DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN

(1)

UMUM PUSAT HAJI ADAM MALIK MEDAN DENGAN METODE MONTE CARLO

SKRIPSI

SYABARUDIN 120803019

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2017

(2)

ANALISIS SISTEM ANTRIAN DAN SIMULASI PELAYANAN PENERIMAAN PASIEN BPJS POLIKLINIK RUMAH SAKIT

UMUM PUSAT HAJI ADAM MALIK MEDAN DENGAN METODE MONTE CARLO

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

SYABARUDIN 120803019

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2017

(3)

PERSETUJUAN

Judul : ANALISIS SISTEM ANTRIAN DAN SIMULASI

PELAYANAN PENERIMAAN PASIEN BPJS POLIKLINIK RUMAH SAKIT UMUM HAJI ADAM MALIK MEDAN DENGAN METODE CARLO Kategori : SKRIPSI

Nama : SYABARUDIN

Nomor Induk Mahasiswa: 120803019

Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA Departemen : MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Disetujui di Medan, julil 2017

Disetujui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU Komisi Pembimbing :

Ketua, Pembimbing 1

Dr. Suyanto , M.Kom Dra.Normalina Napitupulu, M.Sc.

NIP.19590813 198601 1 002 NIP.19620901 198803 1 002

(4)

PERNYATAAN

ANALISIS SISTEM ANTRIAN DAN SIMULASI PELAYANAN PENERIMAAN PASIEN BPJS POLIKLINIK RUMAH SAKIT

UMUM PUSAT HAJI ADAM MALIK MEDAN DENGAN METODE MONTE CARLO

SKRIPSI

Saya menyatakan bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri. Kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.

Medan, juli 2017

SYABARUDIN NIM.120803019

(5)

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas rahmatnya sehingga skripsi dengan judul: “Analisis Sistem Antrian Dan Simulasi Pelayanan Penerimaan Pasien BPJS Poliklinik Rumah Sakit Adam Malik Medan” dapat diselesaikan dengan baik.

Penulis juga mengucapkan terimakasih kepada pihak-pihak yang turut mendukung dalam penulisan skripsi ini:

1. Ibu Dra. Normalina Napitupulu, M.Sc selaku dosen pembimbing yang berkenan dan rela mengorbankan waktu, tenaga dan pikiran guna memberikan petunjuk dan bimbingannya dalam penulisan skripsi ini.

2. Bapak Drs. Marihat Situmorang, M.Kom dan Bapak Drs. Rosman Siregar, M.

Si selaku dosen pembanding atas kritik dan saran yang membangun dalam penyempurnaan skripsi ini.

3. Bapak Drs. Suyanto, M. Kom dan Bapak Drs. Rosman Siregar, M.Si Selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU beserta staf pegawai.

4. Pimpinan RSU Pusat Haji Adam Malik Medan serta seluruh pegawai yang telah membantu pada penelitian ini.

5. Terkhusus untuk Ayahanda Abd Kadir, Ibunda Jemiah, Saudara Penulis M.

Syahudin, dan Rebung Syanti serta keluarga besar penulis yang selalu mendukung penulis.

6. Teman-teman penulis yakni teman-teman Matematika 2012 yang lainnya serta teman- teman ikatan mahasiswa gayo USU yang tidak dapat disebutkan satu per satu atas segala bentuk dukungannya.

Penulis juga menyadari masih banyak kekurangan dalam skripsi ini, baik dalam teori maupun penulisannya. Oleh karena itu, penulis mengharapkan saran dari pembaca demi perbaikan bagi penulis. Semoga segala bentuk bantuan yang telah diberikan kepada penulis mendapatkan balasan yang lebih baik dari Tuhan Yang Maha Esa. Akhir kata penulis berharap semoga tulisan ini bermanfaat bagi para pembaca.

(6)

ANALISIS SISTEM ANTRIAN DAN SIMULASI PELAYANAN PENERIMAAN PASIEN BPJS POLIKLINIK RUMAH SAKIT

UMUM PUSAT HAJI ADAM MALIK MEDAN DENGAN METODE MONTE CARLO

ABSTRAK

Antrian adalah sesuatu hal yang tidak dapat dipisahkan dalam kehidupan sehari- hari. Proses antrian dimulai pada saat pasien yang memerlukan pelayanan mulai datang pada suatu fasilitas pelayanan, menunggu dalam barisan antrian, dilayani dan akhirnya meninggalkan fasilitas tersebut. Secara ekonomis permasalahan antrian dapat menimbulkan kerugian yang besar. Penelitian ini dilakukan di RSUP H Adam Malik Medan sebagai aplikasi dari pelajaran simulasi dan teori antrian.

Tujuan dari tulisan ini adalah untuk mempelajari kinerja sistem dengan cara memodelkan simulasi antrian ganda dengan menggunakan simulasi monte carlo.

Menggunakan pemilihan angka secara random dari distribusi probabilitas untuk menjalankan simulasi. Berdasarkan hasil penelitian dan pembahasan dapat disimpulkan model sistem antrian (M/M/9) : (FIFO /∞/∞), efektifitas proses pelayanan pasien dapat ditentukan dengan menghitung peluang kedatangan rata- rata, kecepatan pelayanan rata-rata, peluang masa sibuk sistem, peluang panjang antrian, peluang panjang antrian dalam sistem, waktu menunggu dalam antrian, waktu menunggu dalam sistem, peluang semua pelayanan menganggur atau tidak ada pasien dalam sistem. Hal ini dapat dilihat pada saat pelayanan tersibuk yaitu pada 17 april 2017 dengan rata-rata kedatangan 2,1867 pasien per menit, rata-rata kecepatan pelayanan 0,3646 , dengan rata-rata pasien di dalam antrian sebanyak 12 pasien tiap menitnya, rata-rata pasien di dalam sistem sebanyak 19 pasien tiap menitnya, rata-rata waktu menunggu dalam antrian 6,20 menit untuk setiap pasien, rata-rata waktu menunggu dalam sistem sekitar 8.53 menit untuk setiap pasien, dan peluang sistem tidak melayani pasien sebesar 0,24%. Hal ini dapat dikatakan pelayanan sudah efektif.

Kata kunci : antrian, simulasi, Monte Carlo

(7)

ANALYSIS OF QUEUING SYSTEM AND SIMULATION OF PATENT SERVICE BPJS POLYCLINIC HOSPITAL

CENTER ADAM MALIK MEDAN WITH MONTE CARLO METHOD

ABSTRACT

Queueing is something that can not be separated in the daily life. The queue process begins when patients who require service came to a facility, waiting in a line queue, serviced and eventually left the facility. Economically queuing problems can cause great harm. This research was conducted at RSUP H Adam Malik Medan as the application of simulation and queue theory lessons. The purpose of this paper is studying the performance of the system by means of a double queue simulation modeling using Monte Carlo simulation. Using a random selection of numbers from probability distributions to run simulation. Based on the results of research and discussion can be concluded queuing system model (M/M/9) : (FIFO /∞/∞), the effectiveness of patients service process can be determined by calculate the average arrival, the average speed of service, busy period of the system, probability of long queues, queue length opportunities in the system, waiting time in the queue, waiting time in the system, the chances of all services unemployed or none of the patients in the system. It can be seen at the busiest time of service, on 17 April 2017 with an average of 2.187 arrival of the patient per minute, the average speed of service 0,3646,, with the average patient in as many patients in the queue 12 per minute, the average patient in the patients system 19 per minute, the average waiting time in the queue 6,20 minutes for each patient, the average waiting time in the system of about 8,53 minutes for each patient, and the system does not serve the patients 0.24%. It can be said to have been effective services.

Keyword : queuing, simulation, Monte Carlo

(8)

DAFTAR ISI

Halaman

PERSETUJUAN ii

PERNYATAAN iii

PENGHARGAAN iv

ABSTRAK v

ABSTRACT vi

DAFTAR ISI vii

DAFTAR TABEL viii

DAFTAR GAMBAR x

BAB I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang 1

1.2 Rumusan Masalah 3

1.3 Batasan Masalah 3

1.4 Tujuan Penelitian 3

1.5 Manfaat/Kontribusi Penelitian 4

1.6 Metrodologi Penelitian 4

1.7. Kerangka Penelitian 4

BAB II. LANDASAN TEORI

2.1 Teori Antrian 6

2.2 Sistem Antrian 7

2.3 Elemen Dasar Model Antrian 7

2.4 Sifat Pemangilan Populasi 8

2.5 Sifat Fasilitas Pelayanan 8

2.6 Struktur-Struktur Antrian Dasar 10

2.7 Waktu Pelayanan 12

2.8 Notasi Antrian 12

2.9 Model-Model Antrian 13

2.10 Pola Kedatangan Dan Pola Pelayanan 17

2.10.1 Pola Kedatangan 17

2.10.2 Pola Pelayanan 18

2.11 Uji Distribusi 19

2.12 Simulasi 20

2.13 Simulasi Monte Carlo 23

BAB III. HASIL DAN PEMBAHASAN

3.1 Pengumpulan Data 26

3.2 Analisis Data 27

3.3 Uji Kecukupan Data 30

3.3.1 Analisis Waktu Kedatangan 31

3.3.2 Analisis Waktu pelayanan 39

3.3.3 Model Antrian 46

3.3.4 Ukuran Kinerja System 47

(9)

3.4 Simulasi 60 BAB IV. KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan 79

4.2 Saran 80

DAFTAR PUSTAKA 81

DAFTAR LAMPIRAN 82

(10)

DAFTAR TABEL

Nomor Judul Halaman

Tabel

3.1. Jumlah Kedatangan Pasien 26

3.2. Uji Kecukupan Data 30

3.3. Hasil Uji Square Kedatangan Senin 17 April 2017 32 3.4. Hasil Uji Square Kedatangan Senin 24 April 2017 34 3.5. Hasil Uji Square Kedatangan Selasa 25 April 2017 36 3.6. Hasil Uji Square Kedatangan Rabu 26 April 2017 38 3.7. Hasil Uji Chi Square Pelayanan Senin 17 April 2017 41 3.8. Hasil Uji Chi Square Pelayanan Senin 24 April 2017 42 3.9. Hasil Uji Chi Square Pelayanan Selasa 25 April 2017 44 3.10 Hasil Uji Chi Square Pelayanan Rabu 26 April 2017 45

3.11 Simulasi Kedatangan Senin 17 April 2017 61

3.12 Simulasi Pelayanan Senin 17 April 2017 61

3.13 Simulasi Kedatangan Senin 24 April 2017 65

3.14 Simulasi Pelayanan Senin 24 April 2017 66

3.15 Simulasi Kedatangan Selasa 25 April 2017 70

3.16 Simulasi Pelayanan Selasa 25 April 2017 70

3.17 Simulasi Kedatangan Rabu 26 April 2017 74

3.18 Simulasi Pelayanan Rabu 26 April 2017 75

(11)

DAFTAR GAMBAR

Nomor Judul Halaman

Gambar

1.1 Kerangka Penelitian 5

2.1 Single Channel-Single Phase 10

2.2 Single Channel-Multi Phase 11

2.3 Multi Channel-Single Phase 11

2.4 Multi Channel-Multi Phase 12

3.1 Flowchat Analisis Data 27

3.2 Flowchat Hitung Kinerja Sistem 28

3.3 Flowchat Simulasi Menggunakan Metode Monte Carlo 29 3.4 Struktur Sistem Antrian Penerimaan Pasien BPJS Poliklinik

Rsup H Adam Malik Medan 47

(12)

DAFTAR LAMPIRAN

Nomor Judul Halaman

1 Rekapitulasi Hasil Pengamatan 82

2 Tabel Distribusi Chi Square 83

(13)

UMUM PUSAT HAJI ADAM MALIK MEDAN DENGAN METODE MONTE CARLO

ABSTRAK

Antrian adalah sesuatu hal yang tidak dapat dipisahkan dalam kehidupan sehari- hari. Proses antrian dimulai pada saat pasien yang memerlukan pelayanan mulai datang pada suatu fasilitas pelayanan, menunggu dalam barisan antrian, dilayani dan akhirnya meninggalkan fasilitas tersebut. Secara ekonomis permasalahan antrian dapat menimbulkan kerugian yang besar. Penelitian ini dilakukan di RSUP H Adam Malik Medan sebagai aplikasi dari pelajaran simulasi dan teori antrian.

Tujuan dari tulisan ini adalah untuk mempelajari kinerja sistem dengan cara memodelkan simulasi antrian ganda dengan menggunakan simulasi monte carlo.

Menggunakan pemilihan angka secara random dari distribusi probabilitas untuk menjalankan simulasi. Berdasarkan hasil penelitian dan pembahasan dapat disimpulkan model sistem antrian (M/M/9) : (FIFO /∞/∞), efektifitas proses pelayanan pasien dapat ditentukan dengan menghitung peluang kedatangan rata- rata, kecepatan pelayanan rata-rata, peluang masa sibuk sistem, peluang panjang antrian, peluang panjang antrian dalam sistem, waktu menunggu dalam antrian, waktu menunggu dalam sistem, peluang semua pelayanan menganggur atau tidak ada pasien dalam sistem. Hal ini dapat dilihat pada saat pelayanan tersibuk yaitu pada 17 april 2017 dengan rata-rata kedatangan 2,1867 pasien per menit, rata-rata kecepatan pelayanan 0,3646 , dengan rata-rata pasien di dalam antrian sebanyak 12 pasien tiap menitnya, rata-rata pasien di dalam sistem sebanyak 19 pasien tiap menitnya, rata-rata waktu menunggu dalam antrian 6,20 menit untuk setiap pasien, rata-rata waktu menunggu dalam sistem sekitar 8.53 menit untuk setiap pasien, dan peluang sistem tidak melayani pasien sebesar 0,24%. Hal ini dapat dikatakan pelayanan sudah efektif.

Kata kunci : antrian, simulasi, Monte Carlo

(14)

7

ANALYSIS OF QUEUING SYSTEM AND SIMULATION OF PATENT SERVICE BPJS POLYCLINIC HOSPITAL

CENTER ADAM MALIK MEDAN WITH MONTE CARLO METHOD

ABSTRACT

Queueing is something that can not be separated in the daily life. The queue process begins when patients who require service came to a facility, waiting in a line queue, serviced and eventually left the facility. Economically queuing problems can cause great harm. This research was conducted at RSUP H Adam Malik Medan as the application of simulation and queue theory lessons. The purpose of this paper is studying the performance of the system by means of a double queue simulation modeling using Monte Carlo simulation. Using a random selection of numbers from probability distributions to run simulation. Based on the results of research and discussion can be concluded queuing system model (M/M/9) : (FIFO /∞/∞), the effectiveness of patients service process can be determined by calculate the average arrival, the average speed of service, busy period of the system, probability of long queues, queue length opportunities in the system, waiting time in the queue, waiting time in the system, the chances of all services unemployed or none of the patients in the system. It can be seen at the busiest time of service, on 17 April 2017 with an average of 2.187 arrival of the patient per minute, the average speed of service 0,3646,, with the average patient in as many patients in the queue 12 per minute, the average patient in the patients system 19 per minute, the average waiting time in the queue 6,20 minutes for each patient, the average waiting time in the system of about 8,53 minutes for each patient, and the system does not serve the patients 0.24%. It can be said to have been effective services.

Keyword : queuing, simulation, Monte Carlo

(15)

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

RSUP H Adam Malik Medan merupakan sebuah rumah sakit pemerintah yang dikelola pemerintah pusat dengan pemerintah daerah Provinsi Sumatra Utara, terletak di lahan yang luas 110.000 m² di pingiran kota Medan. Rumah sakit ini dibangun berdasarkan surat keputusan Menkes No.335/Menkes/SK/VII/1990 yang merupakan rumah sakit kelas A, yang terletak di jalan bunga lau no.17 Medan Tuntungan, Medan. Disamping itu juga merupakan rumah sakit pusat rujukan untuk wilayah pembangunan A yang meliputi Provinsi Sumatra Utara, Provinsi Aceh, Provinsi Sumatra Barat dan Provinsi Riau. Rumah Sakit Adam Malik mulai beroperasi sejak tanggal 17 juni 1991 dengan pelayanan rawat jalan, sedangkan untuk pelayanan rawat inap baru dimulai tanggal 02 Mei 1992.

Pelayanan yang optimal dalam dunia kesehatan adalah suatu hal yang penting, karena disamping menyangkut masalah baik buruknya repurtasi rumah sakit, juga menyangkut masalah nyawa dari pasien itu sendiri. RSUP H Adam Malik Medan memiliki antrian yang banyak di setiap bagian di Poliklinik (Instalasi Rawat Jalan) yang perlu dimodelkan terlebih dahulu agar mendapatkan waktu pelayan yang optimal. Dengan adanya poliklinik pasien akan melakukan kegiatan pemeriksaan, deangan terlebih dahulu melakukan pendaftaran, pemariksaan, laboratorium.

Dibagi pendaftaran inilah pasien akan mendaftar untuk memperoleh formulir pendaftaran, selanjutnya calon pasien tersebut akan mengambil antrian untuk membuat eligibilitas. Dimana didalam proses pembuatan kartu ini terdapat antrian, sehingga proses selanjutnya sangat tergantung dalam pembuatan kartu ini. Dalam proses ini jumlah antrian pasien sangat banyak, hal ini menjadi perhatian yang sangat penting bagi pihak RSUP H Adam Malik Medan. Dengan sistem antrian yang terjadi memiliki pelayanan saluran ganda, pelayanan terbatas, dan antrian tak terhingga.

Maka pemodelan diperlukan untuk menganalisis sistem antrian yang terjadi di rumah sakit tersebut. Dimana dalam model-model antrian, kedatangan pelangan

(16)

dan waktu pelayanan dijelaskan dalam bentuk distribusi probabilitas. Faktor ketidakpastian juga sangat berpengaruh dalam perilaku sistem pelayanan. Dimana dalam sistem antrian tersebut tingkat pelayanan biasa digunakan untuk mengamati perilaku sistem yang menagnadung faktor ketidakpastian. Dalam hal ini simulasi sebuah sistem antrian sangatlah penting, kegiatan tersebut didukung dengan aplikasi komputer. Aplikasi ini membuat kita untuk memodelkan sebuah kegiantan, dengan kata lain kita membuat kondisi yang sebenarnya dalam sebuah sistem berbasis komputer, dengan demikian simulasi diperlukan dalam pemodelan.

Simulasi berusaha mempertasikan sistem nyata yang ada agar lebih mudah untuk diamati dibandingkan jenis model lainnya. Dengan simulasi memungkinkan untuk dapat dapat mengamati bagaimana sistem antrian yang dipresentasikan dalam model ini berprilaku. Dengan kata lain model simulasi yang baik adalah model simulasi yang tidak hanya berorientasi pada hasil dari sebuah sistem, melainkan bagaimana model tersebut dapat menjelaskan karakteristik dan perubahan sistem dari waktu kewatu. Semakin mampu model simulasi menirukan sistem yang sebenarnya maka semakin baik model tersebut.

Dengan demikian penulis melakukan penelitian secara sistematis untuk mengalisis masalah antrian dan melakukan simulasi antrian pada pelayanan Penerimaan Pasien BPJS Poliklinik RSUP H Adam Malik Medan. Dalam sistem antrian, pendekatan Monte Carlo digunakan untuk menghitung bagaimana seharusnya pelayanan yang optimal dilakukan denagn mempertimbangkan variabel input seperti waktu kedatangan, waktu pelayanan, dan variabel input lainya sesuai dengan distrubusi dari data yang diperolah. Dengan mengunakan Metode Monte Carlo ini diharapkan dapat memperhitungkan jumlah petugas yang optimal guna pemengurangi lama waktu tunggu para pasien tersebut dan meningkatkan kinerja pelayanan di RSUP H Adam Malik Medan.

1.2 Rumusan Masalah

Pada penelitian ini yang menjadi permasalahan adalah sering terjadi antrian yang cukup panjang pada pelayanan Penerimaan Pasien BPJS Poliklinik RSUP Haji Adam Malik Medan, sehingga dilakukan analisis dan simulasi antrian dengan

(17)

metode Monte Carlo untuk memngetahui gambaran alternatif jumlah pelayanan untuk mengatasi antrian yang terjadi.

1.3 Batasan Masalah

Agar masalah dalam tulisan ini nantinya jelas maka penulis membuat batasan masalah sebagai berikut:

1. Penelitian dilakukan selama 2 minggu di RSUP H Adam Malik Medan, data yang di ambil adalah data selama 4 hari yang dipilih secara random pada periode sibuk.

2. Penelitian hanya difokuskan pada sistem pelayanan di bagian penerimaan pasien BPJS Poliklinik RSUP H Adam Malik Medan.

3. Ruang lingkup penelitian hanya mencakup kedatangan, pelayanan, disiplin antrian dan jumlah fasilitas pelayanan yang tersedia dibagian peneriamaan pasien BPJS Poliklinik RSUP H Adam Malik Medan.

4. Data yang diambil adalah data pasien yang berkunjung ke bagian penerimaan pasien BPJS Poliklinik RSUP H Adam Malik Medan.

1.4 Tujuan Penelitian

Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menghasilkan sistem anrtian dan simulasi pelayanan antrian yang terjadi dibagian penerimaan pasien BPJS Poliklinik di RSUP H Adam Malik Medan dengan menggunakan metode simulasi monte carlo dalam antrian.

1.5 Manfaat/Kotribusi Penelitian

Kontribusi dari penelitian ini adalah sebagai berikut:

1. Mendapatkan gambaran mengenai penerapan teknik simulasi Monte Carlo dalam antrian.

2. Hasil dari penelitian ini diharapkan dapat digunakan sebagai bahan rujukan untuk RSUP H Adam Malik Medan.

3. Hasil dari penelitian ini diharapkan dapat dipertimbangkan dalam mengambil suatu kebijakan dalam pelayanan yang ada di penerimaan pasien BPJS poliklinik RSUP H Adam Malik Medan.

(18)

1.6 Metrodologi Penelitian

Penelitian ini dibuat berdasarkan studi kasus dibagian penerimaan pasien BPJS poliklinik RSUP H Adam Malik Medan yang disusun dengan langkah-langkah sebagai berikut:

1. Observasi ke tempat penelitian dan memahami informasi dari teori yang berkaitan dengan topik penelitian.

2. Pengambilan data tentang antrian yang ada dalam pelayanan di poliklinik.

3. Pengolahan dan analisis data dengan menggunakan teknik simulasi antrian.

Menyimpulkan hasil dan informasi dari penyelesaian permasalahan yang telah diselesaikan.

1.7 Kerangka Penelitian

Agar permasalahan dapat diselesaikan dengan tepat, perlu dibuat suatu kerangka penelitian yang merupakan proses urutan kegiatan dalam pemecahan masalah. Adapun kerangka penelitian seperti pada gambar:

(19)

Gambar 1.1 kerangka penelitian Pendahuluan

Rumusan Masalah, Batasan Masalah, Penetapan Tujuan

Studi Literatur

Pengumpulan Data

Pengolahan Data

Uji Distrubusi

Pelayanan Kedatangan

Metode Simulasi

Membangkitkan Distribusi Kedatangan

Membangkitkan Distribusi Pelayanan

Output Data

Kesimpulan Dan Saran

(20)

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1 Teori Antrian

Suatu antrian ialah suatu garis tunggu dari nasabah yang memerlukan layanan dari satu atau lebih fasilitas pelayanan. Kejadian garis tunggu timbul disebabkan oleh kebutuhan akan layanan melebihi kapasitas fasilitas pelayanan yang ada, sehingga nasabah tidak segera mendapatkan pelayanan. Teori antrian merupakan suatu studi matematika dari gejala garis tunggu tersebut (P.Siagian, 1987).

Fenomena antrian sering kita lihat dalam kehidupan sehari-hari, diantaranya mobil-mobil yang mengantri pada tempat pencucian mobil, penumpang yang mengantri untuk pembelian karcis, nasabah bank yang menunggu giliran untuk melakukan transaksi perbankan, pasien yang menunggu di rumah sakit untuk mendapatkan pelayanan kesehatan, dan masih banyak lagi. Dalam banyak hal, untuk mengurangi panjang antrian yang terjadi atau mencegah terjadinya antrian dapat dilakukan dengan penambahan fasilitas pelayanan. Akan tetapi, terkadang penambahan fasilitas pelayanan ini dapat mengurangi keuntungan. Namun, jika antrian terlalu panjang akan mengakibatkan hilangnya pelanggan atau nasabah.

Situasi menunggu merupakan suatu bagian dari keadaan yang terjadi dalam rangkaian kegiatan operasional yang bersifat random dalam suatu fasilitas pelayanan. Pelanggan datang ke tempat itu dengan waktu yang acak, tidak teratur dan tidak dapat segera dilayani sehingga mereka harus menunggu cukup lama.

Dengan mempelajari teori antrian maka penyedia fasilitas pelayanan dapat mengusahakan agar dapat melayani pelanggannya dengan baik dan tanpa harus menunggu terlalu lama (Kakiay, 2004).

2.2 Sistem Antrian

Sistem antrian merupakan suatu himpunan pelanggan, fasilitas pelayanan, dan suatu aturan yang mengatur kedatangan pelanggan dan pelayanan yang akan didapatkannya. Sedangkan keadaan sistem merujuk pada jumlah pelanggan yang berada dalam suatu fasilitas pelayanan, termasuk dalam antriannya. Populasi

(21)

antrian adalah jumlah pelanggan yang datang untuk mendapatkan pelayanan pada fasilitas pelayanan (Kakiay, 2004).

Pelanggan tiba dengan laju tetap atau tidak tetap untuk memperoleh pelayanan pada fasilitas pelayanan yang tersedia. Bila pelanggan yang tiba dapat masuk ke dalam fasilitas pelayanan, maka hal itu akan segera dilakukan. Tetapi jika harus menunggu, maka mereka akan membentuk suatu barisan antrian hingga tiba waktunya untuk dilayani. Para pelanggan tersebut akan dilayani dengan laju yang tetap ataupun tidak tetap. Setelah selesai, maka pelanggan pun akan keluar dari sistem antrian (P. Siagian, 1987).

Sistem antrian dapat dibagi atas dua komponen, yaitu:

1. Antrian yang memuat langganan atau satuan-satuan yang membutuhkan pelayanan (pembeli, nasabah, pasien dan lain-lain).

2. Fasilitas pelayanan yang memuat pelayanan dan saluran pelayanan (loket bioskop dan penjual karcis, bank dan teller, dan lain-lain).

2.3 Elemen Dasar Model Antrian

Faktor penting dalam suatu sistem antrian adalah pelanggan dan fasilitas pelayanan, di mana ada periode waktu yang dibutuhkan oleh seorang pelanggan untuk mendapatkan pelayanan. Elemen dasar dari suatu model antrian adalah sebagai berikut (Aminuddin, 2005):

1. Sifat pemanggilan populasi 2. Sifat fasilitas pelayanan 3. Struktur-struktur antrian dasar

2.4

Sifat Pemanggilan Populasi

Bagian dari sistem antrian ini mempunyai tiga sifat yang akan diuraikan

1. Besar kecilnya pemanggilan populasi, pemanggilan populasi ini bisa terbatas bisa pula tidak terbatas.

2. Sifat kedatangan dari pemanggilan populasi, sifat kedatangan pada fasilitas pelayanan bisa dalam beberapa pola tertentu ataupun secara acak. Bila kedatangan secara acak, maka harus diketahui probabilitas melalui waktu antar kedatangan. Analisis riset operasi telah mendapati bahwa kedatangan acak

(22)

paling cocok diuraikan menurut distribusi Poisson. Tenntu saja tidak semua kedatangan memiliki distribusi ini dan kita perlu memastikan terlebih dahulu sebelum kita menggunakannya.

3. Tingkah laku pemanggilan populasi

Ada 3 istilah yang biasa digunakan dalam antrian untuk menggambarkan tingkah laku pemanggilan populasi:

a. Tidak mengikuti (renege), yakni bila seseorang bergabung dalam antrian dan kemudian meninggalkannya

b. Menolak (balking), berarti serta merta tidak mau bergabung

c. Merebut (bulk), menunjukkan kondisi dimana kedatangan terjadi secara bersama-sama ketika memasuki sistem sehingga seseorang berebut menyorobot ke depan.

2.5

Sifat Fasilitas Pelayanan

Dalam membahas sifat dari fasilitas pelayanan, kita berfokus pada tiga hal:

1. Tataan fisik sistem antrian, diukur berdasarkan jumlah saluran atau sumber pelayanan. Bila terdapat satu saluran pelayanan maka dikatakan sistem saluran tunggal. Sistem saluran majemuk mempunyai sumber pelayanan lebih dari satu yang beroperasi secara bersamaan.

2. Disiplin antrian, berkaitan pada subyek pemanggilan populasi yang menerima pelayanan. Disiplin antrian adalah aturan di mana para pelanggan dilayani, atau disiplin pelayanan (service discipline) yang memuat urutan (order) para pelanggan menerima layanan. Ada 4 bentuk bentuk disiplin antrian menurut urutan kedatangan antara lain adalah (Kakiay, 2004) :

a. First Come First Served (FCFS) atau First In First Out (FIFO), di mana pelanggan yang terlebih dahulu datang akan dilayani terlebih dahulu.

Misalnya, antrian pada loket pembelian tiket bioskop, antrian pada loket pembelian tiket kereta api.

b. Last Come First Served (LCFS) atau Last In First Out (LIFO), di mana pelanggan yang datang paling akhir akan dilayani terlebih dahulu.

Misalnya, sistem antrian pada elevator untuk antri yang sama, sistem

(23)

bongkar muat barang dalam truk, pasien dalam kondisi kritis, walaupun dia datang paling akhir tetapi dia akan dilayani terlebih dahulu.

c. Service In Random Order (SIRO) atau Random Selection for Service (RSS), di mana panggilan didasarkan pada peluang secara random, jadi tidak menjadi permasalahan siapa yang lebih dahulu datang. Misalnya, pada arisan di mana penarikan berdasarkan nomor undian.

d. Priority Service (PS), di mana prioritas pelayanan diberikan kepada pelanggan yang mempunyai prioritas lebih tinggi dibandingkan dengan pelanggan yang mempunyai prioritas yang lebih rendah, meskipun mungkin yang dahulu tiba di garis tunggu adalah yang terakhir datang. Hal ini mungkin disebabkan oleh beberapa hal, misalnya seseorang yang memiliki penyakit yang lebih berat dibandingkan orang lain pada suatu tempat praktek dokter, hubungan kekerabatan pelayan dan pelanggan potensial akan dilayani terlebih dahulu.

3. Distribusi probabilitas yang sesuai untuk menggambarkan waktu pelayanan, yang waktu pelayanan tersebut bisa saja konstan maupun acak. Apabila waktu pelayanan didistribusikan secara acak, kita harus mendapatkan distribusi probabilitas yang paling sesuai untuk menggambarkan perilakunya. Biasanya jika waktu pelayanannya acak, maka analisis antrian menggunakan distribusi probabilitas eksponensial. Ini bisa dilakukan dengan membandingkan sampel waktu pelayanan yang sebenarnya dengan waktu pelayanan yang diharapkan berdasarkan rumus eksponensial.

2.6 Struktur-Struktur Antrian Dasar

Jumlah saluran dalam proses antrian menyatakan jumlah fasilitas pelayanan (server) secara pararel untuk melayani konsumen yang datang. Di lain pihak jumlah tahapan (phase) menyatakan banyaknya tahapan pelayanan yang harus dilalui sampai pelayanan selesai atau lengkap.

Proses antrian secara umum dikategorikan menjadi 4 struktur dasar fasilitas pelayanan:

(24)

1. Single Channel–Single Phase

Contoh untuk single channel–single phase adalah sebuah kantor pos yang hanya mempunyai satu loket pelayanan dengan satu jalur antrian.

Kedatangan Pelangan

Antrian pelayanan

Gambar 2.1 Single Channel–Single Phase

2. Single Channel–Multi Phase

Contoh untuk single channel–multi phase adalah ketika seorang pasien berobat ke rumah sakit, maka pasien tersebut harus mendaftar dulu di loket pendaftaran, kemudian pasien tersebut mendapat diagnosa awal oleh perawat di ruang pemeriksaan dan selanjutnya pasien antri untuk dirawat oleh dokter.

Kedatangan Pelangan

Antrian pelayanan

Gambar 2.2 Single Channel–Multi Phase

3. Multi Channel–Single Phase

Contoh untuk multi channel–single phase adalah sebuah kantor pos yang menyediakan beberapa loket pelayanan untuk melayani pelanggan yang datang dengan satu jalur antrian.

Kedatangan

Pelangan Antrian Pelayanan Gambar 2.3 Multi Channel–Single Phase

(25)

4. Multi channel–multi phase

Contoh untuk single channel–multi phase adalah ketika seorang pasien berobat ke rumah sakit, maka pasien tersebut harus mendaftar terdulu di loket pendaftaran, kemudian pasien tersebut mendapat diagnosa awal oleh salah satu perawat yang berada di ruang pemeriksaan dan selanjutnya pasien antri untuk dirawat oleh dokter yang terdiri dari beberapa orang sehingga dapat melayani beberapa pasien secara bersamaan.

Kedatangan

Pelangan antriaan

Pelayanan

Gambar 2.4 multi channel–multi phase

2.7

Waktu Pelayanan

Waktu yang dibutuhkan untuk pelayanan sejak pelayanan dimulai hingga selesai disebut waktu pelayanan. Seperti halnya pada kedatangan pelanggan, waktu pelayanan ini juga mempunyai distribusi probabilitas berdasarkan sampling dari keadaan sebenarnya. Waktu yang dibutuhkan untuk melayani bisa dikategorikan sebagai konstan dan acak. Waktu pelayanan konstan, jika waktu yang dibutuhkan untuk melayani sama untuk setiap pelanggan. Sedangkan waktu pelayanan acak, jika waktu yang dibutuhkan untuk melayani berbeda-beda untuk setiap pelanggan.

2.8 Notasi Antrian

Terdapat banyak variasi yang mungkin dari model antrian. Ciri-ciri dari masingmasing model akan diringkas dalam notasi Kendall yang diperluas. Notasi itu dituliskan (Sri Mulyono, 2002):

[ a / b / c / d / e / f ]

Notasi Kendall dasar adalah: [ a / b / c ]

(26)

Keterangan:

a : distribusi kedatangan

b : distribusi keberangkatan atau waktu pelayanan,

untuk a dan b, notasi standar ini dapat diganti dengan kode-kode yang sebenarnya dari distribusi-distribusi yang terjadi, diantaranya (Kakiay, 2004):

M menunjukkan Poisson Ek menunjukkan Erlang

D berarti deterministik atau konstan

G berarti general atau umum dari service time atau keberangkatan GI berarti general atau umum yang independen dari proses kedatangan c : banyaknya pelayanan paralel

d : disiplin antrian (GD: general discipline), seperti FCFS, LCFS, prioritas, dan random

e : jumlah maksimum pengantri dalam sistem (antri dan dilayani) f : jumlah sumber kedatangan

Sebagai ilustrasi, perhatikan notasi berikut:

(M/D/9/FCFS/N/;)

Notasi tersebut berarti kedatangan berdistribusi Poisson, waktu pelayanan konstan, dan terdapat 9 buah fasilitas pelayanan. Disiplin antrian yang berlaku adalah pelanggan yang pertama datang yang pertama dilayani, jumlah konsumen terbatas sebanyak N, dan sumber populasi tak terbatas.

2.9 Model-Model Antrian

Karakteristik dan asumsi dari model antrian dirangkum dalam bentuk notasi. Notasi standar yang digunakan adalah sebagai berikut :

( a / b / c / d / e )

Di mana simbol a, b, c, d, e merupakan elemen dasar dari model antrian :

a = Bentuk distribusi kedatangan yaitu jumlah kedatangan per satuan waktu b = Bentuk distribusi waktu pelayanan yaitu selang waktu antara satuan-satuan

yang dilayani

(27)

c = Jumlah fasilitas pelayanan dalam sistem d = Disiplin pelayanan

e = Jumlah maksimum yang diperkenankan berada dalam sistem (dalam pelayanan ditambah yang di garis tunggu).

Untuk huruf a dan b, kita gunakan kode-kode berikut sebagai pengganti:

M = Distribusi kedatangan Poisson atau distribusi pelayanan eksponensial D = Antar kedatangan atau waktu pelayanan tetap

G = Distribusi umum kedatangan atau waktu pelayanan Untuk huruf d dipakai kode-kode pengganti:

FIFO atau FCFS = First-in, first-Out atau First-Come First –Served LIFO atau LCFS = Last in First-Out atau Last-Come First-served SIRO = Service In Random Order

GD = Genaral service Discplint

Untuk huruf c, dipergunakan bilangan bulat positif yang menyatakan jumlah pelayanan paralel. Untuk huruf d dan e dipergunakan kode N atau menyatakan jumlah terbatas atau tak berhingga satuan- satuan dalam sistem antrian dan populasi masukan.

Misalnya, kalau kita tulis model (M/M/1) : FIFO//∞/∞ , ini berarti bahwa model menyatakan kedatangan distribusikan secara Poisson, waktu pelayanan distribusikan secara eksponensial, pelayanan adalah satu atau seorang, disiplin antrian adalah first-in first-out, tidak berhingga jumlah langganan boleh masuk dalam sistem antrian, ukuran (besarnya) populasi masukan adalah tak berhingga (Siagian, 1987).

Model-model antrian secara umum antara lain adalah sebagai berikut:

1. Model (M /M/1/GD/∞/∞).

Syarat-syarat dari model ini antara lain:

a. Jumlah kedatangan setiap satuan waktu mengikuti distribusi poisson.

b. Waktu pelayanan berdistribusi ekponensial.

c. Disiplin antrian yang digunakan adalah FCFS.

d. Sumber populasi tidak terbatas.

e. Jalur antriannya tunggal.

f. Tingkat kedatangan rata-rata lebih kecil dari pada rata-rata pelayanan.

(28)

g. Panjang antrian tidak terbatas.

2. Model (M/M/c/GD/∞/∞).

Pada model ini fasilitas pelayanan (server) bersifat ganda, rata-rata tingkat kedatangan lebih kecil dari pada penjumlahan seluruh rata-rata tingkat pelayanan di semua jalur.syarat yang lain sama dengan model server tunggal.

3. Model (M/M/1/GD/N/∞).

Model ini merupakan variasi dari model yang pertama, dimana panjang antrian atau kapasitas tunggu dibatasi maksimum N individu. Jumlah maksimum ini meliputi individu yang menunggu dan yang sedang dilayani.

4. Model (M/M/1/GD/∞/N).

Model ini hampir sama dengan model yang pertama hanya saja sumberpopulasi dibatasi sebanyak N.

Selain model-model umum di atas, terdapat beberapa model antrian lain, diantaranya:

1. Model (M/G/1/GD/∞/∞)

Model (M/G/1/GD/∞/∞) atau disebut juga dengan formula Pollazck – Khintchine sering disingkat dengan (P-K) adalah suatu formula dimana akan diperoleh pada situasi pelayanan tunggal yang memenuhi tiga asumsi berikut (Kakiay, 2004):

a. Kedatangan Poisson dengan rata-rata kedatangan λ.

b. Distribusi waktu pelayanan umum atau general dengan Rata-rata rata- rata pelayanan 𝐸(𝑡) =¹

𝜇 dan varian var (t).

c. Keadaan steady state dimana 𝜌 ^λ

𝑐𝜇< 1 dimana:

λ = Tingkat kedatangan rata-rata pelanggan μ = Tingkat pelayanan rata-rata pelanggan c = Jumlah fasilitas pelayanan

ρ = Tingkat kesibukan sistem

(29)

2. Model (M/G/c/GD/∞/∞)

Model antrian (M/G/c/GD/∞/∞) adalah model antrian dengan jumlah failitas pelayanan lebih dari satu atatu ganda, distribusi kedatangan Poisson dan distribusi pelayannan general/umum.

3. Model (G/G/c/GD/∞/∞)

Model antrian (G/G/c/GD/∞/∞) adalah model antrian dengan pola kedatangan berdistribusi general atau umum dan pola pelayanan juga berdistribusi general atau umum dengan jumlah fasilitas pelayanan sebanyak c pelayanan. Disiplin antrian yang digunakan pada model ini adalah umum yaitu FCFS (First Come First Served), kapasitas maksimum dalam sistem adalah tak terbatas yang memiliki sumber pemanggilan juga tak terbatas.

Ukuran kinerja sistem pada model general ini mengikuti ukuran kinerja pada model M/M/c, yaitu sebagai berikut:

1. Probabilitas fasilitas pelayanan menganggur (P0) adalah:

𝑃₀ ¹

[ ∑^𝐶−1_𝑁=0_𝑛!¹(^𝜆_𝜇) 𝑛

]+(_𝜇^𝜆)

𝑐 1

𝐶!(1−𝜆 𝐶𝜇)

(2.1)

2. Rata-rata jumlah pelanggan yang menunggu (Lq) dalam antrian adalah:

Lq M/M/C= ^𝜆𝜇(

𝜆 𝜇)^𝑐

(𝐶−1)! (𝐶𝜇−𝜆)²𝑃₀ (2.2) Akan tetapi, untuk perhitungan rata-rata jumlah pelanggan yang menunggu dalam antrian untuk model ini adalah sebagai berikut (Sugito dan Marissa, 2009):

Lq = Lq M/M/C

𝜇²𝜈(𝑡)+𝑣(𝑡^′)𝜆²

2 (2.3)

Dengan

𝑣(𝑡) = (¹

𝜇²)² (2.4)

𝑣(𝑡^′) = (¹

𝜆²)² (2.5)

3. Rata-rata jumlah pelanggan yang menunggu dalam sistem (Ls) adalah:

(30)

𝐿_𝑠 = 𝐿_𝑞+^𝜆

𝜇 (2.6)

4. Rata-rata waktu pelanggan menunggu dalam antrian (Wq) adalah:

𝑊_𝑞 = ^𝐿^𝑞

𝜆 (2.7)

5. Rata-rata waktu pelanggan menunggu dalam sistem (Ws) adalah:

𝑊_𝑠 = 𝑊_𝑞+¹

𝜇 (2.8)

6. Probabilitas pelanggan harus menunggu untuk dilayani (Pw) adalah:

𝑃_𝑤 = (^𝜆

𝜇)^𝑐 ^𝑃⁰

𝐶![1−(^𝜆

𝐶𝜇)] (2.9)

2.10 Pola Kedatangan Dan Pola Pelayanan 2.10.1 Pola Kedatangan

Pola kedatangan para pelanggan biasanya diperhitungkan melalui waktu antar kedatangan, yaitu waktu antara kedatangan dua pelanggan yang berurutan pada suatu fasilitas pelayanan. Bentuk ini dapat bergantung pada jumlah pelanggan yang berada dalam sistem ataupun tidak bergantung pada keadaan sistem tersebut.

Bila pola kedatangan ini tidak disebut secara khusus, maka dianggap bahwa pelanggan tiba satu per satu. Asumsinya adalah kedatangan pelanggan mengikuti suatu proses dengan distribusi probabilitas tertentu. Distribusi probabilitas yang sering digunakan adalah distribusi Poisson, di mana kedatangan bersifat bebas, tidak terpengaruh oleh kedatangan sebelum ataupun sesudahnya. Asumsi distribusi Poisson menunjukkan bahwa kedatangan pelanggan sifatnya acak dan mempunyai rata-rata kedatangan sebesar λ (Kakiay, 2004).

Dalam proses ini, distribusi probabilitas Poisson menyediakan deskripsi yang cukup baik untuk suatu pola kedatangan. Suatu fungsi probabilitas Poisson untuk suatu kedatangan x pada suatu periode waktu tertentu adalah sebagai berikut (Taylor, 2001):

𝑃(𝑥) =𝜆^𝑥𝑒^−𝜆 𝑥!

Dimana:

x = jumlah kedatangan per periode waktu

(31)

λ = rata-rata jumlah kedatangan per periode waktu e = 2,71828

X! = faktorial dari suatu nilai x, yaitu x! = x(x-1)(x-2)…(2)(1)

2.10.2 Pola Pelayanan

Pola pelayanan ditentukan oleh waktu pelayanan, yaitu waktu yang dibutuhkan untuk melayani pelanggan pada fasilitas pelayanan. Pelayanan dapat dilakukan dengan satu atau lebih fasilitas pelayanan yang masing-masing dapat mempunyai satu atau lebih saluran atau tempat pelayanan (server).

Pada suatu fasilitas pelayanan, pelanggan akan masuk dalam suatu tempat pelayanan dan menerima pelayanan secara tuntas dari server. Bila tidak disebutkan secara khusus, maka pada bentuk pelayanan ini dianggap bahwa satu pelayanan dapat melayani secara tuntas satu pelanggan (Kakiay, 2004).

Waktu pelayanan antara fasilitas pelayanan yang satu dengan fasilitas pelayanan yang lain biasanya tidak konstan. Proses pelayanan pada umumnya menggunakan distribusi probabilitas tertentu. Distribusi probabilitas untuk waktu layanan biasanya mengikuti distribusi probabilitas eksponensial yang formulanya dapat memberikan informasi yang berguna mengenai operasi yang terjadi pada suatu antrian. Persamaan distribusi eksponensial adalah sebagai berikut:

𝐹(𝑥_𝑖) = 𝜇 𝑒^−𝑥.𝜇 Dimana:

x = xi (nilai tengah)

μ= rata-rata waktu pelayanan e = 2,71828

2.11 Uji Distribusi

Uji kesesuaian distribusi dilakukan dengan uji Chi Square (X²) yang didefinisikan sebagai berikut:

H0 = data yang diuji mengikuti distribusi H1 = data yang diuji tidak mengikuti distribusi

(32)

Statistik tes didefinisikan sebagai berikut:

𝑋_{ℎ𝑖𝑡𝑢𝑛𝑔}² = ∑ ⁽⁰^𝑖^−𝐸^𝑖⁾²

𝐸𝑖

𝑘𝑖=1 (2.10)

Dimana:

Oi = frekuensi observasi ke-i Ei = frekueensi Rata-rata ke-i

Dalam uji Chi Square, data observasi mengikuti distribusi saat x²hitung ≤ X²tabel

Perlakuan terhadap input data yang bersifat acak untuk program simulasi dapat dilakukan sebagai berikut (Conover, 1971)

1. Nilai-nilai data tersebut digunakan secara langsung dalam simulasi. Sebagai contoh, jika data menggambarkan waktu pelayanan, maka salah satu data digunakan jika sebuah waktu pelayanan diperlukan dalam sebuah simulasi.

Hal ini disebut trace-driven simulation.

2. Nilai data-data tersebut digunakan untuk mendefinisikan sebuah fungsi distribusi umum dengan cara tertentu. Jika diperlukan dalam sebuah simulasi, sampel diambil dari distribusi ini.

3. Data dicocokkan terhadap bentuk teoritis distribusi tertentu, misal eksponensial atau poisson, dengan menampilkan hipotesis tes untuk menentukan kecocokan tersebut (the goodness of fit). Pencocokan ini menghasilakan sejumlah parameter statistika. Saat dilakukan simulasi, sampel diambil dari jenis distribusi teoritis dan nilai-nilai parameter yang cocok.

2.12 Simulasi

Model matematika merupakan model yang saat ini sangat berkembang. Sesuai dengan prosedur yang digunakan untuk menyelesaikan model matematika, maka terdapat dua jenis penelitian operasional ilmu pengetahuan manajemen, yaitu model analitik dan model simulasi. Beberapa contoh model analitik diantaranya adalah model pengambilan keputusan, model jaringan kerja, model persediaan, model transportasi, dan masih banyak lagi. Akan tetapi, model simulasi ternyata lebih banyak digunakan karena lebih luwes dan menyeluruh.

(33)

Pengertian umum mengenai simulasi ialah suatu metodologi untuk melaksanakan percobaan dengan menggunakan model dari satu sistem nyata.

Sedangkan ide dasarnya ialah menggunakan beberapa perangkat untuk meniru sistem nyata guna mempelajari dan memahami sifat-sifat, tingkah laku (perangai), dan karakter operasinya. Oleh karena itu, simulasi terutama sekali berkenaan dengan percobaan untuk menaksir tingkah laku dari sistem nyata untuk maksud perancangan sistem atau pengubahan tingkah laku sistem (Siagian, 1987).

Model analitik sangat kuat dan berguna bagi kehidupan sehari-hari, akan tetapi terdapat beberapa keterbatasan antara lain yaitu:

1. Model analitik tidak mampu menggambarkan suatu sistem pada masa lalu dan masa mendatang melalui pembagian waktu. Model analitik hanya memberikan penyelesaian secara menyeluruh, suatu jawab yang mungkin tunggal dan optimal tetapi tidak menggambarkan suatu prosedur operasional untuk masa lebih singkat dari masa perencanaan. Misalnya, penyelesaian persoalan program linier dengan masa perencanaan satu tahun, tidak menggambarkan prosedur operasional untuk masa bulan demi bulan, minggu demi minggu, atau hari demi hari.

2. Model matematika yang konvensional sering tidak mampu menyajikan sistem nyata yang lebih besar dan rumit (kompleks). Sehingga sukar untuk membangun model analitik untuk sistem nyata yang demikian.

3. Model analitik terbatas pemakaiannya dalam hal–hal yang tidak pasti dan aspek dinamis (faktor waktu) dari persoalan manajemen.

Berdasarkan hal di atas, maka konsep simulasi dan penggunaan model simulasi merupakan solusi terhadap ketidakmampuan dari model analitik.

Beberapa kelebihan simulasi adalah sebagai berikut:

1. Simulasi dapat memberi solusi bila model analitik gagal melakukannya.

2. Model simulasi lebih realistis terhadap sistem nyata karena memerlukan asumsi yang lebih sedikit. Misalnya, tenggang waktu dalam model persediaan tidak perlu harus deterministik.

(34)

3. Perubahan konfigurasi dan struktur dapat dilaksanakan lebih mudah untuk menjawab pertanyaan: what happen if… Misalnya, banyak aturan dapat dicoba untuk mengubah jumlah langganan dalam sistem antrian.

4. Dalam banyak hal, simulasi lebih murah dari percobaannya sendiri.

5. Simulasi dapat digunakan untuk maksud pendidikan.

6. Untuk sejumlah proses dimensi, simulasi memberikan penyelidikan yang langsung dan terperinci dalam periode waktu khusus.

Meskipun memiliki beberapa keunggulan dibandingkan model analitik, tetapi model simulasi juga memiliki beberapa kekurangan, diantaranya sebagai berikut:

1. Simulasi bukanlah presisi dan juga bukan suatu proses optimisasi. Simulasi tidak menghasilkan solusi, tetapi ia menghasilkan cara untuk menilai solusi termasuk solusi optimal.

2. Model simulasi yang baik dan efektif sangat mahal dan membutuhkan waktu yang lama dibandingkan dengan model analitik.

3. Tidak semua situasi dapat dinilai melalui simulasi kecuali situasi yang memuat ketidakpastian.

Model simulasi lebih jauh dapat diklasifikasikan ke dalam beberapa bentuk, yaitu sebagai model simulasi statik atau dinamik, model simulasi deterministik atau stokastik, dan model simulasi diskrit atau kontinu.

1. Model simulasi statik dikenal juga dengan nama Simulasi Monte Carlo yang merepresentasikan sebuah sistem pada suatu waktu tertentu. Sebagai contoh, ingin disimulasikan jumlah pelanggan yang membeli suatu produk di sebuah toko berdasarkan data historis, kemudian dibangkitkan bilangan random untuk menunjukkan jumlah pelanggan yang dibangkitkan sesuai posisi interval distribusinya. Model simulasi dinamik adalah representasi sistem sepanjang pergantian waktu ke waktu, contohnya adalah simulasi pelayanan pada sebuah bank dalam rentang jam kerja tertentu.

2. Model simulasi deterministik adalah model simulasi yang tidak mengandung komponen yang sifatnya probabilistik (random) dan output telah dapat ditentukan ketika sejumlah input dalam hubungan tertentu

(35)

dimasukkan. Sebagai contoh simulasi ini adalah simulasi kedatangan pasien seorang dokter praktek yang telah diatur jadwal pelayanannya. Model simulasi stokastik adalah model simulasi yang memiliki satu atau beberapa input berupa variabel random dan akan menghasilkan output yang random pula. Simulasi layanan teller bank adalah salah satu contoh model simulasi stokastik.

3. Model simulasi diskrit adalah model simulasi yang status variabelnya berubah secara diskrit pada satu waktu tertentu. Contohnya, simulasi antrian, dimana jumlah pelanggan yang menunggu/antri berubah secara diskrit dari waktu ke waktu. Model simulasi kontinu adalah model simulasi yang status variabel berubah secara kontinu dari waktu ke waktu. Simulasi permukaan air bendungan adalah contoh simulasi kontinu.

2.13 Simulasi Monte Carlo

Penggunanaan variabel random dalam simulasi dinyatakan dalam distribusi probabilitas, sehingga sebagian besar model simulasi adalah model probabilistik.

Arti istilah Monte Carlo sering dianggap sama dengan simulasi probabilistik, namun Monte Carlo sampling secara lebih tegas berarti teknik memilih angka secara random dari distribusi probabilitas untuk menjalankan simulasi (Sri Mulyono, 2002).

Simulasi Monte Carlo merupakan suatu pendekatan untuk membentuk kembali distribusi peluang yang didasarkan pada pilihan atau pengadaan bilangan acak (random). Ada beberapa cara untuk menghasilkan bilangan acak dari Monte Carlo merupakan cara yang paling baik terutama untuk suatu distribusi diskrit (P.

Siagian, 1987).

Simulasi Monte Carlo adalah tipe simulasi probabilistik untuk mencari penyelesaian masalah dengan sampling dari proses random. Simulasi Monte Carlo mengizinkan manajer untuk menentukan beberapa kebijakan yang menyangkut kondisi organisasi. Metode simulasi Monte Carlo merupakan sebuah teknik simulasi yang menggunakan unsur acak di saat terdapat peluang. Dasar simulasi Monte Carlo adalah percobaan pada unsur peluang (bersifat probabilistik) dengan menggunakan pengambilan sampel secara acak (Saiful et al, 2013).

(36)

Xu (2012) menggunakan metode Monte Carlo untuk melakukan simulasi antrian pada bank, lalu memanfaatkan hasil simulasi tersebut untuk mengevaluasi kinerja dari model M/M/c/;. Hasil penelitian tersebut menunjukkan bahwa metode Monte Carlo dapat menyelesaikan model antrian M/M/c/; lebih akurat dan efektif.

Penerapan metode Monte Carlo pada pelayanan teller bank dengan kedatangan berdistribusi Poisson dan pelayanan berdistribusi Eksponensial juga dilakukan oleh Magdalena (2011).

Pada penelitian ini, penulis akan membahas mengenai simulasi dengan metode Monte Carlo pada pelayanan Penerimaan Pasien BPJS Poliklinik Rumah Sakit Umum Pusat Haji Adam Malik Medan.

Teknik simulasi Monte Carlo terbagi atas lima langkah sederhana yaitu sebagai berikut:

1. Menetapkan sebuah distribusi probabilitas bagi variabel penting. Ide dasar simulasi Monte Carlo adalah untuk membangkitkan nilai untuk variabel pada model yang sedang diuji. Dalam sistem dunia nyata, sebagian besar variabel memiliki probabilitas alami. Diantaranya adalah: permintaan persediaan, waktu tenggang pesanan untuk tiba, waktu diantara mesin rusak, waktu diantara kedatangan pelanggan pada suatu fasilitas pelayanan, waktu pelayanan, waktu yang diperlukan untuk menyelesaikan aktivitas proyek, dan jumlah karyawan yang tidak hadir setiap hari. Sebuah cara untuk menetapkan distribusi probabilitas bagi variabel tertentu adalah dengan menguji hasil histories. Distribusi probabilitas dapat ditemukan, atau frekuensi relatif, untuk setiap output variabel yang mungkin dengan cara membagi jumlah pengamatan dengan jumlah pengamatan total.

2. Membuat distribusi probabilitas kumulatif bagi setiap variabel. Untuk mengubah distribusi probabilitas biasa menjadi sebuah distribusi probabilitas kumulatif (cumulative probability distribution) merupakan pekerjaan yang mudah.

3. Menetapkan sebuah interval angka acak bagi setiap variabel. Setelah distribusi probabilitas kumulatif bagi setiap variabel yang digunakan dalam simulasi sudah diterapkan, maka diberikan serangkaian angka yang mewakili setiap nilai atau output yang mungkin. Angka ini disebut sebagai

(37)

interval angka acak (random-number interval). Pada dasarnya, angka acak (random number) merupakan serangkaian digit yang telah terpilih oleh sebuah proses yang teracak secara sempurna, yakni sebuah proses di mana setiap angka acak memiliki peluang yang sama untuk bisa terpilih.

4. Membangkitkan angka acak. Angka acak dapat dihasilkan dengan dua cara.

Jika persoalan yang dihadapi besar dan proses yang sedang diteliti melibatkan banyak percobaan simulasi, maka digunakan program komputer untuk membangkitkan angka acak. Jika simulasi dilakukan dengan perhitungan tangan, angka acak dapat diambil dari sebuah tabel angka acak.

5. Mensimulasikan serangkaian percobaan. Hasil dari eksperimen dapat disimulasikan secara sederhana dengan memilih angka acak dari tabel angka acak.

(38)

BAB III

HASIL DAN PEMBAHASAN

3.1 Pengumulan Data

Data yang diperlukan untuk mengkaji sistem antrian yang terdapat di penerimaan pasien BPJS Poliklinik RSUP H Adam Malik Medan adalah data jumlah kedatangan pasien yang diambil setiap interval 10 menit dan data kecepatan pelayanan menggunakan metode observasi. Data diambil secara langsung pada saat dibuka pelayanan penerimaan pasien BPJS untuk membuat kartu eligilibitas di RSUP H Adam Malik Medan. Pelayanan pembuatan kartu eligilibitas dibuka setiap hari kerja dari sejak pukul 08.00 wib – 15.00 wib. Penelitian ini dilakukan sejak tanggal 13 april 2017 hingga 26 april 2017. Pengumpulan data untuk jumlah kedatangan pasien dan data kecepatan pelayanan pasien dilakukan berdasarkan pengamatan selama 4 hari kerja yang diambil secara random dalam periode sibuk.

jumlah kedatangan pasien yang membuat kartu eligilibitas penerimaan pasien BPJS Poliklinik Rsup H Adam Malik Medan selama 10 hari adalah sebagai berikut:

Tabel 3.1 Jumlah Kedatangan Pasien

No Hari/tanggal Jumlah pasien yang datang

1 Kamis, 13 april 2017 507

2 Jum’at, 14 april 2017 474

3 Senin, 17 april 2017 656

4 Selasa, 18 april 2017 486

5 Rabu, 19 april 2017 439

6 Kamis, 20 april 2017 464

7 Jum’at, 21 april 2017 502

8 Senin, 24 april 2017 577

9 Selasa, 25 april 2017 579

10 Rabu, 26 april 2017 516

(39)

3.2 Analisis Data

Data waktu kedatangan dan pelayanan pasien yang telah diperoleh akan diuji terlebih dahulu bagaimana distribusi data tersebut. Jika data tersebut mengikuti distribusi probabilitas sistem antrian pada umumnya, maka akan dihitung ukuran kinerja sistem dengan jumlah loket yang berbeda-beda hingga jumlah loket yang ada optimal. Jika data tersebut tidak mengikuti distribusi probabilitas antrian pada umumnya, maka akan digunakan simulasi menggunakan metode monte carlo untuk menyelesaikan simulasinya. Langkah pengerjaan analisis ini adalah sebagai berikut:

ya

Gambar 3.1. Flowchart Analisis Data Mulai

Data Kedatangan Dan Pelayanan

Uji Distribusi Chi Square

X²hitung≤ x²tabel

Simulasi Dengan Metode Monte Carlo

Hitung Ukuran Kinerja Sistem

Selesai

(40)

Jika data yang diperoleh mengikuti distribusi pada umumnya, maka analisis antrian akan diselesaikan dengan langkah-langkah seperti pada gambar berikut:

Gambar 3.2 Flowchart Hitung Ukuran Kinerja Sistem

Dan jika data tidak mengikuti distribusi, maka akan dilakukan simulasi dengan menggunakan metode Monte Carlo dengan langkah pengerjaan sebagai berikut:

Mulai

Hitung Ukuran Kinerja Sistem Dengan 9 Loket

Wq≥10 menit

Selesai

Jumlah Kinerja Sistem Sudah Optimal

(41)

Gambar 3.3 Flowchart Simulasi Menggunakan Metode Monte Carlo Mulai

Hitung Distribusi Prob Dan Prob Kumulatif

Tentukan Interval Bilangan Random

Bangkitkan Bilangan Random

Klasfikasikan Bilangan Bilangan Random

Jumlah Kinerja Sudah Optimal

Selesai

(42)

Dari hasil pengamatan yang dilakukan selama 2 minggu, terjadi penempukan antrian pada hari periode awal pelayanan pasien. Penumpukan antrian pasien terjadi pada pukul 08.00 WIB -13.00 WIB. Maka, analisis antrian dilakukan pada 4 hari, yaitu Senin 17 April 2017, Senin 24 April 2017, Selasa 25 April 2017, dan Rabu 26 April 2017. pada pukul 08.00 WIB hingga pukul 13.00 WIB.

3.3 Uji Kecukupan Data

Perhitungan uji kecukupan data dimaksudkan untuk menentukan jumlah sampel minimum yang dapat diolah untuk proses selanjutnya. Pada perhitungan kecukupan data ini, digunakan tingkat kekeyakinan 95% dan derajat ketelitian 5%.

Berdasarkan tabel berikut data yang akan digunakan dalam melakukan uji kecukupan data.

Tabel 3.2 Uji Kecukupan Data

No Tanggal Jumlah Pasien (X) X²

1 17 April 2017 656 430336

2 24 April 2017 577 332929

3 25 April 2017 579 335241

4 26 April 2017 216 46656

Jumlah 2328 1364762

Dari data diatas diperoleh bahwa N=4, ∑𝑥 = 2328, ∑ 𝑥² = 1364762.

Kemudian dilakukan perhitungan kecukupan data yaitu sebagai berikut:

𝑁^′ = [

𝑘

𝑠√𝑁 ∑ 𝑥²−(∑ 𝑥)²

∑ 𝑥 ]

2

= [

2

0.1√4(1364762)−(2328)²

2328 ]

2

= [20√5459048−5419584

2328 ]

2

= [(20)(198,6555)

2328 ]² = 2,9127

(43)

Dari hasil perhitungan diatas, terlihat bahwa nila N>N’, yaitu 4>2,9127.

Data sudah mencukupi dan tidak perlu melakukan pengamatan lagi

3.3.1 Analisis Waktu Kedatangan

Data jumlah kedatangan pasien pada bagian penerimaan pasien BPJS di Poliklinik RSUP H Adam Malik Medan yang diolah adalah data selama 4 hari penelitian sebanyak 2328 orang, dengan kedatangan pada tanggal 17 April 2017 sebanyak 656 orang, 24 April 2017 sebanyak 577, 25 April 2017 sebanyak 579 orang , 26 April sebanyak 516 orang. Diasumsikan berdistribusi Poisson. Untuk menguji apakah data kedatangan pensiunan tersebut berdistribusi Poisson atau tidak, dilakukan uji Chi Square menggunakan data hasil penelitian per interval waktu 10 menit yang terdapat pada Untuk kelengkapan data seperti pada lampiran.

1. Senin 17 April 2017 Pukul 08.00 – 13.00 Wib

Distribusi kedatangan pasien diasumsikan mengikuti distribusi Poisson.

Hipotesis kedatangan pasien pada bagian penerimaan pasien BPJS di Poliklinik RSUP H Adam Malik Medan adalah sebagai berikut:

H0 = Kedatangan pasien pada bagian penerimaan pasien BPJS di Poliklinik RSUP H Adam Malik Medan mengikuti distribusi Poisson.

H1 = Kedatangan pasien pada bagian penerimaan pasien BPJS di Poliklinik RSUP H Adam Malik Medan tidak mengikuti distribusi Poisson.

Untuk menguji apakah data kedatangan pasien tersebut berdistribusi Poisson atau tidak, dilakukan uji Chi Square. Data rekapitulasi kedatangan pasien untuk hari Senin, 17 April 2017 diurutkan dari yang jumlah kedatangannya paling sedikit hingga jumlah kedatangannya paling banyak, lalu data tersebut diuji dengan uji Chi Square sebagai berikut:

Tabel 3.3 Hasil Uji Square Kedatangan Senin 17 April 2017 banyak

kedatangan (xi)

frekuensi observasi

(fo)

xi.fo

frekuensi eksektasi

(fe)

X²

0 0 0 18,2272 18,2272

1 0 0 19,3745 19,3745

(44)

2 0 0 23,253 23,253

3 0 0 29,9087 29,9087

4 0 0 37,2419 37,2419

5 0 0 27,5529 27,5529

6 0 0 31,1996 31,1996

7 0 0 30,3082 30,3082

8 0 0 25,7619 25,7619

9 0 0 19,4646 19,4646

10 0 0 13,2359 13,2359

11 0 0 24,1827 24,1827

12 0 0 16,6876 16,6876

13 0 0 12,0253 12,0253

14 0 0 19,4679 19,4679

15 0 0 17,6054 17,6054

16 0 0 12,2237 12,2237

17 2 34 36,3998 32,50969071

18 0 0 18,0643 18,0643

19 5 95 45,7364 36,28301058

20 4 80 42,3407 34,718587

21 0 0 53,0094 53,0094

22 4 88 23,0968 15,78953666

23 6 138 27,0035 16,33666052

24 4 96 23,7318 16,40600086

25 5 125 8,8709 1,689103339

30 656 655,9746 602,5273

Diketahui dari tabel chi square:

rata-rata kedatangan (λ)= 21,8667 orang per 10 menit atau 2,1867 orang per menit.

x²hitung = 602,5273

derajat kebebasan (k) = n-1 = 25-1 = 24 α =0,05

(45)

x²tabel = x²(α.k) = x²(0,05.24) = 36,415

Dari hasil tersebut, dapat disimpulkan bahwa X²Hitung = 602,5273 > X²tabel =36,415 sehingga H0 ditolak dan H1 diterima. Maka, dapat disimpulkan bahwa proses kedatangan dengan rata-rata kedatangan 2,1867 pasien permenit tidak berdistribusi Poisson

2. Senin 24 April 2017 Pukul 08.00 – 13.00

Untuk menguji apakah data kedatangan pasien tersebut berdistribusi Poisson atau tidak, dilakukan uji Chi Square. Data rekapitulasi kedatangan pasien untuk hari Senin, 24 April 2017 diurutkan dari yang jumlah kedatangannya paling sedikit hingga jumlah kedatangannya paling banyak, lalu data tersebut diuji dengan uji Chi Square sebagai berikut:

Tabel 3.4 Hasil Uji Square Kedatangan Senin 24 April 2017 banyak

kedatangan (xi)

frekuensi observasi

(fo)

xi.fo

frekuensi eksektasi

(fe)

X²

0 0 0 6,0206 6,0206

1 0 0 8,2974 8,2974

2 0 0 10,9409 10,9409

3 0 0 21,9905 21,9905

4 0 0 17,9462 17,9462

5 0 0 21,7973 21,7973

6 0 0 29,8989 29,8989

7 1 7 37,7019 35,72842386

(46)

8 0 0 43,0372 43,0372

9 1 9 45,1135 43,13566631

10 0 0 40,3815 40,3815

11 0 0 37,6684 37,6684

12 0 0 35,7608 35,7608

13 2 26 25,8645 22,01915213

14 0 0 13,9661 13,9661

15 4 60 16,7817 9,735119499

16 0 0 12,6967 12,6967

17 1 17 18,5806 16,63441958

18 2 36 22,8784 19,0532374

19 2 38 25,6867 21,84242261

20 2 40 14,4496 10,72642427

21 3 63 10,1267 5,015439668

22 4 88 28,5087 21,06993219

23 2 46 9,7476 6,157957421

24 3 72 12,1262 6,868394587

25 3 75 8,9783 3,980716939

30 577 576,9469 522,3698

rata-rata kedatangan (λ) = 19,233 orang per 10 menit atau 1,9233 orang permenit.

x²hitung = 522,3698

derajat kebebasan(k) = n-1 = 25-1 = 24 α = 0,05

x²tabel = x²(α.k) = x²(0,05.24) = 36,415

Dari hasil tersebut, dapat disimpulkan bahwa X²Hitung = 522,3698 > X²tabel = 36,415 sehingga H0 ditolak dan H1 diterima. Maka, dapat disimpulkan bahwa proses kedatangan dengan ratarata kedatangan 1,9233 pasien permenit tidak berdistribusi Poisson

(47)

3. Selasa 25 April 2017 Pukul 08.00 – 13.00

Untuk menguji apakah data kedatangan pasien tersebut berdistribusi Poisson atau tidak, dilakukan uji Chi Square. Data rekapitulasi kedatangan pasien untuk hari Selasa, 25 April 2017 diurutkan dari yang jumlah kedatangannya paling sedikit hingga jumlah kedatangannya paling banyak, lalu data tersebut diuji dengan uji Chi Square sebagai berikut:

Tabel 3.5 Hasil Uji Square Kedatangan Selasa 25 April 2017 banyak

kedatangan (xi)

frekuensi observasi

(fo)

xi.fo

frekuensi eksektasi

(fe)

X²

0 0 0 4,2092 4,2092

1 0 0 12,3705 12,3705

2 0 0 21,2053 21,2053

3 0 0 27,9028 27,9028