PENYELESAIAN PERSAMAAN REGRESI LINIER NON PARAMETRIK DENGAN METODE THEIL’S
Darsono
Staff pengajar Program Studi Teknologi Informasi Jl. Batin alam Sungai Alam Bengkalis
Abstrak
Analisa regresi adalah analisis statistik yang mempelajari bagaimana membangun sebuah model fungsional dari data untuk dapat menjelaskan ataupun meramalkan suatu fenomena alami atas dasar fenomena lain. Analisa regresi merupakan salah satu pengetahuan terapan. Regresi disamping digunakan untuk mengetahui bentuk hubungan antar peubah regresi, juga dapat dipergunakan untuk peramalan. Untuk menyelesaikan suatu model dengan n pengamatan dari suatu model linier sederhana, maka dapat digunakan metode non parametik, dalam hal ini digunakan metode Theil dan untuk pengujian koefisien data dilakukan secara overall.
Kata Kunci ; analisa regresi, non parametrik, metode theill
1. PENDAHULUAN
Analisa regresi adalah analisis statistic yang mempelajari bagaiaman membangun sebuah model fungsional dari data untuk dapat menjelaskan ataupun meramalkan suatu fenomena alami atas dasar fenomena lain. Analisa regresi merupakan salah satu pengetahuan terapan. Regresi disamping digunakan untuk mengetahui bentuk hubungan antar peubah regresi, juga dapat dipergunakan untuk peramalan.
Dengan menggunakan n pengamatan untuk suatu model linier sederhana:
Yi=β0+β1X1+Ei dengan
: peubah tak bebas.
i Y
Xi : peubah bebas dengan i = 1,2,…n
1
0 β
β dan : parameter yang tidak diketahui.
1
ε : Ditribusi error.
Diberlakukan asumsi asumsi model ideal tertentu terhadap galat e yaitu bahwa galat
menyebar di . Dengan pemenuhan
terhadap asumsi kenoramalan dapat digunakan regresi parametrik untuk mengetahui bentuk hubungan antar peubah regresi pada data contoh yang diamati.
) , 0 ( σ2
Dalam praktek penyimpanagan terhadap asumsi asumsi sering terjadi dan terkadang peubah acak yang diamati tidak dapat dianggap mneyebarnormal. Dari segi statistika persolan tersebut harus dapat diselesaikan dengan menggunakan teknik statistika. Dalam statistik paramaterik teknik-teknik yang digunakan berhubungan dengan parameter parameter.
Identifikasi masalah
Dalam kenyataannya penyimpnagan terhadap asumsi – asumsi itu sering terjadi dan terkadang peubah acak yang diamati tidak dapat dianggap menyebar normal. Dalam statistic parametric, teknik –teknik yang digunakan berhubungan dengan pendugaan parameter serta pengujian hipotesis yang berhubungan dengan parameter – parameter. Jadi identifikasi masalah pada makalah ini adalah untuk mengetahui penyelesaian model regresi dengan statistika non parametric.
Maksud dan Tujuan
Maksud dan tujuan dari penulisan makalah ini adalah untuk memperoleh model analisis regresi, pengujian model analis regresi , pengujian model dan interval kepercayaannya bila asumsi parametriks tidak terpenuhi. Dalam hal ini metode yang diambil adalah menyelesaikan masalah persamaan regersi non parametric dengan menggunakan Theil.
2. LANDASAN TEORI
Menurut Daniel (1989) dalam banyak hal, penagamatan yang akan dikaji tidak selalu memenuhi asaumsi yang mendasari uji-uji parametrik sehingga kerap kali dibutuhkan teknik –teknik inferensial denga validitas yang tidak bergantung pada asumsi asumsi yang kaku. Dalam hal ini, teknik teknik dalam regresi nonparametrik memenuhi kebutuhan ini karena tetap valid walaupun tidak diperlukan pemenuhan asumsi kenormalan galat dan hanya berlandaskan asumsi-asumsi yang sangat umum. Conover menjelaskan bahwa penggunaan regresi non parametric dilandasi pada asumsi. (a) Contoh yang diambil bersifat acak, (b) regresi (Y/X) bersifat linear, (c) semua nilai Xi saling bebas,
(d) data diasumsikan tidak berdistribusi normal.
2.1. Estimasi Model
Metode theil’s untuk Regresi Linear sederhana Non parametric. Misalkan ada n pasangan pengamatan, katakan (X1, Y1), (X2, Y2),……
(Xn, Yn). Persamaan regresi linier sederhana
adalah : Yi=β0+β1X1+εi dengan
0
β adalah intercept ( titik potong)
1
β adalah slope(kemiringan) dari garis tersebut.
Xi adalah peubah bebas
Yi adalah nilai teramati dari peubah Y.
Theil (1950) dalam sprent (1991) mengusulkan koefesien kemiringan (slope) garis regresi sebagai median kemiringan dari seluruh pasangan garis dari titik-titik dengan
nilai X yang berbeda, selanjutnya disebut dengan Metode Theil, untuk satu pasangan (Xi, Yi) dan (Xj, Yj) koefisien kemiringannya
adalah : i j i j ij X X Y Y b − − = untuk i < j dan Xi ≠ Xj . Penduga bagi β1 dinotasikan dengan dinyatakan sebagai median dari nilai-nilai
sehingga: sedangkan penduga
bagi ∧ β ij b ) (bij median = ∧ β 0 β adalah yaitu ∧ 0 β ) ( ) ( 1 0 med Yi med Xi ∧ ∧ − = β β
med (Xi) adalah median dari seluruh
pengamatan dan med (Yi) adalah pasangan
nilai pengamatan untuk med(Xi)
2.2. Pengujian Koefisien Regresi Secara Overall
Staitik uji yang digunakan:
0 , = − = T T T Z µ σ µ τ ) 1 ( 9 ) 5 2 ( 2 − + = n n n T σ τ = Koefisien Kendall
Hipotesis yang digunakan untuk menguji keberartian model regresi adalah :
≈ =0 :
0 i
H β tidak hubungan antara variable X dan Y
≈ =0 :
1 i
H β terdapat hubungan antara variable X dan Y
Kriteria uji: Tolak H0 jika pz ≤α 2, terima
dalam hal lain.
2.3. Pengujian Koefisien Slope (β1).
Metode Theil’s untuk Pengujian Koefisien Kemiringan. Daniel (1989) menjelaskan
bahwa pengujian koofesien kemiringan dengan menggunakan metode theil disusun berdasrkan statistic τ kendall dan digunakan untuk mengetahui bentuk hubungan peubah-peubah regresi. Asumsi – asumsi yang melandasi pengujian pada koefisien kemiringan adalah :
a. Persamaan Rgeresinya adalah
n i
X
Yi=β0 +β1 1+εi, =1,...., dengan Xi peubah bebas, β0dan β1 adalah
parameter yang tidak diketahui; b. Untuk masing-masing nilai Xi dan Yi,
c. Yi aadalah niali yang termati dariY
yang acak dan kontiniu untuk nilai Xi,
dan semua nilai Xi saling bebas dimana
X1 < X2 < …..< Xn ;
d. Nilai –nilai εi sling bebas dan berasal
dari populasi yang sama.
Hipotesis –hipotesis yang melandasi pengujian ini adalah :
dua arah : H0:β0 = β1(0) H1 :β0≠β1(0); Seperti yang telah dijelaskan, prosedur yang diuraikan di susun berlandaskan statistik τ Kendall, sehingga Statistik ujinya adalah : Uji parsial untuk koefisien regresi β1 a. Jika tidak ada angka sama :
) 1 ( 5 , 0 − − = ∧ n n Q P τ n = Banyak pasangan b. Jika ada angka yang sama
y x n n T T n n Q P − − − − − = ∧ ) 1 ( 5 , 0 ) 1 ( 5 , 0 τ N = Banyak pasangan
∑
∑
− = − = ) 1 ( 5 , 0 ) 1 ( 5 , 0 t t T t t T y xt = Observasi angka sama
P = Banyaknya pasangan berurutan wajar
Q = Banyaknya pasangan berurutan Terbalik
Kaidah pengambilan keputusan untuk ketiga pasangan Hipotesis diatas adalah sebagai berikut : Dua arah : 0 0 ), 2 / , ( , ) 2 , ( H terima n H tolak n α τ τ α τ τ ≤ > ∧ ∧ ) 2 / , ( α
τ n adalah harga –harga kritis dalam tabel statistic uji τ Kendall. Pengujian Koefisien kemiringan ini dengan membuat statistic tataan dan memperbandingkan semua hasil pengamatan menurut nilai – nilai X 3. ANALISIS DATA
Data yang digunakan dalam makalah ini adalah mengenai model tas sekolah berdasarkan harga yang dipengaruhi ukuran tas tersebut, data disajikan dalam tabel dibawah ini, data dibawah ini diasumsikan berditribusi normal dengan α =5%. Data ini hanya digunakan hanya untuk aplikasi menyelesaikan teori yang sudah dijelaskan dimana X = UKuran Tas Sekolah (Inci) dan Y = Harga Tas ( US, $).
Tabel 1 Tabel 1.
Data Harga Tas (Y) dan ukuran tas (X)
No X Y 1 9 17 2 8 14 3 7 15 4 5 16 5 6 18 6 10 19 7 11 20 8 12 21 9 8 25 10 7 24 11 5 18 12 3 14 13 6 14 14 2 9 15 6 16
16 8 23 17 7 18 18 7 12 19 7 12 20 7 17 21 9 15 22 5 10
Metode estimasi yang digunakan dalam penelitian ini adalah regresi linear sederhana dengan metode Theil’s dengan spesifikasi sebagai berikut :
i
i X
Y =β0+β1 1+ε 3.1. Model Regresi
Untuk mendapatkan model Regresi non parametrik digunakan rumusan:
i j i j ij X X Y Y b − − = untuk i < j dan Xi≠ Xj. Didapat:
(
)
6 , 0 ) 6 , 10 6 , 14 ( 8 , 15 9 , 17 1 = − − = b(
)
6 , 0 ) 0 , 14 1 , 18 ( 1 , 16 7 , 17 5 , 0 ) 4 , 10 2 , 14 ) 6 , 14 2 , 13 ( 11 2 = − − = − = − − = b bPenduga bagi β1dinotasikan dinyatakan sebagai median dari nilai b
∧ β ij sehingga : 6 , 0 , ) ( = = ∧ ∧ β β median bij
Sedangkan penduga bagi β0adalah
∧ 0 β 3 , 12 ) 7 6 , 0 ( 5 , 16 ) ( ) ( 1 0 = × − = − = ∧ ∧ ∧ β β β med Yi med Xi
Sehingga didapat model Y =12,3+ 0,6X1
∧
Artinya adalah:
1. Bahwa variabel atau dalam hal ini Harga tas rata – rata sebesar $ 12,3 dengan anggapan variabel lainnya konstan.
2. Setiap penambahan 1 satuan variabel X1
maka Y akan berkurang sebesar 0,6 satuan Model regresi diatas perlu dilakukan pengujian hipotesis sehingga dapat dilihat apakah koefisiennya berarti atau tidak.
3.2. Pengujian Model Secara Overall Hipotesis yang diuji
H0 : β1= 0 = tidak terdapat hubungan antara
variabel X dan Y
H1 : β1 = 0 ≈ terdapat hubungan antara
variabel dan Y. Statistik ujinya : 0 , = − = T T T Z µ σ µ τ ) 1 ( 9 ) 5 2 ( 2 − + = n n n T σ 5033 , 2 1535 . 0 3843 . 0 153522 . 0 ) 1 22 ( 22 9 ) 5 22 2 ( 2 384312 , 0 = = = − × + × = = = Z Kendall Koefisien T σ τ τ Kriteria uji :
Tolak H0 jika pz ≤ α/2, terima dalam hal
Pz = P (Z= 2,5033) = 1 – (0,5 x 0,493) =
0,0062. dengan α/2 =0,025
Dari hasil diatas dapat disimpulkan bahwa P = 0,0062 < α/2 =0,025 maka H0 ditolak
artinya model ini bisa digunakan untuk menyatakan hubungan antara variabel harga tas (x) dengan variabel ukuran (y)
4. KESIMPULAN
Dalam dunia statistika terdapat berbagai macam alat untuk menyelesaikan suatu masalah. Salah satunya adalah mencari model
regresi apabila asumsi statistika parametrik terpenuhi maka dapat menggunakan metode OLS (Ordinary Least Square) untuk mencari taksirannya tetapi jira data diasumsikan tidak berdistribusi normal maka dapat digunakan non parametrik dalam penyelesaian model regresi non parametrik dengan menggunakan metode theil’s. Walaupun model Regresi non parametriknya ada tetapi digunakan sebagai peramalan. Untuk hasil model non parametrik jika dibandingkan dengan regresi parametrik hasilnya akan berbeda.
DAFTAR PUSTAKA
A non Parametric Linear Regressión with Theil’s Methods
www.resources.unpad.ac.id/unpad-content/uploads/publikasi_dosen/THEIL'S Ngadiman, T. 2005, Statistika tak parametrik, Bandung.
Daniel, W.W. 1989, Statistik Nonparametrik terapan, Gramedia, Jakarta.
-
Draper, N & Smith, H. 1992. Analisis Regresi Terapan, Gramedia Pustaka
Utama, Jakarta.
Kajian Teori Regresi Parametrik Normal dan Regresi Non Parametrik. www.unej.ac.id/fakultas/mipa/skripsi/matemat ika
