REPRESENTASI GELFAND-NAIMARK-SEGAL DARI ALJABAR-C^*.

(1)

Ihsan Wira Senjaya, 2013

Representasi Gelfand-Naimark-Segal Dari Aljabar-C* Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu

REPRESENTASI GELFAND-NAIMARK-SEGAL DARI ALJABAR-�∗

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Sebagian dari Syarat Memperoleh Gelar

Sarjana Sains

Program Studi Matematika Konsentrasi Aljabar

Oleh

IHSAN WIRA SENJAYA

0905625

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

F A K U L T A S P E N D I D I K A N M A T E M A T I K A D A N I L M U P E N G E T A H U A N A L A M

UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

BANDUNG

(2)

REPRESENTASI GELFAND-NAIMARK-SEGAL DARI ALJABAR-�∗

Oleh

Ihsan Wira Senjaya

Sebuah skripsi yang diajukan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana pada Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Juni 2013

Hak Cipta dilindungi undang-undang.

(3)

Ihsan Wira Senjaya, 2013

(4)

ABSTRAK

Aljabar- ∗ adalah suatu aljabar Banach dengan syarat-syarat tambahan. Adanya sifat dari aljabar- ∗ yang tidak dimiliki oleh aljabar Banach umum membuktikan bahwa struktur dari aljabar- ∗ lebih kaya daripada aljabar Banach umum. Suatu subaljabar-* tutup dari (ℋ) disebut aljabar- ∗ konkret. Melalui suatu representasi, setiap aljabar- ∗ abstrak dapat dikaitkan dengan aljabar- ∗ konkret. Salah satu teknik standar dalam mengkonstruksi representasi dari aljabar- ∗ adalah melalui fungsional linear positif � pada . Dari fungsional linear positif ini dikonstruksi subruang vektor � dari yang selanjutnya dapat dikonstruksi ruang hasilkali dalam �_� yang diperoleh dari kuosien /�. Kemudian diperoleh pengaitan �_�: ⟶ (ℋ_�). Tripel ( ,�_�,�_�) selanjutnya disebut representasi Gelfand-Naimark-Segal dari .

(5)

v

Ihsan Wira Senjaya, 2013

ABSTRACT

A ∗-algebra is a Banach algebra with additional properties. The existence of that properties, makes the structure of ∗-algebras is better than general Banach algebras. We say closed ∗-subalgebra of (ℋ) is concrete ∗-algebra. Through a representation we can associate an abstract ∗-algebra with the concrete ∗ -algebra. One of the standard techniques for constructing a representation of ∗ -algebra is through a positive linear functional � on . We can construct a vector subspace � of and an inner product space ℋ_� which is obtained from quotient space /�, and then we have �_�: ⟶ (ℋ_�). We write ( ,�_�,�_�) for the triple we constructed, it is called Gelfand-Naimark-Segal representation associated to �.

(6)

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ... ……..i

UCAPAN TERIMA KASIH ... ……..ii

ABSTRAK ... ……..iv

ABSTRACT ... ……....v

DAFTAR ISI ... ……..vi

DAFTAR SIMBOL ... ……..viii

DAFTAR LAMPIRAN ……….……...ix

BAB I PENDAHULUAN ... ..1

1.1 Latar Belakang Masalah ... 1

1.2 Rumusan Masalah ... 2

1.3 Tujuan Penulisan ... 2

1.4 Manfaat Penulisan ... 2

BAB II KONSEP DASAR ALJABAR-�∗ ... 3

2.1 Ruang Vektor... 3

2.2 Ruang Banach ... 5

2.3 Ruang Hilbert ... 8

2.4 Transformasi Linear Terbatas ... 12

2.5 Aljabar ... 12

2.6 Aljabar Banach-* ... 13

2.7 Aljabar-�∗ ... 18

2.8 Fungsional Linear ... 20

2.9 Fungsional Linear Terbatas ... 21

(7)

vii

Ihsan Wira Senjaya, 2013

BAB III REPRESENTASI GELFAND-NAIMARK-SEGAL ... 25

3.1 Representasi………... 25

3.2 Konstruksi Gelfand-Naimark-Segal ... 26

BAB IV PENUTUP ... 38

4.1 Kesimpulan ... 38

4.2 Rekomendasi ... 40

REFERENSI ... 41

LAMPIRAN………..42

(8)

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Masalah

Teori aljabar Banach adalah suatu konsep matematika abstrak yang merupakan perpaduan dari banyak teori matematika lainnya, misalnya: aljabar abstrak, analisis fungsional, topologi, dan lainnya. Aljabar Banach berkembang pada awal abad ke-20, ketika konsep-konsep dan struktur abstrak diperkenalkan. I.M Gelfand adalah salah seorang tokoh utama dalam perkembangan teori aljabar Banach.

Suatu aljabar- ∗ adalah suatu aljabar Banach dengan syarat-syarat tambahan. Sifat dari aljabar- ∗ yang tidak dimiliki oleh aljabar Banach umum membuktikan bahwa struktur dari aljabar- ∗ lebih kaya daripada aljabar Banach umum.

Gelfand & Naimark (1943) menyatakan bahwa setiap aljabar- ∗ komutatif dengan elemen kesatuan adalah isomorfik dengan suatu aljabar dari fungsi kontinu � atau 0(�) dari himpunan kompak �. Untuk kasus yang lebih umum, mereka menyatakan bahwa setiap aljabar- ∗ (tidak perlu komutatif) adalah isomorfik dengan suatu subaljabar-* tutup dari (ℋ), operator-operator terbatas pada ruang Hilbert.

Suatu subaljabar-* tutup dari (ℋ) disebut aljabar- ∗ konkret. Melalui suatu representasi, setiap aljabar- ∗ abstrak dapat dikaitkan dengan aljabar- ∗ konkret. Dengan demikian unsur-unsur pada aljabar- ∗ abstrak dapat didefinisikan sebagai operator-operator linear terbatas pada ruang Hilbert.

(9)

2

Ihsan Wira Senjaya, 2013

Berdasarkan uraian di atas, penulis tertarik untuk mengkaji bagaimana mengkosntruksi suatu representasi Gelfand-Naimark-Segal dari aljabar- ∗

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan uraian di atas, rumusan masalah yang akan dibahas pada skripsi ini adalah:

1. Bagaimanakah kaitan antara fungsional linear positif dengan representasi? 2. Bagaimanakah mengkonstruksi suatu representasi Gelfand-Naimark-Segal

dari aljabar- ∗?

1.3 Tujuan Penulisan

Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut:

1. Untuk mengetahui kaitan antara fungsional linear positif dengan representasi.

2. Untuk mengetahui langkah-langkah mengkonstruksi representasi Gelfand-Naimark-Segal dari aljabar- ∗.

1.4 Manfaat Penulisan

Memperoleh gambaran yang lebih konkret tentang konsep dan konstruksi

(10)

BAB III

REPRESENTASI GELFAND-NAIMARK-SEGAL

Pada bagian ini akan dibahas konsep yang terkait dengan representasi yaitu homomorfisma-*, representasi nondegenerate, representasi faithful, representasi siklik, dan lemma-lemma untuk mengkonstruksi suatu representasi. Selanjutnya akan dibahas bagaimana mengkonstruksi representasi Gelfand-Naimark-Segal.

3.1 Representasi

Definisi 3.1.1: Homomorfisma-* (Murphy, 1990:36)

Misalkan dan adalah aljabar-*. Jika suatu homomorfisma � mengawetkan adjoin, yaitu � = � , maka � disebut homomorfisma-*.

Definisi 3.1.2: Representasi di Aljabar-� (Raeburn, 1997:35)

Misalkan aljabar- dengan unsur kesatuan 1. Representasi dari adalah pasangan (�,ℋ) yang terdiri atas ruang Hilbert ℋ dan homomorfisma-* �: ⟶

(ℋ).

Definisi 3.1.3: Nondegenerate (Raeburn, 1997:35)

Suatu representasi � dikatakan nondegenerate jika � 1 = 1, secara umum � dikatakan nondegenerate jika span � : ∈ , ∈ ℋ padat di ℋ artinya span

� : ∈ , ∈ ℋ

= ℋ.

Definisi 3.1.4: Faithful (Raeburn, 1997:35)

Suatu representasi � dikatakan faithful jika ker �= 0 (� � ).

Definisi 3.1.4: Siklik (Raeburn, 1997:35)

Suatu representasi � dikatakan siklik jika terdapat vektor � di ℋ, sehingga span

� (�)∶ ∈ = ℋ.

(11)

26

Pada bab ini akan dibahas Teorema Gelfand-Naimark-Segal beserta bukti konstruktifnya. Berikut ini adalah teorema yang dimaksud.

3.2 Konstruksi Gelfand-Naimark-Segal

Teorema 3.2.1: Jika suatu aljabar- dengan unsur kesatuan 1 dan suatu

fungsional positif pada , maka terdapat sebuah representasi � dari pada suatu

ruang Hilbert ℋ dan sebuah vektor � ∈ ℋ sedemikian sehingga

= � �,� untuk semua ∈ ,

dan span � � ∶ ∈ adalah padat di ℋ,artinya span � � ∶ ∈ =ℋ.

Sebelum menyajikan bukti dari teorema di atas, terlebih dahulu akan dibahas beberapa lemma dan konsep yang diperlukan. Bukti dari Teorema 3.2.1 akan diberikan pada bagian terakhir bab ini.

Misalkan aljabar- dengan unsur kesatuan 1 dan misalkan pula suatu fungsional positif pada .

Kemudian misalkan � ≔ �: ⟶ � pemetaan linear , di bawah operasi penjumlahan, perkalian skalar titik demi titik dan operasi komposisi, �( ) adalah suatu aljabar. Sekarang definisikan,

�0 : ⟶ � , �0 : = . Misalkan ∈ sembarang. Karena ∀ , , ∈ ,

�0 + = + = + =�0 +�0 ( ),

dan untuk sembarang skalar , berlaku

�0 = = = �0 ( ),

maka �₀ linear.

Selanjutnya akan dibuktikan bahwa �₀ adalah linear. Karena

�0 + = ( + ) = + =�0 +�0 ( )

dan untuk sembarang skalar , berlaku

(12)

27

Selanjutnya �₀ adalah suatu homomorfisma, karena �₀ linear dan memenuhi

�0 = = =�0 =�0 �0 ∀ , , ∈ , artinya �₀ =�0 �0( ).

Dengan demikian �₀ suatu homomorfisma aljabar dari ke �( ).

Lemma berikut mengaitan suatu fungsional linear positif dengan suatu

� � ( ∙ , ∙ ) sebagai pra hasilkali dalam.

Lemma 3.2.2: Misalkan suatu aljabar- dan suatu fungsional linear positif

pada .

Definisikan

∙ , ∙ : × ⟶ ℂ dengan ≔ ∀ , ∈ . maka

(i) ∙ , ∙ linear di bagian ,

(ii) ∙ , ∙ konjuget- linear di bagian ,

(iii) = ∀ , ∈ ,

(iv) 0.

Bukti:

(i) Sekarang akan diperlihatkan bahwa ∙ , ∙ linear di bagian . Untuk setiap ₁, ₂, ∈ dan skalar , berlaku

1+ 2 = 1+ 2 ,

= 1+ 2 ,

= 1 + ( 2),

= ₁ + ₂ . Kemudian untuk sembarang , diperoleh

= ( ),

(13)

28

Untuk setiap ₁, 2, ∈ dan skalar â, berlaku

1+ 2 = 1+ 2 ,

= ( 1 + 2 ) ,

` = ₁ + ( ₂ ),

= 1 + 2 . Kemudian untuk ∈ ℂ, maka

= (( ) ),

= ( ),

= . Jadi, ∙ , ∙ konjuget- linear di bagian .

Dengan demikian, ∙ , ∙ merupakan pemetaan sesquilinear. (iii) Berdasarkan Teorema 2.10.3 (2) diperoleh

= ( ) = ( ( )) = = . Jadi, = ∀ , ∈ .

(iv) Kemudian = 0, karena fungsional positif. ∎

Setelah pengaitan tersebut, selanjutnya akan dibahas lemma mengenai subruang dari .

Lemma 3.2.3: Misalkan � ≔ ∈ ∶ = 0 = ∈ ∶ = 0 ,

maka ∈ � jika dan hanya jika = 0 , untuk semua ∈ .

Bukti:

( ) Jika = 0 untuk semua ∈ , maka jelas terdapat ∈ sedemikian sehingga = 0.

( ) Jika ∈ �, maka ketaksamaan Cauchy-Schwartz pada Teorema 2.10.3 (2)

mengakibatkan

( ) 2 ( ),

0 ( ) 2 ( ),

0 2 ,

(14)

29

0 2 0.

Maka, = 0 , untuk semua ∈ .

Dengan demikian, ∈ � jika dan hanya jika = 0 , untuk semua ∈ . ∎

Dengan memanfaatkan subruang pada lemma sebelumnya, selanjutnya akan dikonstruksi suatu ruang vektor kuosien.

Akibat 3.2.4: � subruang dari , akibatnya /� ruang vektor kuosien.

Bukti:

Pandang kembali

� ≔ ∈ ∶ = 0 = ∈ ∶ = 0 .

Akan ditunjukkan � subruang dari .

Pertama, akan dibuktikan � ≠ ∅. Ambil ∈ , karena fungsional positif, diperoleh 0. Pilih 0∈ , maka 0 0 = 0 = 0. Maka terdapat 0∈ � sehingga � ≠ ∅.

Selanjutnya akan dibuktikan � subhimpunan dari . Berdasarkan definisi,

� ≔ ∈ ∶ = 0 = ∈ ∶ ( ) = 0 , maka jelas bahwa � ⊆ artinya � merupakan subhimpunan dari .

Kemudian akan dibuktikan bahwa

+ ∈ � ∀ , ∈ �.

Pilih , ∈ �, artinya = = 0 dan = = 0. Dengan memanfaatkan Lemma 3.2.3 maka diperoleh

+ + = ( + + ) = ( + + ),

= ( + + + ),

= + + + ( ),

= 0 + 0 + 0 + 0,

= 0.

Jadi, + ∈ � ∀ , ∈ �.

Kemudian untuk sembarang , diperoleh

(15)

30

Ihsan Wira Senjaya, 2013

= 0.

Jadi, ∈ � ∀ ∈ � .

Dengan demikian, � merupakan subruang dari .

Akibatnya /� ≔ +� ∈ suatu ruang vektor kuosien dengan

+� + +� = + +� ∀ , ∈ �, skalar. ∎

Selanjutnya akan dikonstruksi suatu hasilkali dalam untuk ruang vektor kuosien /�.

Lemma 3.2.5: Pengaitan ∙ ,∙ : /�× /� ⟶ ℂ

dengan +�, +� ≔ ≔ ( ), adalah hasilkali dalam pada /�.

Bukti:

Akan dibuktikan suatu pemetaan , yaitu jika ₁ = 2 1 = ( 2). Ambil 1+� , 2+� , 1+� , 2+� ∈ /�. Untuk sembarang , ∈ �, Jika ₁+ = ₂ + dan ₁+ = ₂+ , harus dibuktikan

1+ , 1+ = 2+ , 2+ .

Sehingga diperoleh

1+ = 2+ dan 1+ = 2+ ,

1+ 1+ = 2+ 2+ ,

( 1+ 1+ ) = ( 2+ 2+ ),

(( 1+ )( 1+ )) = (( 2+ )( 2+ )),

( _{1 1} + ₁ + ₁ + ) = ( _{2 2}+ ₂ + ₂+ ),

1 1 + 1 + 1 + = ( 1 1) + ( 1 ) + ( 1) + ( ),

( _{1 1}) + ( 1)+ ( 1) + ( ) = ( 1 1) + ( 2)+ ( 1) + ( ),

1 1 + 0 + 0 + 0 = 2 2 + 0 + 0 + 0,

1 1 = 2 2 , 1 1 = 2 2 ,

1+ , 1+ = 2+ , 2+ .

(16)

31

Selanjutnya akan dibuktikan bahwa ∙ , ∙ memenuhi sifat-sifat hasilkali dalam, yaitu :

(1) +�, +� 0, dengan +�, +� = 0 ⇔( +�) = 0,

(2) +�, +� = +�, +� ,

(3) ( + ) +�, +� = +�, +� + +�, +� , dan

(4) +�, +� = +�, +� .

∀ , ∈ , +�, +�, +� ∈ /� dan skalar .

Untuk membuktikan (1),

ingat bahwa fungsional positif, maka +�, +� ≔ ≔ 0. Jadi, +�, +� 0.

Selanjutnya, bila +�, +� = 0 maka = 0, artinya ∈ �, +� =

� merupakan vektor nol di /�.

Kemudian misalkan +� = 0 maka +�, +� = = 0 0 =

0 = 0.

Untuk membuktikan (2),

ingat bahwa = ( ), maka = dan juga +�, +� = +�, +� . Untuk membuktikan (3),

ingat bahwa,

( + ) +�, +� = + = ( + ),

= ( + ),

= + ( ),

= + ,

= +�, +� + +�, +� .

Untuk membuktikan (4), ingat bahwa,

+�, +� = = ( ),

= ( ),

(17)

32

Ihsan Wira Senjaya, 2013

= +�, +� .

Karena memenuhi (1), (2), (3), dan (4) , maka ∙,∙ merupakan hasilkali dalam pada /�.

Jadi, /� merupakan suatu Ruang Hasilkali Dalam. ∎

Selanjutnya akan dikonstruksi suatu pemetaan retriksi dari � ke � yang melibatkan �₀ .

Lemma 3.2.6: ∀ ∈ dan ∀ ∈ �,diperoleh �₀ = yaitu suatu

pemetaan dari � ke �.

Bukti:

Perhatikan bahwa,

= ( ), dan

0 2 ( ),

0 2 (0)( ) ( � ∈ �),

0 2 0.

Sehingga = 0 = ( ), artinya =�0 ∈ �. Karena = �0 ∈ �, sehingga dapat dibuat pemetaan

�0 ∶ � ⟶ �

⟼ �₀ . ∎

Setelah diperoleh pemetaan � ke �, dilakukan pengaitan antara pemetaan tersebut dengan pemetaan baru dari suaru ruang vektor kuosien /�.

Akibat 3.2.7: Terdapat secara tunggal suatu trasformasi linear

� ∶ /� ⟶ /�, sedemikian sehingga

� +� = �0 +� = +�. Bukti:

(18)

33

�0 = �0( )( + ), = ( + ),

= + ,

= �0 ( ) +�0 , = +�0 . Sehingga �₀ = �₀ +�₀ = +�₀ .

Misalkan = +�0( )( ), maka dapat dibentuk,

+� = = +�0 ,�0 ∈ �

Karena �₀ = ∈ , maka �₀ +� = +� ∈ /�. Sehingga diperoleh secara tunggal, suatu transformasi linear

� : /� ⟶ /�, ( +�) ⟼( +�),

dengan � +� = �₀ = �₀ +�₀ = +�₀ . Dapat dituliskan juga sebagai

� +� =�₀ +�= +�. ∎

Berikut ini deperkenalkan beberapa lemma yang akan digunakan untuk memperoleh suatu ruang Hilbert dan operator linear terbatas di ruang Hilbert.

Lemma 3.2.8: Misalkan suatu aljabar- dengan elemen 1, dan andaikan

self-adjoint. Maka 0 1 jika dan hanya jika � ⊂ 0, . Karena

0 1, mengakibatkan , dan diperoleh 2 1− 0 untuk

semua ∈ .

Lemma 3.2.9: Untuk sembarang ruang hasilkali dalam , terdapat suatu ruang

Hilbert ℋ dan Isomorfisma dari ke subruang padat ⊂ ℋ. Ruang ℋ

tunggal bergantung pada isomorfismanya.

Selanjutnya akan dibuktikan suatu teorema mengenai keberadaan suatu

(19)

34

Teorema 3.2.10: Bila � adalah suatu operator linear, terbatas pada /�,

maka terdapat secara tunggal perluasan dari �( ) pada lengkapan /� yang

merupakan suatu ruang Hilbert yang linear dan terbatas.

Bukti:

Akan ditunjukkan �( ) linear.

Perhatikan bahwa, untuk +� , +� ∈ /�. Diperoleh

�( )( +� + +� ) =�( )( + +�),

=�₀ + +�,

= + +�,

= +� + ( +�),

= �0 +� + �0 +� , =� +� +�( )( +�).

Kemudian untuk sembarang skalar diperoleh,

� +� = � +� , = �0 +�,

= +�,

= ( +�),

= (�0 +�),

= �( )( +�).

Akan ditunjukkan �( ) terbatas, artinya terdapat > 0, sehingga

� +� +� .

Perhatikan bahwa,

� +� 2 = +� 2 = +�, +� = ( ).

Perhatikan juga bahwa = ( ).

Berdasarkan Lemma 3.2.8, 2 1− suatu elemen positif dari , maka terdapat ∈ sedemikian sehingga 2 1− = .

Karena = 0, diperoleh

(20)

35

( ( 2 − ) 0,

( 2 − ) 0,

2 ₋ _0,

2 +� 2− � +� 2 0,

+� − � +� ( +� + � +� 0

) 0.

Maka haruslah +� − � +� 0. Sehingga diperoleh � +� +� . Jadi, = , maka � +� +� . Dengan demikian, � terbatas.

Kemudian berdasarkan Lemma 3.2.9, lengkapan /� merupakan suatu ruang Hilbert. Jadi, �( ) merupakan operator linear terbatas di lengkapan /� yang

merupakan ruang Hilbert. ∎

Dengan menggunakan seluruh lemma pada bab ini, akhirnya sampai pada pembuktian Teorema 3.2.1 mengenai keberadaan suatu representasi di aljabar- .

Bukti Teorema 3.2.1:

Misalkan ℋ adalah ruang Hilbert yang dikonstruksi pada Teorema 3.2.10. Untuk

setiap ∈ , pada Teorema 3.2.10 telah ditunjukkan bahwa

� +� = +�

adalah operator linear terbatas. Dengan demikian diperoleh pengaitan

�: ⟶ ℋ ,

⟼ � .

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa π suatu representasi.

Pertama akan ditunjukkan bahwa � linear dan homomorfisma-*. Ambil , ∈ , maka

� + +� = + +�,

= + +�,

(21)

36

Ihsan Wira Senjaya, 2013

= � +� +�( )( +�),

= (� +� )( +�).

Sehingga diperoleh � + = � +�( ). (i)

Untuk sembarang skalar , maka

�( )( +�) = +�,

= ( +�),

= (� +� ),

= �( )( +�).

Sehingga diperoleh � = �( ). (ii)

Ambil , ∈ , maka

�( )( +�) = +�,

= +�,

=�( )( +�),

=�( )(� +� ),

=� �( )( +�).

Sehingga diperoleh � = � �( ). (iii)

Kemudian � mengawetkan adjoin, yaitu

� +� , +� = +�, +� ,

= ( ),

= +�, +� ,

= +�,� +� , = � +� , +� .

Sehingga diperoleh � = � . (iv)

Dari (i), (ii), (iii), dan (iv), maka � homorfisma-*.

Jadi, (�,ℋ) suatu representasi, dimana � homomorfisma-* dan ℋ ruang Hilbert. Selanjutnya akan ditunjukkan � suatu representasi siklis.

Ambil �= 1 +�, maka

(22)

37

sp � � = /� padat di ℋ. Karena �= 1 +� merupakan vektor siklis, maka

� merupakan representasi siklis. ∎

Catatan: Bila melibatkan beberapa fungsional linear positif, misalkan dan ,

(23)

41

REFERENSI

Conway, J. B. (2000). A Course in Operator Theory. Rhode Island: American Mathematical Society.

Murphy, G. J. (1990). C*-Algebras and Operator Theory. San Diego: Academic Press, Inc.

Stein, E. M., & Shakarchi, R. (2003). Complex Analysis. New Jersey: Princeton University Press.

Lax, P. D. (1997). Linear Algebra. New York: John Wiley & Sons, Inc.

Bartle, R. G. & Sherbert, D.R. (2000). Introduction to Real Analysis, Third Edition. New York: John Wiley & Sons, Inc.

Bartle, R. G. (1964). The Elements of Real Analysis. New York: John Wiley & Sons, Inc.

Aliprantis,C.D. & Burkinshaw, O. (1998). Principles of Real Analysis, Third Edition. New York: Academic Press, Inc.

Raeburn, I. (1997). �∗-Algebras. Lecture notes from course given at University of Newcastle: Department of Mathematics University of Newcastle, Australia.

Anton, H. & Rorres, C. (2000). Elementary Linear Algebra, Eighth Edition. New York: John Wiley & Sons, Inc.

Anton, H. (2005). Aljabar Linear Elementer, Edisi Kelima. Jakarta: Erlangga.

Kreyszig, E. (1978). Introductory Functional Analysis with Applications. New York: John Wiley & Sons, Inc.

Rosjanuardi, R. (2007). “Aljabar-�∗dan Mekanika Kuantum”, dalam Mengenang Moedomo (1927-2005). Bandung: Majelis Guru Besar Institut Teknologi Bandung.

Yulianti, N. (2013). Fungsi Monoton Aljabar-�∗. Skripsi Sarjana pada FPMIPA UPI Bandung: tidak diterbitkan.