Mekanika Hamiltonian

(1)

Matematika

Matematika , di , di bawbawah)ah). . MetMetode Hamiode Hamiltolton n berberbedbeda a dardari metodi metode e LagLagranrangiagian n daldalamam bah

bahwa wa alialih-ah-alih lih menmengunggungkapkkapkan-an-difdifereerensinsial al kendkendala ala kedukedua a padapada n-dimensin-dimensi ruangruang koordinat

koordinat (dimana(dimana nn adalah adalah jumljumlahah derajderajat at kebebakebebasansan sistsistem), em), itu itu mengungmengungkapkankapkan kendala-order pertama

kendala-order pertamann2 -dimensi2 -dimensi ruang faseruang fase ..

Se

Seperperti ti dedengngan an memekakaninika ka LaLagrgranangege,, HamiltonHamilton persamaanpersamaan dadan n sesetatarara menyed

menyediakan cara baru dalam memaniakan cara baru dalam memandang mekanika klasdang mekanika klasik. ik. Secara umumSecara umum, persamaan, persamaan ini tidak menyediakan cara yang lebih mudah untuk menyelesaikan masalah tertentu. ini tidak menyediakan cara yang lebih mudah untuk menyelesaikan masalah tertentu. Sebaliknya, mereka memberikan wawasan yang lebih mendalam ke kedua struktur umum Sebaliknya, mereka memberikan wawasan yang lebih mendalam ke kedua struktur umum mekani

mekanika ka klasiklasik k dan hubungannya dengandan hubungannya dengan mekanika kuantummekanika kuantum sebagai dipahami melaluisebagai dipahami melalui mekanik Hamilton, serta hubungannya ke area lain dari ilmu pengetahuan.

mekanik Hamilton, serta hubungannya ke area lain dari ilmu pengetahuan.

Sekilas Sederhana penggunaan

Nila

Nilai Hamiltoi Hamiltonian adalah energi totanian adalah energi total sistem sedang dijel sistem sedang dijelaskanlaskan. . Untuk sistUntuk sistemem tertu

tertutup, itu tup, itu adalah jumlah dariadalah jumlah dari kinetik kinetik dandan energi potensialenergi potensial dalam dalam sistsistem. em. Ada sAda satu satu setet persa

persamaan maan diferdiferensialensial yanyang g dikdikenaenal l sebsebagaagaii persama persamaan an HamilHamiltonton yang yang membermemberikanikan evolus

evolusi waktu dari sistei waktu dari sistem. m. HamilHamiltoniatonians dapat digunakan untuk menjns dapat digunakan untuk menjelaskaelaskan sistemn sistem sederhana seperti bola memantul, pendulum atau osilasi pegas di mana perubahan energi sederhana seperti bola memantul, pendulum atau osilasi pegas di mana perubahan energi dar

dari i kinkinetietik k ke ke wakwaktu potenstu potensi i dan kembadan kembali lagi li lagi berberakhakhir. ir. HamHamiltiltonionians juga dapatans juga dapat digunakan untuk model energi lain dinamis sistem yang lebih kompleks seperti orbit digunakan untuk model energi lain dinamis sistem yang lebih kompleks seperti orbit planet di

(2)

Trusted by over 1 million members

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions! Start Free Trial

Cancel Anytime.

(3)

Persamaan Hamilton umumnya ditulis sebagai berikut: Persamaan Hamilton umumnya ditulis sebagai berikut:

Dalam persamaan di atas, dot menunjukkan derivatif biasa terhadap waktu dari Dalam persamaan di atas, dot menunjukkan derivatif biasa terhadap waktu dari fungsi

fungsi p p== p (t) p (t) (momentum umum disebut) dan(momentum umum disebut) danqq ==q (t)q (t)(disebut(disebut umum koordinatumum koordinat ), nilai), nilai

men

mengamgambil bil di di bebebeberaprapa a ruaruang ng vektvektor, or, dan dan = = adaladalah ah apa apa yanyang g disdisebuebutt Ham

Hamililtoton, n, atatau au (s(skalkalar ar didininilalai) i) fufungsngsi i HaHamimiltltonionianan. . JaJadidi, , lelebibih h ekseksplplisisitit, , sasatutu dipersamakan bisa menulis

dipersamakan bisa menulis

dan menentukan domain nilai di mana parameter

dan menentukan domain nilai di mana parameter t t (waktu) bervariasi.(waktu) bervariasi.

Untuk derivasi rinci dari persamaan dari

Untuk derivasi rinci dari persamaan dari mekanika Lagrangianmekanika Lagrangian , lihat di bawah., lihat di bawah.

fisik interpretasi Dasar

In

Inteterprpreretatasi si sesederderhahana na dadari ri PePersrsamamaaaan n HaHamimiltlton on adadalalah ah sesebagbagai ai beberirikukut,t, menerapkannya ke sistem satu dimensi yang terdiri dari satu partikel dengan massa menerapkannya ke sistem satu dimensi yang terdiri dari satu partikel dengan massa mm

dal

dalam am waktwaktu u kondkondisi isi batbatas as indindepenependen den dan dan menmenunjunjukkaukkann konserkonservasi vasi energienergi : : ThThee Hamil

Hamiltonian tonian merupmerupakanakan energienergi dardari i sissistemtem, , yanyang g mermerupakupakan an jumjumlahlah kinetik kinetik dandan energi potensial

energi potensial , dilambangkan tradisional, dilambangkan tradisionalT T dandan V,V, masing-masing. Berikutmasing-masing. Berikutqq adalahadalah x- x-koordinat

(4)

Cancel Anytime.

(5)

Perhatikan bahwa

Perhatikan bahwa T T adalah fungsi dariadalah fungsi dari p p saja, sedangkansaja, sedangkan V V adalah fungsi dariadalah fungsi dari x x (atau(atau q)q) saja.

saja.

Sek

Sekaraarang ng waktwaktu u turturunan unan dardarii p p mommomententum um samsama a dengdenganan gaya gaya NewtonNewtonian,ian, dandan sebagainya di sini Persamaan Hamilton pertama berarti bahwa gaya pada partikel sama sebagainya di sini Persamaan Hamilton pertama berarti bahwa gaya pada partikel sama dengan tingkat di mana ia kehilangan energi potensial terhadap perubahan

dengan tingkat di mana ia kehilangan energi potensial terhadap perubahan x, x, lokasi.lokasi. (Angkatan sama dengan negatif

(Angkatan sama dengan negatif gradiengradien energi potensial.)energi potensial.)

The-turunan terhadap waktu dari

The-turunan terhadap waktu dariqq di sini berarti kecepatan: Hamilton kedua Persamaandi sini berarti kecepatan: Hamilton kedua Persamaan di sini berarti bahwa partikel kecepatan sama dengan turunan dari energi kinetik yang di sini berarti bahwa partikel kecepatan sama dengan turunan dari energi kinetik yang berkai

berkaitan dengan momenttan dengan momentum. um. (Kare(Karena derivatna derivatif sehubungaif sehubungan dengann dengan p p pp 22 _// 22 _m_m _sama_sama

dengan

dengan p p//mm // mm==v mvv mv=.)=.)

Menggunakan's persamaan Hamilton

1.

1. PePertrtamama ma menenululis is kekeluluar ar LagrangianLagrangian L L ==T T -- V.V. T T Express danExpress dan V V seolah-olah Andaseolah-olah Anda akan menggunakan persamaan Lagrange's.

akan menggunakan persamaan Lagrange's. 2.

2. HiHitutung ng momomementntum um dedengngan an memembmbededakakan an LaLagrgranangigian an sesehuhububungngan an dedengnganan

kecepatan: .

3.

3. ExExprpresess s kekececepatpatan an daldalam am hahal l momomementntum um dendengagan n memembmbalalik ik ekseksprpresesi i daldalamam langkah (2).

langkah (2). 4.

4. HitHitung Hamung Hamililton meton menggunggunaknakan defian definisnisi biasi biasa H sebagaa H sebagaii transformasi Legendretransformasi Legendre

L:

L: . . PePengnggagantnti i ununtutuk k kekececepapatatann dengan menggunakan hasil pada langkah (3).

dengan menggunakan hasil pada langkah (3). 5.

(6)

Cancel Anytime.

(7)

Teman-persamaan Hamilton yang menarik mengingat kesederhanaan yang indah dan Teman-persamaan Hamilton yang menarik mengingat kesederhanaan yang indah dan (sedikit

(sedikit rusak rusak )) simetrisimetri . . Mereka telMereka telah dianaliah dianalisis di bawah dibaysis di bawah dibayangkan hampiangkan hampir setiapr setiap sudut pandang, dari fisika dasar sampai ke

sudut pandang, dari fisika dasar sampai ke geometri symplecticgeometri symplectic . . Banyak Banyak yang yang diketahuidiketahui tentang solusi persamaan ini, namun tepat solusi umum kasus

tentang solusi persamaan ini, namun tepat solusi umum kasus persamaan gerak persamaan gerak tidak tidak dapat diberikan secara eksplisit

dapat diberikan secara eksplisit untuk sistem lebih dari untuk sistem lebih dari dua partikel titik masidua partikel titik masif. f. TemuanTemuan juml

jumlah ah kekalkekal memainkan peranan penting dalam mencari solusi atau informasi tentangmemainkan peranan penting dalam mencari solusi atau informasi tentang alam mereka.

alam mereka. Dalam model Dalam model dengan jumlah tdengan jumlah tak terbatasak terbatas derajat kebebasanderajat kebebasan , ini tentu saja, ini tentu saja leb

lebih ih rumrumitit. . An dan An dan menmenjanjanjikjikan an daedaerah yang menarrah yang menarik ik dardari i penpenelielitiatian n adaadalah studilah studi tentang

tentang sistsistem em teriterintegrantegrall , , didimamana na jujumlmlah ah tatak k teterbrbatatas as jujumlmlah ah yayang ng kekkekal al yayangng independen dapat dibangun.

independen dapat dibangun.

Hamilton persamaan Menderivasi

Kita dapat memperoleh's persamaan Hamilton dengan melihat bagaimana

Kita dapat memperoleh's persamaan Hamilton dengan melihat bagaimana diferensialdiferensial

total

total daridari LagrangianLagrangian tergantung pada waktu, posisi umum dan kecepatan umum:tergantung pada waktu, posisi umum dan kecepatan umum:

Sekarang

Sekarang momentum momentum umum umum didefinisikan didefinisikan sebagai sebagai dan dan persamaan persamaan Lagrange'sLagrange's memberitahu kita bahwa

memberitahu kita bahwa

Kita dapat mengatur ulang ini untuk mendapatkan Kita dapat mengatur ulang ini untuk mendapatkan

(8)

Cancel Anytime.

(9)

Kita dapat menulis ulang ini sebagai Kita dapat menulis ulang ini sebagai

dan mengatur ulang lagi untuk mendapatkan dan mengatur ulang lagi untuk mendapatkan

Is

Istiltilah ah di di sisisi si sebsebelaelah h kirkiri i adaladalah ah hanyhanya a HamHamililton ton yanyang g kitkita a teltelah ah menmendefdefiniinisiksikanan sebelumnya, jadi kami menemukan bahwa

sebelumnya, jadi kami menemukan bahwa

di

di mamana na pepersrsamamaaaan n kedkedua ua memememegagang ng kakarerena na defdefininisisi i dardari i dederirivavatitif f paparsrsiaial.l. Meng

Mengasoasosiasiasiksikan an ististilailah h dardari i kedukedua a sissisi i perpersamsamaan aan di di ataatas s perpersamsamaan aan menmenghaghasilsilkankan Hamilton

Hamilton

Sebagai reformulasi mekanika

Sebagai reformulasi mekanika Lagrangian

Lagrangian

Dimul

Dimulai ai dengandengan mekanimekanika ka LagranLagrangiangian , , mamakaka pers persamaan amaan gerak gerak didasadidasarkan rkan padapada koordinat umum

(10)

Cancel Anytime.

(11)

dan mencocokkan kecepatan umum dan mencocokkan kecepatan umum

Kami menulis

Kami menulis LagrangianLagrangian sebagaisebagai

dengan variabel subscript dipahami untuk mewakili semua variabel

dengan variabel subscript dipahami untuk mewakili semua variabel N N tipe tipe itu. itu. mekanikamekanika Ham

Hamiltilton on berbertujtujuan uan untuntuk uk menmenggaggantintikan kan varvariabiabel el kecekecepatpatan an umuumum m dengdengan an varvariabiabelel momentum umum, juga dikenal sebagai

momentum umum, juga dikenal sebagaimomentum konjugat.momentum konjugat. Dengan demikian, adalahDengan demikian, adalah mungkin untuk menangani sistem tertentu, seperti aspek mekanika kuantum, yang lain mungkin untuk menangani sistem tertentu, seperti aspek mekanika kuantum, yang lain akan lebih rumit.

akan lebih rumit.

Untuk setiap kecepatan umum, ada satu sesuai

Untuk setiap kecepatan umum, ada satu sesuai momentum konjugatmomentum konjugat , didefinisikan, didefinisikan sebagai:

sebagai:

Dalam

Dalam koordikoordinat nat CarteCartesiansian , , momomementntum um umumum um adaadalalah h jujuststru ru lilininier er fifisisik k momentum

momentum . . DaDallamam lingkalingkaran ran kutub kutub koordikoordinatnat , , mommomententum um umuumum m sessesuai uai dengdenganan kecepatan angular adalah fisik

kecepatan angular adalah fisik momentum sudutmomentum sudut . . Untuk Untuk pilihan pilihan sewenang-wenang sewenang-wenang daridari koor

koordindinat at umuumum, m, tidtidak ak munmungkigkin n untuntuk uk menmendapadapatkatkan n intinterperpretretasi asi intintuituitif if mommomententumum konjugat.

konjugat.

Satu hal

Satu hal yang tidak yang tidak terlterlalu jelas alu jelas dalam koordinadalam koordinat t ini formulasini formulasi i terikterikat at adalah koordinaadalah koordinatt umum yang berbeda benar-benar tidak lebih dari coordinatizations berbeda dari yang umum yang berbeda benar-benar tidak lebih dari coordinatizations berbeda dari yang sama

sama manifold symplecticmanifold symplectic ..

Perumusan

(12)

Cancel Anytime.

(13)

Start Free Trial Cancel Anytime.

Jika persamaan transformasi mendefinisikan koordinat umum independen

Jika persamaan transformasi mendefinisikan koordinat umum independen t,t, dandan Lagran

Lagrangian adalah gian adalah jumlajumlah h produk fungsi (dalam koordinat umum) yang produk fungsi (dalam koordinat umum) yang homogehomogen n order order 0, 1 atau 2, maka dapat ditunjukkan bahwa

0, 1 atau 2, maka dapat ditunjukkan bahwa H H adalah sebesar adalah sebesar E E energi total =energi total = T T ++V.V.

Setiap

Setiap sisi sisi dalam dalam definisi definisi menghasilkan menghasilkan diferensial:diferensial:

Menggantikan definisi sebelumnya momentum konjugat ke dalam persamaan dan Menggantikan definisi sebelumnya momentum konjugat ke dalam persamaan dan koefisien yang sesuai, kita memperoleh persamaan gerak mekanika Hamiltonian, yang koefisien yang sesuai, kita memperoleh persamaan gerak mekanika Hamiltonian, yang dikenal sebagai persamaan kanonik Hamilton:

dikenal sebagai persamaan kanonik Hamilton:

Teman-persamaan Hamilton adalah orde pertama

Teman-persamaan Hamilton adalah orde pertama persamaan diferensial persamaan diferensial , dan dengan, dan dengan dem

demikiikian an leblebih ih mudmudah ah untuntuk uk memmemecahecahkan kan perpersamsamaan aan LagLagranrange ge dardari i ituitu, , yanyang g ordordee kedua.

kedua. persampersamaan Hamiltoaan Hamilton memiliki keuntun memiliki keuntungan lain atas persamangan lain atas persamaan Lagrange's: jian Lagrange's: jikaka sistem memiliki simetri, seperti yang koordinat tidak terjadi di Hamilton, momentum sistem memiliki simetri, seperti yang koordinat tidak terjadi di Hamilton, momentum

(14)

(15)

Geometri sistem Hamiltonian

Sebuah sistem Hamiltonian dapat dipahami sebagai

Sebuah sistem Hamiltonian dapat dipahami sebagai bundel seratbundel serat E E selamaselama waktuwaktu R, R, dengan

dengan seratseratt t E, t E, t ∈∈ R Rsebagai ruang sebagai ruang posisi. posisi. The Lagrangian dengan The Lagrangian dengan demikian fungsidemikian fungsi

pada

pada bundel jet bundel jet J J atasatas E; E; mengambil fiberwisemengambil fiberwise transformasi Legendretransformasi Legendre dari Lagrangiandari Lagrangian menghasilkan fungsi pada berkas ganda dari waktu ke waktu yang serat di

menghasilkan fungsi pada berkas ganda dari waktu ke waktu yang serat dit t adalahadalah ruangruang kotangens

kotangensT T **_E_E t,

t,yang dilengkapi dengan alamiyang dilengkapi dengan alami symplectic bentuk symplectic bentuk , dan fungsi yang, dan fungsi yang

terakhir adalah Hamiltonian. terakhir adalah Hamiltonian.

Generalisasi untuk mekanika kuantum melalui

Generalisasi untuk mekanika kuantum melalui braket

braket

Poisson

Hamilton persamaan di atas bekerja dengan baik untuk

Hamilton persamaan di atas bekerja dengan baik untuk mekanika klasik mekanika klasik , tapi tidak , tapi tidak untuk

untuk mekanika kuantummekanika kuantum , sejak dibahas persamaan diferensial mengasumsikan bahwa, sejak dibahas persamaan diferensial mengasumsikan bahwa seseorang dapat menentukan posisi yang tepat dan momentum partikel secara simultan seseorang dapat menentukan posisi yang tepat dan momentum partikel secara simultan pada setiap titik

pada setiap titik waktu. waktu. Namun, persamaan dapat lNamun, persamaan dapat lebih umum untuk kemudian ebih umum untuk kemudian diperluasdiperluas untuk diterapkan ke mekanika kuantum serta mekanika klasik, melalui deformasi dari untuk diterapkan ke mekanika kuantum serta mekanika klasik, melalui deformasi dari aljabar Poisson

aljabar Poisson lebih darilebih dari p pdandanqq ke aljabar ke aljabar kurung Moyalkurung Moyal .. Secara khusus, bentuk yang lebih umum

(16)

(17)

rua

ruang ng fasfasee untuk untuk kuasi-kuasi-probabprobabilitilitas as distdistribusribusi i WigneWigner r , , namnamun, un, padpada a brabraket ket PoiPoissossonn pengaturan klasik belaka, juga menyediakan lebih banyak kekuatan dalam membantu pengaturan klasik belaka, juga menyediakan lebih banyak kekuatan dalam membantu

menganalisis relevan

menganalisis relevan jumlah dilestarikan jumlah dilestarikan dalam suatu sistem.dalam suatu sistem.

formalisme Matematika

Setiap

Setiap halushalus -nilai fungsi nyata-nilai fungsi nyata H H padapada manifold symplecticmanifold symplectic dapat digunakan untuk dapat digunakan untuk menentukan

menentukan sistem Hamiltoniansistem Hamiltonian . Fungsi. Fungsi H H dikenal sebagaidikenal sebagai HamiltonianHamiltonian atauatau fungsifungsi energi.

energi. symplectic tersebut manifold ini kemudian disebut dengansymplectic tersebut manifold ini kemudian disebut dengan ruang faseruang fase . . ThThee Hamil

Hamilton ton mengimenginduksi nduksi khususkhusus medmedan an vektvektor or di di manmanififold old symsympleplectictic, c, yanyang g dikdikenalenal sebagai

sebagai medan vektor symplecticmedan vektor symplectic ..

Bidang vektor symplectic, juga disebut medan vektor Hamilton, menginduksi

Bidang vektor symplectic, juga disebut medan vektor Hamilton, menginduksi aliranaliran

Hamiltonian

Hamiltonian pada pada manifmanifold. old. ParaPara kurva kurva integintegralral dari medan vektor adalah parameter-dari medan vektor adalah parameter-keluarga salah satu transformasi dari manifold, parameter kurva ini biasanya disebut keluarga salah satu transformasi dari manifold, parameter kurva ini biasanya disebut waktu.

waktu. Evolusi waktu diberikan olehEvolusi waktu diberikan oleh symplectomorphismssymplectomorphisms . Dengan. Dengan Teorema LiouvilleTeorema Liouville , setiap symplectomorphism menjaga

, setiap symplectomorphism menjaga bentuk volume bentuk volume padapada ruang faseruang fase . . PengumPengumpulanpulan sympl

symplectomoectomorphisrphisms ms disebadisebabkan bkan oleh oleh aliraaliran n HamilHamilton ton umumnyumumnya a disebdisebutut mekanikamekanika Hamiltonian

Hamiltoniansistem Hamiltonian.sistem Hamiltonian.

Struktur symplectic menginduksi

Struktur symplectic menginduksi kurung Poissonkurung Poisson . . Braket Braket PoisPoisson meson memberimberikan ruankan ruangg fungsi pada struktur manifold dari suatu

(18)

(19)

Hal ini

Hal ini disebdisebutut Teorema LiouvilleTeorema Liouville . Setiap. Setiap fungsi halusfungsi halus GG selamaselama symplectic manifoldsymplectic manifold menghasilkan parameter-keluarga salah satu

menghasilkan parameter-keluarga salah satu symplectomorphismssymplectomorphisms dan jikadan jika {G, H}{G, H} = = 0,0, maka

makaGG adalah kekal dan adalah kekal dan symplectomorphisms adalahsymplectomorphisms adalah transformasi simetritransformasi simetri..

Sebuah Hamilton dapat memiliki beberapa dilestarikan jumlah

Sebuah Hamilton dapat memiliki beberapa dilestarikan jumlah ii G.G. Jika symplecticJika symplectic manifold memiliki dimensi 2

manifold memiliki dimensi 2 nn dan adadan ada nn fungsional independen dilestarikan jumlahfungsional independen dilestarikan jumlah ii GG yang dalam involusi (yaitu,

yang dalam involusi (yaitu, {G{G i,i, GG j} j} = 0), maka Hamilton= 0), maka Hamilton Liouville integrableLiouville integrable . The. The -Arnol'd Teorema Liouville

-Arnol'd Teorema Liouville mengatmengatakan akan bahwa bahwa secara lokal, secara lokal, setisetiap ap integintegrable rable LiouvLiouvilleille Ham

Hamiltiltoniaonian n dapadapat t diudiubah bah melmelalualui i symsympleplectoctomormorphisphism m di di sebsebuah uah HamHamililtontonian ian barbaruu dengan jumlah

dengan jumlah ii GG dilestarikan sebagai koordinat, koordinat yang baru disebutdilestarikan sebagai koordinat, koordinat yang baru disebuttindakan- tindakan- sudut koordinat.

sudut koordinat. The Hamilton berubah tergantung hanya padaThe Hamilton berubah tergantung hanya pada ii G,G, dan karenanyadan karenanya persamaan gerak memiliki bentuk sederhana

persamaan gerak memiliki bentuk sederhana

untuk beberapa fungsi

untuk beberapa fungsi F F (Ar(Arnolnol'd et 'd et al 1988.,al 1988.,). ). Ada seluAda seluruh bidaruh bidang berfong berfokus padakus pada penyimpangan kecil dari sistem integrable diatur oleh

penyimpangan kecil dari sistem integrable diatur oleh teorema KAMteorema KAM..

The integr

The integrabiliability bidang vektor Hamilty bidang vektor Hamilton pertanyton pertanyaan terbuka. aan terbuka. SecarSecara umum, sistema umum, sistem Hamil

(20)

(21)

mana

mana adalah lancaadalah lancar r bervarbervariasiiasi hasil kali dalamhasil kali dalam padapada seratserat , Yang, Yang ruangruang kotangens

kotangens keke qqtitik dititik di ruang konfigurasiruang konfigurasi , kadang-kadang disebut, kadang-kadang disebut cometriccometric. Hamiltonian. Hamiltonian ini terdiri seluruhnya dari

ini terdiri seluruhnya dari istilah kinetik istilah kinetik .. Jika seseorang mempertimbangkan

Jika seseorang mempertimbangkan manifold Riemannmanifold Riemann atauatau manifold pseudo-Riemannmanifold pseudo-Riemann ,, yang

yang RiemaRiemannnn metrik metrik menginmenginduksi isomorfiduksi isomorfisma sma linilinier er antara dan antara dan kotangkotangens ens bundelbundel ta

tangngen. en. (L(Lihihatat isomisomorfisorfisma ma Musik Musik ). ). MeMengnggungunakakan an isisomomororfifismsma a inini, kita dapai, kita dapatt men

menententukaukan n comcometretric. ic. (Da(Dalam lam koorkoordindinat, at, matmatrikriks s menmendefdefiniinisiksikan an comcometretric ic adaadalahlah keba

kebaliklikan an dardari i matmatrikriks s menmendefdefiniinisiksikan an metmetririk.) k.) SolSolusiusi-so-soluslusi i terterhadhadapap persamaan persamaan Hamilton-Jacobi

Hamilton-Jacobi untuk Hamilton adalah maka sama denganuntuk Hamilton adalah maka sama dengan geodesicsgeodesics di di manifmanifold.old. Secara khusus,

Secara khusus, aliran Hamiltonianaliran Hamiltonian dalam hal ini adalah hal yang sama dengandalam hal ini adalah hal yang sama dengan aliranaliran geodesic

geodesic. . Adanya solusi terAdanya solusi tersebut, dan kelengkapan dari himpunan solusisebut, dan kelengkapan dari himpunan solusi, dibahas secara, dibahas secara rinci dalam artikel di

rinci dalam artikel di geodesicsgeodesics . . Lihat Lihat jugajuga Geodesics sebagai arus HamiltonianGeodesics sebagai arus Hamiltonian ..

Sub-manifold Riemann

Ket

Ketika cometika cometric sudah matiric sudah mati, , makmaka a tidtidak ak invinvertertiblible. e. DalDalam am hal ini, sesehal ini, seseoraorang ng titidak dak me

memimililiki ki mamaninifofold ld RiRiememanann, n, sesebabagai gai sasalalah h sasatu tu titidak dak mememimililiki ki memetrtrikik. . NaNamumun,n, Hamiltonian masih ada.

Hamiltonian masih ada. Dalam kasus di mDalam kasus di mana cometric sudah mati ana cometric sudah mati di setiapdi setiapqq titik ruangtitik ruang konfigurasi

konfigurasi QQ manifmanifold, old, sehisehinggangga peringkat peringkat dardari i comcometretric ic kurkurang ang dardari i dimdimensensii QQ

manifold, satu memiliki

(22)

(23)

Cancel Anytime.

p

z z tidak terlibat dalam Hamiltonian.tidak terlibat dalam Hamiltonian.

aljabar Poisson

Hamilton sis

Hamilton sistem dapat ditem dapat digeneralisir dalam generalisir dalam berbagai cara. berbagai cara. Bukan hanya melBukan hanya melihatihat aljabar aljabar dari

dari fungsi mulusfungsi mulus selamaselama manifold symplecticmanifold symplectic , mekanik Hamilton dapat dirumuskan, mekanik Hamilton dapat dirumuskan pada

pada umumnyumumnyaa komutatif komutatif unitalunital nyatanyata aljabar Poissonaljabar Poisson . Sebuah. Sebuah negaranegara adalahadalah kontinukontinu linier fungsional

linier fungsional pada aljabar Poisson (dilengkapi dengan beberapa sesuaipada aljabar Poisson (dilengkapi dengan beberapa sesuai topologitopologi )) sedemikian rupa sehingga untuk setiap elemen

sedemikian rupa sehingga untuk setiap elemen A A aljabar,aljabar, A A peta ² ke bilangan real tak peta ² ke bilangan real tak negatif.

negatif.

Sebuah generalisasi lebih lanjut diberikan oleh

Sebuah generalisasi lebih lanjut diberikan oleh dinamika Nambudinamika Nambu..

partikel Dibebankan dalam medan elektromagnetik

(24)

Cancel Anytime.

Pengaturan ulang, kita dapat menyatakan kecepatan dalam hal momentum, seperti: Pengaturan ulang, kita dapat menyatakan kecepatan dalam hal momentum, seperti:

Jika kita mengganti definisi momentum, dan definisi kecepatan dalam hal momentum, ke Jika kita mengganti definisi momentum, dan definisi kecepatan dalam hal momentum, ke def

definiinisi si dardari i HamHamiltiltonionian an dibdiberierikan kan di di ataatas, s, dan dan kemkemudiudian an menmenyedyederherhanaanakan kan dandan mengatur ulang, kita mendapatkan:

mengatur ulang, kita mendapatkan:

Persamaan ini sering digunakan dalam

(25)

Cancel Anytime.

Jadi Hamilton adalah Jadi Hamilton adalah

Dari sini kita mendapatkan persamaan gaya (setara dengan

Dari sini kita mendapatkan persamaan gaya (setara dengan -Lagrange persamaan Euler -Lagrange persamaan Euler ))

dari yang satu dapat memperoleh dari yang satu dapat memperoleh

(26)

Cancel Anytime.

Referensi

•

• Arnol'd, VIArnol'd, VI (1989),(1989),Metode Matematika Mekanika Klasik,Metode Matematika Mekanika Klasik,Springer-Verlag,Springer-Verlag,

ISBN

ISBN 0-387-96890-30-387-96890-3

•

• Ibrahim, R.Ibrahim, R. ;; Marsden, JEMarsden, JE (1978),(1978),Yayasan Mekanika,Yayasan Mekanika,London: Benjamin-London:

Benjamin-Cummings,

Cummings, ISBNISBN 0-8053-0102-X0-8053-0102-X

•

• Arnol'd, VIArnol'd, VI ; Kozlov, VV; Neĩshtadt, AI (1988),; Kozlov, VV; Neĩshtadt, AI (1988), aspek Matematika dan langit aspek Matematika dan langit

mekanika klasik,

mekanika klasik, 3,3,Springer-VerlagSpringer-Verlag

•

• Vinogradov, AM; Kupershmidt, BA (1981) (Vinogradov, AM; Kupershmidt, BA (1981) ( DjVuDjVu ),), Struktur mekanikaStruktur mekanika

Hamiltonian

Hamiltonian, , London London Math. Math. Soc. Soc. Lek. Lek. Catatan Catatan Ser:.,Ser:.,60,60,London CambridgeLondon Cambridge Univ. Tekan,

Univ. Tekan, http://diffiety.ac.ru/djvu/structures.djvuhttp://diffiety.ac.ru/djvu/structures.djvu

Pranala luar

•

• Binney, James J.Binney, James J. ,,Mekanika Klasik (catatan kuliah)Mekanika Klasik (catatan kuliah),, Universitas OxfordUniversitas Oxford ,,

http://www-thphys.physics.ox.ac.uk/users/JamesBinney/cmech.pdf