( ) ( p) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Lemma 2.15 Jika a memiliki order h( mod ) memiliki order ( mod m) m, maka. [Niven, 1991] III.

Lemma 2.15

Jika a memiliki order h

(

modm , maka

)

ak

memiliki order

( ) (

, mod

)

h _m

h k .

[Niven, 1991] III. PEMBAHASAN

Pada bagian pendahuluan telah disebutkan bahwa tujuan dari penulisan ini adalah mempelajari teorema-teorema yang terkait solusi residu kuadratik dan mengkonstruksi algoritma untuk mencari solusinya, merekonstruksi Algoritma RESSOL beserta analisisnya, mengkonstruksi algoritma untuk mencari solusi

(

)

2 _mod

x ≡a pq dan _x2_≡a

(

_modpj

)

_serta

membandingkan waktu eksekusi algoritma yang terkait bilangan besar.

3.1 Teorema – Teorema yang Terkait Solusi Residu Kuadratik.

Definisi 3.1 [Akar kuadrat] Misalkan a Q∈ _n. Jika

(

)

* 2 _mod n x x a n ∃ ∈ Ζ ∋ ≡

,

maka x dinamakan akar kuadrat dari a modulo n.

[Menezes, 1997] Mencari solusi dari _x2 _≡a

(

_modn

)

tidaklah mudah, apalagi jika n adalah bilangan komposit yang tidak diketahui faktor primanya. Jika n adalah bilangan prima, maka ada beberapa teorema yang dapat digunakan untuk mencari solusinya.

Teorema 3.1

Jika p prima, (a,p) = 1 dan

(p1 / ,) (n p1) _{1 mod}

₍

₎

a − − _≡ p _{, maka kongruensi}

_xn_≡a

(

mod_p

)

_…(i) mempunyai (n, p–1) solusi.

Jika _a(p−1 / ,) (n p−1)_{≡/1 mod}

(

_p

)

_maka

(

mod

)

n

x ≡a p tidak mempunyai solusi. [Niven, 1991] Bukti :

Karena p prima maka berdasarkan Teorema 2.8, *

p mempunyai generator. Misal g adalah generator (mod p) maka berdasarkan Teorema 2.7 ada i dimana 0≤ ≤ − i p 2 sedemikian sehingga i (mod )

g ≡a p …(ii)

Jika ada x yang merupakan solusi dari ₀

(

mod

)

n

x ≡a p maka

(

x p₀,

)

= , sehingga 1 ada u dimana 0≤ ≤ − sedemikian u p 2 sehingga ₀ u(mod )

x ≡g p …(iii) Dari (i) , (ii) dan (iii) diperoleh

(

mod

)

( )

n (mod ) n u i x ≡a p ⇔ g ≡g p _⇔gun _≡gi(mod )_p ⇔un i≡ (modp− 1) Misalkan k = (n, p -1).

Berdasarkan Teorema 2.11, un i≡ (modp− 1) mempunyai k solusi jika k i dan tidak | mempunyai solusi jika k i|/ .

Jika k i| maka i p( 1) 0(modp 1)

k

−

≡ −

(karena i

k adalah bilangan bulat) sehingga

( )

( )

(

)

1 ( 1) 1 _{1 mod} p i p i p k k k a g g p − − − ≡ ≡ ≡

Jika k i|/ maka i p( 1) 0(modp 1)

k − ≡/ − dan berakibat ( )

(

)

1 ( 1) 1 mod p i p k k a g p − − ≡ ≡/ .

Dari Teorema 3.1 dapat kita ambil kasus khusus untuk n = 2

(

_x2 _≡a

(

_modp

)

)

_.

Akibat 3.2 [Kriteria Euler]

Jika p adalah bilangan prima ganjil,

( )

a p, =1 dan _a(p−1 / 2) _{≡1 mod}

(

_p

)

_{maka x}2 _≡a

(

_modp

)

mempunyai 2 buah solusi.

Jika _a(p−1 / 2) _{≡ −1 mod}

₍

_p

₎

_maka

(

)

2 _mod

x ≡a p tidak mempunyai solusi. [Niven, 1991] Bukti :

Berdasarkan Teorema 3.1 _x2 _≡a

(

_modp

)

mempunyai (2,p− = buah solusi jika 1) 2

(p1 / 2) _{1 mod}

₍

₎

a − _≡ p

_.

Misal (p1) / 2

b a₌ − _{, maka} 2 (p1)

b ₌a − _.

2 (p1) _{1(mod )} b ₌a − _≡ p _sehingga 1(mod ) b≡ ± p . Jika (p1) / 2 _{1(mod )} b a − p = ≡ −

maka _x2 _≡a

(

_modp

)

_{tidak mempunyai solusi}

berdasarkan Teorema 3.1.

Dalam mencari solusi dari

(

)

2 _mod

x ≡a p dengan p prima ganjil ada beberapa hal yang perlu diperhatikan. Jika

0(mod )

a≡ p maka solusinya adalah 0(mod )

x≡ p . Jika a≡/0(mod )p maka

(

)

2 _mod

x ≡a p mungkin tidak mempunyai solusi tergantung kriteria Euler.

Jika _x2_≡a

(

_modp

)

_{mempunyai solusi}

maka solusinya ada 2. Misal x adalah salah ₀

satu solusinya maka − adalah solusi x₀

lainnya, karena 2 2

(

)

0 0

(−x ) =x ≡a modp . Karena p ganjil maka x₀ ≡ −/ x₀(mod )p

sehingga _x2_≡a

(

_modp

)

_{akan mempunyai 2}

solusi yang berbeda.

Dalam hal _x2_≡a

(

_modp

)

_mempunyai

solusi, dari bukti Teorema 3.1 kita dapat menemukan solusinya apabila generator dari

*

p diketahui.

Dalam bukti tersebut terlihat bahwa solusi dari _x2_≡a

(

_modp

)

_adalah

(mod ) u

x g≡ p dengan g adalah generator dari *

p, dan u adalah solusi dari 2u i≡ (modp−1) 2 1 (mod 1)

2

p

u −

i

−

⇔ ≡

dengan i adalah bilangan genap sedemikian sehingga i (mod )

g ≡a p .

Dari uraian di atas dapat dibuat sebuah algoritma untuk mencari solusi dari

(

)

2 _mod

x ≡a p .

Algoritma 1 :

Mencari solusi _x2_≡a

(

_modp

)

_dengan

terlebih dahulu mencari generator dari * p. INPUT : Bilangan prima ganjil p dan

bilangan bulat a, 1 ≤ a ≤ p-1. OUTPUT : Dua akar kuadrat a modulo p. 1. Hitung _a(p−1 2) _{dengan Kriteria Euleur.}

Jika _a(p−1 2) _{≡ −1 mod}

(

_p

)

_{maka a tidak}

mempunyai akar kuadrat modulo p dan proses berhenti .

Jika _a(p−1 2) _{≡1 mod}

(

_p

)

_{lanjut ke langkah}

2.

2. Cari generator dari *

p, misalkan generator tersebut adalah g.

3. Cari i sedemikian sehingga (mod )

i

g ≡a p dengan 4. Cari u sedemikian sehingga

1 1

2 (mod )

2

p

u≡ −i −

5. Solusinya adalah u(mod )

x g≡ p Langkah-langkah dalam algoritma tersebut

dapat dilihat melalui bagan berikut ini.

Bagan 1. Algoritma mencari solusi

Tidak Ya

Hitung

(p1 2) _{(mod )}

a − p

Mulai

Bilangan prima panjil p dan a∈

[

1,p− 1

]

Apakah (p1 2) _{1 mod}

₍

₎

a − _≡ p

(

)

2 _mod x ≡a p

tak punya solusi

Cari g = generator * p

(

)

2 _mod x ≡a p punya solusi Hitung (mod ) i g p dengan 0, 2, 4,..., 1 i= p− Apakah (mod ) i g ≡a p Tidak Ya Hitung 1 1 2 (mod ) 2 p u_≡ −i − Solusi adalah (mod ) u x g≡ p Selesai

(

)

2 _mod x ≡a p 0, 2, 4,..., 1 i= p−

Contoh 1:

Tentukan solusi dari _x2_{≡15 mod17}

(

)

_.

Jawab :

(17 1 2) 8

15 − _≡15 (mod 17) _{≡1 (mod 17)} Karena ₁₅(17 1 2−) _{≡ 1 (mod 17) maka}

berdasarkan kriteria Euler _x2_{≡15 mod 17}

(

)

mempunyai solusi. Generator dari *

17 adalah g = 3.

Mencari nilai i sehingga 3i ≡15(mod17)

i 0 2 4 6

3 (mod17)i 1 9 13 15 Dari tabel diperoleh nilai i adalah 6.

6 17 1

(mod )

2 2

u≡ − ≡3(mod 8)

Solusinya adalah _x≡33_{≡10(mod17). Solusi} satunya adalah − ≡ − ≡x 10 7(mod17). Jadi solusi dari _x2_{≡15 mod17}

(

)

_{adalah 7}

dan 10 .

Algoritma di atas tidak efisien untuk nilai

p yang besar ( p > 1.000.000 ), karena untuk

mencari g yaitu generator dari *

p untuk nilai

p > 1.000.000 tidaklah mudah, kemudian

mencari nilai i sedemikian sehingga (mod )

i

g ≡a p juga memerlukan waktu yang lama untuk nilai p > 1.000.000.

Oleh karena itu, di bagian berikutnya akan dibahas sebuah algoritma yang lebih efisien untuk mencari solusi dari

(

)

2 _mod

x ≡a p yaitu Algoritma RESSOL. Mencari solusi dari _x2_≡a

(

_modp

)

memang tidak mudah, tetapi ada beberapa kasus untuk nilai p tertentu yang solusinya sudah dengan ditentukan. Misal untuk

3(mod 4)

p≡ maka solusi dari

(

)

2 _mod x ≡a p adalah _{x≡ ±a}(p+1 / 4)

(

_modp

)

karena

(

_±a(p+1) / 4

)

2_=a(p+1 / 2) _=a(p−1 / 2) _.a ≡a

(

modp

)

. Berdasarkan Teorema 2.9,

(

)

2 _{1 mod}

x ≡ − p mempunyai solusi jika dan hanya jika p= atau 2 p≡1(mod 4). Untuk

1(mod 4)

p≡ misalkan (p1) / 4_{(mod )}

x z − p

= ±

dengan z adalah suatu bilangan non residu

kuadratik yang ambil secara acak dalam * p. Berdasarkan Kriteria Euler diperoleh

(

)

2

(

)

2 (p1) / 4 (p 1) / 2 _{1 mod}

x _{≡ ±}z − _≡z − _{≡ −} p _.

Teorema 3.4

Jika a dan b relatif prima terhadap bilangan prima p, dan jika a dan b memiliki order

(

)

2 modj _{p dengan j> , maka ab memiliki 0}

order _{2 mod}j'

(

_{p untuk beberapa '}

)

_{j < . j}

[Niven, 1991] Bukti :

2

ord( ) 2 (mod )_{a ≡} j _{p ⇔a} j _≡1(mod )_{p …(1),} berdasarkan Teorema Fermat,

p1 _{1(mod )}

a − _≡ p _…(2)

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh 2 | (j 1)

p− dan p > 2.

Ambil x a= 2j−1, karena ord( ) 2 (mod )_{a ≡} j _p maka _{x a=} 2j−1_{≡/1(mod )p tetapi}

2 2j _{1(mod )}

x =a ≡ p sehingga berdasarkan Lemma 2.9 maka _{x a=} 2j−1 _{≡ −1(mod )p .}

Dengan cara yang sama diperoleh 1 2 1(mod ) j b − ≡ − p , dan mengakibatkan

( )

₂ 1 ₂ 1 ₂ 1 ( 1)( 1) 1(mod ) j j j ab − =a −b − ≡ − − ≡ p . Berdasarka Lemma 2.13 maka order dari ab membagi ₂j−1

sehingga order dari ab adalah

'

2j _{untuk suatu 'j < . j}

Teorema-teorema di atas menjadi landasan Algoritma RESSOL untuk mencari solusi dari _x2 _≡a

(

_modp

)

_dengan

p a Q∈ dan

p prima ganjil.

3.2 Konstruksi Algoritma RESSOL beserta Analisisnya.

Untuk mencari solusi _x2 _≡a

(

_modp

)

dengan p prima ganjil, ada sebuah algoritma yang dapat digunakan untuk mencarinya yaitu Algoritma RESSOL (Residue Solver).

Dalam bagian ini penulis akan mencoba merekonstruksi Algoritma RESSOL dan menganalisisnya. Berikut ini akan dijelaskan langlah-langkah penurunan Algoritma RESSOL.

Langkah pertama menghitung

(p1 2) _{(mod )}

a − p _{dengan Kriteria Euleur. Jika} (p1 2) _{1 mod}

₍

₎

a − _{≡ −} p _{maka x}2_≡a

(

_modp

)

tidak mempunyai solusi.

Jika _a(p−1 2) _{≡1 mod}

(

_p

)

_{maka untuk}

menentukan solusi dari _x2_≡a

(

_modp

)

adalah mencari nilai k dan m dengan k > 0 dan

m ganjil sedemikian sehingga _{p− =}1 2k_m.

Kemudian didefinisikan :

_{r a≡} (m+1 / 2)

₍

_modp

₎

_…(1)

Jika kedua ruas persamaan (1) dikuadratkan, maka diperoleh :

_r2_≡a(m+1)

₍

_modp

₎

_r2_{≡a a}m_{. mod}

(

_p

)

_.

Misalkan _{n a≡} m

(

mod_p

)

_{, sehingga dapat} ditulis : _r2_≡na

(

_modp

)

_…(2)

Jika n≡1 mod

(

p

)

, maka solusinya adalah

x≡ ±r

(

modp

)

.

Jika n≡1 mod p , maka untuk menentukan

(

)

solusinya diperlukan langkah penyelesaian sebagai berikut.

Ambil secara acak suatu bilangan nonresidu kuadratik di dalam *

p. Misal bilangan tersebut adalah z. Definisikan

_{c z≡} m

(

mod_p

)

_…(3) Jika kedua ruas persamaan (3) dipangkatkan dengan 2k_{, maka diperoleh :}

2k 2k_m

c =z _=zp−1_{≡1 mod}

(

_p

)

_…(4)

Berdasarkan Lemma 2.13, order dari c membagi 2k_{. Sementara itu, karena z adalah}

nonresidu kuadratik maka

₂k1 ₂k1_m

c − =z − _=z(p−1 / 2) _{≡ −1 mod}

(

_p

)

_…(5)

Jadi order dari c adalah tepat 2k_{. Hal ini}

dapat ditulis ord( ) 2_{c ≡} k _atau

(

)

2k _{1 mod}

c ≡ p

.

Dengan cara yang sama diperoleh

2k 2k_{m p} 1 _{1 mod}

(

)

n =a =a − ≡ p

…(6)

Dengan demikian order dari n membagi 2k

_.

Dengan pengulangan kuadrat dapat ditentukan order dari n adalah ₂k'_.

Sementara itu _n2k−1 _a2k−1m _a( )p−1 / 2

= = , karena

a adalah kuadratik residu mod p maka

n2k−1 =a( )p−1 / 2 ≡1 mod

(

p

)

…(7)

sehingga k'<k

.

Algoritma ini dimulai dengan proses pengulangan. Didefinisikan _{b ≡c}2k k− −'1

(

_modp

)

_…(8)

(

)

' mod r ≡br p …(9) _c'≡b2

(

_modp

)

_…(10) n' ' mod≡c n

(

p

)

…(11) Dengan melakukan perkalian pada kedua ruas persamaan (2) oleh _b2 _{diperoleh :}

(

)

2 2 2 _mod

b r ≡b na p

dengan menggunakan persamaan (9), (10) dan (11) diperoleh :

(

)

2

' 'mod

r ≡an p …(12) Dari persamaan (8) dan (10) diperoleh

(

)

2

' mod

c ≡b p _{≡ c}2k k− −'1 2

(

_modp

)

_≡c2k k−'

(

_modp

)

_…(13)

Jika kedua ruas persamaan (13) dipangkatkan dengan ₂k'_{, maka diperoleh :}

( )

₂' ₂ '2'

(

)

' mod k k k k c ≡ c − p _≡c2k

(

_modp

) (

_{≡1 modp}

)

_. Sementara itu

( )

(

)

'1 ' '1 2 2 2 ' mod k k k k c c p − − − ≡ _≡c2k−1

(

_modp

)

_{≡ −1 mod}

(

_p

)

Dengan demikian c memiliki order tepat '

'

2k_.

Karena _{ord( ) 2n ≡} k' _{dan ord( 'c) 2≡} k'

_,

maka berdasarkan Teorema 3.4, order dari ' '(mod )

n ≡c n p adalah 2k'' dengan 'k' '<k . Jika 'k ' 0= , maka n' 1 mod≡

(

p

)

, dan dengan menggunakan persamaan (12), maka solusi dari _x2_≡a

(

_modp

)

_adalah

(

)

'mod

x≡ ±r p .

Jika n'≡1 mod p maka '

(

)

k' 1> , dan kondisi ini serupa dengan ketika pengulangan dimulai, sehingga pengulangan dilakukan kembali sampai solusi diperoleh.

Langkah penyelesaian untuk menentukan solusi dari kongruensi _x2 _≡a

(

_modp

)

Algoritma 2 (Algoritma RESSOL) : Mencari akar kuadrat modulo p prima ganjil. INPUT : Bilangan prima ganjil p dan

bilangan bulat a, 1 ≤ a ≤ p – 1. OUTPUT : Dua akar kuadrat a modulo p. 1. Hitung _a(p−1 2) _{dengan Kriteria Euleur.}

Jika _a(p−1 2) _{≡ −1 mod}

(

_p

)

_{maka a tidak}

mempunyai akar kuadrat modulo p dan proses berhenti .

Jika_a(p−1 2) _{≡1 mod}

(

_p

)

_{lanjut ke langkah}

2.

2. Cari k dan m, dengan m ganjil sehingga 1 2k

p− = m.

3. Hitung _{r a≡} (m+1 / 2)

(

_modp

)

_dan

(

mod

)

m

n a≡ p

.

4. Definisikan

_r2_≡an

(

_modp

)

_{…( i )}

Jika n≡1 mod

(

p

)

,

maka solusinya adalah x≡ ±r

(

modp

)

.

Jika n≡1 mod p , lanjut langkah 5.

(

)

5. Ambil *

p

z∈ secara acak yang nonresidu kuadratik, dan tetapkan

(

mod

)

m

c z≡ p

. Sehingga ord(c) = 2

k

_.

6. Dengan pengulangan kuadrat diperoleh ord(n) = ₂k'

_.

7. Tetapkan _{b ≡c}2k k− −'1

(

_modp

)

_,

(

)

' mod r ≡br p , _c'≡b2

(

_modp

)

_dan

(

)

' ' mod n ≡c n p dengan k'< k

8. Kalikan kedua ruas (i) dengan 'c .

Dengan demikian diperoleh

_r'2_≡an'mod

(

_p

)

_…(ii)

9. Jika n' 1 mod≡

(

p

)

, maka solusinya

adalah x≡ ±r'mod

(

p

)

.

Jika n'≡1 mod p , lakukan

(

)

pengulangan langkah (6) – (8), sampai diperoleh n' 1 mod≡

(

p

)

.

10. Solusinya adalah x≡ ±r'mod

(

p

)

.

Algoritma RESSOL adalah algoritma acak (randomized algorithm) karena langkah ke-5 mensyaratkan untuk memilih bilangan nonresidu kuadratik secara acak dalam *

p.

Dalam *

p, setengah dari anggotanya adalah non residu kuadratik sehingga pengambilan bilangan nonresidu kuadratik mempunyai peluang 1

2 dengan rata-rata pengambilan adalah 2 kali percobaan.

Algoritma RESSOL bukanlah algoritma

deterministic, tetapi prosedur perhitungannya

lebih praktis dan cepat.

Algoritma RESSOL mempunyai waktu eksekusi (running time) _{O((lg ) )p} 4 _bit operasi.

[Menezes, 1997] Contoh 2.

Tentukan solusi dari_x2_{≡13 mod 23}

(

)

_.

Jawab:

(23 1 2) 11

13 − _≡13 (mod 23) _{≡ 1 (mod 23).} Karena ₁₃(23 1 2−) _{≡ 1 (mod 23) maka}

(

)

2 _{13 mod 23} x ≡ mempunyai solusi. 23 – 1 = 22 = 1 2 .11 pilih k = 1 dan m = 11 (11 1 / 2) 13 (mod 23) r_≡ + _{≡13 (mod 23) 6 (mod 23)}6 _≡ Karena _r2 _{≡13 (mod 23)}12 11 13 .13 (mod 23) ≡

dengan _{n≡13 (mod 23) 1 (mod 23)}11 _≡ maka solusi dari _x2_{≡13 mod 23}

(

)

_adalah

6 (mod 23)

x≡ dan

6 (mod 23) 17 (mod 23)

x≡ − ≡

Jadi solusi dari _x2_{≡13 mod 23}

(

)

_{adalah 6}

Langkah-langkah dalam Algoritma RESSOL dapat dilihat melalui bagan berikut ini.

Algoritma RESSOL hanya dapat digunakan untuk mencari solusi dari

(

)

2 _mod

x ≡a p dengan p prima ganjil. Tetapi Algoritma RESSOL ini dapat dijadikan landasan untuk mencari solusi dari

(

)

2 _{mod ,}

x ≡a pq dengan p dan q prima ganjil, dan 2 _(mod j₎

x ≡a p , dengan p prima ganjil dan bilangan bulat j≥2.

Hitung _{r a≡} (m+1 / 2)

(

_modp

)

dan _{n a≡} m

(

mod_p

)

Tidak Tetapkan _{b ≡c}2k k− −'1

(

_modp

)

_,

(

)

' mod r ≡br p , _c'≡b2

(

_modp

)

_,

(

)

' ' mod n ≡c n p dengan k'< k Ya Selesai Tidak Ya Hitung (p1 2) _{(mod )} a − p Mulai

Bilangan prima ganjil p dan a∈

[

1,p− 1

]

Apakah (p1 2) _{1 mod}

₍

₎

a − _≡ p

(

)

2 _mod x ≡a p

tak punya solusi

Apakah

(

)

1 mod n≡ p Solusinya adalah

(

mod

)

x≡ ±r p

Misalkan z adalah bilangan nonresidu kuadratik yang diambil secara acak dalam *

p. Hitung _{c z≡} m

(

mod_p

)

Hitung

(

)

2 ' 'mod r ≡an p Apakah

(

)

' 1 mod n ≡ p Tidak Ya Solusinya adalah

(

)

'mod x≡ ±r p

(

)

2 _mod x ≡a p punya solusi

3.3 Mengkontruksi Algoritma untuk Mencari Solusi _x2_≡a

(

_modpq

)

_dengan

p dan q bilangan prima ganjil.

Untuk mencari solusi kongruensi

(

)

2 _{mod ,}

x ≡a pq dengan p dan q prima ganjil, diawali dengan mencari terlebih dahulu solusi dari _x2_≡a

(

_modp

)

_dan

(

)

2 _mod

x ≡a q menggunakan Algoritma RESSOL.

Misalkan _x2_≡a

(

_modp

)

_{mempunyai 2}

solusi, yaitu

x r≡

(

modp

)

...(14) x≡ −r

(

modp

)

...(15) Misalkan x2≡a

(

modq

)

mempunyai 2 solusi, yaitu

x s≡

(

modq

)

...(16) x≡ −s

(

modq

)

...(17) Kombinasi dari solusi (14), (15), (16), dan (17) menghasilkan 4 buah sistem kongruensi sebagai berikut :

(

)

(

)

( ) mod mod i x r p x s q ≡ ≡

(

)

(

)

( ) mod mod ii x r p x s q ≡ ≡ −

(

)

(

)

( ) mod mod iii x r p x s q ≡ − ≡

( ) (mod ) (mod ) iv x r p x s q ≡ − ≡ −

Dengan menggunakan Teorema Sisa Cina, sistem kongruensi (i), (ii), (iii) dan (iv) menghasilkan 4 solusi kongruensi dari

2 _{(mod )}

x ≡a pq

dan secara berurutan dapat dituliskan sebagai

(

)

1 ( )i x ≡u modpq ,

(

)

2 ( )ii x ≡v modpq ,

( )

iii x3≡ −u

(

modpq

)

,

(

)

4 ( )iv x ≡ −v modpq .

Keempat solusi ini merupakan solusi yang khas dari modulo pq.

Langkah penyelesaian untuk menentukan solusi dari kongruensi _x2_≡a

(

_modpq

)

dengan p dan q bilangan prima ganjil tersusun dalam algoritma berikut ini.

Algoritma 3 :

Mencari akar kuadrat modulo pq, dengan p dan q prima ganjil.

INPUT : Bilangan prima ganjil p dan q , dan 1 ≤ a ≤ pq – 1

OUTPUT : Empat akar kuadrat a modulo pq 1. Gunakan Algoritma RESSOL untuk mencari dua akar r dan –r yang merupakan solusi dari _x2_≡a

(

_modp

)

_.

2. Gunakan Algoritma RESSOL untuk mencari dua akar s dan –s yang merupakan solusi dari _x2_≡a

(

_modq

)

_.

3. Gunakan Algoritma Euclidean yang diperluas untuk mencari bilangan bulat c dan d sedemikian sehingga cp + dq = 1. 4. x≡(rdq scp+ )(modpq)

( )(mod )

y≡ rdq scp− pq

5. Solusinya

adalah±x(modpq)dan±y(modpq) Algoritma di atas mempunyai waktu eksekusi (running time) 3

((lg ) )

O p bit operasi. [Menezes, 1997] Contoh 3.

Tentukan solusi dari _x2_{≡71 mod 77}

(

)

_.

Jawab Karena 77 = 7 . 11 maka

(

)

2

₍

(

)

₎

2 2 71 mod 7 ...( ) 71 mod 77 71 mod 11 ...( ) x i x x ii ≡ ≡ ⇔ ≡ (i) _x2_{≡71 mod 7}

(

) (

_{≡1 mod 7}

)

solusiya adalah x≡ ±1 mod 7

(

)

(ii) _x2_{≡71 mod 11}

(

)

_{≡5 mod 11}

(

)

solusiya adalah x≡ ±4 mod 11

(

)

Bilangan bulat yang memenuhi persamaan 7c+11d = 1 adalah c = -3 dan d = 2.

x = 1.2.11 + 4.(-3).7 = -62 15 (mod 77) y = 1.2.11 - 4.(-3).7 = 106 29 (mod 77) -x = -15(mod 77) 48 (mod 77) -y = -29 (mod 77) 62 (mod 77)

Jadi 4 solusi dari _x2_{≡71 mod 77}

(

)

_yaitu

Langkah-langkah dalam Algoritma 3 dapat dilihat melalui bagan berikut ini.

Bagan 3. Algoritma mencari akar kuadrat modulo (pq), p dan q prima ganjil. 3.4 Mengkonstruksi Algoritma untuk

Mencari Solusi 2 _(mod j₎

x ≡a p dengan

p prima ganjil dan j 2.

Untuk mencari solusi dari 2

(mod j)

x ≡a p , dengan p prima dan j≥ , 2 dapat kita ubah bentuknya menjadi

2

0(mod j)

x − ≡a p . Kita misalkan f fungsi polinom dengan koefisien bilangan

bulat, 2

( )

f x =x − . Untuk mencari solusi a

dari polinom ( ) 0(mod j)

f x ≡ p … (18), kita mulai dari solusi modulo p, kemudian p2_, p3_{, sampai} j

p .

Misalkan x c= adalah sebuah solusi untuk ( ) 0(mod j)

f x ≡ p maka kita bisa

mencari solusi dari 1

( ) 0(mod j ) f x p + ≡ . Solusi dari 1 ( ) 0(mod j ) f x _≡ p+ _berbentuk j

x c tp= + , dengan t adalah suatu bilangan bulat yang dapat kita cari menggunakan deret Taylor’s 2 2 3 3 ( ) ''( ) ( ) ( ) '( ) 2! '''( ) ( ) . . . 3! ! j j j j n nj n t p f c f c tp f c tp f c t p f c t p f c n + = + + + + + +

dimana n adalah derajat/pangkat dari fungsi polinom f x . Karena ( ) 2

( )

f x =x − a

polinom berderajat 2 dalam modulus j1

p + _, maka deret Taylor’s tersebut menjadi

1 ( j) ( ) j '( ) (mod j ) f c tp f c tp f c p+ + = +

.

Karena 1 ( j) 0(mod j ) f c tp p + + ≡ maka

persamaan diatas dapat kita ubah menjadi 1 ( ) j '( ) 0 (mod j ) f a ₊tp f c _≡ p + . Karena ( ) 0(mod j) f x ≡ p mempunyai solusi

x c= maka kita dapatkan ( ) '( ) f c_j (mod )

tf c p

p

≡ − … (19) yang merupakan persamaan linear dalam t. Persamaan (19) mungkin tidak mempunyai solusi, mempunyai solusi tunggal atau mempunyai p solusi. Jika 'f c( ) 0(mod )≡/ p

maka persamaan tersebut mempunyai tepat satu solusi.

Solusi dari persamaan (18) dapat ditentukan dengan menggunakan Lemma Hensel’s.

Lemma Hensel’s :

Misalkan ( )f x adalah fungsi polinom dengan

koefisien-koefisiennya bilangan bulat dan p prima. Jika ( ) 0(mod j)

f c ≡ p dan

'( ) 0(mod )

f c ≡/ p maka ada bilangan bulat t (mod )p yang tunggal sedemikian sehingga

1 ( j) 0(mod j )

f c tp_{+ ≡} p+

.

[Niven, 1991] Mencari bilangan bulat c

dan d sehingga cp + dq = 1 Ya Selesai Ya Tidak Tidak Mulai RESSOL [ , ]a p RESSOL[ , ]a q

Bilangan prima p dan q, dan a∈[1,pq− 1]

Apakah

ada solusi ada solusi Apakah

(

mod

)

x r≡ p

(

mod

)

x≡ −r p

(

mod

)

x s≡ q

(

mod

)

x≡ −s q Solusinya adalah (mod ) (mod ) x n y n ± ±

(

)

( ) mod x≡ rdq scp+ n

(

)

( ) mod y≡ rdq scp− n

Bukti dari Lemma Hensel’s tidak dicantumkan karena di luar jangkauan pembahasan.

Jika f c'( ) 0(mod )p dan ( ) 0(mod j)

f c ≡ p maka bilangan bulat c disebut akar nonsingular. Jika

'( )

f c 0(mod )p dan f c'( ) 0(mod )≡ p

maka c disebut akar singular.

Dari Lemma Hensel’s kita lihat bahwa sebuah akar nonsingular c(mod )p

menghasilkan sebuah akar 2 2(mod )

c p .

Karena c₂≡c(mod )p maka 2

'( ) '( ) 0(mod )

f c ≡ f c ≡/ p . Dari akar 2

2(mod )

c p akan dihasilkan sebuah akar 3

3(mod )

c p dan seterusnya sehingga mendapatkan akar (mod j)

j

c p .

Dari persamaan (19) diperoleh sebuah persamaan rekursif untuk mencari solusi yaitu

(

)

1 1 ( ) '( ) j j j c+ c f c f r − = − ,

dengan

(

f r'( )

)

−1 adalah sebuah bilangan bulat sedemikian sehingga

(

)

1

'( ) '( ) 1(mod )

f c f r − ≡ p .

Contoh 4.

Tentukan solusi dari _x2_{≡5(mod11 )}3 _.

Jawab : 2 3 2 3 5(mod11 ) 5 0(mod11 ) x ≡ ⇔x − ≡ Solusi dari 2 5 0(mod11) x − ≡ adalah x = ±4 (mengunakan Algoritma RESSOL)

2

( ) 5 '( ) 2

f x =x − f x = x

'(4) 8 0(mod11)

f ≡ ≡/

Karena 'f (4) 0(mod11)≡/ maka 4 adalah akar

nonsingular. '(4) 8 7(mod11) f =

≡

2 1 (4) '(4) 4 11.7 c = −c f f = − _{= − ≡73 48(mod11 )}2 3 2 (48) '(4) 48 2299.7 c =c − f f = − _{= −16045 1258(mod11 )≡} 3

Solusi dari _x2_{≡5(mod11 )}3 _adalah

3 1258(mod11 ) x≡ ± yaitu x=1258 dan 73 x= . Jika ( ) 0(mod j) f c ≡ p dan '( ) 0(mod )

f c ≡ p maka berdasarkan deret Taylor, ₍ j_{) ( )(mod} j1₎

f c tp f a p +

+ ≡ untuk

semua bilangan bulat t.

Kemudian jika _{( ) 0(mod} j1₎

f c p+

≡ maka ₍ j_{) 0(mod} j1₎

f c tp_{+ ≡} p+ _{, sehingga}

sebuah akar (mod j)

c p akan menghasilkan p

buah akar _(mod j1₎

p+ _{. Tetapi jika} 1

( ) 0(mod j )

f c _≡/ p+ _{maka tidak ada solusi} untuk _(mod j1₎

p+ . Contoh 5.

Tentukan solusi dari _x2_{≡9(mod 27).} Jawab :

2 _{9(mod 27)} 2 _{9 0(mod 3 )}3

x ≡ ⇔x − ≡

Solusi dari _x2_{− ≡9 0(mod 3) adalah x = 0.} 2

( ) 9 '( ) 2

f x =x − f x = x

'(0) 0(mod 3)

f ≡

Karena 'f (0) 0(mod 3)≡ maka 0 adalah akar singular.

2 (0) 9 0(mod 3 )

f = − ≡ , maka solusi mod 9 adalah x = 0, x = 0 + 3 = 3, x = 3 + 3 = 6

3 (0) 9 0(mod 3 )

f = − ≡/ , maka tak ada solusi mod 27

3 (3) 0(mod 3 )

f ≡ , maka solusi mod 27 adalah x = 3, x = 3 + 9 = 12, x = 12 + 9 = 21

3 (6) 27 0(mod 3 )

f = ≡ , maka solusi mod 27 adalah x = 6, x = 6 + 9 = 15, x = 15 + 9 = 24.

Jadi solusi dari _x2_{≡9(mod 27) adalah x = 3,}

x = 6, x = 12, x = 15, x = 21 dan x = 24.

Langkah penyelesaian untuk menentukan solusi dari kongruensi _x2 _≡a

(

_modpj

)

dengan p bilangan prima ganjil dan bilangan bulat j≥ tersusun dalam algoritma berikut 2 ini.

Algoritma 4 :

Mencari akar kuadrat modulo j

p , dengan p

prima ganjil dan bilangan bulatj≥ . 2 INPUT : Bilangan prima ganjil p , bilangan bulat j≥ dan 12 ≤ ≤a pj− 1 OUTPUT : Dua akar kuadrat a modulo j

p .

1. Gunakan Algoritma RESSOL untuk mencari dua akar r dan –r yang merupakan solusi dari x2≡a

(

modp

)

. 2. Tetapkan _{f x( )=x}2_{− dan '( ) 2a f x = x} 3. Jika '( ) 0(mod )f r ≡/ p , tentukan

dan

(

1 ( 1) '( ) (mod1

)

) j

j j j

r = r₋ −f r₋ f r p

dengan r₁= . r Solusinya dari

(

)

2 _mod j

x ≡a p adalah (mod j)

j

x= ±r p .

Jika 'f r( ) 0(mod )≡ p lanjut ke langkah 4.

4. Untuk k=2, 3,...,j− berlaku jika 1

)

( ) 0(mod k

f r ≡ p maka x r tp≡ + k dengan t=1, 2, 3,...,p merupakan solusi dari x2≡a(modpk+1).

Jika f r( ) 0(mod≡/ pk) maka tak ada solusi dari x2≡a(modpk+1).

Langkah-langkah dalam Algoritma 4 dapat dilihat melalui bagan berikut ini.

Ya

Tak ada solusi dari _x2_≡a(modpk+1₎ Selesai Tidak Apakah '( ) 0(mod ) f r ≡ p Solusinya adalah (mod j) j x≡ ±r p Tetapkan _{f x( )=x}2_−a dan 'f x( ) 2= x RESSOL [ , ]a p Mulai

Bilangan prima ganjil p, 2

j≥ dana∈[1,p− 1]

Ya Apakah

ada solusi x r_x≡_{≡ −}

(

_rmod

₍

_modp

)

_p

₎

Hitung _{( 'f r( ))}−1_dan

(

1

)

1 ( 1)( '( )) (mod ) j j j j r r f r f r − p − − = − dengan r1= . r Hitung f r( )(modp k) untuk k =2, 3,...,j− 1 Apakah ) ( ) 0(mod k f r ≡ p Tidak Ya xt ≡ +r tpk dengan t=1, 2, 3,...,p adalah Solusi dari _x2_≡a(mod_pk+1) Tidak

Bagan 4. Algoritma mencari akar kuadrat mod_{p , dengan p prima ganjil dan} j _{j≥ . 2}

(

)

1

'( )

3.5 Membandingkan waktu eksekusi Algoritma 1 dengan Algoritma RESSOL yang terkait bilangan besar. Pada bagian ini akan dibandingkan waktu eksekusi Algoritma 1 dengan Algoritma RESSOL. Implementasi dari Algoritma 1 dan Algoritma RESSOL menggunakan perangkat lunak Mathematica 5.2 dapat dilihat di lampiran.

Tabel 1 adalah waktu eksekusi dari Algoritma 1 dan Algoritma RESSOL menggunakan perangkat lunak Mahtematica 5.2. Nilai p adalah bilangan prima yang ditentukan terlebih dahulu, sedangkan a adalah bilangan bulat positif yang diambil secara acak dalam *

p.

Tabel 1. Waktu Eksekusi Algoritma 1 dan Algoritma RESSOL

Waktu Eksekusi (detik)*

p a Algoritma 1 Algoritma RESSOL 25 0,0015 0,0015 97 89 0,0016 0,0016 507 0,0031 0,0031 377 0,0024 0,0024 541 64 0,0021 0,0021 149 0,0047 0,0047 77 0,0024 0,0024 997 694 0,0069 0,0069 3095 0,0098 0,0098 1548 0,0081 0,0081 3571 814 0,0076 0,0076 979 0,0151 0,0015 3962 0,0162 0,0016 1271 0,0153 0,0031 7919 5858 0,0204 0,0024 5274 0,0315 0,0021 7087 0,0316 0,0047 11012 0,0167 0,0024 4355 0,0318 0,0069 12553 8836 0,0319 0,0098 14229 0,2048 0,0081 35517 0.2817 0,0076 76305 0,1566 0,0098 49617 0,2505 0,0081 1630 0,2664 0,0076 104729 44704 0,2813 0,0069 592085 0,6092 0,0015 467495 1,6251 0,0016 231000 0,5782 0,0031 96620 1,3753 0,0024 136341 0,8444 0,0021 399632 1,2815 0,0047 611953 541897 0,6256 0,0024 328426 1,2657 0,0069 671944 2,1888 0,0098 231057 1,4539 0,0081 601890 3,8138 0,0076 825496 1,2037 0,0015 290150 3,8286 0,0016 1299709 291949 2,7545 0,0031 3090665 22,0474 0,0024 5210769 42,5473 0,0021 14621620 26,8592 0,0047 14141212 13,9061 0,0024 12920893 31,9062 0,0069 5871391 37,2353 0,0098 15485863 9473376 15,9844 0,0021 Dari data Tabel 1 dapat diambil kesimpulan bahwa waktu eksekusi Algoritma RESSOL lebih cepat dibandingkan Algoritma 1.

Algoritma 1 tidak efisien untuk nilai p yang besar yaitu p > 1.000.000, sedangkan Algoritma RESSOL lebih efisien untuk nilai p yang besar.

Berdasarkan hasil percobaan (Tabel 2), Algoritma RESSOL masih dapat digunakan untuk mencari solusi _x2_{≡a(mod )p untuk} nilai p yang sangat besar, yaitu p =

29.996.224.275.833.

Tabel 2. Waktu Eksekusi Algoritma RESSOL

p a Eksekusi Waktu (detik)* 424613597121 0,0159 10878246026665 0,0178 5887477973699 0,0167 20786675373559 0,0206 1574940209207 0,0185 5641355712333 0,0194 10073237724502 0,0153 27504498309348 0,0212 7273523082800 0,0143 29996224275833 18488184417987 0,0134 *)menggunakan komputer P4 3,0GHz 512MB