CATATAN KULIAH Pertemuan IX: Optimasi Pertumbuhan dan Aplikasinya

CATATAN KULIAH

Pertemuan IX: Optimasi Pertumbuhan

dan Aplikasinya

A. Fungsi Eksponensial

• Bentuk Fungsi Eksponesial: y = f(x) = bx

di mana basis b > 1, x adalah eksponen, f(x)∈ ℜ

Note: Istilah eksponen (x) berarti pangkat terhadap sebuah basis bilangan (b).

Batasan Nilai b:

• b ≠ 1 dan b ≠ 0, karena

f(x) = 1x _{= 1; f(x) = 0}x _{= 0, Æ konstan}

• 0 < b < 1 dikecualikan, karena dapat dinyatakan dalam eksponen negatif

• b<0 dikecualikan, karena berakibat banyak nilai f(x) dengan x adalah bilangan real menjadi bilangan imajiner, contohnya (-b)½ • Basis yang populer adalah: e dan 10

• Secara umum fungsi eksponensial dirumuskan dalam bentuk: y = variabe tak bebas

b = basis

t = variabel bebas

a = faktor skala vertikal / aktor ‘penekan’ c = faktor skala horisontal / faktor ‘pemerluas’

Grafiknya:

ct

ab

• e adalah basis yang disukai (preferred base)

(e) = 2.71828…, merupakan bilangan irasional, yang mempunyai karakteristik sbb:

Jadi bilangan tersebut adalah (e) = 2.71828…

0 x ketika 1 0 kemiringan mempunyai yang basis apa 0, x di (?) 1 lim lim lim ) ( b y dari Derivatif 0 0 0 / → ∆ = = = ∆ − = ∆ − = ∆ − = = ∆ → ∆ ∆ → ∆ ∆ + → ∆ ) ( f b b x b b x b b b x b b x f / x x x x x x x x x x x x x ? 0 x ketika 1 0 an menghasilk yang , basis tabel Perhatikan ln 1 lim ) 0 ( : 0 0 / → ∆ = = ∆ − = ∆ → ∆ ) ( f mana b b x b b f Jawabnya / x x x x ∆x ∆x x / ∆x ∆x e ) ( e ∆x e e (x) f ∆x e sehingga = = − = = − → → 1 1 lim 1 1 lim : 0 0

Grafik for f(x)=ex

• Karakteristik fungsi eksponensial natural:

B. Fungsi Eksponensial Natural dan Masalah Pertumbuhan • Bilangan e mempunyai hubungan dengan fungsi f(x)=(1+1/m)m

1 1 lim Basis m m m e ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ≡ ∞ → 1 0 dari nilai 0,1), ( Pada x ketika 0 y : horisontal asimptot t : x -sb n perpotonga 1 : y -sb n perpotonga ) 0 ( : y dari jangkauan ) ( : x dari domain e b d ) ( f -ada idak , , -imana e f(x) / x = ∞ → = ∞ ∞ ∞ = =

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

dt

( )

r

( )

Ae rV rt d rt d Ae d dt dAe dt dV e e dt d e dt d dt d dt y d y e e dt t d t d e d e dt d dt dy rt rt rt t t t t t t t t = = = = = = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = = = = = = umum) secara natural eksponen (fungsi Ae V dari derivatif Sedang 1 : adalah e y dari Derivatif rt 2 2

• Untuk mencari bilangan e dapat digunakan aproksimasi dengan deret maclaurin:

• Bunga majemuk dan Fungsi Aert Rumus bunga majemuk :

1

)

(

mt

m

r

A

m

V

_⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

≡

Dengan A=investasi awal, r=suku bunga nominal, m=jumlah pemajemukan dalam 1 tahun, dan t=jumlah tahun

Denga memanipulasi rumus bunga majemuk di atas sbb:

1

1

1

)

(

/

r

m

w

w

A

m

r

A

m

V

rt w rt r m

≡

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

=

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

≡

Diketahui bahwa lim 1 1⎟ =e ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ∞ → m

m m maka proses pemajemukan kontinu adalah: 1 ) ( / rt rt r m m Ae m r A m V

_Lim

= ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = ∞ → … = … + + + + + = = + … + + + + = = = → = + + … + + + = = = = + − + … + − + − + = = . e e R (x) (x) x e e e R (x) n e (x) e (x) e e f(x) (x) f (x) f f(x) e R ) x )/n! (x (x f ) x ! (x )/ f "(x ) x )(x f '(x ) f(x f(x) x x n x x x x x n (n) 71828 2 24 1 6 1 2 1 1 1 bilangan ke konvergen Maclaurin deret 1 x pada 6 1 2 1 1 1 0 x karena ! ! 2 : maka , : diketahui 2 : 0 x ketika e dari maclaurin Deret 3 2 0 0 2 // / 0 0 2 0 0 0 0 0 0 x 0 0 0 0 0 …

Jadi intrepretasi dari y = Aert _{: adalah nilai dari sebuah investasi} $A pada suku bunga nominal r, dan dimajemukkan secara

kontinu dalam t kali atas periode investasi (# hari, bulan, atau tahun) (pertumbuhan dalam investasi)

• Laju Pertumbuhan Sesaat

• Pertumbuhan Kontinu vs. Pertumbuhan Diskrit Misal proses pemajemukan bunga diskrit sbb: A, A(1+i), A(1+i)2, A(1+i)3 …

Dengan A=investasi awal, i=suku bunga. Misalkan b=(1+i), maka secara umum dapat diringkas menjadi A(b)t_{, dengan} t=jumlah periode.

Selanjutnya dapat dicari bilangan r sehingga didapat: (1+i)=b=er

Sehingga kita dapat mengubah bentuk diskrit dalam bentuk kontinu dengan fungsi eksponen natural :

A(1+i)t = A(b)t _{= A(e)}rt

Akibatnya kasus diskrit dapat dianalisis melalui kasus kontinu. Ini menjelaskan mengapa fungsi eksponensial natural digunakan secara luas dalam analisis ekonomi

• Pendiskontoan dan Pertumbuhan Negatif Nilai masa depan (future) :

V=f(pemajemukan dari nilai sekarang (present) A)

(

)

(

dV dt

)

dengan V Hubungan / (r) L / dt dV V Perubahan Tingkat (V) value Future : didapat maka kontinu, secara an dimajemukk yang (r) bunga suku pada (t) waktu atas (A) awal investasi dari depan masa di nilai adalah V Misal r dt dV V n Pertumbuha aju V dt dV r rV rAe dt dV Ae V rt rt = = = = = rt

Ae

V

=

Nilai Sekarang (present)

A= f(pendiskontoan nilai masa depan (future) V)

Di sini _{e disebut faktor diskonto (discount factor) dan –r disebut} rt faktor penuaan (rate of decay)

C. Logaritma

• Arti Logaritma

Y=bt _{⇔ t=Logb(Y)} Contoh:

• Log Biasa dan Log Natural

Eksponen biasa : ⇔ Log biasa : Eksponen natural : ⇔ Log biasa : • Aturan-aturan logaritma

o Hasil kali :

o Hasil Bagi : o Pangkat :

o Pembalikan Basis (Base inversion) :

o Konversi Basis (Base conversion) :

rt

Ve

A

=

− 3 001 . 0 2 01 . 0 1 1 . 0 0 1 1 10 3 1000 10 10 10 10 10 10 − = − = − = = = = Log Log Log Log Log Log t b Y = t =log_bY t e Y = t=log_eY =lnY

( )

uv lnu lnv ln = +

( )

u/v lnu lnv ln = − ) ( ln lnua =a u b b e e b ln 1 log 1 log = =

(

)(

)

) ln( ) ln( log log log b u u e u _{b e} b = =

D. Fungsi Logaritma

⇔

• Karakteristik fungsi logaritma: Monoton Naik Jika ln y1 = ln y2, maka y1 = y2 dan

Jika ln y1 > ln y2, maka y1 > y2 • Bentuk Grafik :

Note : y=et _{(biru), y=2}t _{(merah-atas),} y=ln(t) (merah), sudut 450 _(hijau)

• Konversi Basis Misal er = bc maka ln er = ln bc r = ln bc _{= c ln b}

sehingga: er _{= e}c ln b _{dan y = Ab}ct _{= Ae}(c ln b)t _=Aert

• Contoh: Carilah pemajemukan kontinu dengan suku bunga

nominal per tahun r yang ekuivalen dengan pemajemukan diskrit dengan suku bunga i=5% pertahun [dimajemukkan per

setengah tahun (semiannually)]

1.025 c i 1 b 1, t 2, c .05, i 1, a dimana = = = = = + = = =_abct _aert y t e Y = t=log_eY =lnY

( ) ( ) _1.050625 % 94 . 4 025 . 1 ln 2 ln ln ln misal 1 025 . 1 ln 2 ln = = = ≈ = = = = e e y b c r b c e r b e t b c c r • Aplikasi

Kegunaan utama dari transformasi logaritma dalam riset ekonomi adalah ketika mengestimasi fungsi produksi atau

perkalian fungsi nonlinear lainnya. Transformasi fungsi produksi ke dalam fungsi logaritma membuatnya dapat diestimasi dengan metode regresi linier.

Misal Q = banyak output, L = pegawai (labor) dan K= capital (capital inputs):

Fungsi Produksi

Diambil transformasi logaritmanya menjadi:

Di sini nilai α dan β diestimasi dengan regresi linier.

E. Derivatif Fungsi Eksponensial dan Fungsi Logaritma • Aturan fungsi Log

Derivatif dari fungsi log dengan basis e Biasa:

Umum:

• Aturan fungsi Eksponensial

Derivatif dari fungsi eksponensial dengan basis e Biasa: Umum: β α_K AL Q= K L A Q ln ln ln ln = +α +β t dt t d_{ln =}1

( )

( )

( )

t f t f dt t f dln ₌ ′ t t e dt de dt dy _{= =} t t e dt de dt dy _{= =}

• Kasus untuk Basis b

Derivatif dari fungsi transenden dalam basis b Fungsi eksponensial: b b dt dbt t ln = Fungsi Logaritma: b t dt t d _b ln 1 log ₌

Derivatif dari fungsi transenden dalam basis e Fungsi eksponensial: t e = dt det Fungsi Logaritma: t dt t d dt t dlog_e ln 1 = =

• Derivatif yang lebih tinggi

Derivatif dari fungsi transenden dalam basis e Eksponensial: Logartma:

( )

( )

( )

( )

4 3 4 4 4 t 4 3 2 3 3 3 t 3 2 1 2 2 2 t 2 t 6 2 log dt e d 2 log dt e d 1 log dt e d 1 ln log dt de t dt t d dt t d e t dt t d dt t d e t dt t d dt t d e t dt t d dt t d e e t e t e t e t − = = = = − = = − = = = = = = − − − • Aplikasi

Carilah diferensial total dari Fungsi Produksi Q dengan transformasi Logaritma:

(

) ( )

(

)

( )

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ _{+ +} = + + = + + = + + = = dL L dK K dA A Q dQ dL L dK K dA A Q dQ L d K d A d Q d L K A Q L AK Q β α β α β α β α β α 1 1 ln ln ln ln ln ln ln ln

D. Optimasi Ketepatan Waktu (Timing) • Masalah Penyimpanan Anggur

Nilai sekarang (Present value): A(t) =Ve-rt dan Pertumbuhan nilai (V) sebagai fungsi waktu:

Maka nilai sekarang dari V dapat dinyatakan sebagai:

Transformasi Logaritmanya:

Dengan mendiferensiasi ke dua sisi didapat:

Karena A≠0, kondisi dA/dt=0

Dapat dipenuhi jika dan hanya jika :

2 2 1 2 1 * 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = − r t r t

t* adalah waktu penyimpanan yang optimum

• Masalah penebangan kayu

Misal nilai kayu (yang telah ditanam pada suatu lahan) merupakan fungsi waktu:

2 1 2 2 V= t = t t ke V = rt t rt t_{e ke} ke t A ₌ − ₌ ½− ) (

( )

(

)

(

t rt

)

k e rt t k e k t A t rt − + = − + = + = − ½ ½ ln ln ln ln ln ln ½ r t A dt dA ₌ − ₋ 2 1 2 1 1 0 2 1 0 2 1 2 1 2 1 = − = = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = − − r t dt dA r t A dt dA ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = A t− r dt dA ₂1 2 1

Kemudian V diubah menjadi nilai sekarangnya:

( )

_=Ve−rt t A Didapat:

( )

_t t _e rt A = 12 − 2 Transformasi Logaritmanya:

( )

t e t rt A ₌ t ₊ −rt _{= −} ) 2 ln( ) ( ln ) 2 ln( ln 12 12

Dengan mendiferensiasi ke dua sisi didapat:

( )

r t dt dA A dt t A d − = = − 2 ln 2 1 1 ln 12

Karena A≠0, kondisi dA/dt=0

r t r t A dt dA − = = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ = − − 2 ln 2 1 0 2 ln 2 1 12 12

Dapat dipenuhi jika dan hanya jika :

2 2 1 2 1 2 2 ln * 2 ln 2 2 ln 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = = − − r t r t t r

t* adalah waktu penebangan yang optimum

Latihan :

1. Jika nilai anggur berkembang sesuai dengan fungsi 2 t

e

V=K , berapa