ANALISIS MANOVA PADA DATA DESAIN EKSPERI

Makalah Analisis Multivariate Kelas (B)

ANALISIS MANOVA PADA DATA DESAIN

EKSPERIMEN DI PERTANIAN

Riza Damayanti

a

_{Dian Sukma Pratiwi}

b

a_{(1312 100 044) Jurusan Statistika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS), Surabaya 60111} b_{(1312 100 144) Jurusan Statistika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS), Surabaya 60111}

Abstract

Manova mempunyai pengertian sebagai suatu teknik statistik yang digunakan untuk menghitung pengujian signifikansi perbedaan rata-rata secara bersamaan antar kelompok untuk 2 atau lebih variabel dependen. Kita dapat meneliti interaksi antara faktor-faktor dan efek dari faktor individu. Untuk melakukan pengujian Manova, diperlukan uji kenormalan data secara multivariat dengan QQ-plot dan menguji kehomogenan dengan menggunakan Box’s M. Dari hasil pengujian terhadap data penelitian, didapatkan data berdistribusi normal multivariat, namun dari hasil uji Box’s M disimpulkan data tidak homogen. Agar bisa dilakukan pengujian MANOVA lebih lanjut, maka data diasumsikan homogen. Pengujian MANOVA digunakan untuk mengetahui apakah ada perbedaan treatment. Pengujian MANOVA dapat digunakan untuk menguji efek interaksi, interaksi dan efek utama, serta memperkirakan main effect. Pada uji efek interaksi treatment yang berbeda menghasilkan respon yang berbeda pada tiap variabel pengamatan (diameter, tinggi dan berat tanaman) dapat dilihat dari nilai F hitung uji Wilk’s Lambda yang signifikan. Pada pengujian interaksi dan efek utama membuktikan bahwa ketiga variabel memberikan perbedaan yang signifikan antara rata-rata respon diameter, tinggi dan berat pada keempat treatment tersebut (dapat dilihat dari nilai p-value yang signifikan). Pada pengujian main effect membuktikan bahwa pada treatment yang berbeda variabel yang paling signifikan, adalah variabel tinggi dan berat pada treatment 4 dan 1 dapat dilihat dari nilai p-valuenya signifikan dan terkecil.

Kata Kunci : Homogen, MANOVA, Normal Multivariat.

1. Pendahuluan

Rancangan percobaan merupakan salah satu alat statistika yang memegang peranan penting dalam kehidupan sehari-hari yang berhubungan dengan berbagai bidang, salah satunya pertanian. Peranan statistika dalam penelitian di bidang pertanian yang menggunakan metode percobaan, dapat digunakan untuk melihat apakah dari perbedaan perlakuan yang diberikan akan menghasilkan efek yang berbeda.

Analisis statistik multivariat merupakan metode statistik yang memungkinkan kita melakukan penelitian terhadap lebih dari dua variabel secara bersamaan. Dengan menggunakan teknik analisis ini maka kita dapat menganalisis pengaruh beberapa variabel dalam waktu yang bersamaan. Apabila peneliti hanya menguji pengaruh dari satu faktor saja, maka pemahaman tentang kejadian yang sebenarnya sangatlah kurang, sehingga diperlukan faktor-faktor pendukung lainnya yang mempengaruhi masing-masing faktor dan saling ketergantungan antara faktor tersebut.

kedua asumsi tersebut telah dipenuhi, maka pengujian Manova dapat dilakukan. Dari hasil uji Manova, nantinya dapat diketahui apakah variabel dependen dipengaruhi oleh efek interaksi utama, kemudian apakah terdapat perbedaan secara signifikan rata-rata respon terhadap tiap treatment. Untuk dapat melihat apakah ada perbedaan dari keempat jenis perlakuan tersebut dan jika ada yang berbeda ingin diketahui lebih lanjut variabel respon mana yang memberikan pengaruh paling kuat. Sehingga, dalam pembuatan modul ini diharapkan dapat membantu mahasiswa statistika dalam memahami analisis data multivariat dengan Manova.

2. Landasan Teori

2.1 Analisis Variansi Multivariat (MANOVA)

Pada kasus multivariat, analisis sebagai perluasan dari Analisis Variansi disebut Analisis Variansi Multivariat merupakan teknik analisis data tentang perbedaan pengaruh beberapa variabel independen dalam skala nominal terhadap sekelompok variabel dependen dalam skala rasio. Skala nominal adalah tingkat mengkategorikan obyek yang diteliti dengan angka yang diberikan pada obyek mempunyai arti sebagai label saja, sedangkan skala rasio adalah ukuran nilai absolute pada objek yang akan diteliti dan mempunyai nilai nol (0). Menurut Suryanto (1988: 86) analisis variansi itu disebut Analisis Variansi Multivariat (MANOVA). Pada kasus multivariat, misal terdapat sekumpulan sampel acak yang diambil dari setiap g populasi sebagai berikut:

Populasi 1 :

X

11

, X

12

, …, X

1n1 Populasi 2 :

X

21

, X

22

, …, X

2n2

⋮

Populasi g :

X

g 1

, X

g 2

, … , X

gng

terdapat tiga asumsi dasar yang diperlukan oleh sekumpulan sampel acak di atas, yaitu:

1.

X

11

, X

12

, … , X

1nl , (l = 1, 2, … ,g)adalah sampel acak berukuran

n

l dari suatu populasi dengan rata - rata

μ

_l .

2. Matriks kovariansi antara g populasi sama.

3. Setiap populasi adalah normal multivariat.

Sebelum dilakukan analisis variansi multivariat lebih lanjut, terlebih dahulu akan diuji ketiga asumsi-asumsi dasar tersebut menyatakan bahwa dari sekumpulan data multivariat

X

11

, X

12

, … , X

1nl , (l = 1, 2, … ,g) merupakan sampel acak berukuran

n

1 yang diambil dari suatu populasi dengan vektor rata-rata

μ

_l dan saling bebas. Pernyataan ini adalah jelas tanpa perlu diuji karena untuk tujuan uji perbedaan maka sekumpulan data multivariat dari setiap populasi harus diambil secara acak dan saling bebas satu sama lain.

2.2 Uji Homogenitas Matriks

Statistika uji diperlukan untuk menguji homogenitas matriks varians-kovarians dengan hipotesis

3

Dengan bantuan program SPSS, uji homogenitas matriks varians-kovarians dapat dilakukan dengan Uji Box’s M. Jika nilai sig. > α, maka H0 diterima sehingga dapat disimpulkan matriks varians-kovarians dari l-populasi adalah sama atau homogen. Adapun langkah-langkah uji homogenitas varians-kovarians menggunakan program SPSS 16 adalah sebagai berikut:

a. Dari worksheet, entry data dilakukan melalui Variable View dan Data View.

b. Dari menu utama SPSS dipilih menu Analyze, kemudian submenu General Linear Mode dipilih Multivariat.

c. Setelah tampak dilayar tampilan window Multivariat, kemudian melakukan entry variabel-variabel yang sesuai pada kotak Dependent Variables dan Fixed Factor(s).

d. Selanjutnya Option dipilih Homogenitas test dan Continue, terakhir OK.

2.3 Uji Normalitas Multivariat

Metode statistika multivariat MANOVA mensyaratkan terpenuhinya asumsi distribusi normalitas dengan hipotesis adalah

H

0

:

Data berdistribusi normal multivariat dan

H

1

:

Data tidak

berdistribusi normal multivariat. Berdasarkan Teorema 2.2, jika

X

₁

, X

₂

,… . , X

_p berdistribusi normal multivariat maka

(

X

−

μ

)

t

∑

−1

(

X

−

μ

)

berditribusi

χ

p

2 _{. Berdasarkan sifat ini maka}

pemeriksaan distribusi normal multivariat dapat dilakukan pada setiap populasi dengan cara membuat q-q plot atau scatter-plot dari nilai

d

_i2

=

₍

X

_i

− ´

X

₎

t

S

−1

(

X

_i

− ´

X

₎

,i

=

1,2,

… , n .

Tahapan dari pembuatan q-q plot ini adalah sebagai berikut (Johnson & Wichern, 2002: 187)

a) Tentukan nilai vektor rata-rata:

X

´

b) Tentukan nilai matriks varians-kovarians:

S

g) Buat scatter-plot

d

(i)

2 _dengan

_q

i

h) Jika scatter-plot ini cenderung membentuk garis lurus dan lebih dari 50% nilai

d

i2

≤ χ

2p

(

0,50

)

, maka

H

0 diterima artinya data berdistribusi normal multivariat.

Pada Analisis Variansi Univariat, keputusan dibuat berdasarkan satu statistika uji yaitu uji F yang nilainya ditentukan oleh hasil bagi dari dua rata-rata jumlah kuadrat, sebagai taksiran hasil bagi taksiran variansi-variansi yang bersangkutan. Pada Analisis Variansi Multivariat ada beberapa statistik uji yang dapat digunakan untuk membuat keputusan, yaitu sebagai berikut.

a) Pillai’s Trace. Statistik uji ini paling cocok digunakan jika asumsi homogenitas matriks varians-kovarians tidak dipenuhi, ukuran-ukuran sampel kecil, dan jika hasil-hasil dari pengujian bertentangan satu sama lain yaitu jika ada beberapa vektor rata-rata yang bereda sedang yang lain tidak. Semakin tinggi nilai statistik Pillai’s Trace, pengaruh terhadap model semakin besar. Statistik uji Pilllai’s Trace dirumuskan sebagai:

(

W

)

= matriks varians-kovarians galat pada MANOVA

(

B

)

= matriks varians-kovarians perlakuan pada MANOVA

b) Wilk’s Lambda. Statistik uji digunakan jika terdapat lebih dari dua kelompok variabel independen dan asumsi homogenitas matriks varians-kovarians dipenuhi. Semakin rendah nilai statistik Wilk’s Lambda, pengaruh terhadap model semakin besar. Nilai Wilk’s Lambda berkisar antara 0-1. Statistik uji Wilk’s Lambda dirumuskan sebagai:

c) Hotelling’s Trace. Statistik uji ini cocok digunakan jika hanya terdapat dua kelompok variabel independen. Semakin tinggi nilai statistik Hotelling’s Trace, pengaruh terhadap model semakin besar. Nilai Hotelling’s Trace > Pillai’s Trace. Statistik uji Hotelling’s dirumuskan sebagai:

T

=

∑

i=1

p

λ

_i

=

tr λ

_i

=

tr

(

W

)

−1

(

B

)

(2.6)

d) Roy’s Largest Root. Statistik uji ini hanya digunakan jika asumsi homogenitas varians-kovarians dipenuhi. Semakin tinggi nilai statistik Roy’s Largest Root, pengaruh terhadap model semakin besar. Nilai Roy’s Largest Root > Hotelling’s Trace > Pillai’s Trace. Dalam hal pelanggaran asumsi normalitas multivariat, statistik ini kurang robust (kekar) dibandingkan dengan statistik uji yang lainnya. Statistik uji Roy’s Largest Root dirumuskan sebagai:

R

=

λ

_maks

=

maks

(

λ

₁

, λ

₂

, … , λ

_p

)

¿

akar karakteristik maksimum dari

(

W

)

−1

(

B

)

(2.7)

2.4 One-Way MANOVA

Salah satu model MANOVA sebagai perluasan dari One-Way ANOVA adalah One-Way MANOVA. Model ini dengan pengaruh tetap dapat digunakan untuk menguji apakah ke-g populasi (dari satu faktor yang sama) menghasilkan vektor rata-rata yang sama untuk p variabel respon atau variabel dependent yang diamati dalam penelitian. Untuk membandingkan vektor rata-rata populasi g berdasarkan bentuk model One-Way ANOVA adalah

x

_lj

=

μ

+

τ

_l

+

ε

_lj , dengan

l

=

1, 2,

… ,

g

, j

=

1, 2,

… , n

_l dan

5

untuk jumlah kuadrat pada model One-Way MANOVA. Sehingga digunakan,

₍

x

_lj

−´

x

₎₍

x

_lj

−´

x

₎

t _dapat di tulis sebagai berikut :

(

x

_lj

−´

x

₎₍

x

_lj

−´

x

₎

t

=

₍

₍

x

´

_l

− ´

x

₎

+

₍

x

_lj

− ´

x

_l

₎

₎₍

₍

´

x

_{l j}

−´

x

₎

+

₍

x

_lj

−´

x

_l

₎

₎

t

(

3

−

5

)=

₍

´

x

_l

−´

x

₎₍

x

´

_l

−´

x

₎

t

+

₍

x

´

_l

−´

x

_{) (}

x

_lj

−´

x

_l

₎

t

+

₍

x

_lj

−´

x

_l

₎₍

x

´

_l

−´

x

₎

t

+

₍

x

_lj

−´

x

_l

₎₍

x

_lj

−´

x

_l

₎

t

Jumlah untuk semua pengamatan ke-l berdasarkan bentuk (3-5) dirumuskan sebagai berikut.

(

x

_lj

−´

x

₎₍

x

_lj

−´

x

₎

t

(

x

_lj

−´

x

_l

)

=

0.

Selanjutnya bentuk (3-6) dijumlahkan untuk semua populasi menghasilkan jumlah pengamatan total sebagai berikut. dimana Sl adalah matriks kovariansi sampel ke-l. Matriks tersebut mempunyai peran yang dominan dalam

pengujian untuk ada tidaknya pengaruh perlakuan. Analog pada univariat, hipotesis tanpa pengaruh perlakuan pada multivariat dapat dirumuskan dengan

Ho :

τ

1

=

τ

2

=

…

=

τ

l

=

…

=

τ

g , dengan

τ

l

=

(

perlakuan dan sisa. Secara akuivalen, akan didapat hubungan ukuran relatif dari galat (sisa) dan total (koreksi) jumlah dari kuadrat dan hasil kali berdasarkan bentuk (3-7). Untuk perhitungan statistik uji digunakan tabel MANOVA

Tabel 2.1 One-Way MANOVA

Sumber Variansi Matriks jumlah dari kuadrat dan hasil_kali Derajat kebebasan

Pengujian One-Way MANOVA mempunyai hipotesis

H

₀

:

τ

₁

=

…

=

τ

_g dan digunakan statistika uji pada tabel 3 sebagai berikut:

Tabel 2.2 Distribusi dari Wilks’ lambda

Λ

¿

=

|

W

|

|

W

+

B

|

Variabel Grup Distribusi sampling untuk data normal multivariat

p = 1

g

≥

Distribusi sampling data normal multivariat disesuaikan dengan hasil uji F pada kasus univariat bentuk (2-23), sehingga untuk kasus multivariat Ho ditolak jika statistika uji berdasarkan tabel 3 lebih besar daripada (>) distribusi sampling F.

3. Sumber Data dan Metodologi

3.1 Sumber Data

Data dalam makalah ini diambil dari software Minitab (poplar3), yaitu mengenai rancangan percobaan dalam pertanian dimana terdapat 4 jenis perlakuan dengan variabel yang diamati adalah diameter, tinggi, dan berat tanaman.

3.2 Variabel Penelitian

Adapun variable prediktor dalam praktikum ini bersifat kategori yang digolongkan menjadi empat bagian, sedangkan terdapat tiga variabel respon sebagai komponen penelitian pada studi kasus treatment di bidang pertanian yang dapat dijelaskan pada tabel berikut.

Table 3.1 Variabel Penelitian

Variable Keterangan Id number

Y1 Diameter Tanaman 1 - 6

Y2 Tinggi Tanaman 1 - 8

Y3 Berat Tanaman 0,02 - 2

X Treatment 1 untuk tidak ada perlakuan

2 untuk diberi pemupukan 3 untuk diberi irigasi

7

3.3 Metodologi

Dalam praktukum ini langkah-langkah yang harus dilakukan dalam menyelesaikan permasalahan adalah sebagai berikut.

1. Mencari data sekunder 2. Menentukan tujuan praktikum

3. Menginputkan data pada program minitab dan spss

4. Melakukan uji distribusi Multivariat Normal pada data penelitian (studi kasus treatment di pertanian) 5. Melakukan uji homogenitas matriks varian kovarian menggunakan uji Box M pada data penelitian

(studi kasus treatment di pertanian)

14 pengamatannya mengikuti distribusi normal agar statistik inferensi dapat digunakan untuk menganalisis data tersebut. Untuk mengetahuinya dibutuhkan pengujian diantaranya dengan pengujian qq-plot. Pengujian ini membandingkan antara nilai t-hitung dalam qq plot dengan threshold. Berikut adalah hasil pengujian menggunakan qq-plot dengan Minitab.

4.1 Metode QQ-Plot

Gambar 4.1Scatterplot uji normal multivariat

Berdasarkan hasil output Minitab nilai t hitung lebih besar dari nilai threshold yaitu 0,583 > 0,5 sehingga dapat disimpulkan bahwa gagal tolak H0 artinya data pengamatan berdistribusi normal multivariat. Apabila dianalisis secara scatterplot, terlihat bahwa persebaran titik-titiknya membentuk suatu garis yang linier, sehingga data berdistribusi normal multivariat. Setelah asumsi distribusi normal multivariat terpenuhi, maka selanjutnya dilakukan pengujian kehomogenan dari matriks varian kovarian data pengamatan.

4.2 Uji Box’s M

Tabel 4.1 Output Uji Box’s M pada SPSS

Berdasarkan hasil output Uji Box’s M pada SPSS diketahui bahwa nilai signifikansi kurang dari

α

(0.000<0.05) sehingga dapat disimpulkan Tolak H0, artinya matriks varian kovarian data pengamatan tidak homogen sehingga data antar variabel (antara diameter, tinggi, dan lebar) tidak memiliki level yang sama. Data yang tidak homogen ini dapat diatasi dengan menambah jumlah variabel observasi, atau dengan melakukan transformasi terhadap data. Agar dapat dilanjutkan dengan pengujian Manova, maka untuk sementara data diasumsikan homogen. Langkah selanjutnya dilakukan pengujian Multivariat untuk mengetahui perbedaan karakteristik masing-masing treatment.

4.3 Uji Multivariat

Data Display

t 0,583333

9

Tabel 4.2 Output Uji Multivariat pada SPSS

Berdasarkan output Uji Multivariat dengan SPSS, nilai F hitung Wilk’s Lambda untuk treatment lebih besar dari nilai tabel F(3;32;0,05) yaitu 6,117 > 2,90112 maka dapat disimpulkan tolak H0 artinya variabel diameter, tinggi dan berat memiliki karakteristik yang tidak sama atau berbeda pada masing-masing treatment. Langkah selanjutnya adalah menguji secara univariat variabel (dari variabel diameter, tinggi dan berat) yang memberikan perbedaan pengaruh secara signifikan terhadap treatment. Pengujian secara univariat ini dengan menggunakan Test of Between Subjects Effect.

4.4 Tests of Between Subjects Effect

Tabel 4.3 Output Tests Between Subjects Effect pada SPSS

4.5 Contrast Results (K Matrix)

Tabel 4.4 Contrast Results (K Matrix)

Dari hasil output SPSS, terlihat bahwa perbedaan pengaruh variabel pada treatment 2 dan treatment 1, terdapat perbedaan rata-rata diameter sebesar 0.584, sedangkan perbedaan rata-rata tinggi sebesar 0.797, dan perbedaan rata berat sebesar 0.323. Pada treatment 3 dan treatment 1, terdapat perbedaan rata-rata diameter sebesar 0.321, sedangkan perbedaan rata-rata-rata-rata tinggi sebesar 0.377, dan perbedaan rata-rata-rata-rata berat sebesar 0.106. Pada treatment 4 dan treatment 1, terdapat perbedaan rata-rata diameter sebesar 2.043, sedangkan perbedaan rata-rata tinggi sebesar 2.830, dan perbedaan rata-rata berat sebesar 1.036. Berdasarkan p-value variabel tinggi dan berat, pada treatment 4 dan 1 signifikan (0.000<0.05) maka variabel tersebut memberikan pengaruh yang signifikan dalam memberikan perbedaan. Nilai p-value pada variabel diameter juga signifikan pada treatment 4 dan 1, namun yang memberikan pengaruh paling kuat adalah variabel tinggi dan berat (karena nilai signifikansinya paling kecil, yakni 0.000).

5. Kesimpulan

Berdasarkan hasil analisis pada data penelitian multivariat dengan menggunakan qq-plot, Box’s M, Multivariate Test, Tests Betweens Subject dan Contrast Result dapat disimpulkan sebagai berikut.

1. Berdasarkan hasil analisis uji normalitas dengan menggunakan metode qq-plot, terlihat dari nilai t > 0.5 yaitu 0.583 > 0.5 maka gagal tolak H0 artinya data pengamatan memenuhi asumsi distribusi normal multivariat.

2. Pada uji kehomogenan matriks varian kovarian dengan uji Box’s M terlihat bahwa nilai signifikansinya 0.000 < 0.05 artinya tolak H0 sehingga data pengamatan memiliki matriks varian kovarian yang tidak homogen (data antar variabel memiliki level yang berbeda).

3. Pada treatment yang berbeda menghasilkan respon yang berbeda pada tiap variabel pengamatan (diameter, tinggi dan berat tanaman). Dapat dilihat dari nilai F hitung uji Wilk’s Lambda dan nilai p-value yang signifikan (6.117 > 2.90112 dan 0.000 < 0.05).

11

5. Berdasarkan output SPSS contrast result, untuk mengetahui pada treatment yang berbeda variabel yang paling signifikan, adalah variabel tinggi dan berat pada treatment 4 dan 1. Dimana variabel tinggi dan berat memberikan pengaruh yang paling kuat karena nilai p-valuenya terkecil dan signifikan dengan treatment 1 sebagai kontrol.

Daftar Pustaka

Johnson, Richard A. dan Wichern, Dean W. 2007.Applied Multivariate Statistical Analysis Sixth Edition. Mexico : Pearson Education Inc., 2007.

LAMPIRAN

Data penelitian pada studi kasus pertanian (data bersumber dari Minitab, poplar3)

Treatmen t

Diamete

r Height Weight

1 2,23 3,76 0,17

1 2,12 3,15 0,15

1 1,06 1,85 0,02

1 2,12 3,64 0,16

1 2,99 4,64 0,37

1 4,01 5,25 0,73

1 2,41 4,07 0,22

1 2,75 4,72 0,3

1 2,2 4,17 0,19

2 4,88 6,68 1,34

2 2,73 4,91 0,3

2 3,05 5,46 0,46

2 2,11 3,7 0,14

2 1,03 1,85 0,02

2 4,84 6,86 1,26

2 5,28 6,82 1,54

2 1,66 3,28 0,08

2 1,57 2,86 0,08

3 3,26 5,07 0,47

3 4,19 5,6 0,8

3 4,03 5,68 0,81

3 2,42 4,14 0,23

3 1,3 2,5 0,04

3 3 4,46 0,34

3 2,93 4,75 0,36

3 2,21 3,62 0,16

3 1,44 2,82 0,05

4 5,73 7,34 2,03

4 2,64 4,4 0,27

4 4,65 7,2 1,42

4 3,76 6,75 0,92

4 4,92 7,1 1,34

4 3,09 6,35 0,56

4 4,22 6,85 1,07

4 5,13 7,14 1,64

13

Hasil Output dari SPSS untuk Uji Kehomogenan Matriks Varian dan Kovarian.

Hasil Output dari SPSS untuk Tests Between Subjects Effects