REGRESI DAN KORELASI LINEAR GANDA
Analisis regresi linear ganda bertujuan untuk mencari bentuk hubungan linear antara satu variabel terikat Y dan k variabel bebas X1, X2, X3, ..., Xk.
Menentukan persamaan regresi linear ganda
Persamaan regresi Y pada X1 dan X2 adalah Y b0 b1 X1 b2 X2
Dengan metode kuadrat terkecil, koefisien b0,b1,dan b2 dapat dicari dari 3 persamaan dengan 3 variabel berikut:
Konstanta b0,b1,dan b2 dapat dicari dengan metode substitusi dan eliminasi, dengan invers matriks, atau dengan cara lain.
Selain cara di atas, b0,b1,dan b2 dapat dicari dengan:
Contoh:
Y 5 6 8 7 5 6 5 8 6 5 6 6 X1 4 6 8 6 5 5 4 7 6 4 6 7 X2 7 5 7 7 4 5 5 8 6 5 5 5 Carilah persamaan regresi linear ganda dari data di atas. Penyelesaian:
Dari data diperoleh:
▸ Baca selengkapnya: contoh soal korelasi positif
(2))
Dari besaran-besaran yang telah dicari di atas, diperoleh:
Uji keberartian regresi linear ganda
Hipotesis H0 : hubungan linear ganda antara X1 dan X2 dengan Y tidak berarti H1 : hubungan linear ganda antara X1 dan X2 dengan Y berarti Komputasi:
JKR JKT
JKG
y x b y
x b y x b y x b JKR
n Y Y
JKT
k k
...
3 3 2 2 1 1
2 2
Derajat kebebasan : dkR = k dkG = n – k – 1
dkT = n – 1
Rerata kuadrat:
dkR JKR RKR dkG
JKG RKG
Statistik uji:
RKG RKR F
Daerah kritik: DK = {FǀF > F;k,nk1} Tabel Rangkuman analisis
Sumber JK dk RK Fobs Fα
Regresi (R)
Galat
JKR
JKG
k
n – k – 1
RKR
RKG RKG
RKR F
-
1 , ;knk F
-
Total JKT n – 1 - - -
Uji signifikansi koefisien korelasi
Koefisien determinasi ganda Y pada X1, X2, X3, ..., Xk disajikan dengan Ry2.123...k, didefinisikan sebagai berikut:
2 12
12 2 1 2
2 2
1 2
12 . 2
... 123 .
1 2
2, k Untuk
r r r r r r R JKT JKR R
y y y y y k
y
Koefisien korelasi ganda Y pada X1, X2, X3, ..., Xk disajikan dengan Ry.123...k, didefinisikan
sebagai berikut:
1 0
dan 1 0
dengan
, .123...
2 ... 123 . 2
... 123 . ...
123
. k y k y k y k
y R R R
R
Uji signifikansi koefisien korelasi linear ganda
Hipotesis H0: ρ = 0 (tidak terdapat korelasi ganda antara X1 dan X2 dengan Y) H1: ρ > 0 (terdapat korelasi ganda antara X1 dan X2 dengan Y)
Statistik uji :
1 1 2
2
k n R
k R
F , dengan R2 Ry2.123...k
Contoh:
Dari soal di atas, carilah koefisien korelasi ganda. Penyelesaian:
Sumbangan prediktor
Ada dua jenis sumbangan prediktor (variabel bebas), yaitu sumbangan efektif dan sumbangan relatif.
Sumbangan efektif disajikan dengan SE, sumbangan relatif disajikan dengan SR, dan didefinisikan sebagai berikut:
2
dengan
SE(j)
Mengingat:
2
Koefisien korelasi parsial
Walaupun peneliti mempunyai beberapa variabel bebas, namun terkadang peneliti ingin melihat korelasi antara salah satu variabel bebas dengan variabel terikatnya dengan membuat variabel bebas yang lainnya tetap. Koefisien korelasi yang diperoleh disebut koefisien
korelasi parsial.
Pada contoh di atas terdapat 2 variabel bebas yaitu X1 dan X2 dan satu veariabel terikat Y, maka terdapat koefisien korelasi parsial ry1.2 dan ry2.1. Lambang ry1.2 diartikan sebagai koefisien korelasi antara X1 dan Y, dengan menganggap X2 tetap. Sedangkan ry2.1 diartikan
sebagai koefisien korelasi antara X2 dan Y, dengan menganggap X1 tetap.
Uji signifikansi koefisien korelasi parsial
Uji signifikansi (keberartian) korelasi parsial adalah sebagai berikut: Hipotesis untuk korelasi antara X1 dengn Y
H0 : tidak terdapat korelasi positif antara X1 dengan Y H1 : terdapat korelasi positif antara X1 dengan Y
untuk korelasi antara X2 dengn Y
H0 : tidak terdapat korelasi positif antara X2 dengan Y H1 : terdapat korelasi positif antara X2 dengan Y
Untuk ry1.2 statistik ujinya adalah:
2 2 . 1 2 . 1
1 3
y y
r n r t
~ t(n3)
Untuk ry2.1 statistik ujinya adalah:
2 1 . 2 1 . 2
1 3
y y
r n r t
~ t(n3)
Daerah kritik: {t ǀ t > t;n3}
Contoh:
Nilai statistika matematika (Y), statistika dasar (X1), dan probabilitas (X2) dari 12 anak adalah sebagai berikut:
No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Stat-mat (Y)
7
6
9
7
6
7
7
6
8
9
7
6
Stat-das (X1)
6
5
8
7
5
7
8
6
7
9
7
5
Probabilitas (X2)
6
6
9
7
6
6
6
5
8
8
6
8
Dengan α=5%,
a. Carilah persamaan regresi Y pada X1 dan X2.
b. Ujilah keberartian regresinya.
c. Carilah koefisien korelasi antara X1 dan Y, koefisien korelasi antara X2 dan Y,
koefisien korelasi antara antara X1 dan X2 , dan koefisien korelasi linear gandanya.
d. Ujilah hipotesis yang menyatakan terdapat korelasi antara nilai-nilai statistika
dasar dan probabilitas dengan nilai-nilai statistika matematika.
e. Carilah sumbangan efektif dan sumbangan relatif dari X1 dan X2 terhadap
terjadinya regresi linear.
f. Carilah koefisien korelasi parsial ry1.2 dan ry2.1, dan ujilah hipotesis yang
Penyelesaian:
Y X1 X2 Y2 X
12 X22 X1X2 X1Y X2Y
7 6 6 49 36 36 36 42 42
6 5 6 36 25 36 30 30 36
9 8 9 81 64 81 72 72 81
7 7 7 49 49 49 49 49 49
6 5 6 36 25 36 30 30 36
7 7 6 49 49 36 42 49 42
7 8 6 49 64 36 48 56 42
6 6 5 36 36 25 30 36 30
8 7 8 64 49 64 56 56 64
9 9 8 81 81 64 72 81 72
7 7 6 49 49 36 42 49 42
6 5 8 36 25 64 40 30 48
85 80 81 615 552 563 547 580 584
a. Y0,6840,57X10,385X2
b. Hipotesis:
H0 : hubungan linear ganda antara nilai statistika dasar dan nilai probabilitas dengan nilai statistika matematika tidak berarti.
H1 : hubungan linear ganda antara nilai statistika dasar dan nilai probabilitas dengan nilai statistika matematika berarti.
Sumber JK dk RK Fobs Fα Keputusan
uji
Kesimpulan
Regresi (R) Galat
11,547
1,37
2
9
5,773
0,152
37,929 4,26 H0 ditolak Hubungan linear ganda antara nilai statistika dasar dan nilai probabilitas dengan nilai statistika matematika berarti
Total 12,917 11 -
c.
𝑟𝑋1𝑌=
𝑛 ∑ 𝑋1𝑌 − (∑ 𝑋1)(∑ 𝑌)
√(𝑛 ∑ 𝑋12− (∑ 𝑋1)2)(𝑛 ∑ 𝑌2− (∑ 𝑌)2)
= 0,859
𝑟𝑋2𝑌=
𝑛 ∑ 𝑋2𝑌 − (∑ 𝑋2)(∑ 𝑌)
√(𝑛 ∑ 𝑋22− (∑ 𝑋2)2)(𝑛 ∑ 𝑌2− (∑ 𝑌)2)
= 0,707
𝑟𝑋1𝑋2 =
𝑛 ∑ 𝑋1𝑋2− (∑ 𝑋1)(∑ 𝑋2)
√(𝑛 ∑ 𝑋12− (∑ 𝑋1)2)(𝑛 ∑ 𝑋22− (∑ 𝑋2)2)
d. H0: ρ = 0 (tidak terdapat korelasi ganda antara nilai statistika dasar dan nilai probabilitas dengan nilai statistika matematika
H1: ρ > 0 (terdapat korelasi ganda antara nilai statistika dasar dan nilai probabilitas dengan nilai statistika matematika)
Statistik uji :
37,9291 1 2
2
k n R
k R
F
Daerah kritik : {F ǀ F > F;k,nk14,26} Keputusan uji : H0 ditolak
Kesimpulan : terdapat korelasi ganda antara nilai statistika dasar dan nilai probabilitas dengan nilai statistika matematika.
945 , 0 894 , 0
894 , 0 1
2
atau,
894 , 0
2 12 .
2 12
12 2 1 2
2 2
1 2
12 . 2
12 .
y
y y y y y y
R R
r r r r r r R
