasar, yaitu opsi call dan opsi put. Berdasarkan waktu eksekusi maka terdapat dua tipe opsi, yaitu opsi Eropa dan opsi Amerika.

Untuk menentukan besarnya premi opsi maka dirumuskan dua cara yaitu dengan solusi analitik dan solusi numerik. Solusi analitik telah ditemukan oleh Black-Scholes pada tahun 1973. Metode numerik yang sering digunakan adalah metode beda hingga dan metode binomial dan trinomial.

Beberapa model binomial hanya mendasarkan pada perbedaan faktor naik dan turun dari perkembangan harga saham. Metode binomial terutama digunakan untuk penentuan nilai opsi yang tidak dapat diturunkan secara analitik. Di antara model-model binomial tersebut adalah model-model CRR, JR, Tian, PP1, dan PP2. Model ini konvergen ke solusi Black-Scholes. Untuk melihat kevalidan masing-masing model perlu diketahui sifat-sifat kekonvergenannya, maka perlu melihat pendekatan numeriknya.

Tujuan penelitian ini adalah mengeksplorasi perilaku dan kecepatan kekonvergenan dari model-model binomial dan membandingkan akurasi beberapa model binomial untuk menentukan harga opsi Eropa.

Metode penelitian yang digunakan adalah kajian literatur dan eksplorasi penghitungan numerik dengan langkah-langkah sebagai berikut: pertama merumuskan metode penentuan solusi analitik dengan formula Black-Scholes, dan menentukan penurunan rumus pada metode binomial.

Langkah yang kedua adalah menguji sifat-sifat kekonvergenan model binomial, yang meliputi perilaku dan kecepatan kekonvergenan dengan definisi-definisi dan teorema yang ada. Selanjutnya menentukan perbaikan kekonvergenan model binomial dengan mempertimbangkan sifat-sifatnya. Penghitungan numerik dilakukan untuk menampilkan gambar-gambar perkembangan harga opsi serta nilai

error sesuai dengan perbaikan n pada banyaknya periode binomial. Penghitungan

besarnya harga opsi dengan n yang berbeda dilakukan untuk melihat error-relatif masing-masing model. Langkah akhir, dengan menggunakan RMS ( relative

root-mean-squared error ), akurasi dari tiap model binomial akan dibandingkan.

Hasil penelitian menunjukkan bahwa model CRR, JR, dan Tian konvergen ke solusi Black-Scholes dengan pola osilasi dan bergelombang, dengan derajat kekonvergenan satu. Sedangkan model PP1 dan PP2, pola kekonvergenannya adalah osilasi dan tidak bergelombang dengan derajat kekonvergenan dua. Dengan menggunakan RMS terlihat bahwa akurasi terbaik diperoleh model PP2 dan PP1. Sedangkan model CRR, JR, dan Tian tidak terdapat urutan yang konsisten.

Kata kunci: Model binomial, penentuan harga opsi, perilaku dan kecepatan kekonvergenan, akurasi model..

© Hak Cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2008 Hak Cipta dilindungi Undang-undang

1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber

a Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau

tinjauan suatu masalah.

b Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut Pertanian Bogor.

2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk apapun tanpa izin Institut Pertanian Bogor.

PERBANDINGAN KEKONVERGENAN

BEBERAPA MODEL BINOMIAL

UNTUK PENENTUAN HARGA OPSI EROPA

PONCO BUDI SUSILO

Tesis

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Magister Sains pada

Departemen Matematika

SEKOLAH PASCASARJANA

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2008

Judul Tesis : Perbandingan Kekonvergenan Beberapa Model Binomial untuk Penentuan Harga Opsi Eropa

Nama : Ponco Budi Susilo NIM : G551060111

Disetujui

Komisi Pembimbing

Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA Donny Citra Lesmana, S.Si., M.Fin.Math. Ketua Anggota

Diketahui

Ketua Program Studi Dekan Sekolah Pascasarjana Matematika Terapan

Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S.

Tanggal Ujian: 27 Agustus 2008. Tanggal Lulus:

PRAKATA

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Januri 2008 ini ialah masalah Penentuan harga opsi dengan metode binomial, dengan judul Perbandingan Kekonvergenan Beberapa Model Binomial untuk Penentuan Harga Opsi Eropa

Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA dan Bapak Donny Citra Lesmana, S.Si., M.Fin.Math. selaku pembimbing, atas segala saran dan bimbingannya. Terima kasih juga disampaikan kepada Ibu Ir. Retno Budiarti, M.S. yang telah banyak memberikan saran selaku penguji luar komisi. Ucapan terima kasih penulis disampaikan kepada Departemen Agama Republik Indonesia yang telah memberikan beasiswa. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada istri dan anak serta seluruh keluarga, atas segala doa dan kasih sayangnya. Tidak lupa juga, ucapan terimakasih kepada teman-teman seperjuangan dari BUD Depag atas kerjasama dan bantuannya sehingga bisa terselesainya tesis ini.

Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, Agustus 2008

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Sleman pada tanggal 13 April 1970 dari ayah Puja Hartono dan ibu Juwariyah. Penulis merupakan putra kelima dari lima bersaudara.

Tahun 1988 penulis lulus dari SMA Negeri Kalasan dan pada tahun yang sama lulus seleksi IKIP Yogyakarta. Penulis memilih Jurusan Pendidikan Matematika pada Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Program D2 dan selesai pada tahun 1990 serta lulus D3 pada jurusan yang sama di IKIP Yogyakarta. Penulis melanjutkan kembali pada jenjang S1 dan lulus pada tahun 1998 di IKIP Yogyakarta.

Tahun 1999 penulis diterima sebagai PNS dan menjadi staf pengajar di MTs Negeri Nglipar Gunungkidul Yogyakarta. Pada tahun 2006 penulis lulus seleksi masuk Program Magister Program Studi Matematika Terapan Institut Pertanian Bogor melalui jalur Beasiswa Utusan Daerah Departemen Agama Republik Indonesia.

DAFTAR ISI

Halaman I PENDAHULUAN ... 1 1.1 Latar Belakang ... 1 1.2 Rumusan Masalah ... 3 1.3 Tujuan Penelitian ... 3

1.4 Ruang Lingkup Penelitian ... 3

1.5 Sistematika Pembahasan ... 3

II LANDASAN TEORI ... 5

2.1 Pengertian Opsi ... 5

2.2 Aset yang Mendasari Opsi ... 5

2.3 Nilai Opsi ... 5

2.4 Tipe Opsi ... 6

2.5 Keuntungan Opsi ... 7

2.6 Faktor-fator yang Mempengaruhi Opsi ... 8

2.7 Persamaan Black-Scholes ... 9

2.8 Formulasi Harga Black-Scholes ... 12

2.9 Pengertian Model Binomial ... 17

2.10 Rasio Lindung Nilai (Hedge Ratio) ... 17

2.11 Model Binomial dengan Suku Bunga Diskret ... 17

2.12 Model Binomial dengan Suku Bunga Kontinu ... 19

2.13 Kekonvergenan ... 21

III PERBANDINGAN MODEL-MODEL BINOMIAL ... 22

3.1 Model Kontinu dan Model Diskret Perkembanagn Harga Saham ... 22

3.2 Uji Kekonvergenan Model Binomial ... 25

3.3 Model Binomial dengan Perbaikan Sifat-Sifat Kekonvergenan ... 32

3.4 Perbandingan Kekonvergenan Lima Model Binomial ... 35

IV PENGHITUNGAN NUMERIK ... 37

4.1 Prosedur Penghitungan Numerik ... 37

4.2 Penghitungan Numerik ... 38

4.3 Pembahasan ... 40

V KESIMPULAN DAN SARAN ... 42

5.1 Kesimpulan ... 42

5.2 Saran ... 42

DAFTAR PUSTAKA ... 43

LAMPIRAN ... 44

DAFTAR TABEL

Halaman 3.1 Definisi alternatif dari parameter tree pada pendekatan lattice oleh

model CRR, model JR dan model Tian ... 24

4.1

Harga opsi call yang dihitung dengan formula Black-Scholes, CRR, JR, Tian, PP1, dan PP2 serta nilai RMS dengan n = 25 ... 38

4.2

Harga opsi call yang dihitung dengan formula Black-Scholes, CRR, JR, Tian, PP1, dan PP2 serta nilai RMS dengan n = 35 ... 38

4.3 Harga opsi call yang dihitung dengan formula Black-Scholes, CRR, JR, Tian, PP1, dan PP2 serta nilai RMS dengan n = 55 ... 38 4.4 Harga opsi put yang dihitung dengan formula Black-Scholes, CRR, JR,

Tian, PP1, dan PP2 serta nilai RMS dengan n = 25 ... 39

4.5 Harga opsi put yang dihitung dengan formula Black-Scholes, CRR, JR,

Tian, PP1, dan PP2 serta nilai RMS dengan n = 35 ... 39 4.6 Harga opsi put yang dihitung dengan formula Black-Scholes, CRR, JR,

Tian, PP1, dan PP2 serta nilai RMS dengan n = 55 ... 39

DAFTAR GAMBAR

Halaman

3.1 Grafik pola kekonvergenan model CRR ... 26

3.2 Grafik pola kekonvergenan model JR ... 26

3.3 Grafik pola kekonvergenan model Tian ... 26

3.4 Grafik error dan batas error untuk model CRR ... 27

3.5 Grafik error dan batas error untuk model JR ... 28

3.6 Grafik error dan batas error untuk model Tian ... 28

3.7 Grafik ilustrasi proposisi 1 untuk pilihan parameter berikut: 100, 90, 1, 0.05, 0.3, 10,...,1000

S K T r n ... 31

3.8 Grafik ilustrasi proposisi 2 untuk pilihan parameter berikut: 100, 110, 1, 0.05, 0.3, 10,...,1000

S K T r n ... 31

3.9 Grafik ilustrasi proposisi 3 untuk pilihan parameter berikut: 100, 100, 1, 0.05, 0.3, 10,...,1000

S K T r n

... 32

3.10 Grafik ilustrasi hasil perbaikan konstruksi binomial menggunakan pendekatan PP1 dan PP2 ... 34

3.11 Perbandingan perilaku kekonvergenan lima model ... 35

3.12 Perbandingan error dan derajat kekonvergenan lima model ... 36

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman 1 Penurunan persamaan (2.8) ... 44 2 Penurunan persamaan (2.15) ... 45 3 Program gambar dan penghitungan numerik dengan Software Matlab 65 ... 47

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Dalam dunia keuangan, dikenal adanya pasar keuangan (financial market) yang terdiri atas pasar uang (money market) dan pasar modal (capital market). Pada pasar uang terjadi jual beli aset keuangan dalam jangka pendek, sedangkan untuk pasar modal terjadi jual beli aset keuangan untuk jangka panjang. Pasar modal terdiri atas pasar obligasi, pasar saham dan pasar untuk derivatif (Bodie et al. 2006).

Hull (2003) menyatakan bahwa derivatif adalah instrumen keuangan yang nilainya didasarkan atau diturunkan dari aset yang mendasarinya. Beberapa produk derivatif antara lain: kontrak berjangka (future contract), kontrak forward dan kontrak opsi. Kontrak berjangka merupakan suatu kewajiban untuk membeli atau menjual suatu aset pada harga yang telah ditentukan pada saat jatuh tempo. Kontrak

forward merupakan perjanjian untuk melakukan penyerahan aset di masa datang

pada harga yang disepakati.

Kontrak opsi (selanjutnya disebut opsi) adalah suatu jenis kontrak antara dua pihak, satu pihak memberi hak kepada pihak lain untuk menjual atau membeli aset tertentu pada harga dan periode waktu tertentu (Niwiga 2005). Terdapat dua jenis opsi yang paling mendasar, yaitu opsi call dan opsi put. Suatu opsi call memberikan hak kepada pembeli untuk membeli suatu aset tertentu dengan jumlah tertentu pada harga yang telah ditentukan selama periode waktu tertentu pula. Sedangkan opsi put memberikan hak kepada pembeli untuk menjual suatu aset tertentu dengan jumlah tertentu pada harga yang telah ditentukan selama periode waktu tertentu pula. Untuk bisa menggunakan hak tersebut maka pemegang opsi wajib menyerahkan sejumlah uang kepada penerbit opsi yang disebut sebagai premi opsi. Penggunaan hak untuk menjual atau membeli aset dalam kontrak opsi dikatakan sebagai tindakan eksekusi.

Berdasarkan waktu eksekusi maka terdapat dua tipe opsi, yaitu opsi Eropa dan opsi Amerika. Opsi tipe Eropa hanya dapat dieksekusi pada waktu jatuh tempo, sedangkan opsi Amerika dapat dieksekusi pada sebarang waktu sampai dengan jatuh tempo (Hull 2003).

Pada awal pembukaan perdagangan opsi, harga opsi ditentukan oleh penerbit opsi dengan mempertimbangkan nilai kewajaran dari harga saham dan

kemungkinan adanya kenaikan serta penurunan harga saham. Sehingga tidak ada formula yang baku terhadap penentuan harga opsi.

Pada tahun 1973, Fisher Black, Myron Scholes (Hull 2003) berhasil menentukan solusi analitik dari suatu persamaan Black-Scholes-Merton. Solusi analitik tersebut dikenal sebagai formula Black-Scholes. Formula Black-Scholes itu menyatakan harga opsi call Eropa. Sedangkan Harga opsi put Eropa dapat ditentukan melalui kesetaraan antara put dan call yang sering disebut sebagai put call

parity.

Di samping adanya penelitian untuk menentukan solusi analitik harga opsi, juga dikembangkan pendekatan numerik untuk penentuan harga opsi. Hull dan White (1990) menyatakan bahwa dua pendekatan numerik yang sering dilakukan untuk menentukan nilai suatu derivatif adalah dengan menggunakan metode beda hingga dan metode lattice (binomial dan trinomial).

Metode binomial untuk kali pertama dikembangkan secara simultan oleh Cox, Ross dan Rubinstein (1979) atau CRR serta Rendlemen dan Bartter (1979) dengan mengasumsikan bahwa dalam suatu interval waktu, harga saham akan naik sebesar faktor u (up) dan akan turun sebesar faktor d (down) karena dipengaruhi oleh faktor suku bunga. Selanjutnya CRR mempertimbangkan bahwa pergerakan harga saham juga dipengaruhi faktor volatilitas. Jarrow dan Rudd (1983) (JR) memperbaiki model binomial pada penentuan penaksiran. Sedangkan Tian (1993) menggunakan model binomial dan trinomial pada penilaian dari opsi eksotik. Penilaian dan perbaikan metode binomial senantiasa dilakukan oleh para ahli dari waktu ke waktu.

Metode binomial pada umumnya dipergunakan untuk menentukan nilai opsi terutama yang tidak bisa diturunkan secara analitik, di antaranya opsi Amerika. Metode binomial terdiri atas beberapa model yaitu model CRR, JR, Tian, Peizer-Pratt 1 (PP1), dan Peizer-Peizer-Pratt 2 (PP2). Dengan aplikasi Teorema Limit Pusat (CLT=

Central Limit Theorem) dibuktikan bahwa model-model tersebut konvergen ke

solusi Black-Scholes ketika tahapan waktu antar perdagangan mendekati nol. Untuk mengetahui sifat-sifat kekonvergenannya, maka perlu dilihat pendekatan numeriknya.

Berdasarkan uraian di atas, maka perlu diketahui perilaku dan kecepatan kekonvergenannya, serta perlu dibandingkan akurasi tiap-tiap model terhadap harga opsi Eropa.

1.2 Rumusan Masalah

Dari latar belakang tersebut di atas, rumusan masalah dapat dituliskan sebagai berikut:

1 Model-model binomial untuk penentuan harga opsi akan konvergen ke solusi Black-Scholes. Bagaimana tingkah laku dan kecepatan kekonvergenan dari tiap-tiap model binomial tersebut?

2 Bagaimana perbandingan akurasi dari tiap-tiap model binomial tersebut bila dibuktikan secara numerik?

1.3 Tujuan Penelitian

Berdasarkan rumusan masalah di atas maka tujuan penelitian ini adalah sebagai berikut:

1 Mengeksplorasi perilaku dan kecepatan kekonvergenan dari model-model binomial.

2 Membandingkan akurasi beberapa model binomial untuk menentukan harga opsi Eropa secara numerik.

1.4 Ruang Lingkup Penelitian

Ruang lingkup penelitian ini adalah sebagai berikut:

1 Model penentuan harga opsi Black-Scholes untuk opsi tipe Eropa. 2 Model penentuan harga opsi dengan metode binomial.

3 Pola kekonvergenan dari metode binomial.

4 Kecepatan serta derajat kekonvergenan model binomial.

5 Akurasi model-model binomial yang diukur dengan besarnya RMS.

1.5 Sistematika Pembahasan

Dalam memahami masalah kekonvergenan model binomial untuk menentukan harga opsi, dibahas beberapa konsep dasar yaitu: pengertian opsi dan hal-hal yang berhubungan dengan opsi, persamaan Black-Scholes untuk harga opsi, pengertian 3

model binomial, penurunan formula metode binomial dengan suku bunga diskret dan kontinu, yang akan dibahas pada bagian dua tesis ini.

Pada bagian tiga akan dipaparkan tentang perbandingan perkembangan harga saham dengan waktu kontinu (solusi Black-Scholes) dan perkembangan harga saham dengan waktu diskret (binomial). Tiga model binomial, yaitu model CRR, JR, dan Tian akan dibandingkan dalam perilaku kekonvergenan dan kecepatan kekonvergenan. Beberapa definisi dan teorema tentang kekonvergenan, derajat kekonvergenan dan kecepatan kekonvergenan akan ditunjukkan pada bagian ini. Selanjutnya akan dipaparkan model binomial lain untuk memperbaiki sifat kekonvergenan.

Pada bagian keempat akan dilakukan perhitungan harga opsi dengan lima macam model, serta akan dibandingkan akurasi harga opsi yang diperoleh dari masing-masing model dengan cara menghitung error-relatif. Pada bagian kelima akan dituliskan tentang kesimpulan dan saran.

II LANDASAN TEORI

2.1 Pengertian Opsi

Salah satu instrumen derivatif yang mempunyai potensi untuk dikembangkan adalah opsi. Pengertian dari opsi adalah suatu kontrak antara dua pihak di mana salah satu pihak (sebagai pembeli) mempunyai hak untuk membeli atau menjual suatu aset tertentu dengan harga yang telah ditentukan pula, pada atau sebelum waktu yang ditentukan. Pemegang opsi tidak diwajibkan untuk menggunakan haknya atau akan menggunakan haknya jika perubahan dari harga aset yang mendasarinya akan menghasilkan keuntungan, baik dengan menjual atau membeli aset yang mendasari tersebut.

2.2 Aset yang Mendasari Opsi

Dalam perdagangan opsi terdapat beberapa aset yang mendasari, antara lain opsi indeks (index option), opsi valuta asing (foreign currency option) opsi berjangka (future option) dan opsi saham (stock option). Opsi indeks adalah suatu opsi dengan aset berbasis indeks pasar saham. Opsi valuta asing adalah suatu opsi dengan aset berbasis mata uang asing dengan kurs tertentu, opsi berjangka adalah suatu opsi dengan aset berbasis kontrak berjangka. Sedangkan opsi saham adalah suatu opsi dengan aset yang mendasarinya adalah saham.

2.3 Nilai Opsi

2.3.1 Nilai intrinsik

Nilai intrinsik opsi adalah nilai ekonomis, menggambarkan keuntungan investor jika opsi dieksekusi dengan segera. Jika nilai ekonomis dari eksekusi opsi dengan segera tidak positif, maka nilai intrinsik adalah nol. Untuk opsi call, nilai intrinsik akan positif jika harga saham yang terjadi (ST) lebih besar dari pada harga

eksekusi (K). Sedangkan untuk opsi put nilai intrinsik akan positif jika harga saham berlaku (ST) kurang dari harga eksekusi (K).

2.3.2 Nilai waktu

Nilai waktu adalah selisih antara nilai intrinsik dengan harga opsi. Harga atau premi suatu opsi adalah nilai yang wajar dari suatu opsi yang ditentukan oleh pasar kompetitif yang dibayarkan oleh pembeli opsi pada saat kontrak dibuat. Opsi Eropa

tidak mempuyai nilai waktu karena eksekusi dilaksanakan hanya saat waktu jatuh tempo.

2.4 Tipe Opsi

Terdapat dua tipe opsi yang paling mendasar, yaitu opsi call dan opsi put. Suatu opsi call memberikan hak kepada pemegangnya untuk membeli suatu aset tertentu dengan jumlah tertentu pada harga yang telah ditentukan (strike price,

exercise price) sampai waktu jatuh tempo. Sedangkan opsi put memberikan hak

kepada pembeli untuk menjual suatu aset tertentu dengan jumlah tertentu pada harga yang telah ditentukan sampai waktu jatuh tempo. Dalam kontrak opsi call tersebut ada empat hal utama:

1 Harga aset yang mendasari yang akan dibeli 2 Jumlah aset yang mendasari yang dapat dibeli 3 Harga eksekusi aset yang mendasari

4 Tanggal berakhirnya hak membeli, atau disebut dengan expiration date.

Pada kontrak opsi put empat hal tersebut hampir sama dengan yang tertuang dalam opsi call.

Transaksi opsi akan terkait dengan pelaksanaan hak. Berdasarkan waktu pelaksanaannya opsi dibagi menjadi dua, yaitu opsi Eropa dan opsi Amerika. Misalkan harga awal (pada saat disetujui kontrak) adalah S, waktu jatuh tempo T dan harga eksekusi (harga yang ditetapkan pada saat jatuh tempo) adalah K, serta

,

c c t S menyatakan harga opsi call Eropa, dan p p t S, menyatakan harga

opsi put Eropa. Nilai intrinsik dari opsi call Eropa pada saat jatuh tempo dapat dituliskan sebagai suatu payoff atau penerimaan bagi pemegang kontrak opsi, yaitu

max _T , 0

c S K .

Jika S_T K, opsi dikatakan dalam keadaan in the money. Pemegang opsi akan

mengeksekusi opsi call, yaitu dengan menjual saham dengan harga S _T yang lebih besar dari K, dan akan mendapatkan hasil sejumlah S_T K. Jika S_T K opsi call

dikatakan dalam keadaan at the money. Sedangkan apabila S_T K opsi call dikatakan dalam keadaan out of the money. Kondisi payoff dari opsi put Eropa adalah

max _T, 0

p K S .

Jika S_T K , opsi tidak bernilai sehingga pemegang opsi tidak menggunakan haknya. Hubungan antara harga opsi call Eropa dengan put Eropa yang dikenal dengan put call parity, dapat dinyatakan sebagai berikut:

rT

c Ke p S

dengan r menyatakan suku bunga bebas risiko.

Apabila C C t S, menyatakan harga opsi call Amerika dan P P t S,

menyatakan harga opsi put Amerika, maka payoff pada waktu maturity untuk call adalah:

max , 0

C S T K .

Sedangkan untuk opsi put

max , 0

P K S T .

2.5 Keuntungan Opsi

Dengan melaksanakan perdagangan opsi, akan dapat diperoleh beberapa manfaat:

1 Manajemen risiko: penerbit dari put atas suatu aset yang mendasari dapat melakukan hedging, yaitu berinvestasi pada suatu aset untuk mengurangi risiko portofolio keseluruhan. Hal ini dilakukan bila harga aset yang mendasarinya turun drastis secara tiba-tiba, sehingga dapat menghindari risiko kerugian.

2 Memberikan waktu yang fleksibel: untuk opsi tipe Amerika, maka pemegang opsi

call maupun opsi put dapat menentukan apakah akan melaksanakan haknya atau

tidak hingga masa jatuh tempo.

3 Menyediakan sarana spekulasi: para investor dapat memperoleh keuntungan jika dapat menentukan dengan tepat kapan membeli opsi put atau call. Apabila diperkirakan harga naik maka akan membeli opsi call, dan sebaliknya bila harga cenderung turun maka akan membeli opsi put.

4 Diversifikasi: dengan melakukan perdagangan opsi dapat memberikan kesempatan kepada investor untuk melakukan diversifikasi portofolio untuk tujuan memperkecil risiko investasi portofolio.

5 Penambahan pendapatan: perusahaan yang menerbitkan saham akan memperoleh tambahan pemasukan apabila menerbitkan opsi, yaitu berupa premi dari opsi tersebut.

2.6 Faktor-Faktor yang Mempengaruhi Harga Opsi

2.6.1 Harga aset yang mendasari dan harga eksekusi

Jika suatu opsi call dieksekusi pada suatu waktu di masa yang akan datang, pembayarannya sebesar selisih antara harga aset yang mendasari dan harga eksekusi. Suatu opsi call akan menjadi lebih bernilai jika harga aset yang mendasarinya meningkat dan kurang bernilai jika harga eksekusi meningkat. Sementara pada opsi

put, pembayaran atas eksekusi hak sebesar selisih antara harga eksekusi dan harga

aset yang mendasarinya. 2.6.2 Tanggal jatuh tempo

Untuk tipe Amerika, dari kedua macam opsi baik opsi call maupun opsi put menjadi lebih berharga jika jatuh temponya semakin meningkat. Sementara untuk tipe Eropa nilai terhadap opsi baik call mupun put tidak terpengaruh dengan jatuh tempo, hal ini berkenaan dengan waktu eksekusi hak.

2.6.3 Volatilitas

Volatilitas atas aset yang mendasari adalah sebuah ukuran tingkat ketidakpastian mengenai pergerakan aset yang mendasari tersebut di masa datang. Jika volatilitas semakin meningkat maka akan semakin meningkat pula peluang aset yang mendasari untuk mengalami peningkatan atau penurunan. Pemilik dari suatu opsi call memperoleh manfaat dari kenaikan harga tetapi dibatasi oleh risiko penurunan harga. Begitu pula bagi pemegang opsi put yang memperoleh manfaat dari penurunan harga tetapi dibatasi oleh risiko kenaikan harga.

2.6.4 Suku Bunga Bebas Risiko (Risk free interest rate)

Suku bunga bebas risiko mempengaruhi harga suatu opsi. Jika tingkat suku bunga dalam perekonomian mengalami kenaikan akan mempengaruhi harapan kenaikan harga aset yang mendasari (dalam hal ini saham). Dengan mengasumsikan bahwa semua peubah tetap, maka harga opsi put akan menurun jika suku bunga bebas risiko mengalami peningkatan. Begitu pula sebaliknya, harga opsi call akan selalu meningkat seiring dengan peningkatan suku bunga bebas risiko.

2.6.5 Dividen

Dividen yang diharapkan selama opsi masih berlaku akan mempunyai pengaruh terhadap pengurangan harga aset yang mendasari pada tanggal pembagian dividen. Tanggal pembagian dividen dapat memberikan sentimen negatif bagi nilai opsi call, tetapi baik untuk meningkatkan nilai opsi put.

2.7 Persamaan Black-Scholes

Fischer Black dan Myron Scholes dalam merumuskan nilai suatu opsi mendasarkan pada beberapa asumsi, yaitu:

1 Harga dari aset yang mendasari mengikuti proses Wiener yang mempunyai fungsi kepekatan peluang lognormal.

2 Tidak ada biaya transaksi dan pajak.

3 Tidak ada pembayaran dividen selama opsi berlaku. 4 Tidak terdapat peluang arbitrage.

5 Perdagangan dari aset yang mendasari bersifat kontinu. 6 Short selling diijinkan.

7 Suku bunga bebas risiko r adalah konstan dan sama untuk semua waktu jatuh tempo.

Untuk memodelkan Persamaan Black-Scholes, didefinisikan atau ditentukan beberapa istilah, yaitu:

Definisi 2.1 (Proses Stokastik)

Proses stokastik X X t t, H adalah suatu koleksi (himpunan) dari peubah

acak. Untuk setiap t pada himpunan indeks H, X t adalah suatu peubah acak dan t

sering diinterpretasikan sebagai waktu (Ross 1996).

Definisi 2.2 (Gerak Brown)

Proses stokastik X X t t, H disebut proses gerak Brown jika:

1 X 0 0.

2 Untuk 0 t₁ t₂ t_n peubah acak X t_i X t_i1 ,i 1, 2,3,...,n saling bebas.

3 Untuk setiap t 0, X t berdistribusi normal dengan rataan 0 dan varian 2t

(Ross 1996).

Definisi 2.3 (Gerak Brown Geometris)

Jika X t t, 0 adalah gerak Brown, maka proses stokastik Z t t, 0

yang didefinisikan Z t eX t disebut gerak Brown geometris (Ross 1996).

Definisi 2.4 (Proses Wiener)

Proses Wiener adalah Gerak Brown dengan rataan 0 dan variansi 1 (Niwiga 2005).

Definisi 2.5 (Proses Wiener Umum)

Proses Wiener Umum untuk suatu peubah acak X dapat dinyatakan sebagai berikut (Hull 2003):

( )

dX t a dt b dW t (2.1)

adt disebut sebagai komponen deterministik dan b dW t( ) menyatakan komponen stokastik, serta W t( ) adalah proses Wiener, sedangkan a dan b masing-masing menyatakan rataan dan standar deviasi dari X.

Definisi 2.6 (Proses Ito’)

Proses Ito’ adalah proses Wiener umum dengan a dan b menyatakan suatu fungsi dari peubah acak X dan waktu t. Proses Ito’ dapat dinyatakan sebagai berikut (Hull 2003):

, ,

dX t a X t t dt b X t t dW t (2.2)

Lema 2.1 (Lema Ito’)

Misalkan proses X t memenuhi persamaan (2.2) dan fungsi Y t f X t t,

adalah kontinu serta turunan-turunan f_t X t t, , f_X X t t, , f_XX X t t,

kontinu, maka Y t f X t t, memenuhi persamaan berikut (Gihman 1972):

2 1 , , , , 2 t X XX dY t f X t t dt f X t t dX t f X t t dX t (2.3) dengan 10

2 2 , , t X XX f f f f f f t X X dan 2 2 0, dt dW t dt dt dW t dW t dt

Definisi 2.7 (Model Harga Saham)

Jika S harga saham pada waktu t, µ adalah parameter konstan yang menyatakan tingkat rata-rata pertumbuhan harga saham dan volatilitas harga saham, maka model dari perubahan harga saham, yaitu (Hull 2003):

.

dS t S t dt S t dW t (2.4)

Berdasarkan ketentuan-ketentuan di atas akan diturunkan persamaan Black-Scholes. Misalkan X(t) mengikuti proses Wiener umum, yaitu persamaan (2.1). Persamaan ini dapat dikembangkan menjadi (2.2). Selanjutnya akan ditentukan model dari proses harga saham S. Diasumsikan bahwa tidak terjadi pembayaran dividen pada saham. Misalkan S(t) adalah harga saham pada waktu t. Mengingat proses Ito’, perubahan S(t) akan memiliki nilai harapan drift rate S. Parameter

menyatakan tingkat rata-rata pertumbuhan harga saham dan S t dt disebut

komponen deterministik. Karena harga saham juga dipengaruhi oleh faktor ketidakpastian maka komponen stokastiknya adalah S t dW t , dengan

menyatakan volatilitas harga saham. Volatilitas harga saham mengindikasikan tingkat risiko dari harga saham. Dengan demikian model dari harga saham adalah berbentuk (2.4), yaitu: dS t S t dt S t dW t .

Dengan (2.4) ini, dapat diterapkan lema Ito’ untuk suatu fungsi V(t,S), yaitu nilai opsi dengan harga saham S pada waktu t, sehingga diperoleh:

2 2 2 2 1 . 2 V V V V dV S S dt S dW t S t S S (2.5)

Untuk menghilangkan proses Wiener dipilih sebuah portofolio yang diinvestasikan pada saham dan derivatif. Strategi yang dipilih adalah membeli satu opsi dan

menjual S V

saham. Misalkan adalah nilai portofolio yang didefinisikan oleh 11

. S S V V

(2.6)

Perubahan portofolio pada selang waktu dt didefinisikan sebagai

d dV V dS.

S

(2.7)

Dengan mensubstitusikan persamaan (2.3) dan (2.5) ke dalam (2.7) diperoleh 2 2 2 2 1 . 2 V V d S dt t S

(2.8) (lihat lampiran 1)

Return dari investasi sebesar pada saham tak berisiko akan memiliki pertumbuhan sebesar r dt dalam selang waktu dt. Agar tidak terdapat peluang

arbitrage, nilai pertumbuhan ini harus sama dengan ruas kanan dari (2.8), yaitu:

2 2 2 2 2 1 . 2 V V r dt S dt t S (2.9)

Substitusi Persamaan (2.6) ke dalam (2.9), menghasilkan

2 2 2 2 2 1 . 2 V V V rV rS dt S dt t t S 0 2 1 2 2 2 2 _rV t V S V rS S V S . (2.10)

Persamaan (2.10) ini dikenal sebagai Persamaan Black-Scholes.

2.8 Formulasi Harga Black-Scholes

Hull (2003) menunjukkan bahwa salah satu cara untuk menentukan solusi analitik persamaan Black-Scholes, yang merupakan harga opsi dan disebut formula Black-scholes, adalah dengan menggunakan pendekatan penilaian risiko netral. Untuk sebuah opsi call Eropa, nilai harapan payoff dari opsi call pada saat jatuh tempo adalah . 0 , max ˆ _{S K} E T . (2.11)

Didefinisikan g(ST) adalah fungsi kepekatan peluang dari ST, maka . 0 , max ˆ T T K T T K S K g S dS S E

(2.12) 12

Misalkan G lnS, maka 1, ₂ 1₂ dan 0 2 t G S S G S S G

. Berdasarkan Lema Ito’

diperoleh dz S S dt S S S S G 1 1 2 1 0 1 2 2 2

2 dt dz 2 1 .

Karena dan konstan maka G lnS mengikuti gerak Brown dengan rataan 2 2 1 dan variansi 2. Berdasarkan Persamaan (2.3), S dS

merupakan tingkat pengembalian dari harga

saham. Bentuk pengembalian dari harga saham yang dapat diprediksi dan bersifat deterministik adalah dt. Sebagai contoh dari pengembalian yang bersifat deterministik adalah pengembalian dari sejumlah dana yang diinvestasikan di bank yang bersifat bebas risiko. Karena bersifat bebas risiko maka ekspektasi dari harga saham dapat dikatakan sebagai tingkat suku bunga r, sehingga konstanta dapat diganti dengan r. Karena G lnS berubah dari 0 sampai dengan T dan G lnS

mengikuti gerak Brown, maka ln S berdistribusi normal dengan rataan r 2 T

2 1

dan variansi 2T.

Misalkan pada waktu t 0 nilai G ln S₀ dan pada waktu T nilai G lnS_T, maka pada selang waktu 0 sampai dengan T, lnS_T lnS₀ adalah berdistribusi normal dengan rataan dan varian seperti di atas, sehingga diperoleh:

0

ln

lnS_T S ~N r T, T

2 1 2

atau dapat dituliskan lnS _T berdistribusi normal dengan

T S ln ~N S r T, T 2 1 ln ₀ 2 . Dengan demikian lnS _T berdistribusi normal dengan rataan

T r S m 2 0 2 1 ln

dan standar deviasi T

s . (2.13) Selanjutnya didefinisikan juga sebuah peubah Q dengan

Q = ln . T m S_T

(2.14)

Substitusi m dari Persamaan (2.13) ke dalam Persamaan (2.14) diperoleh

T r T S S T Q _T 2 1 ln ln 1 2 0 ,

maka peubah Q juga berdistribusi normal dengan rataan 0 dan standar deviasi 1, dan fungsi kepekatan peluang dari Q dinyatakan dengan h(Q), yaitu

. 2 1 _e Q2/2 Q h

(2.15) (lihat lampiran 2)

Persamaan (2.14) dinyatakan menjadi

.

Q T m T

S

e

(2.16) Perubahan batas integral pada sisi kanan dari persamaan (2.12), dari integral menurut

T

S menjadi integral menurut Q adalah sebagai berikut:

Jika ST , maka Q = . Jika ST K maka K = Q T m

e

sehingga Q = T m K ln .

Dengan menggunakan persamaan (2.15), (2.16), perubahan batas integral dan misalkan s = T, maka Persamaan (2.12) menjadi:

dQ Q h K e K S E s m K m Qs T / ln 0 , max ˆ = s m K m Qs _{hQ dQ} e / ) (ln ) ( – s m K dQ Q h K / ) (ln ) ( = s m K Q m Qs dQ e e / ) (ln 2 / 2 2 1 – s m K dQ Q h K / ) (ln ) ( 14

= s m K m Qs Q dQ e / ) (ln 2 / ) 2 2 ( 2 2 1 – s m K dQ Q h K / ) (ln ) ( = s m K m s s Q dQ e / ) (ln 2 / ) 2 ) ( ( 2 2 2 1 – s m K dQ Q h K / ) (ln ) ( = s m K s Q s m _{e dQ} e / ) (ln 2 / ) ) ( ( 2 / 2 2 2 1 – s m K dQ Q h K / ) (ln ) ( = s m K s m dQ s Q h e / ) (ln 2 / ) ( 2 – ( ) , / ) (lnK m s dQ Q h K

sehingga persamaan (2.12) dapat dinyatakan dengan

0 , max ˆ _{S K} E T = s m K s m dQ s Q h e / ) (ln 2 / ) ( 2 – ( ) . / ) (lnK m s dQ Q h K (2.17)

Jika N(x) menyatakan notasi dari fungsi distribusi normal baku kumulatif maka

s m K s m dQ s Q h e / ) (ln 2 / ) ( 2 = em 2T/2[1 N[(lnK m)/s s]]

= em 2T/ 2[ [( lnN K m) /s s]].

Peubah m pada ruas kanan yang terdapat dalam tanda kurung siku persamaan di atas disubstitusi dengan Persamaan (2.13) dan s = T, maka diperoleh

s m K T m s m T T T r S K N e dQ s Q h e / ) (ln 2 0 2 / 2 / / 2 ln ln ) ( 2 2

2 2 / 2 2 0 ln / / 2 m T e N S K r T T T

2 2 / 2 0 ln / / 2 m T e N S K r T T

em 2T/2N d₁ , dengan / . 2 / ln 2 0 1 S K r T T d

Dengan alasan yang serupa di atas, maka

(ln ) / ln ( ) 1 K m s K m K h Q dQ K N s

KN ln K m s

Dengan mensubstitusikan m dan s pada persamaan (2.13) ke dalam persamaan di atas diperoleh 2 0 (ln ) / ( ) ln ln / 2 K m s K h Q dQ KN K S r T T

2 0 ln / / 2 KN S K r T T

= KN d2 , dengan 2 2 ln 0/ / , 2 d S K r T T

sehingga Persamaan (2.12) menjadi

Eˆ[max(ST – K, 0)] 1 2 2 / 2 d KN d N em T

_elnS0 r 2/2T 2T/2_{N d1 KN d2}

=S0e N d1 KN d2 rT . (2.18) Berdasarkan argumentasi penilaian risiko netral, harga opsi call Eropa yang dilambangkan dengan c adalah nilai harapan yang didiskon pada suku bunga bebas risiko yang dapat dinyatakan sebagai

0 , max ˆ _{S K} E e c T rT . (2.19) Dengan substitusi Persamaan (2.18) dan (2.19) diperoleh formula Black-Scholes untuk opsi call Eropa tanpa membayarkan dividen pada saat kontrak opsi dibuat, yaitu 2 1 0N d Ke N d S c rT . (2.20) dengan T T r K S d / 2 / ln 2 0 1 dan 16

T d T T r K S d ₁ 2 0 2 / 2 / ln .

2.9 Pengertian Model Binomial

Model binomial adalah suatu bentuk cara penentuan harga opsi, yang mengasumsikan bahwa sebuah saham hanya bisa memiliki dua nilai yang mungkin pada saat kadaluwarsa opsi. Saham tersebut mungkin meningkat (up) hingga harga tertinggi atau turun (down) hingga harga terendah (Bodie 1997). Meskipun tampaknya merupakan penyederhanaan yang berlebihan, tetapi cara ini memungkinkan untuk lebih dekat memahami model-model yang lebih rumit dan realistik.

2.10 Rasio Lindung Nilai (Hedge Ratio)

Rasio lindung nilai adalah perbandingan dari pergerakan yang mungkin dari nilai opsi dan saham pada akhir periode. Rasio itu adalah

0 0

u d

c c

uS dS _(2.21)

dengan c_u dan c_d adalah nilai opsi yang mengacu saat harga saham naik atau turun,

sedangkan uS₀ dan dS₀merupakan harga saham dalam dua kondisi setelah terjadi perubahan naik atau turun. Jika investor menerbitkan satu opsi dan memegang lembar saham, maka nilai portofolio tidak akan dipengaruhi oleh harga saham akhir. Portofolio itu sering disebut portofolio bebas risiko ( riskless portofolio).

2.11 Model Binomial dengan Suku Bunga Diskret

Perhitungan nilai opsi call Eropa menggunakan metode binomial dengan suku bunga diskret, dengan langkah-langkah sebagai berikut:

Definisikan proses harga saham, yaitu diberikan harga sekarang saat T 1

maka harga saham pada saat T akan bergerak naik dengan faktor u atau akan bergerak turun dengan faktor d dengan 1 d 1 1 u.

, (1 ) 1 T u T S u S

1 T

S

ST u_, (1 d S) T ₁

Jika c_T menyatakan nilai opsi call pada waktu T, maka:

, maks{0,(1 ) 1 } T u T c u S K

cT 1

cT d_, maks{0,(1 d S) T ₁ K}

Pada waktu T 1 dapat dibentuk portofolio leverage yang terdiri atas saham S dan obligasi sebesar B yang akan memberikan payoff yang sama seperti payoff opsi call pada waktu T:

(1 u) S_{T 1} (1 r B)

ST 1 B

(1 d) S_{T 1} (1 r B)

Dengan menyamakan payoff dari opsi call dan payoff dari portofolio leverage pada waktu T diperoleh:

(1 u) ST 1 (1 r B) cT u,

(2.22)

(1 d) ST 1 (1 r B) cT d, . (2.23) Setelah diselesaikan sistem persamaan linier pada (2.22) dan (2.23) di atas diperoleh: , , 1 ( ) T u T d T c c u d S

(2.24) , , (1 ) (1 ) ( )(1 ) T d T u u c d c B u d r

(2.25)

dengan menyatakan rasio lindung nilai, artinya untuk membentuk portofolio yang bebas risiko maka diperlukan perbandingan, yaitu sejumlah saham dan satu opsi

call.

Langkah selanjutnya, jika pada waktu T, opsi call dan portofolio leverage memberikan payoff yang sama, maka pada T 1 harus memiliki nilai yang sama pula. Maka substitusikan persamaan (2.24) dan (2.25) dalam persamaan berikut, diperoleh 1 1 T T c S B

, , ₁ , , 1 (1 ) (1 ) ( ) ( )(1 ) T u T d T d T u T T c c u c d c S u d S u d r ( ) , ( ) , ( )(1 ) T u T d r d c u r c u d r . (2.26) 18

Dengan mensubstitusikan p r d u d, dan 1 u r p u d diperoleh , , 1 (1 ) (1 ) T u T d T pc p c c r

(2.27)

Dengan cara yang sama bisa diturunkan nilai opsi call Eropa dengan metode binomial 2 periode , 3 periode dan n periode yaitu

2 2 , , , 2 2 2 (1 ) (1 ) (1 ) T uu T ud T dd T p c p p c p c c r

(2.28) 3 2 2 3 , , , , 3 3 3 (1 ) 3 (1 ) (1 ) (1 )

T uuu T uud T udd T ddd

T p c p p c p p c p c c r (2.29) 0 (1 ) ( ) (1 ) n _{j n j} T j T n n n p p S K j c r

(2.30)

2.12 Model Binomial Dengan Suku Bunga Kontinu

Perhitungan nilai opsi call Eropa menggunakan metode binomial dengan suku bunga kontinu, dengan langkah-langkah sebagai berikut:

Definisikan proses harga saham, yaitu diberikan harga sekarang saat T 1

maka harga saham pada saat T akan naik dengan faktor kenaikan u dan akan turun dengan faktor penurunan d dengan d 1 u, demikian juga terhadap nilai opsinya yaitu dari f menjadi f_u dan f_d

S u₀ u f S₀ f S d₀ d f

dengan S₀ merupakan harga saham saat waktu T 1, f_u dan f_d adalah harga opsi pada waktu T yang didefinisikan sebagai f_u maks(0,S u₀ K) dan

0

maks(0, )

d

f S d K dengan K merupakan harga eksekusi pada waktu T_.

Portofolio yang dibentuk adalah posisi long untuk sejumlah saham dan posisi

short untuk satu opsi call

S u₀ f_u S₀ f

S d₀ f_d

Portofolio akan menjadi bebas risiko ketika S u₀ f_u S d₀ f_d, sehingga diperoleh nilai

0 0

u d

f f

S u S d . (2.31)

Nilai portofolio pada waktu T adalah S u₀ f_u, sehingga nilai portofolio pada saat

ini merupakan present value dari S u₀ f_u yaitu ( S u₀ f eu) rT, dengan r adalah suku bunga bebas risiko.

Ekspresi lain dari portofolio pada saat ini adalah S₀ f . Sehingga dengan membandingkan di antara dua pernyataan di atas diperoleh

0 ( 0 ) rT u S f S u f e

0 ( 0 ) . rT u f S S u f e _. (2.32)

Substitusikan nilai pada persamaan (2.32)

0 0 0 0 0 0 ( ) rT u u u u u f f f f f S S u f e S u S d S u S d

(1 ) rT rT rT u d e d e d f f f e u d u d

(1 ) rT u d f pf p f e

(2.33) dengan rT e d p

u d dan untuk pembahasan selanjutnya p disebut sebagai peluang

risiko netral.

Dengan langkah-langkah yang dilakukan seperti di atas, untuk metode binomial dengan dua periode, diperoleh

(1 ) r t u uu ud f pf p f e

(2.34) f_d pf_du (1 p f) _dd e r t (2.35) (1 ) rT u d f pf p f e

(2.36) dengan r t e d p u d

Substitusikan persamaan (2.34) dan (2.35) ke dalam (2.36) diperoleh harga opsi call dengan model binomial dua periode adalah

2 2 2

2 (1 ) (1 ) r t

uu ud dd

f p f p p f p f e . (2.37) 20

Untuk penentuan harga opsi call dengan metode binomial tiga periode dirumuskan

3 ₃ 2_{(1 ) 3 (1 )}2 _{(1 )}3 3r t_.

uuu uud udd ddd

f p f p p f p p f p f e (2.38)

Sehingga untuk n periode pada metode binomial dengan waktu kontinu diperoleh

0 (1 ) ( ) n _{j n j nr t} n j n f p p S K e j . (2.39) dengan t T n 2.13 Kekonvergenan

Untuk melihat kembali tentang kekonvergenan, maka akan diberikan beberapa definisi yang berkaitan dengan barisan dan limit sebagai berikut (Purcell 1997):

Definisi 2.8 (Barisan Bilangan Real)

Barisan bilangan real adalah suatu fungsi dari N ke R. Misalkan X:N R

adalah suatu barisan bilangan real dengan

( ) _n .

X n x n N

n

x disebut suku ke-n dari barisan X. Barisan X bisa dilambangkan dengan

=1

{ }n n = { }n n N={ }n

X x x x . (2.40)

Definisi 2.9 (Limit Barisan)

Misalkan { }xn _n=1 adalah barisan bilangan real. Barisan { }xn n=1dikatakan

mempunyai limit L R untuk n menuju tak hingga, jika 0, n₀( ) N, sehingga

0

, .

n

x L n n (2.41)

Barisan { }xn n₌₁mempunyai limit L, dituliskan dengan lambing lim n

n x L

Definisi 2.10 (Barisan Konvergen)

Jika barisan bilangan real { }xn _n=1 mempunyai limit L, maka barisan { }xn n=1 dikatakan konvergen ke L

III PERBANDINGAN MODEL-MODEL BINOMIAL 3.1 Model Kontinu dan Model Diskret Perkembangan Harga Saham

Saham merupakan aset finansial yang nilainya berubah-ubah mengikuti harga pasar, sehingga dalam jangka waktu tertentu harga saham dapat mengalami kenaikan maupun penurunan atau bahkan tidak mengalami perubahan harga. Jadi perubahan harga saham dipengaruhi oleh perubahan waktu dan dipengaruhi pula oleh peubah-peubah pengganggu yang berupa peubah-peubah acak yang mengikuti gerak Brown. Perubahan harga saham tersebut dapat dimodelkan sebagai berikut:

dS S dt S dW (3.1)

dengan:

S : harga saham

: tingkat harapan pendapatan : volatilitas dari harga saham dt : periode waktu

W : peubah acak dengan drift rate 0 dan variance rate 1, serta mengikuti gerak Brown (Hull 2003).

Perkembangan harga saham ditinjau dari sisi waktu terdiri atas dua macam, yaitu model diskret dan model kontinu. Dari model harga saham itu, akan ditentukan nilai suatu aset turunannya, di antaranya adalah opsi call yang mempunyai harga eksekusi K dan waktu jatuh tempo T.

Suatu portofolio lindung nilai yang didefinisikan pada (2.6) yang memuat aset S dan sejumlah pinjaman tanpa risiko pada suku bunga r dibentuk untuk mereplikasi nilai dari suatu opsi pada setiap titik waktu t . Dengan syarat tanpa adanya arbitrase, portofolio itu bersesuaian dengan persamaan diferensial Black-Scholes untuk fungsi ( , )c t S yaitu

2 2 2 2 1 2 c c c rS S rc t S S

(3.2)

Solusi dari persamaan diferensial (PD) dengan batas f x: (x K) merupakan fungsi payoff yang diberikan oleh formula opsi Black-Scholes

1 2

( , ) ( ) rT ( )

2 1,2 1/ 2 1 ln( / ) ( ) 2 S K r T d T

(3.3)

dengan N(.) adalah fungsi distribusi normal baku. Sesuai dengan Harrison dan Pliska (1981) maka nilai dari ( , )c t S

merupakan present value dari nilai opsi pada waktu T yang dapat dituliskan sebagai

( , ) : rT ([ ( _T)]

c t S e E f S . (3.4)

Solusi di atas apabila diselesaikan dengan model binomial memerlukan beberapa penyesuaian, yaitu perkembangan harga saham pada interval waktu (0, )T

akan dibuat menjadi sub-sub interval yang lebih kecil. Misalkan diberikan ruang peluang ( ,F , )P , dan suatu bilangan n yang menyatakan waktu perdagangan, di mana perdagangan saham hanya terjadi pada waktu t_in (0 t t₀n, ,...,₁n t_nn T) dengan

1 , ( 0,1,..., 1). n n i i n T t t t i n n

Pendapatan dalam satu periode R_{n i,}(i=1,..., )n dimodelkan oleh dua variabel

acak binomial yang iid (independent identically distributed) pada ruang peluang

( ,F , )P dengan , dengan peluang

dengan peluang 1 n n n i n n n u p R d p q

(3.5)

dengan u_n menyatakan faktor kenaikan harga saham dan d_n menyatakan faktor penurunan harga saham. Sehingga untuk semua k 0,...,n perkembangan aset

diskret pada waktu t_kn dinyatakan oleh

, 0 , 1 . k n k n i i S S R

(3.6)

Deskripsi dari pendapatan satu periode perdagangan telah menggambarkan perkembangan harga aset diskret S_n secara keseluruhan. Selanjutnya barisan

terbatas dari R_n (R_{n i i,} ) _1,...,n disebut sebagai lattice (tree). Sedangkan pemberian

nilai tertentu terhadap parameter r, , S₀ dan t untuk masing-masing perbaikan n disebut sebagai pendekatan lattice.

Beberapa pendekatan lattice yang berbeda telah memperhitungkan argumentasi risiko netral seperti yang disampaikan oleh Harrison dan Pliska (1981) yang menunjukkan bahwa harapan pendapatan satu periode E R[ _n,1] harus sama

dengan pendapatan satu periode dari obligasi bebas risiko r_n exp{r t_n}. Cox, Ross dan Rubinstein, Jarrow dan Rudd dan Tian telah merumuskan beberapa definisi alternatif dari parameter tree yang hanya bersandar pada penentuan faktor kenaikan dan faktor penurunan harga aset, yang tertuang dalam tabel berikut

Tabel 3.1 Definisi alternatif dari parameter tree pada pendekatan lattice oleh model CRR, model JR dan model Tian.

CRR JR Tian exp n T u n exp n T d n 1/ 2 ' exp n T T u n n 1/ 2 ' exp n T T d n n ' 1 2 2 r 2 1/ 2 1 ( 2 3) 2 n n n n n n r v u v v v 2 1/ 2 1 ( 2 3) 2 n n n n n n r v d v v v exp n T r r n 2 exp n T v n

Keterangan: CRR : Model yang disampaikan oleh Cox, Ross dan Rubinstein JR : Model yang disampaikan oleh Jarrow dan Rudd

Tian : Model yang disampaikan oleh Tian.

Substitusi parameter pada tabel 3.1 ke dalam persamaan 3.8 diperoleh nilai opsi call dengan metode binomial untuk masing-masing model. Metode binomial tersebut untuk kali yang pertama disampaikan oleh Cox, Ross dan Rubinstein yang menyatakan bahwa harga opsi pada t = 0 merupakan present value dari nilai harapan harga opsi pada t = T yang dinyatakan sebagai

0 0 , 0 (0 n, ) n [ ( ) ] n n n n c t S r E f S S

(3.7) _, 0 (1 ) [ ] n n j n j n n n n n j n r p p S K j

(3.8)

dan menurut Leisen dan Reimer (1996) persamaan (3.8) ekivalen dengan

' 0 0 0 (0 n, ) [ ; , ] n [ ; , ] n n n n c t S S a n p K r a n p

(3.9) dengan 24

' 0 ( ) ln( / ) ln , , a= ( ) ln ln n n n n n n n n n n n n r d u K S n d p p p u d r u d

dan (.) menyatakan fungsi distribusi binomial.

Formula (3.7), (3.8), dan (3.9) merupakan suatu pendekatan terhadap formula Black-Scholes pada (3.3). Pendekatan ini diperoleh dengan diskretisasi waktu terhadap perkembangan harga saham pada (3.1). sehingga secara implisit menggambarkan perkembangan harga opsi melalui argumentasi replikasi backward.

3.2 Uji Kekonvergenan Model Binomial

Semua pendekatan lattice disusun sedemikian sehingga S_{n n,} konvergen ke

T

S . Selanjutnya ditentukan rata-rata serta varian dari lnS_{n n,} , yaitu ˆ n , ˆ n2 dan rata-rata serta varian dari lnS_T adalah t, 2t. Menurut Leisen dan Reimer (1996), dengan teorema limit pusat dan syarat batas Liapunov telah memberikan jaminan terhadap kekonvergenan masalah berikut.

ˆ n n n

(3.10) 2 2 ˆ n n n

(3.11) 3 , 1 3 ˆ (ln ) 0 ˆ ( ) n n n k k E R n

(3.12)

Ketiga model (CRR, JR dan Tian) konvergen lemah pada akhir periodenya. Tetapi dalam penelitian ini hanya akan memfokuskan pada perilaku dan kecepatan kekonvergenannya.

Gambar 3.1, 3.2, dan 3.3 memperlihatkan suatu pola tertentu dari perubahan harga opsi yang diperoleh dari beberapa refinement tree yang berbeda. Garis lurus horizontal menunjukkan solusi Black-Scholes. Untuk penghitungan dengan metode binomial, hasil dari setiap refinement dihubungkan dengan garis yang menggambarkan perubahan hasil. Dari ketiga model di atas ditemukan suatu pola khusus yaitu perkembangan harga opsi berosilasi dan bergelombang. Lebih jauh digambarkan bahwa interval dengan pengurangan error diikuti oleh interval dengan peningkatan error kembali. Pada suatu refinement n tertentu dari harga opsi selalu 25

berada di atas solusi Black-Scholes tetapi untuk n yang cukup besar, solusi dengan metode binomial akan konvergen ke solusi Black-Scholes.

Gambar 3.1, 3.2, dan 3.3 adalah grafik yang menunjukkan pola kekonvergenan dari model CRR, JR dan Tian untuk suatu pilihan parameter:

100, 110,

S K

1, 0.05, 0.3, 10,...,100

T r n .

Gambar 3.1 Grafik pola kekonvergenan model CRR

Gambar 3.2 Grafik pola kekonvergenan model JR

Gambar 3.3 Grafik pola kekonvergenan model Tian

Barisan dari (u_{n n}) dan (d_{n n}) akan konvergen ke satu dengan bertambahnya

refinement n, demikian pula untuk perubahan S_{n n,} akan mendekati saham awalnya.

Posisi harga akhir opsi senantiasa bersilangan dengan jarak yang semakin kecil. Sebagai hasilnya, penghitungan harga opsi berosilasi dan bergelombang konvergen ke solusi Black-Scholes.

Pola kekonvergenan yang ada pada semua model binomial dengan pilihan parameter acak dapat ditunjukkan dengan nilai distribusi error. Nilai itu diperoleh dengan cara membandingkan antara solusi formula Black-Scholes dengan solusi dari perluasan barisan R_n (R_{n i i,} ) _1,...,n untuk setiap model binomialnya.

Untuk melihat kecepatan kekonvergenan, maka diambil satu barisan lattice tertentu, di mana harga yang diperoleh dari model diskret dan model kontinu tidak sama, maka akan terdapat error e_n c(0,S₀) c_n(0,S₀) . Dengan teorema limit pusat

diperoleh lim_n e_n 0, yang berarti bahwa harga yang dihitung oleh barisan

lattice konvergen ke solusi Black-Scholes.

Gambar 3.4, 3.5 dan 3.6 adalah grafik yang menunjukkan error dari setiap nilai perbaikan n beserta batas error yang digambarkan dengan garis lurus pada model CRR, JR dan Tian. Sumbu-x dan sumbu-y digambarkan dengan skala log. Contoh untuk suatu pilihan parameter berikut:

100, 110, 1, 0.05, 0.3, 10,...,100

S K T r n

Gambar 3.4 Grafik error dan batas error untuk model CRR

Gambar 3.5 Grafik error dan batas error untuk model JR

Gambar 3.6 Grafik error dan batas error untuk model Tian

Dalam kaitan dengan pola gelombang pada perilaku kekonvergenan, maka akan dideskripsikan suatu pendekatan kecepatan secara formal, yang menggunakan batas atas untuk error e_n. Untuk ini digunakan konsep matematika “derajat kekonvergenan”. Untuk menjelaskan masalah tersebut diperlukan pendefinisian berikut.

Definisi 3.1

Misalkan f x: (x K) adalah fungsi payoff opsi call Eropa. Suatu barisan

lattice konvergen berderajat 0 , jika ada suatu konstanta 0 sedemikian sehingga N : _n . n e n

(3.13)

Suatu pendekatan lattice konvergen dengan derajat 0 , jika untuk semua

0, , , ,

S K r T barisan khusus dari lattice konvergen dengan derajat 0 . Derajat kekonvergenan selalu lebih besar dari nol. Semakin tinggi derajatnya berarti semakin cepat kekonvergenannya. Konsep teoritis untuk derajat 28