BAB III MATRIKS

BAB III MATRIKS A. PENGERTIAN MATRIKS

1. Pengertian Matriks

Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang berbentuk persegi atau persegi panjang yang diatur dalam baris dan kolom

Bentuk Umum Matriks :

                                mn mj m m m in i i i n j n j n j a a a a a a aij a a a a a a a a a a a a a a a a a a ... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... ... ... ... 3 2 1 3 2 1 3 3 33 32 31 2 2 23 22 21 1 1 ... 13 12 11 m bariske i bariske bariske bariske bariske           3 2 1

Kolom ke-1 ke-2 ke-3 ke- j ke- n

Data – data yang ada dalam kehidupan sehari-hari bias juga disajikan dalam matriks, misalnya data harga tiket suatu pertunjukan ikan lumba-lumba, sebagai berikut.

VIP EKONOMI

DEWASA Rp. 50.000,00 Rp. 30.000,00 ANAK-ANAK Rp. 40.000,00 Rp. 20.000,00

Dari daftar di atas, dengan menghilangkan kepala lajur atau kolom dan kepala barisnya , kemudian susunan bilangan-bilangan tersebut kita beri kurung biasa ( ) atau kurung siku [ ] , terbentuklah _

     20000 40000 30000 50000 atau       20000 40000 30000 50000

2. Notasi Matriks

Matriks diberi nama dengan huruf besar atau huruf kapital dan dihubungkan dengan tanda sama dengan dalam penulisannya.

Semua bilangan yang terdapat dalam baris maupun kolom dari suatu matriks disebut dengan elemen matriks atau unsur matriks.

Elemen-elemen pada suatu matriks dinyatakan dengan huruf kecil Contoh : Diketahui Matriks A =                 2 5 10 3 8 5 6 1 0 1 4 2

Dari matriks tersebut dapat dinyatakan hal-hal sebagai berikut: a. Matriks A mempunyai 4 baris dan 3 kolom

b. Elemen-elemen pada baris pertama adalah -2, 4 dan 1 c. Elemen-elemen pada kolom pertama adalah -2, 0, 5, 10 d. Elemen-elemen pada kolom ketiga adalah 1, 6, -3 dan 2 e. Elemen pada baris ketiga kolom kedua adalah 6

f. Elemen pada baris keempat kolom kedua adalah -5 g. Delapan terletak pada baris ketiga kolom kedua. 3. Ordo Matriks

Ordo dari suatu matriks adalah ukuran banyaknya baris dan banyaknya kolom dari suatu matriks

Contoh : A = _      1 3 4 0 2 1

Banyaknya baris dari matriks A adalah 2, dan banyaknya kolom dari matriks A adalah 3, maka matriks A mempunyai ordo 2 X 3. Ordo matriks biasanya dituliskan di sudut kanan bawah dari suatu matriks.

B. JENIS-JENIS MATRIKS

Jenis-jenis matriks dibedakan menjadi : 1. Matriks Nol

Contoh :



0 0 0



, _      0 0 0 0 ,           0 0 0 0 0 0 ,



0 0 0 0



2. Matriks Baris

Matriks Baris adalah matriks yang hanya terdiri dari satu baris Contoh :



0 1 2



,



1 2 3 6



3. Matriks Kolom

Matriks Kolom adalah matriks yang hanya terdiri dari satu kolom atau satu lajur Contoh :             8 1 2 5 , _      3 2 ,           5 4 3 4. Matriks Persegi

Matriks Persegi adalah matriks yang banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom. Contoh : _       5 4 2 1 ,

 

1 ,             1 2 5 6 5 4 3 2 1

5. Matriks Segitiga Atas

Matriks segitiga atas adalah suatu matriks persegi yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya semua nol

Contoh :       3 0 2 1 ,              5 0 0 3 2 0 10 4 1 ,                 1 0 0 0 3 3 0 0 2 2 2 0 5 4 3 1

6. Matriks Segitiga Bawah

Matriks Segitiga Bawah adalah suatu matriks yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya semua nol

Contoh :              2 3 2 0 9 1 0 0 5 ,              5 8 7 6 0 3 0 4 0 0 2 3 0 0 0 1 7. Matriks Diagonal

Matriks diagonal adalah matriks persegi yang semua elemen-elemennya nol , kecuali elemen-elemen pada diagonal utamanya tidak semuanya nol Contoh :       3 0 0 2 ,            4 0 0 0 2 0 0 0 1 ,             5 0 0 0 0 5 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

8. Matriks Identitas/ Matriks Satuan

Matriks Identitas atau matriks satuan adalah matriks persegi yang semua elemen-elemen pada diagonal utamanya adalah satu ( 1 ) dan elemen-elemen yang lainnya adalah nol.

Contoh :       1 0 0 1 ,           1 0 0 0 1 0 0 0 1 ,             1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Soal-soal Latihan . 1.Diketahui mattriks A =                    7 2 3 9 6 5 2 0 7 5 4 2 3 5 8 1

a. Tentukan banyaknya baris dan kolom matriks A b. Tentukan Ordo dari matriks A

c. Sebutkan elemen-elemen pada baris keempat d. Sebutkan elemen-elemen pada kolom ketiga e. Sebutkan letak elemen-elemen 8, -7, -5 dan -1

2.Sebutkan elemen-elemen pada baris pertama kolom pertama dari matriks- matriks berikut ini :

a. _      4 3 2 1 b.              1 1 1 7 7 7 7 6 4 3 1 2 8 3 2

C. OPERASI PADA MATRIKS 1. Kesamaan Matriks

Dua buah matriks dikatakan sama apabila keduanya mempunyai ordo yang sama dan elemen-elemen yang seletak pada kedua matriks tersebut juga sama.

Contoh : a. Diketahui matriks A = _       4 3 1 2 , B =           _ 3 12 3 9 1 2 4

Maka matriks A sama dengan matriks B karena ordo kedua matriks sama dan elemen-elemen yang seletak sama

b. Diketahui A = _      b a 5 4 2 dan B = _      5 2 8 d c

Tentukan nilai a, b, c dan d jika matriks A = matriks B Jawab : A = B maka _      b a 5 4 2 = _      5 2 8 d c

Elemen-elemen yang seletak harus sama, jadi 2a = 8  a = 4 2c = 4  c = 2 d = 5 b = - 5 Jadi a = 4, b = -5, c =2, d = 5

2. Transpose dari Suatu Matriks

Transpose dari suatu matriks adalah matriks baru yang diperoleh dengan menukarkan setiap baris dengan setiap kolom atau sebaliknya ( menukarkan setiap kolom dengan setiap baris ).

Jika A = ( aij ) maka At = ( aji ), dan jika ordo matriks A = m x n, maka At = n x m Contoh : Diketahui A =           6 1 5 4 2 1 , tentukan At ! Jawab : At = _      6 5 2 1 4 1

Sifat-sifat matriks transpose :

a. _{( A + B )}t

= At + Bt

b.

( At )t = A

c.

k( At ) =( k At ) , dengan k suatu scalar

d. _{( AB )}t

= Bt At 3. Penjumlahan Matriks

Syarat dua buah matriks dapat dijumlahkan adalah apabila kedua matriks mempunyai ordo yang sama. Penjumlahan matriks dilakukan dengan menjumlahkan elemen-elemen yang seletak.

Contoh : Diketahui A =             6 5 3 4 3 1 2 0 2 , B =           9 8 7 6 5 4 3 2 1 , C =               2 1 5 2 3 3 1 0 5 Tentukan : a. A + B b. At + B c. B + C Jawab : a. A + B =             6 5 3 4 3 1 2 0 2 +           9 8 7 6 5 4 3 2 1 =                      9 6 8 5 7 3 6 4 5 3 4 1 3 2 2 0 1 2 =           15 13 4 10 8 5 5 2 1

b. A =             6 5 3 4 3 1 2 0 2 , maka At =            6 4 2 5 3 0 3 1 2 At + B =            6 4 2 5 3 0 3 1 2 +           9 8 7 6 5 4 3 2 1 =                      9 6 8 4 7 2 6 5 5 3 4 0 3 3 2 1 1 2 =           15 12 9 11 8 4 0 3 1 c. B + C =           9 8 7 6 5 4 3 2 1 +               2 1 5 2 3 3 1 0 5 =                        ) 2 ( 9 1 8 5 7 ) 2 ( 6 3 5 ) 3 ( 4 1 3 0 2 ) 5 ( 1 =           7 9 12 4 8 1 4 2 4 4. Pengurangan Matriks

Syarat dua buah matriks dapat dikurangkan adalah apabila kedua matriks mempunyai ordo yang sama. Pengurangan matriks dilakukan dengan mengurangkan elemen-elemen yang seletak.

Contoh : Diketahui A =             6 5 3 4 3 1 2 0 2 , B =           9 8 7 6 5 4 3 2 1 , C =               2 1 5 2 3 3 1 0 5 Tentukan : a. A - B b. At - B c. B – C Jawab : a. A – B =             6 5 3 4 3 1 2 0 2 -          9 8 7 6 5 4 3 2 1

b. At - B =            6 4 2 5 3 0 3 1 2 -           9 8 7 6 5 4 3 2 1 =                      9 6 8 4 7 2 6 5 5 3 4 0 3 3 2 1 1 2 =                    3 4 5 1 2 4 6 1 3 c. B – C =           9 8 7 6 5 4 3 2 1 -               2 1 5 2 3 3 1 0 5 =           11 7 2 8 2 7 2 2 6

5. Perkalian Matriks dengan skalar

Untuk menentukan hasil kali antara skalar ( bilangan real ) dengan suatu matriks, adalah dengan mengalikan skalar itu dengan setiap elemen-elemen pada matriks tersebut.

Jika A = _      d c b a

dan k adalah suatu scalar, maka k A = k _      d c b a = _      kd kc kb ka Contoh : 2 _       3 4 2 1 = _       3 2 4 2 ) 2 ( 2 1 2 x x x x = _       6 8 4 2

6. Perkalian Matriks dengan Matriks

Dua buah matriks dapat dikalikan jika banyaknya kolom matriks pertama sama dengan banyaknya baris matriks kedua. Perkalian dilakukan dengan mengalikan elemen-elemen pada setiap baris matriks pertama dengan elemen-elemen setiap kolom matriks kedua dan menjumlahkan nilainya.

Hasil kali matriksnya mempunyai ordo banyaknya baris matriks matriks pertama x banyaknya kolom matriks kedua.

Contoh : A =           4 2 4 0 1 3 2 0 1 , B =           0 4 3 1 2 1

Ordo matriks A adalah 3x3, sedang ordo matriks B adalah 3x2.

Kedua matriks dapat dikalikan karena banyaknya kolom matriks A sama dengan banyaknya baris matriks B. Hasil kalinya adalah matriks berordo 3x2 A . B =           4 2 4 0 1 3 2 0 1           0 4 3 1 2 1 =                       0 4 3 2 2 4 4 4 1 2 1 4 0 0 3 1 2 3 4 0 1 1 1 3 0 2 3 0 2 1 4 2 1 0 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x =           14 22 9 4 2 9

Sifat-sifat perkalian matriks

Jika A, B dan C adalah matriks-matriks yang memenuhi syarat-syarat perkalian matriks, maka :

a. A ( B + C ) = AB + AC dan ( B + C ) A = BA + CA,memenuhi hukum distributif

b. A ( B C ) = ( A B ) C, memenuhi hokum asosiatif

c. Biasanya AB ≠ BA, jadi tidak memenuhi hokum komutatif D. DETERMINAN DAN INVERS MATRIKS

1. Determinan Matriks Ordo 2

Jika A = _      22 21 12 11 a a a a

, maka determinan dari matriks A didefinisikan dengan det A = | A | = 22 21 12 11 a a a a = a11 .a22 – a12.a21

Dari definisi di atas nampaklah bahwa determinan suatu matriks adalah hasil kali unsur-unsur pada diagonal utama dikurangi dengan hasil kali unsure diagonal kedua.

Contoh :

Hitinglah determinan dari matriks A = _      4 3 2 1 Jawab :

Determinan matriks A = det A = 1.4 – 2.3 = 4 – 6 = -2 2. Determinan Matriks Ordo 3 ( Ordo 3 x 3 )

Perhatikan matriks persegi ordo 3 di bawah ini . A =           33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a

Determinan dari matriks A adalah det A = |A | = 33 32 23 22 13 12 31 21 11 a a a a a a a a a

Ada beberapa cara untuk menghitung harga determinan matriks berordo 3x3, tetapi yang paling dikenal adalah dengan atutan Sarrus, dengan langkah-langkah sebagai berikut :

a. Letakkan kolom pertama dan kedua di sebelah kanan garis vertical dari determinan

b. Jumlahkan hasil kali unsure-unsur yang terletak pada diagonal dengan hasil kali unsure-unsur yang sejajar diagonal utama pada arah kanan, kemudian dikurangi dengan hasil kali unsure-unsur yang terletak sejajar dengan diagonal samping

Perhatikan skema berikut :

A = 33 32 23 22 13 12 31 21 11 a a a a a a a a a 32 31 22 21 12 11 a a a a a a a = a11. a22. a33 + a12. a23.a31 + a13 .a21.a32 - a31.a22.a13 – a32.a23.a11 – a33.a21.a12 Contoh :

Carilah harga determinan dari matriks berikut ini dengan aturan Sarrus ! A =           6 1 1 5 0 4 3 1 2

Jawab : |A| = 6 1 5 0 3 1 1 4 2 = 1 1 0 4 1 2 6 1 5 0 3 1 1 4 2 = 2.0.6 + 1.5.1 + 3.4.1 – 1.0.3-1.5.2-6.4.1 = 0+5+12-0-10-24 = -17

3. Adjoin Suatu Matriks

Sebelum kita membahas adjoin suatu matriks, kita akan membahas terlebih dahulu minor dan kofaktor dari suatu matriks.

Definisi :

Minor dari elemen aij suatu matriks A adalah | M ij | dan kofaktor dari

elemen aij = A ij adalah ( -1 )i +j . | M ij |. Contoh : Diketahui matriks A =           4 2 4 0 1 3 2 0 1

Minor dari elemen a33 =

1 0 3 1 = 1.1 – 0.3 = 1 – 0 = 1

Kofaktor dari elemen a33 =( -1 )3+3. 1

= 1

Jadi minor dari elemen suatu matriks adalah harga determinan dari elemen-elemen matriks dengan menghilangkan baris dan kolom yang memuat elemen tersebut.

Definisi :

Matriks A = ( aij ), dan jika kofaktor dari elemen aij kita sebut Aij, maka

Jadi jika A =           33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a , maka adjoin A =           33 32 31 25 22 21 13 12 11 A A A A A A A A A Contoh :

Carilah adjoin dari matriks berikut !

A =           6 1 1 5 0 4 3 1 2 Jawab :

Kita cari kofaktor dari elemen-elemennya.

A11 = ( -1 )1+1 6 5 1 0 = 0 – 5 = -5 A12 = ( -1 )1+2 6 5 1 4 = ( -1 ) ( 24 – 5) = - 19 A13 = ( -1 ) 1+3 1 0 1 4 = ( -1 )4 ( 4 – 0 ) = 4 A21 = ( -1 )2+1 6 3 1 1 = ( -1 ) ( 6 -3 ) = - 3 A22 = ( -1 )2+2 6 3 1 2 = ( -1 )4 ( 12 -3 ) = 9 A23 = ( -1 )2+3 ₁ 1 1 2

= ( -1 ) ( 2-1 ) = -1 A31 = ( -1 )3+1 ₅ 3 0 1 = ( -1 ) 4 ( 5 – 0 ) = 5 A32 = ( -1 )3+2 ₅ 3 4 2 = ( -1 ) ( 10 – 12 ) = 2 A33 = ( -1 )3+3 0 1 4 2 = ( -1 )6 ( 0 – 4 ) = -4 Jadi adjoin A =                4 2 5 1 9 3 4 19 5 4. Matriks Invers Definisi :

Dua buah matriks A dan B dikatakan saling invers apabila hasil kali kedua matriks tersebut adalah matriks Identitas.

Atau dengan kata lain jika A dan B adalah matriks persegi berordo sama sedemikian sehingga berlaku A B = B A = I, maka B adalah invers dari A dan A adalah invers dari B.

Contoh : Matriks A = _      3 5 1 2 dan B = _        2 5 1 3

Matriks A dan B adalah saling invers, sebab AB = _      3 5 1 2         2 5 1 3 = _            6 5 15 15 2 2 5 6 = _      1 0 0 1 = I

Juga BA = _        2 5 1 3 _      3 5 1 2 = _            6 5 10 10 3 3 5 6 = _      1 0 0 1 = I

Jika A adalah suatu matriks persegi, maka A-1 =

A A adj det , dengan syarat det A ≠ 0 Contoh :

a. Carilah invers dari matriks A = _      4 3 2 1

b. Carilah invers dari matriks B =

          6 1 1 5 0 4 3 1 2 Jawab : a. A = _      4 3 2 1 A11 = 4, A12 = -3, A21 = -2, A22 = 1 adj A = _        1 3 2 4 det A = 4 2 3 1 = 4 – 6 = -2 A-1 = A A adj det = 2 1  _       1 3 2 4 =                 2 1 2 3 2 2 2 4

=           2 1 2 3 1 2 b.B =           6 1 1 5 0 4 3 1 2 adj B =                4 1 4 2 9 19 5 3 5 det B = 0 + 5 + 12 – 24-10-0 = -17 Jadi B-1 = B adj det B =                     17 4 17 1 17 4 17 2 17 9 17 19 17 5 17 3 17 5 Keterangan :

Matriks yang mempunyai invers adalah matriks yang harga determinannya ≠0 , yang disebut matriks non singular, sedangkan matriks yang harga determinannya adalah nol disebut matriks singular Pada Invers matriks berlaku sifat :

( A -1 ) -1 = A ( AB ) -1 = B-1 A-1 E. APLIKASI MATRIKS

Salah satu aplikasi matriks adalah menyelesaikan system persamaan linear dengan dua variabel.

Untuk hal tersebut perlu langkah-langkah sebagi berikut : 1. Tulislah persamaan dalam bentuk matriks

2. Ubahlah bentuk matriks tersebut ke dalam bentuk perkalian matriks koefisien, dengan matriks variabelnya

3. Kalikan kedua ruas matriks dengan invers matriks koefisiennya dari arah sebelah kiri

Contoh :

Tentukan nilai x dan y yang memenuhi sitem persamaan        4 2 10 4 3 y x y x Jawab :         y x y x 2 4 3 = _      4 10  _      2 1 4 3 _      y x = _      4 10

Invers dari matriks _      2 1 4 3 = 4 6 1  _       3 1 4 2 = ½ _        3 1 4 2

Kedua ruas dikalikan dengan invers matriks dari kiri, diperoleh :

½ _        3 1 4 2       2 1 4 3       y x = ½ _        3 1 4 2       4 10 _      1 0 0 1       y x = ½ _         12 10 16 20 = ½ _      2 4 _      y x = _      1 2

Jadi nilai x = 2 dan y = 1

SOAL-SOAL LATIHAN

1. Dari matriks-matriks berikut ini, tentukanlah matriks yang sama ! A =



1 0 5



B =           4 2 1 C =     3 15 0 1

D =                    4 16 10 20 5 5 E = _      6 2 1 4 F = _      6 1 2 4 G =           6 5 5 1 2 8

2. Tentukan nilai x dan y dari matriks-matriks berikut ini

a.           y x 5 =           4 5 3 b.



x y



=



5y 5



c. _      1 2 2 5 x y = _       1 6 4 5

3. Tentukan nilai a, b, c, d dari matriks berikut

a. _      d c b a - _      10 1 2 3 = _      5 2 12 3 b. _      5 4 2 1 - _      d c b a = _       1 6 4 5

4. Tentukan nilai x dan y dari matriks berikut

a. A = _      1 2 2 5 x y dan B = _      1 3 2 5 , jika A = Bt b. A = _       y x 1 2 dan B = _      6 2 1 4 , jika At = B

5. Tentukan matriks X yang memenuhi kesamaan matriks berikut ini a. 2 X - _      1 3 2 5 = _       2 3 2 1 b. X -           3 2 1 =           5 1 2 c. _       2 3 2 1 + 5 X = _      1 3 2 5

6. Tentukan transpose matriks berikut ini a. A = _      4 3 2 1 b. B = _      5 1 0 2 c. C =           4 5 3 d. D =           6 1 1 5 0 4 3 1 2

7. Tentukan hasil penjumlahan matriks berikut

a. _      4 3 2 1 + _      5 1 0 2 b. _      y x y x 3 2 + _       y x y x 5 3 2 8. Diketahui matriks A = _      4 3 2 1 , B = _      5 1 0 2 Tentukan nilai dari :

a.5A + 4B b.3A - B c.5 Bt d.AB e. BA f. At B

9. Tentukan determinan matriks berikut ini dengan cara Sarrus a. A =           2 4 1 0 3 3 1 2 1 b. B =            5 3 0 1 1 1 5 2 4 c. C =             2 3 1 4 2 2 0 1 1

10. Dengan menggunakan matriks tentukan HP dari system persamaan berikut ini :

a.        8 2 3 9 5 2 y x y x

b.         8 2 7 5 y x y x