Jadi penting itu baik, tapi jadi baik jauh lebih penting

(1)

LOGIKA

MATEMATIKA

(2)

Logika Matematika

- Pernyataan, Nilai Kebenaran, dan Kalimat Terbuka

- Pernyataan Majemuk

- Konvers, Invers, dan Kontraposisi

- Kuantor Universal dan Kuantor Eksistensial

- Ingkaran dari Pernyataan Berkuantor

- Penarikan Kesimpulan

- Penyusunan Bukti

(3)

Pernyataan, Nilai Kebenaran

dan Kalimat Terbuka

- Pernyataan

- Lambang dan Nilai Kebenaran Suatu Pernyataan

- Ingkaran atu Negasi Suatu Pernyataan

- Kalimat Terbuka

(4)

Pernyataan

Adalah kalimat yang hanya benar saja

atau salah saja, tetapi tidak dapat

sekaligus benar dan salah.

Contoh:

- Menara itu tinggi.

- Jumlah hari ada 7.

- Tangkaplah orang itu!

- Berapa Umurmu sekarang?

(Pernyataan)

(Bukan Pernyataan)

(5)

Lambang dan Nilai Kebenaran

Suatu Pernyataan

Suatu pernyataan dilambangkan dengan

memakai huruf kecil, seperti a, b,

c,…,p,q,r,…dan seterusnya.

Contoh:

Pernyataan “4 adalah bilangan genap” dapat

dilambangkan dengan memakai huruf p.

Ditulis:

P : 4 adalah bilangan genap.

Lambang

(6)

Nilai Kebenaran Suatu

Pernyataan

Nilai benar atau salah dari suatu pernyataan dapat ditentukan memakai: Dasar Empiris:

Menentukan benar atau salah dari sebuah pernyataan berdasarkan fakta yang ada atau dijumpai dalam kehidupan sehari-hari

Contoh:

1. “Ibukota jawa Timur adalah Surabaya”, meupakan pernyataan benar. 2. “Air adalah benda padat”, merupkana pernyataan salah.

Dasar Tak Empiris:

Menentukan benar atau salah dari sebuah pernyataan dengan memakai bukti atau perhitungan-perhitungan dalam matematika.

Contoh:

1. “Akar persamaan 3x – 1 = 5 adalah 2”, merupakan pernyataan benar. 2. “Jika x > 1, maka x > 2” merupakan pernyataan salah.

(7)

Contoh:

1. τ(p) = B dibaca “niali kebenaran pernyataan p adalah B” atau “pernyataan p mempunyai nilai kebenran B”.

2. q: 10 kurang dari 5, merupakan pernyataan yang salah, ditulis

τ(q) = S.

Kata nilai kebenaran dilambangkan dengan memakai

huruf Yunani τ (dibaca: tau)

Sedangkan untuk pernyataan yang salah dikatakan

mempunyai nilai kebenaran s (salah).

Pernyataan yang benar dikatakan mempunyai nilai

kebenaran B (benar),

(8)

Ingkaran Atau Negasi Suatu

Pernyataan

Adalah pernyataan yang menyangkal atau

mengingkari pernyataan awal

Ingkaran suatu pernyatan menyatakan

kebalikan dari pernyataan itu sendiri berari nilai kebenarannya adalah terbalik

Jika p bernilai benar, maka ~p bernilai salah Jika p bernilai salah, maka ~p bernilai benar.

p

~p

B

S

B

Dari suatu pernyataan p dapat dibentuk “ingkaran p” atau “negasi

p”, dilambangkan oleh ~p, dengan cara menambahkan kalimat

“tidak benar bahwa” di depan pernyataan p, atau jika mungkin dengan menyisipkan perkataan “tidak” atau “bukan” di dalam pernyataan p.

Tabel Kebenaran

(9)

Contoh:

p : 2 + 3 = 5 (τ (p) = B) ~p : 2 + 3 ≠ 5 (τ (~p) = S)

q : Semua bilangan prima adalah ganjil (τ (~q) = S)

~q : Tidak benar bahwa semua bilangan prima adalah ganjil

(τ (~p) = B) atau

~q : Ada bilangan prima yang tidak ganjil (τ (~q) = B)

(10)

Kalimat Terbuka

Adalah kalimat yang memuat peubah/variabel,

sehingga belum dapat ditentukan nilai kebenarannya

( benar atau salah ). Tetapi apabila variabel diganti

nilai tertentu akan menjadi suatu pernyataan.

Contoh: 2x + 3 = 11 (kalimat terbuka) Y – 3 < 4 (kalimat terbuka) Perhatikan contoh!!

Jika x diganti 3, diperoleh “2(3) + 3 = 11”, merupakan pernyataan salah. Jika x diganti 4, diperoleh “2(4) + 3 = 11”, merupakan pernyataan benar.

Nilai pengganti x = 4 mengubah kalimat terbuka “2x + 3 = 11” menjadi pernyataan yang benar. Nilai x = 4 disebut

(11)

Kesimpulan:

1. Kalimat terbuka dapat diubah menjadi pernyataan dengan cara mengganti peubah pada himpunan semestanya.

2. Penyelesaian kalimat terbuka adalah nilai pengganti pada himpunan semesta yang mengubah kalimat terbuka menjadi pernyataan yang benar.

3. Himpunan penyelesaian kalimat terbuka adalah suatu

himpunan dengan anggota-anggota merupakan penyelesaian dari terbuka itu.

Contoh:

1. Himpunan penyelesaian persamaan x + 3 = 8 (x peubah pada himpunan bilangan real R) adalah HP = {5}.

2. Himpunan penyelesaian persamaan x2 – 5x + 6 = 0 (x

peubah pada himpunan bilangan real R) adalah HP = {2,3}.

(12)

Pernyataan Majemuk

- Kebenaran Suatu Pernyataan Majemuk

- Negasi Suatu Pernyataan majemuk

(13)

Kebenaran Suatu Pernyataan

Majemuk

- Disjungsi

- Konjungsi

- Implikasi

- Biimplikasi

(14)

Disjungsi

Adalah pernyataan yang dibentuk dari dua

pernyataan p dan q dengan kata hubung “atau”.

Notasinya:

p v q

Dibaca: p atau q

Tabel Kebenaran disjungsi

(15)

Contoh:

Tentukan nilai kebenaran dari:

6 adalah bilangan genap atau 13 adalah bilangan prima. Jawab:

Misal: p : 6 adalah bilangan genap q : 13 adalah bilanagn prima

p bernilai benar dan q bernilai benar sehingga pernyataan 6 adalah bilangan genap atau 13 adalah

bilangan prima bernilai benar

(16)

Konjungsi

Adalah pernyataan yang dibentuk dari dua

pernyataan p dan q dengan kata hubung “dan”.

Dibaca: p dan q

(17)

Contoh:

13 bilangan prima dan 132 _{= 169}

Jawab:

Misal: p : 13 bilangan prima Q : 132 = 169

p bernilai benar dan q bernilai benar sehingga pernyataan 13 bilangan prima dan 132 = 169

berniai benar.

(18)

Implikasi

Adalah pernyataan majemuk yang disusun

dari dua pernyataan p dan q dalam bentuk

“jika p, maka q”.

Notasinya:

p

 q

Dibaca: Jika p, maka q

Tabel kebenaran implikasi:

p

q

p  q

B

S

B

S

B

Bagian “jika p” dinamakan alasan atau

sebab dan bagian “maka q” dinamakan kesimpulan atau akibat.

(19)

Contoh:

Tentukan nilai kebenaran dari implikasi berikut: Jika 3 + 2 = 5, maka 5 adalah bilangan prima

Jawab:

Misal: P : 3 + 2 = 5

Q : 5 adalah bilangan prima

Jika 3 + 2 = 5, maka 5 adalah bilangan prima

B B

Implikasi ini bernilai benar karena alasan benar dan kesimpulan benar

(20)

Biimplikasi

Adalah pernyataan majemuk yang disusun dari

dua pernyataan p dan q dalam bentuk “p jika

dan hanya jika q”.

Notasinya:

p

 q

Dibaca: p jika dan hanya jika q

Tabel kebenaran biimplikasi:

(21)

Contoh:

161/2 _{= 4 jika dan hanya jika}16_{log 4 = 1/2}

Jawab:

Misal: p :161/2 _{= 4}

Q : 16_{log 4 = 1/2}

161/2 _{= 4 jika dan hanya jika}16_{log 4 = 1/2}

B B

Merupakan biimplikasi yang benar

Kembali

(22)

Negasi Suatu Pernyataan

Majemuk

- Negasi Konjungsi

- Negasi Disjungsi

- Negasi Implikasi

- Negasi Biimplikasi

(23)

Negasi Konjungsi



Negasi dari pernyataan p q adalah ~p v ~q

Perhatikan contoh konjungsi berikut.

p : saya suka apel.

q : saya tidak suka wortel.

p q : saya suka apel dan tidak suka wortel.

~( p q) : saya tidak suka apel atau saya suka wortel.

(24)

Negasi Disjungsi

Negasi disjungsi dari pernyataan p v q adalah

~p ~q

Perhatikan contoh berikut:

p : Andi pergi ke supermarket.

q : Andi menonton di bioskop.

(25)

Negasi Implikasi

 p p ~p q ~q p  q ~( p  q) p ~q B S B S B S S B S S B S B B S B B S S S S S B S B S S S

Negasi pernyataan “p  q” adalah “p ~q”

Perhatikan contoh berikut:

p : Nico belajar dengan giat.

q : Nico naik kelas.

p  q : Jika nico belajar dengan giat maka nico naik kelas. ~(p  q) : Jika Nico belajar dengan giat dan ternyata nico tidak

naik kelas.



(26)

Negasi Biimplikasi

Negasi pernyataan “p  q” adalah (p ~q) v (q ~p) Perhatikan contoh berikut:

P : Ulangan dibatalkan Q : Diadakan kerja bakti

p  q : Ulangan dibatalkan jika dan hanya jika diadakan kerja bakti ~(p  q ) : Ulangan dibatalkan dan tidak diadakan kerja bakti atau

diadakan kerja bakti dan ulangan tidak dibatalkan.

(27)

Konvers, Invers, dan

Kontraposisi

Dari suatu implikasi p  q dapat dibentuk

implikasi lain:

q  p, yang disebut konvers dari p  q. ~p  ~q, yang disebut invers dari p  q.

~q  ~p, yang disebut kontraposisi dari p  q.

(28)

p ~p q ~q p  q q  p ~p  ~q ~q  ~p

B S B S B B B B

B S S B S B B S

S B B S B S S B

S B S B B B B B

Contoh:Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari implikasi: Jika harga minyak naik, maka harga barang naik.

Konversnya (q  p) : jika haga barang naik maka harga minyak naik.

Invernya (~p  ~q) : jika harga minyak tidak naik mak harga barang tidak naik.

Kontraposisi (~q  ~p) : jika harga barang tidak naik mak harga minyak tidak naik.

(29)

Kuantor Universal dan Kuantor

Eksistensial

- Kuantor Universal

- Kuantor Eksistensial

(30)

Kuantor Universal

Sebuah pernyataan dikatakan menggunakan

kuantor universal jika menggunakan kata setiap

atau semua atau yang ekuivalen dengan itu.

Contoh:

1. Semua siswa kelas XA senang olahraga.

2. Setiap peserta ujian wajib membawa kartu tanda

peserta ujian.

(31)

Kuantor Eksistensial

Pernyataan dikatakan menggunakan kuantor

eksistensial jika menggunakan kata beberapa

atau ada atau yang ekuivalen dengan itu.

Contoh:

1. Beberapa siswa kelas XB senang olahraga.

2. Ada siswa yang senang matematika.

(32)

Inkaran dari Pernyataan

Berkuantor

- Ingkaran dari Pernyataan Berkuantor Universal

- Ingkaran dari Pernyataan Berkuantor Eksistensial

(33)

Ingkaran dari Pernyataan

Berkuantor Universal

Contoh:p

: ”Semua bilangan prima adalah bilngan asli”.

Bernilai benar

Tentukan ~ p serta nilai kebenarannya.

~ p

: ”Tidak semua bilangan prima adalah bilangan asli”,

atau

~ p

: ”Beberapa bilangan prima bukan bilangan asli”.

Jadi, jelas bahwa ~ p bernilai salah.

ingkaran dari pernyataan berkuantor universial

adalah sebuah pernyataan berkuantor eksistensial

Ingkaran dari semua p adalah q yaitu

beberapa p bukan q.

(34)

Ingkaran dari Pernyataan

Berkuantor Eksistensial

Ingkaran dari beberapa p adalah q yaitu

semua p bukan q.

Contoh:p

: ”Beberapa bilangan prima adalah bilangan

genap”

Tentukan ~ p serta nilai kebenarannya

~ p

: ”Semua bilangan prima bukan bilangan genap”, atau

~ p

: ”Tidak ada bilangan prima yang bilangan genap”, atau

~ p

: ”Jika x adalah bilangan prima, maka x bukan bilangan

genap”.

ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial

adalah sebuah pernyataan berkuantor universal

(35)

Penarikan Kesimpulan

- Prinsip Modus Ponens

- Prinsip Modus Tolens

- Prinsip Silogisme

(36)

Prinsip Modus Ponens

Premis 1 : p

 q

Premis 2 : p

Konklusi : q

Contoh:

Premis 1 : Jika Afra kehujanan, maka Afra akan masuk angin.

Premis 2 : Afra kehujanan.

Konklusi : Afra masuk angin.

Misal: p: Afra kehujanan q: Afra masuk angin Penarikan kesimpulannya: p  q

p q

(37)

Prinsip Modus Tolens

Premis 1 : p

 q

Premis 2 : q

Konklusi :



p

Premis 1 : Jika saya berolahraga

teratur, maka saya akan sehat. Premis 2 : Saya tidak sehat

Konklusi : Saya tidak berolahraga teratur

Penarikan kesimpulan ini menggunakan prinsip modus

tolens, berarti kesimpulan yang ditarik adalah sah

Misal: p: saya berolahraga teratur q: saya akan sehat

(38)

Prinsip Silogisme

Premis 1 : p

 q

Premis 2 : q r

Konklusi : p r

Premis 1 : jika x bilangan ganjil, maka 2x bilangan genap.

Premis 2 : jika 2x bilangan genap, amka 2x + 1 bilangan ganjil.

Konklusi : jika x bilangan ganjil, maka 2x + 1 bilangan ganjil. Misal: p: x bilangan ganjil q: 2x bilangan genap r: 2x + 1 bilangan ganjil Penarikan kesimpulannya: p  q q  r p  r

Penarikan kesimpulan ini menggunakan prinsip silogisme, berarti penarikan kesimpulan ini sah.

(39)

Penyusunan Bukti

- Bukti Langsung

- Bukti Tak Langsung

- Induksi Matematika

(40)

Bukti Langsung

Bukti langsung mengambil prinsip silogisme sebagai dasarnya. Kebenaran pernyataan pertama berakibat kebenaran pernyataan kedua dan seterusnya samapi pernyataan atau persamaan terbukti. Pada pernyataan berkuantor eksistensial, bukti langsung dilakukan dengan menyebutkan sebuah contoh dari semesta yang menyebabkan pernyataan bernilai benar. Cara substitusi juga termasuk bukti langsung.

Buktikan bahwa 3 merupakan akar dari persamaan kuadrat x2 – 4x + 3 = 0

Jika 3 disubsitusikan ke persamaan, maka diperoleh 32 – 4(3) + 3 = 0

3 adalah akar dari persamaan kuadrat x2_{- 4x + 3 = 0}

(41)

Bukti Tak Langsung

Bukti tak langsung dengan kontraposisi mengambil prinsip modus tolens sebagai dasarnya. Membuktikan bahwa sebuah pernyataan berkuantor universal salah cukup dengan mengambil contoh yang menyangkal kebenarannya disebut contoh penyangkal dan membuktikan bahwa pernyataan berkuantor universal benar cukup dibuktikan bahwa ingkarannya salah. Buktikan bahwa  x  , x + 2  3.

Andaikan  x  A  x + 2 < 3, maka x < 3 – 2

x < 1

Pernyataan terakhir ini salah karena tak ada bilangan asli yang lebih kecil dari satu

 x  A, X + 2  3.

(42)

Induksi Matematika

Dua langkah pembuktian dengan Induksi matematika:

1. Buktikan rumus berlaku untuk n = 1.

2. Dimisalkan rumus berlaku untuk n = k, buktikan

rumus berlaku untuk n = k + 1

Apabila langkah 1 dan 2 telah dilakukan dan benar,

maka dapat disimpulkan bahwa Sn berlaku untuk

setiap bilangan asli n.

(43)

Contoh: Buktikan bahwa 1 + 3 + 5 + 7 + … + ( 2n – 1) = n2 untuk n anggota A Langkah 1 Untuk n = 1 1 = 12 1 = 1 (benar) Langkah 2

Misalkan rumus Sn berlaku untuk n = k, yaitu: 1 + 3 + 5 + 7 + … + ( 2k – 1) = k2

Akan dibuktikan Sn berlaku untuk n = k + 1

1 + 3 + 5 + 7 + … + ( 2k – 1) + (2k + 1) = k2 _{+ (2k + 1)}

K2 _{+ (2k + 1) = (k + 1)}2

S_{k + 1}

(44)