BAB XX. VEKTOR
A Definisi Vektor :
Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. Vektor PQ mempunyai titik pangkal P dan titik ujung Q.
Q
a
P B. Beberapa pengertian vektor :
1. Vektor posisi adalah suatu vektor yang titik awalnya di 0.
Jika A(x,y,z) maka OA = a =
⎟ ⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝ ⎛
z y x
dan
|a| = x2 + y2 +z2
2. Vektor satuan adalah suatu vektor panjangnya satu. Vektor arah sumbu x, sumbu y dan sumbu z
berturut-turut adalah :
i =
⎟ ⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝ ⎛
0 0 1
; j =
⎟ ⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝ ⎛
0 1 0
dan k =
⎟ ⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝ ⎛
1 0 0
3. Vektor posisi adalah suatu vektor yang titik awalnya di 0.
Dua buah vektor dikatakan sama jika kedua vektor itu mempunyai besar dan arah yang sama.
⎟ ⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝ ⎛
1 1 1 z y x
=
⎟ ⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝ ⎛
2 2 2 z y x
⇔ 1 1 1 z y x
= = =
2 2 2 z y x
C. Operasi Vektor
1. Penjumlahan dan pengurangan vektor
a ± b =
⎟ ⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝ ⎛
3 2 1 a a a
±
⎟ ⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝ ⎛
3 2 1 b b b
=
⎟ ⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝ ⎛
± ± ±
3 3
2 2
1 1
b a
b a
b a
untuk penjumlahan : R
a ± b b P Q a
a + b = PQ + QR = PR
2. Perkalian skalar dengan vektor
k a = k
⎟ ⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝ ⎛
3 2 1 a a a
=
⎟ ⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝ ⎛
3 2 1 ka ka ka
3. Besar atau panjang vektor a. |a| = 32
2 2 2
1 a a
a + +
b. Jika P (a1,a2,a3) dan Q (b1,b2,b3) maka |PQ| = (b1 −a1) +(b2 −a2) +(b3−a3) 4. Perbandingan
m P n
A Q
p =
n m
b m a n
+ +
a p b
20. SOAL-SOAL VEKTOR
3. Ditentukan titik-titik P(-1,5,2) dan Q(5,-4,17). Jika T pada ruas garis PQ dan PT:QT = 2 : 1 maka vektor posisi
Jawabannya adalah E EBTANAS1998
4. Diketahui titik A(3,1.-4), B(3,-4,6) dan C(-1,5,4). Titik P membagi AB sehingga AP:PB = 3 : 2, maka vektor yang diwakili oleh CP adalah ….
p = 5
2 3b+ a
p =
5 4 1 3 2 6
4 3 3
⎟ ⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝ ⎛
− + ⎟ ⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝ ⎛ −
= 5 10
10 15
⎟ ⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝ ⎛ −
=
⎟ ⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝ ⎛ −
2 2 3
CP = p - c =
⎟ ⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝ ⎛ −
2 2 3
-
⎟ ⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝ ⎛−
4 5 1
=
⎟ ⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝ ⎛
− −
2 7 4
Jawabannya adalah D EBTANAS2000
5. Diketahui | a| = 6 , (a- b). (a+ b)= 0 dan a. (a- b) = 3. Besar sudut antara vector a dan b adalah ….
A. 6 π
B. 4 π
C. 3 π
D. 2 π
E. 3 2 π
Jawab:
(a- b). (a+ b)= 0
⇒ a. a - b. b = 0 ⇒ 6 - | b|2 = 0 | b|2
= 6
| b| = 6
a. (a- b) = 3
a. a - a. b. Cos α = 3
a. b. Cos α = a. a - 3
Cos α = b a a a
. 3 . −
= 6
3 6−
= 2 1
`
α = 600 =
3 1800
= 3 π
Jawabannya adalah C
EBTANAS2000
6. Titik A (3,2,-1), B (1,-2,1) dan C (7, p-1, -5) segaris untuk nilai p = ...
A. 13 B. 11 C. 5 D. -11 E. -13 Jawab:
• • • A B C
Titik A, B, C segaris maka kriteria yang harus dipenuhi: 1. AB = k.AC
2. AB = k. BC 2. AC = k. AB 3. AC = k. BC 4 BC = k .AB 5. BC = k. AC Kita ambil kriteria 1 : Kriteria 1 :
AB = k.AC
b - a = k (c - a)
⎟ ⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝ ⎛ −
1 2 1
-
⎟ ⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝ ⎛
−1 2 3
= k
⎟ ⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝ ⎛
⎟ ⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝ ⎛
− − ⎟ ⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝ ⎛
− −
1 2 3
5 1 7
p
⎟ ⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝ ⎛ − −
2 4 2
= k
⎟ ⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝ ⎛
− −
4 3 4 p
-2 = 4.k k = -
2 1
-4 = - 2 1
.p + 2 3
2 1
.p = 2 3
+ 4
2 1
.p = 2 11
Æ p = 11
EBTANAS2001
7. Diketahui segitiga PQR dengan koordinat titik sudut P(1,5,8), Q(-2,1,3) dan R(1,-6,0), PQ wakil dari u dan Jawabannya adalah B
UAN2006 Jawabannya adalah B UAN2007
|c| = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛
2 | |
. b
b a
. b
=
2 2 2
) 2 2 (
2 2 0
0 2 2
+ ⎟ ⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝ ⎛
⎟ ⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝ ⎛
.
⎟ ⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝ ⎛
2 2 0
= 8 4
⎟ ⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝ ⎛
2 2 0
= 2 1
⎟ ⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝ ⎛
2 2 0
=
⎟ ⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝ ⎛
1 1 0
⎟ ⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝ ⎛
1 1 0
= 0 i + j + k = j + k
Jawabannya adalah A EBTANAS1999
10. Diketahui panjang proyeksi vektor a =
⎟ ⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝ ⎛−
4 8 2
pada vektor b =
⎟ ⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝ ⎛
4 0
p adalah 8. Nilai p=…
A. -4 B. -3 C. 3 D. 4 E. 6 Jawab:
Panjang proyeksi vector a pada vector b :
|c| = | |
. b b a
Diketahui : | |
. b b a
= 8
16 4 0
4 8 2
2 + ⎟ ⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝ ⎛
⎟ ⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝ ⎛−
p p
= 8 ⇒
16 16 8
2 + + p
p
= 8
8p + 16 = 8 2 +16 p
p + 2 = p2 +16
(p + 2)2 = ( p2 +16 )2 p2 +4p + 4 = p2 + 16 p2
- p2
D. Perkalian Skalar dua Vektor
. a. b = |a| |b| cosα
a
α
b
α menyatakan sudut yang dibentuk oleh vektor a dan b
Jika a =
⎟ ⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝ ⎛
3 2 1 a a a
dan b =
⎟ ⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜ ⎜
⎝ ⎛
3 2 1 b b b
maka
a. b = a1b1+a2b2 +a3b3 E. Besar sudut antara dua Vektor
cosα =
| | . | |
. b a
b a
=
2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1
3 3 2 2 1 1
. b b b
a a a
b a b a b a
+ + +
+
+ +
; 0≤ α ≤ 180 0
F. Proyeksi Ortogonal suatu vektor pada vektor : Salah satu kegunaan dari perkalian scalar adalah untuk menentukan proyeksi ortogonal dari suatu vektor pada vector lain
1. Proyeksi skalar ortogonal
A a
θ b
0 c C B
|OC| = |c| = | |
. b b a
Æ Proyeksi skalar ortogonal a pada b
Proyeksi skalar juga disebut panjang proyeksi
2. Proyeksi vektor ortogonal
Proyeksi vektor ortogonal a pada b adalah :
|c| = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛
2 | |
. b
b a
. b
Proyeksi vektor juga disebut vector poyeksi G. Rumus-rumus tambahan :
1. |a+ b| = 2 2 2 | | ) (
2 a +b − a−b bukti :
|a+b|2=a2 +b2 +2|a||b|cosα ⇔ |a+b|= 2 2 2| || |cosα
b a b
a + + ….(1)
|a−b|2=a2 +b2 −2|a||b|cosα ⇔ 2|a||b|cosα = 2 + 2 −
b
a |a−b|2 …(2) Substitusi (2) ke (1)
|a+b|= a2 +b2 +a2 +b2−|a−b|2 = 2 2 2
| | ) (
2 a +b − a−b
2. |a- b| = 2(a2 +b2)−|a+b|2 bukti :
| |2 2 2 2| || |cosα b a b
a b
a− = + −
⇔ |a−b|= a2 +b2 −2|a||b|cosα ….(1)
| |2 2 2 2| || |cosα b a b
a b
a+ = + +
⇔ −2|a||b|cosα = 2 + 2 − b
a |a+b|2 …(2) Substitusi (2) ke (1)
|a−b|= a2 +b2 +a2 +b2−|a+b|2 = 2(a2 +b2)−|a+b|2
