ALIRAN BERUBAH BERATURAN

(1)

ALIRAN BERUBAH BERATURAN

Kondisi ini terjadi jika gaya penggerak dan gaya geser tidak seimbang, hasilnya bahwa kedalaman aliran berubah beraturan sepanjang saluran.

Grs. horizontal Grs. energi

S_f

v² 2g

Y Cos  z  X

datum

(2)

Persamaan dynamic pada aliran berubah beratutan diperoleh dengan diferensiasi pers. Energi:

Diferensiasi thd sb – X (sepanjang dasar saluran)

Jika S_f = - dH/dX; So = Sin  = - dZ/dX

g Cos v

Y Z

H 2

 2

 







 



 



 g

v dX

d dX

Cos dY dX

dZ dX

dH

2

 2





 



 







 g

v dX

d dX

Cos dY So

S _f

2

 2





 



 



 g

v dX

d dX

Cos dY S

So _f

2

 2





 



 



 



 





 



 



 g

v dY

Cos d dX

dY g

v dY

d dX dY dX

Cos dY S

So _f

2 2

2

2  

 

Untuk memperoleh dY/dX, jika ruas kanan dikalikan dY/dX

(3)

Jika  <<<, Cos  = 1



 



 

 

g v dY

d

Sf So

dX dY

1 2

 2

dY B dA dY

dA gA

Q gA

Q dY

d g

v dY

d   



 



 



 





3 2 2

2 2

2 2 2

2



permukaan lebar

gA B B Q g

v dY

d   



 





3 2 2

2





 



 

 

3 2

1 gA

B Q

Sf So

dX dY



(4)

Persamaan Manning:

Persamaan Chezy:

KARAKTERISTIK GARIS MUKA AIR Pers. Umum:

Untuk mempermudah analisis digunakan saluran lebar (B =  )

R A C

Q R

C

Sf v ₂ ₂

2 2

2 



3 / 4 2

2 2

3 / 4

2 2

R A

Q n

R v

Sf  n 

















3 2 2 2

2

1 1

gA B Q

So R

A C

Q ds So

dh



(5)

R  h q = Q/B ⇒Q=qB

Kedalaman air normal:

Kedalaman kritik:

































3 2 3 2

2

3 3

2 2

2 2 2

2 2

1 1 1

1

gh q

So h

C q So

h gB

B B

q

So h

h B C

B q

ds So dh



B h

So C

H q₂

2

3 

g h_kr q

2

3 _



(6)



 







 ³₃ ₃³ hkr

h

H So h

ds dh

) (

0 aliran diperlambat Backwater ds

dh  

h = kedalaman air untk debit Q

) (

0 aliran dipercepat drawdown ds

dh  

h H h_kr

H h_kr

NDL CDL

Dpt bertukar 1

2 3 zone

(7)

Tinjauan persamaan utk dh/ds

Backwater, kurvanya naik Dapat terjadi bila:

h³ – H³> 0 (+) ⇒ h > H dan

h³ – h_kr³> 0 (+) ⇒ h > h_kr h³ – H³< 0 (-) ⇒ h < H dan

h³ – h_kr³< 0 (-) ⇒ h < h_kr





 0 ( ) ds

dh

ZONE 1 (subkritik)

ZONE 3 (superkritik)

(8)

Drawdown, kurvanya turun Dapat terjadi bila:

h³ – H³> 0 (+) ⇒ h > H dan

h³ – h_kr³< 0 (-) ⇒ h < h_kr h³ – H³< 0 (-) ⇒ h < H dan

h³ – h_kr³> 0 (+) ⇒ h > h_kr





 0 ( ) ds

dh

ZONE 2 (superkritik)

ZONE 2 (subkritik)

(9)

KLASISIFIKASI KURVA MUKA AIR

Perubahan profil muka air tergantung pada So So > 0 ⇒ So < So_kr → Mild Slope : M (landai)

So > So_kr→ Steep Slope : S (curam) So = So_kr→ Critical Slope : C (kritik) So = 0 ⇒ Horizontal Slope : H

So < 0 ⇒ Adverse Slope : A (kemiringan balik)

Tinjau pers. Umum:

   

) 1 ...

...

1 1

3 3



 



 



 



 

 

h h

H h ds So

dh

kr 3 3 3

3

3 3

: :

h h h

h

H So h

ds dh

kr

 



 







 

(10)

Untuk mengetahui jenis kurva muka air dapat digunakan pers. 1), dengan mengetahui nilai H/h dan h_kr/h (+

atau -).

(11)

H/h Tanda

Pemb. h_kr/h Tanda

Peny. Tanda

dh/ds Perubahan Kedalaman Nama Kurva

So > 0 < 1 + < 1 + + Naik M1

So < So_kr < 1 + > 1 - Tdk mungkin -

H > h_kr > 1 - <1 + - Turun M2

Sub. kr > 1 - > 1 - + Naik M3

So > 0 < 1 + < 1 + + Naik S1

So > So_kr < 1 + > 1 - - Turun S2

H < h_kr > 1 - < 1 + Tdk. Mungkin -

Super kr. > 1 - > 1 - + Naik S3

So > 0

So = So_kr > 1 + < 1 + + Naik C1

H = h_kr > 1 - > 1 - + Naik C3

So = 0 >> 1 - < 1 + - Turun H2

H =  >> 1 - > 1 - + Naik H3

So < 0 < 1 - < 1 + - Turun A2

H < 0 < 1 - < 1 - + Naik A3

1

2

3

4

5

(12)

Pada Adverse Slope, So < 0

1. Contoh untuk mendapatkan kurva M1:

0

0 ³ ³

2 2

3    h  H 

C So H q

) ) (

(

)

: ( ₃ ₃

3

3  



 

hkr

h

H So h

ds dari dh

3 0

0 h³ h³ h h A

ds dh

k r

2 0

0 h³ h³ h h A

ds dh

kr kr

Subkritik h So

h

h So H

ds dh

k r

0

] )

/

( 1

[

] )

/

( 1

[

3

+ 3 +

+

(13)

H/h < 1 ⇒ [1 – (H/h)³] > 0 (+) h_kr/h < 1 ⇒ [1 – (h_kr/h)³] > 0 (+)

H/h < 1 ⇒ H<h ⇒ Zone 1 h_kr/h < 1 ⇒ h_kr<h ⇒ Zone 1

ds Naik

dh   



 

 ( )

) (

) ) (

(

Zone 1 Zone 2

Zone 3 H

h

h_kr

NDL CDL

So > 0

So < So_kr Subkritik Zone 1

(14)

2. H/h < 1 ⇒ [1 – (H/h)³] > 0 (+) h_kr/h > 1 ⇒ [1 – (h_kr/h)³] < 0 (-)

•

Tidak ada zona yang memenuhi syarat.

) ) (

(

) ) (

(  



  ds 

dh

NDL CDL Zone 1

Zone 2 Zone 3

(15)

KURVA M

Zone 1

Zone 2

Zone 3

M1

M2 M3

+

- +

Subcritic Subcritic

Supercritic So < So_kr Contoh: So

M1

⇝

M1

So2 < So1 NDL

CDL

NDL CDL

CDL NDL

(16)

⇝

M2

CDL

NDL h_kr

M2

So < So_kr

⇝

So2 < So_kr

(17)

KURVA S

Zone 1

Zone 2

Zone 3

S1

S2

S3

+

- +

Subcritic

Supercritic

Supercritic Contoh: So

S1

⇝

S1

So2 < So_kr NDL

CDL

NDL CDL

CDL NDL

(18)

⇝ ^S2 _CDL

NDL S2

⇝

B1 B2>B1

CDL NDL

S3

(19)

KURVA C

CDL Contoh:

(20)

KURVA H

CDL Super critic

Sub-critic

So = 0 Contoh:

CDL

So = 0

(21)

KURVA A

Super critic

Sub-critic CDL

h

(22)

HITUNGAN PROFIL ALIRAN

Persamaan aliran non-uniform:

METODE INTEGRASI GRAFIS Baik untuk saluran Prismatis:

ds = F(h) dh ⇒

F(h) merupakan fungsi yang sulit untk diintgegralkan, diselesaikan secara Grafis.

3 2

1 1

1 gA

B Q

So Sf

So gA

B Q

Sf So

ds dh

 _

 



 



 

 

Sf dh So

gA B Q ds















 ³

2

1



 ^





2

1 2

1

)

2

(

1

h h x

x

ds F h dh

S

(23)

Langkah hitungan:

1.

Hitung h_kr ,h normal (H)

2.

Tentukan bentuk aliran yang terjadi,

3.

Tentukan interval h, dimulai h batas (tergantung no. 2), makin kecil h makin teliti hasilnya.

h h

F dh

h F

S

^h

h

 

  



2

1 2

1 ²

( ) ( )

1

h₁

h₂

1 2

h

x₁

x₂ S

F(h)

h

h

h₁ h₂

F(h₁)

F(h₂)

H>h_kr , Fr<1 ⇒ subkritis H=h_kr , Fr=1 ⇒ kritis

H<h_kr , Fr>1 ⇒ superkritis

(24)

4. Hitung F(h) dengan rumus, untk setiap nilai h.

5.Hitung jarak h₁ - h₂ yaitu s_1-2 dengan menghitung luas daerah yang dibatasi oleh :

a.

Dua garis sejajar; F(h₁) dan F(h₂)

b.

Tinggi trapesium: h = h₁ – h₂

Luas daerah (trapesium):

6. Ulangi hitungan mulai langkah no.4 untuk setiap harga h.

Sf So

gA B Q

h

F 





³

2

1 )

(

h h F h

F  

2 ) (

)

(

₁ ₂

) (

2 2

2 3 / 4 2

2 2

Chezy R

C A Sf Q

Manning R

A n Sf Q



(25)

Contoh:

Kedalaman air normal, H=1,50 m So = 1. 10

^-4

dan n = 0,02

Tentukan profil muka air di hulu reservoir!

1,50 m

2,00 m

1,50 m 15 m

? m

(26)

Solusi:

Kedalaman air normal, perlu Q:

Q = 14,63 m³/det

Cek jenis aliran, gunakan kemiringan dasar atau Fr.

U = Q/A = 14,63/(15+1*1,5)*1,5 = 0,591 m/det

6 / 1 6

/ 1 2

2

3 1 1



 



 



 p

A R n

C n dengan So

C Q p

A

142 ,

) 52 2 50 , 1

* 2 15

(

50 , 1

* ) 50 , 1 15 ( 02

, 0

1 ¹^/⁶

 



 







  C

0001 ,

0

* 14 , ) 54

1 1 5 , 1

* 2 15

(

5 , 1 ) 5 , 1

* 1 15 ( )

1 2

(

) (

2 2 2

3 3

2 2 2

3

3 Q

So C

Q m

H b

H mH

b 



 

 



B D A

gD

Fr  U  

b h

B B=b+2mh

1:m

(27)

Kemiringan dasar landai ⇒ Kurva M Menghitung kedalaman air kritik

h_kr = 0,5 ⇒ 29,09 ≠ 21,82 h_kr = 0,45 ⇒ 21,14 ≠ 21,82 h_kr = 0,455 ⇒ 21,85  21,82

) (

1 161 .

0 )

2 (

)

( aliran subkritis

mh b

h mh g b

Fr U  



 

) 1 2

(

)

(

³ ²

2 3

3

  



 

   

g Q mh

b

h m b

h g

Q B

A

kr kr kr

Trial dengan

dihitung h h

h h

kr kr

kr

 



 21 , 82 )

* 1

* 2 15

(

)

* 1 15

(

³

(28)

Karena h > H & h > h_kr ⇒ Kurva M1 (di zona1)

Profil muka air dihitung dengan metode Integrasi Grafis:

h h

F dh

h F

S ^h

h  



 



2

1 2

1 ² ( ) ( )

1

Sf So

gA B Q h

F 



 ³

2

1 ) (

h_kr

H h

M1

h₂ h₁=2 m

X = s =?

2 1

h₃ 3

h F(h)F(h₁)

F(1,9)

1,90 2,00

] 9 , 1 0 , 2 2 [

)]

2 ( )

9 , 1 ( [

2

1_   F  F 

arsiran luas

S

F km

S F [1,90 1,75] 3,20 2

)]

9 , 1 ( )

75 , 1 ( [

3

2_    

S_1-2 = 1,71 km

(29)

Tabel Perhitungan

h B A P R Sf F(h) S Skum

(m) (m) (m2) (m) (m) (km) (km)

2.000 19.00 34.00 20.66 1.646 ^4.14E-05 ^1.69E+04 0.000 0.000

1.900 18.80 32.11 20.37 1.576 ^4.84E-05 ^1.92E+04 1.802 1.802

1.750 18.50 29.31 19.95 1.469 ^6.24E-05 ^2.61E+04 3.397 5.199

1.650 18.30 27.47 19.67 1.397 ^7.47E-05 ^3.87E+04 3.243 8.442

1.515 18.03 25.02 19.29 1.297 ^9.69E-05 ^3.18E+05 24.052 32.495

1.505 18.01 24.84 19.26 1.290 ^9.89E-05 ^8.94E+05 6.058 38.553

1.501 18.00 24.77 19.25 1.287 ^9.97E-05 ^3.44E+06 8.671 47.224

1.500 18.00 24.75 19.24 1.286 ^9.99E-05 ^1.22E+07 7.807 55.031

(30)

GAMBAR PROFIL MUKA AIR

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

0.000 1.802

5.199 8.442

32.495 38.553

47.224 55.031

S (km)

h(m)

(31)

METODA STANDARD STEP

•

Dapat digunakan untuk saluran alam (sungai) dimana luas tampang berubah dan non-prismatis.

•

Kehilangan energi pada saluran adalah kehilangan energi karena gesekan dasar dan perubahan bentuk tampang.

•

Prinsip: Penggunaan Persamaan Energi

•

Perhitungan dilakukan step by step dari station ke station dimana karakteristik hidraulik telah dihitung sebelumnya.

•

Dalam beberapa kasus jarak antar station sudah diketahui, prosedurnya untuk menghitung kedalaman aliran pada station ybs. (trial & error).

(32)

Persamaan energi antara tampang 1 dan 2:

hf = kehilangan energi akibat gesekan dasar :

he = kehilangan energi akibat perubahan tampang.

k = koefisien kehilangan energi

e

f h

g h h U

g z h U

z       

2 2

2 2 2

2 2

1 1

1



h_f + h_e

U₂²/2g h₂

z₂

U₁²/2g

h₁

z₁

1 2 datum

⇝

S x

h_f S^f  ^f 

 2

2 1

g U k U

h_e

2

2 2 2

1 



(33)

Contoh:

Pada tampang 2: h = 5,0 m dan Q = 100 m

³

/det So = 0,001; k = 0,40 (dasar saluran lurus)

n = 0,018

Hitung: kedalaman aliran pada jarak 1,0; 0,8;

0,6; 0,4 dan 0,2 km dari ujung hilir.

1 km Titik control

20 m

1

2 10 m

10 m 20 m

1 2

h

⇝

?

(34)

Solusi:

Tampang control = ujung hilir dimana kondisi aliran diketahui.

Pada ujung hulu (tampang 1):

A = (10 + h)h

P = (10 + 2h 2 )

Kedalaman air normal:

Dengan trial diperoleh H=2,80 m

2 / 1 3

/

1

2

So n R

A Q 

R = A/P

2 / 1 3

/ 2

) 001 ,

0 ) (

2 2

10 (

) 10

( 018

, 0

) 10

100 ( 



 







 

H

H H

(35)

Berarti h > H > h_kr ⇒ KURVA M1 Kehilangan energi:

a.

Akibat perubahan tampang:

b.

Akibat gesekan:

•

Pada jarak x=0 (tampang control) b=20 m; z=0; h= 5,0 m

A=(20+1*5)5=125 m²; P =(20+2*5 2) = 34,14 m SUBKRITIS

ALIRAN gD

Fr U 0,588 1

) 8 , 2

* 1

* 2 10

(

) 8 , 2

* 8 , 12 81 (

, 9

)]

8 , 2

* 8 , 12 /(

100

[  





g U U

g U k U

h_e

4 2 , 2 0

2 2 2

1 2

2 2

1 

 



3 / 4 2

2 2 2

1

2 A R

n S Q

S x

h_f S ^f  ^f   _f 



(36)

R = 125/34,14 = 3,66 m U=100/125 = 0,80 m/det E2=z + h + U²/2g + h_f + h_e

= 0+5+0,8²/2*9,81+ h_f + h_e= 5,033 + h_f + h_e

h_e2= 0 (anggapan sementara)

•

Pada jarak x=200 m (x=200) b=20 – 200/1000*10 = 18,0 m

Z = So x = 0,001 * 200 = 0,20 m

h ditentukan dengan cara trial.

5 3

/ 4 2

2 2

2 3,69.10

66 , 3 125

018 ,

0

100 _



f  S

20 m 18 m

0 m 200 m 1000 m

200 m

(37)

Misal coba h= 4,90 m (dasarnya kurva M1) A=112,21 m²

U=100/112,21 = 0,891 m/det P= (18+2*4,90 2) = 31,86 m R=A/P=3,52 m

E1=z1+h+U²/2g ⇒ z1 = So x = 0,001*200= 0,20 m

= 0,20 +4,9+ 0,891²/2*9,81 = 5,141 m

Sf = 0,5 (Sf1 + Sf2) = 0,5*(4,82.10^-5 + 3,69.10^-5) = 4,26. 10^-5

m

h_e 0,0031

81 , 9

* 2

891 ,

0 8

, 40 0

, 0

2

2  



5 3

/ 4 2

2 2

1 4,82.10

52 , 3 21 , 112

018 ,

0

100  _

f  S

(38)

h_{f 0-200}= Sf * x = 4,26. 10^-5 * 200 = 0,0085 m

E1 ≠ E2 ⇒ 5,141 ≠ 5,044 ⇒ coba h yang lain !!

Misal h=4,81 m

m h

g h h U

z

E _e _f 0,0085 0,0031 5,044

81 , 9

* 2

8 , 5 0

2 0

2 2

2

2           

m

E 5,052

81 , 9

* 2

911 ,

1 0 8 , 4 2

, 0

2

1    

5 3

/ 4 2

2 2

2 5,14.10

47 , 3 72 , 109

018 ,

0

100  _

f  S

5 5

5

10 . 42 , 2 4

10 . 14 , 5 10

. 69 ,

3 ^ ^ _

 

f  S

00883 ,

0 200

* 10

. 42 ,

4 ⁵ 





 S x ^

h_f _f

(39)

E₂ =z+h+U² /2g + h_e + h_f

= 0 +5+ 0,8²/2*9,81 + 0,0039 + 0,00883= 5,045 m

E

₁

 E

₂

………. Ok !

Perhitungan berikutnya pada tabel.

m

h

_e

0 , 0039

81 ,

9 * 2

911 ,

0 8

, 40 0

, 0

2

 



(40)

Perhitungan Metoda Standard Step

Jarak  X b z h A U E

₁

P R Sf Sf hf he E

₂

(m) (m) (m) (m) (m) (m

²

) (m/det) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m) (m)

0 0 20 0.0 5.00 125.00 0.80 5.03 34.14 3.66 3.67E-05 - - - -

200 200 18 0.2 4.98 114.44 0.87 5.22 32.09 3.57 4.54E-05 4.11E-05 0.008 0.00252 5.23

400 200 16 0.4 4.75 98.56 1.01 5.20 29.44 3.35 6.66E-05 5.60E-05 0.011 0.00542 5.22

600 200 14 0.6 4.54 84.17 1.19 5.21 26.84 3.14 9.96E-05 8.31E-05 0.017 0.00779 5.24

800 200 12 0.8 4.32 70.50 1.42 5.22 24.22 2.91 1.57E-04 1.28E-04 0.026 0.01224 5.26

1000 200 10 1.0 4.25 60.56 1.65 5.39 22.02 2.75 2.29E-04 1.93E-04 0.039 0.01457 5.44

(41)

h_f + h_e

U₁²/2g h₁

U₂²/2g

h₂=?

z

2 1

⇝

x = 200 m

Tampang kontrol

z=x. So

Gambar: Sketsa penampang memanjang

(42)

DIRECT STEP METHOD

Metode ini membagi saluran kedalam beberapa segmen yang pendek dan dihitung step by step dari salah satu ujung ke ujung yang lain.

Metode ini aplicable untuk saluran prismatic, sehingga Se diabaikan.

Pada gambar di bawah ini diberikan ilustrasi

saluran dengan panjang x. persamaan

total head untuk titik 1 dan 2 adalah:

(43)

Solusi untuk x :

dengan E adalah energi spesifik:

Jika menggunakan Manning:

hf

g h U

x

So      2

2

2 2 2

2 1 1



h_f

U₂²/2g h₂

z₂

U₁²/2g

h₁

z₁

1 2 datum

⇝

x S

h

_f



_f



So.x

f o

f

o

S S

E S

S

E x E



 



 



² ¹

g h U

E 2

 2





3 / 4

2 2

R U S _f  n

(44)

Tabel Perhitungan Direct Step Method

h A P R R^4/3 U U²/2g E E Sf Sf So - Sf X X

(m) (m²) (m) (m) (m) (m/det) (m) (m) (m) (m)

5.00 125.00 34.14 3.66 5.64 0.80 0.03 5.03 - 3.67E-05 -

4.80 119.04 33.58 3.55 5.41 0.84 0.04 4.84 0.20 4.23E-05 3.95E-05 9.60E-04 204.74 204.74 4.60 113.16 33.01 3.43 5.17 0.88 0.04 4.64 0.20 4.90E-05 4.56E-05 9.54E-04 205.54 410.29 4.40 107.36 32.45 3.31 4.93 0.93 0.04 4.44 0.20 5.70E-05 5.30E-05 9.47E-04 206.52 616.81 4.20 101.64 31.88 3.19 4.69 0.98 0.05 4.25 0.19 6.68E-05 6.19E-05 9.38E-04 207.75 824.56 4.00 96.00 31.31 3.07 4.45 1.04 0.06 4.06 0.19 7.89E-05 7.29E-05 9.27E-04 209.29 1033.84 3.80 90.44 30.75 2.94 4.21 1.11 0.06 3.86 0.19 9.40E-05 8.65E-05 9.14E-04 211.26 1245.10 3.70 87.69 30.47 2.88 4.09 1.14 0.07 3.77 0.10 1.03E-04 9.85E-05 9.02E-04 106.52 1351.62 3.60 84.96 30.18 2.81 3.97 1.18 0.07 3.67 0.10 1.13E-04 1.08E-04 8.92E-04 107.25 1458.87 3.55 83.60 30.04 2.78 3.91 1.20 0.07 3.62 0.05 1.18E-04 1.16E-04 8.84E-04 53.93 1512.79 3.50 82.25 29.90 2.75 3.85 1.22 0.08 3.58 0.05 1.24E-04 1.21E-04 8.79E-04 54.15 1566.95 3.47 81.44 29.81 2.73 3.82 1.23 0.08 3.55 0.03 1.28E-04 1.26E-04 8.74E-04 32.61 1599.55 3.44 80.63 29.73 2.71 3.78 1.24 0.08 3.52 0.03 1.32E-04 1.30E-04 8.70E-04 32.70 1632.25 3.42 80.10 29.67 2.70 3.76 1.25 0.08 3.50 0.02 1.34E-04 1.33E-04 8.67E-04 21.85 1654.10 3.40 79.56 29.62 2.69 3.73 1.26 0.08 3.48 0.02 1.37E-04 1.36E-04 8.64E-04 21.90 1676.00

ALIRAN BERUBAH BERATURAN