IX. TEORI PENDUGAAN DAN PENGUJIAN HIPOTESISI

Biostatistika 66 IX. TEORI PENDUGAAN DAN PENGUJIAN HIPOTESISI

1. Teori Pendugaan

Dalam penelitian kita berusaha untuk menyimpulkan populasi dimana sample diambil untuk mewakili populasi tersebut. Untuk tujuan tersebut kita mencari atau mempelajari data yang diambil baik secara sampling maupun sensus. Karena keterbatasan waktu, dana serta mengingat besarnya populasi (tak hingga) maka diambil sample yang representative lalu berdasarkan pada hasil analisis terhadap data sample kesimpulan mengenai populasi dibuat. Kelakuan populasi yang akan ditinjau disini hanyalah mengenai parameter populasi dan sample yang digunakan adalah sample acak. Data dari sample dianalisis diperoleh nilai-nilai statistic atau statistic sample.

Statistic sample yang diperoleh digunkan untuk menduga parameter-parameter dari populasi.

Secara umum parameter populasi diberi simbul θ (baca theta) jadi θ bisa berupa rata-rata μ simpangan baku α, proporsi Π dan sebagainya. Jika θ yang tidak diketahui harganya diduga oleh θ maka θdinamakan penduga jelas diinginkan θ = θtetapi ini hanya merupakan suatu keinginana yang idial sifatnya, kenyataan yang terjadi adalah :

a. penduga θ oleh θ terlalu tinggi b. penduga θ oleh θ terlalu rendah.

Kedua ini jelas tidak diinginkan oleh peneliiti karena kita mengiginkan penduga yang baik penduga yang baik adalah tak bias, mempunyai varians (ragam) minimum dan konsisten.

Penduga θ dikatakan penduga tidak bias jika rata-rata semua harga θ yang mungkin akan sama dengan θ.

Penduga beragam minimum ialah penduga dengan ragam terkecil diantara semua penduga untuk parameter yang sama. Jika θ1 dan θ 2 dua penduga beragam minimum dan

merupakan penduga yang baik.

Misalkan θ penduga untuk θ yang dihitung berdasarkan sample acak berukuran n. jika ukuran sample n makin besar mendekati ukuran populasi maka akan menyebabkan θ mendekati θ maka dijamin merupakan penduga konsisten.

Penduga yang tak bias dan beragam minimum dinamakan penduga yang baik. Cara-cara menduga

Menduga μ

Biostatistika 67 n / )



   n 1 i Xi ( X

penduga untuk sebuah parameter μ misalkan harganya akan berlainan tergantung pada harga X yang didapatkan dari sample yang diambil. Karena orang sering merasa kurang yakin atau kurang percaya atas hasil penduga macam ini. Sebagai gantinya dipakai interval pendugaan atau daerah pendugaan yaitu menduga suatu parameter diantara batas-batas dua harga denagn tingkat kepercayaa yang telah ditentukan.

Jika koefisien kepercayaan dinyatakan dengan α maka besarnya 0<α< 1. harga ∂ yang digunkana tergantung pada persoalan yang dihadapi dan keyakinan peneliti. Namun yang biasa digunakan ialah 0,95 atau 0,99.

Jadi pendugaan θ yang dimaksud adalah : P(A < θ <B) = α

P : peluang yang diiginkan A : batas bawah pendugaan B :batas atas pendugaan θ: parameter yang diduga

α: koefisien kepercayaan pendugaan

perumusan ini berarti bahwa peluang θterletak diantara nilai A dan B sebesar α. Dalam penelitian A dan B dihitung harganya berdasarkan data sampel maka A dan B merupakan bilangan tetap.maka perumusan diatas berarti kita merasa percaya sebesar α bahwa parameter θ akan ada didalam interval ( A,B). jika umpamanya α = 0,95 A= 2 dan B = 4 ini berarti bahwa kita percaya 95 % parameter θ nilai antara 2 sampai denagn 4

Pendugaan rata-rata μ

Misalkan kita mempunyai suatu populasi berukuran N dengan rata-rata μ dan simpangan baku α. Dari populasi ini parameter rata-rata μ akan diduga dengan X. untuk keperluan ini kita mengambil sample sebesar n dan hitung rata-ratanya (X) jika data berasal dari populasi yang menyebar normal dan α diketahui maka :

P (X – Z 1/2α α/√n < μ < X + Z1/2α α/√n) =α

Disini Z1/2α nilainya diambil dari tabel normal baku untuk peluang ½ α. Jadi interval

kepercayaan parameter μ sebesar α adalah : X – Z1/2α α/√n <μ< X+Z1/2α α/√n

Biostatistika 68 Atau

X ± Z1/2α α/√n

Dalam penelitian /kenyataan parameter α tidak diketahui,sehingga interval kepercayaan parameter μ sebesar α menjadi

X – t ½ α s/√n <μ<X + t 1/2α s/√n Atau

X ± t 1/2α s/√n

Dimana t 1/2α nilainya diambil dari tabel t dan s dicari dengan rumus:

1) (n ____ ___ 2 ) _ X -(X SD τ   



 n i 1

Jika ukuran sample berhingga yaitu sebesar N yakni (n/N) > 5% maka:

1 1 1/2 2 / 1        N n N n s t X N n N n s t X _{ } Atau 1 2 / 1     N n N n s t _ Pendugaan proporsi 

Populasi binomial berukuran N dimana terdapat propirsi Π untuk suatu peristiwa yang terdapat didalam populasi tersebut. Bila didalamsampel terdpat n kejadian dan terdpat x kejadian yang sukses maka proporsi atau peluang kejadian sukses adalah n =

Sehingga interval kepercayaannya dengan pendekatan normal dengan n cukup besar menajdi : p p Z X p p Z X  1/2 (1 )   1/2 (1 Atau X Z1/2 p(1 p) Jadi interval kepercayaan untuk Π menjadi :

n p p z p n p p Z p 1/2 (1 ) 1/2 (1 )       _  _ Atau n P p Z p 1/2 (1 )   _ Contoh

1. misalnya dari hasil pengukuran 20 ekor kambing kacang jantan diperoleh rata-rata berat badan 15 kg,dari hasil penelitian sebelumnya diperoleh informasi bahwa

Biostatistika 69 simpangan beratnya sebesar 5 kg. maka dengan tingkat kpercayaan 95 %diperoleh kisaran berat kambing tersebut adalah :

19 , 2 15 20 5 96 . 1 15 2 / 1      n Z X _ 

Jadi kisaran berat kambing tersebut adalah antara 12,81 kg samai dengan 17,19 (P<0,05)

2. dari 50 ekor anak babi yang diperiksa ternyata 30 ekor menderita penyakit mencret putih sedangkan sisanya dalam keadaan sehat. Dengan tingkat kepercayaa 95 % interval pendugaan terhadap anak babi penderita mencret putih adalah sebagai berikut: kejadian sukses =30 60 , 0 50 30 _   n x p 2 S np (1-p) = 50 (0,60)(1-0,60)=12 S = 123,46 96 , 0 30 60 , 0 1 ( 60 , 0 96 , 1 30 ) 1 ( 2 / 1       Z p p X _

Jadi rata-rata anak babi yang menderita mencret putih 29,04 -30,96 ekor atau 29-31 ekor (P<0,05).

Kisaran prepalensi(kemungkinan)anak babi mencret putih adalah:

50 ) 60 , 0 1 ( 60 , 0 96 , 1 60 , 0 ) 1 ( 2 / 1      n p p Z p _ = 0,60 ±0,14

Jadi prepalensinya berkisar antara 0,46-0,74 (p<0,05)

1. Pengujian Hipotesis

Hipotesis adalah jawaban smentara terhadap suatu permasalahan yang paling dianggap benar, dianggap sementara karena perlu dibuktikan kebenarannya dan dianggap paling benar karena sudah berdasarkan pikiran yang logis dn oengetahuan yang menunjangnya. Pengujian hipotesis akan membawa kepada kesimpulan untuk menerima atau

Biostatistika 70 menolak hipotesis. Jadi dengan demikian hanya terdapat dua pilihan. Maka dalam statistika kita mengenal dua hipotesis yaitu H0 dan H1

pasangan H0 danH1 mempuinyai daerah penerimaaan dan daerah penolakan hipotesis.

Daerah penolakan hipotesis sering disebut daerah kritis.

Bila kita ingin menguji suatu parameter yang diketahui (θo) maka hipotesisinya adalah

sebagui berikut :

a. Hipoteisi dua arah Ho:θ =θo lawan H1;θ≠θo

b. Hipotesisi satu arah kanan Ho:θ ≤θo lawan H1;θ>θo

Hipotesis ini mengandung pengertian maksimum (meningkatkan) c. Hipotesisi Satu arah kiri

Ho:θ ≥θo lawan H1;θ<θo

Hipotesis ini mengandung pengertian minimum(menurunkan)

Menguji rata-rata  A. Uji Dua Arah a.  diketahui

Ho : =o lawan H1 :   o

Pengujian dilakukan dengan menggunakan rumus :

n Z o H /     

Criteria penerimaan Ho adalah :

Ho diterima pada taraf jika ; Z_h  Z_1/2 Ho ditolak pada taraf  jika ; Zh  Z1/2_ b.  tidak diketahui

Ho : =o lawan H1 :   o

Pengujian dilakukan dengan menggunakan rumus :

n s t o H /    

Biostatistika 71 Ho diterima pada taraf jika ; t_h  t_{1/2dbn1}

Ho ditolak pada taraf  jika ; t_h  t_{1/2dbn1} B. Pengujian Satu Arah : Arah kanan

a.  diketahui

Ho :o lawan H1 : .>o

Pengujian dilakukan dengan menggunakan rumus :

n ZH o /     

kriteria penerimaan Ho adalah :

Ho diterima pada taraf jika ; ZH ≤ Zα

Ho ditolak pada taraf  jika ; ZH > Zα

Untuk yang arah kiri criteria penerimaan Ho adalah b.  tidak diketahui : Arah Kanan

Ho :o lawan H1 : .>o

Pengujian dilakukan dengan menggunakan rumus :

n s tH o /    

kriteria penerimaan Ho adalah :

Ho diterima pada taraf jika ; tH ≤ tα(db = n-1)

Ho ditolak pada taraf  jika ; tH > tα (db = n-1)

Kriteria penerimaan Ho untuk pengujian hipotesisi arah kiri adalah kebalikan dari yang arah kanan.

PENGUJIAN PROPORSI Π Hipotesisnya : o o o lawanH H : ₁: 

Biostatistika 72 n p p p ZH o ) 1 (    

kriteria penerimaan Ho adalah :

Ho diterima pada taraf α jika

   

ZH  Z Ho ditolak pada taraf α jika

   

ZH  Z

Hipotesis dan kriteria penerimaan hipotesis untuk uji satu arah sama dengan pengujian rata-rata μ

Contoh :

1. Seorang penjual ayam broiler menyatakan bahwa rata-rata berat ayam yang dijual adalah 2,3 kg dengan kisaran berat 0,5 kg. untuk membuktikan hal tersebut maka ditimbang 15 ekor ayam broiler dan diperoleh rata-rata bertana 2,1 kg. apakah penyatan pedagang ayam tersebut dapat dipercaya 95%.

Jawab.

Hipotesinya dua arah karena kemungkinan berat ayam tersebut lebih besar atau lebih kecil dari 2,3 kg maka hipoteisinya adalah :

Ho : θ = 2,3 lawan H1 : θ ≠2,3 54 , 1 13 , 0 2 , 0 15 / 5 , 0 3 , 2 1 , 2 /         H o H Z n X Z  

Jadi Z_H Z_0,025atau 1,54<1,96 maka Ho diterima.

2. Seorang pedagang obat perangsang pertumbuhan menyatakan bahwa, obat yang mereka jual dapta meningkatkan berat sebesr 0,5 kg dengan keragaman 0,1 kg2 dari anak babi yang dipelihara selama masa menyusu. Dari 25 ekor anak babi yang dipelihara dan diberikan obat perangsang pertumbuhan ternyata rata-rata berat yang diperoleh sebesar 6,1 Kg,seangkan sebelumnya (tanpa obat perangsang) diperoleh berat rata-rata 5,8 Kg. Apakah obat tersebut dapat dipercaya 95 % dapat merangsang pertumbuhan anak bagi selama menyusu.

Jawab

Hipotesisi yang dapat dibuat adalah hipotesisi satu arah karena yang diinginkan dapat meningkatkan saja, maka hipotesisinya adalah:

Ho : μ <0,5 lawan H1 : μ ≥ 0,5

S = α = √0,1 =0,32

Biostatistika 73 125 , 3 064 , 0 2 , 0 25 / 32 , 0 3 , 0 5 , 0 /        n X ZH o  

Jadi Z_H Z_0,025atau 3,125>1,645 maka Ho diterima karena nyata lebih kecil dari

0,5. maka pernyataan pedagang obat tersebut tidak benar, pernyataan pedagang baru benar jika hasilnya tidak nyata lebih kecil (P>0,05) dari 0,5 kg atau nyata lebih besar dari 0,5 kg

3. jika diketahui peluang lahirnya anak sapi jantan adalah 0,50 jika dari dari 8 ekor anak sapai yang terlahir ternyata 5 ekor jantan dan 3 ekor betina. Apakah masih dapat dieprcaya 95 % peluang yang menyatakan kemungkinan anak sapi jantan yang lahir 0,50 jawab 625 , 0 8 5    n X P

Karena peluang tersebut kemungkinan lebih besar atau lebih kecil dari 0,50 maka hipotesisinya adalah : 50 , 0 : 50 , 0 : lawanH₁  H_o 73 , 0 171 , 0 125 , 0 8 625 , 0 1 ( 625 , 0 50 , 0 625 , 0 ) 1 (           H o H Z n p p p Z

Jadi ZH<Z0,025 atau 0,73<1,96 maka Ho diterima , maka peluang yang menyatakan

kemungkinan anak sapi jantan lahir peluang 0,50 masih dapat dipercaya (P>0,05)

PENGUJIAN KESAMAAN(HOMOGENITAS) RAGAM/VARIANS Hipotesisinya : 2 2 2 1 1 2 2 2 1 : :  lawanH   H_o

Pengujian dilakukan dengan menggunakan rumus :

2 1 2 1 S S FH  Dengan ketentuan : S₁2 S₁2 Kriteria penerimaan Ho adalah

Ho diterima (ragam homogen) pada taraf α jika FH  F(db1n11;db2n21) Ho ditolak (ragam tidak homogen) pada taraf α jika FH  F(db1n11;db2n21)

Biostatistika 74 MENGUJI KESAMAAN DUA RATA-RATA PENGAMATAN

BERPASANGAN A. Uji Dua Arah

Hipotesisnya

Ho : μ1=μ2 lawan H1 : μ1 ≠ μ2

a. ₁2 ₂2 2dan2diketahui

pengujian dilakukan dengan mengguunakan rumus :

n X X Z_H / 1 2 1    Disini n1 =n2=n

Kriteria penerimaan Ho adalah:

Ho diterima pada taraf α jika : ZH  Z1/2_ Ho ditolak pada taraf α jika : ZH  Z1/2_

b. 22 2 2

2

1   

   dan tidak diketahui

pengujian dilakukan dengan menggunakan rumus :

n Sd/ _ _ 2 X 1 X ______ H t   1 n n i) X (X ) X (X Sd n 1 i 2 n 1 i 2 1i 2 2i 1i        _   





 

Kriteria penerimaan Ho adalah:

Ho diterima pada taraf α jika : t_H  t_{1/2(dbn1)} Ho ditolak pada taraf α jika : tH  t1/2(dbn1)

B. Uji Satu Arah Hipotesisnya:

Ho : μ1≤μ2 lawan H1 : μ1 > μ2

a. ₁2 ₂2 2dan2diketahui

Biostatistika 75 n X X ZH / 1 2 1   

Kriteria penerimaan Ho adalah:

Ho diterima pada taraf α jika : ZH≤Zα

Ho ditolak pada taraf α jika : ZH>Zα

b. 2 2 2

2 2

1   

   dan tidak diketahui

pengujian dilakukan dengan menggunakan rumus :

2 / 1 1 / 1 2 1 n n Sg X X t_H    1 ) ( ) ( 1 2 1 2 1 2 2 1        _   





  n n i X X X X Sd n i n i i i i

Kriteria penerimaan Ho adalah:

Ho diterima pada taraf α jika : tH  t(dbn1) Ho ditolak pada taraf α jika : t_H  t_{(dbn1)}

MENGUJI KESAMAAN DUA RATA-RATA PENGAMATAN TIDAK BERPASANGAN

A. uji dua Arah Hipotesisnya

Ho : μ1=μ2 lawan H1 : μ1 ≠ μ2

a. ₁2 ₂2 2dan2diketahui

pengujian dilakukan dengan menguunakan rumus :

2 / 1 1 / 1 2 1 n n X X Z_H    

Kriteria penerimaan Ho adalah:

Ho diterima pada taraf α jika : ZH  Z1/2_ Ho ditolak pada taraf α jika : ZH  Z1/2_

b. 22 2 2

2

1   

   dan tidak diketahui

pengujian dilakukan dengan menggunakan rumus :

1/n2 1/n1 Sg X X t 1 2 H   

Biostatistika 76 2 n2 n1 1)S (n 1)S (n Sg 2 2 2 2 1 1      

Kriteria penerimaan Ho adalah:

Ho diterima pada taraf α jika : tH  t1/2(dbn1n22) Ho ditolak pada taraf α jika : t_H  t_{1/2(dbn1n22)} B. Uji Satu Arah

Hipotesisnya

a. 22 2dan 2diketahui 2

1   

  

pengujian dilakukan dengan menguunakan rumus :

2 / 1 1 / 1 2 1 n n X X ZH    

Kriteria penerimaan Ho adalah:

Ho diterima pada taraf α jika : ZH≤Zα

Ho ditolak pada taraf α jika : ZH>Zα

b. 22 2 2

2

1   

   dan tidak diketahui

2 / 1 1 / 1 2 1 n n Sg X X t_H    2 2 1 ) 1 2 ( ) 1 1 ( ₁2 ₂2       n n S n S n Sg

Kriteria penerimaan Ho adalah:

Ho diterima pada taraf α jika : tH t(dbn1n22) Ho ditolak pada taraf α jika : tH t(dbn1n22) Contoh:

1. Seorang peneliti ingin mengetahui perubahan pH daging api sebelum dan sesudah diberikan bahan pengawet asam Acetat 1,5 % untuk tujuan tersebut peneliti memeriksa 15 contoh daging dan diuji pHnya sebelum dan sesudah diberi bahan pengawet.

Data hasil penelitiannya sebagai berikut :

nomor Sebelum (X1i) Sesudah (X2i)

1 2 3 4 5,2 5,6 5.8 5,7 4,1 4,4 4,9 4,8

Biostatistika 77 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5,6 5,9 5,5 5,6 5,8 5,6 5,7 5,6 5,4 5,3 5,8 4,7 5,2 4,2 4,3 4,7 4,3 4,5 4,1 4,1 4,0 4,4

Dari data yang diperoleh peneliti ingin mengetahui apakah terjadi penurunan pH daging yang nyata dengan pemberian asam Acetat 1,5 % disamping pula ingin diketahui kesamaan ragam antara sebelum dan sesudah duberikan asam Acetat 1,5 % Jawab>

Hipotesisi

Kesamaan dua rata-rata berpasangan satu arah Ho : μ1≤μ2 lawan H1 : μ1 > μ2 Kesamaan ragam (α2 ) 2 2 2 1 1 2 2 2 1 : :  lawanH   Ho Perhitungan 2 2 15 1 1 ) ( _i i i X X 



 = (5,2-4,1)2 +(5,6-4,4)2+………….+(5,8-4,4)2 = 20,88 ) ( ₂ 15 1 1 i i i X X 



 =(5,2-4,1)+(5,6-4,4)+……….=(5,8-4,4) =17,4 2 15 1 1



 i i X = 5,22+5,62+5,82+…………..+5,82=472,05



 15 1 1 i i X = 5,2 + 5,6 + 5,8+…………..+ 5,8=84,1 61 , 5 15 1 , 84 15 1 15 1 1   



 i i X X



 15 1 2 2 i i X = 4,12 +4,42 +4,92+…………..+4,42=298,29

Biostatistika 78



 15 1 2 i i X =4,1 +4,4 +4,9+…………..+4,4=66,7 45 , 4 15 7 , 66 15 1 15 1 2    



 i i X 2 15 1 15 1 ) 2 1 2 2 1 1 15 15 ( ) (              _   





  i i i i i i X X X X Sd 223 , 0 1 15 15 ) 4 , 17 ( 88 , 20 2     Sd 14 , 20 0576 , 0 16 , 1 15 / 1 223 , 0 45 , 4 61 , 5 15 / 1 2 1       Sd X t_H

Oleh karena tH>t0,05(db=15-1), yaitu 20,14>1,761

Maka Ho ditolak jadi disimpulkan bahwa pemberian asam Acetat 1,5 % dapat menurunkan

pH daging sapi secara nyata (P<0,05)

0378 , 0 14 15 5 ` ) 1 , 85 ( 05 , 472 1 15 15 ) ( 2 15 1 15 1 2 1 2 1 2 1      





  i i i i X X  1212 , 0 14 15 15 ) 7 , 66 ( 29 , 298 1 15 15 ) ( 2 15 1 15 1 2 2 2 2 2 2      





  i i i i X X  206 , 3 0378 , 0 1212 , 0 2 2 2 2      H F

Oleh karena FH>F0,05(cb 14,14)yaitu 3,206>2,46 maka Ho ditolak jadi ragam sebelum dan

sesudah diberikan asam acetate tidak homogen (P>0,05)

2. jika peneliti ingin menambah aplatosin sebanya 20 % pada ransom itik Bali terhadap kadar rotein darahnya. Untuk tujuan tersebut dipelihara 30 ekor itik, 15 ekor diberikan ransom tanpa aplatosisn (ransom 1)dan 15 ekor lagi diberikan ransom dengan aplatosin 20 % (ransom 2)

Biostatistika 79 Data hasil penelitian sebagai berikut:

nomor Ransum 1(X1i) Ransum 2 (X2i)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2,87 2,91 2,21 2,79 2,65 2,66 2,64 2,65 2,58 2,96 2,65 2,63 2,68 2,75 2,84 3,17 3,18 3,15 3,09 3,07 2,96 2,85 2,96 2,89 2,65 3,11 3,08 3,06 3,12 2,97

Dari data tersebut juga ingin diuji kesamaan ragam dari ransom 1 dan ransom 2 Jawab

Hipotesis

Kesamaan dua rata-rata tidak berpasangan, uji dua arah 2 1 1 2 1 : :  lawanH   Ho Kesamaan ragam (α2 ) 2 2 2 2 1 2 2 2 1 : :  lawanH   Ho Perhitungan: 6313 , 109 84 , 2 ... 91 , 2 87 , 2 2 2 2 2 15 1 1     



 i i X 47 , 40 84 , 2 .. ... 91 , 2 87 , 2 15 1 1     



 i i X 698 , 2 15 47 , 41 15 1 15 1 1   



 i i X X 



 2 15 1 2 i i X 3,172+3,182+…………+2,972=137,1545 



 15 1 2 i i X 3,17+3,18+…………+2,97= 45,31 0207 , 3 15 31 , 45 5 1 15 1 2   



 i i X X

Biostatistika 80 14 15 ) 47 , 40 ( 6313 , 109 1 15 15 ) ( 2 15 1 15 1 2 1 2 1 1     





  i i i i X X SD SD1=0,1779 14 15 ) 31 , 45 ( 1545 , 137 1 15 15 ) ( 2 15 1 15 1 2 2 2 21 2     





  i i i i X X SD SD2=0,1434 2 15 15 ) 1 15 ( ) 1 15 ( ₁2 ₂2       S S S_g 28 1434 , 0 ) 1 15 ( 1779 , 0 ) 1 15 (  2   2  g S =0,1616 47 , 5 15 / 1 15 / 1 1616 , 0 0207 , 3 6980 , 2 2 / 1 1 / 1 2 1        n n Sg X X tH

Oleh karena tH>t0,059db=28) yaitu 5,47>2,048

Maka Ho ditolak disimpulkan bahwa Aplatosispada ransom itik dapat mempengaruhi secara

nyata (P<0,05) kadar protein darahnya

54 , 1 ) 1435 , 0 ( ) 1979 , 0 ( 2 2 2 2 2 1      H F

Oleh karena FH<F0,05(db14,14) yaitu 1,54>2,26