SUATU KAJIAN TITIK TETAP PEMETAAN k-PSEUDONONSPREADING SEJATI DI RUANG HILBERT

(1)

Vol. No. Hal. 52 – 60 ISSN : 2303–2910

c

Jurusan Matematika FMIPA UNAND

SUATU KAJIAN TITIK TETAP PEMETAAN

k-PSEUDONONSPREADING

SEJATI DI RUANG

HILBERT

DESI RAHMADANI

Program Studi Matematika,

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas, Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia,

desi.rahmadani39@gmail.com

Abstract. _Let_C _{be a subset of a real Hilbert space}_H_{. Let}_T _:_H _→_H _{be a strictly}

k-pseudononspreadingmapping with a nonempty fixed point set. Letω∈[k,1) be fixed. Let{Ti}Ni₌₁beNki-strictly pseudononspreading mappings. In this paper, we study the

relationship between of a fixed point set of ak-strictly pseudononspreadingmapping and other forms of certain combinations of somek-strictly pseudononspreadingmappings in Hilbert space.

Kata Kunci:k-strictly pseudononspreading mapping, Hilbert space.

1. Pendahuluan

Teori ruang Hilbert pertama kali diperkenalkan oleh David Hilbert pada tahun 1909. Kajian ini mengawali penelitian dalam bidang analisis fungsional di ruang berdimensi tak hingga, yang kemudian lebih dikenal dengan sebutan ruang Hilbert. Selanjutnya, John Von Naumann merumuskan sifat-sifat teori ruang Hilbert dan mengembangkan teori baru dari operator-operator dalam ruang Hilbert.

Dalam [7], Osilike dan Isiogugu memperkenalkan suatu pemetaan baru yang disebut dengan pemetaan k-pseudononspreading sejati. Misalkan T : C → H, C

adalah suatu himpunan bagian tak kosong, tertutup dan konveks dari ruang Hilbert riilH. PemetaanT dikatakan pemetaank-pseudononspreading sejati jika terdapat

k∈[0,1) sedemikian sehingga

kT x−T yk2

≤ kx−yk2

+kkx−T x−(y−T y)k2

+ 2hx−T x, y−T yi,

∀x, y∈C. (1.1)

SedangkanT dikatakan pemetaank-pseudocontractionsejati jika terdapatk∈[0,1) sedemikian sehingga

kT x−T yk2

≤ kx−yk2

+kkx−T x−(y−T y)k2

,∀x, y∈C (1.2)

Dalam makalah ini akan dikaji hubungan himpunan titik tetap dari suatu pemetaan ki-pseudononspreading sejati{Ti}

N

i=1 dengan bentuk-bentuk kombinasi

tertentu dari beberapa pemetaank-pseudononspreadingsejati di ruang Hilbert yang berdasarkan pada dua fakta berikut, sebagaimana yang ditulis dalam [7]:

(2)

(1) Terdapat titik tetap dan hubungan titik tetap dari pemetaan ki

-pseudocontractionsejati{Ti} N

i=1dengan bentuk-bentuk kombinasi tertentu dari

beberapa pemetaan tersebut di ruang Hilbert [1].

(2) Terdapat titik tetap pada pemetaan k-pseudononspreading sejati dan menun-jukkan bahwa titik tetap ini merupakan solusi untuk suatu masalah optimasi [2].

2. Kajian Titik Tetap Pemetaan k_{-pseudononspreading Sejati di}

Ruang Hilbert

Sebelum mengkaji bukti dari hubungan himpunan titik tetap dari suatu pemetaan

ki-k-pseudononspreading sejati {Ti} N

i=1 dengan bentuk-bentuk kombinasi tertentu

dari beberapa pemetaank-pseudononspreading sejati di ruang Hilbert, akan dibuk-tikan beberapa lema berikut.

Lema 2.1. [3] Misalkan H adalah ruang Hilbert riil. Maka pernyataan berikut berlaku:

(1) ktx+ (1−t)yk2

=tkxk2

+ (1−t)kyk2

−t(1−t)kx−yk2

,∀x, y∈H,∀t∈[0,1], (2) kx−yk2

≤ kxk2

+ 2hy, x+yi,∀x, y∈H.

Bukti.

(1) ktx+ (1−t)yk2

=tkxk2

+ (1−t)kyk2

−t(1−t)kx−yk2

,∀x, y∈H,∀t∈[0,1].

ktx+ (1−t)yk2

=htx+ (1−t)y, tx+ (1−t)yi

=htx, txi+ 2htx,(1−t)yi+h(1−t)y,(1−t)yi

=t2

hx, xi+ 2htx,(y−ty)i+hy−ty, y−tyi

=t2

hx, xi+ 2(htx, yi − htx, tyi) +hy, yi −2thy, yi+hty, tyi

=t2

hx, xi+ 2thx, yi −2t2

hx, yi+hy, yi −2thy, yi+hty, tyi

=thx, xi+hy, yi −thy, yi −(t−t2

)(hx, xi+ 2hx, yi+hy, yi).

=thx, xi+hy, yi −thy, yi −(t−t2

)hx−y, x−yi

=thx, xi+ (1−t)hy, yi −t(1−t)hx−y, x−yi

=tkxk2

+ (1−t)kyk2

−t(1−t)kx−yk2 .

(2) kx−yk2

≤ kxk2

kx−yk2

=hx−y, x−yi=hx, xi −2hx, yi+hy, yi ≤ hx, xi+ 2hx, yi+ 2hy, yi,

=hx, xi+ 2hy, x+yi,

=kxk2

+ 2hy, x+yi,

sehingga,kx−yk2

≤ kxk2

(3)

Lema 2.2. [3] Misalkan C merupakan himpunan bagian dari ruang Hilbert riil H, dan misalkan T :H →H merupakan suatu pemetaan k-pseudononspreading sejati dengan suatu himpunan titik tetap tak kosong. Misalkan ω ∈[k,1) ditetapkan dan didefinisikanTω:C→C dengan

Tωx= (1−ω)T x+ωx,∀x∈C. (2.1)

maka F(Tω) =F(T).

Bukti. MisalkanTωx= (1−ω)T x+ωx, atau dapat ditulisx−Tωx= (1−ω)(x−T x), ∀x∈C.

(i) Akan dibuktikanF(Tω) ⊂F(T). Misalkan x ∈F(Tω) dengan x =Tωx. Dari

persamaan (2.1) diperoleh

Tωx= (1−ω)T x+ωx

x= (1−ω)T x+ωx x= (1−ω)T x+ωx x−ωx= (1−ω)T x

(1−ω)x= (1−ω)T x.

Karena (1−ω)6= 0, makax=T x. Sehingga terbuktix∈F(T).

(ii) Akan dibuktikan F(T) ⊆ F(Tω). Misalkan x ∈ F(T) dengan x = T x. Dari

persamaan (2.1) diperoleh

Tωx= (1−ω)T x+ωx

Tωx= (1−ω)x+ωx

Tωx=x−ωx+ωx

Tωx=x.

KarenaTωx=x, maka terbuktix∈F(Tω).

Dari (i) dan (ii), dapat disimpulkanF(Tω) =F(T).

Lema 2.1 dan Lema 2.2 digunakan dalam pembuktian Teorema 2.3, yang meru-pakan bahasan utama dalam makalah ini. Teorema tersebut mengkaji hubungan titik tetap dariN pemetaank−pseudononspreading sejati di ruang Hilbert.

Teorema 2.3. Asumsikan C adalah himpunan bagian konveks tertutup dari ruang Hilbert riil H.

(a) Diberikan suatu bilangan bulat N ≥ 1, asumsikan Ti : H → H adalah

suatu pemetaan ki − pseudononspreading sejati, untuk suatu ki ∈ [0,1),

(i = 1,2, . . . , N). Misalkan {λi} N

i=1 adalah suatu barisan positif sedemikian

sehingga PNi=1λi = 1. Jika {Ti}

N

i=1 memiliki suatu titik tetap bersama dan

TN

i=1F(Ti)6=∅, maka

F(

N

X

i=1

λiTi) = N

\

i=1

(4)

(b) AsumsikanTi:H →H adalah suatu pemetaanki−pseudononspreadingsejati

Bukti. Pembuktian dilakukan dengan menggunakan Induksi Matematika [3].

(5)

Persamaan (2.4) akan berlaku untuk suatu k ∈ [0,1) jika (1−λ)V1x− λV2x= 0, dengan menggunakan Lema 2.1(1) diperoleh

(1−λ)kV1xk 2

+λkV2xk 2

=λ(1−λ)kV1x−V2xk 2

. (2.5)

Persamaan (2.4) dan persamaan (2.5) mengakibatkan:

(1−k)λ(1−λ)kV1x−V2xk2

≤0 (2.6)

karena 0< λ <1 dank <1, dari persamaan (2.6) diperolehkV1x−V2xk= 0, yang mengakibatkanT1x=T2x. Karena (1−λ)T1x+λT2x=xmaka

T1x=T2x=x. Ini berartix∈F(T1)∩F(T2).

(a2) Asumsikan pernyataan benar untukn=N−1, sehingga

N\₋1

i=1

F(Ti) =F( NX₋1

i=1 λiTi),

yang berarti bahwa

N\₋1

i=1

F(Ti)⊆F( NX₋1

i=1

λiTi) danF( NX₋1

i=1

λiTi)⊆ N\₋1

i=1 F(Ti).

(a3) Akan ditunjukkan pernyataan benar untukn=N. Akan dibuktikan bahwa TNi=1F(Ti) ⊆ F(

PN

i=1λiTi), dengan 0 < λ <

1. Misal-kan x ∈ TNi=1F(Ti) =

TN

i=1F(Ti), ini berarti x ∈ F(T1), x ∈ F(T2), . . . , x∈F(TN). Hal ini mengakibatkan

x∈F(T1)⇒x=T1x, x∈F(T2)⇒x=T2x,

.. .

x∈F(TN)⇒x=TNx.

Dengan perkataan lain, x=T1x=T2x=. . . TNx. Perhatikan hubungan

berikut:

x=x−(λ1T1x+λ2T2x+. . .+λNTN₋1x) + (λ1T1x+λ2T2x+. . .+λN₋1TN₋1x)

=TNx−λ1T1x−λ2T2x−. . .−λN₋1TN₋1x+ (λ1T1x+λ2T2x+. . .+λN₋1TN₋1x)

= [1−(λ1+λ2+λ3+. . .+λN₋1)]x+ (λ1+λ2+λ3+. . .+λN₋1)TNx,

= (λ1T1+λ2T2+λ2T2+. . .+λNTN)x.

Sehingga terbukti bahwa x∈F(PNi=1λiTi).

Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa F(PNi=1λiTi) ⊆

TN

i=1F(Ti).

Mis-alkan x∈F(PNi=1λiTi), atau dengan perkataan lain

x= (λ1T1+λ2T2+. . .+λNTN)x= (λ1T1+λ2T2+. . .+λN₋1TN₋1)x+λNTN.

TetapkanV0=I−T1 danVN =I−T2. Ambil sebarangz∈

TN

i=1F(Ti).

Dari (a2) diperolehx= (λ1T1+λ2T2+. . .+λNTN)x. Misalkan

T0= (λ1T1+λ2T2+. . .+λN₋1TN₋1) = (

N₋1

X

(6)

Maka,

Persamaan (2.8) dan persamaan (2.9) mengakibatkan

(7)

Dengan perkataan lain,q=Tω1q=Tω2q, dapat juga ditulisq=Tω1Tω2q=

Tω1(Tω2q), sehingga dapat disimpulkanq∈F(Tω1Tω2).

(ii) Selanjutnya, akan dibuktikan F(Tω1Tω2) ⊆F(Tω1)∩F(Tω2). Ambil

q∈F(Tω1Tω1) denganq=Tω1Tω2q, sedemikian sehingga

Tω2q=q⇒Tω1q=q. (2.11)

Oleh karena itu, cukup dengan menunjukkanTω2q=q, maka akan meng-akibatkan q = Tω1q atau q ∈ F(Tω1), sehingga q ∈ F(Tω1)∩F(Tω2). Dari Lema 2.2, diketahui bahwa F(Tω1)∩F(Tω2) =F(T1)∩F(T2)6=∅. Misalkan p∈F(Tω1)∩F(Tω2), maka

kp−qk2

=kp−Tω1Tω2qk

2

=kp−[(1−ω1)(Tω2q) +ω1T1Tω2]k

2

=k(1−ω1)(p−Tω2q) +ω1(p−T1Tω2q)k

2

= (1−ω1)kp−Tω2qk

2

+ω1kp−T1Tω2qk

2

−ω1(1−ω1)kTω2q−T1Tω2qk

2

≤(1−ω1)kp−Tω2qk

2

+

ω1[kp−Tω2qk

2

+k1kTω2q−T1Tω2qk

2

+ 2hp−T1Tω2p, Tω2q−T1Tω2qi] = (1−ω1)kp−Tω2qk

2

+ω1[kp−Tω2qk

2

+

k1kTω2q−T1Tω2qk

2

],

≤ kp−Tω2qk

2

−ω1(1−ω1−k1)kTω2q−T1Tω2qk

2

≤ kp−qk2

−ω1(1−ω1−k1)kTω2q−T1Tω2qk

2

. (2.12)

Karena 0< k1< ω1<1/2, maka diperoleh

kTω2q−T1Tω2qk

2

≤0. (2.13)

Berdasarkan definisi norm (nilai norm adalah nonnegatif), makakTω2q−

T1Tω2qk= 0, yang berartiTω2q=T1Tω2q, ini berarti

Tω2q∈F(T1) =F(Tω1), (2.14)

dengan kata lainTω2q=Tω1Tω2q=qSehinggaq∈F(Tω2). Dapat disim-pulkan bahwa q∈F(Tω2), ini berartiq∈F(Tω1)∩F(Tω2).

Dari (i) dan (ii), dapat disimpulkan bahwaF(Tω1Tω2)⊂F(Tω1)∩F(Tω2). (b2) Asumsikan benar untukn=N−1, yang berarti

F(Tω1Tω2. . . TωN)⊆

N

\

i=1

F(Tωi) dan

N

\

i=1

F(Tωi)⊆F(Tω1Tω2. . . TωN).

(b3) Akan ditunjukkan benar untukn=N, yakni

F(Tω1Tω2. . . TωN) =

N

\

i=1

F(Tωi).

(i) Akan dibuktikan bahwa TNi=1F(Tωi) ⊆ F(Tω1Tω2. . . TωN). Misalkan

q∈TNi=1F(Tωi), ini berarti

q∈F(Tω1)⇒q=Tω1q,

(8)

Dengan perkataan lain,q=Tω1q=Tω2q=. . .=TωNq, dapat juga ditulis

q = Tω1q = Tω1(Tω2q) = . . . = Tω1(Tω2. . . TωN₋1)TωNq, sehingga dapat disimpulkanq∈F(Tω1Tω2. . . TωN).

(ii) Akan dibuktikan F(Tω1Tω2. . . TωN) ⊆ TN

i=1F(Tωi). Ambil q ∈

F(Tω1Tω2. . . TωN), makaq=Tω1Tω2. . . TωN₋1TωNq, sedemikian sehingga

TωNq=q⇒Tω1Tω2. . . TωN₋1q=q. (2.15)

Oleh karena itu, cukup dengan menunjukkan TωNq = q, hal ini akan mengakibatkan q ∈ TNi=1F(Tωi). Dari Lema 2.2, diketahui bahwa TN

i=1F(Tωi) = TN

i=1F(Ti) 6= ∅. Misalkan p ∈

TN

i=1F(Tωi). Misalkan

Tω0=Tω1Tω2. . . TωN₋1 maka

kp−qk2

=kp−Tω0TωNqk

2

=kp−[(1−ω0)(TωNq) +ω0T0TωNq]k

2

=k(1−ω0)(p−TωNq) +ω0(p−T0TωNq)k

2

= (1−ω0)kp−TωNqk

2

+ω0kp−T0TωNqk

2

−ω0(1−ω0)kTωNq−T0TωNqk

2

≤(1−ω0)kp−TωNqk

2

+

ω1[kp−TωNqk

2

+k1kTω2q−T0TωNqk

2

+ 2hp−T0TωNp, TωNq−T0TωNqi] = (1−ω0)kp−Tω0qk

2

+

ω0[kp−TωNqk

2

+k0kTωNq−T0Tω2qk

2

],

≤ kp−TωNqk

2

−ω0(1−ω0−k0)kTωNq−T0TωNqk

2

≤ kp−qk2

−ω0(1−ω0−k0)kTωNq−T0TωNqk

2

. (2.16)

Karena 0< k0< ω0<1/2, maka diperoleh

kTω0q−T1TωNqk

2

≤0. (2.17)

Berdasarkan definisi norm, maka kTω2q −T1Tω2qk = 0, yang berarti

TωNq=T0TωNq, ini berarti

TωNq∈F(T0) =F(Tω0). (2.18)

Dengan kata lain, TωNq = Tω0TωNq = q. Dari (3.0.19) diperoleh q ∈

F(Tω0). Ini berarti q ∈ F(Tω0)∩F(TωN). Dari (i) dan (ii), dapat di-simpulkan bahwaF(Tω1Tω2. . . TωN) =

TN

i=1F(Tωi).

3. Ucapan Terima kasih

Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Dr. Syafrizal Sy, Bapak Dr. Admi Nazra, Bapak Dr. Muhafzan, Ibu Arrival Rince Putri, MT, M.Si dan Bapak Efendi, M.Si yang telah memberikan masukan dan saran sehingga makalah ini dapat dise-lesaikan dengan baik.

Daftar Pustaka

(9)

[2] Berinde, V. 2007. Iterative Approximations of Fixed Point. Verlag Berlin Hei-delberg: Springer.

[3] Deng, B.C., T. Chen dan Z. Fang Li. 2012. Cyclic Iterative Method for Strictly Pseudononspreading in Hilbert Spaces.Journal Of Applied Mathematics.2012: 1 – 7.

[4] Kreyszig, E. 1978. Introductory Functional Analysis with Applications. United States of America: John Wiley and Sons. Inc

[5] Lokenath, D. dan P. Mikusinki. 1990. Introduction to Hilbert Spaces with Ap-plication. San Diego: Academic Press.

[6] Osilike, M.O. dan F.O. Isiogugu. 2011. Weak and Strong Convergence Theorems for Nonspreading-Type Mapping in Hilbert Spaces.Nonlinier Analysis: Theory, Methods, and Applications.74: 1814 – 1822.

[7] Petrot N. dan R. Wangkere. 2011. A general iterative scheme for strict pseudononspreading mapping related to optimization problem in Hilbert Spaces.

Journal of Nonlinier Analysis and Optimization. 2: 329 – 336.

[8] Ravi, P.A., D.O. Regan dan D.R. Sahu. 2009. Fixed Point Theory for Lipschitzian-type Mappings with Applications. Springer Dordrecht Heidelberg, New York.