RUANG VEKTOR
(Kajian pada Ruang-n Euclidis dan Ruang
Vektor Umum)
Drs. Antonius Cahya Prihandoko, M.App.Sc
PS. Pendidikan Matematika PS. Sistem Informasi
University of Jember Indonesia
Outline
1 Ruang Vektor
Ruang-n Euclidis Ruang Vektor Umum
2 Basis dan Dimensi
Kebebasan Linier
Konsep Basis dan Dimensi
3 Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasilkali Dalam
Basis Ortonormal
Outline
1 Ruang Vektor
Ruang-n Euclidis Ruang Vektor Umum
2 Basis dan Dimensi
Kebebasan Linier
Konsep Basis dan Dimensi
3 Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasilkali Dalam
Basis Ortonormal
Outline
1 Ruang Vektor
Ruang-n Euclidis Ruang Vektor Umum
2 Basis dan Dimensi
Kebebasan Linier
Konsep Basis dan Dimensi
3 Ruang Vektor Khusus
Ruang Baris dan Ruang Kolom Ruang Hasilkali Dalam
Basis Ortonormal
Definisi-definisi
tupel-n-terorde
adalah sebuah urutannbilangan riil(a1,a2, ...,an). Himpunan
semua tupel-n-terorde dinamakanruang-ndan dinyatakan
denganRn
Dua vektoru= (u1,u2, ...,un)danv = (v1,v2, ...,vn)padaRn u =v jikau1=v1,u2=v2, ...,un=vn
Definisi-definisi
tupel-n-terorde
adalah sebuah urutannbilangan riil(a1,a2, ...,an). Himpunan
semua tupel-n-terorde dinamakanruang-ndan dinyatakan
denganRn
Dua vektoru= (u1,u2, ...,un)danv = (v1,v2, ...,vn)padaRn
u =v jikau1=v1,u2=v2, ...,un=vn
u+v = (u1+v1,u2+v2, ...,un+vn)
Definisi-definisi
tupel-n-terorde
adalah sebuah urutannbilangan riil(a1,a2, ...,an). Himpunan
semua tupel-n-terorde dinamakanruang-ndan dinyatakan
denganRn
Dua vektoru= (u1,u2, ...,un)danv = (v1,v2, ...,vn)padaRn u =v jikau1=v1,u2=v2, ...,un=vn
u+v = (u1+v1,u2+v2, ...,un+vn)
Definisi-definisi
tupel-n-terorde
adalah sebuah urutannbilangan riil(a1,a2, ...,an). Himpunan
semua tupel-n-terorde dinamakanruang-ndan dinyatakan
denganRn
Dua vektoru= (u1,u2, ...,un)danv = (v1,v2, ...,vn)padaRn u =v jikau1=v1,u2=v2, ...,un=vn
u+v = (u1+v1,u2+v2, ...,un+vn)
Definisi-definisi
tupel-n-terorde
adalah sebuah urutannbilangan riil(a1,a2, ...,an). Himpunan
semua tupel-n-terorde dinamakanruang-ndan dinyatakan
denganRn
Dua vektoru= (u1,u2, ...,un)danv = (v1,v2, ...,vn)padaRn u =v jikau1=v1,u2=v2, ...,un=vn
u+v = (u1+v1,u2+v2, ...,un+vn)
Sifat Ilmu Hitung dalam
R
nJikau,v,w adalah vektor-vektor padaRndank sertaladalah skalar, maka
1 u+v =v+u
2 u+ (v +w) = (u+v) +w
3 u+0=0+u=u
4 u+ (−u) =0, yakniu−u=0 5 k(lu) = (kl)u
Sifat Ilmu Hitung dalam
R
nJikau,v,w adalah vektor-vektor padaRndank sertaladalah skalar, maka
1 u+v =v+u
2 u+ (v +w) = (u+v) +w
3 u+0=0+u=u
4 u+ (−u) =0, yakniu−u=0 5 k(lu) = (kl)u
Sifat Ilmu Hitung dalam
R
nJikau,v,w adalah vektor-vektor padaRndank sertaladalah skalar, maka
1 u+v =v+u
2 u+ (v +w) = (u+v) +w
3 u+0=0+u=u
4 u+ (−u) =0, yakniu−u=0
Sifat Ilmu Hitung dalam
R
nJikau,v,w adalah vektor-vektor padaRndank sertaladalah skalar, maka
1 u+v =v+u
2 u+ (v +w) = (u+v) +w 3 u+0=0+u=u
4 u+ (−u) =0, yakniu−u=0
5 k(lu) = (kl)u
Sifat Ilmu Hitung dalam
R
nJikau,v,w adalah vektor-vektor padaRndank sertaladalah skalar, maka
1 u+v =v+u
2 u+ (v +w) = (u+v) +w 3 u+0=0+u=u
4 u+ (−u) =0, yakniu−u=0
5 k(lu) = (kl)u
6 k(u+v) =ku+kv
Sifat Ilmu Hitung dalam
R
nJikau,v,w adalah vektor-vektor padaRndank sertaladalah skalar, maka
1 u+v =v+u
2 u+ (v +w) = (u+v) +w 3 u+0=0+u=u
4 u+ (−u) =0, yakniu−u=0 5 k(lu) = (kl)u
6 k(u+v) =ku+kv
7 (k+l)u=ku+lu
Sifat Ilmu Hitung dalam
R
nJikau,v,w adalah vektor-vektor padaRndank sertaladalah skalar, maka
1 u+v =v+u
2 u+ (v +w) = (u+v) +w 3 u+0=0+u=u
4 u+ (−u) =0, yakniu−u=0 5 k(lu) = (kl)u
6 k(u+v) =ku+kv
7 (k+l)u=ku+lu
Sifat Ilmu Hitung dalam
R
nJikau,v,w adalah vektor-vektor padaRndank sertaladalah skalar, maka
1 u+v =v+u
2 u+ (v +w) = (u+v) +w 3 u+0=0+u=u
4 u+ (−u) =0, yakniu−u=0 5 k(lu) = (kl)u
6 k(u+v) =ku+kv 7 (k+l)u=ku+lu
Sifat Ilmu Hitung dalam
R
nJikau,v,w adalah vektor-vektor padaRndank sertaladalah skalar, maka
1 u+v =v+u
2 u+ (v +w) = (u+v) +w 3 u+0=0+u=u
4 u+ (−u) =0, yakniu−u=0 5 k(lu) = (kl)u
Ruang Hasil Kali Dalam Euclidis
Definisi
Jikau = (u1,u2, ...,un)danv = (v1,v2, ...,vn)adalah sebarang
vektor padaRn, makahasilkali dalam Eucidis u·v didefinisikan dengan
u·v =u1v1+u2v2+...+unvn
Sifat ilmu hitung dalam h.k.d. Euclidis
Jikau,v,w adalah vektor-vektor padaRndank adalah skalar,
maka:
u·v =v·u
(u+v)·w =u·w+v·w
(ku)·v =k(u·v)
Ruang Hasil Kali Dalam Euclidis
Definisi
Jikau = (u1,u2, ...,un)danv = (v1,v2, ...,vn)adalah sebarang
vektor padaRn, makahasilkali dalam Eucidis u·v didefinisikan dengan
u·v =u1v1+u2v2+...+unvn
Sifat ilmu hitung dalam h.k.d. Euclidis
Jikau,v,w adalah vektor-vektor padaRndank adalah skalar,
maka:
u·v =v·u
(u+v)·w =u·w+v·w (ku)·v =k(u·v)
Ruang Hasil Kali Dalam Euclidis
Definisi
Jikau = (u1,u2, ...,un)danv = (v1,v2, ...,vn)adalah sebarang
vektor padaRn, makahasilkali dalam Eucidis u·v didefinisikan dengan
u·v =u1v1+u2v2+...+unvn
Sifat ilmu hitung dalam h.k.d. Euclidis
Jikau,v,w adalah vektor-vektor padaRndank adalah skalar,
maka:
u·v =v·u
(u+v)·w =u·w+v·w
(ku)·v =k(u·v)
Ruang Hasil Kali Dalam Euclidis
Definisi
Jikau = (u1,u2, ...,un)danv = (v1,v2, ...,vn)adalah sebarang
vektor padaRn, makahasilkali dalam Eucidis u·v didefinisikan dengan
u·v =u1v1+u2v2+...+unvn
Sifat ilmu hitung dalam h.k.d. Euclidis
Jikau,v,w adalah vektor-vektor padaRndank adalah skalar,
maka:
u·v =v·u
(u+v)·w =u·w+v·w (ku)·v =k(u·v)
Ruang Hasil Kali Dalam Euclidis
Definisi
Jikau = (u1,u2, ...,un)danv = (v1,v2, ...,vn)adalah sebarang
vektor padaRn, makahasilkali dalam Eucidis u·v didefinisikan dengan
u·v =u1v1+u2v2+...+unvn
Sifat ilmu hitung dalam h.k.d. Euclidis
Jikau,v,w adalah vektor-vektor padaRndank adalah skalar,
maka:
u·v =v·u
(u+v)·w =u·w+v·w (ku)·v =k(u·v)
Ruang Hasil Kali Dalam Euclidis
Definisi
Jikau = (u1,u2, ...,un)danv = (v1,v2, ...,vn)adalah sebarang
vektor padaRn, makahasilkali dalam Eucidis u·v didefinisikan dengan
u·v =u1v1+u2v2+...+unvn
Sifat ilmu hitung dalam h.k.d. Euclidis
Jikau,v,w adalah vektor-vektor padaRndank adalah skalar,
maka:
u·v =v·u
(u+v)·w =u·w+v·w (ku)·v =k(u·v)
Norm dan Jarak Euclidis
Analog dengan norm padaR2danR3
Norm (atau panjang) Euclidis vektoru= (u1,u2, ...,un)padaRn
adalah
||u||= (u·u)12 =
q
u12+u22+...+un2
Analog dengan jarak padaR2danR3
Jarak Euclidis antara titiku = (u1,u2, ...,un)dan
v = (v1,v2, ...,vn)padaRn dinotasikand(u,v)dan sama
dengan
||u−v||=
q
Norm dan Jarak Euclidis
Analog dengan norm padaR2danR3
Norm (atau panjang) Euclidis vektoru= (u1,u2, ...,un)padaRn
adalah
||u||= (u·u)12 =
q
u12+u22+...+un2
Analog dengan jarak padaR2danR3
Jarak Euclidis antara titiku = (u1,u2, ...,un)dan
v = (v1,v2, ...,vn)padaRn dinotasikand(u,v)dan sama
dengan
||u−v||= q
(u1−v1)2+ (u2−v2)2+...+ (u
Ruang Vektor
V disebutruang vektorjika
1 ∀u,v ∈V =⇒u+v ∈V
2 u+v =v+u
3 u+ (v +w) = (u+v) +w
4 ∃0∈V,∀u∈V,0+u =u+0=u
5 ∀u ∈V,∃ −u∈V,u+ (−u) =−u+u =0 6 ∀u ∈V dank skalar,ku∈V
Ruang Vektor
V disebutruang vektorjika
1 ∀u,v ∈V =⇒u+v ∈V
2 u+v =v+u
3 u+ (v +w) = (u+v) +w
4 ∃0∈V,∀u∈V,0+u =u+0=u
5 ∀u ∈V,∃ −u∈V,u+ (−u) =−u+u =0 6 ∀u ∈V dank skalar,ku∈V
Ruang Vektor
V disebutruang vektorjika
1 ∀u,v ∈V =⇒u+v ∈V 2 u+v =v+u
3 u+ (v +w) = (u+v) +w
4 ∃0∈V,∀u∈V,0+u =u+0=u
5 ∀u ∈V,∃ −u∈V,u+ (−u) =−u+u =0 6 ∀u ∈V dank skalar,ku∈V
Ruang Vektor
V disebutruang vektorjika
1 ∀u,v ∈V =⇒u+v ∈V 2 u+v =v+u
3 u+ (v +w) = (u+v) +w
4 ∃0∈V,∀u∈V,0+u =u+0=u
5 ∀u ∈V,∃ −u∈V,u+ (−u) =−u+u =0
6 ∀u ∈V dank skalar,ku∈V 7 k(lu) = (kl)u
Ruang Vektor
V disebutruang vektorjika
1 ∀u,v ∈V =⇒u+v ∈V 2 u+v =v+u
3 u+ (v +w) = (u+v) +w
4 ∃0∈V,∀u∈V,0+u =u+0=u
5 ∀u ∈V,∃ −u∈V,u+ (−u) =−u+u =0
6 ∀u ∈V dank skalar,ku∈V
Ruang Vektor
V disebutruang vektorjika
1 ∀u,v ∈V =⇒u+v ∈V 2 u+v =v+u
3 u+ (v +w) = (u+v) +w
4 ∃0∈V,∀u∈V,0+u =u+0=u
5 ∀u ∈V,∃ −u∈V,u+ (−u) =−u+u =0
6 ∀u ∈V dank skalar,ku∈V
7 k(lu) = (kl)u
Ruang Vektor
V disebutruang vektorjika
1 ∀u,v ∈V =⇒u+v ∈V 2 u+v =v+u
3 u+ (v +w) = (u+v) +w
4 ∃0∈V,∀u∈V,0+u =u+0=u
5 ∀u ∈V,∃ −u∈V,u+ (−u) =−u+u =0
6 ∀u ∈V dank skalar,ku∈V
7 k(lu) = (kl)u
8 k(u+v) =ku+kv
Ruang Vektor
V disebutruang vektorjika
1 ∀u,v ∈V =⇒u+v ∈V 2 u+v =v+u
3 u+ (v +w) = (u+v) +w
4 ∃0∈V,∀u∈V,0+u =u+0=u
5 ∀u ∈V,∃ −u∈V,u+ (−u) =−u+u =0
6 ∀u ∈V dank skalar,ku∈V
7 k(lu) = (kl)u
8 k(u+v) =ku+kv
9 (k+l)u=ku+lu
Ruang Vektor
V disebutruang vektorjika
1 ∀u,v ∈V =⇒u+v ∈V 2 u+v =v+u
3 u+ (v +w) = (u+v) +w
4 ∃0∈V,∀u∈V,0+u =u+0=u
5 ∀u ∈V,∃ −u∈V,u+ (−u) =−u+u =0
6 ∀u ∈V dank skalar,ku∈V
7 k(lu) = (kl)u 8 k(u+v) =ku+kv
9 (k+l)u=ku+lu
Ruang Vektor
V disebutruang vektorjika
1 ∀u,v ∈V =⇒u+v ∈V 2 u+v =v+u
3 u+ (v +w) = (u+v) +w
4 ∃0∈V,∀u∈V,0+u =u+0=u
5 ∀u ∈V,∃ −u∈V,u+ (−u) =−u+u =0
6 ∀u ∈V dank skalar,ku∈V
7 k(lu) = (kl)u 8 k(u+v) =ku+kv 9 (k+l)u=ku+lu
Ruang Vektor
V disebutruang vektorjika
1 ∀u,v ∈V =⇒u+v ∈V 2 u+v =v+u
3 u+ (v +w) = (u+v) +w
4 ∃0∈V,∀u∈V,0+u =u+0=u
5 ∀u ∈V,∃ −u∈V,u+ (−u) =−u+u =0
6 ∀u ∈V dank skalar,ku∈V
Sifat Dasar Ruang Vektor
JikaV ruang vektor
maka∀u ∈V,u disebutvektor
JikaV ruang vektor,u∈V, dank skalar
0u =0
k0=0
(−1)u=−u
Sifat Dasar Ruang Vektor
JikaV ruang vektor
maka∀u ∈V,u disebutvektor
JikaV ruang vektor,u∈V, dank skalar
0u =0
k0=0
(−1)u=−u
Sifat Dasar Ruang Vektor
JikaV ruang vektor
maka∀u ∈V,u disebutvektor
JikaV ruang vektor,u∈V, dank skalar
0u =0 k0=0 (−1)u=−u
Sifat Dasar Ruang Vektor
JikaV ruang vektor
maka∀u ∈V,u disebutvektor
JikaV ruang vektor,u∈V, dank skalar
0u =0
k0=0
(−1)u=−u
Sifat Dasar Ruang Vektor
JikaV ruang vektor
maka∀u ∈V,u disebutvektor
JikaV ruang vektor,u∈V, dank skalar
0u =0
k0=0
(−1)u=−u
Sifat Dasar Ruang Vektor
JikaV ruang vektor
maka∀u ∈V,u disebutvektor
JikaV ruang vektor,u∈V, dank skalar
0u =0
k0=0
(−1)u=−u
Subruang
SubhimpunanW dari sebuah ruang vektorV disebutsubruang
jikaW merupakan ruang ruang vektor di bawah penjumlahan
vektor dan perkalian skalar yang didefinisikan dalamV
Teorema Subruang
MisalV ruang vektor. W ⊂V.W 6=φ.W merupakan subruang dariV ⇐⇒
1 Jikau,v ∈W =⇒u+v ∈W
Subruang
SubhimpunanW dari sebuah ruang vektorV disebutsubruang
jikaW merupakan ruang ruang vektor di bawah penjumlahan
vektor dan perkalian skalar yang didefinisikan dalamV
Teorema Subruang
MisalV ruang vektor. W ⊂V.W 6=φ.W merupakan subruang
dariV ⇐⇒
1 Jikau,v ∈W =⇒u+v ∈W
Subruang
SubhimpunanW dari sebuah ruang vektorV disebutsubruang
jikaW merupakan ruang ruang vektor di bawah penjumlahan
vektor dan perkalian skalar yang didefinisikan dalamV
Teorema Subruang
MisalV ruang vektor. W ⊂V.W 6=φ.W merupakan subruang
dariV ⇐⇒
1 Jikau,v ∈W =⇒u+v ∈W
Subruang
SubhimpunanW dari sebuah ruang vektorV disebutsubruang
jikaW merupakan ruang ruang vektor di bawah penjumlahan
vektor dan perkalian skalar yang didefinisikan dalamV
Teorema Subruang
MisalV ruang vektor. W ⊂V.W 6=φ.W merupakan subruang
dariV ⇐⇒
1 Jikau,v ∈W =⇒u+v ∈W
Kombinasi Linier dan Merentang
Kombinasi Linier
Sebuah vektorw disebutkombinasi linierdari vektor-vektor
v1,v2, ...,vnjika vektor tersebut dapat dinyatakan sebagai
w =k1v1+k2v2+...+knvn
dengank1,k2, ...,kn adalah skalar-skalar.
Merentang
Jikav1,v2, ...,vr ∈V dan∀u∈V,umerupakankombinasi linier
dariv1,v2, ...,vr maka vektor-vektorv1,v2, ...,vr dikatakan
merentangV. Dinotasikan:
Kombinasi Linier dan Merentang
Kombinasi Linier
Sebuah vektorw disebutkombinasi linierdari vektor-vektor
v1,v2, ...,vnjika vektor tersebut dapat dinyatakan sebagai
w =k1v1+k2v2+...+knvn
dengank1,k2, ...,kn adalah skalar-skalar.
Merentang
Jikav1,v2, ...,vr ∈V dan∀u∈V,umerupakankombinasi linier
dariv1,v2, ...,vr maka vektor-vektorv1,v2, ...,vr dikatakan
merentangV. Dinotasikan:
Himpunan Kombinasi Linier
Teorema
Jikav1,v2, ...,vr ∈V danW ={k1v1+k2v2+...+krvr}, maka
W subruangV.
Himpunan Kombinasi Linier
Teorema
Jikav1,v2, ...,vr ∈V danW ={k1v1+k2v2+...+krvr}, maka
W subruangV.
Himpunan Kombinasi Linier
Teorema
Jikav1,v2, ...,vr ∈V danW ={k1v1+k2v2+...+krvr}, maka
W subruangV.
Kebebasan Linier
Definisi
JikaS={v1,v2, ...,vr}adalah himpunan vektor-vektor dan
satu-satunya solusi untuk sistem homogen
k1v1+k2v2+...+krvr =0
adalah penyelesaian trivial, makaSdisebut himpunanbebas
linier, danv1,v2, ...,vr disebutvektor-vektor bebas linier
Akibatnya:HimpunanSdengan dua vektor atau lebih adalah tak bebas linier⇐⇒ada vektor dalamSyang merupakan kombinasi linier vektor-vektor selebihnya.
Kebebasan Linier
Definisi
JikaS={v1,v2, ...,vr}adalah himpunan vektor-vektor dan
satu-satunya solusi untuk sistem homogen
k1v1+k2v2+...+krvr =0
adalah penyelesaian trivial, makaSdisebut himpunanbebas
linier, danv1,v2, ...,vr disebutvektor-vektor bebas linier
Akibatnya:HimpunanSdengan dua vektor atau lebih adalah
tak bebas linier⇐⇒ada vektor dalamSyang merupakan
kombinasi linier vektor-vektor selebihnya.
Kebebasan Linier
Definisi
JikaS={v1,v2, ...,vr}adalah himpunan vektor-vektor dan
satu-satunya solusi untuk sistem homogen
k1v1+k2v2+...+krvr =0
adalah penyelesaian trivial, makaSdisebut himpunanbebas
linier, danv1,v2, ...,vr disebutvektor-vektor bebas linier
Akibatnya:HimpunanSdengan dua vektor atau lebih adalah
tak bebas linier⇐⇒ada vektor dalamSyang merupakan kombinasi linier vektor-vektor selebihnya.
Kebebasan Linier
Definisi
JikaS={v1,v2, ...,vr}adalah himpunan vektor-vektor dan
satu-satunya solusi untuk sistem homogen
k1v1+k2v2+...+krvr =0
adalah penyelesaian trivial, makaSdisebut himpunanbebas
linier, danv1,v2, ...,vr disebutvektor-vektor bebas linier
Akibatnya:HimpunanSdengan dua vektor atau lebih adalah
tak bebas linier⇐⇒ada vektor dalamSyang merupakan kombinasi linier vektor-vektor selebihnya.
Teorema Kebebasan Linier
Jika
sebuah himpunan memuat vektor nol maka himpunan tersebut tak bebas linier
Sebuah himpunan
mempunyai tepat dua vektor tak bebas linier jika dan hanya jika salah satu vektor merupakan kelipatan vektor yang lain
Misalkan
S={v1,v2, ...,vr}adalah himpunan vektor-vektor dalamRn.
Teorema Kebebasan Linier
Jika
sebuah himpunan memuat vektor nol maka himpunan tersebut tak bebas linier
Sebuah himpunan
mempunyai tepat dua vektor tak bebas linier jika dan hanya jika salah satu vektor merupakan kelipatan vektor yang lain
Misalkan
S={v1,v2, ...,vr}adalah himpunan vektor-vektor dalamRn.
Teorema Kebebasan Linier
Jika
sebuah himpunan memuat vektor nol maka himpunan tersebut tak bebas linier
Sebuah himpunan
mempunyai tepat dua vektor tak bebas linier jika dan hanya jika salah satu vektor merupakan kelipatan vektor yang lain
Misalkan
S={v1,v2, ...,vr}adalah himpunan vektor-vektor dalamRn.
Basis dan Dimensi
Definisi
MisalkanV ruang vektor danS ={v1,v2, ...,vr} ⊂V.Sdisebut
basisuntukV jika
Sbebas linier
SmerentangV
1 JikaS={v1,v2, ...,vn}basis untuk ruang vektorV maka
tiap himpunan dengan lebih darinvektor adalah tak bebas linier
2 Sebarang dua basis mempunyai banyak vektor yang sama 3 Bilangan kardinal dari himpunan basisSdisebutdimensi
Basis dan Dimensi
Definisi
MisalkanV ruang vektor danS ={v1,v2, ...,vr} ⊂V.Sdisebut
basisuntukV jika
Sbebas linier
SmerentangV
1 JikaS={v1,v2, ...,vn}basis untuk ruang vektorV maka
tiap himpunan dengan lebih darinvektor adalah tak bebas linier
2 Sebarang dua basis mempunyai banyak vektor yang sama
3 Bilangan kardinal dari himpunan basisSdisebutdimensi
Basis dan Dimensi
Definisi
MisalkanV ruang vektor danS ={v1,v2, ...,vr} ⊂V.Sdisebut
basisuntukV jika
Sbebas linier
SmerentangV
1 JikaS={v1,v2, ...,vn}basis untuk ruang vektorV maka
tiap himpunan dengan lebih darinvektor adalah tak bebas
linier
2 Sebarang dua basis mempunyai banyak vektor yang sama
3 Bilangan kardinal dari himpunan basisSdisebutdimensi
Basis dan Dimensi
Definisi
MisalkanV ruang vektor danS ={v1,v2, ...,vr} ⊂V.Sdisebut
basisuntukV jika
Sbebas linier
SmerentangV
1 JikaS={v1,v2, ...,vn}basis untuk ruang vektorV maka
tiap himpunan dengan lebih darinvektor adalah tak bebas
linier
2 Sebarang dua basis mempunyai banyak vektor yang sama
Basis dan Dimensi
Definisi
MisalkanV ruang vektor danS ={v1,v2, ...,vr} ⊂V.Sdisebut
basisuntukV jika
Sbebas linier
SmerentangV
1 JikaS={v1,v2, ...,vn}basis untuk ruang vektorV maka
tiap himpunan dengan lebih darinvektor adalah tak bebas
linier
2 Sebarang dua basis mempunyai banyak vektor yang sama
3 Bilangan kardinal dari himpunan basisSdisebutdimensi
Basis dan Dimensi
Definisi
MisalkanV ruang vektor danS ={v1,v2, ...,vr} ⊂V.Sdisebut
basisuntukV jika
Sbebas linier
SmerentangV
1 JikaS={v1,v2, ...,vn}basis untuk ruang vektorV maka
tiap himpunan dengan lebih darinvektor adalah tak bebas
linier
2 Sebarang dua basis mempunyai banyak vektor yang sama
3 Bilangan kardinal dari himpunan basisSdisebutdimensi
Basis dan Dimensi
Definisi
MisalkanV ruang vektor danS ={v1,v2, ...,vr} ⊂V.Sdisebut
basisuntukV jika
Sbebas linier
SmerentangV
1 JikaS={v1,v2, ...,vn}basis untuk ruang vektorV maka
tiap himpunan dengan lebih darinvektor adalah tak bebas
linier
2 Sebarang dua basis mempunyai banyak vektor yang sama
3 Bilangan kardinal dari himpunan basisSdisebutdimensi
Teorema Basis
Teorema a
JikaS={v1,v2, ...,vn}adalah himpunannvektor bebas linier
pada ruangV berdimensin, makaS adalah basis
Teorema b
JikaS={v1,v2, ...,vn}adalah himpunannvektor yang
merentang ruangV berdimensin, makaSadalah basis
Teorema c
JikaS={v1,v2, ...,vr}adalah himpunanr vektor bebas linier
Teorema Basis
Teorema a
JikaS={v1,v2, ...,vn}adalah himpunannvektor bebas linier
pada ruangV berdimensin, makaS adalah basis
Teorema b
JikaS={v1,v2, ...,vn}adalah himpunannvektor yang
merentang ruangV berdimensin, makaSadalah basis
Teorema c
JikaS={v1,v2, ...,vr}adalah himpunanr vektor bebas linier
Teorema Basis
Teorema a
JikaS={v1,v2, ...,vn}adalah himpunannvektor bebas linier
pada ruangV berdimensin, makaS adalah basis
Teorema b
JikaS={v1,v2, ...,vn}adalah himpunannvektor yang
merentang ruangV berdimensin, makaSadalah basis
Teorema c
JikaS={v1,v2, ...,vr}adalah himpunanr vektor bebas linier
pada ruangV berdimensindanr <n, makaSdapat
Ruang Baris dan Ruang Kolom
Tinjaulah matriksm×n
A=
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
..
. ... ... ...
am1 am2 ... amn
SubruangRn
yang direntang oleh vektor-vektor barisAdisebutruang baris
A
SubruangRm
Ruang Baris dan Ruang Kolom
Tinjaulah matriksm×n
A=
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
..
. ... ... ...
am1 am2 ... amn
SubruangRn
yang direntang oleh vektor-vektor barisAdisebutruang baris
A
SubruangRm
yang direntang oleh vektor-vektor kolomAdisebutruang
Teorema Ruang Baris (Kolom)
Operasi Baris Elementer
tidak mengubah ruang baris sebuah matriks
Vektor-vektor baris taknol
pada bentuk eselon baris dari matriksAmembentuk basis untuk ruang barisA
Ruang baris dan ruang kolom
suatu matriks memiliki dimensi yang sama
Dimensi
Teorema Ruang Baris (Kolom)
Operasi Baris Elementer
tidak mengubah ruang baris sebuah matriks
Vektor-vektor baris taknol
pada bentuk eselon baris dari matriksAmembentuk basis
untuk ruang barisA
Ruang baris dan ruang kolom
suatu matriks memiliki dimensi yang sama
Dimensi
Teorema Ruang Baris (Kolom)
Operasi Baris Elementer
tidak mengubah ruang baris sebuah matriks
Vektor-vektor baris taknol
pada bentuk eselon baris dari matriksAmembentuk basis
untuk ruang barisA
Ruang baris dan ruang kolom
suatu matriks memiliki dimensi yang sama
Dimensi
Teorema Ruang Baris (Kolom)
Operasi Baris Elementer
tidak mengubah ruang baris sebuah matriks
Vektor-vektor baris taknol
pada bentuk eselon baris dari matriksAmembentuk basis
untuk ruang barisA
Ruang baris dan ruang kolom
suatu matriks memiliki dimensi yang sama
Dimensi
ruang baris dan ruang kolom matriksAdinamakanrankAdan
Pernyataan-pernyataan Ekivalen
JikaAmatriksn×n, maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen:
1 Ainvertibel
2 Ax =0 hanya mempunyai pemecahan trivial
3 Aekivalen baris terhadapIn 4 Ax =bselalu konsisten 5 det(A)6=0
6 rank(A) =n
Pernyataan-pernyataan Ekivalen
JikaAmatriksn×n, maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen:
1 Ainvertibel
2 Ax =0 hanya mempunyai pemecahan trivial
3 Aekivalen baris terhadapIn
4 Ax =bselalu konsisten 5 det(A)6=0
6 rank(A) =n
Pernyataan-pernyataan Ekivalen
JikaAmatriksn×n, maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen:
1 Ainvertibel
2 Ax =0 hanya mempunyai pemecahan trivial
3 Aekivalen baris terhadapIn
4 Ax =bselalu konsisten
5 det(A)6=0 6 rank(A) =n
Pernyataan-pernyataan Ekivalen
JikaAmatriksn×n, maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen:
1 Ainvertibel
2 Ax =0 hanya mempunyai pemecahan trivial
3 Aekivalen baris terhadapIn
4 Ax =bselalu konsisten
5 det(A)6=0
6 rank(A) =n
Pernyataan-pernyataan Ekivalen
JikaAmatriksn×n, maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen:
1 Ainvertibel
2 Ax =0 hanya mempunyai pemecahan trivial
3 Aekivalen baris terhadapIn
4 Ax =bselalu konsisten
5 det(A)6=0
6 rank(A) =n
Pernyataan-pernyataan Ekivalen
JikaAmatriksn×n, maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen:
1 Ainvertibel
2 Ax =0 hanya mempunyai pemecahan trivial
3 Aekivalen baris terhadapIn
4 Ax =bselalu konsisten
5 det(A)6=0
6 rank(A) =n
7 Vektor-vektor barisAbebas linier
Pernyataan-pernyataan Ekivalen
JikaAmatriksn×n, maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen:
1 Ainvertibel
2 Ax =0 hanya mempunyai pemecahan trivial
3 Aekivalen baris terhadapIn
4 Ax =bselalu konsisten
5 det(A)6=0 6 rank(A) =n
7 Vektor-vektor barisAbebas linier
Pernyataan-pernyataan Ekivalen
JikaAmatriksn×n, maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen:
1 Ainvertibel
2 Ax =0 hanya mempunyai pemecahan trivial
3 Aekivalen baris terhadapIn
4 Ax =bselalu konsisten
5 det(A)6=0 6 rank(A) =n
7 Vektor-vektor barisAbebas linier
Pernyataan-pernyataan Ekivalen
JikaAmatriksn×n, maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen:
1 Ainvertibel
2 Ax =0 hanya mempunyai pemecahan trivial
3 Aekivalen baris terhadapIn
4 Ax =bselalu konsisten
5 det(A)6=0 6 rank(A) =n
7 Vektor-vektor barisAbebas linier
Beberapa Teorema Lanjutan
Sebuah sistem linierAx =b
adalah konsisten jika dan hanya jikabberada dalam ruang
kolom matriksA
Sebuah sistem linierAx =b
akan konsisten jika dan hanya jikarank(A) =rank(A|b)
JikaAx =bsistem konsisten
yang memuatmpersamaan dannvariabel, dan jika
Beberapa Teorema Lanjutan
Sebuah sistem linierAx =b
adalah konsisten jika dan hanya jikabberada dalam ruang
kolom matriksA
Sebuah sistem linierAx =b
akan konsisten jika dan hanya jikarank(A) =rank(A|b)
JikaAx =bsistem konsisten
yang memuatmpersamaan dannvariabel, dan jika
Beberapa Teorema Lanjutan
Sebuah sistem linierAx =b
adalah konsisten jika dan hanya jikabberada dalam ruang
kolom matriksA
Sebuah sistem linierAx =b
akan konsisten jika dan hanya jikarank(A) =rank(A|b)
JikaAx =bsistem konsisten
yang memuatmpersamaan dannvariabel, dan jika
rank(A) =r, maka pemecahan sistem tersebut memuatn−r
Hasilkali Dalam
Sebuah hasilkali dalam pada ruang vektor riilV adalah fungsi yang mengasosiasikan bilangan riil<u,v >dengan pasangan vektor(u,v)dan memenuhi aksioma:
1 <u,v >=<v,u>
2 <u+v,w >=<u,w >+<v,w >
3 <ku,v >=k <u,v >
4 <v,v >≥0; dan<v,v >=0⇐⇒v =0
untuku,v,w ∈V dank skalar
Sebuah ruang vektor riil
Hasilkali Dalam
Sebuah hasilkali dalam pada ruang vektor riilV adalah fungsi yang mengasosiasikan bilangan riil<u,v >dengan pasangan vektor(u,v)dan memenuhi aksioma:
1 <u,v >=<v,u>
2 <u+v,w >=<u,w >+<v,w >
3 <ku,v >=k <u,v >
4 <v,v >≥0; dan<v,v >=0⇐⇒v =0
untuku,v,w ∈V dank skalar
Sebuah ruang vektor riil
Hasilkali Dalam
Sebuah hasilkali dalam pada ruang vektor riilV adalah fungsi yang mengasosiasikan bilangan riil<u,v >dengan pasangan vektor(u,v)dan memenuhi aksioma:
1 <u,v >=<v,u>
2 <u+v,w >=<u,w >+<v,w >
3 <ku,v >=k <u,v >
4 <v,v >≥0; dan<v,v >=0⇐⇒v =0
untuku,v,w ∈V dank skalar
Sebuah ruang vektor riil
Hasilkali Dalam
Sebuah hasilkali dalam pada ruang vektor riilV adalah fungsi yang mengasosiasikan bilangan riil<u,v >dengan pasangan vektor(u,v)dan memenuhi aksioma:
1 <u,v >=<v,u>
2 <u+v,w >=<u,w >+<v,w > 3 <ku,v >=k <u,v >
4 <v,v >≥0; dan<v,v >=0⇐⇒v =0
untuku,v,w ∈V dank skalar
Sebuah ruang vektor riil
Hasilkali Dalam
Sebuah hasilkali dalam pada ruang vektor riilV adalah fungsi yang mengasosiasikan bilangan riil<u,v >dengan pasangan vektor(u,v)dan memenuhi aksioma:
1 <u,v >=<v,u>
2 <u+v,w >=<u,w >+<v,w > 3 <ku,v >=k <u,v >
4 <v,v >≥0; dan<v,v >=0⇐⇒v =0
untuku,v,w ∈V dank skalar
Sebuah ruang vektor riil
Hasilkali Dalam
Sebuah hasilkali dalam pada ruang vektor riilV adalah fungsi yang mengasosiasikan bilangan riil<u,v >dengan pasangan vektor(u,v)dan memenuhi aksioma:
1 <u,v >=<v,u>
2 <u+v,w >=<u,w >+<v,w > 3 <ku,v >=k <u,v >
4 <v,v >≥0; dan<v,v >=0⇐⇒v =0
untuku,v,w ∈V dank skalar
Sebuah ruang vektor riil
Sifat-sifat Hasilkali Dalam
Jikau,v,w vektor-vektor dalam ruang hasilkali dalam dank
skalar
<0,v >=<v,0>=0
<u,v+w >=<u,v >+<u,w >
Sifat-sifat Hasilkali Dalam
Jikau,v,w vektor-vektor dalam ruang hasilkali dalam dank
skalar
<0,v >=<v,0>=0
Sifat-sifat Hasilkali Dalam
Jikau,v,w vektor-vektor dalam ruang hasilkali dalam dank
skalar
<0,v >=<v,0>=0
Sifat-sifat Hasilkali Dalam
Jikau,v,w vektor-vektor dalam ruang hasilkali dalam dank
skalar
<0,v >=<v,0>=0
Panjang dan Sudut di Ruang Hasilkali Dalam
Analog dengan ruang Euclidis
JikaV sebuah ruang hasilkali dalam, maka
normvektoru =||u||=<u,u>12 jarakantara titikudanv adalah
d(u,v) =||u−v||
Ketaksamaan Cauchy-Schwartz
Jikau danv adalah vektor pada ruang hasilkali dalam, maka
Panjang dan Sudut di Ruang Hasilkali Dalam
Analog dengan ruang Euclidis
JikaV sebuah ruang hasilkali dalam, maka
normvektoru =||u||=<u,u>12
jarakantara titikudanv adalah
d(u,v) =||u−v||
Ketaksamaan Cauchy-Schwartz
Jikau danv adalah vektor pada ruang hasilkali dalam, maka
Panjang dan Sudut di Ruang Hasilkali Dalam
Analog dengan ruang Euclidis
JikaV sebuah ruang hasilkali dalam, maka
normvektoru =||u||=<u,u>12
jarakantara titikudanv adalah
d(u,v) =||u−v||
Ketaksamaan Cauchy-Schwartz
Jikau danv adalah vektor pada ruang hasilkali dalam, maka
Panjang dan Sudut di Ruang Hasilkali Dalam
Analog dengan ruang Euclidis
JikaV sebuah ruang hasilkali dalam, maka
normvektoru =||u||=<u,u>12
jarakantara titikudanv adalah
d(u,v) =||u−v||
Ketaksamaan Cauchy-Schwartz
Jikau danv adalah vektor pada ruang hasilkali dalam, maka
Sifat Dasar Norm dan Jarak
Norm Jarak
kuk ≥0 d(u,v)≥0
kuk=0⇐⇒u=0 d(u,v) =0⇐⇒u=v kkuk=|k|kuk d(u,v) =d(v,u)
ku+vk ≤ kuk+kvk d(u,v)≤d(u,w) +d(w,v)
JikaV ruang hasilkali dalam
Ortogonalitas
Dalam ruang hasilkali dalam
vektoru danv dikatakanortogonaljika<u,v >=0. Selanjutnya jikauortogonal terhadap setiap vektor pada
himpunanW, maka dikatakanu ortogonal terhadap W
Teorema Pythagoras yang digeneralisasi
Jikau danv adalah vektor-vektor ortogonal pada ruang hasilkali dalam, maka
Ortogonalitas
Dalam ruang hasilkali dalam
vektoru danv dikatakanortogonaljika<u,v >=0. Selanjutnya jikauortogonal terhadap setiap vektor pada
himpunanW, maka dikatakanu ortogonal terhadap W
Teorema Pythagoras yang digeneralisasi
Jikau danv adalah vektor-vektor ortogonal pada ruang
hasilkali dalam, maka
Basis Ortonormal
Sebuah himpunan vektor dalam ruang hasilkali dalam disebut
ortonormaljika
tiap pasang vektor yang berbeda adalah ortogonal semua vektor memiliki norm 1
JikaS={v1,v2, ...,vn}adalah basis ortonormal pada ruang hasilkali dalamV danusebarang vektor dalamV, maka
u =<u,v1>v1+<u,v2>v2+...+<u,vn>vn
Basis Ortonormal
Sebuah himpunan vektor dalam ruang hasilkali dalam disebut
ortonormaljika
tiap pasang vektor yang berbeda adalah ortogonal
semua vektor memiliki norm 1
JikaS={v1,v2, ...,vn}adalah basis ortonormal pada ruang
hasilkali dalamV danusebarang vektor dalamV, maka
u =<u,v1>v1+<u,v2>v2+...+<u,vn>vn
Basis Ortonormal
Sebuah himpunan vektor dalam ruang hasilkali dalam disebut
ortonormaljika
tiap pasang vektor yang berbeda adalah ortogonal semua vektor memiliki norm 1
JikaS={v1,v2, ...,vn}adalah basis ortonormal pada ruang
hasilkali dalamV danusebarang vektor dalamV, maka
u =<u,v1>v1+<u,v2>v2+...+<u,vn>vn
JikaS={v1,v2, ...,vn}himpunan ortogonal dari vektor-vektor
Basis Ortonormal
Sebuah himpunan vektor dalam ruang hasilkali dalam disebut
ortonormaljika
tiap pasang vektor yang berbeda adalah ortogonal semua vektor memiliki norm 1
JikaS={v1,v2, ...,vn}adalah basis ortonormal pada ruang
hasilkali dalamV danusebarang vektor dalamV, maka
u =<u,v1>v1+<u,v2>v2+...+<u,vn>vn
JikaS={v1,v2, ...,vn}himpunan ortogonal dari vektor-vektor
Basis Ortonormal
Sebuah himpunan vektor dalam ruang hasilkali dalam disebut
ortonormaljika
tiap pasang vektor yang berbeda adalah ortogonal semua vektor memiliki norm 1
JikaS={v1,v2, ...,vn}adalah basis ortonormal pada ruang
hasilkali dalamV danusebarang vektor dalamV, maka
u =<u,v1>v1+<u,v2>v2+...+<u,vn>vn
JikaS={v1,v2, ...,vn}himpunan ortogonal dari vektor-vektor
Proyeksi Ortogonal
MisalkanV adalah ruang hasilkali dalam
dan{v1,v2, ...,vr}adalah himpunan ortonormal dari
vektor-vektorV. JikaW menyatakan ruang yang direntang
olehv1,v2, ...,vr maka tiap vektorudalamV dapat dinyatakan
dalam bentuk
u=w1+w2
denganw1terletak padaW
w1=<u,v1>v1+<u,v2>v2+...+<u,vr >vr =proyWu
danw2ortogonal terhadapW
Proses Gram-Schmidt
Teorema
Setiap ruang hasilkali dalam berdimensi hingga taknol mempunyai sebuah basis ortonormal
Bukti
Teorema tersebut dapat dibuktikan dengan mengkonstruksi sebuah basis ortonormal{v1,v2, ...,vn}dari sebarang basis
S={u1,u2, ...,un}dengan menggunakanproses
Gram-Schmidt
Step 1
Proses Gram-Schmidt
Teorema
Setiap ruang hasilkali dalam berdimensi hingga taknol mempunyai sebuah basis ortonormal
Bukti
Teorema tersebut dapat dibuktikan dengan mengkonstruksi sebuah basis ortonormal{v1,v2, ...,vn}dari sebarang basis
S={u1,u2, ...,un}dengan menggunakanproses
Gram-Schmidt
Step 1
