2. INTERPOLASI Q4-CNS

(1)

4

Universitas Kristen Petra

2. INTERPOLASI Q4-CNS

2.1. Perkembangan Interpolasi Q4-CNS

Rajendran dan Zhang (2007) mengusulkan kombinasi antara finite element shape function dan mesh free shape function berupa LSPIM menjadi metode QUAD4 dengan menggunakan konsep partitionofunity. Karena metode tersebut punya kelemahan berupa tegangan yang tidak kontinu, maka Tang et al. (2009) memperbaiki karya Rajendran dan Zhang berupa kombinasi antara non-comforming shape functiondan CO-LS shape function untuk membentuk Q4-CNS shape function.

Turunan dari Q4-CNS menjadi kontinu pada nodes sehingga tegangan pada nodes menjadi kontinu.

Aplikasi interpolasi Q4-CNS seperti yang dikembangkan pada Wong et al.

(2017) adalah uji ketelitian dan konvergensi pada surfacefitting problems. Didapati kelemahan metode tersebut adalah biaya komputasi untuk membangun shape function Q4-CNS lebih mahal daripada membangunan shape function Q4. Meskipun biaya komputasi metode ini lebih mahal daripada dengan metode Q4, namun konvergensi dan ketepatan pada interpolasi Q4-CNS cukup jauh lebih tinggi daripada metode Q4. Aplikasi Q4-CNS selanjutnya yang dikembangkan oleh Yang et al. (2017) adalah masalah pada elemen Q4-CNS untuk menganalisis geomertik non-linear. Kelebihan dari aplikasi tersebut menunjukkan bahwa hasil numerik pada konvergensi, ketepatan sertatoleransi pada distorted mesh pada elemen Q4-CNS yang lebih baik dibandingkan daripada elemen Q4 untuk menganalisis geometrik non-linear. KemudianSoetanto (2018) menerapkan elemen Q4-CNS untuk analisis pelat lentur Reissner-Mindlin.Pelat lentur yang terlalu tipis menyebabkan kekakuan geser terlalu besar sehingga dapat terjadi shear locking. Oleh karena itu, metode discrete shear gap (DSG)digunakan untuk mengeliminasi shear locking. Kelebihan elemen yang dimiliki oleh Soetanto (2018) adalah metode Q4-CNS bebas terhadap shear locking setelah menggunakan teknik DSG, menghasilkan distribusi momen lentur yang lebih halus dan gaya geser yang lebih akurat. Namun, kelemahan yang dimiliki oleh Soetanto (2018) adalah perhitungan gaya geser yang kurang akurat pada pelat tipis bagian dekat tepi pelat. Penelitian interpolasi Q4-CNS ini akan dikembangkan lagi dengan menggunakan penambahan jumlah satellite node pada bagian dekat perletakan seperti pada Gambar 2.1 menjadi elemen dua lapis.

(2)

5

Gambar 2.1 Contoh Node 1 yang Memiliki 2 Lapis, yaitu Lapis Luar dan Lapis Dalam

2.2. Shape Function padaQ4-CNS

Seperti pada metode elemen hingga standar, sebuah domain masalah dua dimensi, Ωdibagi menjadi 4 node elemensegiempat untuk membentuk Q4-CNS shape function. Sebuah elemen tipikal 𝛺̅^eyang ditinjaupadalocal node 1,2,3 dan 4.

Fungsi u yang belum diketahui pada interior dan bataspada elemen seperti pada persamaan 2.1:

𝑢^ℎ(𝑥, 𝑦) = ∑⁴_𝑖=1𝑤_𝑖(𝜉, 𝜂). 𝑢_𝑖(𝑥, 𝑦) (2.1)

Dimana:

ui(x,y) = ui= nodal approximation pada node ke-i wi(ξ,η) = weight function pada node ke-i

i = 1,2,3 dan 4

Mirip dengan perumusan isoparametrik klasik pada elemenQ4, weight function diberikan sebagaishape functions dan nodal approximationui (x,y) direduksimenjadinodal value.

Dalam perumusan Q4-CNS, koordinat Kartesius global digambarkan dalam parent element menggunakan local coordinate sehingga formulasi dari transformasi koordinat dinyatakan sebagai berikut:

𝑥 = ∑⁴_𝑖=1𝑁_𝑖(𝜉, 𝜂). 𝑥_𝑖 (2.2) 𝑦 = ∑⁴_𝑖=1𝑁_𝑖(𝜉, 𝜂). 𝑦_𝑖 (2.3)

(3)

6

Dimana nilai N1(𝜉, 𝜂) ,N2(𝜉, 𝜂) ,N3(𝜉, 𝜂) danN4(𝜉, 𝜂) diberikan di dalam local coordinate dapat ditulis sebagai berikut:

N1(ξ, η) = (1 - ξ)(1 - η) /4 (2.4)

N2(ξ, η) = (1- ξ)(1 + η) /4 (2.5)

N3(ξ, η) = (1+ξ)(1 + η) /4 (2.6)

N4(ξ, η) = (1+ξ)(1 - η) /4 (2.7)

Tranformasi koordinat ini dapat diilistrasikan pada Gambar 2.2 berikut:

Gambar 2.2 Transformasi Koordinat Elemen Quadrilateral pada FEM.

Setelah menentukan nilai natural coordinates tersebut, maka rumus dari weight function yang ditentukan olehnon-conforming shape function untuk elemen Kirchhoff’s plate segiempat menurut Tanget al. (2009) yaitu:

w1(ξ, η) = (1 - ξ)(1 - η)(2 − ξ − η− ξ² − η²)/8 (2.8) w2(ξ, η) = (1+ ξ)(1 - η)(2 − ξ+ η− ξ² − η²)/8 (2.9) w3(ξ, η) = (1+ξ)(1 + η)(2 + ξ+ η− ξ² − η²)/8 (2.10) w4(ξ, η) = (1-ξ)(1 + η)(2 + ξ −η− ξ² − η²)/8 ` (2.11)

1(-1,-1) 2(1,-1) 3(1,1) 4(-1,1)

ξ

η

(4)

7

Dimana ξ dan η adalah natural coordinates pada Q4 klasik dengan nilai berkisar antara -1 sampai 1.

Tang et al. (2009)menyimpulkan local coordinates memiliki dua feature, sesuai dengan konsep partition of unity, yaitu

∑⁴_𝑖=1𝑤_𝑖(𝜉, 𝜂) = 1 (2.12)

[^𝜕𝑤^𝑖^(𝜉_𝜕𝜉^𝑗^,𝜂^𝑗⁾^𝜕𝑤^𝑖^(𝜉_𝜕𝜂^𝑗^,𝜂^𝑗⁾]^T = 0 (i,j=1,2,3,4) (2.13)

Approksimasi ui(x,y) dibentuk dengan menggunakan metode orthonormalized dan metode constrained least square (CO-LS) seperti yang dijuluki oleh Tang et al. (2009). Untuk membentuk CO-LS approximation, nodal support domain pada nodei, Ωi, i=1,2,3,4 pada sebuah elemen typical quadrilateral 𝛺̅̅̅̅ yang ^𝑒 ditentukanterlebih dahulu menggunakan beberapa supporting node pada central node ke-i. Sebagai contoh, hubungan antar supporting node dengan central node diilustrasikan pada Gambar 2.3:

Gambar 2.3 Hubungan antara Central Node (1, 2, 3, 4) dan Supproting Nodemenurut Rajendran dan Zhang (2007)

(5)

8

Nodal support domain digunakan pada node i, Ωi dengan jumlah nomor pada supporting nodes N. Nodal approximation berdasarkan metode least square yang dicantumkan dalam persamaan 2.14. berikut.

ui (x,y) = Φiai, i = 1, 2, 3, 4 (2.14) 𝚽_𝑖(𝑥, 𝑦) = [Φ1iΦ2iΦ3i... ΦNi] (2.15) ai= [a1a2a3 ...aN]^T (2.16)

Dimana:

ui(x,y) = nodal approximation pada central node-i

Φi(x,y) = Matriks shape function CO-LS pada central node-i ai= nodal approximation pada domain central node-i

N = Jumlah node dalam support domain (Ωi)

Kemudian, shape function CO-LS (Φ)dengan menggunakan rumus shape function dari metode least square, dapat dilihat pada persamaan 2.17:

Φi(x,y) = p (x,y)^TA^-1B (2.17)

A= ∑^𝑁_𝑗=1𝑝 (𝑥_𝑗, 𝑦_𝑗). (𝑥_𝑗, 𝑦_𝑗)^T (2.18) B=[𝑝(𝑥₁, 𝑦₁)^𝑇𝑝(𝑥₂, 𝑦₂)^𝑇𝑝(𝑥₃, 𝑦₃)^𝑇𝑝(𝑥₄, 𝑦₄)^𝑇] (2.19)

Dimana :

A = Matriks momen berukuran m x m B = Matriks basis berukuran m x N m = Jumlah monomial terms dari p(x, y)

p(x, y) = Vektor fungsi basis dari Pascal triangle

Untuk elemen segiempat, maka yang digunakan p(x,y) adalah:

=[1 x y x² xy y² x²y xy²] untuk m=8

=[ 1 x y xy] untuk m=4

(6)

9

Matriks A^-1B merupakan matriks yang akan digunakan untuk menentukan nodal approximation dengan metode least square. Kemudian, monomial terms dapat ditentukan dengan menentukan jumlah supporting node terlebih dahulu. Hal ini disebabkan oleh jumlah N dari setiap central node dapat berbeda-beda yang dipengaruhi oleh letak lokasi pada central node. Jika central node yang berlokasi di tengah-tengah, seperti yang terlihat pada gambar 2.1, makaN=9 danm yang digunakan adalah 8. Jika lokasi central node berada di ujung, seperti yang terlihat pada Gambar 2.4, berarti N<9 maka m yang digunakan adalah 4. (Soetanto, 2018).

Gambar 2.4 Hubungan antara Central Node (5,6) dan Satellite Node yang Berlokasi di Ujung (Rajendran dan Zhang, 2007)

Namun teori ini memiliki kelemahan yang telah diteliti sebelumnya oleh Richo (2018), yaitu hasilnya kurang akurat pada central node dan satellite node yang berlokasi di ujung dalam relative error. Sehingga, meskipun node dalam supportdomain (Ωi) kurang dari 9 (N≤ 9) maka monomial terms yang digunakan tetap 8 (m=8) dengan menggunakan elemen 2 lapis seperti pada Gambar 2.1, yaitu lapis luar dan lapis dalam, jika central node dan support node berada di ujung. Maka, supportdomain perlu ditambahkan lagi di lapis luar untuk menghitung nodal approximation agar jumlah node dalam support domain (Ωi) menjadi 9.

Persamaan 2.17 yang menunjukkan perhitungan least square memakan waktu yang lama. Oleh karena itu, perhitungan akan dilakukan dengan cara orthogonalisasi dan normalisasi untuk meniadakan invers matriks A sehingga perhitungan akan menjadi lebih ekonomis. Setelah itu, metode yang dikembangkan akan menjadi metode CO-LS. Caranya adalah sebagai berikut.

(7)

10

Dengan metode Gram-Schimdtorthogonalization(Rice, 1996), maka fungsi p (x,y) dapat diortogonalkan menjadi:

s1 = s(x, y)kolom 1= p(x, y)kolom1 (2.20)

s2= s(x, y)kolom 2= p(x, y)kolom2- ^(𝑝_(𝑠²^,𝑠¹⁾

1,𝑠₁)s1 (2.21)

s3= s(x, y)kolom 3= p(x, y)kolom3- ^(𝑝³^,𝑠¹⁾

(𝑠1,𝑠1) s1- ^(𝑝³^,𝑠²⁾

(𝑠2,𝑠2)s2 (2.22)

sm= s(x, y)kolom m= p(x, y)kolomm - ∑ ^(𝑝_(𝑠^𝑚^,𝑠^𝑘⁾

𝑘,𝑠_𝑘)

𝑚−1𝑘=1 sk (2.23)

Dimana:

pm = p(xj, yj) kolom m untuk j=1,2,...,N sk = s(xj, yj) kolom k untuk j=1,2,...,N

Setelah menerapkan orthogonalization, maka dilakukan normalisasi seperti yang dapat dilihat pada persamaan 2.24, 2.25, 2.26 dan 2.27.

r1= r(x,y)kolom 1= _√(𝑠^𝑠¹

1,𝑠₁) (2.24)

r2 = r(x,y)kolom 2= ^𝑠²

√(𝑠2,𝑠₂) (2.25)

r3 = r(x,y)kolom 3= ^𝑠³

√(𝑠3,𝑠3) (2.26)

rm = r(x,y)kolom m= _√(𝑠^𝑠^𝑚

𝑚,𝑠_𝑚) (2.27)

Setelah dilakukan orthonormalization dan orthogonalization, maka fungsi p(x, y) sekarang berubah menjadi r(x, y).

Φi(x,y) = r (x,y)^TA^-1Bⁱ (2.28)

A= ∑^𝑁_𝑗=1𝑟 (𝑥_𝑗, 𝑦_𝑗). (𝑥_𝑗, 𝑦_𝑗)^T (2.29) Bⁱ=[𝑟(𝑥₁, 𝑦₁)^𝑇𝑟(𝑥₂, 𝑦₂)^𝑇𝑟(𝑥₃, 𝑦₃)^𝑇𝑟(𝑥₄, 𝑦₄)^𝑇] (2.30)

(8)

11

Matriks yang merupakan vektor fungsi r(x, y) memiliki sifat orthonormal dan orthogonal sehingga matriks A menjadi matriks identitas. Hal tersebut menyebabkan inverse terhadap matriks A tidak diperlukan lagi. Oleh karena itupersamaan 2.28 dapat diubah menjadi persamaan 2.30.

Φi(x,y) = r (x,y)^TBⁱ (2.31)

Setelah melakukan orthonormalisasi pada least square tersebut, agar memenuhi syarat dalam Kronecker delta property pada konstrain maka shape function perlu dimodifikasi menurut persamaan 2.32, 2.33, dan 2.34 berikut agar menjadi shape function CO-LS:

Bkolom k= r(xk, yk) – fkir (xi,yi) untuk k=1,2,....,n (2.32)

fki= ^∑ ^{𝑟 (𝑥𝑖,𝑦𝑖)}^{𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑗}^{𝑟 (𝑥𝑘,𝑦𝑘)}^{𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑗}

𝑚𝑗=1

∑^𝑚_𝑗=1𝑟 (𝑥𝑖,𝑦𝑖)_{𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑗}𝑟 (𝑥𝑖,𝑦𝑖)_{𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑗} jika k≠i (2.33)

fki= ^(∑ ^{𝑟 (𝑥𝑖,𝑦𝑖)}^{𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑗}^{𝑟 (𝑥𝑘,𝑦𝑘)}^{𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑗}⁾⁻¹

𝑚𝑗=1

∑^𝑚_𝑗=1𝑟 (𝑥𝑖,𝑦𝑖)_{𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑗}𝑟 (𝑥𝑖,𝑦𝑖)_{𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑗} jika k=i (2.34)

Menurut Rajendran dan Zhang (2007) dan Soetanto (2018), pembentukan shape function Q4-CNS dilakukan dengan cara penggabungan antara metode non comforming shape functions dan metode CO-LS mesh free method. Sedangkan, nodal approximation dapat ditentukan dari approximation yang diperoleh dengan menggunakan interpolasi dari konsep partition of unity. Gambar 2.5 di bawah ini menunjukkan daerah domain dari elemen Q4-CNS pada elemen 1, penomoran pada titik, dan hubungan antara central node dan satellite node.

(9)

12

Gambar 2.5 Daerah Domain dan Aturan Penomeran Titikdari Q4-CNS (S.

Rajendran dan B.R. Zhang, 2007)

Penelitian ini akan menggunakan 2 lapis pada suatu node 1 seperti pada Gambar 2.1 yang terletak di ujung agar jumlah supporting nodes tetap 9, yaitu lapis dalam dan lapis luar yang digunakan pada central node yang berada di ujung, sehingga aturan penomoran itu akan berbeda dengan aturan yang akan diteliti sebelumnya menurut Rajendran dan Zhang (2007). Maka berdasarkan urutan dari terkecil sampai dengan yang terbesarpenomoran node dalam elemen support domaindapat dilihat seperti pada contoh dalam Gambar 2.6:

13141516

1 9101112

56 78

1 2 3 4

Gambar 2.6 Aturan Penomoran Titik dari Q4-CNS untuk Penelitian Ini

(10)

13

Dari Gambar 2.6 dapat dilihat bahwa pada Ω1 terbentuk dari titik {1,2,3,5,6,7,9,10,11}, Ω2 terbentuk dari titik {2,3,4,6,7,8,10,11,12}, Ω3 terbentuk dari titik {6,7,8,10,11,12,14,15,16}, Ω4 terbentuk dari titik {5,6,7,9,10,11,13,14,15}.

Hal ini berarti Ω dari elemen tersebut terbentuk dari titik {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16}. Proses pembentukan shape function Q4- CNS yang merupakan penggabungan dari metode non comforming shape function dan CO-LS mesh free dapat dilihat pada persamaan 2.35, 2.36, 2.37, 2.38 dan 2.39.

u^h (x,y)=∑⁴_𝑖=1𝑤_𝑖(𝜉, 𝜂)uⁱ (x,y) =

∑⁴_𝑖=1𝑤_𝑖(𝜉, 𝜂) ∑^𝑁_𝐼=1𝛷_𝐼^𝑖 (𝑥, 𝑦)a_𝐼 = ∑^𝑁_𝐼=1𝜓_𝐼(𝑥, 𝑦)𝑎_𝐼 (2.35) u¹ (x,y) = Φ11a1 + Φ21a2 + Φ31a3 + Φ51a5 + Φ61a6 + Φ71a7 + Φ91a9 + Φ101a10 +

Φ111a11 (2.36)

u² (x,y) = Φ22a2 + Φ32a3 + Φ42a4 + Φ62a6 + Φ72a7 + Φ82a8 + Φ102a10 + Φ112a11

+ Φ122a12 (2.37)

u³ (x,y) = Φ63a6 + Φ73a7 + Φ83a8 + Φ103a10 + Φ113a11 + Φ123a12 + Φ143a14 +

Φ153a15 + Φ163a16 (2.38)

u⁴ (x,y) = Φ54a5 + Φ64a6 + Φ74a7 + Φ94a9 + Φ104a10 + Φ114a11 + Φ134a13 +

Φ144a14 + Φ154a15 (2.39)

Dimana:

ΦIi= Shape function CO-LS pada Central Node (i) dan Satellite Node (j) N = Jumlah nodal supporting node

Dari persamaan 2.36, 2.37, 2.38, dan 2.39, maka dapat ditulis shape function CO-LS adalah sebagai berikut:

Φ1 (x,y) = [Φ11Φ21Φ31Φ51Φ61Φ71Φ91Φ101Φ111] (2.40) Φ2 (x,y) = [Φ22Φ32Φ42Φ62Φ72Φ82Φ102Φ112Φ122] (2.41) Φ3 (x,y) = [Φ63Φ73Φ83Φ103Φ113Φ123Φ143Φ153Φ163] (2.42) Φ4 (x,y) = [Φ54Φ64Φ74Φ94Φ104Φ114Φ134Φ144Φ154] (2.43)

(11)

14

Kemudian, shape function Q4-CNS ditulis pada persamaan 2.44. Sedangkan, shape function CO-LS dapat dituliskan dalam persamaan 2.47.

u^h = [w1w2w3w4] [ u1u2u3u4]^T

= w u = w  a = ψ a (2.44)

Dimana:

a= [a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12a13a14a15a16]^T (2.45)

w = [ w1 w2 w3 w4] (2.46)

Φ=

[

𝛷¹¹ 𝛷₂¹ 𝛷₃¹ 0 0 𝛷₂² 𝛷₃² 𝛷₄²

𝛷₅¹ 𝛷₆¹ 𝛷₇¹ 0 0 𝛷₆² 𝛷₇² 𝛷₈² 0 0 0 0

0 0 0 0

0 𝛷₆³ 𝛷₇³ 𝛷₈³ … 𝛷₅⁴ 𝛷₆⁴ 𝛷₇⁴ 0 ]

[

𝛷₉¹ 𝛷₁₀¹ 𝛷₁₁¹ 0 0 Φ₁₀² 𝛷₁₁² 𝛷₁₂²

0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝛷₁₀³ 𝛷₁₁³ 𝛷₁₂³

𝛷₉⁴ 𝛷₁₀⁴ 𝛷₁₁⁴ 0

0 𝛷₁₄³ 𝛷₁₅³ 𝛷₁₆³ 𝛷₁₃⁴ 𝛷₁₄⁴ 𝛷₁₅⁴ 0 ]

(2.47)

Dimana ψI (x,y) adalah Q4-CNS shape function yang dikaitkan dengan node I di dalam element support domain. Hal itu menunjukkan bahwa shape function Q4-CNS merupakan gabungan dari persamaan 2.46 dan 2.47 seperti yang ditunjukan pada persamaan 2.48.

ψI (x,y) =∑⁴_𝑖=1𝑤_𝑖(𝜉, 𝜂)𝛷_𝐼^𝑖 (𝑥, 𝑦) (2.48) Dimana:

I= 1, ……, N.

i = 1,2,3,4

Jumlah seluruh node (N) yang membentuk shape function Q4-CNS tidak selalu berjumlah 16. Hal ini bergantung pada lokasi dari elemen tersebut. Jika elemen yang terletak di ujung, maka jumlah node yang membentuk shape function Q4-CNS kurang dari 16. Dan jika elemen yang terletak di tengah, maka jumlah node

(12)

15

yang membentuk shape function Q4-CNS adalah 16.Dalam penelitian ini, jumlah shape function di ujung adalah 9 atau lebih dengan cara jika elemen terletak ditepi, maka jumlah lapisannya ditambah.

Untuk menghitung matriks kekakuan akan digunakan turunan shape function Q4-CNS yang diturunkan terhadap x atau y. Sedangkan, turunan shape function yang menggunakan metode aturan rantai, dapat dilihat pada persamaan 2.49, 2.50, 2.51, 2.52, 2.53 dan 2.54:

Ψ1,x (x,y) = w1,xΦ11 + w1Φ1,x1 + w2,xΦ12 + w2Φ1,x2 + w3,xΦ13 + w3Φ1,x3 +

w4,xΦ14 + w4Φ1,x4 (2.49)

Ψ1,y (x,y) = w1,yΦ11 + w1Φ1,y1 + w2,yΦ12 + w2Φ1,y2 + w3,yΦ13 + w3Φ1,y3 +

w4,yΦ14 + w4Φ1,y4 (2.50)

w4,xΦ24 + w4Φ2,x4 (2.51)

w4,yΦ24 + w4Φ2,y4 (2.52)

....

w4,xΦ164 + w4Φ16,x4 (2.53)

w4,yΦ164 + w4Φ16,y4 (2.54)

2.3. Contoh Shape Function

Jika ada problem domain yang memiliki ukuran 50x50 unit yang dibagi mejadi 25 elemen seperti pada Gambar 2.7, maka shapefunction yang akan diambil pada node 1 elemen 1dengan menggunakan nodes adalah 9 yaitu 1,2,3,7,8,9,13,14 dan 15karenapenelitianini yang dilakukan dengan menggunakan 2 lapis, yaitu lapis dalamdan lapis luar.Untuk menggambarkan shape function Q4-CNS, maka shape function pada titik 1,2,7,8 (Gambar 2.7) di plot dalam sebuah grafik. Grafik dari shape function weight function (Gambar 2.8). Grafik dari CO-LS shape function (Gambar 2.9). Grafik dari Q4-CNS shape function (Gambar 2.10).

(13)

16

Gambar 2.7 Problem Domain untuk Plot Shape Function Node 1 Elemen 1

8

7 2 1

Gambar 2.8 Non Conforming Shape Function FEM Node 1 Elemen 1

1 7

2 8

Gambar 2.9 CO-LS Shape Function Node 1 Elemen 1

(14)

17

1 7

2 8 Gambar 2.10 Q4-CNS Shape Function Elemen 1

Dan shape function juga diambil pada node 8 elemen 1.Untuk menggambarkan shape function Q4-CNS, maka shape function pada titik 1,2,7 dan 8 (Gambar 2.11) di plot dalam sebuah grafik. Grafik dari shape function weight function (Gambar 2.12).Grafik dari CO-LS shape function (Gambar 2.13). Grafik dari Q4-CNS shape function (Gambar 2.14).

Gambar 2.11 Problem Domain untuk Plot Shape Function Node 8 Elemen 1

(15)

18

Gambar 2.12 Non Conforming Shape Function FEM Node 8 Elemen 1

Gambar 2.13 CO-LS Shape Function Node 8 Elemen 1

Gambar 2.14 Q4-CNS Shape Functio nNode 8 Elemen 1

Gambar 2.8 dan Gambar 2.12 menunjukkan bahwa non conforming shape function dari FEM memiliki Kronecker delta property. Gambar 2.9 dan Gambar 2.13 menunjukkan bahwa shape function dari CO-LS tidak memiliki Kronecker delta property. Namum metode ini menggunakan Lagrange multiplier method, maka

(16)

19

shape function tersebut memiliki nilai 1 pada central node yang memungkinkan terbentuk Kronecker delta property. Gambar 2.10 dan Gambar 2.14 menunjukkan bahwa shape function dari Q4-CNS memiliki Kronecker delta property sehingga dapat menerapkan essential boundary condition.