HUBUNGAN MODUL TERBANGKIT MODUL-R DAN TERBANGKIT MODUL-R []

(1)

M-247

HUBUNGAN MODUL TERBANGKIT MODUL-R

DAN TERBANGKIT MODUL-R

[ ]

S

Budi Surodjo

Jurusan Matematika FMIPA UGM

e-mail: surodjo_b@ugm.ac.id

Abstrak

Modul terbangkit modul-R terkait erat dengan eksistensi submodul di dalam modul deret pangkat tergeneralisasinya (MDPT), sebagai prapeta homomorfisma dari kodomain atas R. Fenomena pembangkit sebagai bagian MDPT atas R

[ ]

S

, diselidiki lebih dalam untuk mengungkap hubungan struktural antara pembangkit atas R dengan pembangkit modul atas ring deret pangkat tergeneralisasi.

Kata-kata kunci: modul terbangkit, MDPT, ring deret pangkat tergeneralisasi

PENDAHULUAN

Modul N atas gelanggang R dikatakan dibangun oleh modul M jika dapat ditemukan



K

M

[ ]

x

≅

M

[ ]

N

₀ dan epimorfisma

φ

:K →N, dengan

N

₀

=

{

0 ,

1 ,



}

terhadap penjumlahan dan urutan bilangan. Berdasarkan pengamatan pada ruang modul dan basis Schauder dalam ruang Banach (Neerven, 1992), dapat didefinisikan modul terbangkit modul. Definisi terbangun modul diperumun dengan mengambil modul M atas gelanggang R yang komutatif dengan elemen identitas 1 dan

( )

S

,

≤

monoid terurut tegas. (Surodjo, 2008)

Dengan menggunakan semua notasi yang dikemukakan Surodjo (2006;2007) dapat dibentuk modul deret pangkat tergeneralisasi

M

[ ]

S

atas gelanggang deret pangkat tergeneralisasi

R

[ ]

S

.

Gelanggang R (atau modul M) merupakan subgelanggang

R

[ ]

S

(atau submodul

M

[ ]

S

), sehingga diperoleh definisi berikut ini.

Definisi 1.1. Diketahui S monoid terurut tegas '≤'; sedangkan N dan M modul atas R. Modul N dikatakan terbangkit M_{( )}_S_,_≤ atas R, jika dapat ditemukan K, sehingga

K



M

[ ]

S

atas R dan epimorfisma

, :K →N

φ

dengan kata lain K →N →0 eksak.

Pada Definisi 1.1, jika pembicaraan hanya melibatkan satu monoid

( )

S

,

≤

, maka pernyataan “N terbangkit M_{( )}_S_,_≤ ” cukup ditulis “N terbangkit M”. Sebaliknya, jika di dalam pembicaraan

melibatkan monoid terurut tegas

( )

S

,

≤

dan

(

S

₁

,



)

, maka untuk menghindari kerancuan, pernyataan “N terbangkit M atas S” perlu ditulis “N terbangkit M_{( )}_S_,_≤ ”.

Berdasarkan Definisi 1.1 oleh Surodjo (2008) dapat diturunkan beberapa sifat elementer yang identik dengan beberapa sifat-sifat pada teori modul, yang menunjukkan relevansi konsep terbangkit modul dengan konsep terbangun modul.

Teorema 1.2. Diketahui L dan N modul atas R, dengan N terbangkit M. Jika L→M →0

(2)

M-248

Teorema 1.2 menunjukkan, bahwa jika L submodul M dan N terbangkit L, maka N

terbangkit L. Fakta ini merupakan sifat yang juga berlaku pada pengertian membangun biasa. Berikut ini diberikan beberapa sifat elementer yang lainnya.

Teorema 1.3. Diketahui N modul atas R dan L



N . Jika N terbangkit M, maka L terbangkit M. Jika

L

₁

,

L

₂

,



,

L

_n



N dan masing-masing terbangkit M, maka

L

₁

∩

∩

L

_n terbangkit M.

Hubungan antar urutan pada monoid S dan hubungan antara monoid tersebut dengan submonoidnya sangat berperan dalam pengertian terbangkit modul. Akibatnya jika

S

₁submonoid

terurut tegas S, maka

M

[ ]

S

₁ submodul

M

[ ]

S

atas

R

[ ]

S

₁ . Berikut ini diberikan dampak adanya dua relasi urutan pada S pada konsep terbangkit modul.

Teorema 1.4. Diketahui S monoid terurut tegas atas '

≤

' dan N modul terbangkit M_{( )}_S_,_≤ atas R.

1. Jika '

≤

' finerdibanding '



', makaNmodul terbangkit M_{( )}_S_,_≤ . 2. Jika S submonoid

S

₁, maka N modul terbangkit _{( )}

1 S

M

.

Selanjutnya, dibentuk himpunan

[

]

[

M

,

S

_≤

]

=

{

N

modul

terbangki

t

M

_{( )}_S_,_≤

}

σ

.

Dengan memperhatikan Teorema 1.4, diperoleh sifat jika '

≤

' finer dibanding '



', maka

[

]

[

M

,

S



]

σ

merupakan subhimpunan

σ

[

M

,

S

≤

]

. Selain itu, jika S submonoid terurut tegas T atas urutan '≤', maka

σ

[

M

,

S

_≤

]

merupakan subhimpunan

σ

[

M

,

T

_≤

]

.

HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

Pada bagian ini diasumsikan M modul atas gelanggang komutatif R yang memiliki identitas dan S monoid komutatif yang terurut tegas. Semigrup terurut tegas S atas

'

≤

'

dikatakan terurut subtotal jika untuk setiap r,s∈S terdapat bilangan asli k,sehingga kr≤ks atau kr ≥ks. Pada kasus S monoid dan

S

≠

{ }

0

, dapat ditemukan s∈S yang memenuhi ks>0 atau ks<0 untuk suatu bilangan asli k.

Teorema 2.1. DiketahuiS monoid terurut tegas. Jika terdapat s∈S, yang memenuhi s >0atau

0

<

s , maka terdapat

S

₁ submonoid terurut tegas S, sehingga

1. S₁ ≅_ϕ N₀,

(

∀

k

,

l

∈

N

₀

)

(

k



l

⇔

ϕ

−1

( )

k

<

ϕ

−1

( )

s

)

atau

2. S₁ ≅_ϕ

{

0,−1,−2,

}

,

(

∀

k

,

l

∈

N

₀

)

(

−

k



−

l

⇔

ϕ

−1

( )

k

<

ϕ

−1

( )

s

)

sebagai monoid terhadap penjumlahan dan urutan

'



'

bilangan. Bukti:

Kasus 1: Terdapat s∈S yang memenuhi s>0. Dibentuk himpunan

{

0

}

1

=

ks

k

∈

N

Z

Jelas

(

Z

₁

,

+

)

monoid bagian

( )

S

,

+

,

(

Z

₁

,

≤

)

terurut tegas, dan

(

k

+

1 )

s

>

ks

>

0

, untuk setiap

N

∈

k . Akibatnya ls<ks untuk setiap bilangan asli l k.

(3)

M-249

( ) ( )

ls

ks

.

k

l

ks

ls

<

⇔



⇔

ϕ

<

ϕ

Akibatnya

(

N

₀

,

+

,



) (

≅

Z

₁

,

+

,

≤

)

submonoid terurut tegas .

Kasus 2: Terdapat s∈S yang memenuhi s<0. Seperti kasus 1, dibentuk himpunan

Z

₁.

Himpunan

(

Z

₁

,

+

)

submonoid

( )

S

,

+

dan terurut tegas atas '≤'. Untuk setiap k∈N,

(

k

+

1 )

s

<

ks

<

0

, sehingga ls<ks untuk setiap bilangan asli l dan k, dengan −l−k.

Diambil pemetaan

ϕ

:

Z

₁

→

N

₀−, dengan

ϕ

( )

ks

=

−

k

dan

ϕ

( )

0 =

0

. Pemetaan

ϕ

merupakan homomorfisma monoid yang bijektif dan memenuhi,

( )

ls

( )

ks

k

l

ks

ls

<

⇔

−



−

⇔

ϕ



ϕ

Akibatnya

(

N

₀−

,

+

,



)

≅

(

Z

₁

,

+

,

≤

)

.

Selanjutnya jika diketahui f pemetaan dari S ke M, maka S dapat dipartisi menjadi kelas-kelas yang saling asing berdasarkan peta dari masing-masing elemen terhadap f.

Lemma 2.2. Diketahui f pemetaan dari monoid S ke dalam modul M. Relasi '∝_f 'pada S dengan definisi untuk setiap a,b∈S

( )

a f

( )

b f

b

a∝_f ⇔ =

merupakan relasi ekuivalensi, sehingga S terpartisi menjadi kelas-kelas yang saling asing s

dengan s∈S.

Lemma 2.2 menjadi salah satu dasar pembuktian eksistensi epimorfisma pada

N

[ ]

S

atas

[ ]

S

R

, jika Nterbangkit M. Salah satu sifat yang muncul pada modul terbangkit M atas R berhubungan erat dengan konsep terbangkit

M

[ ]

S

atas

R

[ ]

S

.

Teorema 2.3. Diketahui N modul atas R dan

S

₁submonoid terurut tegas S. Jika N terbangkit M atas R, maka

N

[ ]

S

₁ terbangkit

M

[ ]

S

atas

R

[ ]

S

₁ .

Bukti:

Modul N terbangkit M atas R, berarti dapat ditemukan

K



M

[ ]

S

atas R dan epimorfisma-R,

φ

:K →N. Selain itu

S

₁ submonoid S, berakibat

R

[ ]

S

₁ subring

R

[ ]

S

, sehingga

M

[ ]

S

modul atas

R

[ ]

S

₁ . Lebih lanjut dapat dibentuk modul deret pangkat

tergeneralisasi

K

[ ]

S

₁



(

M

[ ]

S

)

[ ]

S

₁ dan

N

[ ]

S

₁ atas

R

[ ]

S

₁ .

Didefinisikan pengaitan

φ

∗ :K

[ ]

S₁ →N

[ ]

S₁ dengan

[ ]

(

∀f ∈K S₁

) ( )

φ

∗ f =

φ

 f

komposisi fungsi. Untuk sebarang

x

∈

supp

(

φ



f

)

,

0 ≠

φ

(

f

( )

x

)

, sehingga

f

( )

x

≠

0 .

Dengan kata lain

x

∈

supp

( )

f

, jadi

supp

(

φ



f

)

⊆

supp

( )

f

. Karena

supp

( )

f

Artin dan narrow, maka

(

φ



f

)

(4)

M-250

akibatnya

φ

∗ pemetaan. Selain itu dengan menggunakan sifat homomorfisma

φ

, dapat

ditunjukkan

φ

∗ homomorfisma.

Akibat 2.4. Diketahui N modul atas R dan S monoid terurut tegas subtotal tidak nol. Jika N terbangkit M atas R terhadap S, maka

ks . Berdasarkan Teorema 2.1 terdapat

S

₁ submonoid terurut tegas S yang memenuhi

0

Selanjutnya dari bukti pada Akibat 2.4, jika bagian 2 yang terjadi, maka terdapat

{

0 ,

1 ,

2 ,



}

Kondisi ini menunjukkan hubungan antara konsep terbangkit M atas R dengan eksistensi modul K

(5)

M-251 Jika

S

₁

≅

N

₀, maka

M

[ ]

S

₁

≅

M

[ ]

x

→

N

→

0

eksak dan

M

[ ] [ ]

S

₁



M

[ ]

S

₁ submodul

[ ]

S

M

atas R. Jadi N terbangkit M atas R dan S. Lebih lanjut, jika

S

₁

≅

{

0 ,

−

1 ,

−

2 ,



}

dengan kondisi urutan Teorema 2.1.2, maka

M

[ ]

S

₁

≅

M

[ ]

x

→

N

→

0

eksak dan

M

[ ]

S

₁ submodul

[ ]

S

M

atas R.

Berikut ini diberikan beberapa sifat yang merupakan akibat dari Teorema 1.2, 1.3, 2.1, dan Akibat 2.4.

Akibat 2.6. Diketahui L dan N modul atas R, dengan N terbangkit Matasmonoid terurut tegas S dan terdapat s∈S, yang memenuhi s>0atau s<0. Jika L→M →0 eksak atau

L M →

→

0 eksak,

1.

N

[ ]

x

terbangkit

L

[ ]

S

atas

R

[ ]

x

atau

2.

N

[ ]

x

terbangkit

L

[ ]

S

atas

R

[ ]

x

.

Bukti:

Berdasarkan Teorema 1.2, dapat disimpulkan N terbangkit L atas R. Di sisi lain karena terdapat s∈S, yang memenuhi s>0atau s<0, maka sesuai Teorema 2.1 dan bukti pada Akibat 2.4 berlaku

N

[ ]

x

terbangkit

L

[ ]

S

atas

R

[ ]

x

atau

N

[ ]

x

terbangkit

L

[ ]

S

atas

R

[ ]

x

.

Akibat 2.7. Diketahui N modul terbangkit M atas R dan S, dengan S monoid terurut yang memenuhi s >0atau s<0, untuk suatu s∈S. Jika

L

₁

,

L

₂

,



,

L

_n



N dan masing-masing

L

_i

terbangun M atas R, maka

L

₁

∩

∩

L

_n terbangkit

M

_S atas R.

Bukti:

Berdasarkan bukti pada Teorema 2.5, untuk masing-masing i=1,,n,

[ ]

₀

≅

M

[ ]

x

→

L

_i

→

0 M

N

eksak. Karena S monoid terurut tegas yang memenuhi s>0atau

0

<

s , untuk suatu s∈S, maka terdapat

S

₁ submonoid terurut tegas S yang memenuhi

0 1

≅

N

S

atau

S

₁

≅

{

0 ,

−

1 ,

−

2 ,



}

. Akibatnya

L

_i terbangkit

M

_S atas R, untuk setiap n

i=1,, . Sesuai Teorema 1.3,

L

₁

∩

∩

L

_n terbangkit

M

_S atas R. 

Akibat 2.6 dan 2.7 akan tetap berlaku jika monoid terurut tegas S yang memenuhi terdapat S

s∈ , dengan s>0atau s<0 diganti monoid terurut tegas subtotal atau terurut total.

Hasil-hasil yang telah disajikan baru mengungkapkan hubungan parsial antara modul terbangkit M atas R dan modul terbangkit

M

[ ]

S

atas

R

[ ]

x

untuk kasus S monoid terurut tegas subtotal. Masalah terbuka yang perlu diselidiki adalah syarat cukup agar modul yang terbangkit

( )S,≤

M atas R pasti terbangun oleh suatu K submodul M atas

R

[ ]

S

₁ dengan

(

S

₁

,



)

(6)

M-252

DAFTAR PUSTAKA

Neerven, J., 1992, The Adjoint of a Semigroup of Linear Operators, Springer-Verlag, Berlin Heilderberg.

Surodjo, B., 2006, Struktur Koaljabar Gelanggang Deret Pangkat Teritlak, Disertasi S3, Pascasarjana Universitas Gadjah Mada.

Surodjo, B., 2007, Modules with Sigma Operations, Diseminarkan pada Second Joint Conference Indonesia Malaysia, ITS Surabaya, January 11-12, 2007.