Trigonometri kelas X

(1)

TRIGONOMETRI

A. Konsep segitiga siku – siku

α

= besarnya sudut antara garis AB dan AC x = Panjang ruas garis AB

Y = panjang ruas garis BC r = panjang ruas garis AC

Pada segitiga siku – siku diatas berlaku teorema phytagoras :

¾ AC2_{= AB}2_{+ BC}2 r2_{= x}2_{+ y}2

¾ Definisi perbandingan trigonometri :

r

y

=

α

sin

;

α

sin

1 cos

=

y

r

ec

r

x

=

α

cos

;

α

cos

1 sec

=

x

r

x

y

=

α

tan

;

α

tan

1 cot

=

y

x

an

Contoh :

1. Diketahui sin A = 3/5 ( A lancip). tentukan cos A, tan A, cosec A, sec A dan Cotan A

Jawab : Sin A = 3/5 , misalkan y = 3 r = 5 pitagoras : r2_{= x}2_{+ y}2 x2_{= r}2_-y2 = 25 – 9 = 16 x = 4 sehingga : cos A = x/r = 4/5 ; sec A = 5/4 tan A = y/x = ¾ ; cotan A = 4/3 cosec A = r/y = 5/3

2. Diketahui segitiga ABC siku di B dengan cos A = 12/13 ( besarnya sudut A lancip ) dan BC = 10 cm, maka Tentukan :

C _{a. panjang AC dan AB}

b. sin A, tan A, sin C, tan C

r Jawab : y a. Cos A = 13 12 = AC AB , sehingga AB = 12p dan AC = 13p. Menurut pitagoras BC = 5p Karena BC = 10, maka 5p = 10 P = 2 Jadi : AB = 12.(2) = 24 cm AC = 13.(2) = 26 cm C

α

x A B A _B b. Sin A =

13

5

26 10 =

=

AC

BC

Tan A =

12

5

24 10 =

=

AB

BC

Sin C =

13

12

26 24 =

=

AC

AB

Tan C =

5

12

10 24 =

=

BC

AB

Pengertian Kuadran,satuan sudut dan

arah sudut

Kuadran 2 Kuadran 1 (90º - 180º) (0º - 90º)

Kuadran 3 Kuadran 4 (180º - 270º) (270º - 360º)

(2)

• Jika arah sudut berlawanan arah putar jarum jam, maka sudutnya positif

Jika arah sudutnya searah dengan arah putar jarum jam, maka sudutnya negative

• Cara mengukur besarnya sudut selalu dimulai dari sumbu x positif

• Untuk menentukan kuadran suatu sudut, dimana sudutnya di atas 360 º atau dibawah -360 º caranya adalah sbb :

Untuk sudut di atas 360 º :

sudutnya dibagi 360 º kemudian dilihat sisanya terletak dikuadran berapa.

Untuksudut di bawah -360 º :

sudutnya dibagi -360 º, kemudian dilihat sisanya terletak di kuadran berapa.

• Satuan dari sudut ada 2 macam : 1. radian

2. derajat

hubungan radian dan derajat adalah :

°

= 180

rad

π

Contoh : 1. 45º terletak di kuadran 1 2. 132 º terletak dikuadran 2 3. 187 º terletak dikuadran 3 4. 350 º terletak dikuadran 4 5. -120 º terletak di kuadran 3 6. -210 º terletak dikuadran 2 7. -60 º terletak di kuadran 4 8. - 310 º terletak dikuadran 1

9. 365 º dikuadran 1 sebab 365 º kalau dibagi 360 º bersisa 5 º, sedangkan 5 º terletak dikuadran 1 jadi 365 º terletak dikuadran 1 10. 2300 º dikuadran 2 sebab 2300 º kalau dibagi

360 bersisa 140 º, sedangkan 140 º terletak di kuadran 2, jadi 2300 º terletak di kuadran 2

11. 930 º dikuadran 2 sebab 930 º kalau dibagi -360 º bersisa -210 º, sedangkan -210 º terletak di kuadran 2. jadi -930 º terletak di kuadran 2 12.

= 30

°

6 π

13.

=

12 π

15 º 14. 45 º =

4 π

Pengembangan definisi trigonometri

Jika dikembangkan lebih jauh definisi trigonometri ini yang diterapkan pada sebuah titik A(x,y), maka didapat :

● A(x,y)

α

r

Keterangan :

α

adalah besarnya sudut yang di bentuk garis OA dengan sumbu x positif.

r adalah panjang OA Definisi Sin

α

=

r

y

OA

rdinat =

0

cos

α

=

r

x

OA

absis =

tan

α

=

x

y

absis

ordinat =

cosec

α

=

y

r

ordinat

OA

₌

sec

α

=

x

r

absis

OA =

cotan

α

=

y

x

ordinat

absis =

(3)

Analisa nilai trigonometri disetiap kuadran: 1. Di kuadran 1

Karena x,y,dan r positif, maka :

Sin

α

,cos

α

, tan

α

, cosec

α

,sec

α

dan

cotan

α

bernilai positif

2. Dikuadran 2

Karena x negatif, y positif dan r positif, maka: sin

α

, cosec

α

bernilai positif sedangkan cos

α

,tan

α

,sec

α

dan cotan

α

bernilai negatif

3. Dikuadran 3

Karena x, y negatif dan r positif, maka :

tan

α

, cotan

α

bernilai positif sedangkan sin

α

,cos

α

,sec

α

dan cosec

α

bernilai negatif

4. Dikuadran 4

Karena x positif,y negatif dan r positif maka : cos

α

,sec

α

bernilai positif sedangkan sin

α

,tan

α

,cosec

α

,cotan

α

bernilai negatif

Kesimpulan :

Kuadran 1 : semua positif

Kuadran 2 : hanya sin

α

dan cosec

α

Kuadran 3 : hanya tan

α

dan cotan

α

Kuadran 4 : hanya cos

α

dan sec

α

B. Sudut istimewa dikuadran 1

C. Sudut – sudut Berelasi

1. Kaidah tetap

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

±

°

±

°

α

an

ec

an

ec

cot

sec

cos

tan

cos

sin

...

360

180 cot

sec

cos

tan

cos

sin

…… di isi tanda + / - sesuai kuadran 2. Kaidah berubah

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

±

°

±

°

α

tan

cos

sec

cot

sin

cos

...

270

90 cot

sec

cos

tan

cos

sin

ec

an

ec

…… di isi tanda +/- sesuai kuadran Contoh :

1. sin(90º- x) = cos x 2. tan(270º + x) = - cotan x 3. cos(180º – x) = - cos x 4. sec ( 360º- x) = sec x

Sudut – sudut negatif :

Sin(-A) = - sin A Cos(-A) = cos A Tan(-A) = - tan A Sec(-A) = sec A Cosec(-A) = - cosec A Cotan (-A) = - cotan A Contoh : 1. sin(-30 º) = -sin30 º= - ½ 2. cos(-45 º) = cos45 º = ½ 2 3. tan(-60º) = -tan60º = -

3

0º 30 º 45 º 60 º 90 º sin 0 ½ ½ 2 ½

3

1 cos 1 ½

3

½ 2 ½ 0 tan 0

3

1

3

-

(4)

Nilai trigonometri selain di kuadran 1

Contoh :

1. sin 120º = sin(180º - 60º) = sin60º = 3 2 1 2. cos 210º = cos(180º + 30º) = -cos30º=- 3

2 1 3. tan 315º=tan(360º - 45º)= -tan45º= -1 4. sec (-210 º) = sec210º = sec(180 º + 30 º) = - sec 30 º = - ° 30 cos 1 =

3

2

3

2

1

2 3

=

−

=

−

5. cosec (-330 º)= - cosec 330 º = - cosec(360 º - 30 º) = - . - . cosec30 º = cosec30 º = 1 2 30 sin 1 2 1 = = °

D. Rumus – rumus identitas

1. sin2_{A + cos}2_{A = 1}

2. tan2_{A + 1 = sec}2_{A , (cosA ≠ 0)} 3. cotan2_{A +1 = cosec}2_{A, (sin A ≠ 0)} 4. tan A = A A cos sin _{, (cos A ≠ 0)} contoh : 1. Buktikan

A

sin

cos

1

2

=

−

Bukti :

Lihat ruas kiri :

A

sin

cos

1 −

2

₌

2

₌

(terbukti)

2. Hitunglah nilai dari : Sin2_{25 º+cos}2_{25 º} Jawab :

Sin2_{25 º+cos}2_{25 º = 1}

E. Koordinat kutub

¾ Koordinat kartesius berbentuk (x,y) ¾ Koordinat kutub berbentuk (r,

α

) Lihat ilustrasi berikut :

Hubungan koordinat kartesius dan kutub

Untuk menyatakan koordinat kartesius A(x,y) ke dalam bentuk kutub A(r,

α

) caranya sbb:

Pada segitiga siku di atas berlaku : y ● A(x,y) r _y

α

x _x ¾ r2_{= x}2_{+ y}2 ¾ tan

α

=

x

y

( ingat bahwa

α

disesuaikan dengan kuadran dari letak titiknya)

untuk menyatakan koordinat kutub A(r,

α

) ke dalam bentuk kartesius A(x,y) caranya sbb: ¾ x = r cos

α

dan y = r sin

α

contoh :

1. Nyatakan koordinat kartesius A(1,-

3

) Jawab : r2_{= 1}2_+(-

₃

₎2 = 1+3 = 4 r = 2 tan

α

= 3 1 3 − = − ₍

_α

_{pasti di kuadran 4,}

karena x positif dan y negatif ) sehingga

α

= 300º

(5)

2. Nyatakan koordinat kutub A(4,150º) Jawab : r = 4 dan

α

= 150º x = r cos

α

= 4.cos150˚ = 4.( ₃ 2 1 − ) = -2 3 y = r sin

α

= 4. sin150˚ = 4.( ½ ) = 2 Jadi koordinat kartesiusnya : A(-2 3 , 2)

F. Nilai fungsi Trigonometri sederhana ¾ Fungsi berbentuk acosx + bsinx

Fungsi acosx + bsinx dapat disederhanakan menjadi k cos(x-A) dengan k = 2 2

b

a

+

dan tanA =

a

b

Nilai fungsi trigonometri yang akan dicari adalah berbentuk sederhana.

contoh :

2. Tentukan nilai fungsi f(x) = sin x untuk x = 6 π Jawab : 2 1 6 sin 6 ⎟⎠= ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛π π f

3. Tentukan nilai fungsi f(x) = cos2x untuk x =

6 5π Jawab : 2 1 3 5 cos 6 5 2 cos 6 5 ⎟= ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

π

f

4. Tentukan nilai fungsi f(x) = sin2_{2x + cos}2_3x untuk x= 4 3

π

Jawab : ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 4 3 3 cos 4 3 2 sin 4 3

π

2

π

2

π

f = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 4 9 cos 2 3 sin2

π

2

π

= (-1)2_{+ (} 2

)

2

1

= 1 + ½ = 3/2

5. Tentukan nilai fungsi f(x) = tan4x untuk x = 6 π Jawab : 3 3 2 tan 6 4 tan 6 ⎟⎠=− ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛

π

f

G. Nilai maksimum dan minimum fungsii trigonometri

Tips :

Ingat ……..: -1 ≤ sin ≤ 1 -1 ≤ cos ≤ 1

0 ≤ sinp_{≤ 1 , untuk p asli genap} -1 ≤ sinp_{≤ 1, untuk p asli ganjil} 0 ≤ cosp_{≤ 1 , untuk p asli genap} -1 ≤ cosp_{≤ 1, untuk p asli ganjil} Contoh :

1. Diketahui f(x) = cos5x +4. tentukan nilai maksimum dan minimum

Jawab :

• f(x) mencapai maksimum jika cos5x mencapai maksimum yaitu cos5x = 1 maksimum f(x) = 1 + 4 = 5

• f(x) mencapai minimum jika cos5x mencapai minimum yaitu cos5x = -1.

Minimum f(x) = -1 + 4 = 3

2. Diketahui g(x) = sin2_{(4x) -6. tentukan nilai} maksimum dan minimum

Jawab :

• Maksimum g(x) = (1)2_{– 6 = -5} • Minimum g(x) = (0)2_{– 6 = -6}

3. Diketahui f(x) = cos2_{(4x) - 3sin}2_(4x)+7. tentukan nilai maksimum dan minimum Jawab :

f(x) = cos2_{4x + sin}2_{4x - 4sin}2_{4x + 7} = 1 -4sin2_{4x + 7}

= 8 - 4sin2_4x

• Maksimum f(x) = 8 – 4.(0) = 8 • Minimum f(x) = 8 – 4(1)2_{= 4}

4. Diketahui g(x) = -cos7_{(3x-1)+8 . tentukan} nilai maksimum dan minimum

Jawab :

• Maksimum g(x) = -(-1) + 8 = 1 + 8 =9 • Minimum g(x) = -1 + 8 = 7

(6)

H. Persamaan Trigonometri sederhana

1. sin x = sin

α

,maka x =

α

+ k.360˚ atau x = 180˚ -

α

+ k.360˚ 2. cos x = cos

α

x =

α

+ k.360˚ atau x = -

α

+ k.360˚ 3. tan x = tan

α

x =

α

+ k. 180˚

4. acosx + bsinx = c, dapat diselesaikan bila : a2_+b2_{≥ c}2_{dan penyelesainya adalah :} acosx + bsinx diubah dulu menjadi : kcos(x-A) dengan k = 2 2

b

a

+

dan tanA=

a

b

contoh :

1. tentukan himpunan penyelesaian persamaan ; 2sin3x =1, untuk 0˚ < x < 180˚ Jawab : 2sin3x =1 Sin3x = ½ Sin3x = sin 30˚ 3x = 30˚ + k.360˚ x = 10˚ + k. 120˚ k=0, maka x=10˚ k=1, maka x = 130˚ atau 3x = 150˚ + k.360˚ x = 50˚ + k.120˚ k=o, maka x = 50˚ k=1, maka x = 170˚ HP = {10˚,50˚,130˚,170˚}

2. tentukan himpunan penyelesaian persamaan: 4tan 5x + 1 =5 untuk 0˚ < x < 120˚ Jawab : 4tan 5x + 1 =5 4tan5x = 4 tan5x=1 tan5x = tan45˚ 5x = 45˚ + k.180˚ x = 9˚+ k.36˚ K=0, maka x = 9˚ K=1, maka x = 45˚ K=2, maka x = 81˚ K=3, maka x = 117˚ Jadi HP ={9˚,45˚,81˚,117˚} 3. 2 3cos2x−3=0untuk 0˚ < x < 180˚ Jawab : 0 3 2 cos 3 2 x− = 3 2 cos 3 2 x= 3 . 3 2 cos 3 2 x= 2 cos2x = 3 Cos2x = ₃ 2 1 Cos2x = cos 30˚ 2x = 30˚ + k.360˚ x = 15˚ + k.180˚ K=0, maka x=15˚ atau 2x=-30˚ + k.360˚ x=-15˚ + k.180˚ k=1, maka x = 165˚ Jadi HP={15˚,165˚}

I. Grafik Trigonometri sederhana

Periode fungsi adalah rentang sudut dimana grafik membentuk satu gelombang

Satu gelombang adalah terdiri dari satu puncak dan satu lembah

Contoh :

Maka periode grafik di atas adalah : 210˚ 30˚

210˚ – 30˚ = 180˚

Periode juga dapat dibaca dari persamaan trigonometrinya

Contoh ;

f(x) = sinax, maka periodenya =

a

π 2

Cara menggambar grafik fungsi trigonometri sederhana :

1. tentukan titik potong sumbu x 2. tentukan titik potong sumbu y

(7)

4. tentukan titik bantu jika perlu (diambil untuk sudut istimewa)

5. hubungkan titik – titk yang didapat sehingga terbentuk kurva/grafik trigonometri

contoh ;

Gambarlah grafik fungsi f(x) = sin2x untuk interval 0 ≤ x ≤ 360˚

Jawab :

1. titik potong sumbu x ( jika y = 0 ) sin2x = 0

sin2x = sin 0 2x = 0˚ + k.360˚

x = 0˚ + k.180˚ (k bil bulat)

utk k = 0 didapat x = 0˚ tipot (0˚, 0) utk k=1 didapat x = 180˚ tipot (180˚, 0) utk k=2 didapat x = 360˚ tipot (360˚,0) atau

2x = 180˚ – 0 + k.360˚

x = 90˚ + k.180˚(k bil bulat )

utk k = 0 didapat x = 90˚ tipot (90˚, 0) utk k=1 didapat x = 270˚ tipot (270˚,0) 2. titik potong sumbu y (jika x = 0)

sin2.0 = sin 0 = 0 tipot (0˚,0) 3. titik maksimum dan minimum

maksimum = 1; sin2x=1

x = 45˚ dan x = 225˚ titik maksimum (45˚,1) dan (225˚,1) minimum = -1; sin2x=-1

x = 135˚ dan x =315˚ titk minimum (135˚,-1), (315˚,-1) 4. titik bantu tidak perlu

5.

J. Aturan sinus dan kosinus 1. aturan sinus

Keterangan :

a = panjang sisi BC ; R = jari - jari b = panjang sisi AC c = panjang sisi AB R C c B b A a 2 sin sin sin = = = Tips :

Secara umum aturan sinus dapat dipakai jika ada sisi dan sudut yang saling berhadapan diketahui.

Contoh :

1. Diketahui segitiga ABC dengan AB=4 cm.

° = ∠C 30 dan ∠A=60°.tentukan panjang BC. Jawab : c = 4 C c A a sin sin = ° = ° sin30 4 60 sin a 2 1 4 3 2 1 = a _, a = 4 3 cm jadi panjang BC = 4 3cm

2. Diketahui segitiga PQR dengan panjang PQ = 6 cm dan tan R = 0,75 . Jika panjang QR = 5 cm, tentukan cosP

Jawab : tan R = 4 3, sin R = 5 3

R

r

P

p

sin

=

5 3

6 sin

5 =

P

6sinP = 3 sinP = 3/6 = ½ cosP = 3 2 1 1 -1 0

π

₂

_π

B

•

R c _a

(8)

2. aturan kosinus

Pada segitiga ABC dengan AB = c, BC = a dan AC = b, maka :

a2_{= b}2_+c2_{– 2bc.cosA} b2_=a2_+c2_-2ac.cosB c2_=a2_+b2_-2ab.cosC contoh :

1. Diketahui segitiga ABC dengan panjang AB=8 cm, BC = 7cm dan AC = 6cm. tentukan nilai dari cos A

Jawab : a2_{= b}2_+c2_{– 2bc.cosA} cosA = bc a c b 2 2 2 2₊ ₋ cos A = 8 . 6 . 2 7 8 62 + 2− 2 = 32 17 96 51 96 49 64 36+ − ₌ ₌

2. Diketahui segitiga ABC dengan panjang AB = 7 cm , AC = 12 cm , sudut BAC = 60˚. Tentukan panjang BC Jawab : a2_{= b}2_+c2_{– 2bc.cosA} = 122_{+ 7}2_{– 2.12.7.cos60˚} = 144 + 49 – 2.12.7.( ½ ) = 193 - 84 = 109 a = 109 cm K. Luas segitiga

1. Diketahui alas dan tinggi

Luas = ½ . a.t

2. Diketahui ketiga sisinya L =

s

(

s

−

a

)(

s

−

b

)(

s

−

c

)

s = ½ (a + b + c )

3. Diketahui dua sisi mengapit sudut

L = ½ .b.c.sin

α

Contoh :

1. Diketahui segitiga ABC, AB=4cm, BC = 6cm dan , hitunglah luas segitiga ABC

°

=

∠

B

60

Jawab : L = ½ a.c.sinB = ½ 6.4.sin60˚ = 3.4. ½

3

= 6

3

cm2

2. Diketahui segitga ABC, dengan AB=9 cm , BC=10cm dan AC=11cm. Hitunglah luas segitiga ABC