II LANDASAN TEORI
2.1 Pengertian Opsi
Salah satu instrumen derivatif yang mempunyai potensi untuk dikembangkan adalah opsi. Pengertian dari opsi adalah suatu kontrak antara dua pihak di mana salah satu pihak (sebagai pembeli) mempunyai hak untuk membeli atau menjual suatu aset tertentu dengan harga yang telah ditentukan pula, pada atau sebelum waktu yang ditentukan. Pemegang opsi tidak diwajibkan untuk menggunakan haknya atau akan menggunakan haknya jika perubahan dari harga aset yang mendasarinya akan menghasilkan keuntungan, baik dengan menjual atau membeli aset yang mendasari tersebut.
2.2 Aset yang Mendasari Opsi
Dalam perdagangan opsi terdapat beberapa aset yang mendasari, antara lain opsi indeks (index option), opsi valuta asing (foreign currency option) opsi berjangka (future option) dan opsi saham (stock option). Opsi indeks adalah suatu opsi dengan aset berbasis indeks pasar saham. Opsi valuta asing adalah suatu opsi dengan aset berbasis mata uang asing dengan kurs tertentu, opsi berjangka adalah suatu opsi dengan aset berbasis kontrak berjangka. Sedangkan opsi saham adalah suatu opsi dengan aset yang mendasarinya adalah saham.
2.3 Nilai Opsi 2.3.1 Nilai intrinsik
Nilai intrinsik opsi adalah nilai ekonomis, menggambarkan keuntungan investor jika opsi dieksekusi dengan segera. Jika nilai ekonomis dari eksekusi opsi dengan segera tidak positif, maka nilai intrinsik adalah nol. Untuk opsi call, nilai intrinsik akan positif jika harga saham yang terjadi (ST) lebih besar dari pada harga eksekusi (K). Sedangkan untuk opsi put nilai intrinsik akan positif jika harga saham berlaku (ST) kurang dari harga eksekusi (K).
2.3.2 Nilai waktu
Nilai waktu adalah selisih antara nilai intrinsik dengan harga opsi. Harga atau premi suatu opsi adalah nilai yang wajar dari suatu opsi yang ditentukan oleh pasar kompetitif yang dibayarkan oleh pembeli opsi pada saat kontrak dibuat. Opsi Eropa
tidak mempuyai nilai waktu karena eksekusi dilaksanakan hanya saat waktu jatuh tempo.
2.4 Tipe Opsi
Terdapat dua tipe opsi yang paling mendasar, yaitu opsi call dan opsi put.
Suatu opsi call memberikan hak kepada pemegangnya untuk membeli suatu aset tertentu dengan jumlah tertentu pada harga yang telah ditentukan (strike price, exercise price) sampai waktu jatuh tempo. Sedangkan opsi put memberikan hak kepada pembeli untuk menjual suatu aset tertentu dengan jumlah tertentu pada harga yang telah ditentukan sampai waktu jatuh tempo. Dalam kontrak opsi call tersebut ada empat hal utama:
1 Harga aset yang mendasari yang akan dibeli 2 Jumlah aset yang mendasari yang dapat dibeli 3 Harga eksekusi aset yang mendasari
4 Tanggal berakhirnya hak membeli, atau disebut dengan expiration date.
Pada kontrak opsi put empat hal tersebut hampir sama dengan yang tertuang dalam opsi call.
Transaksi opsi akan terkait dengan pelaksanaan hak. Berdasarkan waktu pelaksanaannya opsi dibagi menjadi dua, yaitu opsi Eropa dan opsi Amerika.
Misalkan harga awal (pada saat disetujui kontrak) adalah S, waktu jatuh tempo T dan harga eksekusi (harga yang ditetapkan pada saat jatuh tempo) adalah K, serta
,
c c t S menyatakan harga opsi call Eropa, dan p p t S, menyatakan harga opsi put Eropa. Nilai intrinsik dari opsi call Eropa pada saat jatuh tempo dapat dituliskan sebagai suatu payoff atau penerimaan bagi pemegang kontrak opsi, yaitu
max T , 0
c S K .
Jika ST K , opsi dikatakan dalam keadaan in the money. Pemegang opsi akan mengeksekusi opsi call, yaitu dengan menjual saham dengan harga S T yang lebih besar dari K, dan akan mendapatkan hasil sejumlah ST K . Jika ST K opsi call dikatakan dalam keadaan at the money. Sedangkan apabila ST K opsi call dikatakan dalam keadaan out of the money. Kondisi payoff dari opsi put Eropa adalah
6
max T, 0
p K S .
Jika ST K , opsi tidak bernilai sehingga pemegang opsi tidak menggunakan haknya. Hubungan antara harga opsi call Eropa dengan put Eropa yang dikenal dengan put call parity, dapat dinyatakan sebagai berikut:
c Ke rT p S
dengan r menyatakan suku bunga bebas risiko.
Apabila C C t S, menyatakan harga opsi call Amerika dan P P t S, menyatakan harga opsi put Amerika, maka payoff pada waktu maturity untuk call adalah:
max , 0
C S T K .
Sedangkan untuk opsi put
max , 0
P K S T .
2.5 Keuntungan Opsi
Dengan melaksanakan perdagangan opsi, akan dapat diperoleh beberapa manfaat:
1 Manajemen risiko: penerbit dari put atas suatu aset yang mendasari dapat melakukan hedging, yaitu berinvestasi pada suatu aset untuk mengurangi risiko portofolio keseluruhan. Hal ini dilakukan bila harga aset yang mendasarinya turun drastis secara tiba-tiba, sehingga dapat menghindari risiko kerugian.
2 Memberikan waktu yang fleksibel: untuk opsi tipe Amerika, maka pemegang opsi call maupun opsi put dapat menentukan apakah akan melaksanakan haknya atau tidak hingga masa jatuh tempo.
3 Menyediakan sarana spekulasi: para investor dapat memperoleh keuntungan jika dapat menentukan dengan tepat kapan membeli opsi put atau call. Apabila diperkirakan harga naik maka akan membeli opsi call, dan sebaliknya bila harga cenderung turun maka akan membeli opsi put.
4 Diversifikasi: dengan melakukan perdagangan opsi dapat memberikan kesempatan kepada investor untuk melakukan diversifikasi portofolio untuk tujuan memperkecil risiko investasi portofolio.
7
5 Penambahan pendapatan: perusahaan yang menerbitkan saham akan memperoleh tambahan pemasukan apabila menerbitkan opsi, yaitu berupa premi dari opsi tersebut.
2.6 Faktor-Faktor yang Mempengaruhi Harga Opsi 2.6.1 Harga aset yang mendasari dan harga eksekusi
Jika suatu opsi call dieksekusi pada suatu waktu di masa yang akan datang, pembayarannya sebesar selisih antara harga aset yang mendasari dan harga eksekusi.
Suatu opsi call akan menjadi lebih bernilai jika harga aset yang mendasarinya meningkat dan kurang bernilai jika harga eksekusi meningkat. Sementara pada opsi put, pembayaran atas eksekusi hak sebesar selisih antara harga eksekusi dan harga aset yang mendasarinya.
2.6.2 Tanggal jatuh tempo
Untuk tipe Amerika, dari kedua macam opsi baik opsi call maupun opsi put menjadi lebih berharga jika jatuh temponya semakin meningkat. Sementara untuk tipe Eropa nilai terhadap opsi baik call mupun put tidak terpengaruh dengan jatuh tempo, hal ini berkenaan dengan waktu eksekusi hak.
2.6.3 Volatilitas
Volatilitas atas aset yang mendasari adalah sebuah ukuran tingkat ketidakpastian mengenai pergerakan aset yang mendasari tersebut di masa datang.
Jika volatilitas semakin meningkat maka akan semakin meningkat pula peluang aset yang mendasari untuk mengalami peningkatan atau penurunan. Pemilik dari suatu opsi call memperoleh manfaat dari kenaikan harga tetapi dibatasi oleh risiko penurunan harga. Begitu pula bagi pemegang opsi put yang memperoleh manfaat dari penurunan harga tetapi dibatasi oleh risiko kenaikan harga.
2.6.4 Suku Bunga Bebas Risiko (Risk free interest rate)
Suku bunga bebas risiko mempengaruhi harga suatu opsi. Jika tingkat suku bunga dalam perekonomian mengalami kenaikan akan mempengaruhi harapan kenaikan harga aset yang mendasari (dalam hal ini saham). Dengan mengasumsikan bahwa semua peubah tetap, maka harga opsi put akan menurun jika suku bunga bebas risiko mengalami peningkatan. Begitu pula sebaliknya, harga opsi call akan selalu meningkat seiring dengan peningkatan suku bunga bebas risiko.
8
2.6.5 Dividen
Dividen yang diharapkan selama opsi masih berlaku akan mempunyai pengaruh terhadap pengurangan harga aset yang mendasari pada tanggal pembagian dividen. Tanggal pembagian dividen dapat memberikan sentimen negatif bagi nilai opsi call, tetapi baik untuk meningkatkan nilai opsi put.
2.7 Persamaan Black-Scholes
Fischer Black dan Myron Scholes dalam merumuskan nilai suatu opsi mendasarkan pada beberapa asumsi, yaitu:
1 Harga dari aset yang mendasari mengikuti proses Wiener yang mempunyai fungsi kepekatan peluang lognormal.
2 Tidak ada biaya transaksi dan pajak.
3 Tidak ada pembayaran dividen selama opsi berlaku.
4 Tidak terdapat peluang arbitrage.
5 Perdagangan dari aset yang mendasari bersifat kontinu.
6 Short selling diijinkan.
7 Suku bunga bebas risiko r adalah konstan dan sama untuk semua waktu jatuh tempo.
Untuk memodelkan Persamaan Black-Scholes, didefinisikan atau ditentukan beberapa istilah, yaitu:
Definisi 2.1 (Proses Stokastik)
Proses stokastik X X t t, H adalah suatu koleksi (himpunan) dari peubah acak. Untuk setiap t pada himpunan indeks H, X t adalah suatu peubah acak dan t sering diinterpretasikan sebagai waktu (Ross 1996).
Definisi 2.2 (Gerak Brown)
Proses stokastik X X t t, H disebut proses gerak Brown jika:
1 X 0 0.
2 Untuk 0 t1 t2 tn peubah acak X ti X ti1 ,i 1, 2,3,...,n saling bebas.
9
3 Untuk setiap t 0, X t berdistribusi normal dengan rataan 0 dan varian 2t
(Ross 1996).
Definisi 2.3 (Gerak Brown Geometris)
Jika X t t, 0 adalah gerak Brown, maka proses stokastik Z t t, 0 yang didefinisikan Z t eX t disebut gerak Brown geometris (Ross 1996).
Definisi 2.4 (Proses Wiener)
Proses Wiener adalah Gerak Brown dengan rataan 0 dan variansi 1 (Niwiga 2005).
Definisi 2.5 (Proses Wiener Umum)
Proses Wiener Umum untuk suatu peubah acak X dapat dinyatakan sebagai berikut (Hull 2003):
( )
dX t a dt b dW t (2.1) adt disebut sebagai komponen deterministik dan b dW t( ) menyatakan komponen stokastik, serta W t( ) adalah proses Wiener, sedangkan a dan b masing-masing menyatakan rataan dan standar deviasi dari X.
Definisi 2.6 (Proses Ito’)
Proses Ito’ adalah proses Wiener umum dengan a dan b menyatakan suatu fungsi dari peubah acak X dan waktu t. Proses Ito’ dapat dinyatakan sebagai berikut (Hull 2003):
, ,
dX t a X t t dt b X t t dW t (2.2)
Lema 2.1 (Lema Ito’)
Misalkan proses X t memenuhi persamaan (2.2) dan fungsi Y t f X t t, adalah kontinu serta turunan-turunan ft X t t, , fX X t t, , fXX X t t, kontinu, maka Y t f X t t, memenuhi persamaan berikut (Gihman 1972):
1 2
, , , ,
t X 2 XX
dY t f X t t dt f X t t dX t f X t t dX t (2.3) dengan
10
2
, , 2
t X XX
f f f
f f f
t X X
dan
2 2
0,
dt dW t dt dt dW t dW t dt
Definisi 2.7 (Model Harga Saham)
Jika S harga saham pada waktu t, µ adalah parameter konstan yang menyatakan tingkat rata-rata pertumbuhan harga saham dan volatilitas harga saham, maka model dari perubahan harga saham, yaitu (Hull 2003):
.
dS t S t dt S t dW t (2.4)
Berdasarkan ketentuan-ketentuan di atas akan diturunkan persamaan Black- Scholes. Misalkan X(t) mengikuti proses Wiener umum, yaitu persamaan (2.1).
Persamaan ini dapat dikembangkan menjadi (2.2). Selanjutnya akan ditentukan model dari proses harga saham S. Diasumsikan bahwa tidak terjadi pembayaran dividen pada saham. Misalkan S(t) adalah harga saham pada waktu t. Mengingat proses Ito’, perubahan S(t) akan memiliki nilai harapan drift rate S. Parameter menyatakan tingkat rata-rata pertumbuhan harga saham dan S t dt disebut komponen deterministik. Karena harga saham juga dipengaruhi oleh faktor ketidakpastian maka komponen stokastiknya adalah S t dW t , dengan menyatakan volatilitas harga saham. Volatilitas harga saham mengindikasikan tingkat risiko dari harga saham. Dengan demikian model dari harga saham adalah berbentuk (2.4), yaitu: dS t S t dt S t dW t .
Dengan (2.4) ini, dapat diterapkan lema Ito’ untuk suatu fungsi V(t,S), yaitu nilai opsi dengan harga saham S pada waktu t, sehingga diperoleh:
2 2 2
2
1 .
2
V V V V
dV S S dt S dW t
S t S S (2.5)
Untuk menghilangkan proses Wiener dipilih sebuah portofolio yang diinvestasikan pada saham dan derivatif. Strategi yang dipilih adalah membeli satu opsi dan menjual
S
V saham. Misalkan adalah nilai portofolio yang didefinisikan oleh 11
. S S V V
(2.6) Perubahan portofolio pada selang waktu dt didefinisikan sebagai
V .
d dV dS
S
(2.7) Dengan mensubstitusikan persamaan (2.3) dan (2.5) ke dalam (2.7) diperoleh
2 2 2
2
1 .
2
V V
d S dt
t S
(2.8) (lihat lampiran 1)
Return dari investasi sebesar pada saham tak berisiko akan memiliki pertumbuhan sebesar r dt dalam selang waktu dt. Agar tidak terdapat peluang arbitrage, nilai pertumbuhan ini harus sama dengan ruas kanan dari (2.8), yaitu:
2 2 2 2
2
1 .
2
V V
r dt S dt
t S (2.9) Substitusi Persamaan (2.6) ke dalam (2.9), menghasilkan
2 2
2 2 2
1 .
2
V V V
rV rS dt S dt
t t S
0
2 1
2 2 2
2 rV
t V S rS V S
S V . (2.10)
Persamaan (2.10) ini dikenal sebagai Persamaan Black-Scholes.
2.8 Formulasi Harga Black-Scholes
Hull (2003) menunjukkan bahwa salah satu cara untuk menentukan solusi analitik persamaan Black-Scholes, yang merupakan harga opsi dan disebut formula Black-scholes, adalah dengan menggunakan pendekatan penilaian risiko netral.
Untuk sebuah opsi call Eropa, nilai harapan payoff dari opsi call pada saat jatuh tempo adalah
. 0 ,
ˆ max S K
E T . (2.11)
Didefinisikan g(ST) adalah fungsi kepekatan peluang dari ST, maka .
0 , ˆ max
T T K
T
T K S K g S dS
S E
(2.12) 12
Misalkan G lnS, maka 1 dan 0
1,
2 2 2
t G S
S G S S
G . Berdasarkan Lema Ito’
diperoleh
Sdz S S dt
S S S
G 1 1
2 0 1 1
2 2 2
2 dt dz
2
1 .
Karena dan konstan maka G lnS mengikuti gerak Brown dengan rataan
2
2
1 dan variansi 2.
Berdasarkan Persamaan (2.3), S
dSmerupakan tingkat pengembalian dari harga
saham. Bentuk pengembalian dari harga saham yang dapat diprediksi dan bersifat deterministik adalah dt. Sebagai contoh dari pengembalian yang bersifat deterministik adalah pengembalian dari sejumlah dana yang diinvestasikan di bank yang bersifat bebas risiko. Karena bersifat bebas risiko maka ekspektasi dari harga saham dapat dikatakan sebagai tingkat suku bunga r, sehingga konstanta dapat diganti dengan r. Karena G lnS berubah dari 0 sampai dengan T dan G lnS mengikuti gerak Brown, maka ln S berdistribusi normal dengan rataan r 2 T
2 1
dan variansi 2T.
Misalkan pada waktu t 0 nilai G ln S0 dan pada waktu T nilai G lnST, maka pada selang waktu 0 sampai dengan T, lnST lnS0 adalah berdistribusi normal dengan rataan dan varian seperti di atas, sehingga diperoleh:
ln 0
lnST S ~N r T, T
2 1 2
atau dapat dituliskan lnS T berdistribusi normal dengan
ST
ln ~N S r T, T
2
ln 0 1 2 .
Dengan demikian lnS T berdistribusi normal dengan rataan
13
T r
S
m 0 2
2 ln 1
dan standar deviasi T
s . (2.13)
Selanjutnya didefinisikan juga sebuah peubah Q dengan
Q = ln .
T m ST
(2.14) Substitusi m dari Persamaan (2.13) ke dalam Persamaan (2.14) diperoleh
T r
T S
S T
Q T
2 ln 1
1 ln 2
0 ,
maka peubah Q juga berdistribusi normal dengan rataan 0 dan standar deviasi 1, dan fungsi kepekatan peluang dari Q dinyatakan dengan h(Q), yaitu
2 .
1 Q2/2 e Q
h
(2.15) (lihat lampiran 2)
Persamaan (2.14) dinyatakan menjadi
Q T m
. S
Te
(2.16) Perubahan batas integral pada sisi kanan dari persamaan (2.12), dari integral menurut
S T menjadi integral menurut Q adalah sebagai berikut:
Jika ST , maka Q = .
Jika ST K maka K =
e
Q T m sehingga Q = Tm lnK
.
Dengan menggunakan persamaan (2.15), (2.16), perubahan batas integral dan misalkan s = T, maka Persamaan (2.12) menjadi:
dQ Q h K e
K S E
s m K
m Qs T
/ ln
0 , ˆ max
=
s m K
m
Qs hQ dQ
e
/ ) (ln
)
( –
s m K
dQ Q h K
/ ) (ln
) (
=
s m K
Q m
Qs e dQ
e
/ ) (ln
2
2/
2
1 –
s m K
dQ Q h K
/ ) (ln
) (
14
=
s m K
m Qs
Q dQ
e
/ ) (ln
2 / ) 2 2
( 2
2
1 –
s m K
dQ Q h K
/ ) (ln
) (
=
s m K
m s s
Q dQ
e
/ ) (ln
2 / ) 2 ) (
( 2 2
2
1 –
s m K
dQ Q h K
/ ) (ln
) (
=
s m K
s Q s
m e dQ
e
/ ) (ln
2 / ) ) ( ( 2
/ 2
2
2
1 –
s m K
dQ Q h K
/ ) (ln
) (
=
s m K
s
m hQ s dQ
e
/ ) (ln
2
/ ( )
2 – ( ) ,
/ ) (lnK m s
dQ Q h K
sehingga persamaan (2.12) dapat dinyatakan dengan 0
,
ˆ max S K
E T =
s m K
s
m hQ s dQ
e
/ ) (ln
2
/ ( )
2
– ( ) .
/ ) (lnK m s
dQ Q h
K (2.17) Jika N(x) menyatakan notasi dari fungsi distribusi normal baku kumulatif maka
s m K
s
m hQ s dQ
e
/ ) (ln
2
/ ( )
2
= em 2T/2[1 N[(lnK m)/s s]]
= em 2T/ 2[ [( lnN K m) /s s]].
Peubah m pada ruas kanan yang terdapat dalam tanda kurung siku persamaan di atas disubstitusi dengan Persamaan (2.13) dan s = T, maka diperoleh
s m K
T m s
m h Q s dQ e N K S r T T T
e
/ ) (ln
2 0
2 / 2
/ /
ln 2 ln )
( 2
2
2
2
/ 2 2
ln 0/ /
2
m T
e N S K r T T T
2
2 / 2
ln 0/ /
2
m T
e N S K r T T
em 2T/2N d1 ,
dengan / .
/ 2 ln
2 0
1 S K r T T
d
Dengan alasan yang serupa di atas, maka
15
(ln ) /
( ) 1 ln
K m s
K m
K h Q dQ K N
s
ln K m
KN s
Dengan mensubstitusikan m dan s pada persamaan (2.13) ke dalam persamaan di atas diperoleh
2
0 (ln ) /
( ) ln ln /
K m s 2
K h Q dQ KN K S r T T
2
ln 0/ /
KN S K r 2 T T
= KN d2 ,
dengan
2
2 ln 0/ / ,
d S K r 2 T T
sehingga Persamaan (2.12) menjadi
Eˆ[max(ST – K, 0)] em 2T/2N d1 KN d2
elnS0 r 2/2T 2T/2N d1 KN d2
=S0erTN d1 KN d2 . (2.18) Berdasarkan argumentasi penilaian risiko netral, harga opsi call Eropa yang dilambangkan dengan c adalah nilai harapan yang didiskon pada suku bunga bebas risiko yang dapat dinyatakan sebagai
0 ,
ˆ max S K
E e
c rT T . (2.19) Dengan substitusi Persamaan (2.18) dan (2.19) diperoleh formula Black- Scholes untuk opsi call Eropa tanpa membayarkan dividen pada saat kontrak opsi dibuat, yaitu
2 1
0N d Ke N d
S
c rT . (2.20) dengan
T T
r K S
d /
/ 2 ln
2 0
1 dan
16
T d
T T
r K S
d 1
2 0
2 /
/ 2
ln .
2.9 Pengertian Model Binomial
Model binomial adalah suatu bentuk cara penentuan harga opsi, yang mengasumsikan bahwa sebuah saham hanya bisa memiliki dua nilai yang mungkin pada saat kadaluwarsa opsi. Saham tersebut mungkin meningkat (up) hingga harga tertinggi atau turun (down) hingga harga terendah (Bodie 1997). Meskipun tampaknya merupakan penyederhanaan yang berlebihan, tetapi cara ini memungkinkan untuk lebih dekat memahami model-model yang lebih rumit dan realistik.
2.10 Rasio Lindung Nilai (Hedge Ratio)
Rasio lindung nilai adalah perbandingan dari pergerakan yang mungkin dari nilai opsi dan saham pada akhir periode. Rasio itu adalah
0 0
u d
c c
uS dS (2.21) dengan cu dan cd adalah nilai opsi yang mengacu saat harga saham naik atau turun, sedangkan uS0 dan dS merupakan harga saham dalam dua kondisi setelah terjadi 0 perubahan naik atau turun. Jika investor menerbitkan satu opsi dan memegang lembar saham, maka nilai portofolio tidak akan dipengaruhi oleh harga saham akhir.
Portofolio itu sering disebut portofolio bebas risiko ( riskless portofolio).
2.11 Model Binomial dengan Suku Bunga Diskret
Perhitungan nilai opsi call Eropa menggunakan metode binomial dengan suku bunga diskret, dengan langkah-langkah sebagai berikut:
Definisikan proses harga saham, yaitu diberikan harga sekarang saat T 1 maka harga saham pada saat T akan bergerak naik dengan faktor u atau akan bergerak turun dengan faktor d dengan 1 d 1 1 u.
, (1 ) 1
T u T
S u S
1
S
TST u, (1 d S) T 1
Jika cT menyatakan nilai opsi call pada waktu T, maka:
17
, maks{0,(1 ) 1 }
T u T
c u S K
cT 1
cT d, maks{0,(1 d S) T 1 K}
Pada waktu T 1 dapat dibentuk portofolio leverage yang terdiri atas saham S dan obligasi sebesar B yang akan memberikan payoff yang sama seperti payoff opsi call pada waktu T:
(1 u) ST 1 (1 r B)
ST 1 B
(1 d) ST 1 (1 r B)
Dengan menyamakan payoff dari opsi call dan payoff dari portofolio leverage pada waktu T diperoleh:
(1 u) ST 1 (1 r B) cT u,
(2.22) (1 d) ST 1 (1 r B) cT d, .
(2.23) Setelah diselesaikan sistem persamaan linier pada (2.22) dan (2.23) di atas diperoleh:
, ,
( ) 1 T u T d
T
c c
u d S
(2.24)
, ,
(1 ) (1 )
( )(1 )
T d T u
u c d c
B u d r
(2.25) dengan menyatakan rasio lindung nilai, artinya untuk membentuk portofolio yang bebas risiko maka diperlukan perbandingan, yaitu sejumlah saham dan satu opsi call.
Langkah selanjutnya, jika pada waktu T, opsi call dan portofolio leverage memberikan payoff yang sama, maka pada T 1 harus memiliki nilai yang sama pula. Maka substitusikan persamaan (2.24) dan (2.25) dalam persamaan berikut, diperoleh
1 1
T T
c S B
, , 1 , ,
1
(1 ) (1 )
( ) ( )(1 )
T u T d T d T u
T T
c c u c d c
u d S S u d r
( ) , ( ) ,
( )(1 )
T u T d
r d c u r c
u d r . (2.26) 18
Dengan mensubstitusikan r d
p u d, dan 1 u r
p u d diperoleh
, ,
1
(1 ) (1 )
T u T d
T
pc p c
c r
(2.27) Dengan cara yang sama bisa diturunkan nilai opsi call Eropa dengan metode binomial 2 periode , 3 periode dan n periode yaitu
2 2
, , ,
2 2
2 (1 ) (1 )
(1 )
T uu T ud T dd
T
p c p p c p c
c r
(2.28)
3 2 2 3
, , , ,
3 3
3 (1 ) 3 (1 ) (1 )
(1 )
T uuu T uud T udd T ddd
T
p c p p c p p c p c
c r (2.29)
0 (1 ) ( )
(1 )
n j n j
j T
T n n
n p p S K
c j
r
(2.30)
2.12 Model Binomial Dengan Suku Bunga Kontinu
Perhitungan nilai opsi call Eropa menggunakan metode binomial dengan suku bunga kontinu, dengan langkah-langkah sebagai berikut:
Definisikan proses harga saham, yaitu diberikan harga sekarang saat T 1 maka harga saham pada saat T akan naik dengan faktor kenaikan u dan akan turun dengan faktor penurunan d dengan d 1 u, demikian juga terhadap nilai opsinya yaitu dari f menjadi fu dan fd
S u0
u f
S0
f S d0
d f
dengan S0 merupakan harga saham saat waktu T 1, fu dan fd adalah harga opsi pada waktu T yang didefinisikan sebagai fu maks(0,S u0 K) dan
maks(0, 0 )
fd S d K dengan K merupakan harga eksekusi pada waktu T.
Portofolio yang dibentuk adalah posisi long untuk sejumlah saham dan posisi short untuk satu opsi call
S u0 fu S0 f
S d0 fd
19
Portofolio akan menjadi bebas risiko ketika S u0 fu S d0 fd, sehingga diperoleh nilai
0 0
u d
f f
S u S d . (2.31)
Nilai portofolio pada waktu T adalah S u0 f , sehingga nilai portofolio pada saat u ini merupakan present value dari S u0 fu yaitu ( S u0 f eu) rT, dengan r adalah suku bunga bebas risiko.
Ekspresi lain dari portofolio pada saat ini adalah S0 f . Sehingga dengan membandingkan di antara dua pernyataan di atas diperoleh
0 ( 0 u) rT
S f S u f e
0 ( 0 u) rT.
f S S u f e . (2.32)
Substitusikan nilai pada persamaan (2.32)
0 0
0 0 0 0
( ) rT
u u u u
u
f f f f
f S S u f e
S u S d S u S d
(1 )
rT rT
rT
u d
e d e d
f f f e
u d u d
(1 ) rT
u d
f pf p f e
(2.33) dengan
erT d
p u d dan untuk pembahasan selanjutnya p disebut sebagai peluang risiko netral.
Dengan langkah-langkah yang dilakukan seperti di atas, untuk metode binomial dengan dua periode, diperoleh
(1 ) r t
u uu ud
f pf p f e
(2.34) fd pfdu (1 p f) dd e r t (2.35)
(1 ) rT
u d
f pf p f e
(2.36) dengan
er t d
p u d
Substitusikan persamaan (2.34) dan (2.35) ke dalam (2.36) diperoleh harga opsi call dengan model binomial dua periode adalah
2 2 2
2 (1 ) (1 ) r t
uu ud dd
f p f p p f p f e . (2.37) 20
Untuk penentuan harga opsi call dengan metode binomial tiga periode dirumuskan
3 uuu 3 2(1 ) uud 3 (1 )2 udd (1 )3 ddd 3r t.
f p f p p f p p f p f e (2.38)
Sehingga untuk n periode pada metode binomial dengan waktu kontinu diperoleh
0 (1 ) ( )
n j n j nr t
j n
f n p p S K e
j . (2.39)
dengan T
t n
2.13 Kekonvergenan
Untuk melihat kembali tentang kekonvergenan, maka akan diberikan beberapa definisi yang berkaitan dengan barisan dan limit sebagai berikut (Purcell 1997):
Definisi 2.8 (Barisan Bilangan Real)
Barisan bilangan real adalah suatu fungsi dari N ke R. Misalkan X:N R adalah suatu barisan bilangan real dengan
( ) n .
X n x n N
xn disebut suku ke-n dari barisan X. Barisan X bisa dilambangkan dengan { }n n=1= { }n n N={ }n
X x x x . (2.40)
Definisi 2.9 (Limit Barisan)
Misalkan { }xn n=1 adalah barisan bilangan real. Barisan { }xn n=1dikatakan mempunyai limit L R untuk n menuju tak hingga, jika 0, n0( ) N , sehingga
, 0.
xn L n n (2.41)
Barisan { }xn n=1mempunyai limit L, dituliskan dengan lambing lim n
n x L
Definisi 2.10 (Barisan Konvergen)
Jika barisan bilangan real { }xn n=1 mempunyai limit L, maka barisan { }xn n=1 dikatakan konvergen ke L
21
