• Tidak ada hasil yang ditemukan

BAB XX. VEKTOR - 20. Vektor

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2018

Membagikan "BAB XX. VEKTOR - 20. Vektor"

Copied!
6
0
0

Teks penuh

(1)

BAB XX. VEKTOR

A Definisi Vektor :

Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. Vektor PQ mempunyai titik pangkal P dan titik ujung Q.

Q

a

P B. Beberapa pengertian vektor :

1. Vektor posisi adalah suatu vektor yang titik awalnya di 0.

Jika A(x,y,z) maka OA = a =

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

z y x

dan

|a| = x2 + y2 +z2

2. Vektor satuan adalah suatu vektor panjangnya satu. Vektor arah sumbu x, sumbu y dan sumbu z

berturut-turut adalah :

i =

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

0 0 1

; j =

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

0 1 0

dan k =

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

1 0 0

3. Vektor posisi adalah suatu vektor yang titik awalnya di 0.

Dua buah vektor dikatakan sama jika kedua vektor itu mempunyai besar dan arah yang sama.

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

1 1 1 z y x

=

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

2 2 2 z y x

⇔ 1 1 1 z y x

= = =

2 2 2 z y x

C. Operasi Vektor

1. Penjumlahan dan pengurangan vektor

a ± b =

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

3 2 1 a a a

±

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

3 2 1 b b b

=

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

± ± ±

3 3

2 2

1 1

b a

b a

b a

untuk penjumlahan : R

a ± b b P Q a

a + b = PQ + QR = PR

2. Perkalian skalar dengan vektor

k a = k

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

3 2 1 a a a

=

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

3 2 1 ka ka ka

3. Besar atau panjang vektor a. |a| = 32

2 2 2

1 a a

a + +

b. Jika P (a1,a2,a3) dan Q (b1,b2,b3) maka |PQ| = (b1 −a1) +(b2 −a2) +(b3−a3) 4. Perbandingan

m P n

A Q

p =

n m

b m a n

+ +

a p b

(2)

20. SOAL-SOAL VEKTOR

3. Ditentukan titik-titik P(-1,5,2) dan Q(5,-4,17). Jika T pada ruas garis PQ dan PT:QT = 2 : 1 maka vektor posisi

Jawabannya adalah E EBTANAS1998

4. Diketahui titik A(3,1.-4), B(3,-4,6) dan C(-1,5,4). Titik P membagi AB sehingga AP:PB = 3 : 2, maka vektor yang diwakili oleh CP adalah ….

(3)

p = 5

2 3b+ a

p =

5 4 1 3 2 6

4 3 3

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

− + ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛ −

= 5 10

10 15

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛ −

=

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛ −

2 2 3

CP = p - c =

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛ −

2 2 3

-

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛−

4 5 1

=

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

− −

2 7 4

Jawabannya adalah D EBTANAS2000

5. Diketahui | a| = 6 , (a- b). (a+ b)= 0 dan a. (a- b) = 3. Besar sudut antara vector a dan b adalah ….

A. 6 π

B. 4 π

C. 3 π

D. 2 π

E. 3 2 π

Jawab:

(a- b). (a+ b)= 0

a. a - b. b = 0 ⇒ 6 - | b|2 = 0 | b|2

= 6

| b| = 6

a. (a- b) = 3

a. a - a. b. Cos α = 3

a. b. Cos α = a. a - 3

Cos α = b a a a

. 3 . −

= 6

3 6−

= 2 1

`

α = 600 =

3 1800

= 3 π

Jawabannya adalah C

EBTANAS2000

6. Titik A (3,2,-1), B (1,-2,1) dan C (7, p-1, -5) segaris untuk nilai p = ...

A. 13 B. 11 C. 5 D. -11 E. -13 Jawab:

• • • A B C

Titik A, B, C segaris maka kriteria yang harus dipenuhi: 1. AB = k.AC

2. AB = k. BC 2. AC = k. AB 3. AC = k. BC 4 BC = k .AB 5. BC = k. AC Kita ambil kriteria 1 : Kriteria 1 :

AB = k.AC

b - a = k (c - a)

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛ −

1 2 1

-

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

−1 2 3

= k

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

− − ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

− −

1 2 3

5 1 7

p

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛ − −

2 4 2

= k

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

− −

4 3 4 p

-2 = 4.k k = -

2 1

-4 = - 2 1

.p + 2 3

2 1

.p = 2 3

+ 4

2 1

.p = 2 11

Æ p = 11

(4)

EBTANAS2001

7. Diketahui segitiga PQR dengan koordinat titik sudut P(1,5,8), Q(-2,1,3) dan R(1,-6,0), PQ wakil dari u dan Jawabannya adalah B

UAN2006 Jawabannya adalah B UAN2007

(5)

|c| = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

2 | |

. b

b a

. b

=

2 2 2

) 2 2 (

2 2 0

0 2 2

+ ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

.

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

2 2 0

= 8 4

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

2 2 0

= 2 1

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

2 2 0

=

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

1 1 0

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

1 1 0

= 0 i + j + k = j + k

Jawabannya adalah A EBTANAS1999

10. Diketahui panjang proyeksi vektor a =

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛−

4 8 2

pada vektor b =

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

4 0

p adalah 8. Nilai p=…

A. -4 B. -3 C. 3 D. 4 E. 6 Jawab:

Panjang proyeksi vector a pada vector b :

|c| = | |

. b b a

Diketahui : | |

. b b a

= 8

16 4 0

4 8 2

2 + ⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛−

p p

= 8 ⇒

16 16 8

2 + + p

p

= 8

8p + 16 = 8 2 +16 p

p + 2 = p2 +16

(p + 2)2 = ( p2 +16 )2 p2 +4p + 4 = p2 + 16 p2

- p2

(6)

D. Perkalian Skalar dua Vektor

. a. b = |a| |b| cosα

a

α

b

α menyatakan sudut yang dibentuk oleh vektor a dan b

Jika a =

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

3 2 1 a a a

dan b =

⎟ ⎟ ⎟

⎠ ⎞

⎜ ⎜ ⎜

⎝ ⎛

3 2 1 b b b

maka

a. b = a1b1+a2b2 +a3b3 E. Besar sudut antara dua Vektor

cosα =

| | . | |

. b a

b a

=

2 3 2 2 2 1 2 3 2 2 2 1

3 3 2 2 1 1

. b b b

a a a

b a b a b a

+ + +

+

+ +

; 0≤ α ≤ 180 0

F. Proyeksi Ortogonal suatu vektor pada vektor : Salah satu kegunaan dari perkalian scalar adalah untuk menentukan proyeksi ortogonal dari suatu vektor pada vector lain

1. Proyeksi skalar ortogonal

A a

θ b

0 c C B

|OC| = |c| = | |

. b b a

Æ Proyeksi skalar ortogonal a pada b

Proyeksi skalar juga disebut panjang proyeksi

2. Proyeksi vektor ortogonal

Proyeksi vektor ortogonal a pada b adalah :

|c| = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛

2 | |

. b

b a

. b

Proyeksi vektor juga disebut vector poyeksi G. Rumus-rumus tambahan :

1. |a+ b| = 2 2 2 | | ) (

2 a +bab bukti :

|a+b|2=a2 +b2 +2|a||b|cosα ⇔ |a+b|= 2 2 2| || |cosα

b a b

a + + ….(1)

|ab|2=a2 +b2 −2|a||b|cosα ⇔ 2|a||b|cosα = 2 + 2 −

b

a |ab|2 …(2) Substitusi (2) ke (1)

|a+b|= a2 +b2 +a2 +b2−|ab|2 = 2 2 2

| | ) (

2 a +bab

2. |a- b| = 2(a2 +b2)−|a+b|2 bukti :

| |2 2 2 2| || |cosα b a b

a b

a− = + −

⇔ |ab|= a2 +b2 −2|a||b|cosα ….(1)

| |2 2 2 2| || |cosα b a b

a b

a+ = + +

⇔ −2|a||b|cosα = 2 + 2 − b

a |a+b|2 …(2) Substitusi (2) ke (1)

|ab|= a2 +b2 +a2 +b2−|a+b|2 = 2(a2 +b2)−|a+b|2

Referensi

Dokumen terkait

Sebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam dinamakan himpunan ortogonal jika semua pasangan vektor-vektor yang berada dalam himpunan tersebut ortogonal.. Sebuah

Antaranya ialah kima,putu,dan Tompe atau tinompeh.Makanan tradisional kima adalah nama sejenis kerang laut dan terdapat dalam beberapa spesies,antaranya lapiran,kima

Pembangunan Masjid Al-Jabbar Tahap 1 berupa bangunan (Th 2013); dan Tahap 2 terdiri dari taman dan menara (Th 2014) dengan sumber dana dan pelaksana dari Pemprov Jabar..

Untuk kapal yang memulai konversi pada atau setelah 1 Januari 2017 untuk menggunakan bahan bakar Flashpoint rendah atau menggunakan bahan bakar Flashpoint rendah

Penerapan ABB untuk prediktor Cumulonimbus dan thunderstorm pada tahun 2016 menunjukkan indeks <37.76 memiliki jumlah kejadian Cumulonimbus dan thunderstorm yang lebih sedikit

Sejak pemberlakuan otonomi daerah melalui Undang-Undang Nomor 32 Tahun 2004 tentang Pemerintahan Daerah, Pasal 18 pemerintah daerah diberikan kewenangan untuk

Penelitian ini juga tidak membedakan tingkat stres berdasarkan lamanya masa kerja para subjek akuntan sehingga tidak dapat dibedakan antara kondisi stres kerja pada akuntan yang

Teknik yang digunakan untuk menghasilkan garisan dalam corak berikut ialah secaraA. Ulangan garisan tebal menimbulkan