Materi Kelas X SMA MA Kurikulum 2013 Eks

BAB 1

EKSPONEN DAN LOGARITMA

1.1. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar

Kompetensi Dasar

Setelah mengikuti pembelajaran eksponen dan logaritma, siswa mampu:

1. Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerjasama, konsisten, sikap disiplin, rasa

percaya diri, dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam memilih dan

menerapkan strategi menyelesaikan masalah.

2. Menunjukkan sikap bertanggung-jawab, rasa ingin tahu, jujur dan perilaku peduli

lingkungan.

3. Memilih dan menerapkan aturan eksponen dan logaritma sesuai dengan karakteristik

permasalahan yang akan diselesaikan dan memeriksa kebenaran

langkah-langkahnya.

4. Menyelesaikan masalah nyata menggunakan operasi aljabar berupa eksponen dan

logaritma serta menyelesaikannya menggunakan sifat–sifat dan aturan yang telah terbukti kebenarannya.

1.2. Materi Pembelajaran

1.2.1. Pengertian Eksponen

Definisi 1.1

Jika

a

suatu bilangan real dan

n

suatu bilangan bulat positif, maka :

a a

a a

an    ...

Dengan :

a

= bilangan pokok (basis bilangan), a0

n

= pangkat (eksponen)

Contoh :

a. 23 222 b. (3)2 (3)(3) c.

2

1

2

1

2

1

2

1

3

_

_

_













...

23  (3)2 ...

...

2

1

3

_













faktor

1.2.2. Pangkat Bulat Negatif

Definisi 1.2

Untuk a bilangan Real, a0, maka didefinisikan :

n n

a

a





1

atau n n

a

a



1

_

Catatan :

Untuk semua bilangan berpangkat negatif tidak dapat langsung diselesaikan, untuk

menyelesaiakannya terlebih dahulu kita ubah menjadi pangkat positif dengan

menggunakan Definisi 1.2 diatas

Contoh :

a. 2-3 = ₃

2

1

=

2 2 2

1



 = 8

1 .

1.2.3. Pangkat Nol

Definisi 1.3

Untuk a bilangan Real, a0, maka didefinisikan :

1

0 

a

Contoh :

a. 50 = 1

1.2.4. Sifat-Sifat Pangkat Bulat Positif

Jika a, b adalah bilangan-bilangan real, a0, b0. Dan

m

dan

n

bilangan bulat positif. Maka berlaku sifat-sifat :

1) Sifat perkalian bilangan berpangkat

n m n m

a a

a   

2) Sifat pembagian bilangan berpangkat

n m n m

a a

a :  

3) Sifat Perpangkatan bilangan berpangkat

 

m n mn a

a 

4) Sifat perpangkatan dari bentuk perkalian dan pembagian

a.



a



b



n



a

n



b

n

b.

 

a

:

b

n



a

n

:

b

n

Contoh :

Sederhanakan bentuk pangkat berikut dengan menggunakan sifat-sifat bilangan

a. 3433  ...  ...

1.2.5. Pangkat Pecahan

Definisi 1.4

Misalkan a bilangan real dan a ≠ 0, n bilangan bulat positif, b bilangan real positif maka didefinisikan :

b an 

1

, sehingga berlaku bn = a.

Definisi 1.5

Misalkan a bilangan real dan a ≠ 0, m, n bilangan bulat positif didefinisikan :

Sifat-sifat Pangkat Pecahan

1. Misalkan a bilangan real dengan a > 0,

adalah bilangan pecahan dengan

n



0, maka berlaku :

adalah bilangan pecahan dengan

n



0 dan q



0, maka berlaku :

Uji Kompetensi 1.1

A. Soal Pemahaman Konsep

1. Tentukan hasil dari masing-masing berikut !

4. Selesaikan!

6. Sederhanakan!

a.





....

B. Soal Pemecahan Masalah

1. Hitunglah

2. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut a. 2x = 8

3. Seorang peneliti di sebuah lembaga penelitian sedang mengamati

pertumbuhan suatu bakteri di sebuah laboratorium mikrobiologi. Pada kultur

bakteri tertentu, satu bakteri membelah menjadi r bakteri setiap jam. Hasil pengamatan menunjukkan bahwa jumlah bakteri pada akhir 3 jam adalah

10.000 bakteri dan setelah 2 jam kemudian, jumlah bakteri tersebut menjadi

40.000 bakteri. Peneliti tersebut ingin mengetahui banyak bakteri sebagai hasil

pembelahan dan mencari tahu banyak bakteri pada akhir 8 jam. (Soal

Kurikulum 13)

4. Diberikan selembar kertas berbentuk persegi panjang. Lipatlah kertas tersebut

di tengah-tengah sehingga garis lipatan membagi bidang kertas menjadi dua

bidang yang sama. Lipatlah lagi dengan cara yang sama kertas hasil lipatan

tadi. Lakukan terus-menerus pelipatan ini. Temukanlah pola yang menyatakan

hubungan banyak lipatan dengan banyak bidang kertas yang terbentuk. (Soal

Kurikulum 13)

5. Suatu zat yang disuntikkan ke dalam tubuh manusia akan dikeluarkan dari

darah melalui ginjal. Setiap 1 jam separuh zat itu dikeluarkan oleh ginjal. Bila

100 mg zat itu disuntikkan ke tubuh manusia, berapa miligram zat itu tersisa

dalam darah setelah:

1) jam?

2) 2 jam?

C. Soal Eksplorasi

1. Misalkan kamu diminta menghitung 764. Berapa banyak perkalian yang kamu

lakukan untuk mendapatkan nilai akhirnya? Bandingkan jawabanmu dengan

temanmu. Pemenang di antara kalian adalah yang dapat mencari hasilnya

dengan melakukan perkalian sesedikit mungkin. Coba tuliskan prosedur

mengalikan yang paling sedikit perkaliannya untuk menghitung 764. Apakah

prosedur tersebut dapat dipergunakan untuk pangkat positif berapapun?

2. Berdasarkan sifat bilangan 7, tentukan angka satuan dari 71234 + 72341 + 73412 +

74123 tanpa menghitung tuntas!

3. Tentukan angka satuan dari

 

 

6

26 62 berdasarkan sifat bilangan 6, tanpa

menghitung tuntas.Selanjutnya lakukan hal tersebut berdasarkan sifat bilangan

2, 3, 4, 5, 8, 9.

4. Tunjukkan bahwa 12001 + 22001 + 32001 + … + 20012001 adalah kelipatan 13.

5. Bagaimana cara termudah untuk mencari ₂₀₁₂



_

_{2010 2009 2008}

_



2011 2012 2013 2008

2 3 6 5

2 5 10 3

 

 

!

1.2.6. Bentuk Akar

Pengakaran (penarikan akar) suatu bilangan merupakan kebalikan dari pemangkatan

suatu bilangan. Akar dilambangkan dengan notasi “ ”.

Bentuk n

a yang berarti akar pangkat

n

dari

a

.

Dimana :

n

= indeks atau pangkat akar

a

= bilangan pokok (basis bilangan)

Catatan :

Untuk akar pangkat 2 dari a, (2 yang merupakan indeksnya tidak ditulis), cukup ditulis a (dibaca akar a)

Definisi 1.6

Misalkan a bilangan real dengan a > 0,

q

p

adalah bilangan pecahan dengan

q



2

,

maka berlaku :

q p

a

= q

a

p .

Catatan :

Bilangan Rasional adalah bilangan real yang dapat dinyatakan dalam bentuk b a

, dengan

Bilangan irasional merupakan bilangan yang mengandung pecahan desimal tak

berhingga dan tak berpola.

Contoh :

Bilangan irasional :

2

= 1,414213562373..., 3 = 1,7320508075...,



= 3,141592653…

Bentuk akar disebut juga bilangan irasional, dengan kata lain bentuk akar yang nilainya

merupakan bilangan irasional maka disebut bentuk akar.

Sedangkan bentuk akar yang menghasilkan bilangan rasional disebut bukan bentuk

akar.

Contoh 1 :

a. Bentuk akar =

2

, 3 , 5 , dst. (karena menghasilkan bilangan

irasional)

b. Bukan bentuk akar =

4

(karena

4



2

, karena 2 bilangan rasional)

= 9 (karena 93, karena 3 bilangan rasional)

Jadi

4

dan 9 bukan bentuk akar, melainkan bilangan rasional.

Contoh 2 :

Manakah bilangan berikut apakah bentuk akar atau bukan !

a. 10= bentuk akar c. 82= ....

b. 3

8 = .... d. 125 = ....

1.2.7. Hubungan Bentuk Akar dan Bilangan Berpangkat

Bentuk akar memiliki hubungan dengan bentuk bilangan berpangkat, seperti kita ketahui

pada definisi 1.6 diatas bahwa bentuk pangkat dapat diubah menjadi bentuk akar, maka

sebaliknya bentuk akar juga dapat diubah menjadi bentuk pangkat.

Dengan menggunakan definisi 1.6 kita memperolah :

q p

a

= q

p

a

.

Contoh :

Ubahlah bentuk akar berikut menjadi bentuk pangkat.

a. 5 = 2 1

5

. b. 3 _{8 =} 3 1

8

c. 5

12

3 = 5 3

12

.

1.2.8. Operasi Pada Bentuk Akar

1.2.8.1. Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Akar

Operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk akar dapat dilakukan jika

merupakan akar sejenis, bentuk akar sejenis yaitu bentuk akar yang

yang hanya mempunyai eksponen (indeks) yang sama, tetapi mempunyai

basis yang berbeda disebut bentuk akar senama.

a. Akar sejenis

:

2

,

4

2

,

10

2

, dst.

b. Akar tidak sejenis

:

2

,

3

,

3

₂

_{, dst.}

c. Akar senama

:

3

2

,

3

5

,

3

8

,dst.

Kelompokkan akar-akar berikut yang sejenis :

5

,

4 3

,

8

2

,

3

5

,

2

,

15 5

,

20 3

,

3

5 23

.

Jawab :

5

dan

15 5

; .... dan .... ; .... dan .... ; .... dan ....

Contoh :

Tentukan hasil dari penjumlahan dan pengurangan bentuk akar berikut!

a. 5 +

7

5

= (1 + 7) 5

= 8 5

b. 5 + 3 _{5 = 5 +} 3 _{5 (tetap karena tidak sejenis)}

c. 3 _{5 - 9}3 _{5 = (1 – 9)} 3 ₅

= -83 ₅

1.2.8.2. Operasi Perkalian dan Pembagian Bentuk Akar

Operasi perkalian dan pembagian bentuk akar dapat dilakukan jika

mempunyai akar senama maupun akar sejenis.

Contoh :

Tentukan hasil dari operasi bentuk akar berikut, kemudian sederhanakan !

a. 2 2= .... f. 6: 2 = ....

b. 5 2 = .... g. 5: 2 =....

c. 10 2 = .... h. 10: 2 = ....

d. 2 33 6 = .... i. 2 3:3 6 = ....

e. 3 3

20

100 = .... j. 3 3

20 :

100 = ....

1.2.8.3. Sifat-sifat Operasi Bentuk akar

Untuk menyelesaikan operasi bentuk akar, selain menggunakan cara diatas

agar lebih mudah kita bisa menggunakan sifat-sifat operasi bentuk akar.

Untuk a, b, dan c bilangan bulat nol atau positif berlaku sifat-sifat :

2)

b

a

b

a

:



6).



a



b



2



(

a



b

)



2

ab

3) a b  a2b 7).



a



b



2



(

a



b

)



2

ab

4)

a

b



c

b



(

a



c

)

b

8)

a



b





a



b





2

ab

Contoh :

a. 2 3= .... e. 10 23 2 = ....

b. 3 3= .... f.

(

2



3

)

2 = ....

c. 6: 3= .... g.

(

2



3

)

2 = ....

d. 2 63 6= ....

1.2.8.4. Menyederhanakan Bentuk akar

Hasil dari operasi bentuk akar adalah bentuk yang paling sederhana,

maka dari itu kita harus bisa menyederhanakan bentuk akar.

Untuk dapat menyederhankan bentuk akar, perhatikan langkah-langkah

berikut :

1) Ubahlah bilangan basis pada bentuk akar menjadi perkalian dua

bilangan, dimana yang satu dapat ditentukan nilai akarnya.

2) Tentukan hasil dari bilangan yang dapat diakarkan tersebut.

3) Tentukan hasil yang paling sederhana.

Contoh :

Sederhanakan bentuk akar berikut :

a.

8

=

42

=

4 2

= 2

2

b.

48

= .... = .... = ....

c.

12

=

43

= ... = ....

d.

3

135

= .... = .... = ....

1.2.8.5. Merasionalkan Penyebut Berbentuk Akar

Seperti kita ketahui bahwa bentuk akar merupakan bilangan irasional. Jika

bentuk akar ini tardapat dalam penyebut dari sebuah pecahan, maka

dikatakan sebagai penyebut bilangan irasional.

Penyebut dalam bentuk akar dapat diubah menjadi bentuk rasional. Cara

merasionalkan penyebut bentuk akar tergantung pada bentuk akar itu sendiri.

Akan tetapi, prinsip dasarnya sama; yaitu mengalikan dengan bentuk akar

Merasionalkan penyebut terbagi menjadi 3 yaitu

1) Bentuk

b

a

Caranya : pembilang dan penyebut dikalikan dengan bentuk akar pada

penyebut, yaitu b

b

Rasionalkan penyebut pecahan berikut!

a.

Caranya : pembilang dan penyebut dikalikan dengan akar sekawan dari

penyebut

Rasionalkan penyebut pecahan berikut!

a.

Caranya : pembilang dan penyebut dikalikan dengan akar sekawan dari

b.

b

a

c



=

a

b

b

a

b

a

c









= ....

Catatan :

bilangan a b adalah akar sekawan dari a b dan sebaliknya.

Contoh :

Rasionalkan penyebut pecahan berikut!

a.

2

5

3



=

5

2

2

5

2

5

3









= ...

b.

3

7

2



= ....

4) Bentuk



a



b





2

ab

.

Bentuk sederhana dari



a



b





2

ab

=



a b



2

=



a b



Bentuk sederhana dari



a



b





2

ab

=



a b



2

=



a  b



Contoh :

1.

8



2

15

=

(

3



5

)



2

3



5

= 3 5.

2. 94 5 = 92 20 =

(

4



5

)



2

4



5

=

4



5

= 2 5

1.2.8.6. Persamaan Eksponen sederhana

Contoh :

Tentukan nilai x dari persamaan eksponen berikut !

a. 2x 8 c.

32 1 2x2 

b. 32x1 81 d. 1 3 2

5 25x  x

Jawab :

a. 2x 8

b. 32x1 81

3

2

2

x



32x1 34

3



x

2x +1 = 4

Bentuk : , , maka berlaku

_{x =} 2 3

Untuk soal yang c dan d kalian coba sendiri.

Uji Kompetensi 1.2

A. Soal pemahaman konsep

1. Manakah bilangan berikut yang merupakan bentuk akar!

a. 3 = .... b. 3

8= .... c.

0

,

04

= .... 2. Sederhanakan bentuk akar berikut !

a. 12= .... b. 72= .... c. 3

16= .... 3. Sederhanakan operasi Aljabar bentuk akar berikut!

a. 32 8= ....

b. 10 54 36 53 3 = ...

c. 3 272 542 50 108 = ...

4. Sederhanakan operasi Aljabar bentuk akar berikut! a.

2

3



5



3



= ....

b.



5



3



2



3



= ....

c.



5



2



2= ....

5. Rasionalkan bentuk akar berikut!

a. 5 2

= .... b.

5

3

= .... c.

5 2

4

 = ....

6. Nyatakan bentuk akar berikut dalam bentuk pangkat!

a. 3= ... b.

5

7

= .... c. 5

3

3 = ....

7. Tentukan nilai x dari persamaan eksponen sederhana berikut! a. 2x 32, nilai x adalah ....

b.

27

1

3

2x1



, nilai x adalah ....

c.

5

2x1



25

x2, nilai x adalah ....

8. Nyatakan pangkat pecahan berikut ke dalam bentuk akar!

a. 3 5

2 = .... b. 4

3

5 = .... c. 3

6 3 2

2 .

2  = .... 9. Sederhankan bentuk akar berikut!

a. 198 3 = .... b. 52 6 = .... c. 4312 7 = ....

B. Soal pemecahan masalah

1. Seorang ahli ekonomi menemukan hubungan antara harga (h) dan banyak

2. Hasil dari

2

1

1



+

2

3

1



+

3

4

1



+ ... +

99

100

1



= ....

3. Nilai dari

...

3

1

3

1

3

1







= ....

4. Nilai dari 3

₂

₃

3

₂

₃

3

₂

₃

3

_...

_{= ....}

5. Nilai dari

2



2



2



2



2



...

= ....

6. Soal Eksplorasi

1.

...

1

1

1

1

1

1







= ....

2. Jika a, b bilanga asli dengan a



b dan

b

a





4

3

adalah bilangan rasional,

tentukan pasangan (a, b) (OSN 2005/2006)

3. Nyatakan b dalam a dan c dari persamaan

abc

a

c

c

b



3 3

!

4. Sederhankan bentuk 4

6 20 49 !

5. Tentukan nilai a dan b dari

3

2

1



+

3

4

1



+

4

5

1



+ ... +

1

.

000

.

000

1

.

000

.

001

1



=

a



b

.

6. Hitunglah 5414 5  122 35  3210 7 = ....

7. Jika (3 + 4)(32 + 42)(34 + 44)(38 + 48)(316 + 416)(332 + 432) = (4x– 3y), tentukan nilai

x – y?

1.2.9. Pengertian Logaritma

Logaritma adalah invers dari pangkat

Contoh :

Ubahlah bentuk pangkat berikut menjadi bentuk logaritma dan sebaliknya!

a. 102 10010log1002 c. 27 3

1 -3_

    

 _{ ....}

b. 3log92  .... d. 4

16 1 log

3 _  _....

1.2.10. Sifat-sifat Logaritma

Untuk a, b, dan c bilangan real positif dan a  0, maka berlaku :

1) alogbcalogbalogc 6) ,c 1 a log

b log b log _c

c

 

a

2) logb logc c

b

log  a  a

a ₇₎

a log

1 b log  _b a

3) alogbnn alogb 8) logb n m b

log m a

n

a

4) alog10

9) aalogbb

5) alogb. blogcalogc 10) aloga1

Contoh :

Dengan menggunakan sifat-sifat logaritma, tentukan nilai dari :

a. 6log4 6log9 = 6log4(9) = 6log36 = 2

b. 5log100 5log4 = ....

c. 2log3. 3log16 = ....

d. 2log44log55log4 4log8 = ....

1.2.11. Persamaan Logaritma sederhana

Berikut merupakan bentuk persamaan logaritma sederhana

Contoh :

Selesaikan persamaan logaritma berikut :

a. 2log(3x5)5 b. 3log32x4

Jawab :

a. 2log(3x5)5 b. 3log32x4

5 2 2

2 log 5) (3x

log   ....

Maka berlaku : maka berlaku :

5

2 5

3x  ....

Perhatikan bentuk berikut :

1. , maka berlaku : f(x) = y , dengan f(x) > 0

32 5 3x 

5 32 3x 

3x = 27

x = 9, jadi nilai x = 9

Uji Kompetensi 1.3

A. Soal Pemahaman Konsep

1. Nyatakan dalam notasi logaritma!

a. 4a 8  .... b.

25 1

5-2   .... c.

64 1

26  .... 2. Nyatakan ke dalam bentuk pangkat!

a. 3log27 b

.... b. 2log4 2

.... c. -1

5 1 log

5  _....

3. Tentukan nilai logaritma berikut!

a. log0,001 = .... b. 5log0,04= .... c.

16 1 log

2 _{= ....}

4. Dengan menggunakan sifat-sifat logaritma, tentukan nilai dari logaritma berikut!

a. 2log33log8 = ....

b. 2log9 3log255log32 = ....

c. log 27 log125 12log12

1 9

5  

= ....

5. Selesaikan persamaan logaritma sederhana berikut!

a. 25log52x4

, nilai x = .... b. 2log(2x7)2

, nilai x = ....

6. Pikirkan dan diskusikan!

a. 2x 5log125, nilai x = .... b. xlog81-4, nilai x = ....

B. Soal Penyelesaian Masalah

1. Jika b = a4, a & b bilangan real positif, a ≠ 1, b ≠ 1, tentukan nilai alog b –blog a! 2. Jika alog b = 4, clog b = 4 dan a, b, c bilangan positif, a, c



1, tentukan nilai dari

 





2

1 4

log

bc

a

!

3. Log2 a adalah notasi untuk (log a)2. Berapakah nilai a yang memenuhi

2



log2 a + log a = 6

4. Nyatakan p dalam q supaya berlaku plog q – 6 qlog p = 1!

5. 2log2 a adalah notasi untuk (2log a)2. Jika a adalah bilangan bulat positif, maka

C. Soal Eksplorasi

1. Pada awal tahun, Rony menabung uang di bank sebesar Rp125.000,00. Ia

menyimpan uang tersebut selama 8 tahun. Berapa jumlah uang Rony pada

akhir tahun ke delapan jika bank memberi suku bunga majemuk 6% setahun?

2. Pak Thomas menabung Rp.2.000.000,00 selama 5 tahun dengan bunga 12%

per tahun. Jika perhitungan bunga tiga bulanan, berapakah besar bunga yang

diterima Pak Thomas?

3. Tentukan skala decibel suara berikut.

a. Percakapan normal yang memiliki intensitas 3,2 × 10-6 Watt per meter

kuadrat.

b. Pesawat jet yang baru lepas landas yang memiliki intensitas 8,3 × 102 Watt

per meter kuadrat.

4. Gemuruh suara Air terjun Niagara memiliki skala decibel 90. Tentukan intensitas bunyi dari air terjun tersebut. Apakah intensitas tersebut masih aman untuk

telinga manusia?

5. Jika 4log a = p dan 8log b = q, maka tentukanlah

a

53

b

a

53

b

a

53

b

...

dalam p dan q?

ULANGAN HARIAN 1

A. Soal Pilihan ganda (pilihlah jawaban yang paling benar!)

1.

 

3 2 2

2 :

4a a = .... a. 4

8a b. 3

8a c. 3

4a d. 4

2a e. 3

2a

2.

 

_4x3/2 2_:1/2x1/2_{= ....} a. 2

8x b. 2

4x c. 8x d. 4x e. 2x

3.

16

0,125



 

0

,

5

0,5= ....

a. 2 2 b. 2 c. 0 d.  2 e. 2 2

4. Hasil dari ₂

2 3

2

5 4 1 27

       

adalah ....

a. -1 b.

25

7



c.

25

1

d.

25

7

e. 1

5. Bentuk sederhana dari





_











 

2 1 3

2

6

:

8

y

x

y

a. 48xy1 b. 3 5

10. Dengan merasionalkan penyebutnya,

15

11. Bentuk sederhana dari

2 3

4

 = ....

a. 4 5 b. 4 1 c.

4



3



2



d. 4 3 2 e.

4



3



5



12. Dengan merasionalkan penyebutnya,

5

13. Bentuk sederhana dari

16. Himpunan penyelesaian dari

2

8

17. Nilai x yang memenuhi persamaan

a. 2 b. 1 c.

B. Soal isi (kerjakan soal berikut dengan benar!)

1. Diketahui a = 9, b = 16, dan c = 36, hitunglah nilai dari :

2. Sederhanakan dan nyatakan hasilnya dalam pangkat positif bentuk pangkat berikut!

a. 4

3. Tentukan penyelesaian dari persamaan berikut!

a.

5

x



125

b.

8

1

2

2x3



4. Sederhanakanlah!