Kapita Selekta Matematika

(1)

1

Sudaryatno Sudirham

Kapita Selekta Matematika

Matriks

Sistem Persamaan Linier Bilangan Kompleks Permutasi dan Kombinasi

Aritmatika Interval

Matriks

2

Matrik adalah susunan teratur bilangan-bilangan dalam baris dan kolom yang membentuk suatu susunan persegi panjang yang kita perlakukan sebagai suatu kesatuan.

Contoh:           1 2 3 4 2 1 3 0 2 baris kolom

Nama matriks: huruf besar cetak tebal,

          = 1 2 3 4 2 1 3 0 2 A _      = 2 0 3 1 4 2 B Contoh: Notasi:

Bilangan ini bisa berupa bilangan nyata atau kompleks.

Kita akan melihat matriks berisi bilangan nyata.

3

Elemen Matriks

Isi suatu matriks disebut elemen matriks

Contoh:       = 2 0 3 1 4 2

B 2, 4, 1 dan 3, 0, 2 adalah elemen-emenen_{matriks yang membentuk baris}

2, 3 dan 4, 0, dan 1, 2 adalah elemen-elemen matriks yang membentuk kolom

Ukuran Matriks

Secara umum suatu matrik terdiri dari b baris dan k kolom, sehingga suatu matrik akan terdiri dari b×k elemen-elemen

Ukuran matriks dinyatakan sebagai b×k

Contoh:       = 2 0 3 1 4 2

B adalah matriks berukuran 2×3

(2)

          = 1 2 3 4 2 1 3 0 2 A b = k = 3 matriks bujur sangkar 3×3 Nama Khusus

Matriks dengan b = k disebut matriks bujur sangkar.

Matriks dengan k = 1 disebut matriks kolom atau vektor kolom. Matriks dengan b = 1 disebut matriks baris atau vektor baris. Matriks dengan b ≠k disebut matrik segi panjang

Contoh:       = 2 0 3 1 4 2 B b = 2, k = 3 matriks segi panjang 2×3       = 4 2 p k = 1 vektor kolom q=

[

3 2 4

]

b = 1 vektor baris Notasi nama vektor: huruf kecil cetak tebal

5

Secara umum, matriks A dapat kita tuliskan sebagai

[ ]

bk mn m m n n a a a a a a a a a a =             = L L L L L L L 2 1 2 22 21 1 12 11 A

elemen-elemen a11…amn disebut diagonal utama

Diagonal Utama

6

Matriks Segitiga

Contoh:

Matriks segitiga bawah :

          − = 3 4 3 0 1 1 0 0 2 1 T

Matriks segitiga atas :

          − = 3 0 0 3 1 0 1 2 2 2 T Ada dua macam matriks segitiga yaitu matriks segitiga bawah dan matriks segitiga atas Matriks segitiga bawah adalah matriks yang elemen-elemen di atas

diagonal utamanya bernilai nol.

Matriks segitiga atas adalah matriks yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol.

7

Matriks Diagonal

Matriks diagonal adalah matriks yang elemen-elemen di atas maupun di bawah diagonal utamanya bernilai nol.

Contoh:           = 0 0 0 0 1 0 0 0 2 D 8

(3)

Matriks Satuan

Jika semua elemen pada diagonal utama adalah 1, sedang elemen yang lain adalah 0, matriks itu disebut matriks satuan.

Contoh: I A =           = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Matriks Nol

Matriks nol, 0, yang berukuran m×n adalah matriks yang

berukuran m×n dengan semua elemennya bernilai nol.

9

Anak matriks atau sub-matriks       = 2 0 3 1 4 2 B

[

2 4 1

]

[

3 0 2

]

- Dua anak matriks 1×3 , yaitu:

      3 2       0 4       2 1

- Tiga anak matriks 2×1, yaitu:

- Enam anak matriks 1×1 yaitu: [2] , [4] , [1] , [3] , [0] , [2]; - Enam anak matriks 1×2 yaitu:

[

2 4

]

- Tiga anak matriks 2×2 yaitu:

Contoh:

Matriks B memiliki:

10

Matriks dapat dipandang sebagai tersusun dari anak-anak matriks yang berupa vektor-vektor

          = 1 2 3 4 2 1 3 0 2 A           = 3 2 1 a a a A dapat kita pandang sebagai matriks

dengan anak-anak matriks berupa vektor baris

[

2 0 3

]

1=

          = 3 1 2 1 a           = 2 2 0 2 a           = 1 4 3 3 a

dengan anak-anak matriks yang berupa vektor kolom

Contoh:

Contoh yang lain:

          = 1 2 3 4 2 1 3 0 2 A 11 Kesamaan Matriks

Dua matriks A dan B dikatakan sama jika dan hanya jika berukuran sama dan elemen-elemen pada posisi yang sama juga sama.

A = B       = 0 3 4 2 A Jika       = 0 3 4 2 B maka haruslah . Contoh: 12

(4)

Matriks Negatif

Negatif dari matriks berukuran m×n adalah matriks berukuran m×n yang diperoleh dengan mengalikan seluruh elemennya

dengan faktor (−1). . Contoh:       = 0 3 4 2 A       − − − = − 0 3 4 2 A 13 Penjumlahan

Penjumlahan dua matriks hanya didefinisikan untuk matriks yang berukuran sama

Jumlah dari dua matriks A dan B yang masing-masing berukuran

m×n adalah sebuah matriks C berukuran m×n yang

elemen-elemennya merupakan jumlah dari elemen-elemen matriks A dan

B yang posisinya sama

A B B A+ = +

(

A+B

)

+C=A+

(

B+C

)

      = 0 3 4 2 A       = 2 2 3 1 B Jika       = + 2 5 7 3 B A maka

Sifat-sifat penjumlahan matriks: Contoh:

14

Pengurangan Matriks

Pengurangan matriks dapat dipandang sebagai penjumlahan dengan matriks negatif

A 0 A+ = 0 A A A A− = +(− )=       = 0 3 4 2 A       = 2 2 3 1 B       − =       − − − − +       = − 2 1 1 1 2 2 3 1 0 3 4 2 B A Contoh: 15 Perkalian Matriks             = mn m m n n a a a a a a a a a L L L L L L L 2 1 2 22 21 1 12 11 A BA AB≠ 16               = pq m p q q a a a a a a a a a L L L L L L L 2 1 2 22 21 1 12 11 B

Jadi jika matriks A berukuran m×n dan B berukuran p×q

maka perkalian AB hanya dapat dilakukan jika n = p.

Hasil kali matriks AB berupa matriks berukuran m×q dengan nilai elemen

pada baris ke b kolom ke k merupakan hasil kali internal (dot product) vektor

baris ke b dari matriks A dan vektor kolom ke k dari matriks B

Perkalian antara dua matriks A dan B yaitu C = AB hanya terdefinisikan jika banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B.

Dalam perkalian matriks, urutan hatus diperhatikan.

(5)

Perkalian Matriks dengan Bilangan Skalar

Hasil kali suatu bilangan skalar a dengan matriks berukuran m××××n

adalah matriks berukuran m××××n yang seluruh elemennya bernilai a kali. aA = Aa           = ×           =           × 6 4 6 4 6 2 2 4 4 2 3 2 3 2 3 1 1 2 2 3 2 3 2 3 1 1 2 2 2

Perkalian matriks dengan bilangan skalar ini mempunyai sifat-sifat sebagai berikut

(

A B

)

aA aB a + = +

(

a+b

)

A=aA+bA

[ ]

bA

( )

abA a = Contoh: 17

Perkalian Internal Vektor (dot product)

[ ]

2 3 = a _      = 3 4 b vektor baris: vektor kolom:

.

Contoh:

2 kolom

2 baris Perkalian internal antara dua vektor a dan b yaitu c = ab hanya terdefinisikan jika banyak kolom vektor a sama dengan banyak baris

vektor b.

Dalam perkalian internal vektor, urutan perkalian harus diperhatikan.

[

]

[

2 4 3 3

] [ ]

17 3 4 3 2 _= × + × =      = • =a b c

Jika urutan dibalik, b : 1 kolom, a : 1 baris, perkalian juga dapat dilakukan tetapi memberikan hasil yang berbeda

[

]

      =       × × × × =       = • = 9 6 12 8 3 3 2 3 3 4 2 4 3 2 3 4 a b d

perkalian internal dapat dilakukan

Perkalian matriks tidak komutatif.

18

Perkalian Matriks Dengan Vektor

      = 4 3 1 2 A       = 3 2 b Misalkan dan dapat dikalikan 2 kolom 2 baris       =       × + × × + × =       • • =       = = 18 7 3 4 2 3 3 1 2 2 2 1 2 1 b a b a b a a Ab C

Jika urutan perkalian dibalik, perkalian tidak dapat dilakukan

karena b terdiri dari satu kolom sedangkan A terdiri dari dua baris.

Contoh:

19

Perkalian Dua Matriks Bujur Sangkar

      = 4 3 1 2 A _      = 3 5 2 4 B dan Contoh: dapat dikalikan kolom = 2 baris = 2

Matriks A kita pandang sebagai _      = 2 1 a a A

Matriks B kita pandang sebagai B=

[

b₁ b₂

]

[

]

      =       × + × × + × × + × × + × =       • • • • =       = = 18 32 7 13 3 4 2 3 5 4 4 3 3 1 2 2 5 1 4 2 2 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 b a b a b a b a b b a a AB C 20

(6)

Perkalian dua matriks persegi panjang       = 2 3 1 3 4 2 A           = 3 2 3 4 2 1 B dan dapat dikalikan kolom = 3 baris = 3       =       × + × + × × + × + × × + × + × × + × + × =                 = = 17 17 25 25 3 2 3 3 2 1 2 2 4 3 1 1 3 3 3 4 2 2 2 3 4 4 1 2 3 2 3 4 2 1 2 3 1 3 4 2 AB C Contoh: 21       = 2 1 a a A B=

[

b₁ b₂

]

[

]

      • • • • =       = = 2 2 1 2 2 1 1 1 2 1 2 1 b a b a b a b a b b a a AB C

Pernyataan matriks dengan anak matriks pada contoh di atas adalah

,

sehingga

.

Dalam operasi perkalian matriks:

matriks yang pertama kita susun dari anak matriks yang berupa vektor baris

CA CB C + = +

Sifat-sifat perkalian matriks

b. Tidak komutatif. Jika perkalian AB maupun BA terdefinisikan, maka pada umumnya AB ≠BA

a. Asosiatif dan distributif terhadap penjumlahan

Jika AB = 0 tidak selalu berakibat A = 0 atau B = 0. c. Hukum pembatalan tidak selalu berlaku.

23

Putaran matriks atau transposisi dari matriks A berukuran m×n adalah suatu matriks AT_{yang berukuran n×m dengan}

kolom-kolom matriks A sebagai baris-barisnya yang berarti pula bahwa baris-baris matriks A menjadi kolom-kolom matriks AT

[ ]

bk mn m m n n a a a a a a a a a a =             = L L L L L L L 2 1 2 22 21 1 12 11 A

[ ]

pq mn n n m m a a a a a a a a a a =             = L L L L L L L 2 1 2 22 12 1 21 11 T A Jika maka 24

(7)

Putaran Vektor Baris Dan Vektor Kolom

Putaran vektor baris akan menjadi vektor kolom. Sebaliknya putaran vektor kolom akan menjadi vektor baris.

[

(

)

T T T 2 3 1 3 4 2 5 7 3 b a b a = +           +           =           = +

(

)

T T T b a b a+ = + Jika maka Secara umum : Contoh: 26

Putaran Hasil Kali Vektor Baris Dan Vektor Kolom

Putaran hasil kali vektor baris dengan vektor kolom atau vektor kolom dengan vektor baris, sama dengan hasil kali putaran

masing-masing dengan urutan dibalik

[

Putaran Jumlah Matriks

Putaran jumlah dua matriks sama dengan jumlah putaran masing-masing matriks.

Hal ini telah kita lihat pada putaran jumlah vektor baris.

(

)

T T T B A B A+ = +

[

a am

]

A= ₁ L B=

[

b₁ L b_m

]

[

a b am bm

]

B A+ = ₁+ ₁ L + Jika Dengan demikian dan maka

(

)

(

)

(

)

T T T T 1 T T 1 T T T 1 T 1 T T 1 1 T _A _B b b a a b a b a b a b a B A = +             +             =             + + =             + + = + m m m m m m L L L L 30

Putaran Hasil Kali Matriks

Putaran hasilkali dua matriks sama dengan hasil kali putaran masing-masing dengan urutan yang dibalik. Hal ini telah kita lihat

pada putaran hasil kali vektor baris dan vektor kolom.

( )

_ABT₌_BT_AT           = m a a A L 1

[

b bn

]

B= ₁ L           • • • • = n m n m n b a b a b a b a AB L L L L L ₁ 1 1 Jika dan maka

[

]

T T 1 1 1 1 1 T A B a a b b b a b a b a b a AB =           =           • • • • = m n n m n m n L L L L L L L Dengan demikian maka

31

Matriks Simetris

Jika

dikatakan bahwa matriks Badalah simetris miring. B

BT=−

Matriks simetris adalah matriks yang putarannya sama dengan matriksnya sendiri. Jadi matriks A dikatakan simetris apabila

A AT=

Karena dalam setiap putaran matriks nilai elemen-elemen diagonal utama tidak berubah,

maka matriks simetris miring dapat terjadi jika elemen diagonal utamanya bernilai nol. Berkaitan dengan putaran matriks, kita mengenal kesimetrisan pada

matriks nyata.

(9)

Sistem Persamaan Linier

33

Suatu sistem persamaan linier (atau himpunan persaman linier simultan) adalah satu set persamaan dari sejumlah unsur yang tak diketahui.

Bentuk umum: m n mn m n n n n b x a x a b x a x a b x a x a = + + = + + = + + L L L 1 1 2 2 1 21 1 1 1 11 . . . . . . . . . . .

Sistem ini mengandung m persamaan dengan n unsur yang tak diketahui yaitu x1….xn.

Bilangan a11…..amndisebut koefisien dari sistem itu, yang biasanya

merupakan bilangan-bilangan yang diketahui. Bilangan-bilangan b1….bmjuga merupakan bilangan-bilangan yang

diketahui, bisa bernilai tidak nol maupun bernilai nol Jika seluruh b bernilai nol maka sistem persamaan tersebut disebut

sistem persamaan homogen

34

Dari sistem persamaan linier diharapkan adanya solusi yaitu satu set nilai dari x1…xnyang memenuhi sistem persamaan tersebut.

Jika sistem ini homogen, ia mengandung solusi trivial (solusi tak penting) yaitu x1= 0, …., xn= 0.

Pertanyaan-pertanyaan yang timbul tentang solusi dari sistem persamaan ini adalah:

a). Benar adakah solusi dari sistem ini ? b). Bagaimanakah cara untuk memperoleh solusi? c). Kalau sistem ini mempunyai lebih dari satu solusi,

bagaimanakah himpunan solusi tersebut?

d). Dalam keadaan bagaimanakah sistem ini tepat mempunyai satu solusi? 35 Operasi Baris m n mn m n n n n b x a x a b x a x a b x a x a = + + = + + = + + L L L 1 1 2 2 1 21 1 1 1 11 . . . . . . . . . . .

Pada sistem ini kita dapat melakukan operasi-operasi yang disebut

operasi barissebagai berikut:

a). Ruas kiri dan ruas kanan dari setiap persamaan dapat dikalikan dengan faktor bukan nol yang sama, tanpa mempengaruhi himpunan sistem persamaan tersebut.

c). Mempertukarkan tempat (urutan) persamaan tidaklah mengganggu himpunan sistem persamaan.

b). Ruas kiri dari setiap persamaan dapat dijumlahkan ke ruas kiri persamaan yang lain asal ruas kanannya juga dijumlahkan. Operasi ini tidak mengganggu keseluruhan sistem persamaan tersebut.

(10)

Sistem persamaan linier dapat dituliskan dalam bentuk matriks dengan memanfaatkan pengertian perkalian matriks. Bentuk itu adalah

            =                         m n mn m m n n b b b x x x a a a a a a a a a L L L L L L L L L 2 1 2 1 2 1 2 22 21 1 12 11

Penulisan Persamaan Linier Dalam Bentuk Matriks

atau secara singkat

Ax

=

b

            =             =             = m n mn m m n n b b b x x x a a a a a a a a a L L L L L L L L L 2 1 2 1 2 1 2 22 21 1 12 11 ; ; x b A dengan 37

Dari cara penulisan tersebut di atas, kita dapat membangun suatu matriks baru yang kita sebut matriks gandengan, yaitu dengan menggandengkan matriks A dengan b menjadi

            = m mn m m n n b a a a b a a a b a a a | | | | ~ 2 1 2 2 22 21 1 1 12 11 L L L L L L L L A

Matriks gandengan ini menyatakan sistem persamaan linier secara lengkap. Operasi-operasi baris pada sistem persamaan linier kita terjemahkan ke dalam matriks gandengan menjadi sebagai berikut a). Setiap elemen dari baris yang sama dapat dikalikan dengan

faktor bukan nol yang sama.

b). Satu baris boleh dijumlahkan ke baris yang lain. c). Tempat baris (urutan baris) dapat dipertukarkan.

38

Setiap operasi baris akan menghasilkan matriks gandengan baru.

Operasi baris dapat kita lakukan lagi pada matriks gandengan baru dan menghasilkan matriks gandengan yang lebih baru lagi dan yang terakhir

inipun setara baris dengan matriks gandengan yang lama. Matriks gandengan baru ini disebut sebagai setara baris dengan matriks

gandengan yang lama.

Dengan singkat kita katakan bahwa operasi baris menghasilkan matriks gandengan yang setara baris dengan matriks gandengan

asalnya.

Hal ini berarti bahwa matriks gandengan baru menyatakan sistem persamaan linier yang sama dengan matriks gandengan asalnya.

39

Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss merupakan langkah-langkah sistematis untuk memecahkan sistem persamaan linier. Karena matriks gandengan merupakan pernyataan lengkap dari suatu sistem persamaan linier, maka eliminasi Gauss cukup dilakukan pada matriks gandengan ini.

Suatu sistem persamaan linier:

Contoh: 0 2 3 4 8 2 5 3 0 2 4 8 = + − + − = − + − = − + − = − D C B A D C B A C B A B A x x x x x x x x x x x x x

Kita tuliskan persamaan ini dalam bentuk matriks:

            =                         − − − − − − − 0 8 0 8 2 3 4 1 2 5 3 1 0 2 4 1 0 0 1 1 D C B A x x x x 40

(11)

Matriks gandengnya adalah:             − − − − − − − 0 | 2 3 4 1 8 | 2 5 3 1 0 | 0 2 4 1 8 | 0 0 1 1

Langkah-1: Langkah pertama pada eliminasi Gauss pada matriks gandengan adalah mempertahankan baris ke-1 (disebut mengambil baris ke-1 sebagai pivot) dan membuat suku pertama baris-baris berikutnya menjadi bernilai nol.

1) baris ( 1) baris ( baris1) ( pivot 8 | 2 3 3 0 0 | 2 5 2 0 8 | 0 2 3 0 8 | 0 0 1 1 + − +             − − − − −

Pada matriks yang diberikan ini, langkah pertama ini dilaksanakan dengan menambahkan baris ke-1 ke baris ke-2, mengurangkan baris ke-1 dari baris ke-3 dan menambahkan baris ke-1 ke baris ke-4. Hasil operasi ini adalah

41

Langkah-2: Langkah kedua adalah mengambil baris ke-2 dari matriks gandeng yang baru saja kita peroleh sebagai pivot, dan membuat suku kedua baris-baris berikutnya menjadi nol. Ini kita lakukan dengan mengalikan baris ke-2 dengan 2/3 kemudian menambahkannya ke baris ke-3, dan mengurangkan baris ke-2 dari baris ke-4. Hasil operasi ini adalah 8 | 2 3 3 0 0 | 2 5 2 0 8 | 0 2 3 0 8 | 0 0 1 1             − − − − − 2) (-baris 2) baris 2/3 ( (pivot) 0 | 2 1 0 0 3 / 16 | 2 3 / 4 5 0 0 8 | 0 2 3 0 8 | 0 0 1 1 +             − − − − − 42 Kalikan baris ke 3 dengan 3 agar diperoleh bilangan bulat 0 | 2 1 0 0 3 / 16 | 2 3 / 4 5 0 0 8 | 0 2 3 0 8 | 0 0 1 1             − − − − − 0 | 2 1 0 0 16 | 6 11 0 0 8 | 0 2 3 0 8 | 0 0 1 1             − − − − 43 0 | 2 1 0 0 16 | 6 11 0 0 8 | 0 2 3 0 8 | 0 0 1 1             − − − −

Langkah-3: Langkah ketiga adalah mengambil baris ke-3 sebagai pivot dan membuat suku ke-3 dari baris ke-4 menjadi nol. Ini dapat kita lakukan dengan mengalikan baris ke-4 dengan 11 kemudian menambahkan kepadanya baris ke-3. Hasilnya adalah:

3 baris 11 pivot 16 | 16 0 0 0 16 | 6 11 0 0 8 | 0 2 3 0 8 | 0 0 1 1 + ×             − − − 44

(12)

Matriks gandeng terakhir ini menyatakan bentuk matriks: 16 16 16 6 11 8 2 3 8 = = − = − = − D D C C B B A x x x x x x x

yang dengan substitusi mundur akan memberikan:

12 ; 4 ; 2 ; 1 = = = = C B A D x x x x Hasil terakhir langkah ketiga adalah: 16 | 16 0 0 0 16 | 6 11 0 0 8 | 0 2 3 0 8 | 0 0 1 1             − − −

Matriks terakhir ini menyatakan sistem persamaan linier:             =                         − − − 16 16 8 8 16 0 0 0 6 11 0 0 0 2 3 0 0 0 1 1 D C B A x x x x 45

Sistem-sistem Tertentu Dan Tidak Tertentu

Sistem tertentu adalah sistem yang memberikan tepat satu solusi. Sistem tertentu terjadi jika unsur yang tak diketahui sama banyak dengan persamaannya, dan persamaan-persamaan ini tidak saling bergantungan.

Jika persamaan lebih banyak dari unsur yang tak diketahui, sistem menjadi tertentu berlebihan.

Jika unsur yang tak diketahui lebih banyak dari persamaannya, maka sistem itu menjadi kurang tertentu. Sistem yang kurang tertentu memberikan tidak hanya satu solusi akan tetapi banyak solusi.

Sistem yang kurang tertentu selalu mempunyai solusi (dan banyak) sedangkan sistem tertentu dan tertentu berlebihan bisa memberikan solusi bisa juga tidak memberikan solusi.

46

Contoh Sistem Persamaan Yang Memberikan Banyak Solusi

8 2 3 0 2 4 8 − = + − = − + − = − C B C B A B A x x x x x x x Matriks gandeng:           − − − − − 8 | 2 3 0 0 | 2 4 1 8 | 0 1 1 Eliminasi Gauss:           − − − − 8 | 2 3 0 8 | 2 3 0 8 | 0 1 1           − − 0 | 0 0 0 8 | 2 3 0 8 | 0 1 1 Contoh: 47

Matriks gandengan ini menyatakan sistem persamaan :

0 0 8 2 3 8 = = − = − C B B A x x x x 3 / ) 2 8 ( _C B x x = +

Dari persamaan ke-2 kita mendapatkan 3 / ) 2 8 ( 8 _C A x x = + +

yang kemudian memberikan

Karena xCtetap sembarang maka kita mendapatkan banyak

solusi. Kita hanya akan memperoleh nilai xAdan xBjika kita

menentukan nilai x_Clebih dulu

(13)

Contoh Sistem Yang Tidak Memberikan Solusi 10 2 3 0 2 4 8 − = + − = − + − = − C B C B A B A x x x x x x x

Matriks gandeng dan eliminasi Gauss memberikan

          − − − − − 10 | 2 3 0 0 | 2 4 1 8 | 0 1 1           − − − − 10 | 2 3 0 8 | 2 3 0 8 | 0 1 1           − − − 2 | 0 0 0 8 | 2 3 0 8 | 0 1 1 Contoh: 49

Sistem persamaan dari matriks gandeng terakhir ini adalah

2 0 8 2 3 8 − = = − = − C B B A x x x x

Kita lihat di sini bahwa penerapan eliminasi Gauss pada akhirnya menghasilkan suatu kontradiksi yang dapat kita lihat pada baris

terakhir.

Hal Ini menunjukkan bahwa sistem persamaan yang sedang kita tinjau tidak memberikan solusi.

50

Bentuk Eselon

Bentuk matriks pada langkah terakhir eliminasi Gauss, disebut bentuk

eselon.           − − 0 0 0 2 3 0 0 1 1           − − − 2 | 0 0 0 8 | 2 3 0 8 | 0 1 1 dan

Secara umum bentuk eselon matriks gandengan adalah                       ′ ′ ′ + m r r rn rr n n b b b k k b c c b a a a | 0 | | 0 | | | 0 | 1 2 2 22 1 1 12 11 M L M L L L L L L

Dari contoh di atas, bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya adalah

51

dan sistem yang telah tereduksi pada langkah akhir eliminasi Gauss akan berbentuk m r r n rn r rr n n n n b b b x k x k b x a x c b x a x a x a ′ = ′ = ′ = + + ′ = + + = + + + + 0 0 1 2 2 2 22 1 1 2 12 1 11 M L M L L L L L L L L dengan a₁₁≠0, a₂₂≠0, k_rr≠0 , dan r ≤n a). Jika dan sama dengan nol atau tidak ada, maka sistem persamaan ini akan memberikan tepat satu solusi.

b). Jika dan sama dengan nol atau tidak ada, maka sistem persamaan ini akan memberikan banyak solusi.

c). Jika ataupun dan tidak sama dengan nol atau mempunyai nilai, maka sistem persamaan ini tidak memberikan solusi. n r= b_r′₊₁,K,b_m′ n r< br′+1,K,bm′ n r= r<n br′+1,K,bm′

Perhatikan bentuk ini:

(14)

Jadi suatu sistem persamaan akan memberikan solusi jika sama dengan nol atau tidak ada.

m

r b

b′+1,K,′

Pada suatu sistem persamaan yang memberikan solusi, ketunggalan solusi terjadi jika r=n.

Nilai r yang dimiliki oleh matriks gandengan ditentukan oleh banyaknya vektor baris yang bebas linier dalam matriks gandeng. Pengertian tentang kebebasan linier vektor-vektor kita bahas berikut

ini. n

r<

Jika persamaan akan memberikan banyak solusi.

53

Bebas Linier Dan Tak-bebas Linier Vektor-vektor

Misalkan a1 ,a2, L am

adalah vektor-vektor baris dari suatu matriks A =[a_bk]. Kita tinjau suatu persamaan vektor

0 2 2 1 1 +c + +cm m= ca a L a

Apabila persamaan vektor ini terpenuhi hanya jika semua koefisien (c1…cm) bernilai nol, maka vektor-vektor baris tersebut adalah

bebas linier.

Jika persamaan vektor tersebut dapat dipenuhi dengan koefisien yang tidak semuanya bernilai nol (artinya setidak-tidaknya ada

satu koefisien yang tidak bernilai nol) maka vektor-vektor itu

tidak bebas linier.

54

Jika satu himpunan vektor terdiri dari vektor-vektor yang bebas linier, maka tak satupun dari vektor-vektor itu dapat dinyatakan dalam kombinasi linier dari vektor yang lain. Hal ini dapat dimengerti karena

dalam persamaan tersebut di atas semua koefisien bernilai nol untuk dapat dipenuhi.

Vektor a1misalnya, dapat dinyatakan sebagai 0 1 2 1 2 1=− − − m m= c c c c a a a L

karena koefisien-koefisien ini tidak seluruhnya bernilai nol Jika vektor-vektor tidak bebas linier maka nilai koefisien pada persamaan tersebut di atas (atau setidak-tidaknya sebagian tidak bernilai nol) maka satu vektor dapat dinyatakan sebagai kombinasi

linier dari vektor yang lain.

55

Contoh: Dua vektor baris a1=

[

2 3 1 2

]

dan a2=

[

4 2 6 2

]

Vektor a1dan a2adalah bebas linier karena

[

2 3 1 2

] [

24 2 6 2

]

] [

4 6 2 4

]

2 0 21 2 3= a + a = + = a

Akan tetapi jika kita hanya melihat a3dan a2saja, mereka adalah bebas linier.

(15)

Rank Matriks

Dengan pengertian tentang vektor yang bebas linier, didefinisikan rank matriks.

Banyaknya vektor baris yang bebas linier dalam suatu matriks A = [abk]

disebut rank matriks A disingkat rank A. Jika matrik B = 0 maka rank B adalah nol.

Operasi baris pada suatu matriks menghasilkan matriks yang setara baris dengan matriks asalnya. Hal ini berarti pula bahwa rank matriks

baru sama dengan rank matriks asalnya.

Dengan perkataan lain operasi baris tidak mengubah rank matriks. Jadi rank suatu matriks dapat diperoleh melalui operasi baris, yaitu sama dengan rank matriks yang dihasilkan pada langkah terakhir

eliminasi Gauss.

Bentuk eselon matriks yang diperoleh pada langkah terakhir eliminasi Gauss, mengandung vektor-vektor baris yang bebas

linier karena vektor yang tak bebas linier telah tereliminasi. Bagaimana menentukan rank suatu matriks?

57

Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari sistem persamaan yang memberikan solusi tunggal dalam contoh, adalah

            − − − 16 0 0 0 6 11 0 0 0 2 3 0 0 0 1 1             − − − 16 | 16 0 0 0 16 | 6 11 0 0 8 | 0 2 3 0 8 | 0 0 1 1 dan

Dalam kasus ini rank matriks koefisien sama dengan rank matriks gandengan, yaitu 4. Selain dari pada itu rank matriks sama dengan

banyaknya unsur yang tak diketahui yaitu 4

Contoh:

58

Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari sistem persamaan yang memberikan banyak solusi, adalah

Contoh:           − − 0 0 0 2 3 0 0 1 1           − − 0 | 0 0 0 8 | 2 3 0 8 | 0 1 1 dan

Dalam kasus ini rank matriks koefisien sama dengan rank matriks gandengan, yaitu 2. Akan tetapi rank matriks ini lebih

kecil dari banyaknya unsur yang tak diketahui.

59

Contoh:

Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari sistem persamaan yang tidak memberikan solusi, adalah

          − − 0 0 0 2 3 0 0 1 1           − − − 2 | 0 0 0 8 | 2 3 0 8 | 0 1 1 dan

Dalam kasus ini rank matriks koefisien tidak sama dengan

rankmatriks gandengan. Rank matriks koefisien adalah 2 sedangkan rank matriks gandengannya adalah 3. Ketidak samaan rank dari kedua matriks ini menunjukkan tidak

adanya solusi.

(16)

Apa yang kita amati dalam contoh-contoh di atas ternyata berlaku umum.

c). jika rank matriks koefisien lebih kecil dari banyaknya unsur yang tak diketahui maka akan diperoleh banyak solusi.

a). agar suatu sistem persamaan memberikan solusi maka rank matriks koefisien harus sama dengan rank matriks gandengannya;

b). agar sistem persamaan memberikan solusi tunggal maka rank matriks koefisien harus sama dengan banyaknya unsur yang tak diketahui;

61

Sistem Persamaan Homogen

Sistem persamaan disebut homogen apabila nilai b di ruas kanan dari persamaan sistem bernilai nol. Jika tidak demikian maka sistem itu disebut tak homogen. Sistem persamaan homogen berbentuk

0 . . . . . . . . . . . 0 0 2 2 1 1 2 2 22 1 21 1 2 12 1 11 = + + + = + + + = + + + n mn m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a L L L

Bentuk matriks gandengan sistem ini adalah

            = 0 | | 0 | 0 | ~ 2 1 2 22 21 1 12 11 mn m m n n a a a a a a a a a L L L L L L L L A 62

Eliminasi Gauss pada sistem demikian ini akan menghasilkan

            ′ ′ ′ ′ ′ ′ = ′ 0 | 0 0 0 | 0 | 0 0 | ~ 22 2 1 12 11 mn n n a a a a a a L L L L L L L A

Jika rank matriks gandengan terakhir ini sama dengan banyaknya unsur yang tak diketahui, r = n, sistem persamaan akhirnya akan

berbentuk 0 0 0 2 2 22 1 2 12 1 11 = ′ = ′ + + ′ = ′ + + ′ + ′ n mn n n n n x a x a x a x a x a x a M L L

Dari sini terlihat bahwa dan substitusi mundur akhirnya memberikan semua x bernilai nol. Ini merupakan solusi trivial dan solusi trivial ini diakibatkan oleh kenyataan bahwa r = n. Solusi tak trivial hanya akan diperoleh jika .

0 = n x n r< 63

Sistem Persamaan Homogen Yang Hanya Memberikan Solusi Trivial

0 2 3 4 0 2 5 3 0 2 4 0 = + − + − = − + − = − + − = − D C B A D C B A C B A B A x x x x x x x x x x x x x

Matriks gandengan sistem ini dan hasil eliminasi Gauss-nya adalah

            − − − − − − − 0 | 2 3 4 1 0 | 2 5 3 1 0 | 0 2 4 1 0 | 0 0 1 1             − − − 0 | 16 0 0 0 0 | 6 11 0 0 0 | 0 2 3 0 0 | 0 0 1 1

Rank matrik koefisien adalah 4; banyaknya unsur yang tak diketahui juga 4. Sistem persamaan liniernya menjadi

0 16 0 6 11 0 2 3 0 = = − = − = − D D C C B B A x x x x x x x 0 = = = = C B A D x x x x yang akhirnya memberikan

Inilah solusi trivial yang dihasilkan jika terjadi keadaan r=n

Contoh:

(17)

Sistem Persamaan Yang Memberikan Solusi Tak Trivial 0 6 13 4 0 2 5 3 0 2 4 0 = + − + − = − + − = − + − = − D C B A D C B A C B A B A x x x x x x x x x x x x x

Matriks gandengan dan hasil eliminasinya adalah

Contoh:             − − − − − − − 0 | 6 13 4 1 0 | 2 5 3 1 0 | 0 2 4 1 0 | 0 0 1 1               − − − 0 | 0 0 0 0 0 | 6 11 0 0 0 | 0 2 3 0 0 | 0 0 1 1 eliminasi Gauss:

Sistem persamaan menjadi

0 0 0 6 11 0 2 3 0 = = − = − = − D C C B B A x x x x x x 65 1 = D x 33 12 ; 33 12 ; 11 6 ₌ ₌ = B A C x x x

Jika kita mengambil nilai maka akan diperoleh

.

Solusi ini membentuk vektor solusi

            = 1 11 / 6 33 / 12 33 12 1 / x

yang jika matriks koefisiennya digandaawalkan akan

menghasilkan vektor nol b = 0 

          =                         − − − = 0 0 0 0 1 6/11 12/33 12/33 0 0 0 0 6 11 0 0 0 2 3 0 0 0 1 1 1 Ax 66

Jika kita menetapkan nilai xDyang lain, misalnya akan

diperoleh vektor solusi yang lain, yaitu

33 = D x 1 2 33 33 18 12 12 x x =               =

Penggandaawalan matriks koefisiennya juga akan menghasilkan vektor nol Vektor solusi x2ini merupakan perkalian solusi sebelumnya dengan bilangan skalar (dalam hal ini 33), yang sesungguhnya bisa bernilai sembarang. Secara umum vektor solusi berbentuk

1

x xc=c

dengan c adalah skalar sembarang

67

Vektor solusi yang lain lagi dapat kita peroleh dengan menjumlahkan vektor-vektor solusi, misalnya x1dan x2.

1 1 1 2 1 3 33 34 33 18 12 12 1 11 / 6 33 / 12 33 / 12 x x x x x x = + =             +             = + =

Jelas bahwa x3juga merupakan solusi karena jika digandaawalkan akan memberikan hasil vektor nol. Jadi secara umum vektor solusi dapat juga diperoleh dengan menjumlahkan vektor solusi yang kita nyatakan sebagai

∑

= c

j x

x

(18)

Jika kita perhatikan lebih lanjut ruang vektor yang terbentuk oleh vektor solusi akan berdimensi (n−r), yaitu selisih antara banyaknya unsur yang tak diketahui dengan rank matriks koefisien. Dalam kasus yang sedang kita tinjau ini, banyaknya

unsur yang tak diketahui adalah 3 sedangkan rank matriks koefisien adalah 2.

Contoh di atas memperlihatkan bahwa solusi dari sistem persamaan homogen membentuk vektor-vektor yang seluruhnya dapat diperoleh melalui perkalian salah satu vektor solusi dengan skalar serta penjumlahan vektor-vektor solusi. Kita katakan bahwa solusi dari sistem persamaan homogen membentuk suatu ruang vektor.

Dalam sistem persamaan homogen yang sedang kita tinjau ini, ruang vektor yang terbentuk adalah ber-dimensi satu. Perhatikan bahwa setiap vektor solusi merupakan hasilkali skalar

dengan vektor x1.

69

Sistem Persamaan Dengan Vektor Solusi Berdimensi 2

0 4 10 7 0 2 5 4 0 2 5 4 0 = + − + − = − + − = + − + − = − D C B A D C B A D C B A B A x x x x x x x x x x x x x x Contoh:

Matriks gandengan dan hasil eliminasi Gauss adalah

            − − − − − − − 0 | 4 10 7 1 0 | 2 5 4 1 0 | 2 5 4 1 0 | 0 0 1 1             − − 0 | 0 0 0 0 0 | 0 0 0 0 0 | 2 5 3 0 0 | 0 0 1 1

Rank matriks ini adalah 2 sedangkan banyaknya unsur tak diketahui 4. Sistem persamaan menjadi

0 0 0 0 0 2 5 3 0 = = = + − = − D C B B A x x x x x 70 0 dan 1 = = D C x x 5/3 ; 3 / 5 = = A B x x Jika kita memberi nilai

kita akan mendapatkan

.               = 0 1 3 / 5 3 / 5 1

x _{adalah salah satu vektor solusi}

Ganda-awal matriks koefisien dengan vektor ini akan memberikan vektor b=0

            =             + − + − =                         − − = 0 0 0 0 0 0 0 5 5 0 3 / 5 3 / 5 0 1 3 / 5 3 / 5 0 0 0 0 0 0 0 0 2 5 3 0 0 0 1 1 1 Ax 71

Jika Ax1= 0, maka perkalian dengan skalar k akan memberikan

0 x

Ak11= Ak2x1=0

,

dan Ak₁x₁+Ak₂x₁=A(k₁+k₂)x₁=Ac₁x₁=0 Dengan kata lain, jika x1adalah vektor solusi, maka

) ( , , 2 1 11 21 1 1x kx kx kx k +

adalah juga vektor solusi dan sebagaimana kita tahu vektor-vektor ini kita peroleh dengan memberi nilaixC=1 dan xD=0.

(19)

1 dan 0 = = D C x x xB=−2/3 3 / 2 − = A x

Jika akan kita peroleh dan yang membentuk vektor solusi

            − − = 1 0 3 / 2 3 / 2 2 x

Dengan skalar l sembarang kita akan memperoleh vektor-vektor solusi yang lain seperti

) ( , , 2 2 1 2 2 2 2 1x lx lx lx l +

Secara keseluruhan maka vektor-vektor solusi kita adalah 2

1 x

x x=k +l

Inilah vektor-vektor solusi yang membentuk ruang vektor berdimensi 2.

73

Dari dua contoh terakhir ini terbukti teorema yang menyatakan bahwa solusi sistem persamaan linier homogen

dengan n unsur tak diketahui dan rank matriks koefisien r akan membentuk ruang vektor berdimensi (n−r).

74

Kebalikan Matriks Dan Metoda Eliminasi Gauss-Jordan

Pengertin tentang kebalikan matriks (inversi matriks) erat kaitannya dengan pemecahan sistem persamaan linier. Namun demikian pengertian ini khusus ditujukan untuk matriks bujur sangkar n×n.

Kebalikan matriks A (inversi matriks A) didefinisikan sebagai matriks yang jika digandaawalkan ke matriks A akan menghasilkan

matriks identitas. Kebalikan matriks A dituliskan sebagai A−1 sehingga definisi ini memberikan relasi

1

1 −

−_A₌_I₌_AA

A

Jika A berukuran n ×nmaka A−1_{juga berukuran n}×_n_dan demikian pula matriks identitasnya.

75

Jika A adalah matriks tak singular maka hanya ada

satukebalikan A; dengan kata lain kebalikan matriks adalah unik atau bersifat tunggal. Hal ini mudah dimengerti sebab jika A mempunyai dua kebalikan, misalnya P dan Q, maka AP = I =PA

dan juga AQ = I =QA, dan hal ini hanya mungkin terjadi jika P = Q. Q QI AP Q QAP P AQ IP P= =( ) = = ( )= =

Tidak semua matriks bujur sangkar memiliki kebalikan; jika

Amemiliki kebalikan maka A disebut matriks tak singular dan jika tak memiliki kebalikan disebut matriks singular.

(20)

Persamaan ini menunjukkan bahwa kita dapat memperoleh vektor solusi x dari sistem persamaan linier jika kebalikan matriks koefisien

Aada, atau jika matriks A tak singular.

Jadi persoalan kita sekarang adalah bagaimana mengetahui apakah matriks A singular atau tak singular dan bagaimana mencari

kebalikan matriks A jika ia tak singular. Berbekal pengertian kebalikan matriks, kita akan meninjau

persamaan matriks dari suatu sistem persamaan linier tak homogen, yaitu

b

Ax=

Jika kita menggandaawalkan kebalikan matriks A ke ruas kiri dan kanan persamaan ini, akan kita peroleh

b A x Ix b A Ax A−1 = −1 → = = −1 77

Dari pembahasan sebelumnya kita mengetahui bahwa jika matriks koefisien A adalah matriks bujur sangkar n×n, maka solusi tunggal

akan kita peroleh jika rank A sama dengan n. Hal ini berarti bahwa vektor x pada persamaan di atas dapat kita peroleh jika rank A−1_sama

dengan n. Dengan perkataan lain matriks A yang berukuran n ×ntak singular jika

rank A= n

dan akan singular jika rank A < n.

Mencari kebalikan matriks A dapat kita lakukan dengan cara eliminasi Gauss-Jordan. Metoda ini didasari oleh persamaan Ax = b.

I

AX=

Jika X adalah kebalikan matriks A maka

78

[

A I

]

A~=

[

U H

]

[

U H

]

[

I X

]

Untuk mencari X kita bentuk matriks gandengan

A~

Jika kita lakukan eliminasi Gauss pada matriks gandengan ini berubah menjadi

dengan U berbentuk matriks segitiga atas.

yaitu dengan mengeliminasi unsur-unsur segitiga atas pada U sehingga U berbentuk matriks identitas I. Eliminasi Gauss-Jordan selanjutnya beroperasi pada

Langkah akhir ini akan menghasilkan

79

Contoh: Kita akan mencari kebalikan dari matriks

          − − = 1 4 2 2 2 3 2 2 1 A

Kita bentuk matriks gandengan

[

A I

]

[

]

          − − = 1 0 0 | 1 4 2 0 1 0 | 2 2 3 0 0 1 | 2 2 1 I A

Kita lakukan eliminasi Gauss pada matriks gandengan ini

1 baris 2 1 baris 3 pivot 1 0 2 | 5 8 0 0 1 3 | 4 8 0 0 0 1 | 2 2 1 × + × −           − − − 80

(21)

2 baris pivot 1 1 1 | 1 0 0 0 1 3 | 4 8 0 0 0 1 | 2 2 1 +           − − − −

Kemudian kita lakukan eliminasi Gauss-Jordan

) 8 / 1 ( 1 1 1 | 1 0 0 0 8 / 1 8 / 3 | 2 / 1 1 0 0 0 1 | 2 2 1 − ×           − − baris3 5 . 0 3 baris 2 1 1 1 | 1 0 0 2 / 1 8 / 5 8 / 7 | 0 1 0 2 2 3 | 0 2 1 × − × −           − − − − − 2 baris 2 1 1 1 | 1 0 0 2 / 1 8 / 5 8 / 7 | 0 1 0 1 8 / 6 8 / 10 | 0 0 1 − ×           − − − − − 81

Hasil terakhir ini memberikan kebalikan matriks A, yaitu

          − − − − − = − 1 1 1 2 / 1 8 / 5 8 / 7 1 8 / 6 8 / 10 1 A

Dengan demikian untuk suatu sistem persamaan linier tak homogen yang persamaan matriksnya

          =                     − − 0 0 8 1 4 2 2 2 3 2 2 1 3 2 1 x x x

vektor solusinya adalah

          − =                     − − − − − =                     − − =           − 8 7 10 0 0 8 1 1 1 2 / 1 8 / 5 8 / 7 1 8 / 6 8 / 10 0 0 8 1 4 2 2 2 3 2 2 1 1 3 2 1 x x x 82

Kebalikan Matriks Diagonal

Kebalikan matriks diagonal dapat dengan mudah kita peroleh.

          =           − nn nn a a a a / 1 0 0 0 0 0 0 / 1 0 0 0 0 0 0 11 1 11 L L

Kebalikan Dari Kebalikan Matriks

Kebalikan dari kebalikan matriks adalah matriks itu sendiri.

( )

A−1−1=A

83

Kebalikan Dari Perkalian Matriks

Kebalikan dari perkalian dua matriks adalah perkalian dari kebalikan masing-masing matriks dengan urutan dibalik.

Dalam buku Erwin Kreyszig kita baca definisi bilangan bilangan kompleks sebagai berikut

Bilangan kompleks z ialah suatu pasangan terurut (x,y) dari bilangan nyata x, y, yang kita tuliskan

)

,

(

x

y

z

=

y z x z= Im = Re

Kita akan mencoba memahami definisi ini secara grafis, mulai dari pengertian tentang bilangan nyata. kita tuliskan

bagian nyata (real part) dari z

bagian khayal (imaginary part) dari z

86

Bilangan Nyata

Kita mengenal bilangan nyata bulat seperti 1, 2, 3 dan seterusnya; bilangan nyata pecahan ¼, ½, ¾ dan seterusnya, serta bilangan nyata

yang hanya dapat di angankan sepertiπ. Walaupun hanya dapat diangankan, bilangan ini tetap nyata, nilainya adalah 3,14……., dengan

angka desimal yang tak diketahui ujungnya.

Secara grafis, bilangan nyata dapat digambarkan posisinya di suatu sumbu yang disebut sumbu nyata,

| | | | | | | | -2 -1 0 1 2 3 4 5

m

87

Tinjaulah suatu fungsi y= x

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y x tidak ada nilai y yang nyata untuk x negatif namun untuk x yang negatif dapat didefinisikan suatu

bilangan imajiner(khayal) j

= −1

(23)

89 Jika bilangan nyata 1 menjadi satuan dari bilangan nyata,

misalnya seterusnya dan 1 10 10 1 5 5 × = × =

maka bilangan imajiner j = √−1 menjadi satuan dari bilangan imajiner, misalnya

seterusnya dan 9 9 imajiner 3 3 imajiner 2 2 imajiner j j j = = =

Pernyataan Bilangan Kompleks

Satu bilangan kompleks z merupakan jumlah dari komponen nyata

dan komponen imajiner dan dituliskan jb a z= + bagian nyata bagian imajiner bilangan kompleks 90

Bilangan kompleks dapat digambarkan di

bidang kompleks

yang dibatasi oleh

sumbu nyata(diberi tanda Re) dan

sumbu imajiner(diberi tanda Im) yang saling tegaklurus satu sama lain

setiap titik di bidang kompleks menunjukkan posisi bilangan-kompleks (x,,y)

dengan x adalah komponen nyata dan y adalah komponen imajiner-nya

91 92 ρ a Re Im jb θ cosθ ρ = a θ ρ = sin b ) sin (cosθ+ θ ρ = j z disebut argumen disebut modulus       = θ = − a b z tan1 arg 2 2 modulusz=ρ= a +b ) sin (cos 2 2₊ _θ₊ _θ = a b j z

•

z=a+jb

Diagram Argand

(24)

CONTOH

Suatu bilangan kompleks dinyatakan sebagai 4

3

1 j z = + Sudut dengan sumbu nyata adalah

o 1

1=tan (4/3)≈53,1

θ −

Pernyataan z1dapat kita tuliskan

(

)

(

o o

)

o o 2 2 1 1 , 53 sin 1 , 53 cos 5 1 , 53 sin 1 , 53 cos 4 3 j j z + = + + = 93 CONTOH

Suatu bilangan kompleks dinyatakan sebagai

(

o o

)

2 10cos20 jsin20

z = +

Pernyataan ini dapat kita tuliskan

(

)

4 , 3 4 , 9 ) 34 , 0 94 , 0 ( 10 20 sin 20 cos 10 o o 2 j j j z + = + ≈ + = 94

Kesamaan Bilangan Kompleks

2 2 _b a +

=

ρ merupakan nilai mutlak Modulus

Dua atau lebih bilangan kompleks bisa saja memiliki nilaiρyang sama akan tetapi dengan sudutθyang berbeda; atau sebaliknya mempunyai nilaiθsama akan tetapi memilikiρyang berbeda. Dua bilangan kompleks dikatakan sama besar jika mereka mempunyai baikρmaupunθyang sama besar.

Dengan kata lain, mereka memiliki bagian nyata dan bagian imajiner yang sama besar..

95

Negatif dari Bilangan Kompleks Nilai negatif dari suatu bilangan kompleks adalah

nilai negative dari kedua komponennya jb a z= + −z=−a−jb Jika maka jb a z= + • Re Im a jb jb a z=− − − θ o 180 + θ ρ ρ • 96

(25)

CONTOH o 1 1=tan (6/4)=56,3 θ − o o o 2=56,3 +180 =236,3 θ

Sudut dengan sumbu nyata

z1dapat dinyatakan sebagai

(

)

yang memiliki komponen nyata sama dengan z tetapi komponen imajinernya adalah negatif dari komponen imajiner z.

jb a z jb a z= + maka ∗= − Jika jb a z= + • Re Im ρ θ θ − jb jb − a jb a z = − • ∗ 98 CONTOH: 6 5 j z= + Jika makaz∗=5−j6 Sudut dengan sumbu nyata

o 1 2 , 50 ) 5 / 6 ( tan = = θ − o 2 , 50 − = θ∗

zdapat dinyatakan sebagai

(

)

(

o o

)

o o 2 2 2 , 50 sin 2 , 50 cos 8 , 7 2 , 50 sin 2 , 50 cos 6 5 j j z + = + + =

(

_cos₅₀_,₂o _sin₅₀_,₂o

)

8 , 7 j z∗= − 6 5 * z = −j • Re Im 6 5 z= +j • 99 CONTOH: 6 5 j z=− − Jika makaz∗=−5+j6 • − − = 5 j6 z Re Im • + − = ∗ ₅ _j₆ z 6 5 j z= − Jika maka

z

∗

=

5 +

j

6

6 5 z= −j • Re Im 6 5 z = +j • ∗ 100

(26)

Operasi-Operasi Aljabar

101

Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Kompleks

Hasil penjumlahan dua bilangan kompleks merupakan bilangan kompleks yang komponen nyatanya merupakan jumlah komponen nyata dan komponen imajinernya juga merupakan jumlah komponen imajiner.

Hasil selisih dua bilangan kompleks adalah bilangan kompleks yang komponen nyatanya merupakan selisih komponen nyata dan komponen imajinernya juga merupakan selisih komponen imajiner.

)

(

)

(

)

(

)

(

2 1 2 1 2 2 1 1 2 1

b

j

a

jb

a

jb

a

z

+

=

+

=

+

) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 b b j a a jb a jb a z z − + − = + − + = − 102 CONTOH: 4 3 dan 3 2 2 1 j s j s = + = + 7 5 ) 4 3 ( ) 3 2 ( 2 1 j j j s s + = + + + = + 1 1 ) 4 3 ( ) 3 2 ( 2 1 j j j s s − − = + − + = − Diketahui 103

Perkalian Bilangan Kompleks

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 ) )( ( ) )( ( b b a jb a a b b a jb a jb a a jb a jb a z z − + = − + + = + + =

Perkalian dua bilangan kompleks dilaksanakan seperti halnya kita melakukan perkalian jumlah dua bilangan, yaitu dengan malakukan perkalian komponen per komponen

2 2 2 2 1 1 ) )( ( b a b jba jba a jb a jb a z z + = + + − = − + = × ∗ ∗ = 1 2 z z Jika Perhatikan:

(

2 2

)

2 2 2 2 2 1 1 1 a b a b jb a z z z + = + = + = = × ∗ 104

(27)

CONTOH: z1=2+j3 dan z2=3+j4 17 6 12 9 8 6 ) 4 3 )( 3 2 ( ) )( (1 2 j j j j j z z + − = − + + = + + = CONTOH: z1=2+j3 dan z2=z1∗=2−j3 13 9 4 9 6 6 4 ) 3 2 )( 3 2 ( ) )( (1 1 = + = + + − = − + = ∗ j j j j z z

(

2 3

)

4 9 13 2 2 2 2 1 1 1 = = + = + = ∗ _z z z 105

Pembagian Bilangan Kompleks

Hasil bagi suatu pembagian tidak akan berubah jika pembagian itu dikalikan dengan 1

1 2 2 2 2 ₌ − − jb a jb a CONTOH: z1=2+j3 dan z2=3+j4 25 1 25 18 4 3 ) 9 8 ( ) 12 6 ( 4 3 4 3 4 3 3 2 2 2 2 1 j _j j j j j z z ₌ ₊ + + − + + = − − × + + = 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 ) ( ) ( b a a b a b j b b a a jb a jb a jb a jb a z z + − + + = − − × + + = 106

Pernyataan Bilangan Kompleks Bentuk Polar

107

Fungsi Eksponensial Kompleks Jika x adalah bilangan nyata maka fungsi ekponensial

x

e y=

merupakan fungsi ekponensial nyata;

ymemiliki nilai nyata

Jika z adalah bilangan kompleksz=σ+jθ fungsi eksponensial kompleks didefinisikan

riil` al eksponensi fungsi adalah dengan ; ) sin (cos ) ( σ σ θ + σ ₌ _θ₊ _θ = e j e e ez j

Melalui identitas Eulerejθ=cosθ+jsinθ fungsi exponensial kompleks dapat kita tuliskan

θ σ = j z _e _e e 108

(28)

Bentuk Polar

Representasi bilangan kompleks dalam bentuk polar adalah

θ ρ = _ej z θ = ∠ = z z arg Re Im • θ ρ θ ρ = _ej z

CONTOH: Misalkan suatu bilangan kompleks z = 10 e j0,5 Modulus bilangan kompleks ini adalah |z| = 10 dan argumennya∠z= 0,5 rad

Bentuk sudut sikunya adalah:

8 , 4 8 , 8 ) 48 , 0 88 , 0 ( 10 ) 5 , 0 sin 5 , 0 (cos 10 j j j z + = + = + = Re Im 5 , 0 5ej z= • rad 5 , 0 10 109 CONTOH:

Misalkan suatu bilangan kompleks z = 3+ j4

5 4 3 | |z =ρ= 2+ 2 = Modulus Argumen 0,93 rad 3 4 tan1 = = θ = ∠z − Representasi polar z = 5e j0,93 Re Im 93 , 0 5ej z= • rad 93 , 0 5 110 CONTOH: Misalkan z=−2+j0 Modulus |z |=ρ= 4+0=2

Argumenθ=_tan−1

(

₀_/−₂

)

=±π _{tidak bernilai tunggal}

Di sini kita harus memilih θ= πrad karena komponen imajiner 0 sedangkan komponen nyata−2

Re Im π = _ej z 2 2 − • 111 CONTOH Misalkanz=0−j2 Modulus|z |=ρ= 0+4=2 Argumenθ=tan−1

(

−2/0

)

=−π/2 komponen nyata: 0 komponen imajiner: −2 Representasi polar adalah

2 / 2 −π = _e j z . Re Im 2 / 2−π = _ej z 2 j − • 112

(29)

Manfaat Bentuk Polar

113

Perkalian dan Pembagian Bilangan Kompleks Representasi polar dari bilangan kompleks mempermudah

operasi perkalian dan pembagian.

) ( 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ) )( ( θ + θ θ θ ρ ρ = ρ ρ = j j j e e e z z ( ) 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 θ − θ θ θ ρ ρ = ρ ρ = j j j e e e z z CONTOH: Misalkan z1= 10 e j0,5dan z2= 5 e j0,4 9 , 0 4 , 0 5 , 0 2 1z 10ej 5ej 50ej z = × = 1 , 0 4 , 0 5 , 0 2 1 2 5 10 j j j e e e z z ₌ ₌ 114 Konjugat Kompleks argumen konjugat berlawanan dengan

argumen bilangan kompleks asalnya

Re Im _θ ρ = • j e z θ − ∗₌_ρ •_z _e j θ θ −

[

]

( )( )

* * * * * atau | | *) )( ( 2 1 2 1 2 1 2 1 2 * * z z z z z z z z s s |z| z z z =       = = =

Relasi-relasi antara suatu bilangan kompleks dengan konjugat bilangan kompleks lainnya adalah sebagai berikut

115 CONTOH: 4 , 0 2 5 , 0 1 10ej dan z 5ej z = = 25 100 10 10 2 2 5 , 0 5 , 0 1 1 = = × = ∗ − ∗ z z e e z z j j

[ ]

[

] [

]

9 , 0 4 , 0 5 , 0 9 , 0 9 , 0 4 , 0 5 , 0 2 1 50 5 10 0 5 0 5 5 10 j j j j j j j e e e e e e e z z − − − − ∗ ∗ ∗ = × = = = × =

[ ]

1 , 0 4 , 0 5 , 0 1 , 0 1 , 0 4 , 0 5 , 0 2 1 2 5 10 0 5 2 5 10 j j j j j j j e e e e e e e z z − − − − ∗ ∗ ∗ = = = =         =       Misalkan 116