PELACAKAN KELUARAN PADA SISTEM KONTROL TAK LINEAR YANG DIPERLUAS BERFASE NON-MINIMUM
Firman [email protected]
DepartemenMatematika, FakultasMatematikadanIlmuPengetahuanAlam, UniversitasHasanuddin, Indonesia
Abstrak
Dalam paper ini, akan dirancang suatu kontrol input untuk pelacakan keluaran sistem taklinear fase non-minimum. Dengan kontrol input tersebut sistem menjadi diperluas. untuk merancang kontrol input, keluaran yang lain akan dipilih sedemikian hingga sistem adalah linerisasi eksak atau sistem menjadi berfase minimum. Sistem yang diperluas mengakibatkan derajat relatif sistem tidak terdefinisi dengan baik. Untuk itu akan digunakan kontrol polinomial guna mengatasi pelacakan disekitar titik singular. Kemudian keluaran yang diiginkan dari keluaran yang telah dipilih akan ditentukan berdasarkan keluaran yang diinginkan pada sistem semula. Keyword: sistem fase minimum, sistem fase non-minimum, linearisasi eksak, kontrol polynomial.
1 Pendahuluan
Suatu sistem taklinear disebut fase minimum jika dinamik nol sistem stabil asimtotik, tetapi jika dinamik nol sistem tidak stabil disebut fase nonminimum [1]. Kontrol pelacakan keluaran pada sistem fase non-minimum adalah suatu permasalahan sangat menantang yang ditemukan dalam aplikasi-aplikasi enginering praktis. permasalahan kontrol fase non-minimum yang cukup terkenal meliputi permasalahan kontrol ketinggian pesawat udara, permasalahan penentuan jalur lintasan roket dan banyak lagi. Dalam analisis kontrol taklinear, tidak ada suatu metode yang berlaku secara umum pada sebarang sistem taklinear fase non-minimum untuk perancangan kontrol guna pelacakan
1
keluarannya. Oleh karena itu pada umumnya peneliti melakukan pembatasan untuk kelas-kelas taklinear tertentu. Dalam [3], D.chen dan B. Paden telah menyajikan suatu metode Stable inversion, dimana metode ini mengharuskan agar sistem memiliki derajat relatif yang terdefinisi dengan baik dinamik nol yang hyperbolik. dalam [4], S. Baev (2007) membahas pelacakan keluaran sistem taklinear fase non-minimum dengan menggunakan Higher Order Sliding Mode (HOSM). Kemudian pada [5], Riccardo Marino (2009) telah mengidentifikasi suatu kelas taklinear fase non-minimum yang mana stabil dengan suatu kontrol dinamik output feedback, dengan order n + p−1, n adalah dimensi sistem, p adalah derajat relatif sistem. Sebelum perancangan kontrolnya akan dipilih keluaran alternatif sedemikian hingga sistem menjadi fase minimum.
Dalam paper ini akan dibahas pelacakan keluaran untuk sistem yang berbentuk ˙ x = f(x,u), dengan ˙ x = f(x,0) tertentu. Untuk pelacakan sistem tersebut akan dirancang kontrol input dengan perluasan dinamik dari sistem. Perancangan kontrol inputnya didasarkan pada metode linearisasi input output. Namun sebelum penggunaan metode tersebut, terlebih dahulu akan diredefinisi keluaran. Redefinisi keluaran dilakukan agar sistem menjadi berfase minimum. Pada sistem ini derajat relatif sistem tidak terdefinisi dengan baik. Akibatnya dalam menerapkan metode linearisasi input output ada masalah singularitas. Untuk mengatasi masalah singularitas, akan digunakan suatu kontrol polinomial guna mengatasi pelacakan disekitar titik singular.
2 Rumusan Masalah
Tinjau sistem kontrol taklinear dengan input tunggal- output tunggal(SISO) dinyatakan dengan x = f(x,u) (1)
y = h(x) (2)
dimana x ∈Rn adalah vektor keadaan,u ∈R adalah kontrol input dan y ∈ R adalah output terukur. f : Rn → Rn adalah suatu fungsi mulus,dengan f(0) = 0, dan h : Rn → R juga fungsi mulus dengan h(0) = 0.
Dalam paper ini akan dirancang suatu kontrol input untuk tujuan pelacakan keluaran sistem, y(t) → yd, t →∞. Untuk tujuan pelacakan, maka sistem
akan diperluas, sedemikian hingga sistem semula menjadi x = f(x,u) (3) ˙
u = v (4) y = h(x) (5) dimana sistem adalah Phase non-minimum.
3 Konsep dasar Perancangan Kontrol
Tinjau Sistem kontrol taklinear ”affine” input tunggal output tunggal x = f(x) + g(x)u (6)
y = h(x) (7)
dimana x ∈ Rn adalah vektor keadaan , u ∈ R adalah kontrol input dan y ∈R adalah keluaran. f : Rn →Rn adalah fungsi mulus dengan f(0) = 0, g : Rn →Rn dan h : Rn →R juga fungsi mulus dengan h(0) = 0. Asumsikan bahwa system [4]-[5] mempunyai derajat relatif r(r < n) at x0. Dengan linearisasi input output sistem [4]-[5] dapat ditulis dalam bentuk normal (Isidori [2])
zk = zk+1, k = 1,...,r−1 (8) ˙ zr = a(z , η) + b(z , η)u (9) ˙ η = q(z , η) y = z1
dengan dinamik internal
η = q(z , η) (10)
Tanpa mengurangi keumuman, misalkan (z,η) = (0,0) adalah titik kesetimbangan. Kontrol input diperoleh sebagai hukum kontrol statis
Persamaan (6)-(7)-(8) dapat ditulis sebagai
dengan z = (z1,z2,··· ,zr) dan
Proposisi .[2]
Pandang dinamik nol sistem : ˙ η = q(0,η). Misalkan dinamik nol sistem adalah stabil asimtotik (sistem berfase minimum) dan setiap akar karakteristik polinomial matriks A mempunyai bagian real negatif. Dengan hukum kontrol statis (11), maka sistem (10)-(11) adalah stabil asimtotik lokal pada titik kesetimbangan (z, η) = (0, 0).
Tetapi jika b(z(ts)) = 0 untuk suatu t = ts, hukum kontrol statis (11) tidak bisa diaplikasikan. Untuk itu akan diaplikasikan suatu kontrol untuk pelacakan disekitar titik singular. Dalam hal ini pelacakan keluaran sistem pada interval [ts −, ts + ] = Ts, ∀> 0. Hukum kontrol yang digunakan adalah berupa kontrol polynomial yang berbentuk sebagai berikut :
4 PELACAKAN KELUARAN SISTEM
Dalam penelitian ini ,kita akan membahas pelacakan keluaran untuk suatu kelas taklinear fase non-minimum. Pandang sistem taklinear yang diperluas dengan input tunggal output tunggal
Jadi derajat relatif sistem yang diperluas (16)-(17) adalah k +1 dan derajat relatifnya tidak terdefinisi dengan baik.
Tujuan penelitian ini adalah membuat keluaran sistem (16)-(17) mendekati keluaran yang diinginkan sambil menjamin semua state nya terbatas. Hal ini sulit dilakukan kalau sistem berada pada fase non-minimum. Jadi sebelum mengaplikasikan hukum kontrol terlebih dahulu akan diredefinisi keluaran sedemikian hingga sistem (16)-(17)menjadi berfase minimum sehubungan dengan keluaran baru.
Jadi , asumsikan Terdapat variabel keadaan (x) sedemikian hingga sistem (16)-(17) menjadi berfase minimum. Selanjutnya keluaran yang diinginkan dari keluaran yang telah dipilih akan ditentukan berdasarkan keluaran yang diinginkan dari sistem semula.
Asumsi 2 : l(x) = xl, maka ˙ xk = fk(xl,xk) dapat diselesaikan dengan substitusi xl = yd(t). Jadi d(t) = xk(t). Misalkan d adalah keluaran yang diinginkan, dengan
(i) d adalah terbatas untuk i = 1,2,··· ,n. Misalkan e1 = z1 − d, e2 = ˙ z1 −˙ d, ···, en+1 = z(n) 1 − (n) d Misalkan keluaran baru z1 = µ(x) dengan derajat relatif sistem yang berhubungan dengan keluaran µ(x) adalah r. Maka sistem ditransformasikan dalam bentuk normal
matriks A mempunyai polynomial karakteristik : p(s) = c0 + c1s + ··· + cr−1sr−1 + sr.
Dengan memilih nilai ci;i = 0,...,r sedemikian hingga akar polynomial karakterisrik p(s) mempunyai bagian real negatif, dan dengan menggunakan hukum kontrol(22), maka titik kesetimbangan (e,η) = (0,0) dari system (21) adalah stabil asimtotik. (lihat proposisi). Tetapi derajat relatif dari sistem tidak terdefinisi dengan baik. Dalam hal ini b(z(ts)) = 0 untuk suatu t = ts. Untuk itu dalam penelitian ini, akan digunakan kontrol polinomial seperti pada persamaan (14) untuk mengatasi pelacakan disekitar titik singular. Contoh Tinjau Sistem taklinear input tunggal-output tunggal(SISO) yang diperluas
Sistem yang diperluas tersebut adalah fase non-minimum. Redefinisi keluaran z1 = µ = x1 + 2x2 + 2x3. Bentuk normal
x2d(t), maka differential equation ˙ x3−x3 = sin(t)+2sin(2t)−2sin2t.Jadi x3d = −1/2cos(t)−1/2sin(t)−2cos2t+2. Kemudian, z1d = x1d+2x2d+2 x3d = cos(t). Kemudian seperti pada persamaan Kontrol polinomial (14) dan ambil m = 3, maka kontrol polynomial disekitar x4(t) = 0 dapat diperoleh. Hasil simulasi dapat dilihat pada gambar 1 dan 2 :
5 Kesimpulan
Dalam paper ini, telah diselidiki pelacakan keluaran suatu sistem taklinear umum yang diperluas fase non-minimum. Perancangan kontrol input guna melacak keluaran berdasarkan metode linearisasi input output. Untuk merancang kontrol input, dilakukan redefinisi keluaran sedemikian hingga sistem yang diperluas menjadi fase minimum sehubungan dengan keluaran baru. Sistem yang diperluas mengakibatkan derajat relatif sistem tidak terdefinisi dengan baik. Untuk itu digunakan kontrol polinomial guna mengatasi pelacakan disekitar titik singular. Kemudian keluaran yang diiginkan dari keluaran yang telah dipilih ditentukan berdasarkan keluaran yang diinginkan pada sistem semula.
References
[1] Hassan K.Khalil. (2002), Nonlinear Systems, Prentice Hall, New Jersey , Third Edition.
[2] A. Isidori.Nonlinear Control Systems: An Introduction. Secon Edition Springer-Verlag Berlin, Heidelberg 1989.
[3] D.Chen (1993), Iterative solution to stable inversion of nonlinear nonminimum Phase systems, Proc. American Control Conference, June, 2960-2964.
[4] S. Baev, Y.Shtessel, I. Shkolnikov. (2007), HOSM driven output tracking in the non-minimum-phase causal nonlinear Systems, Proceeding of the 46th IEEE Conference on Decision and Control, New Orleands,LA,USA, Des 12-14, 3715-3720.
[5] Riccardo Marino, Patrizio Tomei. (2005), A class of Globally Output Feedback Stabilizable Nonlinear Non-minimum Phase Systems, IEEE Transactions on Automatic Control, Vol. 50,No 12, 2097-2101.
Firman : 1. grup matematika Industri dan keuangan, ITB. 2. Jurusan matematika Fakultas Mipa Universitas Hasanuddin
