KEMENTRIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN POLITEKNIK NEGERI BANJARMASIN PROGRAM STUDI MANAJEMEN INFORMATIKA BANJARMASIN 2014

MODUL

MATEMATIKA I

Hikmayanti Huwaida, S.Si

NIP. 19700824 199802 2 001

KEMENTRIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAAN POLITEKNIK NEGERI BANJARMASIN PROGRAM STUDI MANAJEMEN INFORMATIKA

BAB I MATRIKS

1.1. Tujuan Instruksional Umum

Setelah mengikuti mata kuliah Matematika I ini mahasiswa akan dapat menyelesaikan operasi matriks, menentukan nilai determinan matriks,

menentukan invers matriks, dapat menyelesaikan sistem persamaan linier, dan dapat menginterpretasikannya dengan baik dan benar.

1.2. Tujuan Instruksional Khusus

Setelah mempelajari bab ini dan mengerjakan soal perlatihannya diharapkan

mahasiswa akan dapat:

1. Menyebutkan pengertian matriks dengan benar.

2. Menyelesaikan operasi penjumlahan pada matriks dengan benar.

3. Menyelesaikan operasi pengurangan pada matriks dengan benar. 4. Menyelesaikan operasi perkalian scalar dengan matriks dengan benar.

5. Menyelesaikan operasi perkalian matriks dengan matriks dengan benar. 6. Menjelaskan aturan ilmu hitung matriks dengan benar.

1.3. Pengertian Matriks.

Suatu himpunan bilangan atau variabel yang disusun dalam bentuk empat persegi panjang, yang terdiri dari baris dan kolom disebut matriks. Jika matrik

mempunyai m baris dan n kolom, maka disebut matrik berdimensi m x n.

Matriks ditulis dalam bentuk

( )

atau

[ ]

dan bentuk lain . Matriks biasa ditulis dengan huruf besar, misalnya A,B dan seterusnya, dan elemen–

elemennya dengan huruf kecil, misalnya a, b dan seterusnya. Bentuk umum matriks:

atau

[ ]

aij

A=

i = 1,2, … m

j= 1, 2, …., n

aij disebut elemen yang terletak pada baris ke-i dan kolom ke-j.

1.4. Operasi Matriks.

1. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks.

Dua buah matriks hanya dapat dijumlahkan atau dikurangkan apabila

keduanya berorde sama. Jumlah atau selisih dua matriks A=

[ ]

a_ij dan B=

[ ]

b_ij

      

 

      

 

=

mn m

m

n n

a a

a

a a

a

a a

a

A

... .

. .

... ...

2 1

2 22

21

1 12

adalah sebuah matriks baru C =

[ ]

c_ij yang beorde sama, yang unsur–unsurnya merupakan jumlah atau selisih unsur–unsur A dan B.

C B

A± = dimana c_ij =a_ij ±b_ij Contoh:



Contoh:

Tinjaulah matriks–matriks:



Sedangkan A+C dan B+C tidak didefinisikan.

Karena penjumlahan antar bilangan bersifat komutatif dan asosiatif, padahal matriks adalah kumpulan bilangan, maka untuk penjumlahan antar

matriks berlaku pula kaidah kaidah komutatif dan kaidah asosiatif. Kaidah komutatif : A+B=B+A

2. Perkalian Matriks dengan skalar.

Contoh:

3

Contoh:

Jika A adalah matriks,

Jika B adalah sebarang matriks, maka-B akan menyatakan hasil kali (- 1).B. Jika

A dan B adalah dua matriks yang ukurannya sama, maka A-B didefinisikan sebagai jumlah A+ (- B) =A +(–1).B.

Contoh:

Tinjaulah matriks–matriks



Perhatikan bahwa A-B dapat diperoleh secara langsung dengan entri B dari entri A yang bersangkutan.

3. Perkalian antar matriks.

Dua matriks hanya dapat dikalikan apabila jumlah kolom dari matriks

unsure-unsurnya merupakan perkalian silang unsur - unsur baris matriks A dengan

unsur–unsur kolom matriks B.

Amxn X Bnxp= Cmxp

Contoh:

Misalkan A adalah matriks 3 x 4, B adalah matriks 4 x 7, dan C adalah matriks 7x3. Maka AB didefinisikan sebagai matriks 3 x 7, CA didefinisikan sebagai

matriks 7x4, BC didefinisikan sebagai matriks 4 x 3. Hasil kali AC, CB, dan BA semuanya tidak didefinisikan.

Contoh:

Misalkan A adalah matriks m x r yang umum dan B adalah matriks r x n yang

umum, maka seperti yang disarankan, entri dalam baris i dan kolom j dari AB,



Perkalian matriks mempunyai penerapan penting terhadap system persamaan linier. Tinjaulah suatu system persamaan yang terdiri dari m

persamaan linier dalam n bilangan tak deketahui.

karena dua matriks dinyatakan sama jika dan hanya jika entri-entri yang

bersesuaian sama, maka kita dapat menggantikan persamaan m dalam sistem ini dengan persamaan matriks tunggal

.

Matriks m x 1 pada ruas kiri persamaan ini dapat dituliskan sebagai hasil kali yang memberikan

.

Jika kita matriks–matriks ini berturut-turut dengan A, X, dan B maka m persamaan asli dalam n bilangan tak diketahui telah digantikan oleh persamaan tunggal

AX = B Contoh:

( )

Jadi,

62 maka

Penyelesaian langsung dapat dilakukan sebagai berikut:

( )

( )( )

( )

   

 − =

   

 

+ − + +

+

+ − − + +

− + =

     

   

−    



 −

=

62 44

76 2

9 . 4 7 . 2 5 . 8 2 . 4 6 . 2 3 . 8

9 . 5 7 . 3 5 . 2 2 . 5 6 . 3 3 . 2

9 2

7 6

5 3 . 4 2 8

5 3 2 AB

1.5.Aturan-Aturan Ilmu Hitung Matriks

Walaupun banyak dari aturan-aturan ilmu hitung bilangan riil berlaku juga untuk matriks, namun terdapat beberapa kekecualian. Salah satu dari

kekecualian yang terpenting terjadi pada perkalian matriks. Untuk bagian–bagian riil a dan b kita selalu mempunyai ab = ba yang sering disebut hukum komutatif

untuk perkalian. Akan tetapi, untuk matriks–matriks, maka AB dan BA tidak

perlu sama. Kesamaan dapat gagal terpenuhi karena tiga hal. Hal itu dapat terjadi, misalnya AB didefinisikan sedangkan BA tidak didefinisikan. Ini adalah kasus

kalau A adalah matriks 2 x 3 dan B adalah matriks 3 x 4. Juga dapat terjadi AB dan BA kedua–duanya didefinisikan tetapi mempunyai ukuran yang

berbeda-beda. Hal ini terjadi kalau A adalah matriks 2 x 3 dan B adalah matriks 3 x2.. Akhirnya, seperti yang diperlihatkan oleh contoh berikutnya, maka mungkin

untuk memperoleh AB≠ BA walaupun AB dan BA didefinisikan dan mempunyai ukuran yang sama.

Contoh:

      =    

 − =

0 3

2 1 , 3 2

0 1

B A

Dengan mengalikannya maka akan memberikan

   



− −

=

4 11

2 1

AB _

  

  − =

0 3

6 3 BA

Jadi, AB ≠ BA.

Walaupun hukum komutatif untuk perkalian tidak berlaku dalam ilmu

hitung matriks, namun banyak hukum–hukum ilmu hitung yang sudah biasa dikenal akan berlaku untuk matriks. Beberapa diantara hukum yang paling

penting dan nama–namanya diikhtisarkan dalam teorema berikut,

Teorema

Dengan mengganggap bahwa ukuran-ukuran matriks adalah sedemikian

sehingga operasi-operasi yang ditunjukkan dapat diperagakan, maka

aturan-aturan ilmu hitung matrriks berikut akan sahih.

a. A+B = B + A (Hukum komutatif untuk penambahan)

b. A+ (B+C) = (A+B)+C (Hukum asosiatif untuk penambahan)

c. A(BC) = (AB)C (Hukum asosiatif untuk perkalian)

d. A(B+C)=AB+AC (Hukum distributif)

e. (B+C)A=BA+CA (Hukum distributif)

f. A(B-C)=AB-AC

g. (B-C)A=BA-CA

h. a(B+C)=aB+aC

i. a(B-C)=aB-aC

k. (a-b)C=aC-bC

l. (ab)C=a(bC)

m. a(BC)=(aB)C=B(aC)

Walaupun operasi penambahan matriks dan operasi perkalian matriks didefinisikan untuk pasangan matriks, namun hukum hukum asosiatif (b) dan

(c) memungkinkan kita untuk jumlah dan hasil kali tiga matriks seperti A+B+C dan ABC tanpa menyisipkan tanda kurung. Hal ini dibenarkan oleh

kenyatan bahwa bagaimanapun, tersebut disisipkan, hukum asosiatif menjamin bahwa hasil akhir yang sama akan kita peroleh.

Contoh:

Sebagai gambaran hukum asosiatif untuk perkalian matriks, tinjaulah

          =

1 0

4 3

2 1

A _

     =

1 2

3 4

B _

     =

3 2

0 1 C

Kemudian

  

 

  

  =

     

  

 

  

  =

1 2

13 20

5 8

1 2

3 4 . 1 0

4 3

2 1 AB

  

 

  

  =

     

  

 

  

  =

3 4

39 46

15 18

3 2

0 1 . 1 2

13 20

5 8 )

(AB C

Sebaliknya

      =

            =

3 4

9 10

3 2

0 1 . 1 2

3 4 BC

Maka

  

 

  

  =

     

  

 

  

  =

3 4

39 46

15 18

3 4

9 10 . 1 0

4 3

2 1 ) (BC A

Jadi, (AB)C=A(BC),

1.6. Jenis-Jenis Matriks.

1. Matriks Bujur Sangkar.

Suatu matriks yang mempunyai jumlah baris dan jumlah kolom yang sama

disebut matriks bujur sangkar.

Contoh:

     

   

− =

1 6 5

4 5 3

3 2 12 P

2. Matriks Diagonal.

Suatu matriks bujur sangkar, dimana elemen diagonal utama ≠0 dan

selainnya sama dengan nol, disebut matriks diagonal.

Contoh:



3. Matriks Satuan.

Suatu matriks diagonal, dimana elemen–elemen diagonal utama semuanya 1 disebut matriks satuan. Matriks satuan ini biasanya ditulis dengan notasi I. Matriks satuan yang berdimensi n x n ditulis dengan notasi In.

atau I

Contoh:

Jika A matriks bujursangkar bertipe n x n dan I matriks satuan bertipe n x n maka:

IA=AI=A.

4. Matriks Nol.

Suatu matriks yang semua elemen–elemennya nol disebut matriks nol

dan ditulis dengan notasi 0. Matriks nol tidak selalu berbentuk bujur sangkar.

Contoh:

[

]

3 3 . dim ,

0 0 0

0 0 0

0 0 0

3 1 . dim ,

0 0 0

x ensi ber

O

x ensi ber

O

     

    = =

Pada matriks nol berlaku operasi berikut:

A + 0 = 0 + A = A. A-A = 0.

A0 =0A= 0.

Dalam hal ini A dan 0 adalah matriks bujursangkar yang bertipe sama.Pada bilangan riil berlaku a.b = 0, artinya a=0, b = 0, akan tetapi pada

matriks hal ini tidak berlaku.

Sebagai ilustrasi dapat dilihat pada contoh berikut:

      =

   

  −       =

   

  − =       =

0 0

0 0

0 1

0 4 0 0

4 1

0 1

0 4 ,

0 0

4 1

AB

x AB

B A

5. Matriks Transpose.

Transpose dari matriks A adalah suatu matriks yang dibentuk dari A dengan mengubah baris dan kolom A menjadi kolom dan baris matriks tranpose.

Matriks transpose dinotasikan dengan A’ atau AT.

Jika A= a_ji 'maka.A' = a_ji '

Jika A bertipe m x n maka A’ bertipe n x m.

Sifat–sifat matriks transpose adalah sebagai berikut:

a. Jika A dan B bertipe sama, maka: b. Pada matriks satuan I berlaku I’ = I.

c. Transpose suatu matriks A’ adalah matriks A atau (A’)’ = A. Contoh:

Hitunglah (AB)’, jika:

( )

_

     =

      =

            =

      =       =

2 2

7 5 '

2 7

2 5

1 2

0 1 2 3

2 1 :

1 2

0 1 , 2 3

2 1

AB AB

x AB

Jawab

Contoh:

Buktikan

( )

AB '=B'A',jika:

[

]

[

]

[ ]

( )

[ ]

[

]

[ ]

8

' '

2 3 ' , 1 2 '

8 '

8

2 3 1 2 :

2 3 , 1 2

= =       =

= =

      =

      = =

A B

B A

AB AB

x AB

Bukti

B A

Maka terbukti bahwa (AB)’ = B’A’.

6. Matriks Simetris.

Matriks Simetris A adalah suatu matriks yang memenuhi A = A’. Dalam hal ini jelas bahwa matriks simetris adalah matriks bujur sangkar. Elemen baris

ke-i dan kolom ke-j dari matriks A = elemen pada baris ke-j dan kolom ke-i dari matriks A’, atau aij untuk semua i dan j.

Contoh:

Matriks simetris berdimensi 3 x 3:

     

    =      

    =

6 6 5

6 7 1

5 1 4 ,

6 6 5

6 7 1

5 1 4

'

A A

Matriks simetris miring A adalah suatu matriks bujur sangkar dan aij = - aij

, aii= 0. Contoh:

Matriks simetris miring berdimensi 3 x 3:

  

 

  

 

−

− −

= −

  

 

  

 

− − − =   

 

  

 

−

− −

=

0 5 4

5 0 2

4 2 0 '

0 5 4

5 0 2

4 2 0 ' , 0 5 4

5 0 2

4 2 0

A

A A

8. Matriks Invers.

Matriks Invers atau matrik balikan adalah adalah matriks yang apabila dikalikan dengan matriks bujur sangkar menghasilkan sebuah matriks satuan. Jika

A merupakan suatu matriks bujursangkar, maka balikannya dituliskan dengan notasi A-1

Dan AA-1 = I.

Sifat–sifat invers matriks:

a. Jika A dan B matriks bujur sangkar yang bertipe sama, maka: (AB)-1 = B-1A

-1

.

b. Invers dari invers matriks adalah matriks itu sendiri: (A-1)-1 =A.

c. Invers matriks satuan adalah matriks satuan itu sendiri atau I-1 = I. d. Invers matriks tranpose adalah matriks tranpose, atau: (A ‘)-1 = (A-1)’.

Tentukanlah matriks invers dari _

     =

3 5

4 8 A

Penyelesaian:

4 3 5

4 8

= =

A , bearti A non singular dan A-1 ada.

   

  −

− =

=

= = = −

= − = − =

− = − = − = =

= =

−

2 25 . 1

1 75 . 0 B A Jadi

2 4 8 A a b , 25 . 1 4

5 A a b

1 4

4 A a b , 75 . 0 4 3 A a b

1

11 22 21

21

12 12 22

11

Tentukan invers dari matriks _

     =

3 6

4 8 A

Penyelesaian:

0 3 6

4 8

= =

A , berarti A singular dan A-1tidak ada.

9. Matriks Skalar, Ortogonal, Singular, dan Non Singular.

Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang unsur–unsurnya sama atau

seragam (λ). Dalam hal λ=1, matriks yang bersangkutan sekaligus juga merupakan matriks satuan. Matriks skalar juga merupakan hasil kali sebuah skalar

dengan matriks satuan, λI = matriks skalar λ.

Matriks Orthogonal adalah matriks yang apabila dikalikan dengan matriks

ubahannya menghasilkan matriks satuan., AA’ = I.

Matriks Singular adalah matriks bujursangkar yang determinannya sama

nonsingular adalah matriks bujursangkar yang determinannya tidak nol, matriks

semacam ini mempunyai balikan.

1.7. Rangkuman

Suatu himpunan bilangan atau variabel yang disusun dalam bentuk empat persegi panjang, yang terdiri dari baris dan kolom disebut matriks . Jika matrik

mempunyai m baris dan n kolom, maka disebut matrik berdimensi m x n.

Matriks ditulis dalam bentuk

( )

atau

[ ]

dan bentuk lain . Matriks

biasa ditulis dengan huruf besar dan elemen–elemennya dengan huruf kecil.

Dua buah matriks hanya dapat dijumlahkan atau dikurangkan apabila keduanya berorde sama.

Hasil kali sebuah matriks A =

[ ]

a_ij dengan suatu skalar atau bilangan nyata λadalah sebuah matriks baru B =

[ ]

b_ij yang berorde sama dan unsur–unsur

λ kali unsur–unsur matriks semula

(

b_ij =λa_ij

)

.

Dua matriks hanya dapat dikalikan apabila jumlah kolom dari matriks yang dikalikan sama dengan jumlah baris dari matriks pengalinya.

Suatu matriks yang mempunyai jumlah baris dan jumlah kolom yang sama

disebut matriks bujur sangkar

Suatu matriks bujur sangkar, dimana elemen diagonal utama ≠0 dan

selainnya sama dengan nol, disebut matriks diagonal

Suatu matriks diagonal, dimana elemen–elemen diagonal utama

Suatu matriks yang semua elemen–elemennya nol disebut matriks nol

dan ditulis dengan notasi 0.

Transpose dari matriks A adalah suatu matriks yang dibentuk dari A

dengan mengubah baris dan kolom A menjadi kolom dan baris matriks tranpose.

Matriks Simetris A adalah suatu matriks yang memenuhi A = A’

Matriks simetris miring A adalah suatu matriks bujur sangkar dan aij = -

aij , aii= 0.

Matriks Invers atau matriks balikan adalah adalah matriks yang apabila

dikalikan dengan matriks bujur sangkar menghasilkan sebuah matriks satuan.

Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang unsur–unsurnya sama atau

seragam (λ).

Matriks Orthogonal adalah matriks yang apabila dikalikan dengan matriks

ubahannya menghasilkan matriks satuan., AA’ = I.

Matriks Singular adalah matriks bujursangkar yang determinannya sama

dengan nol. Matriks semacam ini tidak mempunyai balikan.

Matriks nonsingular adalah matriks bujursangkar yang determinannya tidak nol, matriks semacam ini mempunyai balikan.

1.8. Latihan



Tentukanlah nilai dari:

a. 2A+2B

2. Diketahui matriks sebagai berikut:



Tentukanlah nilai dari:

a. 2A+5C

     

    − =      

    − =    

  =    



 −

=      

    − =

3 1 4

2 1 1

3 1 6 ,

4 2 3

1 0 1

2 5 1 ,

5 1 3

2 4 1 , 2 0

1 4 , 1 1

2 1

0 3

E D

C B

A

Hitunglah:

a. A.B b. D+E c. D-E

d. D.E e. E.D

f. – 7D

4. Dengan menggunakan matriks–matriks di latihan no.3 , hitunglah operasi-operasi yang berkaitan dengan (di mana mungkin)

a. 3C-D b. (3E)D

c. (AB) C d. A(BC) e. D + E2

5. Apakah yang dimaksud dengan matriks bujur sangkar? 6. Apakah yang dimaksud dengan matriks diagonal? 7. Apakah yang dimaksud dengan matriks satuan ?

8. Apakah yang dimaksud dengan matriks transpose? 9. Apakah yang dimaksud dengan matriks simetris?

10.Apakah yang dimaksud dengan matriks simetris miring? 11.Apakah yang dimaksud dengan matriks invers?

13.Apakah yang dimaksud dengan matriks Ortogonal ?

14.Apakah yang dimaksud dengan matriks Singular ?

15.Apakah yang dimaksud dengan matriks Non Singular?

1.9.Daftar Pustaka.

1. Nababan, M. 1993. Pengantar Matematika untuk Ilmu Ekonomi dan

Bisnis. Jakarta: Penerbit Erlangga.

2. Anton, Howard. 1995. Matematika I Elementer. Jakarta: Penerbit

Erlangga.

3. Dumairy. 1996. Matematika Terapan untuk Bisnis dan

BAB II DETERMINAN

2.1Tujuan Instruksional Umum

Setelah mengikuti mata kuliah Matematika I ini mahasiswa akan dapat menyelesaikan operasi matriks, menentukan nilai determinan matriks,

menentukan invers matriks, dapat menyelesaikan sistem persamaan linier, dan dapat menginterpretasikannya dengan baik dan benar.

2.2Tujuan Instruksional Khusus

Setelah mempelajari bab ini dan mengerjakan soal perlatihannya diharapkan

mahasiswa akan dapat:

1. Menyebutkan pengertian determinan dengan benar. 2. Menyebutkan sifat–sifat determinan dengan benar.

3. Menentukan determinan dengan metode Sarrus dengan benar. 4. Menentukan minor dan kofaktor suatu matriks dengan benar.

5. Menentukan matriks kofaktor dengan benar.

2.3 Pengertian Determinan.

Determinan dari suatu matriks adalah penulisan unsur–unsur sebuah matriks bujur sangkar dalam bentuk determinan, yaitu diantara sepasang garis

tegak atau . Determinan matriks A lazim dituliskan dengan notasi A atau

DA. Determinan dengan matriks dalam tiga hal:

1. Determinan unsur–unsurnya diapit dengan sepasang garis tegak,

sedangkan matriks diapit dengan tanda kurung.

2. Determinan senantiasa berbentuk bujur sangkar (jumlah baris = jumlah

kolom, m=n), sedangkan matriks tidak harus demikian.

3. Determinan mempunyai nilai numerik, tetapi tidak demikian halnya dengan matriks.

Pencarian nilai numerik dari suatu determinan dapat dilakukan dengan cara mengalikan unsur–unsurnya secara diagonal.

Matriks

22 21

12 11

22 21

12 11

; min

det ,

a a

a a A annya er

a a

a a

A _ =

  

  =

Nilai numeriknya: _{11 22 21 12}

22 21

12 11

a a a a a a

a a

A = = −

Contoh:

10 4 . 3 1 . 2 1 3

4 2 det

1 2 . 2 3 . 1 3 2

2 1 det

1 3

4 2 ,

3 2

2 1

− = − = =

− = − = =

      =       =

B A maka

Untuk determinan berdimensi 3.

Metode yang digunakan oleh Sarrus untuk menentukan determinan matriks A adalah;

12

Contoh:

3 det

1 maka A

2.4Sifat–sifat Determinan.

Determinan mempunyai beberapa sifat khas berkenaan dengan nilai

numeriknya. Sifat–sifat tersebut adalah sebagai berikut: 1. Nilai determinannya adalah nol jika semua unsurnya sama. Contoh:

2. Nilai determinannya adalah nol jika terdapat dua baris atau dua kolom yang

unsur–unsurnya sama.

Contoh:

0 12 16 4 12 16 4 1 4 2

2 2 3

1 4 2

= − − − + + = =

A

3. Nilai determinannya adalah nol jika terdapat dua baris atau dua kolom yang unsur–unsurnya sebanding.

Contoh:

0 12 8 60 12 8 60 6 2 4

2 5 2

3 1 2

= − − − + + = =

A

4. Nilai determinannya adalah nol jika unsur–unsur pada salah satu baris atau kolom semuanya nol.

Contoh:

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

4 1 2

5 3 2

= − − − + + = =

A

5. Nilai determinan tidak berubah jika semua baris dan kolomnya saling

bertukar letak, dengan kata lain determinan dari matriks A sama dengan

Contoh:

12 36 10 4 6 20 12 3 1 1

5 2 3

2 4 2 '

12 36 10 4 20 6 12 3 5 2

1 2 4

1 3 2

− = − − − + + = =

− = − − − + + = =

A A

6. Nilai determinan berubah tanda (tetapi harga mutlaknya tetap) jika dua baris atau dua kolom bertukar letak.

Contoh:

6 12 8 40 8 10 48 3 2 5

1 4 2

2 2 4

6 48 10 8 40 8 12 3 5 2

1 2 4

2 4 2

= − − − + + = =

− = − − − + + = =

B A

7. Determinan dari suatu matriks diagonal adalah hasil kali unsur–unsur diagonalnya.

Contoh:

24 3 0 0

0 4 0

0 0 2

= =

A

8. Jika setiap unsur pada salah satu baris atau kolom dikalikan dengan suatu bilangan, nilai determinannya adalah sama dengan hasilkalinya dengan

Contoh:

A A

dikali kedua baris

jika A

3 18 144 30 24 120 24 36 3 5 2

3 6 12

2 4 2 *

3 . .. ..

. 6 48 10 8 40 8 12 3 5 2

1 2 4

2 4 2

= − = − − − + + = =

− = − − − + + = =

9. Jika semua unsur merupakan penjumlahan dari dua bilangan atau lebih, determinannya dapat dituliskan sebagai penjumlahan dari dua determinan

atau lebih.

10.Jika nilai determinan dari suatu matriks sama dengan nol, matriksnya

dikatakan singular dan tidak mempunyai balikan (invers): jadi bila A =0, A

merupakan matriks singular dan A-1 tidak ada.

11.Jika nilai determinan dari suatu matriks tidak sama dengan nol, matriksnya

dikatakan nonsingular dan mempunyai balikan (invers): jadi bila A ≠0, A

merupakan matriks nonsingular dan A-1 ada.

12.Pada penguraian determinan (ekspansi Laplace), nilai determinan sama

dengan nol jika unsur baris atau kolom dikalikan dengan kofaktor unsur baris atau kolom yang lain, tetapi tidak sama dengan nol jika unsur suatu baris

atau kolom dikalikan dengan kofaktor unsur baris atau kolom itu sendiri.

2.5 Minor dan Kofaktor.

Laplace berhasil mengembangkan suatu cara penyelesaian yang berlaku umum untuk determinan berdimensi berapapun, yakni menggunakan minor dan

Perhatikan kembali penyelesaian determinan berdimensi 3,

Dengan mengatur letak suku-sukunya, penulisan ini bisa diubah menjadi:

(

) (

) (

)

Ternyata dengan menutup baris-baris dan kolom-kolom tertentu, determinan A terdiri atas beberapa determinan-bagian (sub determinan). Determinan-determinan bagian ini dinamakan minor. Suatu minor secara umum

dilambangkan dengan notasi Mij.

M11 adalah minor dari unsur a11 , diperoleh dengan jalan menutup

Penulisan determinan dalam bentuk minor seperti di atas diubah ke dalam

penulisan kofaktor. Kofaktor dari determinan A untuk minor tertentu M11

dilambangkan dengan Aij.

Mij adalah minor dari unsur aij, diperoleh dengan jalan menutup baris

ke -i dan kolom ke-j dari determinan A .

Aij adalah kofaktor dari unsur aij.

Dengan demikian,

( )

( )

menghasilkan bilangan ganjil.

Penyelesaian determinan menggunakan notasi minor untuk matriks berdimensi 3 adalah sebagai berikut;

33

Penyelesaian determinan menggunakan notasi minor

∑

dalam notasi kofaktor menjadi:

atau:

ij n

j ijM

a

A

∑

=

= 1

untuk setiap baris; i = 1, 2, 3, …, n.

ij n

i ijM

a

A

∑

=

= 1

untuk setiap kolom; j = 1, 2, 3, …, n.

Definisi

Jika A adalah sebarang matriks n x n dan Aij adalah kofaktor a ij , maka

matriks

   

 

   

 

mn n

n

n n

A A

A

A A

A

A A

A

  



 

2 1

2 22

21

1 12

11

Dinamakan matriks kofaktor A. Transpose matriks ini dinamakan adjoint A

dan dinyatakan dengan adj(A)

3. Diketahui matriks A sebagai berikut:

     

    =

9 8 7

6 5 4

3 2 1 A

Penyelesaian:

Maka matriks kofaktornya adalah



Sedangkan matriks adjoinnya adalah

 Adj

4. Diketahui matriks B sebagai berikut:

Hitunglah matriks kofaktornya, serta matriks adjointnya

Penyelesaiannya:

( ) ( )

Maka matriks kofaktornya adalah



Sedangkan matriks adjoinnya adalah

Cara penyelesaian determinan yang dikembangkan oleh Laplace dengan

menggunakan minor dan kofaktor ini, dikenal dengan sebutan metode ekspansi dengan kofaktor.

5. Diketahui matriks A sebagai berikut:

     

    =

9 8 7

6 5 4

3 2 1 A

Hitunglah determinan dari matriks A dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang:

a.baris pertama b. baris kedua c. baris ketiga

Contoh: (Ekspansi dengan kofaktor sepanjang baris pertama)

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

0 ) 3 ( 3 ) 6 ( 2 ) 3 ( 1

3 3 1 3

8 7

5 4

6 6 1 6

9 7

6 4

3 3 1 3

9 8

6 5

9 8 7

6 5 4

3 2 1

13 13 12 12 11 11

4 13

13

3 12

12

2 11

11

= − + + − = +

+ =

− = − − = ⇒ − = =

= − − = ⇒ − = =

− = − − = ⇒ − = =

=

A a A a A a A

A M

A M

A M

A

( ) ( )

Contoh: (Ekspansi dengan kofaktor sepanjang baris ketiga)

( ) ( )

6. Diketahui matriks B sebagai berikut:



Hitunglah determinan dari matriks B dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang:

c. kolom ketiga

Contoh: (Ekspansi dengan kofaktor sepanjang kolom pertama)

( ) ( )

Contoh: (Ekspansi dengan kofaktor sepanjang kolom kedua)

( ) (

)

7. Diketahui matriks C sebagai berikut:

Hitunglah determinan dari matriks C dengan menggunakan ekspansi kofaktor

Penyelesaian:

Ekspansi kofaktor sepanjang kolom kedua,

6

Karena a13 dan a23 nilainya masing-masing adalah nol, maka minor yang dicari

hanya M33 dan M43.

Pada minor M33 diselesaikan berdasarkan ekspansi kofaktor sepanjang baris

kedua

Pada minor M33 diselesaikan berdasarkan ekspansi kofaktor sepanjang baris

ketiga

Sehingga diperoleh kofaktor A₄₃ =(−1)4+3.(−24)=24

Maka determinan dari matriks C dengan menggunakan ekspansi kofaktor adalah

120 24

. 3 64 ). 3

(− + =−

=

C

8. Diketahui matriks D sebagai berikut:

   

 

   

 

=

3 1 6 2

2 3 1 4

1 8 2 3

1 4 5 2 D

Hitunglah determinan dari matriks D dengan menggunakan ekspansi kofaktor a. sepanjang kolom keempat.

b. Sepanjang baris pertama. Penyelesaian:

a. Ekspansi kofaktor sepanjang kolom keempat,

3 1 6 2

2 3 1 4

1 8 2 3

1 4 5 2

=

D

Maka minor yang dicari adalah M14, M24, M34, M44

129

42 13 184

)

Pada minor M24 diselesaikan berdasarkan ekspansi kofaktor sepanjang baris kedua

29

Pada minor M44 diselesaikan berdasarkan ekspansi kofaktor sepanjang baris kedua

91

144 20

150 91 129 .(

1 − + + − + =

=

D

b. Ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama,

Pada minor M11 diselesaikan berdasarkan ekspansi kofaktor sepanjang baris

Pada minor M12 diselesaikan berdasarkan ekspansi kofaktor sepanjang baris kedua

21

Pada minor M14 diselesaikan berdasarkan ekspansi kofaktor sepanjang baris

kedua

129

42 13 184

)

150 129 84 225 138 ) 129 .(

2.8Reduksi Baris.

Determinan sebuah matriks dapat dihitung dengan mereduksi matriks

tersebut pada bentuk eselon baris. Metode ini penting untuk menghindari perhitungan panjang yang terlibat dalam penerapan definisi determinan secara

Mula –mula kita meninjau dua golongan matriks yang determinannya

dapat dihitung dengan mudah, tidak peduli berapapun besarnya ukuran matriks tersebut.

Matriks kuadrat kita namakan segitiga atas (upper triangular) jika semua entri di bawah diagonal utama adalah nol. Begitu juga matriks kuadrat kita namakan segitiga bawah (lower triangular)) jika semua entri di atas diagonal

utama adalah nol. Sebuah matriks baik yang merupakan segitiga atas maupun yang merupakan segitiga bawah kita namakan segitiga (triangular).

Contoh:

Sebuah matriks segitiga atas 4 x 4 yang umum mempunyai bentuk:

   

 

   

 

44 34 33

24 23 22

14 13 12 11

0 0 0

0 0 0

a a a

a a a

a a a a

Maka nilai determinan detA=a.₁₁a₂₂.a₃₃a₄₄

Sebuah matriks segitiga bawah 4 x 4 yang umum mempunyai bentuk:

   

 

   

 

44 43 42 41

33 32 31

22 21 11

0 0 0

0 0 0

a a a a

a a a

a a a

Maka nilai determinan detA=a.₁₁a₂₂.a₃₃a₄₄

Teorema

Jika A adalah matriks segitiga ukuran n x n ,maka det(A) adalah hasil kali

Contoh:

36 3 . 3 . 2 . 2

3 0 0 0

2 3 0 0

1 8 2 0

1 4 5 2

= = =

A

7

1 . 1 . 1 ). 7 .( 1

1 0 0 0 0

1 1 0 0 0

1 0 1 0 0

2 4 0 7 0

3 5 1 3 1

− =

− =

− −

=

B

Teorema

Misalkan A adalah sebarang matriks n x n

1. Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila baris tunggal A dikalikan oleh

konstanta k, maka det(A) =k.det(A)

2. Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila dua baris A dipertukarkan,

maka det(A’) = - det(A)

3. Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila kelipatan satu baris A

ditambahkan pada baris lain, maka det(A) =det(A)

Contoh:

  

 

  

 

− − =

  

 

  

  =

  

 

  

  =

  

 

  

  =

1 2 1

2 3 2

3 2 1

1 2 1

3 2 1

4 1 0

1 2 1

4 1 0

12 8 4

1 2 1

4 1 0

3 2

3 2 1

A A A

1 A

Penyelesaian:

2 ) 2 .( 1 . 1

1) baris pada dikurang 3

(baris 2 0 0

4 1 0

3 2 1

1 2 1

4 1 0

3 2

− =

− =

− =

=

1 A

-8 4.1.(-2)

) 1 -ke baris dikurang

3 -ke (baris 2 -0 0

4 1 0

12 8 4

1 2 1

4 1 0

12 8 4

4 1 1

= = = =

x A

-8

)) 4.(1.1.(-2

1) -ke baris dikurang 3

-ke (baris

diambil) dahulu

terlebih 1

-ke baris bersama (faktor

baris dikurang 3

-ke (baris baris dg 1 -ke baris (tukarkan baris dikurang 3

-ke baris , baris kali 2 ditambah

Contoh;

Hitunglah determinan A, dimana:



Penyelesaian:

) determinan sifat

sesuai karena a selanjutny reduksi

memerlukan tidak

kita ( baris (-2)dikali ditambah

2 -ke (baris

Contoh;

Setiap matriks berikut mempunyai dua baris yang sebanding, jadi berdasarkan

sifat –sifat determinan maka matriks tersebut memiliki determinan sebesar nol.



9. Diketahui matriks C sebagai berikut:

Hitunglah determinan dari matriks C dengan menggunakan reduksi baris.

Penyelesaian:

( )

120

8 dikeluarka 2

baris bersama faktor

b b

tukarkan

2.9Rangkuman.

Determinan dari suatu matriks adalah penulisan unsur–unsur sebuah matriks bujur sangkar dalam bentuk determinan, yaitu diantara sepasang garis tegak atau

. Determinan matriks A lazim dituliskan dengan notasi A atau DA

Determinan mempunyai beberapa sifat khas berkenaan dengan nilai numeriknya. Sifat–sifat tersebut adalah sebagai berikut:

1. Nilai determinannya adalah nol jika semua unsurnya sama.

2. Nilai determinannya adalah nol jika terdapat dua baris atau dua kolom yang

unsur–unsurnya sama.

3. Nilai determinannya adalah nol jika terdapat dua baris atau dua kolom yang unsur–unsurnya sebanding.

4. Nilai determinannya adalah nol jika unsur–unsur pada salah satu baris atau kolom semuanya nol.

5. Nilai determinan tidak berubah jika semua baris dan kolomnya saling bertukar letak, dengan kata lain determinan dari matriks A sama dengan

determinan matriks ubahannya A’; A = A'.

6. Nilai determinan berubah tanda (tetapi harga mutlaknya tetap) jika dua baris

atau dua kolom bertukar letak.

7. Determinan dari suatu matriks diagonal adalah hasil kali unsur–unsur

diagonalnya.

8. Jika setiap unsur pada salah satu baris atau kolom dikalikan dengan suatu bilangan, nilai determinannya adalah sama dengan hasilkalinya dengan

9. Jika semua unsur merupakan penjumlahan dari dua bilangan atau lebih,

determinannya dapat dituliskan sebagai penjumlahan dari dua determinan atau lebih.

10.Jika nilai determinan dari suatu matriks sama dengan nol, matriksnya

dikatakan singular dan tidak mempunyai balikan (invers): jadi bila A = 0

, A merupakan matriks singular dan A-1 tidak ada.

11.Jika nilai determinan dari suatu matriks tidak sama dengan nol, matriksnya

dikatakan nonsingular dan mempunyai balikan (invers): jadi bila A ≠ 0,

A merupakan matriks nonsingular dan A-1 ada.

12.Pada penguraian determinan (ekspansi Laplace), nilai determinan sama dengan nol jika unsur baris atau kolom dikalikan dengan kofaktor unsur

baris atau kolom yang lain, tetapi tidak sama dengan nol jika unsur suatu baris atau kolom dikalikan dengan kofaktor unsur baris atau kolom itu sendiri.

Menutup baris-baris dan kolom-kolom tertentu, determinan A terdiri atas beberapa determinan-bagian (sub determinan). Determinan-determinan bagian ini dinamakan minor. Suatu minor secara umum dilambangkan dengan notasi Mij.

Kofaktor dari determinan A untuk minor tertentu M11 dilambangkan

dengan Aij. Hubungan antara kofaktor dan minor:

( )

ij j i

ij M

A = −1 +

Determinan sebuah matriks dapat dihitung dengan mereduksi matriks tersebut

13. Latihan.

1. Hitunglah determinan dari:

a.

3 1

2 1

−

b.

2 3

4 6

c.

3 8

7 1

− − −

d.

3 4

2 1

− −

k k

e.

8 3 4

1 5 3

7 2 1 −

f.

2 7 1

6 4 3

1 2 8

− −

−

g.

6 8 2

1 0 4

3 0 1

−

h.

3 1

1 4

2

9 3

2

k k k

+ −

2. Hitunglah determinan matriks yang diberikan dengan mereduksi matriks tersebut pada bentuk eselon baris.

a.

     

   

− −

7 2 1

3 0 0

b.

3. Misalkan



a. Carilah semua minor.

4. Misalkan

   

 

   

 

− − =

2 14 3 6

3 0 3 1

1 1 0 1

4 4 0 4 A

Carilah:

a. M13 dan C13 b. M23 dan C23 c. M22 dan C22

d. M21 dan C21

5. Hitunglah determinan dari matriks dalam latihan no. 3 (di atas)

dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang: a. baris pertama

b. kolom pertama

c. baris kedua d. kolom kedua

e. baris ketiga f. kolom ketiga

6. Dalam soal di bawah ini hitunglah determinan dengan menggunakan

ekspansi kofaktor sepanjang sebuah baris atau kolom pilihan anda:

a.

     

    =

2 2 3

8 6 8

0 6 0 A

b.

     

   

− −

− =

4 3 1

8 0 2

c.

     

    =

2 2 2

1 1 1

k k k

k k k A

d.

     

   

− −

− =

4 4

3

4 3 2

3 2

1

k k

k A

e.

   

 

   

 

− − =

6 3 14 6

1 3 0 3

1 0 1 1

4 0 4 4 A

f.

     

 

     

 

− =

3 3 3 0 0

2 2 2 1 1

4 6 4 3 0

2 4 2 3 0

2 9 1 3 4

A

2.8 Daftar Pustaka.

1. Nababan, M. 1993. Pengantar Matematika untuk Ilmu Ekonomi dan

Bisnis. Jakarta: Penerbit Erlangga.

2. Anton, Howard. 1995. Matematika I Elementer. Jakarta: Penerbit Erlangga.

3. Dumairy. 1996. Matematika Terapan untuk Bisnis dan