BAB I PENGINTEGRALAN KOMPLEKS

BAB I PENGINTEGRALAN

KOMPLEKS

1.1 Integral Garis

Sebelum membicarakan integral garis, terlebih dahulu akan dibahas kurva,

kurva mulus, lintasan, dan orientasi suatu lintasan.

Lintasan

Kurva (lengkungan) C di bidang datar dapat dinyatakan dalam bentuk

parameter, yaitu:

dengan x= x(t) dan y = y(t), a



t



b,

x dan y kontinu pada [a,b]. Kurva C disebut kurva mulus, jika x’ dan y’ kontinu

pada selang tertutup [a,b].

DEFINISI 1.1.1:

Fungsi f: [a,b]



R disebut kontinu bagian demi bagian, jika terdapat partisi P =

{x0, x1, x2, …, xn} dari selang [a,b] sehingga f kontinu pada selang terbuka

(xi,xi-1), i=1,2,3,…,n

Berdasarkan definisi tersebut, kurva C disebut kurva mulus bagian demi bagian

jika di dalam x = x(t) dan y = y(t), a



t



b berlaku x’ dan y’ kontinu bagian

demi bagian pada [a,b]. Kurva mulus bagian demi bagian disebut lintasan.

Pada kurva C dengan x= x(t) dan y = y(t), a



t



b, titik (x(a),y(a)) disebut titik

pangkal kurva C dan (x(b),y(b)) disebut titik ujung kurva C.

Kurva C disebut tertutup sederhana, jika berlaku:

(i) (x(t1),y(t1))



(x(t2),y(t2)) untuk setiap t1, t2 

(a,b)

(ii) (x(a).y(a)) = (x(b),y(b))

Kurva tertutup sederhana Kurva tertutup tak sederhana

DEFINISI 5.1.2:

Suatu lintasan tertutup sederhana C disebut berorientasi positif jika C ditelusuri dari

titik awal ke titik akhir maka interiornya terletak di sebelah kiri C, sebaliknya

berorientasi negatif.

C C

Berorientasi positif Berorientasi negatif

Integral Garis

Misalkan y, a 

t 

b adalah kurva mulus dan M permukaan terbatas yaitu paling

sedikit terdefinisi pada kurva C.

Kontruksi integral garis .

(1) Buatlah partisi



untuk selang [a,b] dengan titik pembagian

selang bagian ke-I dari partisi



adalah [ti-1,ti] dan panjang partisinya dengan =

maks ti, 1 

i 

n

(2) Kurva C terbagi atas n bagian yaitu

P0P1, P1P2, …, Pi-1Pi, …, Pn-1Pn

(4)Didefinisikan jumlah

,



xi = xi – xi-1 dimana xi absis Pi dan xi-1

absis Pi-

1, i = 1,2,3,…,n

(5) Tentukan

Jika limit ini ada, maka M terintegralkan pada C. Dalam kasus M terintegralkan

pada C, integral garis dari M(x,y) pada C didefionisikan dengan

Secara geometri integral garis

diperlihatkan pada gambar di bawah ini.



  n i i i i d x c M 1 ) , (



    n i i i i d x c M 1 0 ( , ) lim





     n i i i i C x d c M dx y x M 1 0 ( , ) lim ) , ( dx y x M C



( , )

z

L=M(ci,di) xi P0(x(a),y(a) a = t_o P₀(x(b),y(b)) b = to Y X Y

artinya proyeksi daerah di bawah permukaan z = M(x,y) dan di atas kurva C pada bidang XOY yang menghasilkan daerah di atas sumbu X.

DEFINISI 5.1.3:

Diberikan kurva mulus , a t b. Jika z = M(x,y) permukaan terbatas pada C, maka

Apabila lintasan integral yang diberikan bukan dalam bentuk parameter, tetapi berbentuk y = f(x) dan x = g(y) dengan titik awal (a,b) dan titik akhir (c,d), maka dengan substitusi diperoleh:

(1)

(2)

Sifat-sifat dari

1. C tetap, integral M dipandang sebagai variabel

(a) Jika M kontinu dan C terbatas maka ada dx y x M C



( , ) j t y i t x t F C: ( ) ( ) ( )







      C n i i i i C dt t t t x t x M dx y x M a ) ( y(t))x M(x(t), )) ( ), ( ( lim ) , ( ) ( ' 1 * ' * 0







      C ' n i i i i C (t)dt ))y M(x(t),y(t t t y t x M dy y x M b )) ( ), ( ( lim ) , ( ) ( 1 * ' * 0







  d b c a C dy y g y y g M dx x f x M dx y x M( , ) ( , ( )) ( ( ), ) '( )







  c a d b C dx y f x f x M dy y y g M dy y x M( , ) ( ( ), ) ( , ( )) '( )



C dx y x M( , )



C dx y x M( , )



C dx y x M( , )







   C C C N(x,y)dx dx y x M dx y x N y x M( , ) ( , )] ( , ) [ b. c.







C C y x M k dx y x kM( , ) ( , ) , k R

2. M tetap, C dipandang sebagai variabel.

Misalkan mulus , a t b, maka

a. (x(a),y(a)) titik pangkal dari C dan (x(b),y(b)) titik ujung dari C. Perubahan t

dari a ke b menghasilkan orientasi dari C. Perubahan t dari b ke a, akan diperoleh kurva yang sama dengan orientasi yang berlawanan

b. Jika, ,a₁ t b₁ dan ,a₂t b₂ dengan (x₁(b)₁,y₁(b₁))=(x1(b1),y2(b1)), maka C = C1 + C2.

Secara sama didefinisikan C =

C. d. . j t y i t x t F C: ( ) ( ) ( ) (x(b),y(b)) (x(a),y(a))

C

-C

j t y i t x t F C1: ( ) 1( ) 1( )

C

F

t

x

t

i

y

t

j







)

(

)

(

)

(

:

_{2 2} 2







 n i i c 1 dx y x M dx y x M C C





  ) , ( ) , (







   2 1 2 1 ) , ( ) , ( ) , ( C C C C dx y x M dx y x M dx y x M

3. Jika M kontinu , untuk setiap (x,y) C, C terbatas dan panjang kurva C, maka

Contoh:

Tentukan integral garis terhadap kedua peubah bagian fungsi (x,y) = 2x + y2 sepanjang kurva C = C1 + C2 + C3 dimana

C1: Busur lingkaran x2 + y2 = 4 dengan orientasi negatif dari (-2,0) ke (2,0) C2: Ruas garis lurus dari (2,0) ke (-2,-2)

C3: Ruas garis lurus dari (-2,-2) ke (-2,0)

Penyelesaian:

Dalam hal ini akan dihitung nilai dari sedangakan dipersilakan untuk anda coba sendiri. k y x M( , )  C C k dx y x M C . ) , ( 



-2 ₂

X

Y

dy y x M C



( , ) M x y dx C



) , (











        3 2 1 ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) , ( 2 2 2 2 C C C C C dy y x dy y x dy y x dy y x dy y x M

dengan C1: x2 + y2 = 4, x: –2 2. Kurva C1 dapat dinyatakan dalam bentuk parameter, yaitu

Sehingga diperoleh x = 2 cos t dan y = -2 sin t.

Dengan demikian diperoleh,

C₂: Diperoleh:   2 , sin 2 cos 2 ) ( : 1 F t  ti  t j t  C   













                   2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) (sin sin 8 ) 2 cos 1 ( 4 ) (sin sin 8 cos 8 ) cos 2 ).( sin 4 cos 4 ( ) 2 ( 1 t td dt t t td tdt dt t t t dy y x C      4 ] sin 3 8 ] ) sin 2 1 ( 4 2 3 2       t t t 2 0 : , 2 2 : , 1 2 1       x x y y





   2 0 2 ) ) 1 ( 4 ( ) , ( 2 dy y y dy y x M C 3 2 2 ] ) 2 ( 3 1 ) 2 ( ) 2 ( 2 0 3 2 0 2      

_

y d y y 

C3: x = -2, y : -2 0 Diperoleh,

Jadi,

Arti dari = adalah proyeksi daerah di bawah z = 2x + y2 dan di atas C pada bidang YOZ yang

menghasilkan daerah di bawah sumbu Y.

LATIHAN 5.1

1. Hitunglah jika

a. C adalah busur parabola x = y2 dari (0,0) ke (4,2) b. C adalah ruas garis lurus dari (4,2) ke (0,0)

c. C adalah ruas garis lurus dari (0,0) ke (4,0) dilanjutkan dari (0,4) ke (4,2) d. C adalah busur parabola 2y + x2 = 5x dari (0,0) ke (4,2)

2 Hitung nilai dari jika C adalah lingkaran x2_{+ y}2_{= 4 dengan orientasi positif.}

Kerjakan pula soal ini, jika C lingkaran x2_{+ y}2_{= 2x dengan orientasi negatif}

3. Hitung nilai dari jika C adalah ellips dengan orientasi positif. Kerjakan soal ini, jika C berorintasi negatif





    o C dy y dy y x M 2 2 ) 4 ( ) , ( 3 3 1 5 ] ) 3 1 4 ( 0 2 3      y y 8 4 3 1 5 3 2 2 ) 2 (  2     



  C dy y x



 C dy y x ) 2 ( 2 _4_8



  C dy y x ydy ( )



 C ydx xdy



   C dy x y dx y x 2 ) ( 2 ) ( 1 9 16 2 2   y x

5.2 Pengintegralan Kompleks

Misalkan C : z(t) = x(t) + iy(t), a t b adalah kurva mulus dan w = f(z) didefinisikan pada C, maka pengintegralan kompleks dikontruksi sebagai berikut.

(1) Buatlah partisi pada [a,b] dengan titik pembagian a = t_O < t₁< t₃< …< t_i-1< t_i< … < t_n= b

Selang bagian ke-I pada partisi adalah [ti-1,ti] dan panjang partisinya adalah dengan . Situasi tersebut diperlihatkan pada gambar berikut

(2) Kurva terbagi atas n bagian yaitu zo z1 , z1z2, ..., zi-1zi, ..., zn-1zn dengan

z_o = (x(a),y(a)) dan z_n = (x(b),y(b))

(3) Pilih c_iz_i-1 z_i, 1 i n



C dz z f( )      tt n maks t₁ ti-1 ti tn-1 t_n= b z_o z1 Z_i-1 z₁ Z_n-1 z_n a=to

C

(4) Definisikan jumlah

dimana

(5) Tentukan

. Jika limit ini ada, maka f terintegralkan pada C.

(6) Dalam kasus f terintegralkan pada C, integral kompleks dari f pada C

dinotasikan dengan

dimana

=

Contoh:

Tentukanlah integral berikut

a.

b.

Penyelesaian:

Misalkan f(z) = 1, maka f(c

_i

) = 1 untuk setiap c

_i



z

_i-1

z

_i

.

Jadi, diperoleh



  n i i i z c f 1 ) (



    n i i i z c f 1 0 ( ) lim



C dz z f( )



C dz z f( )



    n i i i z c f 1 0 ( ) lim



C dz z f( )



C dz



C zdz







             n i i i i i i i n i i C z z c f z z c z c f dz 1 1 0 1 1 0 ) ).( ( lim , ) ( lim a.





      n i i i C z z dz 1 1 0 ( ) lim n z z n n n n n n n z z z z z z z z z z z z z 0 ] ) ( lim )] ( ) ....( ) ( ) [( lim 0 1 0 1 2 1 1 2 0 1 0                     







             n i i i i i i i n i i C z z c f z z c z c f zdz 1 1 0 1 1 0 ) ).( ( lim , ) ( lim b.

Misalkan f(z) = z, maka f(c

_i

) = c

_i

. Diambil c

_i

= z

_i-1

. Jadi, diperoleh





       n i i i i C z z z zdz 1 1 1 0 .( ) lim ) ...(1 ... ... ) ( lim 1 2 1 1 0



       n i i i i z z z





 _{ }   n i i i i C ) z z .( z zdz 1 1 0 lim ) ...(2 ... ... ) ( lim 1 1 2 0



      n i i i i z z z Diambil c_i= z_i, maka Persamaan (1) + (2)diperoleh ) ( lim ) ( 2 ₁2 1 2 0 _     





i C n i i z z dz z f ) ( lim )] ( ) ( ... ) ( ) [( lim 2 0 2 0 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 0 2 1 0 z z z z z z z z z z n n n n n                   2 0 2 z z_n  

Jadi, diperoleh bahwa

TEOREMA 5.2.1 (Eksistensi Integral Kompleks):

Jika f(z) = u(x,y) +iv(x,y) kontinu pada setiap titik di suatu kurva mulus C, maka integral f

sepanjang C ada dan

Pada teorema di atas, terdapat hal yang menarik untuk disimak bahwa jika C merupakan suatu

unterval pada sumbu real, maka f pada C akan menjadi fungsi dari x saja. Dengan demikian

adanya integral untuk fungsi x yang kontinu merupakan kasus khusus pada teorema di atas.

Dalam pengertian tersebut suatu integral kompleks dapat dipandang sebagai perluasan dari

integral real.

Penggunaan rumus pada Teorema 5.2.1 akan diilustrasikan melalui contoh-contoh, setelah

disampaikan beberapa sifat dasar integral kompleks yang disajikan di bawah ini.

SIFAT-SIFAT

:

1. C tetap, f dipandang sebagai variabel

(a) Jika f kontinu dan C terbatas, maka

ada

(b) Jika f dan g kontinu pada C, maka

(c) Jika

 

C dan f kontinu pada C, maka

2. Fungsi f tetap, C dipandang sebagai variabel

(a)

(b)

) ( 2 1 ) (z dz z 2 z₀2 f _n C  



zn z z 0 ] 2 1 2 











    C C C C C vdx udy i vdy udx dz z f( ) ( )



C dz z f( )



C dz z f( )







   C C C dz z g dz z f dz z g f )( ) ( ) ( ) (







C C dz z f dz z f( )  ( ) 





 C C dz z f dz z f( ) ( )







   2 1 2 1 ) ( ) ( ) ( C C C C dz z f dz z f dz z f

3.

Jika fungsi f kontinu pada C, C terbatas, untuk suatu M > 0 berlaku

untuk setiap z pada C dan panjang C, maka

Contoh:

Hitunglah

dengan

C

₁

: y = 4x – x2; x : 3



0, y : 3



4



0

C

₂

: y = x; x : 0



3, y : 0



1

C

₃

: x = 3; y : 1



3

C = C1 + C2 + C3

Penyelesaian:

M

z

f

(

)



C f z dz M C C . ) ( 



dz z C



Y

X

2 3 1 1 3 4

C

₁ 4

C

₂

C

d z dz z dz z dz z C C C C









   3 2 1 dz z C



1 (1) = (2) i i dx x x dx x x i ydy ydy xdx dx y dy x i dy y dx x C C C C 9 9 ) 9 0 ( 2 1 4 2 1 4 ) ) 4 ( ) 2 4 ( ( ) ( ) ( 0 3 2 0 3 4 3 0 4 0 3 1 1 1 1                   



















idy dx iy x C   



1 )( (

(2) ( ) 2 2 2 2 2











    C C C C C ydx xdy i ydy xdx dz z 0 2 1 2 1 4 ) 3 1 3 1 ( 3 0 3 0 1 0 3 0       



xdx



ydy i



xdx



xdx i i y dy i ydy xdx ydx xdy i ydy xdx dz z C C C C C 6 4 6 4 0 ) 0 . 3 ( ) ( ) 3 ( 3 1 3 1 3 1 3 3 3 3 3 3 3             



















Jadi, _{zdz zdz zdz zdz} C C C C









   3 2 1

= (-9 + 9i) + 5 + (4 + 6i) = 15i

Contoh:

Misalkan C : = 1 dengan orientasi negatif. Hitunglah

Penyelesaian a. 1  z zdz C



Y X t = 0 = 2 t =  t = /2 t = 3/2





   C C idy dx iy x dz z ( )( ) 







 (







) C C C C ydx xdy i ydy dx x

C : C : C : , 0 t 2 1 1  z 1 ) 1 (x 2 y2  j t i t t F( )(cos 1)sin           t y t t x sin 2 0 , 1 cos  ) dt t sin )( t (cos xdx C   





1 2 0  0 1 2 1 1 1 2 0 2 2 0      



  ] ) t (cos ) t (cos d ) t (cos Diperoleh,





2   0 ) t sin (( d ) t sin ( ydy C 0 2 1 2 0 2    sin t ]





2   0 1)( cost)dt t (cos xdy C          2

_

_

0 2 0 2 1 2 1 dt t cos dt ) t cos (





    2 0 ) sin )( sin ( t t dt ydx C     



2 0 2 1 2 1 dt ) t cos ( i )) ( ( i dz z C    2 0 0     



Jadi, LATIHAN 5.2 1. Hitunglah , jika

a. C adalah busur parabola y = 1 – x2 dari z = -2 – 3i ke z = i b. C adalah ruas garis lurus dari z = 0 ke z = 2 + i

c. C adalah ruas garis lurus dari z = 0 ke z = -2i dilanjutkan dari z = 2i ke z = 2 + I

2. Hitunglah , jika

a. C adalah lingkaran dengan orientasi positif

b. C adalah persegi panjang dengan titik sudut z = 0, z = 2i, z = 4 + 2i, dan z=4, dengan orientasi C negatif

3. Hitunglah , jika

a. C adalah lingkaran x2_{+ y}2_{= 29 dengan orientasi pisitif}

b. C adalah bujursangkar dengan titik sudut (0,0), (1,0), (1,1), dan (0,1) dengan orientasi C negatif dz z C



dz z C



1 1  z



C dz z

Pengintegralan Cauchy

0

)

(





C

dz

z

f

Pada pasal ini akan dibicarakan pengintegralan dari fungsi yang analitik dengan

daerah integrasi suatu lintasan tertutup sederhana. Pengintegralan dari fungsi analitik tersebut

disajikan dalam teorema Cauchy Goursat. Sebelum membicarakan teorema Cauchy Goursat,

didahului dengan teorema Cauchy yang merupakana dasar lahirnya teorema Cauchy Goursat

tersebut.

TEOREMA 5.3.1 (Teorema Cauchy):

Diberikan daerah terhubung sederhana D dan lintasan tertutup sederhana C di D. Jika

f analitik dan f ’ kontinu pada D, maka

Bukti:

Misalkan f(z) = u(x,y) + iv(x,y) dan f analitik pada D. Jadi

f ’ ada untuk setiap z



D dan

f ’(z) = ux(x,y) + ivx(x,y) = vy(x,y) –iuy(x,y). Karena f ’ kontinu pada D, maka u, v, ux, uy,v, dan vy

semuanya kontinu pada D. Dengan demikian u dan v memenuhi syarat berlakunya teorema

Green, yaitu

























D y x D y x C C

dxdy

v

u

i

dxdy

u

v

udy

vdx

i

vdy

udx

)

(

)

(

)

(

)

(

Karena u dan v memenuhi persamaan Cauchy Reimann pada D, maka integral lipat dua

di ruas kanan menjadi nol. Sedangkan di ruas kiri adalah rumus untuk



. Jadi

= 0.

C dz z f( )



C dz z f( )

Pada Teorema Cauchy di atas mencakup hipotesis tambahan bahwa f

’ kontinu

pada D tetapi jika f analitik pada daerah D, maka f

’ juga analitik dan kontinu pada D. Oleh

karena itu, Goursat berpendapat bahwa kekontinuan f

’ merupakan suatu hipotesis yang

berlebihan. Hal ini sudah diimplikasikan oleh keanalitikan f.

TEOREMA 5.3.2 (Teorema Cauchy-Goursat):

Diberikan daerah terhubung sederhana D dan lintasan tertutup sederhana C di D. Jika f

analitik pada D, maka



₍

₎



₀

C

dz

z

f

Bukti teorema tersebut cukup panjang, oleh karena itu dalam pembicaraan di sini tidak akan

dibuktikan.

Konvers dari Teorema Cauchy Goursat adalah salah, yaitu

“Jika

untuk setiap lintasan tertutup sederhana C di dalam daerah terhubung

sederhana D, maka f analitik di D”.

0 ) ( 



C dz z f

Sebagai contoh yang menggambarkan kenyataan ini diperlihatkan oleh fungsi

. Integral

jika C lintasan tertutup sederhana yang tak melalui 0, tetapi f tak analitik di 0.

z z f( ) 1 0 



C z dz

TEOREMA 5.3.3 (Perluasan Teorema Cauchy-Goursat):

Diberikan daerah terhubung sederhana D, z1 dan z2 titik tetap dalam D, dan C,

K dua lintasan yang menghubungkan z1 dan z2 dimana C, K



D. Jika f analitik

pada D, maka





 2 1 2 1 ) ( ) ( z K z z C z dz z f dz z f Bukti: D Y 0 X 0 ) ( ) ( ) ( 











 dz z f dz z f dz z f K C L dz ) z ( f dz ) z ( f C K





  dz ) z ( f dz ) z ( f C K





 Misalkan L = C + (-K), maka

Contoh:

Hitunglah

_

_ C dz ) z z (3 2 2

dimana

C

₁

: busur lingkaran x

2

_{+ y}

2

_{=1 dari titik (-1,0) ke (0,1)}

C

₂

: ruas garis dari titik (0,1) ke (1,0)

C = C

₁

+ C

₂

Penyelesaian:

Y C 1 0 -1 C2 X 1

Karena f(z) = 3z2

– 2z analitik pada C yang memuat z1 = -1 dan z2 = 1. Menurut teorema di atas harus

dipilih lintasan sebarang dari z1 dan z2. Lintasan yang paling mudah dalam kasus ini garis lurus dari

ke z2 adalah lintasan K: y = 0, -1



x



1.

Dengan demikian diperoleh,

2 2 3 2 3 1 1 2 2  



 



 dx ) x x ( dz ) z z ( C

TEOREMA 5.3.4 (Teorema Dasar Pertama Integrasi Kompleks):

Jika D daerah terhubung sederhana, z

₁

suatu titik tetap di D dan f analitik pada D, maka untuk

setiap z



D berlaku

) z ( f ) dw ) w ( f ( dz d ) z ( A dw ) w ( f ) z ( A z z ' z z    





1 1 z ) z ( A ) z z ( A lim ) z ( A z '        0 z dw ) z ( f lim z dw )) z ( f ) w ( f ( lim z dw ) z ( f dw )) z ( f ) w ( f ( lim z dw )) z ( f ) z ( f ) w ( f ( lim z dw ) w ( f lim z dw ) w ( f dw ) w ( f lim z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z                  

















                          0 0 0 0 0 0 1 1

Bukti:





    z z z z z z dw ) z ( f dw ) z ( f

z

)

z

(

f

]

z

)

z

z

)[(

z

(

f

]

w

)[

z

(

f

z z z

















Karena

maka diperoleh,

)

z

(

f

z

z

).

z

(

f

lim

z

dw

)

z

(

f

lim

z z z z z











     



0 0 .

Fungsi f(w) analitik di z



C, mengakibatkan f kontinu di z



C. Hal ini berarti untuk

setiap bilangan



> 0 terdapat bilangan



> 0 sehingga jika



w–z



<



berlaku



f(w) – f(z)



<



z dw z f w f z z z   



  . )] ( ) ( [         



  z z . z dw )] z ( f ) w ( f [ z z z

Akibatnya,

0

)]

(

)

(

[

lim

0









   

_z

dw

z

f

w

f

z z z z

Jadi terbukti bahwa

A’(z) = f(z).

Dari teorema di atas, dapat diperluas menjadi suatu teorema yang lebih sederhana,

teorema tersebut dikenal dengan nama teorema dasar kedua integral kompleks. Sebelumnya,

akan didahulu dengan pengertian anti turunan dari suatu fungsi yang disajikan di dalam Definisi

5.3.5 dan Teorema 5.3.6 berikut.

DEFINISI 5.3.5:

Diberikan D



C terbuka dan fungsi f : D



C. Fungsi F : D



C disebut anti turunan f

TEOREMA 5.3.6:

Diberikan fungsi f : D



C analitik pada D. Jika fungsi G : D



C anti turunan dari f,

maka terdapat konstanta k



C sehingga H(z) = G(z) + k, untuk setiap z



D.

Bukti:

Karena G dan H anti turunan fungsi f pada D, diperoleh

G’(z)=f(z)=H’(z) untuk setiap z



D atau

(H’– G’)(z)=f(z) - f(z)=0 untuk setiap z



D.

Jika (H

– G)’(z) = 0 untuk setiap z



D, maka terdapat k



C sehingga berlaku

(H-G)(z) = k, untuk setiap z



D.

Jadi terbukti bahwa

TEOREMA 5.3.7(Teorema Dasar Kedua Integrasi Kompleks):

Diberikan D daerah terhubung sederhana, z

₁

dan z

₂

titik tetap di D. Jika f analitik pada D

dan F anti turunan dari f pada D, maka

2

1 2 1 2 1 z z z z ] ) z ( f ) z ( f ) z ( f dz ) z ( f   





 2 1 z z dw ) w ( f ) z ( F



z z dw ) w ( f 1 k k dw ) w ( f k ) z ( G dw ) w ( f k ) z ( G z z z z       





0 1 1 2 1 1 2

Bukti:

adalah suatu anti turunan dari f dan G(z)=k+

anti turunan sebarang dari f, maka

Akibatnya



  2 1 1 2 z z dw ) w ( f ) z ( G ) z ( G

) z ( G ) z ( G dw ) w ( f z z 1 2 2 1  



) z ( F ) z ( F ) z ( F k ) z ( F k dz ) z ( f z z 1 2 1 2 2 1      



Jadi, diperoleh

i ] z zdz i i i i 2 1 2 1 2 1       



e ] e dz e i z i z 2 0 1 0 1    



  i cos ] z cos dz z sin i i     



1  

Integral dari suatu fungsi yang menyeluruh sepanjang sebarang lintasan yang menghubungkan

dua titik pada bidang datar dapat dihitung secara langsung, asalkan anti turunan fungsi

tersebut dapat ditemukan. Demikian pula integral dari fungsi analitik, asalkan titik awal dan

titik akhir lintasan integrasinya seluruhnya terletak di dalam daerah terhubung sedehana di

mana fungsi itu analitik.

i ] z zdz i i i i 2 1 2 1 2 1       



e ] e dz e i z i z 2 0 1 0 1    



  i cos ] z cos dz z sin i i     



1   Contoh: 1. 2. 3.



  2 1 1 2 z z dw ) w ( f ) z ( G ) z ( G ) z ( G ) z ( G dw ) w ( f z z 1 2 2 1  



) z ( F ) z ( F ) z ( F k ) z ( F k dz ) z ( f z z 1 2 1 2 2 1      



LATIHAN 5.3

dz ) z z ( i



   2 1 2 1 dz z cosh i i



  2 dz ze i o z



2



  0 dz ) z sin e ( z



i z dz ) z sin e (  0



 0 2 dz z cos z

1.

Hitunglah integral berikut.

a.

b. c. d.

e.

f.



2. Misalkan

sebarang lintasan tertutup yang tidak memuat nol. Carilah



 dz z z sin 2 

_

 dz ) z ( ' f ) z ( f

3.

Misalkan f analitik pada region yang memuat

. Tunjukkan bahwa

5.4 Annulus

Pada pasal ini akan dibicarakan pengintegralan dari fungsi yang analitik pada suatu annulus tertutup dan bagaimana mengkaji penggunaan Teorema Cauchy dalam masalah ini. Sebelum membicarakan masalah tersebut lebih lanjut, akan disajikan terlebih dahulu definisi dari annulus. 5.4 Annulus

Pada pasal ini akan dibicarakan pengintegralan dari fungsi yang analitik pada suatu annulus tertutup dan bagaimana mengkaji penggunaan Teorema Cauchy dalam masalah ini. Sebelum membicarakan masalah tersebut lebih lanjut, akan disajikan terlebih dahulu definisi dari annulus.

DEFINISI 5.4.1:

(a) Diberikan C lintasan sederhana dan D daerah yang dibatasi oleh C. Interior C didefinisikan dengan IntC = D0 _{dan eksterior}

C dengan EksC=(Dc₎0

(b) Diberikan C dan K dua lintasan tertutup sederhana dengan Int K Int C. Annulus yang ditentukan oleh C dan K didefinisikan dengan

Ann(C,K) = Int C  Eks K = Himpunan semua titik yang terletak di dalam C dan di luar K

K

C Ann(C,K)

(c) Diberikan C,K₁,K₂, …,K_n adalah (n+1) lintasan tertutup sederhana dengan Int K_i Int C, (i = 1, 2, 3, …, n) dan Int Ki Int Kj =, (i j).

Annulus yang ditentukan oleh C, K₁, K₂, …, dan K_ndidefinisikan dengan Ann(C, K₁, K₂,…, K_n) = Int C( eks

n i 1

 _K

i) = Himpunan semua titik yang terletak di dalam C dan di luar K1, K2, …, Kn

C K1

K2

K3

K_n

TEOREMA 5.4.2(Teorema Annulus):

Jika C dan K dua lintasan tertutup sederhana dan f analitik pada CKAnn(C,K), maka





 K C dz ) z ( f dz ) z (

f asalkan C dan K dijelajahi dengan orientasi yang sama.

C

K

Catatan:

Bukti: C₁ r_{1 C} 2 K₂ K₁ r2

Lintasan C = C₁+ C₂, dan lintasan K = K₁+ K₂. Perhatikan dua lintasan tertutup sederhana

C₁+ r₁- K₁– r₂dan C₂+ r₂– K₂– r₁ Menurut Teorema Cauchy diperoleh

0 1 2 2 2 2 1 1 1  





     r K r C r K r C dz ) z ( f dz ) z ( f

Karena r₁dan r₂dijelajahi dalam kedua arah, maka dari integrasi di atas tidak memeberikan arti apa-apa, sehungga

0 ) ( ) ( 2 2 1 1  

_



 K C K C dz z f dz z f 0 2 1 2 1  

_



 C K K C dz ) z ( f dz ) z ( f





 K C dz ) z ( f dz ) z ( f

) K ,..., K , K , C ( Ann ) K_{i n} n i 1  1 2  

 



 _n i _K C i dz z f dz z f 1 ) ( ) (

TEOREMA 5.4.3 ( Teorema Perluasan Teorema Annulus):

Diberikan C, K₁, K₂, …, K_nadalah (n + 1) lintasan tertutup sederhana. Jika f analitik pada C ( maka

Contoh:

Hitunglah



C z

dz

, lintasan C tak melalui 0.

Penyelesaian: Kasus (1): 0Int C Y X C 0 z ) z ( f  1



0 C z dz Misalkan D = CInt C dan , maka f analitik pada D dan

.

Kasus (2): 0Int C. C X Y 1  z : z





 K C z dz z dz it

e

z



dzieitdt Misalkan K = { }. .

Misalkan _{dengan 0t2, maka}

Karena f analitik pada C K Ann(C,K) dengan C, K lintasan tertutup sederhana, maka menurut Teorema Annulus diperoleh

Dari sini, diperoleh

i ] it idt e ie z dz it it K     2 2 0 2 0 2 0    







Dengan demikian      



dz_{z i} IntC_IntC C 2 ,0 0 , 0

       



IntC z , ii IntC z , z z dz o o C o 2 0 , r z z _o  it re z z 0  it o re z z 

dt

ire

dz



it i dt i dt re ire z z dz it it C o    2 2 0 2 0    







TEOREMA 5.4.4:

Diberikan C, K lintasan tertutup sederhana di daerah terhubung sederhana D. Jika f analitik pada C



K



Ann(C,K), maka

dengan C tak melalui z

_o

Bukti:

Misalkan z

_o



Int C dan C lingkaran yang pusatnya di z

_o

dengan jari-jari r, diperoleh

C :

sehingga

, 0t2, r > 0

dz z z ) z ( f i ) z ( f C o o



   2 1 dz z z z f z f z f dz z z z f C o o o C o





  _   ) ( )] ( ) ( [ ) (





 _    o o C o o z z dz ) z ( f dz z z ) z ( f ) z ( f   zo z    f(z ) ) z ( f _o

TEOREMA 5.4.5(Teorema Rumus Integral Cauchy):

Diberikan C lintasan tertutup sederhana yang berorientasi positif dan z

_o



Int C. Jika f analitik pada C



Int C, maka

Bukti:

Karena f analitik pada C



Int C, maka f

’

(z) ada untuk setiap z



C



Int C. Karena z

_o



Int C, maka

f

’

(z

_o

) ada, sehingga f kontinu di z

_o

. Hal ini berarti untuk setiap



> 0 terdapat



> 0 sehingga jika





 _   L o o C o o _dz z z z f z f dz z z z f z f( ) ( ) ( ) ( ) } 2 : {z zz_o          2 2 L , 2 ) ( ) (       



dz L z z z f z f L o o 0      





dz z z ) z ( f ) z ( f dz z z ) z ( f ) z ( f L o o C o o } z z : z { K , z z dz z z dz o K o C o 1      





i z z dz C o  2  



) z ( if i ). z ( f dz z z ) z ( f o o C o   2 2 0   



Misalkan

dengan L =

Diperoleh 0

Jadi,

………. (1)

, maka

……… (2)

Misalkan



_   C n o o ) n ( dz ) z z ( ) z ( f i ! n ) z ( f ₁ 2



_ C z z dz 4 3 1  z 4  z

TEOREMA 5.4.6(Teorema Perumuman Rumus Integral Cauchy):

Diberikan C lintasan tertutup sederhana yang berorientasi positif, z

_o



Int C. Jika f analitik

pada C



Int C, maka

Contoh:

Tentukan

dimana

a. C :

, orientasi C positif

, orientasi C positif

b. C :

) i z )( i z ( z ) z ( z z z3 4  2 4  2 2 z z ) z ( f 4 1 3  

Penyelesaian:

a.

Y 2 1 C X -1 2 dz z z z dz C C







     4 z 1 2i) -2i)(z z(z dz 4 2 C 3 4 1 2   z ) z ( g i ) ( g . i dz z ) z ( g z z dz C C   2 1 0 2 4 3    





Diambil

_{, maka g analitik pada C}



_{Int C.}

b. C :

z 4 , orientasi C positif Y 4 X 2 1 2   i z 2 1  z 2 1 2   i z

Misalkan lintasan K

₁

, K

₂

, dan K

₃

adalah

K

₁

:

K

₂

:

K

₃

:

Jadi, diperoleh

0 8 1 2 4 1 2 8 1 2 2 1 2 4 1 2 2 1 2 2i z 2i) -z(z 1 z 4 z 1 2i -z 2i) z(z 1 4 4 4 4 2i z 0 z 2 2i z K3 K2 2 K 2 2 2 2 1 2 3 1                                                               















i i i ) i z ( z i z i ) i z ( z i dz dz dz ) z ( z dz ) z ( z dz ) z ( z dz ) z ( z dz K K K C      



_ C z (z ) dz 2 2 1 z 4 dz ) z ( z e C z



_ 3 2 2 2 z13



_ C dz z Sinz 2 2  z2i 2 dan C :z 4



_ C(z ) dz z 2 2 2 4

z



4

1. Hitunglah integral berikut :

a. , C : dengan orientasi positif

, C : dengan orientasi positif

, C : dengan orientasi positif

, C : dengan orientasi positif

LATIHAN 5.4

b.

c .