BAB 6
ALJABAR BOOLE
1. Definisi Dasar
Himpunan dan proposisi mempunyai sifat yang serupa yaitu memenuhi hukum identitas. Hukum ini digunakan untuk mendefinisikan struktur matematika abstrak yang disebut ALJABAR BOOLE. Nama tersebut diambil dari nama seorang matematikawan bernama George Boole (1813 – 1864).
Untuk lebih menyerupai operasi-operasi aritmatika, kadang-kadang simbol dituliskan
Dalam aljabar Boole dikenal prinsip dualitas. Jika penghubung ditukarkan dengan dan 0 ditukarkan dengan 1 diseluruh aturan dalam aljabar Boole, maka hasilnya juga berlaku sebagai suatu aljabar Boole.
Ada beberapa teorema yang dapat diturunkan dari aturan-aturan aljabar Boole :
Teorema 2
Dalam suatu aljabar Boole , elemen 0 dan 1 adalah tunggal.
Bukti :
Misalkan ada 2 buah elemen 0 dalam , sebut 01 dan 02. Akan dibuktikan
bahwa pastilah 01 = 02 .
Menurut hukum identitas, untuk sembarang ai dan a2 berlakulah persamaan
a1 01 = a1 dan a2 02 = a2
Substitusi a1 = 02 dan a2 = 01. Dengan demikian, didapatkan 02 01 = 02 dan 01 02 = 01
Dalam aljabar Boole berlaku hukum komutatif sehingga : 02 01 = 01 02
02 = 01
Terbukti bahwa 02 = 01 atu elemen 0 tunggal.
Latihan Soal :
Buktikan untuk 2 buah elemen 1 adalah tunggal!
Teorema 3
Untuk setiap elemen x Є terdapatlah dengan tunggal x‟ yang memenuhi hukum negasi.
Bukti :
Misal x memiliki 2 komplemen, yaitu x1‟ dan x2‟. Akan dibuktikan bahwa pastilah x1‟ = x2‟.
Oleh karena x1‟ dan x2‟ merupakan komplemen dari x, maka berlakulah hukum negasi.
= (x x1‟) x2‟ hukum distributif
= 1 x2‟ hukum negasi
= x2‟ hukum identitas
Terbukti bahwa x1‟ = x2‟, atau terdapatlah dengan tunggal x‟ yang memenuhi hukum negasi.
2. Fungsi Boolean
Misal B = adalah aljabar Boole.
Suatu fungsi Boolean variabel adalah fungsi f : Bn→ B
Fungsi Boolean sederhana adalah jika B = {0,1}. Jadi, f : {0,1}n→ {0,1}. Masukannya adalah {0,1}n dan keluaran fungsi adalah {0,1}
Operasi Not, And (dan), Or(atau) dalam logika dapat dipandang sebagai fungsi Boolean dari {0,1}2→ {0,1}
1. Nyatakan penghubung XOR (eksklusif Or) dalam fungsi {0,1}2→ {0,1}
Penyelesaian :
p q p q p ⊕ q
T T T F
T F T T
F T T T
F F F F
Jika T dinyatakan dengan 1 dan F dinyatakan dengan 0, maka ⊕ dapat dinyatakan dengan tabel masukan/keluaran dalam tabel berikut :
p q p ⊕ q
1 1 0
1 0 1
0 1 1
0 0 0
p ⊕ q berharga 0 jika p = q dan berharga 1 jika p ≠ q
Jika XOR dinyatakan dengan fungsi {0,1}2→ {0,1}, maka : XOR {0,1}2→ {0,1}
didefinisikan sebagai XOR (p,q) = {
2. Perhatikan fungsi Boole f = {0,1}3→ {0,1} yang didefinisikan dengan aturan :
f(x1, x2, x3) = (x1 + x2 + x3) mod 2
Nyatakan f menggunakan tabel masukan/keluaran!
Penyelesaian :
F(1,1,1) = (1+1+1) mod 2 = 3 mod 2 = 1
F(1,1,0) = (1+1+0) mod 2 = 2 mod 2 = 0
Dst
Masukan Keluaran
Diketahui fungsi Boole f = {0,1}3→ {0,1} yang didefinisikan sebagai
f(x1, x2, x3) = (x1‟x2)‟ (x1 x2). Tulislah tabel nilai fungsi untuk semua harga x1, x2, x3 yang
mungkin.
3. Ekspresi Boole
Ekspresi Boole dalam n buah variabel x1, x2, …, xn didefinisikan secara rekursif sebagai
berikut :
1. 0 dan 1 adalah ekspresi boole
2. x1, x2, …, xn masing-masing adalah ekspresi boole
3. Jika E1 dan E2 adalah ekspresi boole, maka E1 E2, E1 E2, E1‟ adalah ekspresi boole
Contoh :
1. Apakah ekspresi berikut merupakan ekspresi Boole dalam variabel x, y, z? a. z
b. x y
c. (x y)‟ (z‟ x) d. (x y) ( x‟ z) 1
Penyelesaian :
b. Menurut definisi (2), x dan y merupakan ekspresi Boole. Oleh karena x dan y
masing-masing merupakan ekspresi Boole, maka menurut (3), x y juga merupakan ekspresi Boole (definisi 3)
c. X dan y merupakan ekspresi Boole (definisi 2), maka (x y) merupakan ekspresi Boole (definisi 3) sehingga (x y)‟ merupakan ekspresi Boole.
Selanjutnya x, y dan z merupakan ekspresi Boole (definisi 2), maka z‟ merupakan ekspresi Boole (definisi 3) sehingga z‟ x merupakan ekspresi Boole.
Oleh karena (x y)‟ dan (z‟ x) masing-masing ekspresi Boole, maka (x y)‟ (z‟ x) merupakan ekspresi Boole juga.
d. (x y) ( x‟ z) 1 merupakan ekspresi Boole karena x, y,z dan 1 masing-masing merupakan ekspresi Boole.
Dalam praktek, ekspresi Boole diganti dengan (.) atau dihilangkan sama sekali, jadi notasi (c) dan (d) berbentuk (xy)‟ (z‟x) dan (x y)( x‟ z)1
2. Telitilah apakah kedua ekspresi Boole di bawah ini ekuivalen E1= xy xyz z dan E2 = xy z
Tabel masukan dan keluaran E1 dan E2 dapat diihat pada tabel berikut :
Dalam tabel diatas tampak bahwa semua nilai fungsi E1 dan E2 sama. Itu berarti E1 = E2
Latihan Soal :
Diketahui ekspresi Boole dalam 3 variabel x, y, z sebagai E = x yz. Buatlah tabel fungsi Boole yang sesuai dengan ekspresi E.
4. Bentuk Normal Disjunctive
Ekspresi Boole yang hanya terdiri dari satu variabel (atau komplemennya) disebut Literal. Setengah dari nilai fungsi ekspresi yang berbentuk Literal akan bernilai 1 dan setengah yang lain bernilai 0.
Contoh :
Buatlah tabel masukan/keluaran fungsi Literal f : {0,1}2→ {0,1}yang didefinisikan f(x,y)=y‟ Penyelesaian :
Dalam tabel diatas tampak bahwa setengah dari nilai fungsi (2 buah) berharga = 1 dan setengah yang lain berharga = 0
Ekspresi Boole n variabel x1, … xn yang merupakan gabungan dari beberapa Literal yang dihubungkan dengan “ ” disebut Minterm. Jadi, Minterm berbentuk :
dengan ai berharga 0 atau 1
adalah xi dan
Contoh :
Tentukan apakah ekspresi-ekspresi berikut merupakan minterm dalam 3 variabel x, y, z
Penyelesaian :
a. Merupakan minterm dalam x, y, dan z karena memuat Literal x, y, dan z
b. Bukan minterm dalam x, y, dan z karena tidak memuat Literal y. Perhatikan bahwa xz‟ merupakan miterm dalam 2 variabel x dan z.
c. Bukan minterm karena x muncul dalam 2 literal
Gabungan minterm yang ekuivalen dengan suatu ekspresi Boole E dinamakan Bentuk Normal Disjungtif (DNF = Disjunctive Normal Form). Kadang-kadang bentuk tersebut dinamakan Bentuk Kanonik Minterm untuk E.
Contoh :
Buatlah tabel untuk ekspresi Boole E dalam 3 variabel x, y, z.
Latihan Soal :
1. Carilah ekspresi Boole dalam 3 variabel x, y, z yang memiliki tabel kebenaran yang dinyatakan alam tabel berikut :
x y Z E
1 1 1 0
1 1 0 0
1 0 1 0
1 0 0 0
0 1 1 1
0 1 0 1
0 0 1 0
0 0 0 0
2. Jadikan ekspresi E = (x yz‟)(yz)‟ dalam bentuk DNF.
5. Rancangan Rangkaian Saklar
Misal A, B, … menyatakan saklar listrik dan misal A dan A‟ menyatakan saklar dengan
memberikan nilai 1 jika hidup dan nilai 0 dalam hal lain, juga sebaliknya. 2 buah saklar, sebut A dan B dapat dihubungkan dengan kawat secara kombinasi seri atau paralel yang hubungannyadapat dilihat pada gambar berikut.
A B menyatakan A dan B dihubungkan secara seri, sedangkan A B menyatakan A dan B
dihubungkan secara paralel.
Suatu rancangan rangkaian Boole berarti susunan dari kawat dan saklar dapat dibentuk dengan pengulangan menggunalkan kombinasi seri dan paralel. Jadi dapat dinyatakan
Dalam rangkaian saklar, kita dapat memisalkan 1 dan 0 masing-masing menyatakan saklar atau rangkaian hidup dan mati. Tabel berikut menyatakan keadaan rangkaian seri A B dan
rangkaian paralel A B
Contoh:
Rangkaian (1) pada gambar berikut dapat dituliskan dengan A (B A‟) dan rangkaian (2)
dengan (A B‟) ((A‟ C) B)
Misal rangkaian (1) pada gambar di atas sudah kita ketahui suatu rangkaian hidup, jika ada aliran listrik dan mati jika tidak terdapat aliran listrik. Tabel kebenaran yang dibentuk untuk
A (B A‟) adalah sebagai berikut:
Jadi akan terdapat aliran listrik hanya jika A dan B hidup.
Latihan soal:
2. Tentukan pernyataan Boolean untuk tiap-tiap rangakaian pada gambar berikut:
3. Bentuk suatu rangakain utuk masing-masing pernyataan Boole berikut: a. (A B) (A‟ (B‟ A B))
