Teori P, NP, dan
NP-Complete
Bahan Kuliah IF2211 Strategi Algoritma
Oleh: Rinaldi Munir
Pendahuluan
• Kebutuhan waktu algoritma yang mangkus bervariasi, mulai dari O(1), O(log log n), O(log n), O(n), O(n2), dan
O(n3).
• Semua algoritma tersebut digolongkan “bagus” dan dikenal sebagai solusi polinomial. Hal ini karena
kebutuhan waktunya secara asimptotik dibatasi oleh
fungsi polinomial. Misalnya log(n) < n untuk semua n 1.
• Sebaliknya, ada persoalan yang tidak terdapat solusi waktu polinomial untuk menyelesaikannya, misalnya TSP yang memiliki kompleksitas O(n!). Persoalan
Definisi
• Polynomial-time algorithm adalah algoritma yang
kempleksitas waktu kasus-terburuknya dibatasi oleh fungsi polinom dari ukuran masukannya.
T(n) = O(p(n)) p(n) adalah polinom dari n
Contoh:Persoalan sorting T(n) = O(n2), T(n) = O(n log n) Persoalan searching T(n) = O(n), T(n) = O(log n) Perkalian matriks T(n) = O(n3), T(n) = O(n2.83)
• Diluar itu, algoritmanya dinamakan nonpolynomial-time algorithm.
Contoh: TSP, integer knapsack problem, graph coloring,
• Bin-packing problem: Terdapat sejumlah kardus masing-masing dengan kapasitas C dan n barang berukuran S1, S2, ..., Sn, Kemaslah n barang ke dalam M kardus
sedemikian sehingga ukuran total barang di dalam setiap kardus tidak melebihi C. Temukan minimal M
yaitu paling sedikit jumlah kardus untuk menampung n
• Sebuah persoalan dikatakan tractable jika ia dapat diselesaikan dalam waktu yang wajar (reasonable).
• Sebuah persoalan dikatakan intractable jika ia tidak dapat diselesaikan dalam waktu yang wajar dengan
bertambahkanya ukuran persoalan.
• Apa yang dimaksud dengan waktu yang wajar? Standar waktunya adalah polynomial time.
– Polynomial time: O(n2), O(n3), O(1), O(n lg n)
– Not in polynomial time: O(2n), O(nn), O(n!) untuk n
Beberapa terminologi lain
Dikaitkan dengan Mesin Turing, sebuah persoalan dikatakan:
• Solvable, jika terdapat mesin Turing yang dapat
menyelesaikannya.
• Unsolvable, jika tidak dapat dibuat mesin Turing untuk
menyelesaikannya.
• Solvable problem dapat dibagi menjadi dua kategori:
1. Tractable
• Adakah persoalan yang insolvable? Ada, contoh
persoalan yang terkenal dikemukakan oleh Alan Turing pada tahun 1963, yaitu halting problem.
• Halting problem: diberikan sebuah program komputer dan input untuk program tersebut, tentukan apakah
• Jadi, untuk program P dan input I,
A(P, I) = 1, jika program P berhenti untuk masukan I
= 0, jika program P tidak berhenti
• Sebagai contoh, kode program berikut
while (true) { }
akan terus berulang tanpa berhenti (infinite loop)
Sedangkan program
printf ("Hello World!“);
• Sebuah program yang lebih kompleks mungkin lebih sulit untuk menganalisisnya.
• Masalahnya adalah, apakah program benar-benar berhenti? Bagaimana membuktikan bahwa program benar-benar berhenti?
• Jika program tidak berhenti, tidak ada cara untuk
mengetahui apakah program akhirnya akan berhenti atau loop forever.
• Turing membuktikan tidak ada algoritma yang dapat diterapkan untuk setiap program dan masukan
• Alan Mathison Turing, (23 June 1912 – 7 June 1954), was an
English mathematician, logician,
cryptanalyst, and computer
scientist. He was highly influential in the development of computer science, providing a formalisation of the concepts of "algorithm" and "computation" with the Turing
machine, which played a
Teori NP
• Dalam membahas teori NP, kita hanya membatasi pada persoalan keputusan (decision problem)
• Persoalan keputusan adalah persoalan yang solusinya hanya jawaban “yes” atau “no”.
Contoh: 1. Diberikan sebuah integer x.
Tentukan apakah elemen x terdapat di dalam tabel?
2. Diberikan sebuah integer x.
Tentukan apakah x bilangan prima?
3. Diberikan sebuah graf G, apakah G graf Hamilton?
• Setiap persoalan optimasi yang kita kenal memiliki
decision problem yang bersesuaian.
1. Travelling Salesperson Problem
• Diberikan graf berarah dengan bobot (weight) pada
setiap sisinya. Sebuah tur di dalam graf tersebut dimulai dari sebuah simpul,mengunjungi simpul lainnya tepat
sekali dan kembali lagi ke simpul asalnya.
• Travelling Salesperson Optmization Problem (TSOP)
adalah persoalan menentukan tur dengan total bobot sisi minimal TSP yang sudah biasa dikenal.
• Travelling Salesperson Decision Problem (TSDP) adalah persoalan untuk menentukan apakah terdapat tur
2. Knapsack Problem
• Diberikan n buah objek dan sebuah knapsack dengan kapasitas W. Setiap objek memiliki profit masing-masing.
• Integer Knapsack Optimization Problem adalah
menentukan objek-objek yang dimasukkan ke dalam
knapsack namun tidak melebihi W sehingga
memberikan total profit maksimum. Knapsack problem yang sudah kita kenal
• Integer Knapsack Decision Problem adalah persoalan untuk menentukan apakah dapat memasukkan
3. Graph Colouring Problem
• Graph-Colouring Optimization Problem adalah
menentukan jumlah minimal warna yang dibutuhkan untuk mewarnai graf sehingga dua simpul bertetangga memiliki warna berbeda. Graph Colouring problem
yang kita kenal.
• Graph-Colouring Decision Problem adalah menentukan, untuk suatu integer m, apakah terdapat pewarnaan yang menggunakan paling banyak m warna sedemikian
• Kita belum menemukan algoritma polinomial untuk persoalan optimasi atau persoalan keputusan pada contoh-contoh di atas.
• Namun, jika kita dapat menemukan algoritma polinomial untuk jenis persoalan optimasi tersebut, maka kita juga mempunyai algoritma waktu-polinom untuk persoalan keputusan yang bersesuaian.
• Contoh: jika pada persoalan Travelling Salesperson Optimization Problem (TSOP) tur minimal adalah 120,
• maka jawaban untuk persoalan Travelling Salesperson Decision Problem (TSDP) adalah “yes” jika d 120, dan “no” jika d < 120.
• Begitu juga pada persoalan Integer Knapsack
Optimization Problem, jika keuntungan optimalnya
adalah 230, jawaban untuk persoalan keputusan integer knapsack yang berkoresponden adalah “yes” jika P
P Problems
• P Problems adalah himpunan semua persoalan keputusan yang dapat dipecahkan oleh algoritma dengan kebutuhan waktu polinom.
• Semua persoalan keputusan yang dapat diselesakan dalam waktu polinom adalah anggota himpunan P.
Contoh: Persoalan mencari apakah sebuah key terdapat di dalam sebuah larik adalah P Problems.
• Apakah Travelling Salesperson Decision Problem
(TSDP) termasuk P Problems?
• Meskipun belum ada orang yang menemukan algoritma TSDP dalam waktu polinom, namun tidak seorang pun dapat membuktikan bahwa TSDP tidak dapat
dipecahkan dalam waktu polinom.
• Algoritma deterministik adalah algoritma yang dapat ditentukan dengan pasti apa saja yang akan dikerjakan selanjutnya oleh algoritma tersebut.
• Algoritma deterministik bekerja sesuai dengan nature
komputer saat ini yang hanya mengeksekusi satu operasi setiap waktu, diikuti oleh operasi selanjutnya (sequential), begitu seterusnya.
• Algoritma non-deterministik adalah algoritma yang
berhadapan dengan beberapa opsi pilihan, dan algoritma memiliki kemampuan untuk menerka opsi pilihan yang tepat.
• Algoritma deterministik dijalankan oleh komputer
• Contoh 1: TSDP
Algoritma non-deterministik TSDP:
for i := 1 to n do
pilih sebuah sisi (edge) dari graf G
hapus sisi tersebut dari himpunan sisi end
• Solusi dapat diverifikasi dengan menghitung semua bobot sisi yang terpilih dan memeriksa apakah
jumlahnya lebih kecil dari d
• Contoh 2 (Persoalan sirkuit Hamilton): Diberikan
sebuah graf G. Apakah G mengandung sirkuit Hamilton? Sirkuit Hamilton adalah sirkuit yang melalui setiap simpul di dalam graf tepat satu
Algoritma non-deterministik:
1. Terkalah permutasi semua simpul
2. Periksa (verifikasi) apakah permutasi tersebut
• Ada dua tahap di dalam algoritma non-deterministik:
1. Tahap menerka (non-determinsitik): Diberikan
instance persoalan, tahap ini secara sederhana
(misalnya) menghasilkan beberapa string S. String ini dapat dianggap sebagai sebuah terkaan pada sebuah solusi. String yang dihasilkan bisa saja tidak bermakna (non-sense).
2. Tahap verifikasi (deterministik): memeriksa apakah S menyatakan solusi. Keluaran tahap ini adalah “true” jika
Contoh pada TSDP:
Tahap verifikasi
function verify(G:graph; d:number, S:claimed_tour) Algoritma
• Meskipun kita tidak pernah menggunakan algoritma non-deterministik untuk menyelesaikan persoalan, namun kita menyatakan bahwa algoritma non-deterministik “menyelesaikan” persoalan keputusan apabila:
1. Untuk suatu instance dimana jawabanya adalah “yes”,
terdapat beberapa string S yang pada tahap verifikasi menghasilkan “true”
2. Untuk suatu instance dimana jawabannya adalah “no”,
• Contoh untuk TSDP dengan d = 15:
[v1, v4, v2, v3, v1] False S bukan sebuah tur
^%@12*&a% False S bukan sebuah tur
[v1, v3, v2, v4, v1] True S sebuah tur, total bobot 15
• Kita dapat menyatakan bahwa algoritma non-deterministik
“menyelesaikan” TSDP dalam dua tahap tersebut
v1 v2
NP Problems
• NP = non-deterministik polynomial
• Polynomial-time non-deterministic algorithm adalah
algoritma non-deterministik dimana tahap verifikasinya adalah algoritma dengan kebutuhan waktu polinom.
• NP Problems adalah himpunan persoalan keputusan
yang dapat diselesaikan oleh algoritma non-deterministik dalam waktu polinom.
• TSDP adalah contoh persoalan NP, sebab jika diberikan sebuah terkaan string (tur), maka dibutuhkan O(n) untuk memverifikasi solusi.
• Integer Knapsack Decision problem dan Graph Coloring Decision Problem semuanya adalah NP.
• Semua persoalan P juga adalah NP, sebab tahap menerka tidak
terdapat di dalam persoalan P. Karena itu, P adalah himpunan bagian dari NP.
NP P NP
•
Adakah persoalan yang bukan NP? Ada, yaitu
persoalan
intractable
. Contohnya
halting
problem
.
•
Kita telah menyebutkan sebelumnya bahwa
TSDP belum terbukti apakah P atau bukan.
•
Dengan kata lain, tidak seorangpun pernah
•
Pertanyaan apakah P = NP adalah salah satu
pertanyaan penting dalam ilmu komputer.
•
Pertanyaan ini penting sebab, seperti telah
disebutkan sebelumnya, kebanyakan persoalan
keputusan adalah NP.
•
Karena itu, jika P = NP, maka betapa banyak
persoalan keputusan yang dapat dipecahkan
secara mangkus dengan algoritma yang
•
Namun kenyataannya, banyak ahli yang
telah gagal menemukan algoritma
waktu-polinom untuk persoalan NP.
• The P versus NP problem is a major unsolved problem in computer science. Informally, it asks whether every problem whose solution can be quickly verified by a computer can also be quickly solved by a computer. It was introduced in 1971 by Stephen Cook in his seminal paper "The complexity of theorem proving procedures"[2] and is considered by many to be the most important
open problem in the field.[3] It is one of the seven
Millennium Prize Problems selected by the Clay
Mathematics Institute to carry a US$1,000,000 prize for the first correct solution.
The Clay Mathematics Institute Millenium Prize
Problems:
1. Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture
2. Hodge Conjecture
3. Navier-Stokes Equations
4. P vs NP
5. Poincaré Conjecture
6. Riemann Hypothesis
7. Yang-Mills Theory
NP-Complete Problems
• NP-Complete (NPC) adalah persoalan NP yang paling menarik.
• Definisi NPC. Sebuah persoalan X dikatakan NPC jika: 1) X termasuk ke dalam kelas NP
2) Setiap persoalan di dalam NP dapat direduksi dalam waktu polinom menjadi X
NP P
• Cara termudah untuk membuktikan sebuah persoalan X adalah NPC adalah menemukan sebuah metode
sederhana (algoritma dalam waktu polinom) untuk
mentransformasikan persoalan yang sudah dikenal NPC menjadi persoalan X tersebut.
• Dengan kata lain, untuk menunjukkan bahwa X adalah NPC, caranya adalah sebagai berikut:
1) Tunjukkan bahwa X adalah anggota NP
2) Pilih instance, Y, dari sembarang persoalan NPC. 3) Tunjukkan sebuah algoritma dalam waktu polinom
untuk mentransformasikan (mereduksi) Y menjadi
P1
P2
P3
P4
Y: Persoalan
NPC yang dipilih X
• Contoh: TSDP adalah persoalan yang telah terbukti NPC. Kita ingin menunjukkan bahwa persoalan Sirkuit Hamilton (HCP, Hamiltonian Circuit Problem) juga
adalah NPC.
Persoalan HCP: Diberikan sebuah graf G dengan n buah simpul, tentukan apakah graf tersebut mengandung
• Untuk mentransformasikan HCP menjadi TSDP, maka algoritma transformasi yang sederhana adalah sbb:
1. Setiap sisi di dalam graf G diberi nilai (bobot) 1
2. Nyatakan persoalan menjadi TSDP, yaitu adakah tur dengan total bobot n?
• Dengan transformasi ini, maka persoalan HCP sudah ditransformasi menjadi instans persoalan TSDP.
• Transformasi ini (yaitu memberi bobot setiap sisi dengan nilai 1) membutuhkan waktu polinom (yaitu dalam term
• Misalkan di dalam graf G = (V, E), |E| = m, yaitu jumlah sisi di dalam graf adalah n. Maka, algoritma memberi setiap sisi di dalam graf G dengan 1 adalah sbb:
for tiap sisi (u, v) E do
(u, v) 1
end
Jumlah pengulangan untuk (u, v) 1 adalah sebanyak
m kali, sehingga:
• Contoh ini memberikan sugesti bahwa jika transformasi dari sembarang persoalan NP menjadi instans persoalan NPC dapat dilakukan, maka jika algoritma dalam waktu polinom ditemukan untuk X, maka semua persoalan di dalam NP dapat diselesaikan dengan mangkus.
• Dengan kata lain, jika X adalah NPC dan termasuk ke dalam P – yaitu algoritma yang mangkus (polinom, deterministik) untuk X ditemukan -- maka dapat
menjawab bahwa P = NP. Hal ini karena transformasi tersebut sederhana (membutuhkan waktu polinom).
• Persoalan di dalam NPC dikatakan persoalan yang paling sukar (hardest) karena jika ada persoalan NPC dipecahkan dalam waktu polinomial, maka semua persoalan di dalam NP dapat dipecahkan dalam waktu polinomial.
• Sebaliknya, jika P NP, maka tidak ada persoalan NPC dapat dipecahkan dalam waktu polinomial. Sebagai
•
Persoalan NP-Complete lainnya:
–
PARTITION problem
–
SUM OF SUBSET problem
–
CLIQUE problem
–
GRAPH COLORING problem
–
SAT (Satisfiability problem)
–
Vertex cover
–
N-PUZZLE
–
Knapsack problem
–
Subgraph isomorphism problem
•
PARTITION: Diberikan
n
buah bilangan bulat
positif. Bagilah menjadi dua himpunan bagian
disjoint
sehingga setiap bagian mempunyai
jumlah nilai yang sama (catatan: masalah ini
tidak selalu mempunyai solusi).
•
SUM OF SUBSET: Diberikan sebuah himpunan
bilangan bulat. Carilah upahimpunan yang
jumlahnya =
m
.
Contoh: A = {-4, -1, 1, 2, 3, 8, 9} dan
m
= 0.
Maka salah satu solusinya adalah {-4, -1, 2, 3}
•
CLIQUE: sebuah
clique
adalah subset dari
himpunan simpul di dalam graf yang
Sumber
:
Complexity Theory, based on
SAT
• SAT = Satisfiability Problem
Sumber: Complexity Theory, based on
