SMA / MA IPA Mata Pelajaran : Matematika

(1)

www.ujiannasional.web.id

Konsep yang berkaitan dengan :

Ringkasan Teori Ujian Nasional 2011

Sekolah Menengah Atas / Madrasah Aliyah IPA

SMA / MA IPA

Mata Pelajaran : Matematika

Barisan dan Deret

Un = Sn S− n−1 untuk n = 2, 3, 4, …

a = U = S1 1

Ciri barisan : Selisih dua suku yang berurutan konstan Un − Un−1 = konstan, dengan n = 2, 3, 4, …

Nilai konstan ini dinotasikan dengan b (beda). a = suku pertama barisan ; b = beda barisan Barisannya: a, a + b, a + 2b , a + 3b, …, a + (n − 1)b, …

Un aritmatika dapat ditulis sebagai fungsi linier dari n, yaitu

U_n = b n + c ; b = beda, c suatu konstanta

S_n aritmatika dapat ditulis sebagai fungsi kuadrat tanpa konstanta tetap dari n , yaitu … Sn = ₂b n

2_{+ d n ; b = beda, d suatu konstanta}

Rumus Jumlah n suku pertama barisan aritmatika ( S_n) 1. Sn =

Rumus barisan : Un = a + (n 1) b, dengan n = 1, 2, 3, …−

2

1_{n ( 2a + (n − 1) b )}

2. Sn = ₂1 n ( a + Un )

3. Sn = n Ut , dimana banyak suku ( baca : n )

ganjil dan Ut suku tengah atau Ut =₂1 ( a + Un )

Ciri barisan : Hasil bagi dua suku yang berurutan konstan 1

n n

UU₋ = konstan, dengan n = 2, 3, 4, …

Nilai konstan ini biasanya dinotasikan dengan r (rasio). Rumus ba risan : Un = a rn

−1_{, dengan n = 1,2, 3, …}

a = suku pertama barisan dan r = rasio ba risan

Rumus Jumlah n suku pertama barisan aritmatika ( Sn )

n S = a 1₁ r_rn − − _atau_{S = a}_n 1 r 1 rn −−

Dapat ditulis S = d − d n r ; d suatu konstanta, r = rasio barisann

Notasi : S∞ = _→_∞

nlim = U1 + U2 + U3 + U4 + …

Ada dua kemungkinan hasil dari S∞, yaitu …

Untuk | r | < 1, berlaku

disebut deret konvergen Untuk | r | > 1, berlaku

disebut deret divergen

∞

S = ± ∞ S∞ = ₁a₋_r

(2)

www.ujiannasional.web.id

Persamaan kuadrat,

Bentuk umum persamaan dibawah ini disebut persamaan kuadrat.

a x2 + bx + c = 0 dengan a,b,c real dan a ≠ 0

Penyelesaian suatu persamaan disebut juga dengan akar. Ada 3 cara mencari akar persamaan kuadrat, yaitu dengan memfaktorkan, dengan melengkapi kuadrat sempurna dari bentuk umum dan dengan rumus a b c. Persisnya cara rumus abc adalah …

x1 dan x2 akar ax2 + bx + c = 0 D = b2_{− 4ac} D disebut diskriminan x1,2 = a 2 D b± − S I F A T O P E R A S I A K A R Sifat jumlah a b x x1+ 2 =− Sifat kali a c x . x1 2 = Sifat penguarangan a D x x1− 2 =±

Beberapa bentuk rumus yang dinyatakan dengan sifat diatas

1. Jumlah kuadrat akar-akar x1 2 + x2 2 = (x1 + x2) 2_{− 2x} 1 x2

2. Jumlah pangkat tiga akar-akar x1 3 + x2 3 = (x1 + x2) 3_{− 3x} 1 x2 (x1 + x2)

(3)

www.ujiannasional.web.id

3. kuadrat selisih akar-akar (x1 − x2) 2 = ₂ a D _(x 1 − x2) 2 = (x1 + x2) 2_{− 4x} 1 x2

4. selisih kuadrat akar-akar x1

2_{− x} 2

2

= (x1 + x2) (x1 − x2)

5. jumlah kebalikan akar-akar

1 x1 + x1₂ = x1₁x₂2 x x + x1,2 = −b₂±_aD D < 0 Kedua akar tidak real

D > 0 Kedua akar real

berbeda D ≥ 0

Kedua akar real

D = 0 Akar kembar

Kedua akarnya real positif, jika

1. D ≥ 0 2. x1 + x2 > 0

3. x1 x2 > 0

Kedua akarnya real negatif, jika

1. D ≥ 0 2. x1 + x2 < 0

3. x1 x2 > 0

Kedua akar berbeda tanda, jika 1. D > 0

2. x1 x2 < 0

Akar berlawanan tanda

(4)

www.ujiannasional.web.id

Akar berkebalikan ( baca x1 = 2 x1 ) ⇔ x1 x2 = 1 ⇔ c = 1

Kedua akar rasional D = k2 dimana a, b, c dan k bilangan rasional.

Menyusun persamaan kuadrat baru

Persamaan kuadrat dengan akar-akar z dan 1 z adalah 2 x2_{− (}

1

z +z ) x + 2 z1 z = 0 2

Matriks,

Bentuk umum suatu matriks adalah :

A = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ mn 2 m 1 m n 2 22 21 n 1 12 11 a :::: a a:: :: :::: :: a :::: a aa a :::: a

Matriks A diatas memuat m baris dan n kolom, disebut berordo m x n.

Transpos suatu matriks

Transpose suatu matriks A ditulis At adalah matriks dengan menukar elemen-elemen pada baris A dengan elemen-elemen pada kolomnya

Kesamaan dua matriks

A = B ⇔ 1. Ordo A = Ordo B

2. elemen-elemen yang seletak nilainya

Operasi Jumlah

C = A + B ⇔ 1. Ordo C = Ordo A = Ordo B

2. ci,j = ai,j + bi,j; i ∈ baris dan j ∈ kolom

Sifat operasi penjumlahan

1. Komutatif : A + B = B + A

2. Asosiatif : (A + B ) + C = A + (B + C) 3. Ada matriks 0 sehingga A + 0 = 0 + A = A 4. Ada matriks −A sehingga A + (−A) = 0 5. (A+ B)t = At + Bt

Definisi A − B = A + (−B)

(5)

www.ujiannasional.web.id

Matriks −A diperoleh dengan mengalikan setiap elemen A dengan −1.

Perkalian dengan konstanta

C = k A ⇔

1. k bilangan real, A dan C matriks berordo sama 2. ci,j = k ai,j; i ∈ baris dan j ∈ kolom

Sifat perkalian dengan konstanta

p dan q bilangan real, A dan B matriks, maka 1. (p + q) A = p A + q A 2. p ( A + B) = p A + p B 3. p (q A ) = ( p q) A Operasi Kali C = A B ⇔ 1. Cm x n = Amxp Bpxn 2. cij= ai1b1j+ai2 b2j+ … +aip bpj Sifat-sifat operasi kali

1. Tidak komutatif: A B ≠ B A 2. Asosiatif: ( A B ) C = A (B C) 3. Distributif A (B + C) = A B + AC

4. Ada I matriks Identitas sehingga A I = I A = A 5. Jika A B = 0 maka belum tentu A = 0 atau B = 0 6. Jika A B = A C maka belum tentu B = C

7. ( A . B )t

= Bt At

Catatan Matriks Identitas adalah matriks ordo n x n (atau bujursangkar) yang semua elemen

diagonal a11 = a22 = …= ann = 1 dan elemen lainnya nol

Determinan

Determinan matriks A ditulis sebagai det(A) atau ⏐A⏐. 1. A = ⎜_⎝⎛ ⎟_⎠⎞ ⇒ ⏐A⏐ = a 22 21 12 11 a aa a 11 a22 − a12 a21 2. A = ⇒ ⏐A⏐=a ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a aa a a 11 33 32 23 22 a a a a −a12 33 31 23 21 a a a a +a13 32 31 22 21 a a a a

Cara lain adalah dengan metode Sorrus ⏐A⏐ = 32 31 22 21 12 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a a a a a a a = (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32) − (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32) Sifat

(6)

www.ujiannasional.web.id

1. det (A B) = det(A) det (B) 2. det (A + B) ≠ det(A) + det(B) 3. A ordo nxn ⇒ det(k A) = kn

det(A) 4. det (At) = det(A)

det ( A−1 ) = _det1_A

Invers Matriks

Invers dari matriks A ditulis A−1 dan didefinisikan sebagai berikut⏐ A−1 invers A ⇔ 1. A matriks ordo n x n

2. A A−1 = A−1 A = I A = _⎟⎟ ⇒ A ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ d c b a ₋₁ = A1 _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − a c b d

Sifat Invers matriks

1. A = B−1 ⇔ B = A−1 2. (A−1)−1 = A 3. (A B )−1_{= B}−1_A−1 4. A B = C ⇒ A = C B−1 5. A B = C ⇒ B = A−1 C

Ketiga kalimat berikut mempunyai pengertian sama 1. A singular

2. A tidak punya invers 3. det A = 0

Vektor,

Vektor adalah besaran yang mempunyai arah. Dilukiskan sebagai panah.

Vektor dengan titik pangkal A(ax,ay, az) dan titik ujung B(bx, by, bz) dinotasikan dengan

⎯→ AB. AB⎯→= ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − z z y y x x a b a b a b A ( ax, ay, az) B (ax, ay, az)

cara menuliskan vektor, yaitu … → a= = (a ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 3 2 1 a a a 1, a2, a3) = a1 iˆ + a2 + ajˆ 3kˆ Misalkan →a = (a1, a2, a3)

Notasi : |→a| (baca panjang vektor →a) Definisi : |→a| = 32 2 2 2 1 a a a + +

(7)

www.ujiannasional.web.id

Vektor dengan titik pangkal O(0, 0, 0) disebut vektor posisi Perhatikan gambar x z A B y O →

a = OA⎯→ adalah vektor posisi titik A →

b = OB⎯→ adalah vektor posisi titik B Maka ⎯→AB = −

→

b →a

Ciri vektor adalah panjang dan arah vektor tersebut . Sebuah vektor tidak tergantung pangkal dan ujungnya, boleh digeser selama tidak merubah arah dan panjangnya

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ₌ ⇔ = sama b arah dan a arah b a b a _ρ ρ ρ ρ ρ ρ

operasi pada vektor Secara analitik (aljabar) Misalkan →a = (a1, a2, a3), = (b → b 1, b2, b3) → , k bilangan real a Maka →a + = (a → b 1 + b1, a2 + b2, a3 + b3) k →a = (k a1, k a2, k a3)

operasi pada vektor Secara geometri

Titik pangkal →

a dan

→

b harus

sama. Lukiskan jajaran genjang.

→

a +

→

b adalah vektor diagonal.

Aturan Jajaran Genjang

→ a → b → a + →b Ujung → a menjadi pangkal →b → a + → b = ⎯→ PQ + ⎯→ QR = ⎯→ PR A t u r a n S e g i t i g a → a + → b → a P Q R → b

Berikut ini adalah sifat-sifat penjumlahan vektor 1. Komutatif : →a + →b = →b + →a 2. Assosiatif: (→a + →b) +→C= + ( → + ) → a b →C

3. Ada unsur identitas yaitu →0= (0, 0, 0) sehingga →a + →0 = →0 + →a = →a

4. Ada vektor − sehingga + (− ) = →a →a →a →0

Vektor →0 dapat dilukiskan sebagai sebuah titik. Vektor tidak mempunyai arah. → 0

Statistika,

Ukuran Pemusatan

1. Rata-rata (Mean) n x x=

∑

i

2. Median = nilai tengah setelah data diurutkan 3. Modus = nilai yang paling sering muncul

(8)

www.ujiannasional.web.id

4. Kuartil = nilai perempat setelah data diurutkan Q1 = kuartil bawah Q2 = median Q3 = kuartil atas

Jika seluruh data dikali dengan n maka ukuran pemusatan akan dikali n Jika seluruh data dibagi dengan n maka ukuran pemusatan akan dibagi n Jika seluruh data ditambah dengan n maka ukuran pemusatan akan ditambah n Jika seluruh data dikurang dengan n maka ukuran pemusatan akan dikurang n

Ukuran Penyebaran

1. Jangkauan = data terbesar – data terkecil 2. simpangan rata-rata = n x xi

∑

− 3. simpangan baku = n ) x x ( _i 2

∑

− 4. jangkauan kuartil = Q3 – Q1 5. simpangan kuartil = ₂1_{( Q} 3 – Q1)

Jika seluruh data dikali dengan n maka ukuran penyebaran akan dikali n Jika seluruh data dibagi dengan n maka ukuran penyebaran akan dibagi n Jika seluruh data ditambah dengan n maka ukuran penyebaran tidak berubah Jika seluruh data dikurang dengan n maka ukuran penyebaran tidak berubah

Data Berkelompok

∑

₌ ₊ = f d . f x f x . f x i i s i i I d d d T Modus 2 1 1 b ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + = M k 2 1 b f f n T Median ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ + = 1 Q k 4 1 b 1 f f n T Q ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ + = 3 Q k 4 3 b 3 f f n T Q

Limit

(9)

www.ujiannasional.web.id

a

xlim→

f(x) = L artinya nilai f(x) akan mendekati L untuk nilai x mendekati a.

Fungsi f(x) kontinu di x = a jika f(x) = f(a)

a x lim

→

Berikut sedikit ilustrasi tentang masalah limit dan kekontinuan suatu fungsi. Bisa kita lihat, nilai f(x) belum tentu sama dengan nilai f(a).

a x Lim → a x Lim → f(x) = L f(a) = L f(x) kontinu di a a L a x Lim → f(x) tidak ada

f(a) tidak terdefinisi f(x) tidak kontinu di a a a x Lim → f(x) = L

f(a) tidak terdefinisi f(x) tidak kontinu di a

a L

Operasi pada limit

1. [ f(x) + g(x) ] = f(x) + g(x) 4. [ f(x) ⋅ g(x) ] = f(x) ⋅ g(x)

a x

Lim

→ xLim→a Limx→a Limx→a xLim→a xLim→a

2. [ f(x) − g(x) ] = f(x) − g(x) 5.

a x

Lim

→ xLim→a xLim→a xLim→a g(x) f(x)₌ g(x) Lim f(x) Lim a x a x → → _{, dengan} _{g(x) ≠ 0} a xLim→

3. [ C f(x) ] = C

f(x), C konstanta

6. [ f(x) ]

a x Lim → xLim→a Limx→a n

= [

f(x)]

a x Lim → n

Bentuk tak tentu Bentuk ₀0_,

∞ ∞ _{,∞ − ∞, 0 ⋅ ∞} Limit bentuk ₀0 Bentuk a x Lim → g(x)

f(x)_{dimana f(a) = 0 dan g(a) = 0 desebut bentuk}

0

0_{. Bentuk ini diselesaikan dengan}

cara …

Metode pencoretan: f(x) dan g(x) akan mempunyai faktor yang sama, bentuk ini

diselesaikan dengan pencoretan faktor yang sama tersebut.

Metode L’hopital Limit bentuk _∞∞ Limit bentuk ∞ − ∞ ∞ → x lim

0 1 m 1 m m m 0 1 n 1 n n n b ... x b x b a ... x a x a + + + + + + − − − −

=

m n Untuk m n Untuk 0 m n Untuk b a n n > ∞ < = a xlim→ g(x) ) x ( f _bentuk 0 0_maka a xlim→ g(x) ) x ( f ₌ a xlim→ g(x) ) x ( f ′ ′ Bentuk umum : ∞ → xLim f(x) − g(x)

Cara penyelesaian :

(10)

www.ujiannasional.web.id

Kalikan dengan bentuk sekawan (Baca :

f(x)

+

g(x)

)

∞ → xLim f(x)

−

g(x) f(x) g(x) g(x) f(x) + +

₌

∞ → xLim f(x) g(x) g(x) f(x) + −

menjadi bentuk _∞∞ . Selesaikan _∞∞ (Lihat sebelumnya)

∞ → xLim ax bx c 2 1 + +

−

a2x2+px+q

=

1. a 2 p b−

_{untuk a = a}

1

= a

2 2.

∞ untuk a

1

> a

2 3.

−∞ untuk a

1

< a

2 ∞ → xLim n n n 1 ... bx ax + − + −naxn +pxn−1+... = n n 1 a n p b − − Limit fungsi trigonometri Untuk ξ → 0 Nilai dari

sin ξ ≅ ξ sec ξ ≅ 1 + ₂1_ξ2 _{tan ξ − sin ξ ≅}

2 1_ξ3