KATA PENGANTAR Penulis,

i

KATA PENGANTAR

Segala puji hanya milik Allah SWT, yang telah memberikan kenikmatan kepada penulis sehingga dapat menyelesaikan penulisan buku ajar ini. Buku ajar ini digunakan oleh penulis sebagai bahan mengajar mata kuliah Kalkulus II. Materi yang terdapat pada buku ajar ini ditujukan bagi mahasiswa S1 Jurusan Teknik Elektro, Teknik Informatika, dan Teknik Industri yang sedang mengikuti kuliah kalkulus II pada Program Perkuliahan Dasar Umum di STT Telkom.

Buku ajar ini terdiri dari lima bab, yaitu : Persamaan Diferensial Biasa, Fungsi Dua Peubah, Fungsi Vektor, Integral Lipat, serta Integral Garis dan Integral Permukaan.

Semua materi tersebut merupakan bahan kuliah yang sesuai dengan kurikulum silabus yang berlaku di STT Telkom.

Dalam kesempatan ini, penulis ingin menyampaikan terima kasih yang setulus-tulusnya kepada berbagai pihak atas segala bantuan dan dukungannya sehingga penulis dapat menyelesaikannya.

Mudah-mudahan buku ajar kuliah ini dapat memberikan manfaat bagi para mahasiswa yang ingin mempelajari materi kuliah terkait. Akhirnya, penulis mohon maaf jika dalam tulisan ini masih banyak kekurangan, sumbangan ide dan kritik yang membangun untuk perbaikan buku ajar ini sangat penulis harapkan.

Bandung, Juni 2001

Penulis,

ii

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ….……… i

DAFTAR ISI ……….………. ii

BAB I Persamaan Diferensial Biasa ……….. . 1

1.1 Persamaan Diferensial Orde satu ………... …. 1

1.2 Trayektori Ortogonal ……… 3

1.3 Persamaan Diferensial Orde Dua ……… 5

1.3.1 Persamaan Diferensial Orde Dua Homogen …..……….. 5

1.3.2 Persamaan Diferensial Orde Dua Tak Homogen ………. 6

BAB II Fungsi Dua Peubah ……….. 10

2.1 Bentuk Permukaan di Ruang ..………. 10

2.2 Domain dan Kurva Ketinggian Fungsi Dua Peubah ……….…. 13

2.3 Turunan Parsial ……… 15

2.4 Vektor Gradien,Turunan Berarah dan Bidang Singgung ………. 17

2.5 Bidang Singgung ………. 18

2.6 Nilai Ekstrim ………. ………. 19

BAB III Fungsi Vektor .. ……….…. 22

3.1 Daerah Definisi dan Grafik ……… 22

3.2 Limit, kekontinuan dan Turunan Parsial ……..………. 24

3.3 Kinematika Pertikel ………. 24

3.4 Kelengkungan ………. 25

BAB IV Integral Lipat ………. ……… 28

4.1 Integral Lipat Dua ………. 28

4.1.1 Integral Lipat Dua pada Koordinat Kartesius ……….. 29

4.1.2 Integral Lipat Dua pada Koordinat kutub (Polar) ……….… 32

4.2 Integral Lipat Tiga ...……… 34

4.2.1 Integral Lipat Tiga dengan Koordinat Kartesius ….……… 34

4.2.2 Integral Lipat Tiga dengan Koordinat Tabung dan Bola …..……….. 35

BAB V Integral Garis dan Integral Permukaan ………..…………. 39

iii

5.1 Integral Garis ………39

5.2 Integral Garis Bebas Lintasan ……….…………. 42

5.3 Teorema Green ……….….. 44

5.4 Integral Permukaan ……….. 45

5.5 Teorema Divergensi dan Sokes ….……….. 47

DAFTAR PUSTAKA ……….. .50

1 KALKULUS II

ADIWIJAYA

SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM

BAB I

PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA

Persamaan Diferensial adalah suatu persamaan yang mengandung satu atau beberapa turunan dari peubah tak bebasnya. Jika persamaan diferensial tersebut mengandung peubah tak bebas yang hanya bergantung pada satu peubah bebasnya maka persamaan diferensial tersebut dinamakan persamaan diferensial biasa. Sedangkan jika peubah bebasnya lebih dari satu dinamakan persamaan diferensial parsial. Orde suatu persamaan diferensial adalah turunan tertinggi pada persamaan diferensial tersebut.

Contoh Persamaan Diferensial Biasa : 1. +2sinx=0

dx

dy , persamaan diferensial orde satu dimana y sebagai peubah tak bebas dan x merupakan peubah bebas.

2. 1 0

dt 2dr dt

r d

2 2

= +

+ , persamaan diferensial orde dua dimana r sebagai peubah tak bebas dan t merupakan peubah bebas.

Notasi persamaan diferensial bisa dalam beberapa bentuk, antara lain notasi pada contoh kedua, selain diatas dapat pula ditulis sebagai berikut :

r ” + 2r’ +1 = 0 atau r_tt + 2r_t + 1 = 0

Persamaan diferensial dikatakan linear, apabila persamaan diferensial tersebut mempunyai peubah tak bebas maupun turunannya bersifat linear.

Definisi solusi suatu persamaan diferensial :

Misal ada suatu persamaan diferensial dimana y sebagai peubah tak bebas yang bergantung pada peubah bebas x.

Suatu fungsi f(x) disubstitusikan untuk y dalam persamaan diferensial, persamaan yang dihasilkan merupakan suatu kesamaan untuk setiap x dalam suatu selang, maka f(x) dinamakan solusi persamaan diferensial tersebut.

Contoh :

Diketahui persamaan diferensial y’ + 2 sinx = 0

f(x) = 2 cos x + C merupakan solusi persamaan diferensial diatas,

dimana C adalah konstanta yang bergantung pada syarat awal persamaan diferensial tersebut.

1.1 Persamaan Diferensial Orde Satu

Bentuk umum persamaan diferensial orde satu adalah:

) (

) (

y g

x f dxdy =

Beberapa metode untuk menyelesaikan persamaan diferensial orde satu, antara lain : a. Peubah Terpisah

Bentuk umum :

) (

) (

y g

x f

dxdy = atau

) (

) (

x f

y g dxdy =

Cara penyelesaian dengan integral biasa dari kedua ruas di bawah ini :

2 KALKULUS II

ADIWIJAYA

SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM

∫

^g(y)dy=

∫

^f(x)dx

Contoh :

Tentukan solusi umum dari persamaan diferensial

x y dx dy

= + 1

Penyelesaian :

) 1 (

) 1 ln(

ln 1 1

x C y

C x y

x dx y dy x

y dx dy

+

=

⇒

+ +

=

⇒

= + + ⇒

=

b. Faktor Integrasi

Bentuk umum merupakan persamaan diferensial linear, yaitu : y’ + p(x) y = q(x)

Solusi persamaan diferensial diatas adalah :

C dx x q x x u

y=u₍¹₎

∫

^{( ) ( )} + dimana _u(x)=e∫^p(x)dx Bukti :

Kalikan persamaan diferensial (*) dengan u(x) sehingga menjadi : u(x) y’ + u(x) p(x) y = u(x) q(x)

u(x) y’ + u’(x) y - [ u’(x) y - u(x) p(x) y ] = u(x) q(x)

Ambil u’(x) y - u(x) p(x) y = 0 (**)

Sehingga u(x) y’ + u’(x) y = u(x) q(x) [ u(x) y ]’ = u(x) q(x)

u x q xdx C x

y=u₍¹₎

∫

^{( ) ( )} +

Dari (**) kita mempunyai u’(x) y - u(x) p(x) y = 0

Dengan metode peubah terpisah diperoleh : _u(x)=e∫^p(x)dx ΘΘΘ Contoh :

Tentukan solusi umum dari persamaan diferensial ¹₂

x x y dx dy + =

Penyelesaian :

p(x) = 1/x u(x) = dx x

x =

∫

¹

exp ) ln 1 ( 1

1

2 x C

dx x x x

y= x

∫

= +

f(x, y) adalah fungsi homogen jika f(kx, ky) = kⁿ f(x, y), untuk k ∈ skalar riil dan n merupakan orde dari fungsi tersebut.

Beberapa persamaan diferensial orde satu tak linear yang dapat ditulis

) , ( T

) , ( S

y x

y x

dxdy = , dimana S, T merupakan fungsi homogen berderajat sama maka solusi persamaan diferensial dapat dicari dengan menggunakan metode substitusi sehingga menjadi bentuk persamaan diferensial

3 KALKULUS II

ADIWIJAYA

SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM

dengan peubah terpisah. Misal, kita dapat mensubstitusi peubah tak bebas y dengan ux, yaitu : y = ux dimana u = u(x), sehingga y’ = u’x + u.

Contoh :

Tentukan Solusi umum dari persamaan diferensial

x y x dx

dy +

=

Penyelesaian :

Misal y = ux, dimana u = u(x) Oleh karena itu y’ = u’ x + u

Dengan mensubstitusi pada persamaan diferensial di atas ke persamaan diferensial, di peroleh :

x ux u x

x

u +

= ' +

u'x +u =1+u

u x C

u =x1 ⇒ = ln + '

Maka y = x lnx + cx

1.2 Trayektori Ortogonal

Salah satu aplikasi dari persamaan diferensial orde satu adlaah menentukan trayektori ortogonal dari suatu fungsi persamaan. Trayektori ortogonal dari suatu keluarga kurva adalah keluarga kurva yang memotong tegak lurus keluarga kurva tersebut.

Langkah-langkah menetikan trayektori ortogonal dari suatu keluarga kurva f(x,y)= C, sebagai berikut :

Turunkan f(x,y) = C secara implisit terhadap x, Misal Df(x,y)

Jika turunan pertama mengandung C (parameter) maka substitusikan C(x,y) dari persamaan awal.

Trayektori Ortogonal akan memenuhi persamaan diferensial berikut :

) , (

1 y x Df dx

dy =− ,

artinya solusi persamaan diferensial diatas merupakan trayektori ortogonal dari persamaan f(x,y)= C

Contoh :

Tentukan trayektori ortogonal dari keluarga kurva x² + y² = C Penyelesaian :

Turunan implisit dari fungsi di atas adalah : 2x + 2y y‘ = 0 Sehingga Df(x,y) =

y

− x

Trayektori ortogonal akan memenuhi persamaan diferensial :

) , (

1 y x Df dx

dy =−

x y dxdy =

Trayektori ortogonalnya adalah y = Cx

4 KALKULUS II

ADIWIJAYA

SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM

Latihan

Tentukan solusi umum dari persamaan diferensial orde satu berikut : 1. 1 y²

dx dy = +

2. ₂

2

2 3

x y xy x dx

dy + +

=

3. y x

dx

dy +2 =6

4. ₂

2 1

cos y

x y dx dy

= +

5. y x e^x

dx

xdy −2 = ³

6. 0

2

2 − =

− y

x x y dx dy

Tentukan solusi khusus dari persamaan diferensial orde satu berikut : 7. 3y x⁴

dx

xdy − = ; y (1) = 4

8.

( )

^{e y}

dx e^x dy + ^x +

1 ; y (0) = 1

Tentukan trayektori ortogonal dari fungsi berikut : 9. y=Ce^−2x

10. x² − y² =C

11. y =Cx²

12. x² + (y−c)² =C²

5 KALKULUS II

ADIWIJAYA

SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM

1.3 Persamaan Diferesial Orde Dua

Bentuk umum persamaan diferensial orde dua : y” + a y’ + b y = f(x)

Jika f(x) = 0 maka persamaan diferensial diatas disebut persamaan diferensial homogen, sedangkan jika f(x) ≠ 0 maka dinamakan persamaan diferensial tak homogen.

1.3.1 Persamaan Diferensial Orde Dua Homogen

Misalkan ada dua fungsi f(x) dan g(x), dikatakan bebas linier pada interval I, jika persamaan yang merupakan kombinasi linier dari keduanya, yaitu : m f(x) + n g(x)

= 0 untuk setiap x ∈ I hanya dipenuhi oleh m = n = 0. Jika tidak demikian maka kedua fungsi tersebut dikatakan bergantung linier. Andai fungsi yang diberikan yaitu f(x) dan g(x) terdiferensialkan untuk setiap x ∈ ℜ. Maka Wronskian dari f(x) dan g(x) didefinisikan sebagai berikut :

W (f( x ) , g ( x )) f( x ) g ( x ) f' ( x ) g ' ( x )

=

Keterkaitan antara kebebasan linier dan wronskian dari dua fungsi tersebut dapat dikatakan sebagai berikut : Dua fungsi f(x) dan g(x) dikatakan bebas linier pada I jika dan hanya jika wronskian dari kedua fungsi tersebut tidak sama dengan nol, untuk suatu x ∈ I.

Misal u₁ dan u₂ adalah solusi persamaan diferensial orde dua dan wronskian (determinan wrosnki) dari keduanya didefinisikan oleh :

W (u1, u2)=

'

' ₂

1 2 1

u u

u u

Jika W ≠ 0 maka u₁ dan u₂ saling bebas linear artinya u₁ dan u₂ merupakan basis solusi, sehingga kombinasi linear dari u1 dan u2 , yaitu y = c1u1 + c2u2 juga merupakan solusi dari persamaan diferensial orde dua.

Misal u(x)=e^rx solusi persamaan diferensial orde dua maka dengan mensubstitusikan pada persamaan diperoleh : e^rx(r²+ar+b)=0

Oleh karena e^rx≠0 maka r² + ar + b = 0 (dinamakan persamaan karakteristik)

Solusi umum dari persamaan diferensial orde dua homogen bergantung pada akar persamaan karakteristik.

Tiga kemungkinan solusi umum persamaan diferensial orde dua :

Persamaan karakteristik mempunyai 2 akar riil yang berbeda (r₁ dan r₂) maka solusi umumnya berbentuk :

x r x

r ce

e c x

y( )= ₁ ¹ + ₂ ²

Persamaan karakteristik mempunyai 2 akar riil kembar (r1 = r2 = r) maka solusi umumnya berbentuk :

rx rx c xe e

c x

y( )= ₁ + ₂

Persamaan karakteristik mempunyai 2 akar kompleks (r = p ± qi) maka solusi umumnya berbentuk :

(c qx c qx)

e x

y( )= ^px ₁sin + ₂cos

Tunjukan (sebagai latihan) bahwa untuk setiap kasus, wronskian ≠ 0.

Contoh :

6 KALKULUS II

ADIWIJAYA

SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM

Tentukan solusi umum persamaan diferensial berikut : a. y” + y’ – 2y = 0

b. y” + 4y‘ + 4y = 0 c. y” + 9y = 0 Penyelesaian :

a. Persamaan karakteristik yang sesuai adalah r² + r – 2 = 0

(r – 1) (r + 2) = 0

mempunyai dua akar real berbeda, yaitu : 1 dan -2 Sehingga solusi umumnya : y(x)=c₁e^x +c₂e^−2x

b. Persamaan karakteristik yang sesuai adalah r² + 4r + 4 = 0

(r – 2) ² = 0

mempunyai dua akar real kembar, yaitu : 2 Sehingga solusi umumnya : y(x)=c₁e^2x+c₂xe^2x

c. Persamaan karakteristik yang sesuai adalah r² + 9 = 0

r² = – 9 r = 3 i

mempunyai akar kompleks, yaitu : 3i

Sehingga solusi umumnya : y(x)=c1sin3x+c2cos3x

1.3.2 Persamaan Diferensial Orde Dua Tak Homogen Bentuk umum persamaan diferensial orde dua :

y” + a y’ + b y = f(x)

Solusi umum dari persamaan diferensial orde dua tak homogen adalah y = yh + yp, dimana yh merupakan solusi homogen dan yp solusi pelengkap.

Solusi homogen diperoleh dari persamaan diferensial orde dua homogen (ambil f(x) = 0), sedangkan untuk menentukan solusi pelengkap ada dua metode, yaitu :

• Koefisien Tak Tentu

• Variasi Parameter Metode Koefisien Tak Tentu

Metode ini sangat berguna manakala fungsi f(x) berupa polinom, eksponensial sinus, dan cosinus. Metode ini bisa dikatakan metode coba-coba, untuk memudahkan perhatikan tabel berikut :

) (x

f yp

Cxⁿ bnxⁿ + ….+ b1x + b0

Ce^ax Ae^ax

Cxe^ax Ae^ax + Bxe^ax

Csin ax A sin ax + Bcos ax Bcos ax A sin ax + Bcos ax Ket : C, B, A, a, b0 , b1 , …, bn adalah konstanta riil.

Aturan 1 : Jika f(x) merupakan fungsi seperti pada kolom pertama, pilih y_p dari kolom kedua yang bersesuaian (terletak pada baris yang sama)

7 KALKULUS II

ADIWIJAYA

SEKOLAH TINGGI TEKNOLOGI TELKOM

Aturan 2 : Jika f(x) sama dengan salah satu dari solusi homogen maka kalikan yp

dengan x atau dengan x² jika f(x) sama dengan salah satu dari solusi homogen yang berasal dari dua akar kembar.

Aturan 3 : Jika f(x) penjumlahan dari fungsi dalam kolom satu maka pilih y_p sebagai penjumlahan dari baris-baris yang bersesuaian.

Setelah memilih yp yang diinginkan, dengan mensubstitusikan yp tersebut pada persamaan diferensial, kita berusaha menetukan koefisien yang y_p. sehingga diperoleh solusi umum dari persamaan diferensial tersebut yaitu penjumlahan dari solusi homogen (yh) dengan solusi pelengkap (yp).

Contoh :

Tentukan solusi umum persamaan diferensial berikut :

x sin 2 y dx 4 3 dy dx

y d

2 2

=

−

−

Penyelesaian :

Kita mempunyai solusi umum homogen

x x

h ce c e

y = ₁ ⁻ + ₂ ⁴

Untuk menentukan solusi pelengkap, kita pilih : yp = Asinx + B cosx

Substitusikan ke persamaan diferensial, sehingga diperoleh : (– A + 3B – 4A) sinx + (– B – 3A – 4B) cosx = 2 sinx Maka ada dua persamaan yaitu :

– 5A + 3B = 2 – 5B – 3A = 0

Oleh karena itu A = – 5/17 dan B = 3/17

Solusi umum dari persamaan diferensial diatas adalah : x

x e

c e c x

y ^{x x} cos

17 sin 3 17 ) 5

( = ₁ ⁻ + ₂ ⁴ − +

Metode Variasi Parameter

Metode ini lebih umum dari metode sebelumnya, artinya jika kondisi persamaan diferensial seperti di atas, metode ini dapat digunakan dalam menentukan solusinya.

Jika f(x) tidak sama dengan fungsi-fungsi pada kolom pertama tabel maupun penjumlahannya, bisa berupa perkalian atau pembagian dari fungsi-fungsi tersebut, kondisi ini mendorong kita untuk menggunakan metode variasi parameter.

Solusi pelengkap dari persamaan diferensial dengan menggunakan metode variasi parameter adalah :

y_p = v₁u₁ + v₂u₂

dimana u1, u2 merupakan solusi homogen yang bebas linear, sedangkan

[

uu u u

]

^dx

x f

v¹⁼

∫

₁⁻u₂²_'−⁽₂⁾_1' dan

[

uu u u

]

^dx

x f

v^{2 =}

∫

₁u₂¹_'−⁽₂⁾_1'

Bukti :

Misal y_p = v₁u₁ + v₂u₂ solusi persamaan diferensial.

Substitusikan sehingga diperoleh:

v1’u1’ + v2’u2’ + v1u1” + v2u2” + a (v1’u1 + v2’u2 + v1u1’+ v2u2’)

+ b(v1u1+ v2u2)= f(x)