UKURAN GEJALA PUSAT &

UKURAN GEJALA PUSAT

&

UKURAN LETAK

UKURAN LETAK

UKURAN GEJALA PUSAT & LETAK

• Untuk mendapatkan gambaran yang jelas mengenai suatu populasi atau sampel

• Ukuran yang merupakan wakil kumpulan data mengenai populasi atau sampel

Ukuran gejala pusat : Ukuran letak : • Rata-rata/rata-rata hitung • Rata-rata ukur • Rata-rata harmonis • Modus • Median • Kuartil • Desil • Persentil Catatan:

• Ukuran yang dihitung dari data dalam sampel disebut Statistik

Rata-rata Hitung

Rumus untuk menentukan rata-rata hitung

( )

_X

:

n

x

x

x

X

=

1

+

2

+

...

+

n

n

x

X

n i i

∑

=

=

1 atau

dalam bentuk sederhana:

_X

=

∑

x

i

dalam bentuk sederhana:

n

X

=

∑

i

Contoh :

_{Nilai ujian dari lima mahasiswa untuk mata kuliah statistika} adalah : 70,69,45,80, dan 56. Hitung rata-rata nilai kelima mahasiswa tersebut!

64

5

56

80

45

69

70

=

+

+

+

+

=

X

Bila x_i menyatakan nilai data, dan f_i menyatakan frekuensi untuk nilai x_i yang bersesuaian, maka:

∑

∑

=

i i i

f

x

f

X

Contoh :

X_i f_i 70 69 5 6 X_i f_i X_if_i 70 69 45 5 6 3 350 414 135

(

) (

) (

) (

) (

)

₆₄

_,

₆₈₇₅

16

1035

1

1

3

6

5

56

1

80

1

45

3

69

6

70

5

=

=

+

+

+

+

+

+

+

+

=

x

x

x

x

x

X

69 45 80 56 6 3 1 1 45 80 56 3 1 1 135 80 56 Jumlah 16 1035

6875

,

64

16

1035

=

=

=

∑

∑

i i i

f

x

f

X

Rata-rata Gabungan

Rata-rata gabungan dari k buah sampel dihitung dengan rumus:

∑

∑

=

i i i

n

x

n

X

Contoh :

_{Tiga sampel masing-masing berukuran 10, 6, dan 8.}

Sedangkan rat-ratanya masing-masing 145, 118, dan 162. Hitung rata-rata gabungannya!

(

) (

) (

)

₁₄₃

_,

_9166667

24

3454

8

6

10

162

8

118

6

145

10

=

=

+

+

+

+

=

x

x

x

X

Data yang disusun dalam daftar distribusi frekuensi

∑

∑

=

i i i

f

x

f

Contoh :

Nilai f_i X_i f_iX_i

31-40 2 35,5 71

Data yang disusun dalam daftar distribusi frekuensi

∑

∑

=

i i i

f

x

f

X

Rata-rata Gabungan

31-40 41-50 51-60 61-70 71-80 81-90 91-100 2 3 5 14 24 20 12 35,5 45,5 55,5 65,5 75,5 85,5 95,5 71 136,5 277,5 917 1812 1710 1146 Jumlah 80 6070

875

,

75

80

6070

=

=

X

Cara 2 : Cara Coding/Cara Singkat

• Ambil salah satu tanda kelas (X_o) • Harga Xo diberi nilai C = 0

• Tanda kelas > Xo berturut-turut diberi nilai C=+1, C=+2, dst • Tanda kelas < Xo berturut-turut diberi nilai C=-1, C=-2, dst Jika panjang kelas interval (p)













+

=

∑

∑

i i

f

c

f

p

x

X

₀

_



Xo = mean duga, kelas interval yang memiliki _{frekuensi terbesar}









+

=

∑

f

i

p

x

X

_{0 frekuensi terbesar} Nilai f_i C_i f_iX_i 31-40 41-50 51-60 61-70 71-80 81-90 91-100 2 3 5 14 24 20 12 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 -8 -9 -10 -14 0 +20 +24 Jumlah 80 +3

875

,

75

375

,

0

5

,

75

80

3

10

5

,

75

0

=

+

=













+

=

















+

=

∑

∑

X

X

X

f

c

f

p

x

X

i i i

Rata-rata Ukur

Jika kita memiliki perbandingan tetap atau hampir tetap, maka rata-rata ukur U didefinisikan sebagai: n n

x

x

x

x

U

=

₁

.

₂

.

₃

...

Contoh :

_{Hitung rata-rata ukur untuk data x1 = 2, x2=4 dan x3=8}

4

8

.

4

.

2

3

=

=

U

=

2

.

4

.

8

=

4

U

Untuk bilangan-bilangan bernilai besar:

n

x

U

=

∑

log

i

log

(

)

(

)

4

6021

,

0

9031

,

0

6021

,

0

3010

,

0

3

1

8

log

4

log

2

log

3

1

log

=

=

+

+

=

+

+

=

U

U

Untuk fenomena bersifat tumbuh (pertumbuhan penduduk, bakteri, dll), digunakan rata-rata ukur:

Contoh :

_{Penduduk Indonesia pada akhir tahun 1946 ada 60 juta,} akhir tahun 1956 ada 78 juta. Berapa rata-rata

pertumbuhan penduduk setiap tahun?

t t

x

p

P













+

=

100

1

0

P_o = Keadaan awal atau permulaan P_t = keadaan akhir

t = Satuan waktu yang digunakan

waktu

satuan

setiap

n

pertumbuha

rata

Rata

x

=

−

pertumbuhan penduduk setiap tahun? P_o = 60 juta P_t = 78 juta t = 10 tahun 10 6 6

100

1

10

60

10

78













+

=

x

x

x

t t

x

p

P













+

=

100

1

0













+

+

=

100

1

log

10

60

log

78

log

x

67

,

2

=

Contoh : Data nilai 80 Mahasiswa

Nilai f_i X_i log X_i f_ilog X_i

31-40 2 35,5 1,5502 3,1004

Data yang disusun dalam daftar distribusi frekuensi

(

)

∑

∑

=

i i i

f

x

f

U

log

log

8712

,

1

80

6923

,

149

log

=

=

U

Rata-rata Ukur

31-40 41-50 51-60 61-70 71-80 81-90 91-100 2 3 5 14 24 20 12 35,5 45,5 55,5 65,5 75,5 85,5 95,5 1,5502 1,6580 1,7443 1,8162 1,8779 1,9320 1,9800 3,1004 4,9740 8,7215 25,4268 45,0696 38,6400 23,7600 Jumlah 80 - - 149,6923

3361

,

74

8712

,

1

=

=

U

Rata-rata Harmonis (H)

Rata-rata harmonis dari data x₁,x₂, …,x_n dalam sebuah sampel berukuran n, adalah:

∑

=

i

x

n

H

1

Contoh :

_{Hitung rata-rata harmonis untuk data 3, 5,6,6,7,10, dan 12}

87

,

5

1

1

1

1

1

1

1

7

=

+

+

+

+

+

+

=

H

Ahmad bepergian pulang pergi. Waktu pergi melakukan kecepatan 10 km/jam, sedangkan waktu kembalinya 20 km/jam. Berapa rata-rata kecepatan pulang pergi Ahmad?

12

1

10

1

7

1

6

1

6

1

5

1

3

1

+

+

+

+

+

+

jam

km

H

/

3

1

13

20

1

10

1

2

=

+

=

Data dalam daftar distribusi frekuensi;

∑

∑

=

i i

x

f

f

H

Contoh :

Nilai f_i x_i f_i/x_i 31-40 2 35,5 0,0563

Rata-rata Harmonis (H)

Untuk nilai statistika 80 mahasiswa:

4966

,

72

1035

,

1

80

=

=

H

x

U

H

≤

≤

41-50 51-60 61-70 71-80 81-90 91-100 3 5 14 24 20 12 45,5 55,5 65,5 75,5 85,5 95,5 0,0659 0,0901 0,2137 0,3179 0,2339 0,1257 Jumlah 80 - 1,1035

MODUS

Modus merupakan suatu nilai yang sering banyak muncul

Contoh : Sampel dengan data sebagai berikut:

20,80,75,60,50,85,45,60, dan 90 _{Modus = 60}

Sampel dengan data sebagai berikut:

Modus Data dalam daftar distribusi frekuensi:

dengan:

Mo = Modus

b = Batas bawah kelas modal (kelas interval dengan frekuensi terbanyak)

p = Panjang kelas

b

₁

= Frekuensi kelas modal – frekuensi kelas interval sebelumnya

b

₂

= Frekuensi kelas modal – frekuensi kelas interval berikutnya













+

+

=

2 1 1

b

b

b

p

b

M

_o



 b

Nilai f_i 31-40 41-50 51-60 61-70 71-80 81-90 91-100 2 3 5 14 24 20 12 Jumlah 80

Contoh : Data untuk 80 mahasiswa

6429

,

77

14

10

10

5

,

70

20

24

14

24

14

24

10

5

,

70

=













+

=













−

+

−

−

+

=

o

M













+

+

=

2 1 1

b

b

b

p

b

M

_o

Modus dari sekumpulan data bisa lebih dari satu Nilai f_i 75 60 92 64 35 8 7 8 7 2

Contoh : Diberikan data sebagai berikut:

ada 2 modus, yaitu 75 dan 92

MEDIAN

Median merupakan suatu nilai yang membagi dua suatu deretan nilai (distribusi frekuensi), sehingga banyaknya pengamatan di kedua bagian Itu sama

Contoh : Sampel dengan data sebagai berikut: 4,12,5,7,8,10, dan 10

Median = 8

Setelah disusun nilainya:

Untuk data berukuran genap, setelah disusun urutan nilainya, Mediannya merupakan rata-rata hitung dari dua data tengah

Contoh : Sampel dengan data sebagai berikut: 12,7,8,14, 16, 19, 10, dan 8

Setelah disusun nilainya:

7,8,8,10, 12,14,16,19

(

10

12

)

11

2

1

=

+

=

Me

Untuk data yang telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi

dengan:

M

_e

= Median

b = Batas bawah kelas median (kelas dimana M terletak)

























−

+

=

f

F

n

p

b

M

_e

2

b = Batas bawah kelas median (kelas dimana M

_e

terletak)

p = Panjang kelas M

_e

n = ukuran sampel (banyak data)

F = Jumlah frekuensi sebelum kelas median

f = Frekuensi kelas M

_e

Nilai f_i 31-40 41-50 51-60 61-70 71-80 81-90 91-100 2 3 5 14 24 20 12 Jumlah 80

Contoh : Data untuk 80 mahasiswa

Setengah dari seluruh data ada 40 buah (n) Median terletak di kelas interval kelima

Dari kelas Median diperoleh:

b = 70,5 p = 10 f = 24 F = 24













−

+

=

F

n

2

Jumlah 80





















+

=

f

p

b

M

_e

2

1667

,

77

24

24

2

80

10

5

,

70

=

























−

+

=

e

M

Untuk , Me dan Mo yang sama besarnya, maka kurva halusnya simetris

Bentuk Kurva Norma

x

Untuk kurva halus positif (Skewness) Positif atau negatif, secara empiris

ditemukan hubungan

_x

, M

_e

dan M

_o

sebagai berikut:

(

e

)

o

x

M

M

x

−

=

3

−

Dalam grafik, kedudukan ketiga nilai tersebut adalah:

x

M

_e

M

_o

x

M

_e

M

_o

Kwartil, Desil dan Persentil

•

Jika sekumpulan data dibagi menjadi empat bagian yang sama, sesudah

disusun menurut urutan nilainya, maka bilangan pembaginya disebut

kwartil

•

Ada tiga buah kwartil, yaitu kwartil pertama (K

₁

), kwartil kedua (K

₂

),

kwartil ketiga (K

₃

)

•

Pemberian nama dimulai dari nilai kwartil terkecil

Bagimana menentukan letak Kwartil ???

Menentukan nilai kwartil:

•

Susun data menurut urutan nilainya

•

Tentukan letak kwartil

•

Tentukan nilai kwartil

Letak kwartil ditentukan dengan rumus:

Bagimana menentukan letak Kwartil ???

(

)

4

1

n

i

ke

Data

K

Letak

_i

=

+

i = 1,2,3)

Contoh:

Sampel dengan data: 75,82,66,57,97,64,56,92,94,86,52,60,70

Setelah disusun: 52,56,57,60,64,66,70,75,82,86,92,94,97

(

)

2

1

3

ke

Data

4

1

13

1

ke

Data

K

Letak

₁

=

+

=

Yaitu antara data ke 3 dan ke 4, setengah jauhnya dari data ke 3

Nilai K1 = Data ke 3 + ½ (Data ke 4 – Data ke 3)

(

60

57

)

58

,

5

2

1

57

K

₁

=

+

−

=

(

)

_Data

_ke

₇

4

1

13

2

ke

Data

K

Letak

₂

=

+

=

K

2

=

70

(

)

2

1

10

ke

Data

4

1

13

3

ke

Data

K

Letak

₃

=

+

=

Yaitu antara data ke 10 dan ke 11, setengah jauhnya dari data ke 10

(

92

86

)

89

2

1

86

Cara lain

(

)

4

1

n

i

K

Letak

_i

=

+

i = 1,2, dan 3

b

a,

K

Letak

_i

=

(baca: a koma b)

K

i

=

x

(

a

)

+

0

,

b

(

x

( )a+1

−

x

( )a

)

(

13

1

)

₃

_,

₅

1

K

Letak

=

+

=

a = 3 dan b = 5)

Contoh :

(

)

₃

_,

₅

4

1

13

1

K

Letak

₁

=

+

=

a = 3 dan b = 5)

( ) ( )

(

)

( ) ( )

(

)

( ) ( )

(

)

(

)

( )

5

,

58

K

3

5

,

0

57

K

57

60

5

,

0

57

K

5

,

0

)

3

(

K

5

,

0

)

3

(

K

,

0

)

(

K

1 1 1 3 4 1 3 1 3 1 1 i

=

+

=

−

+

=

−

+

=

−

+

=

−

+

=

+ +

x

x

x

x

x

x

x

x

b

a

x

_{a a}

Kwartil untuk data yang disusun dalam distribusi frekuensi

Kwartil ditentukan dengan rumus:

























−

+

=

f

F

in

p

b

K

_i

4

dengan:

b = Batas bawah kelas K

_i

(kelas dimana K

_i

akan terletak)

p = Panjang kelas K

_i

F = Jumlah frekuensi sebelum kelas K

_i

f = Frekuensi kelas K

_i

Nilai f_i 31-40 41-50 51-60 61-70 71-80 81-90 91-100 2 3 5 14 24 20 12 Jumlah 80

Contoh : Data untuk 80 mahasiswa

Untuk menetapkan K₃ diperlukan data 3/4 x 80 = 60 data

Maka K₃ terletak pada kelas interval ke-6

Dari kelas K₃ diketahui: b = 80,5; p = 10; f = 20 dan F = 48 Dengan i = 3 dan n = 80

4

_











−

+

=

F

in

Jumlah 80

5

,

86

20

48

4

80

3

10

5

,

80

4

3

=





















−

+

=

















−

+

=

i i

K

x

K

f

F

p

b

K

75% dari mahasiswa mendapat nilai ujian _≤ 86,5, sedangkan 25% lagi mendapat nilai ujian > 86,5

Desil

•

Jika sekumpulan data dibagi menjadi 10 bagian yang sama, maka didapat

sembilan pembagi, tiap pembagi disebut

DESIL

•

Ada 9 buah desil, disingkat D

₁

, D

₂

, …,D

₉

(desil pertama, desil kedua, dst)

Menentukan nilai desil:

Bagimana menentukan letak desil???

•

Susun data menurut urutan nilainya

•

Tentukan letak desil

•

Tentukan nilai desil

Letak desil ditentukan dengan rumus:

(

)

10

1

n

i

ke

Data

D

Letak

_i

=

+

(i = 1,2,…9)

Contoh:

Sampel dengan data: 75,82,66,57,97,64,56,92,94,86,52,60,70

Setelah disusun: 52,56,57,60,64,66,70,75,82,86,92,94,97

(

)

_Data

_ke

₉

_,

₈

10

1

13

7

ke

Data

D

Letak

₇

=

+

=

Yaitu antara data ke 9 dan ke 10, 0,8 jauhnya dari data ke 9

Nilai D

₇

= Data ke 9 + 0,8 (Data ke 10 – Data ke 9)

(

86

82

)

85

,

2

8

,

0

82

D

₇

=

+

−

=

Cara lain

(

)

10

1

n

i

Letak

D

_i

=

+

i = 1,2,…,9

b

a,

D

Letak

_i

=

(baca: a koma b)

D

i

=

x

(

a

)

+

0

,

b

(

x

( )a+1

−

x

( )a

)

(

)

₉

_,

₈

10

1

13

7

Letak

D

₇

=

+

=

a = 9 dan b = 8)

Contoh :

10

7 ( ) ( )

(

)

( ) ( )

(

)

( ) ( )

(

)

(

)

( )

2

,

85

D

4

8

,

0

82

D

82

86

8

,

0

82

K

8

,

0

)

9

(

D

8

,

0

)

9

(

D

,

0

)

(

D

7 7 i 9 10 7 9 1 9 7 1 i

=

+

=

−

+

=

−

+

=

−

+

=

−

+

=

+ +

x

x

x

x

x

x

x

x

b

a

x

_{a a}

Desil untuk data yang disusun dalam distribusi frekuensi

Desil ditentukan dengan rumus:

























−

+

=

f

F

in

p

b

D

_i

10

(i = 1,2,…9)

dengan:

b = Batas bawah kelas D

_i

(kelas dimana D

_i

akan terletak)

p = Panjang kelas D

_i

F = Jumlah frekuensi sebelum kelas D

_i

f = Frekuensi kelas D

_i

Nilai f_i 31-40 41-50 51-60 61-70 71-80 81-90 91-100 2 3 5 14 24 20 12 Jumlah 80

Contoh : Data untuk 80 mahasiswa

Untuk menetapkan D₃ diperlukan data 3/10 x 80 = 24 data

Maka D₃ terletak pada kelas interval ke-4

Dari kelas D₃ diketahui: b = 60,5; p = 10; f = 14 dan F = 10 Dengan i = 3 dan n = 80

10

_











−

+

=

F

in

Jumlah 80

5

,

70

14

10

10

80

3

10

5

,

60

10

3 3

=

























−

+

=





















−

+

=

D

x

D

f

F

p

b

D

_i

Persentil

Jika sekumpulan data dibagi menjadi 100 bagian yang sama, maka didapat 99

pembagi, tiap pembagi disebut

PERSENTIL

Menentukan nilai persentil:

Bagimana menentukan letak persentil???

•

Susun data menurut urutan nilainya

•

Tentukan letak persentil

•

Tentukan nilai persentil

Letak desil ditentukan dengan rumus:

(

)

100

1

n

i

ke

Data

Letak

P

_i

=

+

(i = 1,2,…,99)

Contoh:

Sampel dengan data: 75,82,66,57,97,64,56,92,94,86,52,60,70

Setelah disusun: 52,56,57,60,64,66,70,75,82,86,92,94,97

(

)

_Data

_ke

₁

_,

₄

100

1

13

10

ke

Data

P

Letak

₁₀

=

+

=

Yaitu antara data ke 1 dan ke 2, 0,4 jauhnya dari data ke 1

Nilai P

₁₀

= Data ke 1 + 0,4 (Data ke 2 – Data ke 1)

(

56

52

)

53

,

6

4

,

0

52

P

₁₀

=

+

−

=

Cara lain

(

)

100

1

n

i

Letak

P

_i

=

+

i = 1,2,…,99

b

a

P

,

Letak

_i

=

(baca: a koma b)

P

i

=

x

(

a

)

+

0

,

b

(

x

( )a+1

−

x

( )a

)

(

)

₁

_,

₄

100

1

13

10

Letak

P

₁₀

=

+

=

a = 1 dan b = 4)

Contoh :

100

10 ( ) ( )

(

)

( ) ( )

(

)

( ) ( )

(

)

(

)

( )

6

,

53

P

4

4

,

0

52

P

52

56

4

,

0

52

P

4

,

0

)

1

(

P

4

,

0

)

1

(

P

,

0

)

(

P

10 10 10 1 2 10 1 1 1 10 1 i

=

+

=

−

+

=

−

+

=

−

+

=

−

+

=

+ +

x

x

x

x

x

x

x

x

b

a

x

_{a a}

Persentil Untuk Data Yang Disusun Dalam Distribusi Frekuensi

Persentil ditentukan dengan rumus:

























−

+

=

f

F

in

p

b

P

_i

100

(i = 1,2,…,99)

dengan:

b = Batas bawah kelas P

_i

(kelas dimana P

_i

akan terletak)

p = Panjang kelas P

_i

F = Jumlah frekuensi sebelum kelas P

_i

f = Frekuensi kelas P

_i

Nilai f_i 31-40 41-50 51-60 61-70 71-80 81-90 91-100 2 3 5 14 24 20 12 Jumlah 80

Contoh : Data untuk 80 mahasiswa

Untuk menetapkan P₁₀ diperlukan data 10/100 x 80 = 8 data

Maka P₃ terletak pada kelas interval ke-3

Dari kelas P₁₀ diketahui: b = 50,5; p = 10; f = 5 dan F = 5 Dengan i = 10 dan n = 80

100

_











−

+

=

F

in

Jumlah 80

5

,

56

5

5

100

80

10

10

5

,

50

100

10 10

=

























−

+

=





















−

+

=

P

x

P

f

F

p

b

P

_i