Geometri Non-Euclidan
Geometri Non-Euclidan
Riemann
Riemann
By:
By:
Moc
Mocham
hammad
mad ami
amirud
rudin
in
116070785013
116070785013
Dosen Pengampu:
Dosen Pengampu:
Prof. Dr. Mega Teguh
Prof. Dr. Mega Teguh
Budiarto,M.Pd
Budiarto,M.Pd
Georg Friedrich Bernhard
Georg Friedrich Bernhard
Riemann (17 September
Riemann (17 September
1826
1826 –– 20
20 Jul
Julii 186
1866)
6)
HELLO!
HELLO!
Dua garis yang saling tegak lurus pada garis yang sama adalah
Dua garis yang saling tegak lurus pada garis yang sama adalah
sejajar
sejajar
A.
A. Postulat
Postulat Kesejajaran Riemann
Kesejajaran Riemann tidak
tidak terdapat
terdapat garis sejajar)
garis sejajar)
eorema 1 eorema 10 10 1
Pembuktian
l m
n
C
No Pernyataan Alasan
1 l dan m tegak lurus dengan garis n Premis 1 2 l dan m tidak sejajar Pengandaian 3 l dan m berpotongan pada titik c 2
4 l dan m memotong n dititik A dan B Premis 2
A B
No Pernyataan Alasan 5 Perpanjang melalui A hingga C’ dengan CA = AC’ Panjang garis dapat
digandakan
6 Kontruksi garis C’B
C’
Melalui 2 titik dapat dibuat sebuah garis
l
m
A n B
Akibat 5.2
Hanya ada satu garis tegak lurus pada garis tertentu yang melalui
satu titik diluar garis tersebut
∆ ≅ ∆′ l m A n B C C’ No Pernyataan Alasan 7 s, sd, s
8 ∠ = ∠′ Sudut yang bersesuaian
9 ∠′ adalah sudut siku-siku 8 dan 1
l m A n B C C’ No Pernyataan Alasan
11 C dan C’ merupakan titik persekutuan dan
atau l dan m
10
12 l dan m garis yang sama 11
Pemikiran Riemann
Dalam pembuktian teorema 10.1, Euclid menggunakan prinsip
pemisahan : suatu garis membagi bidang menjadi 2 setengah bidang (2 daerah) sehingga C dan C’ adalah dua titik yang berbeda.
l
m
A n B
C
C’
Jika tidak menggunakan prinsip pemisahan, C dan C’ dapat berhimpit maka dalil pembuktian tidak berlaku.( eliptik tunggal)
jika kita mempunyai pemikiran bahwa C dan C’ adalah dua titik yang berbeda dan memungkinkan terdapat dua garis yang berbeda (l dan m bukan suatu garis yang sama) yang berpotongan di C dan C’, hal ini akan melahirkan teori baru. (dua garis berpotongan pada dua titik) (eliptik ganda)
Dua teori geometri yang mengasumsikan
postulat kesejajaran Riemman
•
Pertama, setiap garis berpotongan disatu titik, tetapi
tidak ada garis yang membagi bidang.
A C C’ Garis l Garis m l dan m Berpotongan dititik A
Titik yang diametral dianggap sebagai 1 titik
. C = C’
Geo Eliptik Tunggal
•
Kedua, dua garis tepat berpotongan di dua
titik dan setiap garis membagi bidang.
C C’ A A’ B’ B E’ E A ≠ A’ B ≠ B’ C ≠ C’ E ≠ E’ Geo Eliptik Ganda
Sifat pada geometri eliptik tunggal dan
eliptik ganda
Eliptik tunggal Eliptik Ganda
Dua garis berpotongan tepat 1 titik Dua garis tepat berpotongan di dua titik
Garis tidak memisahkan bidang. Garis memisahkan bidang menjadi 2 setengah bidang
Sifat pada geometri lain yang tidak berlaku
pada geometri eliptik adalah garis
merupakan gambar terbuka yang tak
terbatas yang dibagi menjadi dua bagian oleh
setiap titiknya.
(akan ditunjukkan pada pembuktian
garis sebagai gambar tertutup pada eliptik tunggal)
l
m
A n B
C
C’
Pada pembuktian “dua garis yang tegak lurus terhadap garis yang sama adalah sejajar”
Garis sebagai gambar tertutup
Agar geometri eliptik tunggal berlaku secara
keseluruhan,titik c’ harus berhimpit dengan titik c. Sehingga dengan memperpanjang CA
sepanjang dirinya sendiri ke C’ akan kembali ke C. Dengan kata lain kita telah melalui
keseluruhan garis CA yang terdiri dari ruas garis CA dan perpanjangannya.
Akibatnya suatu garis dipandang sebagai bangun yang tertutup
C
Hal ini sesuai dengan sifat bahwa satu titik tidak
dapat membagi garis menjadi dua bagian
,
Tetapi dua titik dalam suatu garis membagi
garis tersebut menjadi dua ruas garis, bukan
satu ruas garis, sehingga kedua titik itu
merupakan akhir persekutuan.
C B
C
A B
Pada eliptik tunggal, konsep dua titik merupakan akhir persekutuan ruas garis dipakai untuk membuktikan garis adalah gambar tertutup pada eliptik ganda.
Caranya:
1. Misal diberikan garis l dan titik A pada garis l
A
l
m 2. Misal m tegal lurus l di A.
3. l dan m bertemu dititik lain(titik B)
B 4. A dan B adalah titik akhir suatu ruas
garis,yang paling sedikit dimuat oleh garis l
A B l
7. Akan ditunjukkan setiap titik di l pada sisi m yang diberikan terletak pada s
s
m 6. M membagi bidang dan m memotong l tepat di dua titik, s (selain titik akhir
(A dan B) semuanya berada pada salah satu sisi M
5. Misal s sebuah ruas garis yang menghubungkan A dan B dimuat oleh garis l
8. Jika setiap titik di l yang tidak terletak pada s maka titik tersebut harus terletak pada perpanjangan s melewati titik A atau B.
9. Jika s diperpanjang melewati A atau B, garis l akan memotong m dan memasuki sisi m yang bersebrangan dengan s. Dengan demikian, sebarang titik yang terletak di garis l pada sisi m yang sama dengan s pasti terletak pada garis s. Sehingga disimpukan s merupakan bagian l pada sisi m yang ditentukan.
10. Ada ruas garis s’ yang bersesuaian,yang termuat dalam garis l, serta menggabungkan A dan B pada sisi lain dari m dan merupakan bagian
l pada sisi m yang lain itu. Hal ini sesuai dengan ide pokok dari geometri bidang Euclid(geometri netral) bahwa sebarang bangun F dalam dapat dicerminkan (secara tegak lurus) terhadap suatu garis tertentu untuk menghasilkan bangun F’ yang simetris.
11. Jadi akan ada suatu bangun s’ yang simetris dengan ruas garis s yang menghubungkan A dan B pada sisi m yang bersebrangan dengan s.
A B l s
s’ 12. Karena s adalah ruas garis, s’ juga ruas garis.
13. Karena s tegak lurus terhadap m dititik A maka s’ juga tegak lurus dengan m dititik A juga.
14. Karena s dan s’ merupakan ruas garis yang tegak lurus terhadap garis yang sama pada titik yang sama, maka kedua ruas garis (s dan s’) tersebut harus terletak
pada satu garis, dengan kata lain s’ termuat di l.
15. Disimpulkan bahwa l dibentuk oleh ruas garis s dan s’
Bagian F
Kesulitan Yang Terdapat Dalam Perlakuan Formal
Teori Reimann
Geometri Reimann
Oleh:
AINUR RIDWAN
NIM 157785401
Teori Riemann titik dan garis sangat berbeda
dibanding dengan Geometri Netral
Garis merupakan bangun tertutup dan dua titik pada
garis itu membagi garis menjadi dua ruas garis
Sulit untuk mendefinisikan sudut , karena kita tidak mempunyai
pengertian tentang sinar dan setengah garis
Rumusan definisi segitiga yang sesuai juga merupakan
masalah
Misal A, B, C adalah tiga titik tidak segaris dan
misalkan AXC , AYC adalah dua ruas garis dari
garis AC yang ditentukan oleh titik A dan C
Kemudian jika AB, BC , dan AXC membentuk segitiga,
apakah kita juga dapat memandang AB, BC, AYC
Dalam geometri Euclid atau
Lobachevski kesulitan seperti ini tidak
muncul, karena segitiga-segitiga yang
berbeda tidak mungkin memiliki titik
sudut yang sama. Dalam geometri
eliptik tunggal kemungkinan yang
membingungkan lainnya juga ada.
Kesulitan-kesulitan ini dapat dipecahkan.
Faktanya, dengan adanya representasi bola
dari geometri eliptik memberikan sebuah
petunjuk penting untuk memecahkan
Bagian G
Sifat-Sifat Kutub Dalam Geometri Eliptik Bidang
Geometri Reimann
Setiap garis l terdapat sebuah titik kutub P sedemikian
hingga semua garis yang melalui P tegak lurus terhadap
l, sebagaimana halnya semua lingkaran besar pada
globe yang melalui kutub utara tegak lurus terhadap
equator.
l
Misal l sebarang garis dan misalkan garis m dan n tegak lurus
terhadap l pada titik yang berbeda A dan B. Berdasarkan
postulat kesejajaran Riemann M dan N bertemu pada titik P,
sehingga segitiga PAB adalah segitiga yang dibentuk dari sisi
PA, PB dan AB, karena
PAB memiliki dua sudut yang sama
maka segitiga tersebut samakaki, sehingga PA = PB
A
B
l
P
Andai C adalah titik tengah dari ruas garis AB. Maka, seperti pada
geometri Netral, diperoleh segitiga yang kongruen yaitu
PAC dan
PBC dengan PA, PB adalah sisi yang bersesuaian dan ruas garis
PC sebagai sisi persekutuan. Akibatnya garis PC tegak lurus terhadap
AB. Dengan argumen ini
PAC dan
PBC adalah segitiga samakaki,
sehingga PA = PB =PC
A
B
l
P
Sifat Kutub
Misal l sebarang garis. Maka
terdapat sebuah titik P yang
disebut kutub l, sehingga:
a. setia ruas garis yang
menghubungkan P dengan
titik pada l, tegak lurus
terhadap l
b. P berjarak sama pada semua
titik di l
A
B
l
P
Perlu diperhatikan bahwa karena dua titik
dihubungkan oleh lebih dari satu ruas garis,
maka jarak dari 2 titik tersebut adalah
panjang ruas garis terpendek yang
Berikut kita tinjau bahwa jika P
adalah kutub garis l, tiap garis
yang tegak lurus terhadap l
melewati P. Andaikan m tegak
lurus terhadap l pada titik Q.
Pasti ada titik M’ yang melalui
P dan Q. Dengan
menggunakan sifat kutub,
maka m’ tegak lurus terhadap l
pada titik Q. Karena l memiliki
garis tegak lurus yang tunggal
di Q, M dan M’ berimpit dan m
haruslah melalui P.
JARAK POLAR
Misal garis m menghubungkan
P ke sebuah titik Q di l. Kita
tunjukkan bahwa ada ruas
garis m yang Menghubungkan
P dan Q yang panjangnya
sama dengan jarak polar P dari
l. Dengan sifat polar, m tegak
lurus terhadap l di Q. Jarak P
dan Q adalah terpendek yang
merupakan jarak polar dari P
ke l.
Q
l
P
34
