MASALAH INTERPOLASI 1-D DAN 2-D

MASALAH INTERPOLASI 1-D DAN 2-D

Hendra Gunawan ITB Bandung

http://personal.fmipa.itb.ac.id/hgunawan/

Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology

Bandung, Indonesia

Seminar Nasional Analisis Matematika IV 16 April 2011

Outline

1 Masalah Interpolasi 1-D Masalah Interpolasi k Titik

Bentuk Umum Masalah Interpolasi

2 Masalah Interpolasi 2-D Interpolasi Polinomial

Hasil Kali Tensor Dua Sistem Chebyshev

3 Rujukan

Interpolasi Linear

Diberikan dua titik x₀ dan x₁ di R dengan x0 < x₁, dan dua bilangan c0, c1∈ R, terdapat tepat sebuah garis lurus

y = mx + k = f (x) sehingga

f (xi) = ci, i = 0, 1.

.

.

Interpolasi Linear Bagian demi Bagian

Diberikan n titik x_i ∈ R dan n bilangan ci ∈ R, i = 1, . . . , n, interpolan yang paling trivial adalah fungsi linear bagian demi bagian yang menghubungkan titik-titik (xi, ci) tersebut.

Hendra Gunawan ITB Bandung http://personal.fmipa.itb.ac.id/hgunawan/ Analysis and Geometry Group Bandung Institute of Technology Bandung, IndonesiaMASALAH INTERPOLASI 1-D DAN 2-D

Interpolasi Polinomial

Diberikan tiga titik berbeda x₀, x₁ dan x₂ di R, dan tiga bilangan c0, c1, c2∈ R, terdapat tepat sebuah parabola

y = f (x) = ax²+ bx + c sehingga

f (x_i) = c_i, i = 0, 1, 2.

Secara umum, diberikan n + 1 titik berbeda xi ∈ R dan n + 1 bilangan real c_i, terdapat tepat sebuah polinom berderajat n

f (x) = a₀+ a₁x + · · · + a_nxⁿ yang grafiknya melalui titik-titik (xi, ci), i = 1, . . . , n.

Keluarga fungsi {1, x, . . . , xⁿ} dapat dipakai untuk menyelesaikan masalah interpolasi

f (xi) = ci, i = 0, 1, . . . , n, dengan x0 < x1 < · · · < xn dan ci∈ R sembarang.

Apa kuncinya?

Apakah karena {1, x, . . . , xⁿ} bebas linear (selain banyak fungsinya sama dengan banyak data yang diberikan)?

Bagaimana bila kita gunakan {1, x²} untuk menyelesaikan masalah interpolasi

f (−1) = c0, f (1) = c1.

Jika c0 = c1, maka terdapat banyak solusi, yakni semua fungsi f yang berbentuk

f (x) = c0[λ + (1 − λ)x²].

Jika c0 6= c₁, maka berapapun λ, µ ∈ R, fungsi f (x) = λ + µx² tidak akan menginterpolasi data tersebut.

Mengapa {1, x²} gagal? Secara umum, misalkan kita ingin mencari f (x) = λ + µx² sehingga

f (x_i) = c_i, i = 0, 1.

Maka, kita berhadapan dengan sistem persamaan λ + µx²_i = ci, i = 0, 1.

Eksistensi solusi sistem ini tergantung pada nilai determinan 

  

1 x²₀ 1 x²₁

   

= x²₁− x²₀.

Karena determinan mungkin bernilai nol, eksistensi solusi tidak dijamin. Kalaupun eksis, ketunggalan tidak dipenuhi.

Determinan Vandermonde

Jadi kunci yang membuat {1, x, . . . , xⁿ} dapat selalu menyelesaikan masalah interpolasi

f (xi) = ci, i = 0, 1, . . . , n, bukan karena mereka bebas linear, tapi karena

        

1 x0 · · · xⁿ₀ 1 x₁ · · · xⁿ₁ ... ... . .. ... 1 xn · · · xⁿ_n

        

=Y

j<i

(x_i− x_j) 6= 0.

Determinan ini dikenal sebagai determinan Vandermonde.

Sistem Chebyshev

Keluarga fungsi {φ₁, . . . , φ_n} disebut sistem Chebyshev pada A ⊆ R apabila

det[φj(xi)] 6= 0 untuk sembarang x1< · · · < xn di A.

Contoh. {1, x, . . . , xⁿ} merupakan sistem Chebyshev pada R.

Contoh lainnya

Keluarga fungsi {sin πx, . . . , sin nπx} merupakan sistem Chebyshev pada (0, 1), sementara {1, cos πx, . . . , cos nπx}

merupakan sistem Chebyshev pada [0, 1], dengan

det[sin jπxi] = 2^n(n−1)/2

n

Y

i=1

sin πxi

Y

j<i

(cos πxi− cos πx_j).

det[cos jπx_i] = 2^n(n−1)/2Y

j<i

(cos πx_i− cos πx_j).

[Fajar Yuliawan (ITB)]

Akibat. Jika {φ1, . . . , φn} adalah sistem Chebyshev pada A, maka untuk setiap x₁< · · · < x_n di A dan sembarang bilangan

c1, . . . , cn∈ R masalah interpolasi

f (x_i) = c_i, i = 1, . . . , n, mempunyai solusi tunggal f (x) =

n

P

i=1

αiφi(x).

Polinom Lagrange

Dengan menggunakan {1, x, . . . , xⁿ} sebagai sistem Chebyshev, masalah interpolasi f (xi) = ci, i = 0, 1, . . . , n mempunyai solusi tunggal f (x) =

n

P

i=0

α_ixⁱ.

Lagrange menemukan bahwa f dapat dinyatakan sebagai

f (x) =

n

X

i=0

ciφi(x)

dengan

φi(x) :=Y

j6=i

x − xj

x_i− x_j.

Perhatikan bahwa φ_i(x_i) = 1 dan φ_i(x_j) = 0 untuk j 6= i.

Masalah interpolasi secara umum dapat dinyatakan sebagai Lif = ci, i = 1, . . . , n,

dengan L_i menyatakan fungsional linear (yang memetakan fungsi f secara linear ke suatu bilangan Lif ) dan ci ∈ R.

Contoh.

L_if = f (x_i) = nilai f di x_i. L_if =Rb

axⁱf (x) dx = momen ke-i dari f pada [a, b].

Lif = f⁽ⁱ⁾(c) = turunan ke-i dari f di c.

Bila kita gunakan {v₁, . . . , v_n} sebagai basis untuk ruang interpolannya, maka sistem persamaan

Lif =

n

X

j=1

ajLivj = cj, i = 1, . . . , n,

akan mempunyai solusi tunggal f =

n

P

j=1

ajvj jika dan hanya jika

det[L_iv_j] 6= 0.

Contoh. Masalah interpolasi momen

Lif = Z 1

0

xⁱf (x) dx = ci, i = 0, 1, . . . , n,

mempunyai solusi tunggal f (x) =

n

P

i=0

aixⁱ jika dan hanya jika

det[Livj] =         

R1

0 dx R1

0 x dx · · · R1 0 xⁿdx R1

0 x dx R1

0 x²dx · · · R1

0 xⁿ⁺¹dx

... ... . .. ...

R1

0 xⁿdx R1

0 xⁿ⁺¹dx · · · R1 0 x²ⁿdx

        

6= 0.

(Di sini kita menggunakan vi(x) = xⁱ, i = 0, 1, . . . , n sebagai basis untuk ruang interpolannya.)

Perhatikan bahwa

det[Livj] =         

hv₀, v₀i hv₀, v₁i · · · hv₀, v_ni hv₁, v0i hv₁, v1i · · · hv₁, vni

... ... . .. ... hv_n, v₀i hv_n, v₁i · · · hv_n, v_ni

         ,

dengan hvi, vji :=R1

0 vi(x)vj(x) dx.

Determinan Gram

Determinan tadi merupakan determinan Gram, yang dijamin tidak nol karena {v0, v1, . . . , vn} = {1, x, . . . , xⁿ} bebas linear.

(Secara geometris, determinan Gram di atas menyatakan kuadrat volume paralelpipedium yang direntang oleh v₀, v₁, . . . , v_n.) Jadi masalah interpolasi momen

L_if = Z 1

0

xⁱf (x) dx = c_i, i = 0, 1, . . . , n,

dijamin mempunyai solusi tunggal berbentuk f (x) =P a_ixⁱ.

Who’s who..

Masalah interpolasi telah dipelajari cukup lama, setidaknya sejak Newton (1675) dan Taylor (17xx), yang diikuti oleh Lagrange (1795), Legendre (17xx), Gauss, (18xx), Chebyshev (18xx), Lebesgue (18xx), Erd¨os (19xx), dst.

Masalah interpolasi 2-D dipelajari antara lain oleh Zakhor pada akhir 1980-an [8, 9].

Pada 2005, Alghofari [1] mempelajari masalah interpolasi yang meminimumkan energi fungsional tertentu. Hasil Alghofari diperluas oleh Gunawan dkk dalam 3 tahun terakhir [2, 3, 7].

Sebagai ilustrasi, fungsi f : [0, 1] → R yang mengenterpolasi (xi, ci), i = 1, . . . , n, pada pita [0, 1] × R, dan meminimumkan energi potensial beban aksial

E1 :=

Z 1 0

|f⁰(x)|²dx

adalah fungsi linear bagian demi bagian yang menghubungkan n titik tersebut. Bila fungsinya harus meminimumkan kurvatur

E₂ :=

Z 1 0

|f⁰⁰(x)|²dx,

maka interpolannya merupakan fungsi kubik bagian demi bagian (lihat [2]).

Interpolasi 2-D

Diberikan data berupa nilai c_i di titik-titik p_i = (x_i, y_i), i = 1, . . . , N , pada D ⊆ R², ingin dicari fungsi u = f (x, y) sehingga

f (p_i) = c_i, i = 1, . . . , N.

Interpolasi Polinomial 2-D

Sebagai contoh, diberikan tiga titik (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃) di R² dan tiga bilangan c1, c2, c3∈ R, kita ingin tahu apakah terdapat tepat sebuah polinom dua peubah u = a + bx + cy sehingga

u(xi, yi) = ci, i = 1, 2, 3.

Jawabannya TIDAK SELALU.

Perhatikan determinan 

    

1 x1 y1

1 x2 y2

1 x₃ y₃      

=      

1 x1 y1

0 x2− x₁ y2− y₁ 0 x₃− x₁ y₃− y₁

      .

Bila (x1, y1), (x2, y2) dan (x3, y3) segaris, maka determinan di atas bernilai nol (karena (x3− x₁)/(x2− x₁) = (y3− y₁)/(y2− y₁)).

Jadi eksistensi polinom u = a + bx + cy yang menginterpolasi ketiga titik tersebut tidak dijamin. Kalaupun eksis, tidak tunggal.

Sistem Chebyshev pada R

²

?

Bila kita mempunyai dua sistem Chebyshev, sebutlah Φ := {φ1, . . . , φm} dan Ψ := {ψ₁, . . . , ψn}, apakah hasilkali tensornya, yakni {φi(x)ψj(y) : i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n}, membentuk sistem Chebyshev pada R²?

Dalam perkataan lain, diberikan mn titik di R², apakah senantiasa terdapat u =P

i

P

jaijφi(x)ψj(y) yang menginterpolasi data pada mn titik tersebut?

Jawabannya NEGATIF.

Hasil kali tensor dari dua buah sistem Chebyshev pada R secara umum bukan merupakan sistem Chebyshev pada R².

Sebagai contoh, {φ₁(x) := 1, φ₂(x) := x} merupakan sistem Chebyshev pada R, namun

{φ_i(x)φ_j(y) : i, j = 1, 2} = {1, x, y, xy}

bukan merupakan sistem Chebyshev pada R²: Diberikan empat titik sembarang, tidak dijamin ada u =P

i

P

jaijφi(x)φj(y) yang menginterpolasi data pada empat titik tersebut.

Walau Demikian ..[3]

Teorema. Misal P := {p_i = (x_i, y_i) : i = 1, . . . , N } membentuk grid persegipanjang m × n pada R², yakni P dapat dituliskan ulang sebagai

{(x_i, yj) : i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n}

dengan m × n = N , a ≤ x₁ < · · · < x_m≤ b, dan c ≤ y1 < · · · < yn≤ d. Misal Φ := {φ₁, . . . , φm} dan

Ψ := {ψ1, . . . , ψn} berturut-turut adalah sistem Chebyshev pada [a, b] dan [c, d]. Maka, masalah interpolasi

f (x_i, y_j) = c_ij, i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n, mempunyai solusi tunggal u =

m

P

i=1 n

P

j=1

a_ijφ_i(x)ψ_j(y).

Ide Pembuktian

Sistem persamaan yang terkait dengan masalah interpolasi tadi adalah M a = c dengan

M = [φ_k(x_i)] ⊗ [ψ_l(y_j)],

yang merupakan hasil kali Kronecker dari matriks pertama yang terkait dengan sistem Chebyshev Φ dan matriks kedua yang terkait dengan sistem Chebyshev Ψ.

Karena det M = det[φ_k(x_i)]
n

det[ψ_l(y_j)]
m

dan kedua determinan di ruas kanan tidak nol, maka det M 6= 0, sehingga sistem persamaan di atas pasti mempunyai solusi tunggal.

Hasil Kali Kronecker

Hasil kali Kronecker dari dua matriks M₁ := [a_ij]_m×m and M2 := [bkl]n×n didefinisikan sebagai

M1⊗ M₂ :=











a11M2 a12M2 · · · a1mM2

a₂₁M₂ a₂₂M₂ · · · a_2mM₂ ... ... . .. ... a_m1M₂ a_m2M₂ · · · a_mmM₂











p×p

dengan p = mn.

Fakta [6]. det M1⊗ M₂= (det M1)ⁿ(det M2)^m.

Contoh. Misal kita ingin menginterpolasi data (¹₄,¹₄,¹₂), (¹₄,¹₂, 1), (¹₄,³₄, 2), (¹₂,¹₄, 1), (¹₂,¹₂, 2), (¹₂,³₄, 1), (³₄,¹₄,¹₂), (³₄,¹₂, 1), (³₄,³₄, 1).

Perhatikan bahwa titik-titik yang terkait dengan data tersebut membentuk grid persegi 3 × 3 pada (0, 1) × (0, 1):

.

Jika kita menggunakan sistem Chebyshev {sin πx, sin 2πx, sin 3πx}

dan {1, cos πy, cos 2πy}, maka interpolan-nya berbentuk u(x, y) =a₁₁sin πx + a₁₂sin πx cos πy + a₁₃sin πx cos 2πy

+ a₂₁sin 2πx + a₂₂sin 2πx cos πy + a₂₃sin 2πx cos 2πy + a₃₁sin 3πx + a₃₂sin 3πx cos πy + a₃₃sin 3πx cos 2πy.

Sistem persamaannya dapat disederhanakan dengan OBE menjadi































1 0 0 0 0 0 0 0 0

√2 2 + ¹₂

0 1 0 0 0 0 0 0 0 ⁻¹₂

0 0 1 0 0 0 0 0 0 ⁻¹₂

0 0 0 1 0 0 0 0 0 ³₄

0 0 0 0 1 0 0 0 0 ⁻

√ 2 4

0 0 0 0 0 1 0 0 0 ¹₄

0 0 0 0 0 0 1 0 0

√ 2 2 − ¹₂

0 0 0 0 0 0 0 1 0 ⁻¹₂

0 0 0 0 0 0 0 0 1 ¹₂





























 .

Kita peroleh

u(x, y) =

√2 2 +1

2

!

sin πx − 1

2sin πx cos πy − 1

2sin πx cos 2πy +1

4sin 2πx −

√ 2

4 sin 2πx cos πy +1

4sin 2πx cos 2πy +

√ 2 2 −1

2

!

sin 3πx −1

2sin 3πx cos πy +1

2sin 3πx cos 2πy sebagai interpolan yang dikehendaki.

Lebih Jauh ..

Misal G = {(a_i, b_i, c_i) : i = 1, 2, . . . , N } himpunan titik di A₁× A₂× R, dan H = {(xi, y_j) : i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n}

adalah grid persegipanjang ’minimal’ yang memuat {(a_i, b_i) : i = 1, . . . , N }. Di sini kita asumsikan bahwa {(a_i, b_i) : i = 1, . . . , N } sendiri bukan grid persegipanjang, sehingga N < mn.

Misal {φ₁, . . . , φ_m} dan {ψ₁, . . . , ψ_n} adalah sistem Chebyshev pada A₁ dan A₂ berturut-turut. Maka kita dapat menggunakan

u(x, y) =

m

X

i=1 n

X

j=1

aijφi(x)ψj(y) (1)

sebagai interpolan G.

Substitusikan titik-titik pada G ke persamaan (1), kita peroleh sistem persamaan dengan N persamaan dan mn variabel. Karena rank matriksnya sama dengan N < mn, maka sistem mempunyai banyak solusi. Dalam hal ini terdapat banyak nilai aij yang akan menjadikan fungsi u pada (1) sebagai interpolan G.

Contoh. Misalkan kita ingin menginterpolasi data (¹₄,¹₂, 2), (¹₄,³₄, 1), (¹₂,¹₄, 2), (¹₂,¹₂, 3), (¹₂,³₄, 2), (³₄,¹₄, 1), (³₄,¹₂, 2).

Titik-titik yang terkait dengan data di atas termuat dalam grid persegi 3 × 3 pada (0, 1) × (0, 1):

Jika kita gunakan {sin πx, sin 2πx, sin 3πx} dan {1, cos πy, cos 2πy} sebagai sistem Chebyshev, maka interpolan-nya berbentuk

u(x, y) =a11sin πx + a12sin πx cos πy + a13sin πx cos 2πy + a21sin 2πx + a22sin 2πx cos πy + a23sin 2πx cos 2πy + a₃₁sin 3πx + a₃₂sin 3πx cos πy + a₃₃sin 3πx cos 2πy.

Substitusikan data dan sederhanakan sistemnya dengan OBE:























1 0 0 0 0 0 0 0 ⁻¹₂ √

2 +¹₂

0 1 0 0 0 0 0 −1 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 −1 −1

0 0 0 1 0 0 0 −1 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0 −1 √

2 − 1

0 0 0 0 0 1 0 −1 ⁻

√2

2 0

0 0 0 0 0 0 1 0 ⁻¹₂ √

2 −³₂





















 .

Salah satu interpolan yang memenuhi sistem persamaan ini adalah:

u(x, y) = −1 2

√ 2 +1

2



sin πx − sin πx cos 2πy +√

2 − 1

sin 2πx +

√ 2 −3

2



0.25 sin 2πx cos 2πy.

Catatan

Sebagian hasil yang disajikan merupakan hasil penelitian bersama dengan E. Rusyaman (Unpad).

Hasil-hasil tersebut telah pula diperumum ke dimensi N oleh L.

Ambarwati (Mhs S3 MA-ITB).

Selain itu, ditemukan pula bahwa polinom dua peubah berderajat n selalu dapat menginterpolasi data pada ¹₂(n + 1)(n + 2) titik yang membentuk grid segitiga.

Sebagian hasil penelitian ini telah dikirim ke beberapa jurnal di dalam dan luar negeri, dan sebagian lainnya masih sedang dalam proses penulisan.

Ucapan Terimakasih

Penelitian ini didanai oleh Program Penguatan Riset Institusi Tahun 2010/2011.

A.R. Alghofari (2005), Problem in Analysis Related to Satellites, Ph.D. Thesis, UNSW, Sydney, Australia.

H. Gunawan, F. Pranolo, E. Rusyaman (2008), “An interpolation method that minimizes an energy integral of fractional order”, in D. Kapur (Ed.): Asian Symposium on Computer Mathematics 2007, LNAI 5081, 151-162, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg.

H. Gunawan, E. Rusyaman, L. Ambarwati (2009), “Surfaces with prescribed nodes and minimum energy integral of fractional order”, submitted.

G.B. Lorenz (1966), Approximation of Functions, AMS Chelsea Publishing, USA.

C.W. Patty (1993), Foundation of Topology, PWS Publishing Company, USA.

C.R. Rao and M.B. Rao (1998), Matrix Algebra and Its Applications to Statistics and Econometric, World Scientific, Singapore.

E. Rusyaman, H. Gunawan, A.K. Supriatna, R.E. Siregar (2010), “Eksistensi interpolan sinusoida berdimensi dua” (in Indonesian), J. Mat. Sains.

A. Zakhor (1987), Reconstruction of Multidimensional Signals from Multiple Level Threshold Crossings, Ph.D. Dissertation, MIT, USA.

A. Zakhor and G. Alvstad (1992), “Two-dimensional polynomial interpolation from nonuniform samples”, IEEE Trans. Signal Processing 40, 169–180.